Permodelan matematik - proses membina dan mengkaji model matematik
trend utama dalam pembangunan pemodelan matematik (komputer) di tahun lepas dikaitkan tidak begitu banyak dengan penyelesaian masalah "mikro", seperti hubungan di atas "model-algoritma-program". Penekanan pemodelan semakin beralih ke arah "masalah makro". Sesungguhnya, alat perkakasan dan perisian untuk menyelesaikan masalah mikro baru-baru ini secara praktikal tidak lagi mengehadkan kemungkinan pemodelan, walaupun dalam projek terbesar. Di seluruh dunia, bersama-sama dengan bahasa pengaturcaraan asas untuk pemodelan, berpuluh-puluh bahasa khusus dan sistem pemodelan yang tersedia secara komersial digunakan secara meluas, dan kemungkinan komunikasi rangkaian membuka akses kepada metodologi dan idea yang paling moden.
V teori moden kawalan, model matematik dua jenis utama dicipta dan digunakan (walaupun dalam bahagian teori yang berbeza jenis ini ditakrifkan dengan cara yang berbeza).
Untuk objek teknologi, bahagian ini sepadan dengan model "fenomenologi" dan "deduktif". Model fenomenologi difahami sebagai kebergantungan input-output yang dibina semula secara empirikal, sebagai peraturan, dengan sejumlah kecil input dan output. Pemodelan deduktif melibatkan penjelasan dan perihalan undang-undang fizikal asas bagi fungsi semua nod proses yang dikaji dan mekanisme interaksinya. Model deduktif adalah lebih kaya; mereka menerangkan proses secara keseluruhan, dan bukan mod individunya.
Jenis model pertama ialah model analitikal (atau lebih tepat, model data). "Model data ialah model yang tidak memerlukan, menggunakan atau memaparkan sebarang hipotesis tentang proses fizikal (sistem) di mana data ini diperolehi." Jenis model kedua ialah model sistem (atau model sistem). ini model matematik, yang "dibina terutamanya berdasarkan undang-undang fizikal dan hipotesis tentang cara sistem distrukturkan dan, mungkin, cara ia berfungsi."
Dalam pengertian klasik, model data (model analitik) merangkumi semua model statistik matematik... Baru-baru ini, perubahan makro ciri telah diperhatikan untuk model ini juga. Hubungan dengan "dunia luar" menembusi ke dalam bidang pemodelan ini sebagai kaedah dan sistem statistik pakar, yang dengan ketara mengembangkan asas metodologi untuk membuat keputusan dalam analisis data dan masalah pengurusan.
Sehingga baru-baru ini model matematik digunakan dalam amalan kawalan hanya sebagai sumber data input untuk sistem kawalan. Memodelkan sistem teknikal pada peringkat reka bentuk untuk mengoptimumkan struktur dan parameter mereka meneruskan tradisi ini.
Dalam banyak masalah lain, hanya model sistem yang boleh digunakan secara asas. Dalam banyak kes, model boleh dimasukkan ke dalam sistem kawalan dalam bentuk blok yang mengira output objek tertentu daripada inputnya. Selalunya dalam kes ini kita bercakap tentang pembangunan pemodelan simulasi yang dipanggil - d dinamik memodelkan objek. Pemodelan dinamik adalah tipikal untuk pelbagai tugas masa nyata, terutamanya untuk simulator komputer. Jadi, dalam proses latihan simulator, tindakan pengendali ditafsirkan sebagai input model sistem (teknologi, pengangkutan, dll.), dan output model ditukar kepada imej audio-visual reaksi sistem terhadap tindakan pengendali. Simulasi ini dijalankan dalam masa nyata, yang membolehkan hasilnya digunakan dalam pelbagai teknologi masa nyata (dari pengesanan kesalahan kepada latihan interaktif pengendali).
Terdapat dua kelas utama masalah yang berkaitan dengan model matematik: langsung dan songsang. Dalam kes pertama, semua parameter model diandaikan diketahui, dan kami hanya boleh menyiasat kelakuannya. Contohnya, menentukan frekuensi ayunan pengayun harmonik dengan nilai parameter yang diketahui k- masalah langsung pemodelan matematik.
Kadangkala ia diperlukan untuk menyelesaikan masalah songsang: beberapa parameter model tidak diketahui (contohnya, ia tidak boleh diukur secara eksplisit), dan ia diperlukan untuk mencarinya dengan membandingkan kelakuan sistem sebenar dengan modelnya. Satu lagi masalah songsang: untuk memilih parameter model sedemikian rupa sehingga ia memenuhi beberapa syarat tertentu - masalah tersebut mesti diselesaikan semasa mereka bentuk sistem.
model matematik menyatakan ciri-ciri penting objek atau proses dalam bahasa persamaan dan cara matematik lain. Sebenarnya, matematik itu sendiri berhutang kewujudannya kepada apa yang cuba dicerminkan, i.e. untuk mensimulasikan, dalam bahasa khusus anda, undang-undang dunia sekeliling.
Cara pemodelan matematik pada zaman kita jauh lebih komprehensif daripada pemodelan semula jadi. Dorongan besar kepada pembangunan pemodelan matematik telah diberikan oleh kemunculan komputer, walaupun kaedah itu sendiri dilahirkan serentak dengan matematik beribu-ribu tahun dahulu.
Permodelan matematik oleh itu, ia tidak selalu memerlukan sokongan komputer. Setiap pakar yang terlibat secara profesional dalam pemodelan matematik melakukan yang terbaik untuk kajian analisis model. Penyelesaian analitikal (iaitu, diwakili oleh formula yang menyatakan hasil penyelidikan melalui data awal) biasanya lebih mudah dan bermaklumat daripada yang berangka. Kemungkinan kaedah analisis untuk menyelesaikan masalah matematik yang kompleks, bagaimanapun, sangat terhad dan, sebagai peraturan, kaedah ini jauh lebih rumit daripada yang berangka.
Matlamat kursus pemodelan sistem angkat-dan-pengangkutan adalah untuk mengajar asas-asas pemodelan mesin angkat-dan-pengangkutan (MHM), yang merangkumi penyusunan model matematik MHT, pelaksanaan perisian model pada komputer, serta sebagai mendapatkan, memproses dan menganalisis hasil simulasi.
Untuk kenalan bebas dengan isu-isu di atas, kesusasteraan berikut disyorkan: Braude V. I., Ter-Mkhitarov M. S. "Kaedah sistem untuk mengira mesin angkat", Ignatiev N. B., Ilyevsky B. Z., Klaus L. P. "Sistem pemodelan mesin ", Rachkov EV, Silikov Yu . V." Mesin angkat dan pengangkutan dan mekanisme ", serta buku rujukan dan buku teks mengenai kaedah berangka matematik pengiraan dan penggunaan editor matematik MathCad.
Pemodelan adalah kaedah teori dan eksperimen aktiviti kognitif, ia adalah kaedah mengkaji dan menerangkan fenomena, proses dan sistem (objek asal) berdasarkan penciptaan objek baru - model.
Pemodelan ialah penggantian objek yang diselidiki (asal) dengan imej bersyarat atau objek lain (model) dan kajian sifat asal dengan meneliti sifat model.
Bergantung kepada kaedah pelaksanaan, semua model boleh dibahagikan kepada 4 kumpulan: fizikal, matematik, subjek-matematik dan gabungan [,].
Model fizikal adalah penjelmaan sebenar sifat-sifat asal yang menarik minat penyelidik. Model fizikal juga dipanggil mock-up, jadi model fizikal dipanggil mock-up.
Model matematik ialah penerangan rasmi sistem (atau proses) menggunakan beberapa bahasa abstrak (secara matematik), contohnya, dalam bentuk graf, persamaan, algoritma, korespondensi matematik, dsb.
Model subjek-matematik adalah analog, i.e. dalam kes ini, untuk pemodelan, prinsip perihalan proses matematik yang sama, sebenar dan berlaku dalam model, digunakan.
Model gabungan ialah gabungan model matematik atau subjek-matematik dan fizikal. Ia digunakan apabila penerangan matematik salah satu elemen sistem yang dikaji tidak diketahui atau sukar, dan juga, mengikut keadaan pemodelan, perlu memasukkan model fizikal sebagai elemen (contohnya, simulator).
