Ang axis ay ang direksyon. Samakatuwid, ang projection sa isang axis o papunta sa isang direktang linya ay itinuturing na pareho. Ang projection ay maaaring algebraic o geometric. Sa mga geometric na termino, ang projection ng isang vector sa isang axis ay nauunawaan bilang isang vector, at sa algebraic terms, ito ay isang numero. Iyon ay, ang mga konsepto ng projection ng isang vector sa isang axis at ang numerical projection ng isang vector sa isang axis ay ginagamit.
Kung mayroon tayong axis L at isang di-zero na vector A B → , maaari tayong bumuo ng vector A 1 B 1 ⇀ , na nagsasaad ng mga projection ng mga puntos nito A 1 at B 1 .
A 1 B → 1 ang magiging projection ng vector A B → papunta sa L .
Kahulugan 1
Ang projection ng vector papunta sa axis tinatawag ang isang vector, ang simula at dulo nito ay mga projection ng simula at pagtatapos ng ibinigay na vector. n p L A B → → kaugalian na tukuyin ang projection ng A B → sa L . Upang makabuo ng projection sa L, ibaba ang mga patayo sa L.
Halimbawa 1
Isang halimbawa ng projection ng isang vector sa isang axis.
Sa coordinate plane O x y, tinukoy ang isang puntong M 1 (x 1, y 1). Kinakailangang bumuo ng mga projection sa O x at O y para sa imahe ng radius vector ng puntong M 1 . Kunin natin ang mga coordinate ng mga vectors (x 1 , 0) at (0 , y 1) .
Kung pinag-uusapan natin ang projection ng a → sa isang non-zero b → o ang projection ng a → papunta sa direksyon b → , ibig sabihin ang projection ng a → papunta sa axis kung saan ang direksyon b → coincides. Ang projection a → papunta sa linyang tinukoy ng b → ay denote n p b → a → → . Alam na kapag ang anggulo ay nasa pagitan ng a → at b → , maaari nating isaalang-alang ang n p b → a → → at b → codirectional. Sa kaso kapag ang anggulo ay malabo, ang n p b → a → → at b → ay magkasalungat na nakadirekta. Sa sitwasyon ng perpendicularity a → at b → , at a → ay zero, ang projection ng a → kasama ang direksyon b → ay isang zero vector.
Ang numerical na katangian ng projection ng isang vector sa isang axis ay ang numerical na projection ng isang vector sa isang ibinigay na axis.
Kahulugan 2
Numerical projection ng vector papunta sa axis tumawag sa isang numero na katumbas ng produkto ng haba ng isang naibigay na vector at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng ibinigay na vector at ang vector na tumutukoy sa direksyon ng axis.
Ang numerical projection ng A B → sa L ay ipinapahiwatig n p L A B → , at a → sa b → - n p b → a → .
Batay sa formula, nakukuha natin ang npb → a → = a → · cos a → , b → ^ , kung saan ang a → ay ang haba ng vector a → , a ⇀ , b → ^ ay ang anggulo sa pagitan ng mga vectors a → at b → .
Nakukuha namin ang formula para sa pagkalkula ng numerical projection: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Naaangkop ito para sa mga kilalang haba a → at b → at ang anggulo sa pagitan ng mga ito. Ang formula ay naaangkop para sa mga kilalang coordinate a → at b → , ngunit mayroong isang pinasimpleng bersyon nito.
Halimbawa 2
Alamin ang numerical projection a → papunta sa isang tuwid na linya sa direksyon b → na may haba a → katumbas ng 8 at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay 60 degrees. Sa kundisyon mayroon tayong ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° . Kaya, pinapalitan natin ang mga numerical value sa formula n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .
Sagot: 4.
Sa kilalang cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , mayroon tayong → , b → bilang scalar product ng a → at b → . Kasunod mula sa formula n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , mahahanap natin ang numerical projection a → nakadirekta kasama ang vector b → at makuha ang n p b → a → = a → , b → b → . Ang pormula ay katumbas ng kahulugang ibinigay sa simula ng sugnay.
