Módne trendy a trendy.  Doplnky, topánky, krása, účesy

Módne trendy a trendy. Doplnky, topánky, krása, účesy

» Riešenie nerovníc zahŕňajúcich logaritmy a goniometrické funkcie. Komplexné logaritmické nerovnosti

Riešenie nerovníc zahŕňajúcich logaritmy a goniometrické funkcie. Komplexné logaritmické nerovnosti

Spomedzi celej škály logaritmických nerovností sa osobitne študujú nerovnosti s premenlivým základom. Riešia sa pomocou špeciálneho vzorca, ktorý sa z nejakého dôvodu v škole len zriedka vyučuje:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Namiesto začiarkavacieho políčka „∨“ môžete zadať ľubovoľné znamienko nerovnosti: viac alebo menej. Hlavná vec je, že v oboch nerovnostiach sú znamienka rovnaké.

Takto sa zbavíme logaritmov a zredukujeme problém na racionálnu nerovnosť. Posledne menované je oveľa jednoduchšie vyriešiť, ale pri vyradení logaritmov sa môžu objaviť ďalšie korene. Na ich odrezanie stačí nájsť rozsah prijateľných hodnôt. Ak ste zabudli ODZ logaritmu, dôrazne ho odporúčam zopakovať - ​​pozri „Čo je logaritmus“.

Všetko, čo súvisí s rozsahom prijateľných hodnôt, musí byť napísané a vyriešené samostatne:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Tieto štyri nerovnosti tvoria systém a musia byť uspokojené súčasne. Keď sa nájde rozsah prijateľných hodnôt, zostáva ho len pretnúť s riešením racionálnej nerovnosti - a odpoveď je pripravená.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

Najprv si napíšme ODZ logaritmu:

Prvé dve nerovnosti sa vyrovnajú automaticky, no posledná bude musieť byť vypísaná. Keďže druhá mocnina čísla je nula vtedy a len vtedy, ak je samotné číslo nula, máme:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Ukazuje sa, že ODZ logaritmu sú všetky čísla okrem nuly: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Teraz vyriešime hlavnú nerovnosť:

Prechádzame z logaritmickej nerovnosti na racionálnu. Pôvodná nerovnosť má znamienko „menšie ako“, čo znamená, že výsledná nerovnosť musí mať znamienko „menšie ako“. Máme:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Nuly tohto výrazu sú: x = 3; x = -3; x = 0. Navyše x = 0 je koreň druhej násobnosti, čo znamená, že pri prechode cez ňu sa znamienko funkcie nemení. Máme:

Dostaneme x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Táto množina je úplne obsiahnutá v ODZ logaritmu, čo znamená, že toto je odpoveď.

Prevod logaritmických nerovností

Pôvodná nerovnosť sa často líši od vyššie uvedenej. Dá sa to jednoducho opraviť pomocou štandardných pravidiel pre prácu s logaritmami – pozri „Základné vlastnosti logaritmov“. menovite:

  1. Akékoľvek číslo môže byť reprezentované ako logaritmus s daným základom;
  2. Súčet a rozdiel logaritmov s rovnakými základmi možno nahradiť jedným logaritmom.

Samostatne by som vám chcel pripomenúť rozsah prijateľných hodnôt. Pretože v pôvodnej nerovnosti môže byť niekoľko logaritmov, je potrebné nájsť VA každého z nich. Všeobecná schéma riešenia logaritmických nerovností je teda nasledovná:

  1. Nájdite VA každého logaritmu zahrnutého v nerovnosti;
  2. Znížte nerovnosť na štandardnú pomocou vzorcov na sčítanie a odčítanie logaritmov;
  3. Vyriešte výslednú nerovnosť pomocou schémy uvedenej vyššie.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

Poďme nájsť doménu definície (DO) prvého logaritmu:

Riešime pomocou intervalovej metódy. Nájdenie núl v čitateli:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Potom - nuly menovateľa:

x - 1 = 0;
x = 1.

Na šípke súradníc označujeme nuly a znamienka:

Dostaneme x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Druhý logaritmus bude mať rovnakú VA. Ak neveríte, môžete si to overiť. Teraz transformujeme druhý logaritmus tak, aby základ bol dva:

Ako vidíte, trojky na základni a pred logaritmom sa zmenšili. Máme dva logaritmy s rovnakým základom. Sčítajme ich:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Získali sme štandardnú logaritmickú nerovnosť. Pomocou vzorca sa zbavíme logaritmov. Keďže pôvodná nerovnica obsahuje znamienko „menej ako“, výsledný racionálny výraz musí byť tiež menší ako nula. Máme:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

Máme dve sady:

  1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
  2. Odpoveď kandidáta: x ∈ (−1; 3).