Permodelan matematik ialah penggantian yang asal dengan model matematik dan kajian sifat-sifat asal pada model ini.
Sistem ini dipanggil kesatuan beberapa objek (elemen), saling berkaitan antara satu sama lain, membentuk integriti tertentu.
Elemen ialah bahagian sistem yang agak bebas, dipertimbangkan pada tahap ini analisis secara keseluruhan, direka untuk melaksanakan fungsi tertentu.
Sistem ini mempunyai yang berikut, yang dipanggil. Sifat "sistemik":
struktur, i.e. susunan yang ditetapkan dengan ketat untuk menggabungkan unsur-unsur ke dalam kumpulan;
tujuan atau kefungsian, i.e. kehadiran tujuan sistem itu dicipta;
kecekapan, keupayaan untuk mencapai matlamat dengan perbelanjaan sumber yang paling sedikit;
kestabilan, keupayaan untuk mengekalkan ciri-ciri sifatnya tidak berubah dalam had tertentu apabila keadaan luaran berubah.
Pada masa ini, konsep "sistem manusia-mesin" (HMS) digunakan dalam teknologi untuk mengkaji operasi kompleks mesin dan mesin, i.e. sistem bercampur, komponen yang, bersama-sama dengan objek teknikal, adalah pengendali manusia [,]. Di samping itu, HMS berinteraksi dengan persekitaran. Oleh itu, untuk memodelkan PTS, adalah perlu untuk mempertimbangkan sistem Man-Machine-Environment, yang boleh dipaparkan dalam graf berikut (Rajah 1).
R
ialah. 1 Graf sistem Manusia-Mesin-Alam Sekitar.
Anak panah pada graf mewakili aliran tenaga, jirim dan maklumat, yang ditukar antara unsur-unsur sistem.
Proses dalam sistem teknikal dibentuk oleh satu set operasi yang paling mudah. Operasi - menukar kuantiti fizikal input kepada output dalam elemen tahap rendah sistem (Rajah 2).
Dalam setiap elemen sistem (E i), transformasi tindakan input (X i) kepada output (Y i) berlaku, dan tindakan output satu elemen boleh menjadi input kepada yang seterusnya. Sambungan unsur-unsur dalam gambar rajah struktur mengikut sifat penghantaran pengaruh berlaku secara bersiri atau selari.
nasi. 2 Gambar rajah blok sistem.
Sistem angkat-dan-pengangkutan (PTS), yang dipelajari dalam rangka kerja kursus ini, akan dipanggil sistem yang merangkumi seseorang, persekitaran dan kenderaan angkat dan pengangkutan (MHM).
PTM ialah mesin yang direka untuk memindahkan kargo pada jarak yang agak pendek tanpa memprosesnya. PTM digunakan untuk memudahkan, mempercepat dan meningkatkan kecekapan operasi tambah nilai.
Model matematik harus mempunyai sifat berikut:
kecukupan, sifat kesesuaian antara model dan objek penyelidikan;
kebolehpercayaan, memastikan kebarangkalian tertentu keputusan pemodelan jatuh ke dalam selang keyakinan,
ketepatan, percanggahan tidak ketara (dalam ralat yang dibenarkan) antara hasil simulasi dan penunjuk objek sebenar (proses);
kestabilan, sifat memadankan perubahan kecil dalam parameter output kepada perubahan kecil dalam parameter input;
kecekapan, keupayaan untuk mencapai matlamat dengan kos sumber yang rendah;
kebolehsuaian, keupayaan untuk membina semula dengan mudah untuk menyelesaikan pelbagai masalah.
Untuk mencapai sifat ini, terdapat beberapa prinsip (peraturan) pemodelan matematik, beberapa daripadanya diberikan di bawah.
Prinsip bermatlamat terletak pada hakikat bahawa model mesti memastikan pencapaian matlamat yang ditetapkan dengan ketat dan, pertama sekali, mencerminkan sifat-sifat asal yang diperlukan untuk mencapai matlamat.
Prinsip kecukupan maklumat terdiri daripada mengehadkan jumlah maklumat tentang objek semasa mencipta modelnya dan mencari optimum antara maklumat input dan hasil simulasi. Ia boleh digambarkan melalui rajah berikut.
Semua kemungkinan kes pemodelan terletak di lajur 2.
Prinsip kebolehlaksanaan terdiri daripada fakta bahawa model harus memastikan pencapaian matlamat yang ditetapkan dengan kebarangkalian hampir 1 dan dalam masa yang terhad. Prinsip ini boleh dinyatakan dalam dua keadaan
dan 
,
(1)
di mana 
- kebarangkalian untuk mencapai matlamat, - masa untuk mencapai matlamat, 
dan - nilai kebarangkalian dan masa pencapaian matlamat yang boleh diterima.
Prinsip pengagregatan ialah model harus terdiri daripada subsistem tahap 1, yang seterusnya, terdiri daripada subsistem tahap ke-2, dsb. Subsistem hendaklah direka bentuk sebagai blok bebas yang berasingan. Pembinaan model ini membolehkan penggunaan prosedur pengiraan standard, dan juga memudahkan untuk menyesuaikan model untuk menyelesaikan pelbagai masalah.
Prinsip parametrisasi terdiri daripada menggantikan, apabila memodelkan, parameter tertentu subsistem yang diterangkan oleh fungsi yang sepadan dengan ciri berangka.
Proses pemodelan menggunakan peraturan ini terdiri daripada 5 langkah (langkah) berikut.
Menentukan matlamat pemodelan.
Pembangunan model konseptual (skim pengiraan).
Formalisasi.
Pelaksanaan model.
Analisis dan tafsiran hasil simulasi.
Perbezaan yang ketara dalam pelaksanaan 3-5 peringkat membolehkan kita bercakap tentang dua pendekatan untuk membina model.
Pemodelan analitikal Adakah penggunaan model matematik dalam bentuk persamaan ditambah dengan sistem kekangan yang menghubungkan pembolehubah input dengan parameter output. Pemodelan analitikal digunakan jika terdapat rumusan lengkap masalah kajian dan perlu untuk mendapatkan satu keputusan akhir yang sepadan dengannya.
Pemodelan simulasi Merupakan penggunaan model matematik untuk menerangkan fungsi sistem dalam masa untuk pelbagai kombinasi parameter sistem dan pelbagai pengaruh luaran. Pemodelan simulasi digunakan jika rumusan akhir masalah tidak wujud dan perlu untuk menyiasat proses yang berlaku dalam sistem. Simulasi adalah berasaskan masa. Itu. peristiwa pada pakaian berlaku pada selang waktu yang berkadar dengan peristiwa pada asal dengan pekali perkadaran yang tetap.
Mengikut penggunaan alat untuk pelaksanaan model, satu lagi jenis pemodelan boleh dibezakan, pemodelan komputer. Pemodelan komputer ialah pemodelan matematik menggunakan teknologi komputer.
Semua model matematik boleh dibahagikan kepada beberapa kumpulan mengikut kriteria pengelasan berikut.
Mengikut jenis sistem yang dimodelkan, model tersebut adalah statik dan dinamik. Model statik digunakan untuk mengkaji sistem statik, dinamik untuk mengkaji dinamik. Sistem dinamik dicirikan oleh fakta bahawa mereka mempunyai banyak keadaan yang berubah dari semasa ke semasa.
Mengikut tujuan pemodelan, model dibahagikan kepada beban, pengurusan dan fungsi. Model beban digunakan untuk menentukan beban yang bertindak ke atas elemen sistem, model pengurusan digunakan untuk menentukan parameter kinematik sistem yang dikaji, yang merangkumi halaju dan anjakan elemen sistem, dan model berfungsi digunakan untuk menentukan koordinat. model dalam ruang kemungkinan keadaan berfungsi sistem.
Mengikut tahap pendiskretan, model dibahagikan kepada diskret, bercampur dan berterusan. Model diskret mengandungi elemen yang berkaitan antara satu sama lain, ciri-cirinya tertumpu pada titik. Ini boleh menjadi jisim, isipadu, daya dan pengaruh lain yang tertumpu pada titik. Model berterusan mengandungi elemen, parameter yang diedarkan sepanjang panjang, luas atau isipadu keseluruhan elemen. Model campuran mengandungi kedua-dua jenis elemen.
