Lektura 3. Dynamics matibay na katawan
Plano ng lecture
3.1. Sandali ng kapangyarihan.
3.2. Pangunahing Equation rotary motion. Sandali ng pagkawalang-galaw.
3.3. Kinetic energy ng pag-ikot.
3.4. sandali ng salpok. Batas ng konserbasyon ng angular momentum.
3.5. Analogy sa pagitan ng translational at rotational motion.
Sandali ng kapangyarihan
Isaalang-alang ang paggalaw ng isang matibay na katawan sa paligid ng isang nakapirming axis. Hayaan ang isang matibay na katawan na magkaroon ng isang nakapirming axis ng pag-ikot ОО ( fig.3.1) at isang arbitraryong puwersa ang inilalapat dito.
kanin. 3.1
Binubulok namin ang puwersa sa dalawang bahagi ng puwersa, ang puwersa ay nasa eroplano ng pag-ikot, at ang puwersa ay kahanay sa axis ng pag-ikot. Pagkatapos ay nabubulok namin ang puwersa sa dalawang bahagi: – kumikilos kasama ang radius vector at – patayo dito.
Walang anumang puwersa na inilapat sa isang katawan ang magpapaikot nito. Puwersa at lumikha ng presyon sa mga bearings, ngunit huwag iikot ito.
Ang puwersa ay maaaring mawalan ng balanse o hindi, depende sa kung saan ito inilalapat sa radius vector. Samakatuwid, ang konsepto ng sandali ng puwersa tungkol sa axis ay ipinakilala. Sandali ng puwersa kamag-anak sa axis ng pag-ikot ay tinatawag na produkto ng vector ng radius vector at ang puwersa.
Ang vector ay nakadirekta sa kahabaan ng axis ng pag-ikot at tinutukoy ng cross product rule o tamang screw rule, o ang gimlet rule.
Modulus ng moment of force
kung saan ang α ay ang anggulo sa pagitan ng mga vector at .
Mula sa Fig.3.1. malinaw na yan .
r0- ang pinakamaikling distansya mula sa axis ng pag-ikot hanggang sa linya ng pagkilos ng puwersa at tinatawag na balikat ng puwersa. Pagkatapos ay maaaring isulat ang sandali ng puwersa
M = F r 0 . (3.3)
Mula sa fig. 3.1.
saan F ay ang projection ng vector papunta sa direksyon na patayo sa vector radius vector . Sa kasong ito, ang sandali ng puwersa ay
. (3.4)
Kung ang ilang mga puwersa ay kumikilos sa katawan, kung gayon ang nagresultang sandali ng puwersa ay katumbas ng vector sum ng mga sandali ng mga indibidwal na pwersa, ngunit dahil ang lahat ng mga sandali ay nakadirekta sa kahabaan ng axis, maaari silang mapalitan ng isang algebraic sum. Ituturing na positibo ang sandali kung iikot nito ang katawan pakanan at negatibo kung pakaliwa. Kung ang lahat ng mga sandali ng puwersa ay katumbas ng zero (), ang katawan ay nasa ekwilibriyo.
Ang konsepto ng isang sandali ng puwersa ay maaaring ipakita gamit ang isang "kakaibang likaw". Ang spool ng sinulid ay hinihila ng libreng dulo ng sinulid ( kanin. 3.2).
kanin. 3.2
Depende sa direksyon ng pag-igting ng thread, ang coil ay gumulong sa isang direksyon o iba pa. Kung hilahin mo sa isang anggulo α , pagkatapos ay ang sandali ng puwersa tungkol sa axis O(perpendicular to the figure) umiikot ang coil counterclockwise at ito ay gumulong pabalik. Sa kaso ng pag-igting sa isang anggulo β ang torque ay counterclockwise at ang coil ay gumulong pasulong.
Gamit ang kondisyon ng equilibrium (), maaari kang magdisenyo ng mga simpleng mekanismo na "mga converter" ng puwersa, i.e. Sa pamamagitan ng paglalapat ng mas kaunting puwersa, maaari mong iangat at ilipat ang mga load ng iba't ibang mga timbang. Ang leverage, wheelbarrow, mga bloke ng iba't ibang uri, na malawakang ginagamit sa pagtatayo, ay batay sa prinsipyong ito. Upang makasunod sa kondisyon ng equilibrium sa mga construction crane upang mabayaran ang sandali ng puwersa na dulot ng bigat ng karga, palaging may sistema ng mga counterweight na lumilikha ng sandali ng puwersa ng kabaligtaran na tanda.