Zostáva pretínať tieto množiny - dostaneme skutočnú odpoveď:

Zaujíma nás priesečník množín, preto vyberáme intervaly, ktoré sú vytieňované na oboch šípkach. Dostaneme x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - všetky body sú prepichnuté.

S nimi sú vnútorné logaritmy.

Príklady:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Ako vyriešiť logaritmické nerovnosti:

Mali by sme sa snažiť zredukovať akúkoľvek logaritmickú nerovnosť na tvar \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (symbol \(˅\) znamená ktorýkoľvek z ). Tento typ vám umožňuje zbaviť sa logaritmov a ich základov, čím sa dosiahne prechod na nerovnosť výrazov pod logaritmami, teda do tvaru \(f(x) ˅ g(x)\).

Ale pri tomto prechode je tu jedna veľmi dôležitá jemnosť:
\(-\) ak je číslo a je väčšie ako 1, znamienko nerovnosti zostáva počas prechodu rovnaké,
\(-\) ak je základom číslo väčšie ako 0, ale menšie ako 1 (leží medzi nulou a jednotkou), potom by sa znamienko nerovnosti malo zmeniť na opačný, t.j.

Príklady:

\(\log_2⁡((8-x))<1\)
ODZ: \(8-x>0\)
\(-x>-8\)
\(X<8\)

Riešenie:
\(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\)
\(8-x\)\(<\) \(2\)
\(8-2\(x>6\)
Odpoveď: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0,5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) ⁡\(((x+ 1))\)
ODZ: \(\začiatok(prípady)2x-4>0\\x+1 > 0\koniec(prípady)\)
\(\začiatok(prípady)2x>4\\x > -1\koniec (prípady)\) \(\šípka doľava doprava\) \(\začiatok(prípady)x>2\\x > -1\koniec (prípady) \) \(\Šípka doľava\) \(x\in(2;\infty)\)

Riešenie:
\(2x-4\)\(≤\) \(x+1\)
\(2x-x≤4+1\)
\(x≤5\)
Odpoveď: \((2;5]\)

Veľmi dôležité! Pri akejkoľvek nerovnosti je prechod z tvaru \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) na porovnávanie výrazov pod logaritmami možné iba vtedy, ak:


Príklad . Vyriešte nerovnosť: \(\log\)\(≤-1\)

Riešenie:

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)

Vypíšeme ODZ.

ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)

\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)

Otvárame zátvorky a prinášame .

\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)

Nerovnosť vynásobíme \(-1\), pričom nezabudneme obrátiť znamienko porovnania.

\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)

\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)

Zostrojme číselnú os a označme na nej body \(\frac(7)(3)\) a \(\frac(3)(2)\). Upozorňujeme, že bodka je odstránená z menovateľa, napriek tomu, že nerovnosť nie je striktná. Faktom je, že tento bod nebude riešením, pretože pri dosadení do nerovnosti nás privedie k deleniu nulou.


\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Teraz nakreslíme ODZ na rovnakú číselnú os a ako odpoveď zapíšeme interval, ktorý spadá do ODZ.


Konečnú odpoveď zapíšeme.

odpoveď: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Príklad . Vyriešte nerovnosť: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Riešenie:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Vypíšeme ODZ.

ODZ: \(x>0\)

Poďme k riešeniu.

Riešenie: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Tu máme typickú štvorcovo-logaritmickú nerovnosť. Poďme na to.

\(t=\log_3⁡x\)
\(t^2-t-2>0\)

Rozšírime ľavú stranu nerovnosti na .

\(D=1+8=9\)
\(t_1= \frac(1+3)(2)=2\)
\(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\)
\((t+1)(t-2)>0\)

Teraz sa musíme vrátiť k pôvodnej premennej - x. Ak to chcete urobiť, prejdite na , ktorý má rovnaké riešenie, a urobte opačnú substitúciu.

\(\left[ \začiatok(zhromaždené) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)

Transformujte \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).

\(\left[ \začiatok(zhromaždené) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

Prejdime k porovnávaniu argumentov. Základy logaritmov sú väčšie ako \(1\), takže znamienko nerovností sa nemení.