KULIAH 4
Definisi dan tujuan pemodelan matematik
Di bawah model(dari modulus Latin - ukuran, sampel, norma) kita akan memahami objek yang diwakili secara material atau mental yang, dalam proses kognisi (kajian), menggantikan objek asal, mengekalkan beberapa ciri tipikalnya yang penting untuk kajian ini . Proses membina dan menggunakan model dipanggil modelling.
Intipatinya pemodelan matematik (MM) terdiri daripada menggantikan objek (proses) yang dikaji dengan model matematik yang mencukupi dan kajian seterusnya sifat-sifat model ini menggunakan sama ada kaedah analisis atau eksperimen pengiraan.
Kadangkala lebih berguna, bukannya memberikan definisi yang ketat, untuk menerangkan konsep ini atau itu dengan contoh khusus. Oleh itu, marilah kita menggambarkan definisi MM di atas menggunakan contoh masalah pengiraan impuls tertentu. Pada awal 60-an, saintis berhadapan dengan tugas untuk membangunkan bahan api roket dengan impuls spesifik tertinggi. Prinsip pergerakan roket adalah seperti berikut: bahan api cecair dan pengoksida dari tangki roket dimasukkan ke dalam enjin, di mana ia dibakar, dan hasil pembakaran dipancarkan ke atmosfera. Daripada undang-undang pemuliharaan momentum ia mengikuti bahawa dalam ini roket akan bergerak dengan laju.
Impuls spesifik bahan api ialah impuls yang diterima dibahagikan dengan jisim bahan api. Percubaan adalah kerosakan yang sangat mahal dan sistematik pada peralatan. Ternyata lebih mudah dan lebih murah untuk mengira fungsi termodinamik gas ideal, untuk mengira dengan bantuan mereka komposisi gas yang dipancarkan dan suhu plasma, dan kemudian impuls tertentu. Iaitu, untuk menjalankan MM proses pembakaran bahan api.
Konsep pemodelan matematik (MM) hari ini adalah salah satu yang paling biasa dalam kesusasteraan saintifik. Sebilangan besar kerja diploma dan disertasi moden dikaitkan dengan pembangunan dan penggunaan model matematik yang sesuai. MM Komputer hari ini merupakan bahagian penting dalam banyak bidang aktiviti manusia (sains, teknologi, ekonomi, sosiologi, dll.). Ini adalah salah satu sebab kekurangan pakar teknologi maklumat semasa.
Pertumbuhan letupan pemodelan matematik adalah disebabkan oleh peningkatan pesat teknologi pengkomputeran... Jika 20 tahun dahulu hanya sebilangan kecil pengaturcara yang terlibat dalam pengiraan berangka, kini jumlah memori dan kelajuan komputer moden, yang membolehkan menyelesaikan masalah pemodelan matematik, tersedia untuk semua pakar, termasuk pelajar universiti.
Dalam mana-mana disiplin, penerangan kualitatif tentang fenomena pertama kali diberikan. Dan kemudian - kuantitatif, dirumuskan dalam bentuk undang-undang yang mewujudkan hubungan antara pelbagai kuantiti (kekuatan medan, intensiti hamburan, caj elektron, ...) dalam bentuk persamaan matematik. Oleh itu, kita boleh mengatakan bahawa dalam setiap disiplin terdapat banyak sains seperti terdapat ahli matematik, dan fakta ini membolehkan kita berjaya menyelesaikan banyak masalah dengan kaedah pemodelan matematik.
Kursus ini direka untuk pelajar pengkhususan dalam matematik gunaan yang menjalankan tesis siswazah di bawah bimbingan ahli akademik terkemuka dalam pelbagai bidang. Oleh itu, kursus ini diperlukan bukan sahaja sebagai bahan pendidikan, tetapi juga sebagai persediaan untuk tesis. Untuk mempelajari kursus ini, kami memerlukan bahagian matematik berikut:
1. Persamaan fizik matematik (mekanik cant, gas dan hidrodinamik)
2. Algebra linear (teori keanjalan)
3. Medan skalar dan vektor (teori medan)
4. Teori kebarangkalian ( mekanik kuantum, fizik statistik, kinetik fizik)
5. Fungsi khas.
6. Analisis tensor (teori keanjalan)
7. Analisis matematik
MM dalam sains semula jadi, teknologi dan ekonomi
Mari kita pertimbangkan dahulu pelbagai bahagian sains semula jadi, teknologi, ekonomi, di mana model matematik digunakan.
Sains semula jadi
Fizik, yang menetapkan undang-undang asas sains semula jadi, telah lama dibahagikan kepada teori dan eksperimen. Fizik teori berkaitan dengan terbitan persamaan yang menerangkan fenomena fizik. Oleh itu, fizik teori juga boleh dianggap sebagai salah satu bidang pemodelan matematik. (Ingat bahawa tajuk buku pertama mengenai fizik - "Prinsip Matematik Falsafah Alam" oleh I. Newton boleh diterjemahkan ke dalam bahasa moden sebagai "Model matematik sains semula jadi.") Berdasarkan undang-undang yang diperoleh, pengiraan kejuruteraan dijalankan, yang dijalankan di pelbagai institut, firma, biro reka bentuk. Organisasi ini membangunkan teknologi untuk pembuatan produk moden yang berintensif sains.Oleh itu, konsep teknologi berintensif sains merangkumi pengiraan menggunakan model matematik yang sesuai.
Salah satu cabang fizik yang paling luas - mekanik klasik(kadangkala bahagian ini dipanggil mekanik teori atau analitik). Bahagian fizik teori ini mengkaji pergerakan dan interaksi badan. Pengiraan menggunakan formula mekanik teori adalah perlu apabila mengkaji putaran jasad (mengira momen inersia, girostat - peranti yang mengekalkan paksi putaran dalam keadaan rehat), menganalisis gerakan jasad dalam ruang tanpa udara, dsb. Salah satu daripada cabang mekanik teori dipanggil teori kestabilan dan terletak pada asas banyak model matematik yang menerangkan pergerakan pesawat, kapal, roket. Bahagian mekanik praktikal - kursus "Teori mesin dan mekanisme", "Bahagian mesin", dipelajari oleh pelajar dari hampir semua universiti teknikal (termasuk MGIU).
Teori keanjalan- sebahagian daripada bahagian mekanik kontinum, dengan mengandaikan bahawa bahan badan elastik adalah homogen dan terus diedarkan ke seluruh isipadu badan, supaya unsur terkecil yang dipotong daripada badan mempunyai sama. ciri-ciri fizikal iaitu seluruh badan. Aplikasi teori keanjalan - kursus "rintangan bahan", dipelajari oleh pelajar semua universiti teknikal (termasuk MGIU). Bahagian ini diperlukan untuk semua pengiraan kekuatan. Berikut adalah pengiraan kekuatan badan kapal, pesawat, peluru berpandu, pengiraan kekuatan keluli dan struktur konkrit bertetulang bangunan dan banyak lagi.
Gas dan hidrodinamik, seperti teori keanjalan - sebahagian daripada bahagian mekanik kontinum, mengambil kira undang-undang pergerakan cecair dan gas. Persamaan gas dan hidrodinamik diperlukan apabila menganalisis pergerakan badan dalam medium cecair dan gas (satelit, kapal selam, roket, peluru, kereta), apabila mengira aliran keluar gas dari muncung roket dan enjin pesawat. Aplikasi praktikal hidrodinamik - hidraulik (brek, stereng, ...)
Bahagian mekanik sebelumnya menganggap pergerakan jasad dalam makrokosmos, dan undang-undang fizikal makrokosmos tidak boleh digunakan dalam mikrokosmos di mana zarah jirim bergerak - proton, neutron, elektron. Prinsip yang sama sekali berbeza beroperasi di sini, dan untuk menerangkan dunia mikro adalah perlu mekanik kuantum... Persamaan utama yang menerangkan kelakuan zarah mikro ialah persamaan Schrödinger: 
... Berikut ialah pengendali Hamilton (Hamiltonian). Untuk persamaan satu dimensi pergerakan zarah https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif "width =" 35 "height =" 21 src = "> ialah tenaga keupayaan. penyelesaian kepada persamaan ini ialah satu set nilai eigen tenaga dan fungsi eigen..gif "width =" 55 "height =" 24 src = "> ialah ketumpatan kebarangkalian. Pengiraan kuantum-mekanikal diperlukan untuk membangunkan bahan baharu (litar mikro), mencipta laser, membangunkan kaedah untuk analisis spektrum, dsb.