Kahulugan 3
Ang numerical projection ng vector a → papunta sa axis na tumutugma sa direksyon ng b → ay ang ratio ng scalar product ng mga vectors a → at b → sa haba b → . Ang formula n p b → a → = a → , b → b → ay naaangkop para sa paghahanap ng numerical projection ng a → papunta sa isang tuwid na linya na tumutugma sa direksyon ng b → , na may alam na a → at b → coordinate.
Halimbawa 3
Ibinigay b → = (- 3 , 4) . Hanapin ang numerical projection a → = (1 , 7) sa L .
Solusyon
Sa coordinate plane npb → a → = a → , b → b → ay may anyo npb → a → = a → , b → b → = ax bx + ay bybx 2 + by 2 , para sa a → = (ax , ay ) at b → = bx , ni . Upang mahanap ang numerical projection ng vector a → papunta sa L axis, kailangan mo: np L a → = npb → a → = a → , b → b → = ax bx + ay bybx 2 + by 2 = 1 (- 3 ) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5 .
Sagot: 5.
Halimbawa 4
Hanapin ang projection a → sa L , na tumutugma sa direksyon b → , kung saan mayroong → = - 2 , 3 , 1 at b → = (3 , - 2 , 6) . Ang isang three-dimensional na espasyo ay ibinigay.
Solusyon
Given a → = a x , a y , a z at b → = b x , b y , b z kalkulahin ang scalar product: a ⇀ , b → = a x b x + a y b y + a z b z . Nahanap namin ang haba b → sa pamamagitan ng formula b → = b x 2 + b y 2 + b z 2. Ito ay sumusunod na ang formula para sa pagtukoy ng numerical projection a → ay magiging: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .
Palitan ang mga numerical value: np L a → = npb → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .
Sagot: - 6 7 .
Tingnan natin ang koneksyon sa pagitan ng isang → sa L at ang haba ng projection ng isang → sa L . Gumuhit ng isang axis L sa pamamagitan ng pagdaragdag ng isang → at b → mula sa isang punto sa L , pagkatapos ay gumuhit kami ng isang patayo na linya mula sa dulo ng isang → hanggang L at i-project sa L . Mayroong 5 mga pagkakaiba-iba ng larawan:
Una ang kaso kapag ang a → = npb → a → → ay nangangahulugang a → = npb → a → → , kaya npb → a → = a → cos (a , → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = npb → isang → → .
Pangalawa ang kaso ay nagpapahiwatig ng paggamit ng n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → , kaya n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .
Ang pangatlo Ipinapaliwanag ng kaso na bilang npb → a → → = 0 → nakukuha natin npb ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0, pagkatapos npb → a → → = 0 at npb → a → = 0 = npb → a → → .
Pang-apat kaso ay nagpapakita ng npb → a → → = a → cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^) , sumusunod sa npb → a → = a → cos (a → , b → ^) = - npb → a → → .
Panglima ang kaso ay nagpapakita ng isang → = npb → a → → , na nangangahulugang a → = npb → a → → , kaya mayroon kaming npb → a → = a → cos a → , b → ^= a → cos 180 ° = - a → = - npb → a → .
Kahulugan 4
Ang numerical projection ng vector a → sa axis L , na nakadirekta tulad ng b → , ay may kahulugan:
Halimbawa 5
Dahil sa haba ng projection a → papunta sa L , katumbas ng 2 . Hanapin ang numerical projection a → ibinigay na ang anggulo ay 5 π 6 radians.
Solusyon
Makikita mula sa kondisyon na ang anggulong ito ay malabo: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .
Sagot: - 2.
