Na obr. 2 ukazuje podmienené hustoty X pre niektoré hodnoty Y a regresnú čiaru pre r>0.

9. Stredná štvorcová regresia.

Uvažujme systém náhodných premenných (X,Y). Zvoľme funkciu f(x) takú, aby priemerná štvorec odchýlky náhodnej premennej Y od tejto funkcie náhodnej premennej X bola minimálna, t.j. takže táto funkcia poskytuje minimum matematického očakávania druhej mocniny odchýlky Y od f(X). Inými slovami, úlohou je vybrať zo všetkých možných funkcií tú, ktorá poskytuje

(9.1)

Je dokázané, že toto minimum sa dosiahne, akf(X) , definovaná regresnou rovnicou Y na X (4.9). Ak je však regresná rovnica neznáma, potom je nemožné nájsť takúto funkciu z (9.1). Preto riešia problém hľadania minima výrazu (9.1) pre funkcie tohto typu f(A,x), kde A= ( a 1 ,…. a) je koeficientový vektor tejto funkcie, t.j. nie je to samotná funkcia, ktorá sa hľadá, ktorá poskytuje minimum strednej štvorcovej odchýlky Y od f(X), a určujú sa koeficienty vopred vybranej funkcie (napríklad lineárne, určujú sa koeficienty vopred vybranej funkcie (napríklad lineárne y= X+ balebo kvadratickýr= sekera 2 + bx+ c, alebo funkcie nejakého iného typu) tak, že zo všetkých funkcií zvoleného typu funkcia s týmito koeficientmi poskytuje minimum strednej štvorcovej odchýlky Yodf(A, X). Inými slovami, musíte nájsť taký vektor koeficientu A, aby funkciapremenných

S=(A)=S( ) = M((Y-f(A,X)) 2) (9,2)

ddosiahnutéminimálne.

Nech A * =(a,……, a) poskytuje toto minimum, t.j. je minimálny bod funkcie S(A). Potom rovnica y=f(A * , X) sa nazýva stredná štvorcová regresná rovnica, a náhodná premenná Y * =f(A * , X) aproximácia náhodnej veličiny Y funkcie daný tvar náhodnej premennej X , našiel najmenších štvorcov(MNK). Koeficienty tejto funkcie A * =(a,……, a) sa nazýva regresné koeficienty.

V prípade, keď na štúdium náhodných javov treba použiť dve náhodné premenné X a Y spoločne hovoríme, že existuje systém ( X, Y) dvoch náhodných premenných. Možné systémové hodnoty ( X, Y) sú náhodné body ( X, r) v rozsahu možných hodnôt systému.

Diskrétne a spojité systémy sa rozlišujú v závislosti od typu náhodných premenných, ktoré sú v nich zahrnuté.

Distribučný zákon diskrétneho systému je daný vo forme tabuľky alebo distribučnej funkcie.

Prednáška 6

Tabuľka pridelenia systému{X, Y) obsahuje množinu veličín xi, yj a P(xi, yj), kde P(xi, yj)=P(X=xi,Y=yj), n, m- počet možných hodnôt náhodnej premennej X, Y resp.

Funkcia distribúcie systému{X, Y) sa uvádza ako:

Prednáška 6

Distribučný zákon spojitého systému ( X, Y) môžu byť zastúpené distribučná funkcia F(x, y)alebo distribučná hustota φ(x, y):

Prednáška 6

Súkromný distribučný systém{X, Y) sú zákony rozdelenia každej z náhodných premenných X a Y.

Ak X a Y sú diskrétne náhodné premenné, potom pravdepodobnosti P(xi) a P(yj) potrebné na nájdenie ich distribučných zákonov sa nachádzajú v distribučnej tabuľke pomocou vzorcov:

Pre kontinuálne systémy ( X, Y) čiastkové distribučné hustoty majú tvar:

Prednáška 6

Podmienené distribúcie sú definované:

podmienené pravdepodobnosti P(xi/yj), P(yj/xi) pre diskrétne systémy ( X, Y) a hustoty podmieneného rozdelenia ( x/y), (y/x) pre spojité systémy ( X, Y}:

Prednáška 6

Podmienky nezávislosti náhodných premenných X a Y:

– pre diskrétne systémy (8)

– pre kontinuálne systémy (9)

Keď sú tieto pomery splnené, platí:

(10) (11)

Pravdepodobnosť dosiahnutia možných hodnôt spojitého systému{X, Y) do regiónu ( D) sa určuje podľa vzorca:

(12)

Prednáška 6

Príklad 3.1

Distribučný zákon systému (X, Y) je daný tabuľkou:

Požadovaný:

a) nájdite parciálne rozdelenia X a Y;

b) podmienený zákon rozdelenia Y pri X= -1;

c) určiť, či sú hodnoty X a Y závislé?

Prednáška 6

Riešenie:

a) Nájdite čiastočné rozdelenia X a Y

b) Zákon podmieneného rozdelenia Y pri X= -1. Keď X= -1, náhodná premenná Y má nasledujúci distribučný zákon:

c) Určte, či sú veličiny X a Y závislé?

Keďže v zákonoch nepodmieneného a podmieneného rozdelenia sú pravdepodobnosti P(yj) a P(yj / X = -1) rôzne, náhodné premenné X a Y sú závislé.