Sebilangan besar tugas diselesaikan kinetik menerangkan pergerakan dan interaksi zarah. Di sini dan penyebaran, pemindahan haba, teori plasma - keadaan keempat jirim.
Fizik statistik menganggap ensembel zarah, membolehkan untuk mengatakan tentang parameter ensemble, meneruskan dari sifat zarah individu. Jika ensemble terdiri daripada molekul gas, maka sifat ensemble yang disimpulkan oleh kaedah fizik statistik mewakili persamaan keadaan gas yang terkenal dari sekolah menengah: https://pandia.ru/text/78/009/images/ image009_85.gif "width =" 16 " height = "17 src =">. gif "width =" 16 "height =" 17 "> - berat molekul gas. KEPADA - pemalar Rydberg... Kaedah statistik juga digunakan untuk mengira sifat larutan, hablur, elektron dalam logam. MM fizik statistik ialah asas teori termodinamik, yang mendasari pengiraan enjin, rangkaian pemanasan dan stesen.
Teori lapangan menerangkan dengan kaedah MM salah satu bentuk utama jirim - medan. Dalam kes ini, medan elektromagnet adalah kepentingan utama. Persamaan medan elektromagnet (elektrodinamik) diperolehi oleh Maxwell:, 
, , 
... Di sini dan https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif "width =" 16 "height =" 17 "> ialah ketumpatan cas, ialah ketumpatan semasa. Persamaan elektrodinamik mendasari pengiraan pembiakan gelombang elektromagnet diperlukan untuk menerangkan perambatan gelombang radio (radio, televisyen, selular), menerangkan operasi stesen radar.
Kimia boleh dibentangkan dalam dua aspek, menonjolkan kimia deskriptif - penemuan faktor kimia dan penerangannya - dan kimia teori - pembangunan teori yang membolehkan untuk menyamaratakan faktor yang telah ditetapkan dan mewakilinya dalam bentuk sistem tertentu (L. Pauling). ). Kimia teori juga dipanggil kimia fizik dan, pada asasnya, satu cabang fizik yang mengkaji bahan dan interaksinya. Oleh itu, semua yang telah dikatakan tentang fizik terpakai sepenuhnya untuk kimia. Bahagian kimia fizikal akan menjadi termokimia, yang mengkaji kesan haba tindak balas, kinetik kimia (kadar tindak balas), kimia kuantum (struktur molekul). Lebih-lebih lagi, tugas-tugas kimia adalah sangat kompleks. Jadi, sebagai contoh, untuk menyelesaikan masalah kimia kuantum - sains struktur atom dan molekul, program digunakan yang setanding dengan jumlahnya dengan program pertahanan udara negara. Sebagai contoh, untuk menerangkan molekul UCl4, yang terdiri daripada 5 nukleus atom dan + 17 * 4) elektron, anda perlu menulis persamaan gerakan - persamaan pembezaan separa.
Biologi
Matematik benar-benar datang ke biologi hanya pada separuh kedua abad ke-20. Percubaan pertama untuk menerangkan secara matematik proses biologi berkaitan dengan model dinamik populasi. Populasi ialah komuniti individu daripada satu spesies yang menduduki kawasan ruang tertentu di Bumi. Bidang biologi matematik ini, yang mengkaji perubahan saiz populasi dalam pelbagai keadaan (kehadiran spesies bersaing, pemangsa, penyakit, dll.), seterusnya berfungsi sebagai medan ujian matematik untuk model matematik dalam bidang biologi yang berbeza. Termasuk model evolusi, mikrobiologi, imunologi dan bidang lain yang berkaitan dengan populasi sel.
Model pertama yang diketahui yang dirumuskan dalam persekitaran biologi ialah siri Fibonacci yang terkenal (setiap nombor berikutnya ialah jumlah dua nombor sebelumnya), yang dipetik dalam karyanya oleh Leonardo dari Pisa pada abad ke-13. Ini adalah siri nombor yang menggambarkan bilangan pasangan arnab yang dilahirkan setiap bulan, jika arnab mula membiak dari bulan kedua dan memberikan anak dalam bentuk sepasang arnab setiap bulan. Satu baris mewakili urutan nombor: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
|
|
|
|
8, 13, …
Contoh lain ialah kajian proses pemindahan transmembran ionik pada membran dwilapisan tiruan. Di sini, untuk mengkaji undang-undang pembentukan liang yang melaluinya ion melalui membran ke dalam sel, adalah perlu untuk mencipta sistem model yang boleh dikaji secara eksperimen, dan yang mana penerangan fizikal yang dibangunkan dengan baik boleh digunakan.
Populasi Drosophila juga merupakan contoh klasik MM. Model yang lebih mudah ialah virus yang boleh disebarkan dalam tabung uji. Kaedah pemodelan dalam biologi ialah kaedah teori sistem dinamik, dan min ialah persamaan pembezaan dan perbezaan, kaedah teori kualitatif persamaan pembezaan, dan simulasi.
Matlamat pemodelan dalam biologi:
3. Penjelasan mekanisme interaksi elemen sistem
4. Pengenalpastian dan pengesahan parameter model berdasarkan data eksperimen.
5. Penilaian kestabilan sistem (model).
6. Ramalan tingkah laku sistem di bawah pelbagai pengaruh luar, cara yang berbeza pengurusan dan sebagainya.
7. Kawalan yang optimum sistem mengikut kriteria optimum yang dipilih.
teknik
Sebilangan besar pakar terlibat dalam peningkatan teknologi, yang dalam kerja mereka bergantung pada hasilnya kajian saintifik... Oleh itu, MM dalam teknologi adalah sama dengan MM sains semula jadi, yang disebutkan di atas.
Ekonomi dan proses sosial
Secara umum diterima bahawa pemodelan matematik sebagai kaedah untuk menganalisis proses makroekonomi pertama kali digunakan oleh doktor Raja Louis XV, Dr. Francois Quesnay, yang pada tahun 1758 menerbitkan karya "Economic table". Dalam karya ini, percubaan pertama dibuat untuk menggambarkan secara kuantitatif ekonomi negara. Dan pada tahun 1838 dalam buku itu O. Cournot Kaedah kuantitatif "Penyiasatan prinsip matematik teori kekayaan" pertama kali digunakan untuk menganalisis persaingan dalam pasaran untuk produk dalam pelbagai situasi pasaran.
Teori kependudukan Malthus juga diketahui secara meluas, di mana beliau mencadangkan satu idea: pertumbuhan penduduk jauh dari sentiasa diingini, dan pertumbuhan ini lebih cepat daripada kemungkinan yang semakin meningkat untuk menyediakan penduduk dengan makanan. Model matematik proses sedemikian agak mudah: Biarkan - pertumbuhan populasi pada masa itu https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif "width =" 15 "height =" 24 "> bilangannya adalah sama.Dan - pekali dengan mengambil kira kadar kelahiran dan kematian (orang/tahun).Kemudian
https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif "width =" 151 "height =" 41 src = "> Kaedah instrumental dan matematik" href = "/ text / category / instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi /" rel = "penanda halaman"> kaedah matematik analisis (contohnya, dalam beberapa dekad kebelakangan ini dalam bidang kemanusiaan, teori matematik pembangunan budaya telah muncul, model matematik mobilisasi, pembangunan kitaran proses sosiobudaya, model interaksi antara rakyat dan kerajaan, model perlumbaan senjata, dsb. . telah dibina dan disiasat).
Dalam istilah yang paling umum, proses MM proses sosio-ekonomi boleh dibahagikan secara bersyarat kepada empat peringkat:
Ambil perhatian bahawa, sebagai peraturan, proses pemodelan matematik adalah kitaran, kerana walaupun dalam kajian proses yang agak mudah, jarang mungkin untuk membina model matematik yang mencukupi dari langkah pertama dan memilih parameter yang tepat.