Halimbawa 6
Ibinigay ang isang eroplanong O x y z na may haba ng vector a → katumbas ng 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) na may anggulo na 30 degrees. Hanapin ang mga coordinate ng projection a → papunta sa L axis.
Solusyon
Una, kinakalkula namin ang numerical projection ng vector a → : n p L a → = n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9 .
Sa kondisyon, ang anggulo ay talamak, pagkatapos ang numerical projection a → = ay ang haba ng projection ng vector a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Ang kasong ito ay nagpapakita na ang mga vectors n p L a → → at b → ay co-directed, na nangangahulugan na mayroong isang numerong t kung saan ang pagkakapantay-pantay ay totoo: n p L a → → = t · b → . Mula dito makikita natin na np L a → → = tb → , para mahanap natin ang value ng parameter t: t = np L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .
Pagkatapos np L a → → = 3 b → na may mga coordinate ng projection ng vector a → papunta sa L axis ay b → = (- 2 , 1 , 2) , kung saan kinakailangan upang i-multiply ang mga halaga sa pamamagitan ng 3 Mayroon kaming np L a → → = (- 6 , 3 , 6). Sagot: (- 6 , 3 , 6) .
Kinakailangang ulitin ang naunang pinag-aralan na impormasyon tungkol sa kondisyon ng vector collinearity.
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
projection vector sa isang axis ay tinatawag na vector, na nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng scalar projection ng isang vector sa axis na ito at ang unit vector ng axis na ito. Halimbawa, kung ang isang x ay scalar projection vector ngunit sa x-axis, pagkatapos ay isang x i- ang vector projection nito sa axis na ito.
Magpakilala projection ng vector tulad ng vector mismo, ngunit may index ng axis kung saan ang vector ay inaasahang. Kaya, ang vector projection ng vector ngunit sa x-axis ay nagsasaad ngunit x ( mamantika isang titik na nagsasaad ng vector at isang subscript ng pangalan ng axis) o (isang hindi naka-bold na titik na nagsasaad ng vector, ngunit may arrow sa itaas (!) at isang subscript ng pangalan ng axis).
Scalar projection vector per axis ay tinatawag numero, ang absolute value na katumbas ng haba ng segment ng axis (sa napiling scale) na nakapaloob sa pagitan ng mga projection ng start point at end point ng vector. Kadalasan sa halip na expression scalar projection sabihin lang- projection. Ang projection ay tinutukoy ng parehong titik bilang ang projected vector (sa normal, hindi naka-bold na pagsulat), na may subscript (karaniwan) ng pangalan ng axis kung saan ang vector na ito ay inaasahang. Halimbawa, kung ang isang vector ay naka-project sa x-axis ngunit, pagkatapos nito projection ay denoted a x . Kapag ipino-project ang parehong vector sa isa pang axis, kung ang axis ay Y , ang projection nito ay ide-denote bilang y .
Upang kalkulahin ang projection vector sa isang axis (halimbawa, ang X axis) kinakailangang ibawas ang coordinate ng start point mula sa coordinate ng end point nito, iyon ay
at x \u003d x k - x n.
Ang projection ng isang vector sa isang axis ay isang numero. Bukod dito, ang projection ay maaaring maging positibo kung ang halaga ng x k ay mas malaki kaysa sa halaga ng x n,
negatibo kung ang halaga ng x k ay mas mababa sa halaga ng x n
at katumbas ng zero kung ang x k ay katumbas ng x n.
Ang projection ng isang vector sa isang axis ay maaari ding matagpuan sa pamamagitan ng pag-alam sa modulus ng vector at ang anggulo na ginagawa nito sa axis na iyon.
Makikita mula sa pigura na ang isang x = isang Cos α
ibig sabihin, ang projection ng vector papunta sa axis ay katumbas ng produkto ng modulus ng vector at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng direksyon ng axis at direksyon ng vector. Kung ang anggulo ay talamak, kung gayon
Cos α > 0 at a x > 0, at kung mahina, kung gayon ang cosine ng isang obtuse na anggulo ay negatibo, at ang projection ng vector sa axis ay magiging negatibo din.