Prednáška 6

Príklad 3.2

Je daný systém (X, Y) rovnomerne rozložený v štvorci |x|+|y|1 (pozri obr. 22).

Určte: a) jednotlivé zákony rozdelenia X a Y; b) Sú tieto náhodné premenné závislé?

Prednáška 6

Riešenie:

Distribučný zákon (X, Y) má tvar:

Hustota v |x|≤1 je určená vzorcom:

Prednáška 6

Potom (pozri obr. 23):

Podobne pre (y) dostaneme:

Keďže podmienka nezávislosti nie je splnená:

potom sú náhodné premenné X a Y závislé.

K číselným charakteristikám systému ( X, Y) súvisí:

• číselné charakteristiky náhodných premenných X a Y:

mx, môj, Dx, D Y, σx, σy;

• číselné charakteristiky podmienených rozdelení:

mx/r, my/x, Dx/y, Dy/x, σx/y, σy/x;

• číselné charakteristiky spojenia náhodných veličín:

Kxy a rxy

Prednáška 7. Numerické charakteristiky systému dvoch náhodných veličín

Číselné charakteristiky prvej skupiny sú určené skôr uvedenými vzorcami.

Numerické charakteristiky druhej skupiny vo vzťahu k spojitému systému ( X, Y) sa určujú podľa vzorcov:

Pre diskrétne systémy ( X, Y) tieto vzorce sú zrejmé.

Prednáška 7. Numerické charakteristiky systému dvoch náhodných veličín

množstvá Kxy a rxy sú charakteristiky lineárnej korelácie medzi X a Y; sú definované závislosťami:

kde Kxy je korelačný moment alebo moment spojenia medzi X a Y;

je korelačný koeficient medzi X a Y, -1  rx  1. (16)

Korelačný koeficient charakterizuje stupeň lineárnej korelácie medzi X a Y.

Prednáška 7. Numerické charakteristiky systému dvoch náhodných veličín

Pod korelačná závislosť takouto závislosťou sa rozumie, keď pri zmene jednej náhodnej veličiny napr X, druhý má Y jeho matematické očakávania sa menia ( my/x).

Keď | rxy|=1 medzi nimi existuje lineárny funkčný vzťah X a Y, o rxy=0 náhodných premenných X a Y nekorelované.

Ak X a Y nezávislé, potom sú nekorelované. Ak rxy=0, potom náhodné premenné X a Y môže byť závislý.

Prednáška 7. Numerické charakteristiky systému dvoch náhodných veličín

Príklad 3.3

Za podmienok príkladu 3.1. definujte: mx, my, Dx, Dy, Kxy, rxy.

Riešenie:

Prednáška 7. Numerické charakteristiky systému dvoch náhodných veličín

Príklad 3.4

Za podmienok príkladu 3.2. určiť číselné charakteristiky systému (X, Y).

Riešenie:

Prednáška 7. Numerické charakteristiky systému dvoch náhodných veličín

je rovnomerná hustota rozloženia v intervale

(-(1-|x|), (1-|x|))

Podobne možno písať výrazy pre mx/y , Dx/y.

Vo všeobecnom prípade, keď náhodné premenné zahrnuté v systéme ( X, Y), sú závislé, hustota normálneho rozdelenia má tvar:

(17)

Súkromné ​​distribúcie sa určujú podľa vzorcov:

(18)

(19)

Prednáška 8

Podmienené hustoty ( x/y) a ( y/x) majú tvar normálneho rozdelenia:

(20) (21)

kde

(22) (23)

(24) (25)

Prednáška 8

Ak náhodné premenné X a Y sú nezávislé, potom hustota nadobúda tvar:

Pravdepodobnosť zasiahnutia normálne rozloženého systému (X,Y)(v prípade nezávislých náhodných premenných X a Y) do obdĺžnika so stranami rovnobežnými so súradnicovými osami, sú určené pomocou Laplaceovej funkcie podľa vzorca:

(27)

Prednáška 8

Príklad 3.5

Určte pravdepodobnosť, že strela zasiahne cieľ, ktorý má tvar obdĺžnika so stredovými súradnicami: xц=10 m, yц =5 m. Strany obdĺžnika sú rovnobežné s osami súradníc a sú rovnaké: pozdĺž osi vola: 2 = 20 m, pozdĺž osi oy: 2k = 40 m Súradnice zameriavacieho bodu: mx=5m, my=5 m Charakteristiky rozptylu strely pozdĺž osí ox a oy sú: σx=20 m, σy= 10 m.

Riešenie: Označte oblasť obdĺžnika ako D.

potom:

Téma 4. Funkcie náhodných premenných

Prednáška 9

Poradie hľadania distribučného zákona funkcie Y=y(X), kde X je diskrétna náhodná premenná uvedená v príklade 4.1.

Ak sú možné hodnoty náhodných premenných X a Y spojené funkčnou závislosťou y=y(X), kde r(X) je spojitý a diferencovateľný a zákon rozdelenia náhodnej premennej je známy X-, potom distribučný zákon náhodnej premennej Y- pre prípad, keď r(X) monotónne rastie alebo klesá v rozsahu svojich možných hodnôt, je vyjadrený vzorcom (1):

Vo vzorci (1) X(r) je inverzná funkcia.