3.2. Pangunahing rotational equation
paggalaw. Sandali ng pagkawalang-galaw
Isaalang-alang ang isang ganap na matibay na katawan na umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis OO(fig.3.3). Hatiin natin ang katawan na ito sa mga elementong may masa Δ m 1, Δ m2, …, Δ m n. Sa panahon ng pag-ikot, ilalarawan ng mga elementong ito ang mga bilog na may radii r1,r2 , …,rn. Ang mga puwersa ay kumikilos sa bawat elemento F1,F2 , …,F n. Pag-ikot ng katawan sa paligid ng axis OO nangyayari sa ilalim ng impluwensya ng kabuuang sandali ng mga puwersa M.
M \u003d M 1 + M 2 + ... + M n (3.4)
saan M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n
Ayon sa ikalawang batas ni Newton, ang bawat puwersa F, na kumikilos sa isang elemento ng mass D m, nagiging sanhi ng pagbilis ng ibinigay na elemento a, ibig sabihin.
F i = D m i a i (3.5)
Ang pagpapalit ng kaukulang mga halaga sa (3.4), nakuha namin
kanin. 3.3
Pag-alam sa kaugnayan sa pagitan ng linear angular acceleration ε () at na ang angular acceleration ay pareho para sa lahat ng mga elemento, formula (3.6) ang magiging hitsura
M = (3.7)
=ako (3.8)
ako ay ang sandali ng pagkawalang-kilos ng katawan tungkol sa nakapirming axis.
Pagkatapos ay makukuha natin
M = ako ε (3.9)
O sa anyo ng vector
(3.10)
Ang equation na ito ay ang pangunahing equation para sa dynamics ng rotational motion. Ito ay katulad ng anyo sa Equation II ng batas ni Newton. Mula sa (3.10) ang sandali ng pagkawalang-galaw ay
Kaya, ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang naibigay na katawan ay ang ratio ng sandali ng puwersa sa angular acceleration na dulot nito. Mula sa (3.11) makikita na ang moment of inertia ay isang sukatan ng inertia ng katawan na may kinalaman sa rotational motion. Ang sandali ng pagkawalang-galaw ay gumaganap ng parehong papel bilang mass sa translational motion. SI unit [ ako] = kg m 2. Mula sa formula (3.7) sumusunod na ang sandali ng pagkawalang-galaw ay nagpapakilala sa pamamahagi ng mga masa ng mga particle ng katawan na may kaugnayan sa axis ng pag-ikot.
Kaya, ang sandali ng pagkawalang-kilos ng isang elemento ng mass ∆m na gumagalaw sa isang bilog ng radius r ay katumbas ng
ako = r2 D m (3.12)
ako= (3.13)
Sa kaso ng tuluy-tuloy na pamamahagi ng masa, ang kabuuan ay maaaring palitan ng integral
I= ∫ r 2 dm (3.14)
kung saan isinagawa ang pagsasama sa buong masa ng katawan.
Ipinapakita nito na ang sandali ng pagkawalang-galaw ng katawan ay nakasalalay sa masa at pamamahagi nito na may kaugnayan sa axis ng pag-ikot. Ito ay maipakikita sa pamamagitan ng eksperimento fig.3.4).
kanin. 3.4
Dalawang bilog na silindro, isang guwang (halimbawa, metal), ang isa pang solid (kahoy) na may parehong haba, radii at masa, ay nagsisimulang gumulong nang sabay-sabay. Ang isang guwang na silindro na may malaking sandali ng pagkawalang-galaw ay mahuhuli sa isang solido.