Pada masa ini, ekonomi dianggap sebagai sistem pembangunan yang kompleks, untuk penerangan kuantitatif yang model matematik dinamik dengan pelbagai darjah kerumitan digunakan. Salah satu hala tuju dalam kajian dinamik makroekonomi dikaitkan dengan pembinaan dan analisis model simulasi tak linear yang agak mudah yang mencerminkan interaksi pelbagai subsistem - pasaran buruh, pasaran komoditi, sistem kewangan, persekitaran semula jadi, dll.
Teori malapetaka sedang berjaya dibangunkan. Teori ini mempertimbangkan persoalan keadaan di mana perubahan dalam parameter sistem tak linear menyebabkan anjakan titik dalam ruang fasa, yang mencirikan keadaan sistem, dari kawasan tarikan kepada kedudukan awal keseimbangan di kawasan tarikan kepada kedudukan keseimbangan yang lain. Yang terakhir ini sangat penting bukan sahaja untuk analisis sistem teknikal, tetapi juga untuk memahami kestabilan proses sosio-ekonomi. Dalam hal ini, kesimpulan adalah menarik. tentang kepentingan kajian model tak linear untuk pengurusan. Dalam buku "The Theory of Catastrophes", yang diterbitkan pada tahun 1990, dia, khususnya, menulis: "... perestroika semasa sebahagian besarnya disebabkan oleh fakta bahawa sekurang-kurangnya beberapa mekanisme maklum balas (takut akan kemusnahan peribadi) telah mula beroperasi. ."
(parameter model)
Apabila membina model objek dan fenomena sebenar, seseorang sering perlu berurusan dengan kekurangan maklumat. Untuk objek yang dikaji, taburan sifat, parameter pendedahan dan keadaan awal diketahui dengan tahap ketidakpastian yang berbeza-beza. Apabila membina model, pilihan berikut untuk menerangkan parameter yang tidak ditentukan adalah mungkin:
Klasifikasi model matematik
(kaedah pelaksanaan)
Kaedah pelaksanaan MM boleh dikelaskan mengikut jadual di bawah.
Kaedah pelaksanaan MM Selalunya, penyelesaian analitikal untuk model dibentangkan dalam bentuk fungsi. Untuk mendapatkan nilai fungsi ini untuk nilai khusus parameter input, pengembangannya dalam siri (contohnya, Taylor) digunakan, dan nilai fungsi untuk setiap nilai argumen ditentukan lebih kurang. Model yang menggunakan teknik ini dipanggil dekat. Pada pendekatan berangka set hubungan matematik model digantikan dengan analog dimensi terhingga. Ini paling kerap dicapai dengan mendiskritkan hubungan awal, iaitu, dengan memindahkan daripada fungsi hujah berterusan kepada fungsi hujah diskret (kaedah grid). Penyelesaian yang ditemui selepas pengiraan pada komputer diambil sebagai penyelesaian anggaran kepada masalah asal. Majoriti sistem sedia ada adalah sangat kompleks, dan bagi mereka adalah mustahil untuk mencipta model sebenar yang diterangkan secara analitik. Sistem sedemikian harus dikaji menggunakan simulasi... Salah satu teknik utama simulasi dikaitkan dengan penggunaan penjana nombor rawak. Memandangkan sejumlah besar masalah diselesaikan dengan kaedah MM, kaedah pelaksanaan MM dikaji dalam lebih daripada satu kursus latihan. Berikut ialah persamaan pembezaan separa, kaedah berangka untuk menyelesaikan persamaan ini, matematik pengiraan, pemodelan komputer, dsb. Pauling, Linus Carl (), ahli kimia dan fizik Amerika, dihormati pada tahun 1954 hadiah Nobel dalam kimia untuk menyelidik sifat ikatan kimia dan menentukan struktur protein. Dilahirkan pada 28 Februari 1901 di Portland (Oregon). V membangunkan kaedah mekanik kuantum untuk mengkaji struktur molekul (bersama-sama dengan ahli fizik Amerika J. Slayer) - kaedah ikatan valens, serta teori resonans, yang memungkinkan untuk menerangkan struktur yang mengandungi karbon. sebatian, terutamanya sebatian siri aromatik. Semasa tempoh kultus personaliti USSR, saintis yang terlibat dalam kimia kuantum telah dianiaya dan dituduh "polingisme." Malthus, Thomas Robert (), ahli ekonomi Inggeris. Dilahirkan di Rookery berhampiran Dorking di Surrey pada 15 atau 17 Februari 1766. Pada tahun 1798 beliau menerbitkan tanpa nama Pengalaman tentang undang-undang penduduk. Pada tahun 1819 Malthus telah dipilih sebagai Felo Persatuan Diraja. |
S.P. BOBKOV, D.O. BYTEV
SISTEM PEMODELAN
Tutorial
Agensi Pendidikan Persekutuan
Institusi pendidikan pendidikan profesional tinggi negeri
Universiti Teknologi Kimia Negeri Ivanovo
Universiti Antarabangsa Perniagaan dan Teknologi Baharu (Institut)
S.P. BOBKOV, D.O. BYTEV
SISTEM PEMODELAN
Untuk pelajar universiti.
Bobkov S.P. Pemodelan sistem: buku teks. elaun / S.P. Bobkov,
SEBELUM. Bytev; Ivan. negeri kimia.-teknol. un-t. - Ivanovo, 2008 .-- 156 p. - ISBN
Sasaran panduan belajar- untuk memberi pelajar idea umum kaedah moden pemodelan teknikal dan teknikal sistem ekonomi dan objek.
Manual ini merangkumi isu umum dan metodologi moden
logik simulasi, mo- deterministik berterusan dan diskret
pembahagian objek dan sistem, model stokastik dengan masa diskret dan berterusan. Banyak perhatian diberikan kepada kaedah simulasi sistem dengan ciri kebarangkalian. Gambaran keseluruhan pendekatan lain untuk memodelkan sistem kompleks, seperti entropi maklumat, penggunaan rangkaian saraf dan jaring Petri, diberikan.
Manual ini bertujuan untuk pelajar yang belajar dalam kepakaran latihan 080801 "Informatik Gunaan" dan 230201
« Sistem maklumat dan teknologi". Di samping itu, manual boleh berguna untuk pelajar kepakaran dan bidang lain.
Jadual 7. Rajah 92. Bibliografi: 10 tajuk.
Diterbitkan oleh keputusan Majlis Editorial dan Penerbitan Ivanov-
Universiti Teknologi Kimia Negeri Skogo.
Pengulas:
Jabatan Matematik Gunaan, Universiti Kejuruteraan Kuasa Negeri Ivanovo; Doktor Sains Fizikal dan Matematik V.A. Sokolov (Universiti Negeri Yaroslavl).