\(\left[ \začiatok(zhromaždené) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

Spojme riešenie nerovnosti a ODZ v jednom obrázku.


Zapíšme si odpoveď.

odpoveď: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

Myslíte si, že do Jednotnej štátnej skúšky je ešte čas a stihnete sa pripraviť? Možno je to tak. Ale v každom prípade, čím skôr študent začne s prípravou, tým úspešnejšie skúšky zloží. Dnes sme sa rozhodli venovať článok logaritmickým nerovnostiam. Toto je jedna z úloh, ktorá znamená možnosť získať kredit navyše.

Už viete, čo je logaritmus? Naozaj dúfame. Ale aj keď na túto otázku nemáte odpoveď, nie je to problém. Pochopenie toho, čo je logaritmus, je veľmi jednoduché.

Prečo 4? Musíte zvýšiť číslo 3 na túto moc, aby ste dostali 81. Keď pochopíte princíp, môžete pristúpiť k zložitejším výpočtom.

Pred pár rokmi ste prešli nerovnosťami. A odvtedy sa s nimi v matematike neustále stretávate. Ak máte problémy s riešením nerovností, pozrite si príslušnú sekciu.
Teraz, keď sme sa zoznámili s pojmami jednotlivo, prejdime k ich všeobecnému zváženiu.

Najjednoduchšia logaritmická nerovnosť.

Najjednoduchšie logaritmické nerovnosti sa neobmedzujú len na tento príklad, existujú tri ďalšie, len s rôznymi znamienkami. Prečo je to potrebné? Aby sme lepšie pochopili, ako riešiť nerovnosti pomocou logaritmov. Teraz uveďme použiteľnejší príklad, stále celkom jednoduchý, zložité logaritmické nerovnosti si necháme na neskôr.

Ako to vyriešiť? Všetko to začína ODZ. Stojí za to vedieť o tom viac, ak chcete vždy ľahko vyriešiť akúkoľvek nerovnosť.

čo je ODZ? ODZ pre logaritmické nerovnosti

Skratka znamená rozsah prijateľných hodnôt. Táto formulácia sa často objavuje v úlohách jednotnej štátnej skúšky. ODZ sa vám bude hodiť nielen v prípade logaritmických nerovností.

Pozrite sa znova na vyššie uvedený príklad. Na základe toho zvážime ODZ, aby ste pochopili princíp a riešenie logaritmických nerovností nevyvoláva otázky. Z definície logaritmu vyplýva, že 2x+4 musí byť väčšie ako nula. V našom prípade to znamená nasledovné.

Toto číslo musí byť podľa definície kladné. Vyriešte vyššie uvedenú nerovnosť. Dá sa to urobiť aj ústne, tu je jasné, že X nemôže byť menšie ako 2. Riešením nerovnosti bude definovanie rozsahu prijateľných hodnôt.
Teraz prejdime k riešeniu najjednoduchšej logaritmickej nerovnosti.

Samotné logaritmy zahodíme z oboch strán nerovnosti. Čo nám vo výsledku ostáva? Jednoduchá nerovnosť.

Nie je ťažké to vyriešiť. X musí byť väčšie ako -0,5. Teraz skombinujeme dve získané hodnoty do systému. teda

Toto bude rozsah prijateľných hodnôt pre uvažovanú logaritmickú nerovnosť.

Prečo vôbec potrebujeme ODZ? Toto je príležitosť vyradiť nesprávne a nemožné odpovede. Ak odpoveď nie je v rozmedzí prijateľných hodnôt, potom odpoveď jednoducho nedáva zmysel. Toto stojí za to pamätať na dlhú dobu, pretože v jednotnej štátnej skúške je často potrebné hľadať ODZ, a to nielen logaritmických nerovností.

Algoritmus na riešenie logaritmickej nerovnosti

Riešenie pozostáva z niekoľkých etáp. Najprv musíte nájsť rozsah prijateľných hodnôt. V ODZ budú dva významy, o tom sme hovorili vyššie. Ďalej musíte vyriešiť samotnú nerovnosť. Metódy riešenia sú nasledovné:

  • metóda náhrady multiplikátora;
  • rozklad;
  • racionalizačná metóda.

V závislosti od situácie sa oplatí použiť jednu z vyššie uvedených metód. Prejdime priamo k riešeniu. Prezradíme najobľúbenejšiu metódu, ktorá je vhodná na riešenie úloh Jednotnej štátnej skúšky takmer vo všetkých prípadoch. Ďalej sa pozrieme na metódu rozkladu. Môže vám pomôcť, ak narazíte na obzvlášť zákernú nerovnosť. Takže algoritmus na riešenie logaritmickej nerovnosti.