Maaari mong kalkulahin ang sandali ng pagkawalang-galaw kung alam mo ang masa m at ang pamamahagi nito na may kaugnayan sa axis ng pag-ikot. Ang pinakasimpleng kaso ay isang singsing, kapag ang lahat ng mga elemento ng masa ay matatagpuan nang pantay mula sa axis ng pag-ikot ( kanin. 3.5):
ako= 
(3.15)
kanin. 3.5
Magbigay tayo ng mga expression para sa mga sandali ng pagkawalang-kilos ng iba't ibang simetriko na katawan na may masa m.
1. Sandali ng pagkawalang-galaw mga singsing, guwang na manipis na pader na silindro tungkol sa axis ng pag-ikot na tumutugma sa axis ng symmetry.
, (3.16)
r ay ang radius ng singsing o silindro
2. Para sa isang solidong silindro at disk, ang sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa axis ng simetrya
(3.17)
3. Ang sandali ng pagkawalang-kilos ng bola tungkol sa axis na dumadaan sa gitna
(3.18)
r- radius ng bola
4. Ang sandali ng pagkawalang-kilos ng isang manipis na baras ng mahaba l may kaugnayan sa isang axis na patayo sa baras at dumadaan sa gitna nito
(3.19)
l- ang haba ng pamalo.
Kung ang axis ng pag-ikot ay hindi dumaan sa gitna ng masa, kung gayon ang sandali ng pagkawalang-galaw ng katawan tungkol sa axis na ito ay tinutukoy ng teorema ni Steiner.
(3.20)
Ayon sa teorama na ito, ang sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa isang di-makatwirang axis О'O' ( ) ay katumbas ng moment of inertia tungkol sa isang parallel axis na dumadaan sa gitna ng mass ng katawan ( ) kasama ang produkto ng mass ng katawan na beses sa parisukat ng distansya a sa pagitan ng mga ehe ( kanin. 3.6).
kanin. 3.6
Kinetic energy ng pag-ikot
Isaalang-alang ang pag-ikot ng isang ganap na matibay na katawan sa paligid ng isang nakapirming axis OO na may isang angular na bilis ω (kanin. 3.7). Hatiin natin ang matigas na katawan n elementarya ∆ m i. Ang bawat elemento ng masa ay umiikot sa isang bilog na radius r i na may linear na bilis (). Ang kinetic energy ay ang kabuuan ng mga kinetic energies ng mga indibidwal na elemento.
(3.21)
kanin. 3.7
Alalahanin mula sa (3.13) na ay ang moment of inertia tungkol sa OO axis.
Kaya, ang kinetic energy ng isang umiikot na katawan
E k \u003d (3.22)
Isinaalang-alang namin ang kinetic energy ng pag-ikot sa paligid ng isang nakapirming axis. Kung ang katawan ay kasangkot sa dalawang paggalaw: sa pagsasalin at pag-ikot na paggalaw, kung gayon ang kinetic energy ng katawan ay ang kabuuan ng kinetic energy abanteng paggalaw at kinetic energy ng pag-ikot.
Halimbawa, isang bola ng masa m gumugulong; ang sentro ng masa ng bola ay umuusad nang may bilis u (kanin. 3.8).
kanin. 3.8
Ang kabuuang kinetic energy ng bola ay magiging katumbas ng
(3.23)
3.4. sandali ng salpok. batas sa konserbasyon
angular momentum
Pisikal na dami na katumbas ng produkto ng moment of inertia ako sa angular na bilis ω , ay tinatawag na angular momentum (sandali ng momentum) L tungkol sa axis ng pag-ikot.
– angular momentum ay isang vector quantity at tumutugma sa direksyon sa direksyon ng angular velocity .
Differentiating equation (3.24) na may kinalaman sa oras, nakuha namin
saan, M ay ang kabuuang sandali ng mga panlabas na puwersa. Sa isang nakahiwalay na sistema, walang sandali ng panlabas na puwersa ( M=0) at
Isaalang-alang muna ang isang matibay na katawan na umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis OZ na may angular na bilis ω (fig.5.6). Hatiin natin ang katawan sa elementarya. Ang linear velocity ng isang elementary mass ay , kung saan ang distansya nito mula sa axis ng pag-ikot. Kinetic energy i-na ang elementarya ay magiging katumbas ng
.
Ang kinetic energy ng buong katawan ay binubuo ng kinetic energies ng mga bahagi nito, samakatuwid
.