V prípade, že funkcia r(X) Má núseky klesania a zvyšovania, potom sa tento vzorec zapíše v tvare (2).

Prednáška 9

Príklad 4.1

Náhodná premenná X má distribučný zákon:

Nájdite zákon rozdelenia náhodnej premennej

Riešenie: Nájdite možné hodnoty funkcie

pri =0, 1, 2, 3.

Sú rovnaké: 1, 2, 1, 0. Možné hodnoty sú teda: 0, 1, 2.

Prednáška 9

Nájdeme pravdepodobnosti týchto možných hodnôt:

Zákon o rozdelení Y:

Prednáška 9

Príklad 4.2

Nájdite hustotu distribúcie náhodnej premennej a vytvorte jej graf, ak je náhodná premenná X rozložená rovnomerne v intervale

Riešenie: Graf funkcie

znázornené na obr. 24.

Prednáška 9

Náhodná premenná X má nasledujúcu hustotu distribúcie:

Nájdenie inverznej funkcie x(r)a jeho derivát:

Prednáška 9

Nakoniec získame nasledujúci výraz pre hustotu

Graf tejto hustoty

znázornené na obr. 25.

Prednáška 10

Základné vzorce:

Prednáška 10

Prednáška 10

kde Xi sú nezávislé náhodné premenné,

Prednáška 10

Prednáška 10

Pre n náhodné premenné, číselné charakteristiky sú dané súčtom a korelačnou maticou:

Zápis vo forme trojuholníkovej matice je platný, pretože

Prednáška 10

Korelačná matica môže byť reprezentovaná v normalizovanej forme, t.j. matica korelačných koeficientov:

Prednáška 10

Príklad 4.3

Určte číselné charakteristiky náhodnej premennej

ak a

Riešenie:

Náhodná premenná U je lineárna funkcia náhodných argumentov X, Y a Z. Preto pomocou vzorcov (11) a (17) tejto časti dostaneme:

Úvod

Teória pravdepodobnosti patrí medzi klasické odvetvia matematiky. Má dlhú históriu. Základy tohto odvetvia vedy položili veľkí matematici. Spomeniem napríklad Fermat, Bernoulli, Pascal. Neskôr bol vývoj teórie pravdepodobnosti určený v prácach mnohých vedcov. Veľký príspevok k teórii pravdepodobnosti urobili vedci našej krajiny: P.L. Chebyshev, A.M. Lyapunov, A.A. Markov, A.N. Kolmogorov. Pravdepodobnostné a štatistické metódy sú teraz hlboko zakorenené v aplikáciách. Používajú sa vo fyzike, strojárstve, ekonómii, biológii a medicíne. Ich úloha vzrástla najmä v súvislosti s rozvojom výpočtovej techniky.

Napríklad na štúdium fyzikálnych javov sa robia pozorovania alebo experimenty. Ich výsledky sa zvyčajne zaznamenávajú ako hodnoty niektorých pozorovaných veličín. Pri opakovaní experimentov zisťujeme rozptyl v ich výsledkoch. Napríklad opakovaním meraní tej istej veličiny tým istým prístrojom pri zachovaní určitých podmienok (teplota, vlhkosť atď.) dostaneme výsledky, ktoré sa aspoň mierne líšia, no predsa sa od seba líšia. Ani viacnásobné merania neumožňujú presne predpovedať výsledok ďalšieho merania. V tomto zmysle sa hovorí, že výsledkom merania je náhodná veličina. Ešte zreteľnejším príkladom náhodnej veličiny je číslo výherného žrebu. Je možné uviesť mnoho ďalších príkladov náhodných premenných. Napriek tomu sa vo svete nehôd určité vzorce nachádzajú. Matematický aparát na štúdium takýchto zákonitostí poskytuje teória pravdepodobnosti. Teória pravdepodobnosti sa teda zaoberá matematickou analýzou náhodných udalostí a náhodných premenných s nimi spojených.

1. Náhodné premenné

Koncept náhodnej premennej je základom teórie pravdepodobnosti a jej aplikácií. Náhodné premenné sú napríklad počet padlých bodov pri jedinom hode kockou, počet rozpadnutých atómov rádia v danom časovom období, počet hovorov na telefónnej ústredni za určité časové obdobie, odchýlka od nominálnej hodnoty určitého rozmeru dielca s riadne zavedeným technologickým postupom a pod.

Náhodná veličina je teda veličina, ktorá v dôsledku experimentu môže nadobudnúť jednu alebo druhú hodnotu a ktorá je vopred známa.

Náhodné premenné možno rozdeliť do dvoch kategórií.

Diskrétna náhodná premenná je taká premenná, ktorá v dôsledku skúseností môže nadobudnúť určité hodnoty s určitou pravdepodobnosťou a vytvoriť tak spočítateľnú množinu (množinu, ktorej prvky možno očíslovať).

Táto množina môže byť buď konečná alebo nekonečná.

Napríklad počet výstrelov pred prvým zásahom do cieľa je diskrétna náhodná premenná, pretože táto hodnota môže nadobudnúť nekonečný, hoci spočítateľný počet hodnôt.

Spojitá náhodná premenná je taká premenná, ktorá môže nadobudnúť akúkoľvek hodnotu z nejakého konečného alebo nekonečného intervalu.