ISBN 5-9616-0268-6 © GOU VPO Universiti Teknologi Kimia Negeri Ivanovo ", 2008
1.5. Konsep skema pemodelan matematik. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
1.6. Metodologi umum untuk mencipta model matematik. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... tiga belas
1.7. Konsep asas pendekatan sistematik untuk penciptaan
model matematik. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... enam belas
2. MODEL YANG DITETAPKAN. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... dua puluh
2.1. Model matematik objek teknikal. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... dua puluh
2.1.1. Persamaan fungsi komponen bagi objek. ... ... ... ... dua puluh
2.1.2. Pembolehubah fasa dan analoginya. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 23
2.1.3. Persamaan topologi. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 24
2.1.4. Contoh mencipta model objek teknikal. ... ... ... ... ... ... 25
2.1.5. Model radas teknologi. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 29
2.2. Mesin keadaan terhingga. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 31
2.2.1. Konsep mesin keadaan terhingga. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 31
2.2.2. Kaedah penerangan dan kelas mesin keadaan terhingga. ... ... ... ... ... ... ... 32
2.2.3. Lain-lain jenis mesin keadaan terhingga. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 37
3. MODEL STOKASTIC. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 39
3.1. Unsur-unsur teori Markov proses rawak. . . . . . . . . . . 39
3.1.1. Konsep proses rawak. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 39
3.1.2. Rantai Markov Diskret. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 40
3.1.3. Taburan kebarangkalian pegun. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 43
3.1.4. Rantai Markov berterusan. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 45
3.1.5. Persamaan A.N. Kolmogorov. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 46
3.1.6. Aliran peristiwa. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 48
3.2. Asas teori beratur. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 51
3.2.1. Gambar rajah blok umum QS. Parameter
dan ciri-ciri. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 52
3.2.2. Buka QS dengan menunggu dan permintaan pesakit. 58
3.2.3. Mengehadkan pilihan untuk QS terbuka. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 62
3.2.4 Kes umum QS terbuka. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 64
3.2.5. CMO tertutup. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 68
3.2.6. Rangkaian beratur
dengan aliran acara yang paling mudah. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 73
3.3. Automata kemungkinan. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 77
| 4. PERMODELAN TIruan. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.1. Penentuan kaedah simulasi. ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.2. Konsep asas simulasi. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.3. Peringkat utama simulasi. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.4. Masa dalam model simulasi. Pseudo-paralelisme. ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.5. Algoritma Simulasi Umum. ... ... ... ... ... ... | |
| 4.6. Simulasi faktor rawak. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.6.1. Asas pemodelan pembolehubah rawak. . . . . . . . . . . . | |
| 4.6.2. Memodelkan pembolehubah rawak berterusan | |
| Dengan pengedaran sewenang-wenangnya. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.6.3. Memodelkan pembolehubah rawak diskret. ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.6.4. Memodelkan peristiwa rawak dan alirannya. ... ... ... ... ... ... | |
| 4.7 Simulasi proses rawak. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.7.1 Rantaian Markov Diskret. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.7.2 Rantaian Markov Berterusan. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.8. Pemprosesan dan analisis hasil simulasi. | |
| 4.8.1. Anggaran parameter kebarangkalian. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.8.2. Anggaran parameter korelasi. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.8.3. Pengiraan parameter purata masa QS. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.9. Merancang eksperimen dengan model simulasi. ... ... ... ... | |
| 4.10. Masalah am simulasi. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 5. GAMBARAN KESELURUHAN PENDEKATAN ALTERNATIF UNTUK PEMODELAN | |
| SISTEM KOMPLEKS. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 5.1. Jaring petri. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 5.1.1. Definisi jaring Petri. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 5.1.2. Petri net berfungsi. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 5.1.3. Analisis jaring Petri. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 5.2. Rangkaian saraf. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 5.2.1. Konsep rangkaian saraf. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 5.2.2. Neuron buatan. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 5.2.3. Jenis utama fungsi pengaktifan buatan | |
| neuron. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 5.2.4. Jenis rangkaian saraf yang paling mudah. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 5.2.5. Rangkaian saraf berulang dan mengatur sendiri. ... ... | |
| 5.2.6. Nota am mengenai penggunaan rangkaian saraf. ... ... ... | |
| 5.3. Pendekatan entropi maklumat kepada pemodelan sistem | |
| SENARAI LITERATUR YANG DICADANGKAN. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| . . . . . . . . . |
PENGENALAN
Pemodelan ialah kaedah universal untuk mendapatkan dan menggunakan pengetahuan tentang dunia di sekeliling kita. Permodelan sentiasa digunakan oleh seseorang dalam aktiviti bertujuan, terutamanya dalam penyelidikan. Dalam keadaan moden, peranan dan kepentingan pemodelan matematik semakin meningkat, yang, dengan perkembangan teknologi komputer, sering dipanggil komputer.
Model matematik (komputer), kerana ketekalannya dan sifat formal yang ketat, memungkinkan untuk mengenal pasti faktor utama yang menentukan sifat sistem yang dikaji dan mengkaji tindak balasnya terhadap pengaruh luar dan menukar parameter. Model matematik selalunya lebih mudah dan senang digunakan berbanding model semula jadi (fizikal). Mereka memungkinkan untuk menjalankan eksperimen pengiraan, tetapan sebenar yang sukar atau mustahil.
Mempelajari prinsip asas pemodelan matematik adalah bahagian penting dalam latihan pakar dalam bidang aktiviti teknikal. Disiplin yang berkaitan dengan kajian aspek utama objek pemodelan dan sistem wajib dimasukkan ke dalam kurikulum yang sepadan, sebagai komponen standard pendidikan persekutuan.
Tujuan tutorial ini adalah untuk menyediakan persembahan yang konsisten tentang teknik pemodelan moden. Manual ini bertujuan terutamanya untuk pelajar yang mendaftar dalam kepakaran dan bidang "Sistem maklumat" dan "Informatik gunaan (mengikut industri." - sistem onny, tetapi juga termasuk dalam pertimbangan teks sistem dan objek teknikal dan teknikal dan ekonomi.
Bahan manual disusun seperti berikut. Bab pertama mengkaji isu umum dan metodologi pemodelan moden, penggunaan pendekatan sistematik dalam penciptaan model matematik. Bab kedua ditumpukan kepada pertimbangan model deterministik berterusan dan diskret bagi objek dan sistem. Adalah dicadangkan untuk menggunakan kaedah analog dalam sintesis dan analisis model objek teknikal pelbagai sifat fizikal. Bab ketiga mengkaji model stokastik dengan masa diskret dan berterusan. Banyak perhatian dalam manual diberikan kepada kaedah simulasi sistem dengan ciri kebarangkalian, yang merupakan kandungan bab keempat. Bab kelima memberikan gambaran keseluruhan pendekatan lain untuk memodelkan sistem yang kompleks, seperti entropi maklumat, penggunaan rangkaian saraf dan jaring Petri.
KONSEP AM PERMODELAN MATEMATIK
Dari pertengahan abad XX. dalam pelbagai bidang aktiviti manusia, kaedah matematik dan komputer mula digunakan secara meluas. Disiplin baru seperti "ekonomi matematik", "kimia matematik", "linguistik matematik", dll., telah muncul yang mengkaji model matematik objek dan fenomena yang sepadan, serta kaedah untuk mengkaji model ini.
Model matematik ialah huraian anggaran kelas fenomena atau objek dunia sebenar dalam bahasa matematik. Tujuan utama pemodelan adalah untuk menyiasat objek ini dan meramalkan hasil pemerhatian masa hadapan. Walau bagaimanapun, pemodelan juga merupakan kaedah untuk mengenali dunia sekeliling, yang memungkinkan untuk mengawalnya.
Pemodelan matematik dan eksperimen komputer yang berkaitan adalah amat diperlukan dalam kes di mana percubaan semula jadi adalah mustahil atau sukar untuk satu sebab atau yang lain. Sebagai contoh, adalah mustahil untuk menyediakan eksperimen semula jadi dalam sejarah untuk menyemak "apa yang akan berlaku jika ..." Tidak mustahil untuk mengesahkan ketepatan satu atau teori kosmologi yang lain. Pada dasarnya, adalah mungkin, tetapi tidak munasabah, untuk bereksperimen dengan penyebaran penyakit, seperti wabak, atau melakukan letupan nuklear untuk mengkaji akibatnya. Walau bagaimanapun, semua ini boleh dilakukan pada komputer, setelah membina model matematik fenomena yang dikaji sebelum ini.
1) Membina model... Pada peringkat ini, objek "bukan matematik" tertentu ditetapkan - fenomena semula jadi, reka bentuk, rancangan ekonomi, proses pengeluaran, dll. Dalam kes ini, sebagai peraturan, penerangan yang jelas tentang keadaan adalah sukar. Pertama, ciri-ciri utama fenomena dan hubungan antara mereka pada tahap kualitatif dikenal pasti. Kemudian kebergantungan kualitatif yang ditemui dirumuskan dalam bahasa matematik, iaitu model matematik dibina. Ini adalah peringkat pemodelan yang paling sukar.
2) Penyelesaian masalah matematik yang dibawa oleh model... Pada peringkat ini, banyak perhatian diberikan kepada pembangunan algoritma dan kaedah berangka menyelesaikan masalah pada komputer, dengan bantuan yang hasilnya boleh didapati dengan ketepatan yang diperlukan dan dalam masa yang munasabah.
3) Tafsiran akibat yang diperoleh daripada model matematik. Akibat yang diperoleh daripada model dalam bahasa matematik ditafsirkan dalam bahasa yang diterima dalam bidang yang diberikan.
4) Menyemak kecukupan model. Pada peringkat ini, dipastikan sama ada keputusan eksperimen bersetuju dengan akibat teori model dalam ketepatan tertentu.
5) Pengubahsuaian model. Pada peringkat ini, terdapat sama ada kerumitan model supaya ia lebih memadai kepada realiti, atau pemudahannya untuk mencapai penyelesaian yang boleh diterima secara praktikal.