Isinasaalang-alang na ang kabuuan sa kanang bahagi ng kaugnayan na ito ay kumakatawan sa sandali ng pagkawalang-galaw ng katawan tungkol sa axis ng pag-ikot, sa wakas ay nakuha natin
. (5.30)
Ang mga formula para sa kinetic energy ng isang umiikot na katawan (5.30) ay katulad ng mga katumbas na formula para sa kinetic energy ng translational motion ng isang katawan. Ang mga ito ay nakuha mula sa huli sa pamamagitan ng pormal na pagpapalit 
.
Sa pangkalahatang kaso, ang paggalaw ng isang matibay na katawan ay maaaring kinakatawan bilang isang kabuuan ng mga galaw - translational na may bilis na katumbas ng bilis ng sentro ng masa ng katawan, at pag-ikot na may isang angular na bilis sa paligid ng instantaneous axis na dumadaan sa sentro ng masa. Sa kasong ito, ang expression para sa kinetic energy ng katawan ay tumatagal ng anyo
.
Hanapin natin ngayon ang gawaing ginawa ng sandali ng mga panlabas na puwersa sa panahon ng pag-ikot ng isang matibay na katawan. Pangunahing gawain ng mga panlabas na puwersa sa oras dt ay magiging katumbas ng pagbabago sa kinetic energy ng katawan
Ang pagkuha ng pagkakaiba mula sa kinetic energy ng rotational motion, nakita natin ang pagtaas nito
.
Alinsunod sa pangunahing equation ng dynamics para sa rotational motion
Isinasaalang-alang ang mga ugnayang ito, binabawasan namin ang expression para sa elementarya sa anyo
kung saan ang projection ng nagresultang sandali ng mga panlabas na puwersa sa direksyon ng axis ng pag-ikot OZ, ay ang anggulo ng pag-ikot ng katawan para sa isinasaalang-alang na tagal ng panahon.
Pagsasama ng (5.31), nakakakuha tayo ng formula para sa gawain ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa isang umiikot na katawan
Kung , kung gayon ang formula ay pinasimple
Kaya, ang gawain ng mga panlabas na puwersa sa panahon ng pag-ikot ng isang matibay na katawan tungkol sa isang nakapirming axis ay tinutukoy ng pagkilos ng projection ng sandali ng mga puwersang ito sa isang naibigay na axis.
Gyroscope
Ang gyroscope ay isang mabilis na umiikot na simetriko na katawan, ang axis ng pag-ikot na maaaring magbago ng direksyon nito sa kalawakan. Upang ang axis ng gyroscope ay malayang umiikot sa kalawakan, ang gyroscope ay inilalagay sa tinatawag na gimbal suspension (Larawan 5.13). Ang flywheel ng gyroscope ay umiikot sa panloob na annular cage sa paligid ng C 1 C 2 axis na dumadaan sa sentro ng grabidad nito. Ang panloob na hawla, sa turn, ay maaaring paikutin sa panlabas na hawla sa paligid ng axis B 1 B 2 patayo sa C 1 C 2 . Sa wakas, ang panlabas na lahi ay maaaring malayang umiikot sa strut bearings sa paligid ng axis A 1 A 2 patayo sa mga axes C 1 C 2 at B 1 B 2 . Ang lahat ng tatlong axes ay bumalandra sa ilang nakapirming punto O, na tinatawag na sentro ng suspensyon o ang fulcrum ng gyroscope. Ang gyroscope sa gimbal ay may tatlong antas ng kalayaan at, samakatuwid, ay maaaring gumawa ng anumang pag-ikot sa paligid ng gitna ng gimbal. Kung ang suspension center ng gyroscope ay tumutugma sa center of gravity nito, ang resultang moment of gravity ng lahat ng bahagi ng gyroscope na nauugnay sa suspension center ay katumbas ng zero. Ang ganitong gyroscope ay tinatawag na balanse.
Isaalang-alang natin ngayon ang pinakamahalagang katangian ng gyroscope, na natagpuan ang malawak na aplikasyon para dito sa iba't ibang larangan.
1) Pagpapanatili.