Je zrejmé, že počet možných hodnôt spojitej náhodnej premennej je nekonečný.

Na nastavenie náhodnej premennej nestačí len zadať jej hodnotu, musíte zadať aj pravdepodobnosť tejto hodnoty.

2. Rovnomerné rozdelenie

Nech je segmentom osi Ox mierka nejakého nástroja. Predpokladajme, že pravdepodobnosť, že ukazovateľ zasiahne určitý segment stupnice, je úmerná dĺžke tohto segmentu a nezávisí od umiestnenia segmentu na stupnici. Značka ukazovateľa prístroja je náhodná premenná

Touto cestou

Teraz je ľahké nájsť funkciu F(x) rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej

Nakoniec, ak

Graf funkcií

Hustotu rozdelenia pravdepodobnosti nájdeme pomocou vzorca. Ak

Uvažujme systém dvoch náhodných spojitých premenných. Distribučný zákon tohto systému je normálnym distribučným zákonom, ak funkcia hustoty pravdepodobnosti tohto systému má tvar

. (1.18.35)

Dá sa ukázať, že tu sú matematické očakávania náhodných premenných, sú ich odchýlky odmocniny a korelačný koeficient premenných . Výpočty podľa vzorcov (1.18.31) a (1.18.35) dávajú

. (1.18.36)

Je ľahké vidieť, že ak náhodné premenné rozdelené podľa normálneho zákona nie sú korelované, potom sú tiež nezávislé

.

Pre zákon normálneho rozdelenia sú teda nekorelácia a nezávislosť ekvivalentné pojmy.

Ak , potom sú náhodné premenné závislé. Zákony podmieneného rozdelenia sa vypočítavajú podľa vzorcov (1.18.20)

. (1.18.37)

Oba zákony (1.18.37) sú normálne rozdelenia. Skutočne, transformujme napríklad druhý zo vzťahov (1.18.37) do tvaru

.

Toto je skutočne normálny distribučný zákon, ktorý má podmienené očakávanie rovná sa

, (1.18.38)

a podmienená smerodajná odchýlka sa vyjadruje vzorcom

. (1.18.39)

Všimnite si, že v podmienenom zákone rozdelenia množstva pri pevnej hodnote závisí od tejto hodnoty iba podmienené matematické očakávanie, ale nie podmienený rozptyl – .

Na rovine súradníc je závislosť (1.18.38) priamka

, (1.18.40)

ktorá sa volá regresná čiara na .

Úplne podobne sa zistilo, že podmienené rozdelenie množstva pri pevnej hodnote

, (1.18.41)

je normálne rozdelenie s podmieneným očakávaním

, (1.18.42)

podmienená smerodajná odchýlka

. (1.18.43)

V tomto prípade vyzerá regresná čiara

. (1.18.44)

Regresné priamky (1.18.40) a (1.18.44) sa zhodujú iba vtedy, keď je vzťah medzi a lineárny. Ak sú veličiny a nezávislé, regresné priamky sú rovnobežné so súradnicovými osami.

Koniec práce -

Táto téma patrí:

Poznámky z prednášok z matematiky, teórie pravdepodobnosti, matematickej štatistiky

Katedra vyššej matematiky a informatiky.. prednášky.. z matematiky..

Ak potrebujete ďalší materiál k tejto téme, alebo ste nenašli to, čo ste hľadali, odporúčame použiť vyhľadávanie v našej databáze diel:

Čo urobíme s prijatým materiálom:

Ak sa tento materiál ukázal byť pre vás užitočný, môžete si ho uložiť na svoju stránku v sociálnych sieťach:

Všetky témy v tejto sekcii:

Teória pravdepodobnosti
Teória pravdepodobnosti je oblasť matematiky, ktorá študuje vzorce náhodných hromadných javov. Náhodnosť je fenomén, ktorý

Štatistická definícia pravdepodobnosti
Udalosť je náhodný jav, ktorý sa v dôsledku skúsenosti môže alebo nemusí objaviť (dvojhodnotový jav). Označte udalosti veľkými latinskými písmenami

Priestor elementárnych udalostí
Nech je súbor udalostí spojený s nejakou skúsenosťou a: 1) ako výsledok skúsenosti jedna a jediná

Akcie na udalostiach
Súčet dvoch udalostí a

Permutácie
Označuje sa počet rôznych permutácií prvkov

Ubytovanie
Umiestnenie prvkov podľa

Kombinácie
Kombinácia prvkov

Vzorec na pridanie pravdepodobností pre nekompatibilné udalosti
Veta. Pravdepodobnosť súčtu dvoch nezlučiteľných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí. (jeden

Vzorec sčítania pravdepodobnosti pre ľubovoľné udalosti
Veta. Pravdepodobnosť súčtu dvoch udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí bez pravdepodobnosti ich súčinu.

