Spomedzi celej škály logaritmických nerovností sa osobitne študujú nerovnosti s premenlivým základom. Riešia sa pomocou špeciálneho vzorca, ktorý sa z nejakého dôvodu v škole len zriedka vyučuje:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0
Namiesto začiarkavacieho políčka „∨“ môžete zadať ľubovoľné znamienko nerovnosti: viac alebo menej. Hlavná vec je, že v oboch nerovnostiach sú znamienka rovnaké.
Takto sa zbavíme logaritmov a zredukujeme problém na racionálnu nerovnosť. Posledne menované je oveľa jednoduchšie vyriešiť, ale pri vyradení logaritmov sa môžu objaviť ďalšie korene. Na ich odrezanie stačí nájsť rozsah prijateľných hodnôt. Ak ste zabudli ODZ logaritmu, dôrazne ho odporúčam zopakovať - pozri „Čo je logaritmus“.
Všetko, čo súvisí s rozsahom prijateľných hodnôt, musí byť napísané a vyriešené samostatne:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Tieto štyri nerovnosti tvoria systém a musia byť uspokojené súčasne. Keď sa nájde rozsah prijateľných hodnôt, zostáva ho len pretnúť s riešením racionálnej nerovnosti - a odpoveď je pripravená.
Úloha. Vyriešte nerovnosť:
Najprv si napíšme ODZ logaritmu:
Prvé dve nerovnosti sa vyrovnajú automaticky, no posledná bude musieť byť vypísaná. Keďže druhá mocnina čísla je nula vtedy a len vtedy, ak je samotné číslo nula, máme:
x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Ukazuje sa, že ODZ logaritmu sú všetky čísla okrem nuly: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Teraz vyriešime hlavnú nerovnosť:
Prechádzame z logaritmickej nerovnosti na racionálnu. Pôvodná nerovnosť má znamienko „menšie ako“, čo znamená, že výsledná nerovnosť musí mať znamienko „menšie ako“. Máme:
(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.
Nuly tohto výrazu sú: x = 3; x = -3; x = 0. Navyše x = 0 je koreň druhej násobnosti, čo znamená, že pri prechode cez ňu sa znamienko funkcie nemení. Máme:
Dostaneme x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Táto množina je úplne obsiahnutá v ODZ logaritmu, čo znamená, že toto je odpoveď.
Pôvodná nerovnosť sa často líši od vyššie uvedenej. Dá sa to jednoducho opraviť pomocou štandardných pravidiel pre prácu s logaritmami – pozri „Základné vlastnosti logaritmov“. menovite:
Samostatne by som vám chcel pripomenúť rozsah prijateľných hodnôt. Pretože v pôvodnej nerovnosti môže byť niekoľko logaritmov, je potrebné nájsť VA každého z nich. Všeobecná schéma riešenia logaritmických nerovností je teda nasledovná:
Úloha. Vyriešte nerovnosť:
Poďme nájsť doménu definície (DO) prvého logaritmu:
Riešime pomocou intervalovej metódy. Nájdenie núl v čitateli:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Potom - nuly menovateľa:
x - 1 = 0;
x = 1.
Na šípke súradníc označujeme nuly a znamienka:
Dostaneme x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Druhý logaritmus bude mať rovnakú VA. Ak neveríte, môžete si to overiť. Teraz transformujeme druhý logaritmus tak, aby základ bol dva:
Ako vidíte, trojky na základni a pred logaritmom sa zmenšili. Máme dva logaritmy s rovnakým základom. Sčítajme ich:
log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
Získali sme štandardnú logaritmickú nerovnosť. Pomocou vzorca sa zbavíme logaritmov. Keďže pôvodná nerovnica obsahuje znamienko „menej ako“, výsledný racionálny výraz musí byť tiež menší ako nula. Máme:
(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).