Ang mga anggulo na binibilang mula sa axis na pakaliwa ay itinuturing na positibo, at habang nasa daan - negatibo. Gayunpaman, dahil ang cosine ay isang even function, iyon ay, Cos α = Cos (− α), kapag kinakalkula ang mga projection, ang mga anggulo ay maaaring bilangin sa parehong clockwise at counterclockwise.
Upang mahanap ang projection ng isang vector sa isang axis, ang module ng vector na ito ay dapat na i-multiply sa cosine ng anggulo sa pagitan ng direksyon ng axis at ng direksyon ng vector.
Vector coordinate ay ang mga coefficient ng tanging posibleng linear na kumbinasyon ng mga batayang vector sa napiling coordinate system na katumbas ng ibinigay na vector.
nasaan ang mga coordinate ng vector.
Tuldok na produkto ng mga vector
PRODUKTO NG SCOAL NG MGA VECTOR[- sa may hangganan-dimensional espasyo ng vector ay tinukoy bilang ang kabuuan ng mga produkto ng parehong mga bahagi ng pinarami mga vector.
Halimbawa, S. p. a = (a 1 , ..., isang n) At b = (b 1 , ..., b n):
(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n
ngunit. Ang projection ng point A papunta sa axis PQ (Fig. 4) ay ang base a ng perpendicular na bumaba mula sa isang naibigay na punto patungo sa isang naibigay na axis. Ang axis kung saan namin pino-project ay tinatawag na projection axis.
b. Hayaang maibigay ang dalawang axes at isang vector A B, tulad ng ipinapakita sa Fig. lima.
Ang vector na ang simula ay ang projection ng simula at ang katapusan - ang projection ng dulo ng vector na ito, ay tinatawag na projection ng vector A B sa PQ axis, Ito ay nakasulat tulad nito;
Minsan ang indicator ng PQ ay hindi nakasulat sa ibaba, ito ay ginagawa sa mga kaso kung saan, bukod sa PQ, walang ibang axis na maaaring i-project.
mula sa. Theorem I. Ang mga halaga ng mga vector na nakahiga sa parehong axis ay nauugnay bilang ang mga halaga ng kanilang mga projection sa anumang axis.
Hayaang ibigay ang mga axes at vectors na ipinapakita sa Fig. 6. Mula sa pagkakatulad ng mga triangles, makikita na ang mga haba ng mga vector ay nauugnay bilang ang mga haba ng kanilang mga projection, i.e.
Dahil ang mga vector sa pagguhit ay nakadirekta sa iba't ibang direksyon, ang kanilang mga magnitude ay may iba't ibang mga halaga, samakatuwid,
Malinaw, ang mga halaga ng projection ay mayroon ding ibang tanda:
pinapalitan ang (2) sa (3) sa (1), makuha natin
Binabaliktad ang mga palatandaan, nakukuha namin
Kung ang mga vector ay pantay na nakadirekta, magkakaroon ng isang direksyon at ang kanilang mga projection; walang magiging minus sign sa mga formula (2) at (3). Ang pagpapalit ng (2) at (3) sa pagkakapantay-pantay (1), agad nating makukuha ang pagkakapantay-pantay (4). Kaya, ang teorama ay napatunayan para sa lahat ng mga kaso.
d. Teorama II. Ang halaga ng projection ng isang vector sa anumang axis ay katumbas ng halaga ng vector na pinarami ng cosine ng anggulo sa pagitan ng axis ng mga projection at ng axis ng vector. Hayaang bigyan ng vector ang mga axes gaya ng ipinahiwatig sa Fig. 7. Bumuo tayo ng isang vector na pantay na nakadirekta sa axis nito at ipinagpaliban, halimbawa, mula sa punto ng intersection ng mga axes. Hayaan ang haba nito ay katumbas ng isa. Pagkatapos ang halaga nito
Sa physics para sa grade 9 (I.K. Kikoin, A.K. Kikoin, 1999),
isang gawain №5
sa kabanata" KABANATA 1. PANGKALAHATANG IMPORMASYON TUNGKOL SA KILOS».