Vzorec násobenia pravdepodobnosti
Nech sú dané dve udalosti. Zvážte udalosť

Vzorec úplnej pravdepodobnosti
Nech je to úplná skupina nezlučiteľných udalostí, nazývajú sa hypotézy. Zvážte nejakú udalosť

Vzorec pravdepodobnosti hypotéz (Bayes)
Zvážte znova - kompletnú skupinu nezlučiteľných hypotéz a udalosti

Asymptotický Poissonov vzorec
V prípadoch, keď je počet pokusov veľký a pravdepodobnosť výskytu udalosti

Náhodné diskrétne premenné
Náhodná hodnota je veličina, ktorá pri opakovaní experimentu môže nadobudnúť nerovnaké číselné hodnoty. Náhodná premenná sa nazýva diskrétna,

Náhodné spojité premenné
Ak náhodná premenná môže v dôsledku experimentu nadobudnúť akúkoľvek hodnotu z určitého segmentu alebo celej reálnej osi, potom sa nazýva spojitá. zákona

Funkcia hustoty pravdepodobnosti náhodnej spojitej premennej
Nechaj. Zvážte bod a dajte mu prírastok

Numerické charakteristiky náhodných premenných
Náhodné diskrétne alebo spojité premenné sa považujú za úplne špecifikované, ak sú známe ich distribučné zákony. S poznaním zákonov distribúcie je možné vždy vypočítať pravdepodobnosť zásahu

Kvantily náhodných premenných
Kvantil rádu náhodnej spojitej premennej

Matematické očakávanie náhodných premenných
Matematické očakávanie náhodnej premennej charakterizuje jej priemernú hodnotu. Všetky hodnoty náhodnej premennej sú zoskupené okolo tejto hodnoty. Najprv zvážte náhodnú diskrétnu premennú

Smerodajná odchýlka a rozptyl náhodných veličín
Najprv zvážte náhodnú diskrétnu premennú. Numerické charakteristiky modu, mediánu, kvantilov a matematického očakávania

Momenty náhodných premenných
Teória pravdepodobnosti využíva okrem matematického očakávania a rozptylu aj číselné charakteristiky vyšších rádov, ktoré sa nazývajú momenty náhodných premenných.

Vety o numerických charakteristikách náhodných premenných
Veta 1. Matematické očakávanie nenáhodnej premennej sa rovná tejto hodnote samotnej. Dôkaz: Nechaj

Zákon binomického rozdelenia

Poissonov zákon o rozdelení
Nech náhodná diskrétna premenná naberá hodnoty

Zákon o jednotnej distribúcii
Rovnomerný zákon rozdelenia náhodnej spojitej premennej je zákonom funkcie hustoty pravdepodobnosti, ktorá

Zákon normálneho rozdelenia
Normálny zákon rozdelenia náhodnej spojitej premennej je zákon funkcie hustoty

Zákon exponenciálneho rozdelenia
Exponenciálne alebo exponenciálne rozdelenie náhodnej premennej sa používa v takých aplikáciách teórie pravdepodobnosti, ako je teória radenia, teória spoľahlivosti

Systémy náhodných premenných
V praxi sa pri aplikáciách teórie pravdepodobnosti často musíme potýkať s problémami, v ktorých sú výsledky experimentu popísané nie jednou náhodnou veličinou, ale viacerými náhodnými veličinami naraz.

Systém dvoch náhodných diskrétnych premenných
Nech dve náhodné diskrétne premenné tvoria systém. Náhodná hodnota

Systém dvoch náhodných spojitých premenných
Teraz nech je systém tvorený dvoma náhodnými spojitými premennými. Distribučný zákon tohto systému sa nazýva pravdepodobne

Podmienené zákony distribúcie
Nech a závislé náhodné spojité premenné

Numerické charakteristiky systému dvoch náhodných veličín
Počiatočný moment poriadku sústavy náhodných veličín

Systém viacerých náhodných premenných
Výsledky získané pre systém dvoch náhodných premenných možno zovšeobecniť na prípad systémov pozostávajúcich z ľubovoľného počtu náhodných premenných. Nech je systém tvorený množinou

Limitné vety teórie pravdepodobnosti
Hlavným cieľom disciplíny teórie pravdepodobnosti je štúdium zákonitostí náhodných hromadných javov. Prax ukazuje, že pozorovanie množstva homogénnych náhodných javov odhaľuje

Čebyševova nerovnosť
Zvážte náhodnú premennú s matematickým očakávaním

Čebyševova veta
Ak sú náhodné premenné párovo nezávislé a majú v populácii ohraničené konečné rozptyly

Bernoulliho veta
Pri neobmedzenom zvyšovaní počtu experimentov frekvencia výskytu udalosti konverguje v pravdepodobnosti k pravdepodobnosti udalosti

Centrálna limitná veta
Pri pridávaní náhodných premenných s akýmikoľvek distribučnými zákonmi, ale s rozptylmi obmedzenými v súhrne, distribučný zákon

Hlavné úlohy matematickej štatistiky
Vyššie diskutované zákony teórie pravdepodobnosti sú matematickým vyjadrením skutočných vzorcov, ktoré skutočne existujú v rôznych náhodných hromadných javoch. študovať

Jednoduchá štatistika. Štatistická distribučná funkcia
Uvažujme o náhodnej premennej, ktorej distribučný zákon nie je známy. Vyžaduje sa na základe skúseností

Štatistická čiara. stĺpcový graf
Pri veľkom počte pozorovaní (rádovo v stovkách) sa všeobecná populácia stáva nepohodlnou a ťažkopádnou pri zaznamenávaní štatistického materiálu. Pre prehľadnosť a kompaktnosť štatistický materiál