Máme dve sady:
Zostáva pretínať tieto množiny - dostaneme skutočnú odpoveď:
Zaujíma nás priesečník množín, preto vyberáme intervaly, ktoré sú vytieňované na oboch šípkach. Dostaneme x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - všetky body sú prepichnuté.
V predchádzajúcich lekciách sme sa zoznámili s logaritmickými rovnicami a teraz vieme, čo sú a ako ich riešiť. Dnešná lekcia bude venovaná štúdiu logaritmických nerovností. Aké sú tieto nerovnosti a aký je rozdiel medzi riešením logaritmickej rovnice a nerovnicou?
Logaritmické nerovnosti sú nerovnosti, ktoré majú premennú vystupujúcu pod logaritmickým znamienkom alebo na jeho základni.
Alebo môžeme tiež povedať, že logaritmická nerovnosť je nerovnosť, v ktorej sa jej neznáma hodnota, ako v logaritmickej rovnici, objaví pod znamienkom logaritmu.
Najjednoduchšie logaritmické nerovnosti majú nasledujúci tvar:
kde f(x) a g(x) sú nejaké výrazy, ktoré závisia od x.
Pozrime sa na to pomocou tohto príkladu: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Pred riešením logaritmických nerovností stojí za zmienku, že po vyriešení sú podobné exponenciálnym nerovnostiam, konkrétne:
Po prvé, keď prechádzame od logaritmov k výrazom pod logaritmickým znamienkom, musíme tiež porovnať základ logaritmu s jedným;
Po druhé, pri riešení logaritmickej nerovnosti pomocou zmeny premenných musíme riešiť nerovnosti vzhľadom na zmenu, kým nedostaneme najjednoduchšiu nerovnosť.
Ale vy a ja sme zvažovali podobné aspekty riešenia logaritmických nerovností. Teraz sa pozrime na pomerne významný rozdiel. Vy a ja vieme, že logaritmická funkcia má obmedzenú oblasť definície, preto pri prechode od logaritmov k výrazom pod logaritmickým znakom musíme vziať do úvahy rozsah povolených hodnôt (ADV).
To znamená, že by sa malo vziať do úvahy, že pri riešení logaritmickej rovnice môžeme vy a ja najprv nájsť korene rovnice a potom toto riešenie skontrolovať. Riešenie logaritmickej nerovnosti však nebude fungovať týmto spôsobom, pretože pri prechode od logaritmov k výrazom pod logaritmickým znamienkom bude potrebné zapísať ODZ nerovnosti.
Okrem toho je potrebné pripomenúť, že teória nerovností pozostáva z reálnych čísel, čo sú kladné a záporné čísla, ako aj číslo 0.
Napríklad, keď je číslo „a“ kladné, musíte použiť nasledujúci zápis: a >0. V tomto prípade bude súčet aj súčin týchto čísel kladné.
Hlavným princípom riešenia nerovnosti je nahradiť ju jednoduchšou nerovnicou, ale hlavné je, že je ekvivalentná danej. Ďalej sme tiež získali nerovnosť a opäť sme ju nahradili nerovnosťou, ktorá má jednoduchší tvar atď.
Pri riešení nerovností s premennou je potrebné nájsť všetky jej riešenia. Ak majú dve nerovnosti rovnakú premennú x, potom sú takéto nerovnosti ekvivalentné za predpokladu, že sa ich riešenia zhodujú.
Pri vykonávaní úloh na riešenie logaritmických nerovností si musíte pamätať, že keď a > 1, potom sa logaritmická funkcia zvýši a keď 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Teraz sa pozrime na niektoré metódy, ktoré sa používajú pri riešení logaritmických nerovností. Pre lepšie pochopenie a asimiláciu sa ich pokúsime pochopiť na konkrétnych príkladoch.
Všetci vieme, že najjednoduchšia logaritmická nerovnosť má nasledujúci tvar:
V tejto nerovnosti je V – jedným z nasledujúcich znakov nerovnosti:<,>, ≤ alebo ≥.