1. Ang projection ng vector a papunta sa coordinate axis ay ang haba ng segment sa pagitan ng mga projection ng simula at dulo ng vector a (mga perpendicular na ibinababa mula sa mga puntong ito papunta sa axis) papunta sa coordinate axis na ito.
2. Ang mga projection ng displacement vector s sa mga coordinate axes ay katumbas ng pagbabago sa kaukulang mga coordinate ng katawan.
3. Kung ang coordinate ng isang punto ay tumaas sa paglipas ng panahon, ang projection ng displacement vector sa coordinate axis ay magiging positibo, dahil sa kasong ito, pupunta tayo mula sa projection ng simula hanggang sa projection ng dulo ng vector sa direksyon ng axis mismo.
Kung ang coordinate ng punto ay bumababa sa paglipas ng panahon, ang projection ng displacement vector sa coordinate axis ay magiging negatibo, dahil sa kasong ito, pupunta tayo mula sa projection ng simula hanggang sa projection ng dulo ng vector laban sa directing axis mismo.
4. Kung ang displacement vector ay parallel sa X axis, kung gayon ang module ng vector projection sa axis na ito ay katumbas ng module ng vector mismo, at ang projection nito sa Y axis ay zero.
5. Sa lahat ng mga sumusunod na kaso, ang Y coordinate ng katawan ay hindi nagbabago, at ang X coordinate ng katawan ay magbabago tulad ng sumusunod:
a) s 1 ;
ang projection ng vector s 1 papunta sa X axis ay negatibo at modulo na katumbas ng haba ng vector s 1 . Sa ganitong pag-aalis, ang X coordinate ng katawan ay bababa sa haba ng vector s 1 .
b) s 2 ;
ang projection ng vector s 2 papunta sa X axis ay positibo at katumbas ng absolute value sa haba ng vector s 1 . Sa gayong pag-aalis, ang X coordinate ng katawan ay tataas ng haba ng vector s 2 .
c) s 3 ;
ang projection ng vector s 3 papunta sa X axis ay negatibo at katumbas ng absolute value sa haba ng vector s 3 . Sa ganitong pag-aalis, ang X coordinate ng katawan ay bababa sa haba ng vector s 3 .
d) s 4 ;
ang projection ng vector s 4 papunta sa X axis ay positibo at katumbas ng absolute value sa haba ng vector s 4 . Sa ganitong pag-aalis, ang X coordinate ng katawan ay tataas ng haba ng vector s 4 .
e) s 5 ;
ang projection ng vector s 5 papunta sa X axis ay negatibo at katumbas ng absolute value sa haba ng vector s 5 . Sa ganitong pag-aalis, ang X coordinate ng katawan ay bababa sa haba ng vector s 5 .
6. Siguro. Ito ay dahil sa katotohanan na ang displacement (displacement vector) ay isang vector quantity, i.e. ay isang nakadirekta na tuwid na bahagi ng linya na nagkokonekta sa paunang posisyon ng katawan sa mga kasunod na posisyon nito. At ang panghuling posisyon ng katawan (anuman ang distansyang nilakbay) ay maaaring magkalapit sa paunang posisyon ng katawan. Kung ang pangwakas at paunang mga posisyon ng katawan ay magkakasabay, ang displacement modulus ay magiging katumbas ng zero.