Model boleh dikelaskan mengikut pelbagai kriteria. Sebagai contoh, mengikut sifat masalah yang sedang diselesaikan, model boleh dibahagikan kepada fungsi dan struktur. Dalam kes pertama, semua kuantiti yang mencirikan fenomena atau objek dinyatakan secara kuantitatif. Dalam kes ini, sesetengah daripada mereka dianggap sebagai pembolehubah bebas, manakala yang lain - sebagai fungsi kuantiti ini. Model matematik biasanya merupakan sistem persamaan pelbagai jenis (pembezaan, algebra, dll.) yang mewujudkan hubungan kuantitatif antara kuantiti yang dipertimbangkan. Dalam kes kedua, model itu mencirikan struktur objek kompleks, yang terdiri daripada bahagian yang berasingan, di antaranya terdapat sambungan tertentu. Biasanya, hubungan ini tidak boleh diukur. Ia adalah mudah untuk menggunakan teori graf untuk membina model sedemikian. Graf ialah objek matematik yang merupakan satu set titik (bucu) pada satah atau dalam ruang, sebahagian daripadanya disambungkan dengan garis (tepi).
Mengikut sifat data awal dan keputusan ramalan, model boleh dibahagikan kepada deterministik dan probabilistik-statistik. Model jenis pertama memberikan ramalan yang pasti dan tidak jelas. Model jenis kedua adalah berdasarkan maklumat statistik, dan ramalan yang diperoleh dengan bantuannya adalah bersifat probabilistik.
1) Masalah tentang pergerakan peluru.
Pertimbangkan masalah berikut dalam mekanik.
Peluru itu dilancarkan dari Bumi dengan halaju awal v 0 = 30 m / s pada sudut a = 45 ° ke permukaannya; ia dikehendaki mencari trajektori pergerakannya dan jarak S antara titik mula dan tamat trajektori ini.
Kemudian, seperti yang diketahui dari kursus fizik sekolah, pergerakan peluru diterangkan oleh formula:
di mana t ialah masa, g = 10 m / s 2 ialah pecutan graviti. Formula ini memberikan model matematik tugasan yang ada. Menyatakan t dalam sebutan x daripada persamaan pertama dan menggantikannya kepada yang kedua, kita memperoleh persamaan untuk trajektori peluru itu:
Lengkung ini (parabola) memotong paksi-x pada dua titik: x 1 = 0 (permulaan trajektori) dan 
(tempat peluru jatuh). Menggantikan nilai yang diberikan v0 dan a ke dalam formula yang terhasil, kami memperoleh
jawapan: y = x - 90x 2, S = 90 m.
Ambil perhatian bahawa dalam pembinaan model ini, beberapa andaian telah digunakan: sebagai contoh, diandaikan bahawa Bumi adalah rata, dan udara serta putaran Bumi tidak menjejaskan pergerakan peluru.
2) Masalah tangki yang mempunyai luas permukaan paling kecil.
Ia dikehendaki mencari ketinggian h 0 dan jejari r 0 tangki timah isipadu V = 30 m 3, mempunyai bentuk silinder bulat tertutup, di mana luas permukaannya S adalah minimum (dalam kes ini, yang terkecil jumlah bijih timah akan digunakan untuk pengeluarannya).
Mari kita tulis formula berikut untuk isipadu dan luas permukaan silinder dengan ketinggian h dan jejari r:
V = p r 2 h, S = 2p r (r + h).
Menyatakan h dalam sebutan r dan V daripada formula pertama dan menggantikan ungkapan yang terhasil kepada yang kedua, kita dapat:
Oleh itu, dari sudut pandangan matematik, masalah dikurangkan kepada menentukan nilai r sedemikian di mana fungsi S (r) mencapai minimumnya. Mari kita cari nilai-nilai r 0 yang mana terbitannya
lenyap: 
Anda boleh menyemak bahawa terbitan kedua bagi fungsi S (r) menukar tanda daripada tolak kepada tambah apabila hujah r melalui titik r 0. Oleh itu, pada titik r0 fungsi S (r) mempunyai minimum. Nilai yang sepadan ialah h 0 = 2r 0. Menggantikan nilai V yang diberikan ke dalam ungkapan untuk r 0 dan h 0, kami memperoleh jejari yang diperlukan 
dan ketinggian 
3) Masalah pengangkutan.
Terdapat dua gudang tepung dan dua kedai roti di bandar ini. Setiap hari, 50 tan tepung diangkut dari gudang pertama, dan dari gudang kedua - 70 tan ke kilang, dan ke yang pertama - 40 tan, dan ke kedua - 80 tan.
Mari kita nyatakan dengan a ij kos pengangkutan 1 tan tepung dari gudang ke-i ke loji ke-j (i, j = 1,2). biarlah
a 11 = 1.2 p., a 12 = 1.6 p., a 21 = 0.8 p., a 22 = 1 p.
Bagaimanakah anda harus merancang pengangkutan supaya kos mereka adalah minimum?
Mari kita berikan masalah rumusan matematik. Mari kita nyatakan dengan x 1 dan x 2 jumlah tepung yang perlu diangkut dari gudang pertama ke kilang pertama dan kedua, dan melalui x 3 dan x 4 - masing-masing dari gudang kedua ke kilang pertama dan kedua. Kemudian:
x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)
Jumlah kos semua pengangkutan ditentukan oleh formula
f = 1.2x 1 + 1.6x 2 + 0.8x 3 + x 4.
Dari sudut matematik, tugasnya adalah untuk mencari empat nombor x 1, x 2, x 3 dan x 4, memenuhi semua syarat yang diberikan dan memberikan minimum fungsi f. Mari kita selesaikan sistem persamaan (1) untuk xi (i = 1, 2, 3, 4) dengan menghapuskan yang tidak diketahui. Kami dapat itu
x 1 = x 4 - 30, x 2 = 80 - x 4, x 3 = 70 - x 4, (2)
dan x 4 tidak boleh ditentukan secara unik. Oleh kerana x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), ia mengikuti daripada persamaan (2) bahawa 30Ј x 4 Ј 70. Menggantikan ungkapan untuk x 1, x 2, x 3 ke dalam formula untuk f, kita dapat
f = 148 - 0.2x 4.
Adalah mudah untuk melihat bahawa minimum fungsi ini dicapai pada nilai maksimum yang mungkin x 4, iaitu, pada x 4 = 70. Nilai sepadan yang tidak diketahui lain ditentukan oleh formula (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.
4) Masalah pereputan radioaktif.
Biarkan N (0) ialah bilangan awal atom bahan radioaktif, dan N (t) bilangan atom tidak reput pada masa t. Telah terbukti secara eksperimen bahawa kadar perubahan dalam bilangan atom ini N "(t) adalah berkadar dengan N (t), iaitu, N" (t) = - l N (t), l> 0 ialah pemalar radioaktiviti bahan tertentu. Kursus sekolah dalam analisis matematik menunjukkan bahawa penyelesaian untuk ini persamaan pembezaan mempunyai bentuk N (t) = N (0) e –l t. Masa T, di mana bilangan atom awal telah menjadi separuh, dipanggil separuh hayat, dan merupakan ciri penting keradioaktifan sesuatu bahan. Untuk menentukan T, seseorang mesti memasukkan formula 
Kemudian 
Sebagai contoh, untuk radon l = 2.084 · 10 –6, dan oleh itu T = 3.15 hari.
5) Masalah jurujual melancong.
Jurujual mengembara yang tinggal di bandar A 1 mesti melawat bandar A 2, A 3 dan A 4, setiap bandar tepat sekali, dan kemudian kembali ke A 1. Adalah diketahui bahawa semua bandar dihubungkan secara berpasangan melalui jalan raya, dan panjang jalan b ij antara bandar A i dan A j (i, j = 1, 2, 3, 4) adalah seperti berikut:
b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.
Ia adalah perlu untuk menentukan susunan melawat bandar, di mana panjang laluan yang sepadan adalah minimum.