Keď je základ daného logaritmu väčší ako jedna (a>1), pri prechode z logaritmov na výrazy pod znamienkom logaritmu sa v tejto verzii znamienko nerovnosti zachová a nerovnosť bude mať nasledujúci tvar:
ktorý je ekvivalentný tomuto systému:
V prípade, že základ logaritmu je väčší ako nula a menší ako jedna (0 Toto je ekvivalentné tomuto systému: Pozrime sa na ďalšie príklady riešenia najjednoduchších logaritmických nerovností znázornených na obrázku nižšie: Cvičenie. Skúsme vyriešiť túto nerovnosť: Riešenie rozsahu prijateľných hodnôt. Teraz skúsme vynásobiť jeho pravú stranu: Pozrime sa, čo môžeme vymyslieť: Teraz prejdime ku konverzii sublogaritmických výrazov. Vzhľadom k tomu, že základ logaritmu je 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; A z toho vyplýva, že interval, ktorý sme získali úplne patrí do ODZ a je riešením takejto nerovnosti. Tu je odpoveď, ktorú sme dostali: Teraz sa pokúsme analyzovať, čo potrebujeme na úspešné vyriešenie logaritmických nerovností? Najprv sústreďte všetku svoju pozornosť a snažte sa nerobiť chyby pri vykonávaní transformácií, ktoré sú dané v tejto nerovnosti. Treba tiež pamätať na to, že pri riešení takýchto nerovností je potrebné vyhnúť sa rozširovaniu a zmršťovaniu nerovností, čo môže viesť k strate alebo získaniu cudzích riešení. Po druhé, pri riešení logaritmických nerovností sa musíte naučiť myslieť logicky a pochopiť rozdiel medzi pojmami, ako je systém nerovností a množina nerovností, aby ste mohli ľahko vyberať riešenia nerovnosti, pričom sa riadite jej DL. Po tretie, na úspešné vyriešenie takýchto nerovností musí každý z vás dokonale poznať všetky vlastnosti elementárnych funkcií a jasne pochopiť ich význam. Medzi takéto funkcie patria nielen logaritmické, ale aj racionálne, mocenské, trigonometrické atď., jedným slovom všetky tie, ktoré ste študovali počas školskej algebry. Ako vidíte, po preštudovaní témy logaritmických nerovností nie je pri riešení týchto nerovností nič ťažké, za predpokladu, že ste opatrní a vytrvalí pri dosahovaní svojich cieľov. Aby ste sa vyhli akýmkoľvek problémom pri riešení nerovností, musíte sa čo najviac precvičiť, riešiť rôzne úlohy a zároveň si zapamätať základné metódy riešenia takýchto nerovností a ich sústavy. Ak sa vám nepodarí vyriešiť logaritmické nerovnosti, mali by ste svoje chyby dôkladne analyzovať, aby ste sa k nim v budúcnosti nevrátili. Ak chcete lepšie porozumieť téme a konsolidovať preberaný materiál, vyriešte nasledujúce nerovnosti: Myslíte si, že do Jednotnej štátnej skúšky je ešte čas a stihnete sa pripraviť? Možno je to tak. Ale v každom prípade, čím skôr študent začne s prípravou, tým úspešnejšie skúšky zloží. Dnes sme sa rozhodli venovať článok logaritmickým nerovnostiam. Toto je jedna z úloh, ktorá znamená možnosť získať kredit navyše. Už viete, čo je logaritmus? Naozaj dúfame. Ale aj keď na túto otázku nemáte odpoveď, nie je to problém. Pochopenie toho, čo je logaritmus, je veľmi jednoduché. Prečo 4? Musíte zvýšiť číslo 3 na túto moc, aby ste dostali 81. Keď pochopíte princíp, môžete pristúpiť k