7. Ang pangunahing gawain ng mekanika ay upang matukoy ang posisyon ng katawan sa anumang oras. Alam ang displacement vector ng katawan, matutukoy natin ang mga coordinate ng katawan, i.e. ang posisyon ng katawan sa anumang oras, at alam lamang ang distansya na nilakbay, hindi natin matukoy ang mga coordinate ng katawan, dahil wala kaming impormasyon tungkol sa direksyon ng paggalaw, ngunit maaari lamang nating hatulan ang haba ng landas na nilakbay sa isang partikular na oras.
Panimula……………………………………………………………………………………3
1. Ang halaga ng isang vector at isang scalar…………………………………………….4
2. Kahulugan ng projection, axis at coordinate ng isang punto………………………………5
3. Vector projection papunta sa axis……………………………………………………...6
4. Ang pangunahing pormula ng vector algebra……………………………..8
Panimula:
Ang pisika ay hindi mapaghihiwalay na nauugnay sa matematika. Ang matematika ay nagbibigay sa pisika ng mga paraan at pamamaraan ng isang pangkalahatan at tumpak na pagpapahayag ng ugnayan sa pagitan ng mga pisikal na dami na natuklasan bilang resulta ng eksperimento o teoretikal na pananaliksik. Pagkatapos ng lahat, ang pangunahing pamamaraan ng pananaliksik sa pisika ay eksperimental. Nangangahulugan ito na inihayag ng siyentipiko ang mga kalkulasyon sa tulong ng mga sukat. Nagsasaad ng ugnayan sa pagitan ng iba't ibang pisikal na dami. Pagkatapos, ang lahat ay isinalin sa wika ng matematika. Isang mathematical model ang nabubuo. Ang pisika ay isang agham na nag-aaral ng pinakasimple at sa parehong oras ang pinaka-pangkalahatang batas. Ang gawain ng pisika ay lumikha sa ating mga isipan ng isang larawan ng pisikal na mundo na lubos na sumasalamin sa mga katangian nito at nagbibigay ng gayong mga ugnayan sa pagitan ng mga elemento ng modelo na umiiral sa pagitan ng mga elemento.
Kaya, ang physics ay lumilikha ng isang modelo ng mundo sa paligid natin at pinag-aaralan ang mga katangian nito. Ngunit ang anumang modelo ay limitado. Kapag lumilikha ng mga modelo ng isang partikular na kababalaghan, tanging ang mga katangian at koneksyon na mahalaga para sa isang partikular na hanay ng mga kababalaghan ay isinasaalang-alang. Ito ang sining ng isang siyentipiko - mula sa lahat ng iba't-ibang upang piliin ang pangunahing bagay.
Ang mga pisikal na modelo ay mathematical, ngunit ang matematika ay hindi ang kanilang batayan. Ang mga quantitative na relasyon sa pagitan ng mga pisikal na dami ay nilinaw bilang resulta ng mga sukat, obserbasyon at eksperimentong pag-aaral at ipinahayag lamang sa wika ng matematika. Gayunpaman, walang ibang wika para sa pagbuo ng mga pisikal na teorya.
1. Ang halaga ng isang vector at isang scalar.
Sa pisika at matematika, ang isang vector ay isang dami na nailalarawan sa pamamagitan ng numerical na halaga at direksyon nito. Sa pisika, maraming mahahalagang dami na mga vector, tulad ng puwersa, posisyon, bilis, acceleration, torque, momentum, electric at magnetic field. Maaari silang maihambing sa iba pang mga dami, tulad ng masa, dami, presyon, temperatura at density, na maaaring inilarawan ng isang ordinaryong numero, at sila ay tinatawag na " mga scalar".
Ang mga ito ay nakasulat sa alinman sa mga titik ng isang regular na font, o sa mga numero (a, b, t, G, 5, -7 ....). Ang mga scaler ay maaaring positibo o negatibo. Kasabay nito, ang ilang mga bagay ng pag-aaral ay maaaring magkaroon ng gayong mga pag-aari, para sa isang kumpletong paglalarawan kung saan ang kaalaman ng isang numerical na sukat ay hindi sapat, kinakailangan din na makilala ang mga katangiang ito sa pamamagitan ng isang direksyon sa espasyo. Ang ganitong mga katangian ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga dami ng vector (mga vector). Ang mga vector, hindi tulad ng mga scalar, ay tinutukoy ng mga bold na titik: a, b, g, F, C ....