Číselné charakteristiky štatistického rozdelenia
V teórii pravdepodobnosti boli uvažované rôzne číselné charakteristiky náhodných premenných: matematické očakávanie, disperzia, počiatočné a centrálne momenty rôznych rádov. Podobné čísla

Voľba teoretického rozdelenia metódou momentov
V každom štatistickom rozložení sú nevyhnutne prvky náhodnosti spojené s obmedzeným počtom pozorovaní. S veľkým počtom pozorovaní sú tieto prvky náhodnosti vyhladené,

Testovanie vierohodnosti hypotézy o podobe distribučného zákona
Dané štatistické rozdelenie nech aproximujeme nejakou teoretickou krivkou resp

Kritériá súhlasu
Zvážte jeden z najčastejšie používaných testov dobrej zhody, takzvaný Pearsonov test. Predpokladajme

Bodové odhady pre neznáme distribučné parametre
V p.p. 2.1. - 2.7 sme podrobne zvážili spôsoby riešenia prvého a druhého hlavného problému matematickej štatistiky. Ide o úlohy určovania zákonov rozdelenia náhodných veličín podľa experimentálnych údajov

Odhady očakávaní a rozptylu
Prenechajte náhodnú premennú s neznámym matematickým očakávaním

Interval spoľahlivosti. Pravdepodobnosť spoľahlivosti
V praxi pri malom počte experimentov na náhodnej premennej približné nahradenie neznámeho parametra

Normálny zákon rozdelenia pravdepodobnosti

Bez preháňania ho možno nazvať filozofickým zákonom. Pri pozorovaní rôznych objektov a procesov sveta okolo nás sa často stretávame s tým, že niečo nestačí a že existuje norma:


Tu je základný pohľad funkcie hustoty normálne rozdelenie pravdepodobnosti a vítam vás pri tejto najzaujímavejšej lekcii.

Aké príklady možno uviesť? Sú len temnotou. Ide napríklad o výšku, hmotnosť ľudí (nielen), ich fyzickú silu, duševné schopnosti atď. Existuje "masa" (tak či onak) a existujú odchýlky v oboch smeroch.

Ide o rozdielne vlastnosti neživých predmetov (rovnaké rozmery, hmotnosť). Toto je náhodné trvanie procesov ..., opäť ma napadol smutný príklad, a preto poviem „životnosť“ žiaroviek :) Z fyziky som si spomenul na molekuly vzduchu: medzi nimi sú pomalé, sú rýchle, ale väčšina sa pohybuje „štandardnými“ rýchlosťami.

Ďalej sa od stredu odchýlime o jednu štandardnú odchýlku a vypočítame výšku:

Označenie bodov na výkrese (zelená farba) a vidíme, že je toho celkom dosť.

V záverečnej fáze opatrne nakreslíme graf a obzvlášť opatrne odrážať to konvexnosť / konkávnosť! Pravdepodobne ste si už dávno uvedomili, že os x je horizontálna asymptota, a je absolútne nemožné na to „liezť“!

S elektronickým návrhom riešenia sa graf ľahko zostavuje v Exceli a pre mňa nečakane som dokonca na túto tému nahral krátke video. Najprv si však povedzme, ako sa mení tvar normálnej krivky v závislosti od hodnôt a .

Pri zvyšovaní alebo znižovaní „a“ (s nezmeneným "sigma") graf si zachová svoj tvar a sa pohybuje doprava/doľava resp. Napríklad, keď má funkcia formu a náš graf sa "posunie" o 3 jednotky doľava - presne na začiatok:


Normálne rozložená veličina s nulovým matematickým očakávaním dostala úplne prirodzený názov - vycentrované; funkciu jeho hustoty – dokonca a graf je symetrický okolo osi y.

V prípade zmeny "sigma" (s konštantným "a"), graf "zostáva na mieste", ale mení tvar. Keď sa zväčší, stáva sa nižším a predĺženým, ako chobotnica naťahujúca chápadlá. A naopak, pri znižovaní grafu sa stáva užším a vyšším- ukáže sa "prekvapená chobotnica." Áno, o znížiť„sigma“ dvakrát: predchádzajúci graf sa zužuje a naťahuje dvakrát:

Všetko je v plnom súlade s geometrické transformácie grafov.

Normálne rozdelenie s jednotkovou hodnotou sa nazýva "sigma". normalizované, a ak je tiež vycentrované(náš prípad), potom sa takéto rozdelenie nazýva štandardné. Má ešte jednoduchšiu funkciu hustoty, s ktorou sme sa už stretli v miestna Laplaceova veta: . Štandardná distribúcia našla široké uplatnenie v praxi a veľmi skoro konečne pochopíme jej účel.

Teraz si pozrime film:

Áno, celkom správne – akosi nezaslúžene sme zostali v tieni funkcia rozdelenia pravdepodobnosti. Pamätáme si ju definícia:
- pravdepodobnosť, že náhodná premenná bude mať hodnotu MENŠU ako premenná , ktorá „beží“ všetky skutočné hodnoty do „plus“ nekonečna.

Vo vnútri integrálu sa zvyčajne používa iné písmeno, aby nedochádzalo k „prekrývaniu“ so zápisom, pretože tu je každá hodnota priradená nevlastný integrál , čo sa rovná niektorým číslo z intervalu.