zložitejším výpočtom. Pred pár rokmi ste prešli nerovnosťami. A odvtedy sa s nimi v matematike neustále stretávate. Ak máte problémy s riešením nerovností, pozrite si príslušnú sekciu. Najjednoduchšia logaritmická nerovnosť. Najjednoduchšie logaritmické nerovnosti sa neobmedzujú len na tento príklad, existujú tri ďalšie, len s rôznymi znamienkami. Prečo je to potrebné? Aby sme lepšie pochopili, ako riešiť nerovnosti pomocou logaritmov. Teraz uveďme použiteľnejší príklad, stále celkom jednoduchý, zložité logaritmické nerovnosti si necháme na neskôr. Ako to vyriešiť? Všetko to začína ODZ. Stojí za to vedieť o tom viac, ak chcete vždy ľahko vyriešiť akúkoľvek nerovnosť. Skratka znamená rozsah prijateľných hodnôt. Táto formulácia sa často objavuje v úlohách jednotnej štátnej skúšky. ODZ sa vám bude hodiť nielen v prípade logaritmických nerovností. Pozrite sa znova na vyššie uvedený príklad. Na základe toho zvážime ODZ, aby ste pochopili princíp a riešenie logaritmických nerovností nevyvoláva otázky. Z definície logaritmu vyplýva, že 2x+4 musí byť väčšie ako nula. V našom prípade to znamená nasledovné. Toto číslo musí byť podľa definície kladné. Vyriešte vyššie uvedenú nerovnosť. Dá sa to urobiť aj ústne, tu je jasné, že X nemôže byť menšie ako 2. Riešením nerovnosti bude definovanie rozsahu prijateľných hodnôt. Samotné logaritmy zahodíme z oboch strán nerovnosti. Čo nám vo výsledku ostáva? Jednoduchá nerovnosť. Nie je ťažké to vyriešiť. X musí byť väčšie ako -0,5. Teraz skombinujeme dve získané hodnoty do systému. teda Toto bude rozsah prijateľných hodnôt pre uvažovanú logaritmickú nerovnosť. Prečo vôbec potrebujeme ODZ? Toto je príležitosť vyradiť nesprávne a nemožné odpovede. Ak odpoveď nie je v rozmedzí prijateľných hodnôt, potom odpoveď jednoducho nedáva zmysel. Toto stojí za to pamätať na dlhú dobu, pretože v jednotnej štátnej skúške je často potrebné hľadať ODZ, a to nielen logaritmických nerovností. Riešenie pozostáva z niekoľkých etáp. Najprv musíte nájsť rozsah prijateľných hodnôt. V ODZ budú dva významy, o tom sme hovorili vyššie. Ďalej musíte vyriešiť samotnú nerovnosť. Metódy riešenia sú nasledovné: V závislosti od situácie sa oplatí použiť jednu z vyššie uvedených metód. Prejdime priamo k riešeniu. Prezradíme najobľúbenejšiu metódu, ktorá je vhodná na riešenie úloh Jednotnej štátnej skúšky takmer vo všetkých prípadoch. Ďalej sa pozrieme na metódu rozkladu. Môže vám pomôcť, ak narazíte na obzvlášť zákernú nerovnosť. Takže algoritmus na riešenie logaritmickej nerovnosti. Príklady riešení : Nie nadarmo sme zobrali presne túto nerovnosť! Venujte pozornosť základni. Pamätajte: ak je väčšie ako jedna, znamienko zostáva rovnaké pri hľadaní rozsahu prijateľných hodnôt; v opačnom prípade musíte zmeniť znamienko nerovnosti. V dôsledku toho dostaneme nerovnosť: Teraz zredukujeme ľavú stranu do tvaru rovnice rovnej nule. Namiesto znamienka „menej ako“ dáme „rovná sa“ a rovnicu vyriešime. Nájdeme teda ODZ. Dúfame, že s riešením takejto jednoduchej rovnice nebudete mať problémy. Odpovede sú -4 a -2. To nie je