Príklady riešení :

Nie nadarmo sme zobrali presne túto nerovnosť! Venujte pozornosť základni. Pamätajte: ak je väčšie ako jedna, znamienko zostáva rovnaké pri hľadaní rozsahu prijateľných hodnôt; v opačnom prípade musíte zmeniť znamienko nerovnosti.

V dôsledku toho dostaneme nerovnosť:

Teraz zredukujeme ľavú stranu do tvaru rovnice rovnej nule. Namiesto znamienka „menej ako“ dáme „rovná sa“ a rovnicu vyriešime. Nájdeme teda ODZ. Dúfame, že s riešením takejto jednoduchej rovnice nebudete mať problémy. Odpovede sú -4 a -2. To nie je všetko. Tieto body musíte zobraziť na grafe umiestnením „+“ a „-“. Čo je pre to potrebné urobiť? Do výrazu dosaďte čísla z intervalov. Ak sú hodnoty kladné, dáme tam „+“.

Odpoveď: x nemôže byť väčšie ako -4 a menšie ako -2.

Našli sme rozsah prijateľných hodnôt iba pre ľavú stranu, teraz musíme nájsť rozsah prijateľných hodnôt pre pravú stranu. Toto je oveľa jednoduchšie. odpoveď: -2. Pretíname obe výsledné oblasti.

A až teraz sa začíname zaoberať samotnou nerovnosťou.

Zjednodušme si to čo najviac, aby sa to ľahšie riešilo.

Pri riešení opäť používame intervalovú metódu. Preskočme výpočty; všetko je už jasné z predchádzajúceho príkladu. Odpoveď.

Táto metóda je však vhodná, ak má logaritmická nerovnosť rovnaké základy.

Riešenie logaritmických rovníc a nerovníc s rôznymi základňami vyžaduje počiatočnú redukciu na rovnakú základňu. Ďalej použite metódu opísanú vyššie. Existuje však komplikovanejší prípad. Zoberme si jeden z najkomplexnejších typov logaritmických nerovností.

Logaritmické nerovnosti s premenlivou základňou

Ako vyriešiť nerovnosti s takýmito charakteristikami? Áno, a takýchto ľudí možno nájsť v Jednotnej štátnej skúške. Riešenie nerovností nasledujúcim spôsobom priaznivo ovplyvní aj váš vzdelávací proces. Pozrime sa na problematiku podrobne. Zahoďme teóriu a prejdime rovno k praxi. Na vyriešenie logaritmických nerovností sa stačí zoznámiť s príkladom raz.

Na vyriešenie logaritmickej nerovnosti prezentovaného tvaru je potrebné zredukovať pravú stranu na logaritmus s rovnakým základom. Princíp pripomína ekvivalentné prechody. V dôsledku toho bude nerovnosť vyzerať takto.

V skutočnosti zostáva len vytvoriť systém nerovností bez logaritmov. Pomocou racionalizačnej metódy sa dostávame k ekvivalentnému systému nerovností. Samotnému pravidlu porozumiete, keď nahradíte príslušné hodnoty a budete sledovať ich zmeny. Systém bude mať nasledujúce nerovnosti.

Pri používaní racionalizačnej metódy pri riešení nerovností si musíte zapamätať nasledovné: jeden sa musí odčítať od základne, x sa podľa definície logaritmu odčíta od oboch strán nerovnosti (sprava zľava), dva výrazy sa vynásobia a nastavte pod pôvodným znamienkom vo vzťahu k nule.

Ďalšie riešenie sa vykonáva pomocou intervalovej metódy, tu je všetko jednoduché. Je dôležité, aby ste pochopili rozdiely v metódach riešenia, potom všetko začne ľahko fungovať.

V logaritmických nerovnostiach je veľa nuancií. Najjednoduchšie z nich sa dajú celkom ľahko vyriešiť. Ako môžete vyriešiť každý z nich bez problémov? Všetky odpovede ste už dostali v tomto článku. Teraz máte pred sebou dlhú prax. Neustále trénujte riešenie rôznych problémov na skúške a budete môcť získať najvyššie skóre. Veľa šťastia vo vašej náročnej úlohe!

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

  • Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

  • Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
  • Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
  • Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
  • Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

  • V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov na území Ruskej federácie – poskytnúť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
  • V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.