Takmer všetky hodnoty sa nedajú presne vypočítať, ale ako sme práve videli, s moderným výpočtovým výkonom to nie je ťažké. Takže pre funkciu štandardnej distribúcie, zodpovedajúca funkcia Excel vo všeobecnosti obsahuje jeden argument:

=NORMSDIST(z)

Raz, dva - a máte hotovo:

Výkres jasne ukazuje realizáciu všetkých vlastnosti distribučnej funkcie, a z technických nuancií by ste mali venovať pozornosť horizontálne asymptoty a inflexný bod.

Teraz si pripomeňme jednu z kľúčových úloh témy, a to zistiť, ako nájsť - pravdepodobnosť, že normálna náhodná premenná prevezme hodnotu z intervalu. Geometricky sa táto pravdepodobnosť rovná oblasť medzi normálnou krivkou a osou x v zodpovedajúcej časti:

ale zakaždým vybrúste približnú hodnotu je nerozumné, a preto je racionálnejšie použiť „ľahký“ vzorec:
.

! tiež pamätá , čo

Tu môžete znova použiť Excel, ale existuje niekoľko významných „ale“: po prvé, nie je to vždy po ruke, a po druhé, „hotové“ hodnoty s najväčšou pravdepodobnosťou vyvolajú otázky zo strany učiteľa. prečo?

Už som o tom opakovane hovoril: kedysi (a nie veľmi dávno) bola obyčajná kalkulačka luxusom a „ručný“ spôsob riešenia uvažovaného problému je stále zachovaný vo vzdelávacej literatúre. Jeho podstatou je k štandardizovať hodnoty „alfa“ a „beta“, teda redukujú riešenie na štandardnú distribúciu:

Poznámka : funkcia sa dá ľahko získať zo všeobecného prípadupomocou lineárneho substitúcie. Potom a:

a z nahradenia len nasleduje vzorec prechod z hodnôt ľubovoľného rozdelenia na zodpovedajúce hodnoty štandardného rozdelenia.

Prečo je to potrebné? Faktom je, že hodnoty boli starostlivo vypočítané našimi predkami a zhrnuté v špeciálnej tabuľke, ktorá je v mnohých knihách o terveroch. Ale ešte bežnejšia je tabuľka hodnôt, ktorej sme sa už venovali Laplaceova integrálna veta:

Ak máme k dispozícii tabuľku hodnôt Laplaceovej funkcie , potom cez to vyriešime:

Zlomkové hodnoty sa tradične zaokrúhľujú na 4 desatinné miesta, ako sa to robí v štandardnej tabuľke. A na kontrolu Bod 5 rozloženie.

Pripomínam ti to a aby nedošlo k zámene majte vždy pod kontrolou, tabuľka AKEJ funkcie pred vašimi očami.

Odpoveď je potrebné uviesť v percentách, takže vypočítaná pravdepodobnosť sa musí vynásobiť 100 a výsledok sa musí uviesť zmysluplným komentárom:

- pri lete od 5 do 70 m padne približne 15,87 % nábojov

Cvičíme sami:

Príklad 3

Priemer ložísk vyrobených v továrni je náhodná veličina normálne rozložená s očakávanou veľkosťou 1,5 cm a štandardnou odchýlkou ​​0,04 cm Nájdite pravdepodobnosť, že veľkosť náhodne vybratého ložiska sa pohybuje od 1,4 do 1,6 cm.

Vo vzorovom riešení a nižšie použijem funkciu Laplace ako najbežnejšiu možnosť. Mimochodom, všimnite si, že podľa znenia tu môžete do úvahy zahrnúť konce intervalu. To však nie je kritické.

A už v tomto príklade sme sa stretli so špeciálnym prípadom – keď je interval symetrický vzhľadom na matematické očakávanie. V takejto situácii ho možno napísať vo forme a pomocou zvláštnosti Laplaceovej funkcie zjednodušiť pracovný vzorec:

Volá sa parameter delta odchýlka z matematického očakávania a dvojitú nerovnosť možno „zabaliť“ pomocou modul:

je pravdepodobnosť, že sa hodnota náhodnej premennej odchyľuje od matematického očakávania o menej ako .

No, riešenie, ktoré sa hodí do jedného riadku :)
je pravdepodobnosť, že priemer náhodne vybratého ložiska sa líši od 1,5 cm najviac o 0,1 cm.

Výsledok tejto úlohy sa ukázal byť blízko k jednote, ale chcel by som ešte väčšiu spoľahlivosť - konkrétne zistiť hranice, v ktorých je priemer skoro každý ložiská. Existuje na to nejaké kritérium? Existuje! Na otázku odpovedá tzv

pravidlo troch sigma

Jeho podstatou je to prakticky spoľahlivé je skutočnosť, že normálne rozložená náhodná premenná nadobudne hodnotu z intervalu .

Pravdepodobnosť odchýlky od očakávania je skutočne menšia ako:
alebo 99,73 %

Čo sa týka „ložísk“ – ide o 9973 kusov s priemerom 1,38 až 1,62 cm a len 27 „neštandardných“ exemplárov.