Kadalasan, ang isang vector ay tinutukoy ng isang regular (hindi naka-bold) na titik, ngunit may isang arrow sa itaas nito:
Ang module ng vector, iyon ay, ang haba ng nakadirekta na segment ng tuwid na linya, ay tinutukoy ng parehong mga titik tulad ng vector mismo, ngunit sa karaniwan (hindi naka-bold) na pagsulat at walang arrow sa itaas ng mga ito, o tulad ng vector (iyon ay, sa bold o regular, ngunit may arrow), ngunit pagkatapos ay ang pagtatalaga ng vector ay nakapaloob sa mga patayong gitling.
Ang isang vector ay isang kumplikadong bagay na nailalarawan sa parehong magnitude at direksyon sa parehong oras.
Wala ring mga positibo at negatibong vectors. Ngunit ang mga vector ay maaaring pantay-pantay sa bawat isa. Ito ay kapag, halimbawa, ang a at b ay may parehong mga module at nakadirekta sa parehong direksyon. Sa kasong ito, ang rekord a= b. Dapat ding tandaan na ang simbolo ng vector ay maaaring mauna ng isang minus sign, halimbawa, -c, gayunpaman, ang sign na ito ay simbolikong nagpapahiwatig na ang vector -c ay may parehong modulus gaya ng vector c, ngunit nakadirekta sa kabaligtaran ng direksyon.
Ang vector -c ay tinatawag na kabaligtaran (o kabaligtaran) ng vector c.
Sa pisika, gayunpaman, ang bawat vector ay puno ng tiyak na nilalaman, at kapag inihahambing ang mga vector ng parehong uri (halimbawa, mga puwersa), ang mga punto ng kanilang aplikasyon ay maaari ding maging makabuluhang kahalagahan.
2.Pagpapasiya ng projection, axis at coordinate ng punto.
Aksis ay isang tuwid na linya na binibigyan ng direksyon.
Ang axis ay ipinahiwatig ng anumang titik: X, Y, Z, s, t ... Karaniwan, ang isang punto ay pinili (arbitraryo) sa axis, na tinatawag na pinagmulan at, bilang isang panuntunan, ay ipinahiwatig ng titik O . Ang mga distansya sa iba pang mga punto ng interes sa amin ay sinusukat mula sa puntong ito.
point projection sa axis ay tinatawag na base ng patayo na bumaba mula sa puntong ito hanggang sa ibinigay na axis. Iyon ay, ang projection ng isang punto papunta sa axis ay isang punto.
punto coordinate sa isang ibinigay na axis ay tinatawag na isang numero na ang absolute value ay katumbas ng haba ng segment ng axis (sa napiling sukat) na nakapaloob sa pagitan ng simula ng axis at ang projection ng punto sa axis na ito. Ang numerong ito ay kinuha na may plus sign kung ang projection ng punto ay matatagpuan sa direksyon ng axis mula sa simula nito at may minus sign kung nasa kabaligtaran ng direksyon.
3.Projection ng isang vector papunta sa isang axis.
Ang projection ng isang vector sa isang axis ay isang vector na nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng scalar projection ng isang vector sa axis na ito at ang unit vector ng axis na ito. Halimbawa, kung ang a x ay ang scalar projection ng vector a papunta sa X axis, kung gayon ang a x i ay ang vector projection nito sa axis na ito.