všetko. Tieto body musíte zobraziť na grafe umiestnením „+“ a „-“. Čo je pre to potrebné urobiť? Do výrazu dosaďte čísla z intervalov. Ak sú hodnoty kladné, dáme tam „+“. Odpoveď: x nemôže byť väčšie ako -4 a menšie ako -2. Našli sme rozsah prijateľných hodnôt iba pre ľavú stranu, teraz musíme nájsť rozsah prijateľných hodnôt pre pravú stranu. Toto je oveľa jednoduchšie. odpoveď: -2. Pretíname obe výsledné oblasti. A až teraz sa začíname zaoberať samotnou nerovnosťou. Zjednodušme si to čo najviac, aby sa to ľahšie riešilo. Pri riešení opäť používame intervalovú metódu. Preskočme výpočty; všetko je už jasné z predchádzajúceho príkladu. Odpoveď. Táto metóda je však vhodná, ak má logaritmická nerovnosť rovnaké základy. Riešenie logaritmických rovníc a nerovníc s rôznymi základňami vyžaduje počiatočnú redukciu na rovnakú základňu. Ďalej použite metódu opísanú vyššie. Existuje však komplikovanejší prípad. Zoberme si jeden z najkomplexnejších typov logaritmických nerovností. Ako vyriešiť nerovnosti s takýmito charakteristikami? Áno, a takýchto ľudí možno nájsť v Jednotnej štátnej skúške. Riešenie nerovností nasledujúcim spôsobom priaznivo ovplyvní aj váš vzdelávací proces. Pozrime sa na problematiku podrobne. Zahoďme teóriu a prejdime rovno k praxi. Na vyriešenie logaritmických nerovností sa stačí zoznámiť s príkladom raz. Na vyriešenie logaritmickej nerovnosti prezentovaného tvaru je potrebné zredukovať pravú stranu na logaritmus s rovnakým základom. Princíp pripomína ekvivalentné prechody. V dôsledku toho bude nerovnosť vyzerať takto. V skutočnosti zostáva len vytvoriť systém nerovností bez logaritmov. Pomocou racionalizačnej metódy sa dostávame k ekvivalentnému systému nerovností. Samotnému pravidlu porozumiete, keď nahradíte príslušné hodnoty a budete sledovať ich zmeny. Systém bude mať nasledujúce nerovnosti. Pri používaní racionalizačnej metódy pri riešení nerovností si musíte zapamätať nasledovné: jeden sa musí odčítať od základne, x sa podľa definície logaritmu odčíta od oboch strán nerovnosti (sprava zľava), dva výrazy sa vynásobia a nastavte pod pôvodným znamienkom vo vzťahu k nule. Ďalšie riešenie sa vykonáva pomocou intervalovej metódy, tu je všetko jednoduché. Je dôležité, aby ste pochopili rozdiely v metódach riešenia, potom všetko začne ľahko fungovať. V logaritmických nerovnostiach je veľa nuancií. Najjednoduchšie z nich sa dajú celkom ľahko vyriešiť. Ako môžete vyriešiť každý z nich bez problémov? Všetky odpovede ste už dostali v tomto článku. Teraz máte pred sebou dlhú prax. Neustále trénujte riešenie rôznych problémov na skúške a budete môcť získať najvyššie skóre. Veľa šťastia vo vašej náročnej úlohe!
Príklady riešenia
3x > 24;
x > 8. 
Čo je potrebné na riešenie logaritmických nerovností?
Domáca úloha
Teraz, keď sme sa zoznámili s pojmami jednotlivo, prejdime k ich všeobecnému zváženiu.
čo je ODZ? ODZ pre logaritmické nerovnosti
Teraz prejdime k riešeniu najjednoduchšej logaritmickej nerovnosti.
Algoritmus na riešenie logaritmickej nerovnosti
Logaritmické nerovnosti s premenlivou základňou