Mari kita wakili setiap bandar dengan satu titik pada satah dan tandakannya dengan label Ai yang sepadan (i = 1, 2, 3, 4). Mari kita sambungkan titik ini dengan segmen garis lurus: ia akan mewakili jalan antara bandar. Untuk setiap "jalan" kami akan menunjukkan panjangnya dalam kilometer (Rajah 2). Hasilnya ialah graf - objek matematik yang terdiri daripada satu set titik pada satah (dipanggil bucu) dan satu set garis yang menghubungkan titik-titik ini (dipanggil tepi). Selain itu, graf ini dilabelkan, kerana beberapa label ditetapkan pada bucu dan tepinya - nombor (tepi) atau simbol (bucu). Kitaran pada graf ialah jujukan bucu V 1, V 2, ..., V k, V 1 supaya bucu V 1, ..., V k adalah berbeza, dan mana-mana pasangan bucu V i, V i + 1 (i = 1, ..., k - 1) dan pasangan V 1, V k disambungkan dengan tepi. Oleh itu, masalah yang sedang dipertimbangkan adalah untuk mencari kitaran sedemikian pada graf yang melalui keempat-empat bucu yang mana jumlah semua pemberat tepi adalah minimum. Marilah kita mencari melalui carian menyeluruh semua kitaran berbeza yang melalui empat bucu dan bermula pada A 1:
1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.
Sekarang mari kita cari panjang kitaran ini (dalam km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Jadi, laluan bagi panjang terpendek ialah yang pertama.
Perhatikan bahawa jika terdapat n bucu dalam graf dan semua bucu disambungkan secara berpasangan dengan tepi (graf sedemikian dipanggil lengkap), maka bilangan kitaran yang melalui semua bucu adalah Akibatnya, dalam kes kita terdapat betul-betul tiga kitaran .
6) Masalah mencari hubungan antara struktur dan sifat bahan.
Pertimbangkan beberapa sebatian kimia yang dipanggil alkana normal. Ia terdiri daripada n atom karbon dan n + 2 atom hidrogen (n = 1, 2 ...), saling berkaitan seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 3 untuk n = 3. Biarkan nilai eksperimen takat didih sebatian ini diketahui:
y e (3) = - 42 °, y e (4) = 0 °, y e (5) = 28 °, y e (6) = 69 °.
Ia diperlukan untuk mencari hubungan anggaran antara takat didih dan nombor n bagi sebatian ini. Mari kita anggap bahawa pergantungan ini mempunyai bentuk
y" a n + b,
di mana a, b - pemalar untuk ditentukan. Untuk mencari a dan b kita gantikan n = 3, 4, 5, 6 dan takat didih yang sepadan ke dalam formula ini secara berturut-turut. Kami ada:
- 42" 3 a+ b, 0 "4 a+ b, 28" 5 a+ b, 69 "6 a+ b.
Untuk menentukan yang terbaik a dan b terdapat banyak kaedah yang berbeza. Mari kita gunakan yang paling mudah daripada mereka. Mari kita nyatakan b dalam sebutan a daripada persamaan ini:
b "- 42 - 3 a, b "- 4 a, b "28 - 5 a, b "69 - 6 a.
Mari kita ambil sebagai b yang diperlukan min aritmetik bagi nilai-nilai ini, iaitu, kita letakkan b »16 - 4.5 a... Kami menggantikan nilai b ini dan ke dalam sistem persamaan asal, mengira a, kita dapat untuk a nilai berikut: a"37, a"28, a"28, a“36. Ambil mengikut keperluan a purata nombor ini, iaitu, kita letakkan a»34. Jadi, persamaan yang diperlukan mempunyai bentuk
y "34n - 139.
Mari kita semak ketepatan model untuk empat sebatian awal, yang mana kita mengira takat didih menggunakan formula yang diperoleh:
y р (3) = - 37 °, y р (4) = - 3 °, y р (5) = 31 °, y р (6) = 65 °.
Oleh itu, ralat dalam mengira sifat ini untuk sebatian ini tidak melebihi 5 °. Kami menggunakan persamaan yang diperolehi untuk mengira takat didih sebatian dengan n = 7, yang tidak termasuk dalam set asal, yang mana kami menggantikan n = 7 ke dalam persamaan ini: y p (7) = 99 °. Hasilnya agak tepat: diketahui bahawa nilai eksperimen takat didih y e (7) = 98 °.
7) Masalah menentukan kebolehpercayaan litar elektrik.
Di sini kita akan melihat contoh model kebarangkalian. Pertama, kami memberikan beberapa maklumat daripada teori kebarangkalian - disiplin matematik yang mengkaji corak fenomena rawak yang diperhatikan dengan pengulangan berulang eksperimen. Mari kita panggil peristiwa rawak A sebagai hasil yang mungkin bagi beberapa eksperimen. Peristiwa A 1, ..., A k membentuk kumpulan lengkap jika, hasil daripada eksperimen, salah satu daripadanya semestinya berlaku. Peristiwa dipanggil tidak konsisten jika ia tidak boleh berlaku serentak dalam pengalaman yang sama. Katakan bahawa selepas eksperimen diulang n kali, peristiwa A berlaku m kali. Kekerapan kejadian A ialah nombor W =. Jelas sekali, nilai W tidak boleh diramal dengan tepat sebelum menjalankan satu siri n eksperimen. Walau bagaimanapun, sifat kejadian rawak adalah sedemikian rupa sehingga dalam amalan kesan berikut kadangkala diperhatikan: dengan peningkatan dalam bilangan eksperimen, nilai secara praktikal tidak lagi rawak dan stabil di sekitar beberapa nombor bukan rawak P (A), dipanggil kebarangkalian kejadian A. Untuk peristiwa mustahil (yang tidak pernah berlaku dalam eksperimen) P (A) = 0, dan untuk peristiwa yang boleh dipercayai (yang sentiasa berlaku dalam eksperimen) P (A) = 1. Jika peristiwa A 1, ..., A k membentuk kumpulan lengkap peristiwa tidak serasi, maka P (A 1) + ... + P (A k) = 1.
Sebagai contoh, katakan eksperimen itu terdiri daripada membaling dadu dan memerhati bilangan mata yang dijatuhkan X. Kemudian kita boleh memperkenalkan peristiwa rawak berikut A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Ia membentuk a kumpulan lengkap peristiwa boleh sama yang tidak serasi, oleh itu P (A i) = (i = 1, ..., 6).
Jumlah peristiwa A dan B dipanggil peristiwa A + B, terdiri daripada fakta bahawa sekurang-kurangnya satu daripadanya berlaku dalam pengalaman. Hasil darab peristiwa A dan B dipanggil peristiwa AB, yang terdiri daripada kejadian serentak peristiwa ini. Untuk peristiwa bebas A dan B, formula berikut dipegang:
P (AB) = P (A) P (B), P (A + B) = P (A) + P (B).
8) Pertimbangkan sekarang perkara berikut tugasan... Katakan bahawa tiga elemen disambung secara bersiri dalam litar elektrik, beroperasi secara bebas antara satu sama lain. Kebarangkalian kegagalan unsur ke-1, ke-2 dan ke-3 adalah, masing-masing, P 1 = 0.1, P 2 = 0.15, P 3 = 0.2. Kami akan menganggap litar boleh dipercayai jika kebarangkalian bahawa tiada arus dalam litar adalah tidak lebih daripada 0.4. Ia diperlukan untuk menentukan sama ada litar yang diberikan boleh dipercayai.
Oleh kerana unsur-unsur disambungkan secara bersiri, tidak akan ada arus dalam litar (peristiwa A) jika sekurang-kurangnya salah satu elemen gagal. Biarkan A i menjadi peristiwa itu unsur ke-i berfungsi (i = 1, 2, 3). Kemudian P (A1) = 0.9, P (A2) = 0.85, P (A3) = 0.8. Jelas sekali, A 1 A 2 A 3 ialah peristiwa yang ketiga-tiga elemen berfungsi serentak, dan
P (A 1 A 2 A 3) = P (A 1) P (A 2) P (A 3) = 0.612.
Kemudian P (A) + P (A 1 A 2 A 3) = 1, oleh itu P (A) = 0.388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.
Sebagai kesimpulan, kami ambil perhatian bahawa contoh model matematik yang diberikan (antaranya terdapat fungsi dan struktur, deterministik dan kemungkinan) adalah bersifat ilustrasi dan, jelas sekali, tidak meletihkan keseluruhan variasi model matematik yang timbul dalam sains semula jadi dan kemanusiaan. .
1,
2
,
3,
5,