Tukuyin natin ang vector projection sa parehong paraan tulad ng vector mismo, ngunit sa index ng axis kung saan ang vector ay inaasahang. Kaya, ang vector projection ng vector a sa X axis ay ilalarawan ng isang x (bold letter na nagsasaad ng vector at ang subscript ng pangalan ng axis) o
(hindi naka-bold na titik na nagsasaad ng vector, ngunit may arrow sa itaas (!) at isang subscript ng pangalan ng axis).Scalar projection vector per axis ay tinatawag numero, ang absolute value na katumbas ng haba ng segment ng axis (sa napiling scale) na nakapaloob sa pagitan ng mga projection ng start point at end point ng vector. Kadalasan sa halip na expression scalar projection sabihin lang- projection. Ang projection ay tinutukoy ng parehong titik bilang ang projected vector (sa normal, hindi naka-bold na pagsulat), na may subscript (karaniwan) ng pangalan ng axis kung saan ang vector na ito ay inaasahang. Halimbawa, kung ang isang vector ay naka-project sa x-axis ngunit, pagkatapos nito projection ay denoted a x . Kapag ipino-project ang parehong vector sa isa pang axis, kung ang axis ay Y , ang projection nito ay ide-denote bilang y .
Upang kalkulahin ang projection vector sa isang axis (halimbawa, ang X axis) kinakailangang ibawas ang coordinate ng start point mula sa coordinate ng end point nito, iyon ay
at x \u003d x k - x n.
Ang projection ng isang vector sa isang axis ay isang numero. Bukod dito, ang projection ay maaaring maging positibo kung ang halaga ng x k ay mas malaki kaysa sa halaga ng x n,
negatibo kung ang halaga ng x k ay mas mababa sa halaga ng x n
at katumbas ng zero kung ang x k ay katumbas ng x n.
Ang projection ng isang vector sa isang axis ay maaari ding matagpuan sa pamamagitan ng pag-alam sa modulus ng vector at ang anggulo na ginagawa nito sa axis na iyon.
Makikita mula sa pigura na ang isang x = isang Cos α
Iyon ay, ang projection ng vector papunta sa axis ay katumbas ng produkto ng modulus ng vector at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng direksyon ng axis at direksyon ng vector. Kung ang anggulo ay talamak, kung gayon
Cos α > 0 at a x > 0, at kung mahina, kung gayon ang cosine ng isang obtuse na anggulo ay negatibo, at ang projection ng vector sa axis ay magiging negatibo din.
Ang mga anggulo na binibilang mula sa axis na pakaliwa ay itinuturing na positibo, at habang nasa daan - negatibo. Gayunpaman, dahil ang cosine ay isang even function, iyon ay, Cos α = Cos (− α), kapag kinakalkula ang mga projection, ang mga anggulo ay maaaring bilangin sa parehong clockwise at counterclockwise.
Upang mahanap ang projection ng isang vector sa isang axis, ang module ng vector na ito ay dapat na i-multiply sa cosine ng anggulo sa pagitan ng direksyon ng axis at ng direksyon ng vector.
4. Pangunahing formula ng vector algebra.
Nag-project kami ng vector a sa X at Y axes ng isang rectangular coordinate system. Hanapin ang vector projection ng vector a sa mga ax na ito:
at x = a x i, at y = a y j.
Ngunit ayon sa panuntunan sa pagdaragdag ng vector
a \u003d a x + a y.
a = a x i + a y j.
Kaya, nagpahayag kami ng isang vector sa mga tuntunin ng mga projection at orts nito ng isang rectangular coordinate system (o sa mga tuntunin ng mga projection ng vector nito).
Ang vector projection a x at a y ay tinatawag na mga bahagi o bahagi ng vector a. Ang operasyon na aming isinagawa ay tinatawag na agnas ng vector kasama ang mga axes ng isang rectangular coordinate system.
Kung ang vector ay ibinigay sa espasyo, kung gayon
a = a x i + a y j + a z k.
Ang formula na ito ay tinatawag na pangunahing formula ng vector algebra. Siyempre, maaari rin itong isulat ng ganito.