V praktickom výskume sa pravidlo „tri sigma“ zvyčajne uplatňuje v opačnom smere: ak štatisticky zistili, že takmer všetky hodnoty skúmaná náhodná premenná zapadajú do intervalu 6 štandardných odchýlok, potom existujú dobré dôvody domnievať sa, že táto hodnota je rozdelená podľa normálneho zákona. Overenie sa vykonáva pomocou teórie štatistické hypotézy ku ktorej sa dúfam skôr či neskôr dostanem :)

Medzitým pokračujeme v riešení tvrdých sovietskych úloh:

Príklad 4

Náhodná hodnota chyby váženia je rozdelená podľa normálneho zákona s nulovým matematickým očakávaním a štandardnou odchýlkou ​​3 gramy. Nájdite pravdepodobnosť, že ďalšie váženie sa uskutoční s chybou nepresahujúcou 5 gramov v absolútnej hodnote.

Riešenie veľmi jednoduché. Podľa stavu a hneď si to všimneme pri ďalšom vážení (niečo alebo niekto) takmer 100% dostaneme výsledok s presnosťou 9 gramov. Ale v probléme je užšia odchýlka a podľa vzorca :

- pravdepodobnosť, že nasledujúce váženie sa vykoná s chybou nepresahujúcou 5 gramov.

Odpoveď:

Vyriešený problém sa zásadne líši od zdanlivo podobného. Príklad 3 lekcia o Rovnomerné rozdelenie. Vyskytla sa chyba zaokrúhľovanie výsledky meraní, tu hovoríme o náhodnej chybe samotných meraní. Takéto chyby vznikajú v dôsledku technických vlastností samotného zariadenia. (rozsah povolených chýb je spravidla uvedený v jeho pase), a tiež vinou experimentátora - keď napríklad "od oka" berieme údaje zo šípky rovnakých mierok.

Okrem iných sú tu aj tzv systematický chyby merania. Už je nenáhodné chyby, ktoré sa vyskytnú v dôsledku nesprávneho nastavenia alebo prevádzky zariadenia. Takže napríklad neupravená podlahová váha môže dôsledne „pridávať“ kilogram a predávajúci systematicky znižuje váhu kupujúcich. Alebo nie systematicky, pretože môžete skrátiť. V každom prípade však takáto chyba nebude náhodná a jej očakávanie je iné ako nula.

...naliehavo pripravujem kurz predaja =)

Vyriešme problém sami:

Príklad 5

Priemer valca je náhodná normálne rozložená náhodná veličina, jej štandardná odchýlka je mm. Nájdite dĺžku intervalu, symetrickú vzhľadom na matematické očakávanie, v ktorej bude s pravdepodobnosťou klesať dĺžka priemeru guľôčky.

Položka 5* dizajnové rozloženie pomôcť. Upozorňujeme, že matematické očakávanie tu nie je známe, ale to ani v najmenšom nezasahuje do riešenia problému.

A skúšobná úloha, ktorú vrelo odporúčam na upevnenie učiva:

Príklad 6

Normálne rozdelená náhodná premenná je daná jej parametrami (matematické očakávanie) a (štandardná odchýlka). Požadovaný:

a) zapíšte hustotu pravdepodobnosti a schematicky znázornite jej graf;
b) nájdite pravdepodobnosť, že nadobudne hodnotu z intervalu ;
c) nájdite pravdepodobnosť, že modulo sa odchyľuje nie viac ako ;
d) použitím pravidla „tri sigma“ nájdite hodnoty náhodnej premennej.

Takéto problémy sa ponúkajú všade a za tie roky praxe som ich dokázal vyriešiť stovky a stovky. Určite si precvičte ručné kreslenie a používanie papierových tabuliek ;)

Budem analyzovať príklad zvýšenej zložitosti:

Príklad 7

Hustota rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej má tvar . Nájsť , matematické očakávanie , rozptyl , distribučná funkcia , hustota grafu a distribučné funkcie, nájsť .

Riešenie: v prvom rade si dajme pozor, aby podmienka nič nevypovedala o povahe náhodnej premennej. Prítomnosť vystavovateľa sama o sebe nič neznamená: môže to byť napr. demonštratívne alebo všeobecne svojvoľné nepretržitá distribúcia. A preto „normálnosť“ distribúcie musí byť ešte podložená:

Od funkcie určený pri akýkoľvek skutočnú hodnotu a možno ju zredukovať na formu , potom je náhodná premenná rozdelená podľa normálneho zákona.

Predstavujeme. Pre to vyberte celý štvorec a organizovať trojposchodový zlomok:


Nezabudnite vykonať kontrolu a vráťte indikátor do pôvodnej podoby:

čo sme chceli vidieť.

Touto cestou:
- zapnuté mocenské pravidlo„odštipnutie“. A tu si môžete okamžite zapísať zrejmé číselné charakteristiky:

Teraz nájdime hodnotu parametra. Keďže multiplikátor normálneho rozdelenia má tvar a, potom:
, z ktorých vyjadrujeme a dosadzujeme do našej funkcie:
, po ktorom ešte raz prejdeme očami záznam a presvedčíme sa, či má výsledná funkcia podobu .

Nakreslíme hustotu:

a graf distribučnej funkcie :

Ak nemáte po ruke Excel a dokonca ani bežnú kalkulačku, posledný graf sa dá ľahko zostaviť ručne! V tomto bode preberá distribučná funkcia hodnotu a tu je