Sa anumang pag-ikot ng balanseng gyroscope rack, ang axis ng pag-ikot nito ay nananatiling parehong direksyon na may paggalang sa frame ng sanggunian ng laboratoryo. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang sandali ng lahat ng mga panlabas na puwersa, katumbas ng sandali ng mga puwersa ng friction, ay napakaliit at halos hindi nagiging sanhi ng pagbabago sa angular momentum ng gyroscope, i.e.
Dahil ang angular momentum ay nakadirekta kasama ang axis ng pag-ikot ng gyroscope, ang oryentasyon nito ay dapat manatiling hindi nagbabago.
Kung ang isang panlabas na puwersa ay kumikilos nang maikling panahon, kung gayon ang integral na tumutukoy sa pagtaas ng angular momentum ay magiging maliit.
. (5.34)
Nangangahulugan ito na sa ilalim ng panandaliang impluwensya ng kahit na malalaking pwersa, ang paggalaw ng isang balanseng gyroscope ay bahagyang nagbabago. Ang gyroscope, tulad nito, ay lumalaban sa lahat ng mga pagtatangka na baguhin ang magnitude at direksyon ng angular momentum nito. Kaugnay nito ay ang kahanga-hangang katatagan na nakukuha ng paggalaw ng isang gyroscope matapos itong dalhin sa mabilis na pag-ikot. Ang pag-aari na ito ng gyroscope ay malawakang ginagamit para sa awtomatikong kontrol paggalaw ng sasakyang panghimpapawid, barko, missile at iba pang sasakyan.
Kung kumilos tayo sa gyroscope matagal na panahon pare-pareho sa direksyon ng sandali ng mga panlabas na pwersa, pagkatapos ay ang axis ng gyroscope ay itinatag, sa dulo, sa direksyon ng sandali ng mga panlabas na pwersa. Ang phenomenon na ito ay ginagamit sa gyrocompass. Ang aparatong ito ay isang gyroscope, ang axis nito ay maaaring malayang umiikot sa isang pahalang na eroplano. Dahil sa pang-araw-araw na pag-ikot ng Earth at ang pagkilos ng sandali ng mga puwersang sentripugal, ang axis ng gyroscope ay umiikot upang ang anggulo sa pagitan at maging minimal (Larawan 5.14). Ito ay tumutugma sa posisyon ng gyroscope axis sa meridian plane.
2). Gyroscopic effect.
Kung ang isang pares ng pwersa ay inilapat sa isang umiikot na gyroscope, na may posibilidad na paikutin ito sa paligid ng isang axis na patayo sa axis ng pag-ikot, pagkatapos ay iikot ito sa ikatlong axis, patayo sa unang dalawa (Fig. 5.15). Ang hindi pangkaraniwang pag-uugali na ito ng gyroscope ay tinatawag na gyroscopic effect. Ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang sandali ng isang pares ng mga puwersa ay nakadirekta sa kahabaan ng O 1 O 1 axis at ang pagbabago sa vector sa pamamagitan ng isang halaga sa paglipas ng panahon ay magkakaroon ng parehong direksyon. Bilang resulta, ang bagong vector ay iikot tungkol sa O 2 O 2 axis. Kaya, ang tila hindi likas na pag-uugali ng gyroscope ay ganap na tumutugma sa mga batas ng dynamics ng rotational motion.
3). Gyro precession.
Ang precession ng isang gyroscope ay ang conical na paggalaw ng axis nito. Ito ay nangyayari kapag ang sandali ng mga panlabas na puwersa, na nananatiling pare-pareho sa magnitude, ay umiikot nang sabay-sabay sa axis ng gyroscope, na bumubuo ng isang tamang anggulo kasama nito sa lahat ng oras. Upang ipakita ang precession, ang isang gulong ng bisikleta na may pinahabang axle, na dinala sa mabilis na pag-ikot (Larawan 5.16), ay maaaring magsilbi.
Kung ang gulong ay sinuspinde ng pinahabang dulo ng ehe, ang ehe nito ay magsisimulang mag-uuna sa paligid ng vertical axis sa ilalim ng pagkilos ng sarili nitong timbang. Ang isang mabilis na umiikot na tuktok ay maaari ding magsilbi bilang isang pagpapakita ng precession.
Alamin ang mga dahilan para sa precession ng gyroscope. Isaalang-alang ang isang hindi balanseng gyroscope na ang axis ay maaaring malayang umiikot sa isang tiyak na punto O (Larawan 5.16). Ang moment of gravity na inilapat sa gyroscope ay pantay sa magnitude
kung saan ang masa ng dyayroskop, ay ang distansya mula sa punto O hanggang sa gitna ng masa ng dyayroskop, ay ang anggulo na nabuo ng axis ng dyayroskop na may patayo. Ang vector ay nakadirekta patayo sa patayong eroplano na dumadaan sa axis ng gyroscope.
Sa ilalim ng impluwensya ng sandaling ito, ang angular na momentum ng gyroscope (ang simula nito ay nakalagay sa punto O) ay makakatanggap ng pagtaas sa oras, at ang patayong eroplano na dumadaan sa axis ng gyroscope ay iikot sa pamamagitan ng isang anggulo. Ang vector ay palaging patayo sa , samakatuwid, nang hindi nagbabago sa magnitude, ang vector ay nagbabago lamang sa direksyon. Sa kasong ito, pagkaraan ng ilang sandali, ang kamag-anak na posisyon ng mga vector at magiging pareho sa unang sandali. Bilang resulta, ang axis ng gyroscope ay patuloy na iikot sa paligid ng patayo, na naglalarawan ng isang kono. Ang kilusang ito ay tinatawag na precession.
Alamin natin ang angular velocity ng precession. Ayon sa Fig.5.16, ang anggulo ng pag-ikot ng eroplano na dumadaan sa axis ng cone at ang axis ng gyroscope ay katumbas ng
nasaan ang angular momentum ng gyroscope, at ang pagtaas nito sa paglipas ng panahon.
Ang paghahati sa pamamagitan ng , isinasaalang-alang ang mga relasyon sa itaas at mga pagbabagong-anyo, nakukuha natin ang angular na bilis ng precession
. (5.35)
Para sa mga gyroscope na ginagamit sa teknolohiya, ang angular velocity of precession ay milyun-milyong beses na mas mababa kaysa sa rotational speed ng gyroscope.
Sa konklusyon, tandaan namin na ang phenomenon ng precession ay sinusunod din sa mga atomo dahil sa orbital motion ng mga electron.
Mga halimbawa ng paglalapat ng mga batas ng dinamika
Kapag umiikot
1. Isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng batas ng konserbasyon ng angular momentum, na maaaring ipatupad gamit ang Zhukovsky bench. Sa pinakasimpleng kaso, ang Zhukovsky bench ay isang hugis-disk na plataporma (upuan) na maaaring malayang umiikot sa paligid ng isang vertical axis sa ball bearings (Larawan 5.17). Ang demonstrador ay nakaupo o nakatayo sa bangko, pagkatapos nito ay dinadala sa rotational motion. Dahil sa ang katunayan na ang mga puwersa ng friction dahil sa paggamit ng mga bearings ay napakaliit, ang angular na momentum ng system na binubuo ng isang bangko at isang demonstrator tungkol sa axis ng pag-ikot ay hindi maaaring magbago sa oras kung ang system ay naiwan sa sarili nito. Kung ang demonstrador ay may hawak na mabibigat na dumbbells sa kanyang mga kamay at ikakalat ang kanyang mga braso sa mga gilid, pagkatapos ay tataas niya ang sandali ng pagkawalang-galaw ng system, at samakatuwid ang angular na bilis ng pag-ikot ay dapat bumaba upang ang angular na momentum ay mananatiling hindi nagbabago.
Ayon sa batas ng konserbasyon ng angular momentum, bumubuo kami ng isang equation para sa kasong ito
kung saan ang sandali ng pagkawalang-galaw ng tao at ng bangko, at ang sandali ng pagkawalang-galaw ng mga dumbbells sa una at pangalawang posisyon, at ang mga angular na bilis ng sistema.
Ang angular na bilis ng pag-ikot ng system kapag dumarami ang mga dumbbells sa gilid ay magiging katumbas ng
.
Ang gawaing ginawa ng isang tao kapag gumagalaw ang mga dumbbells ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng pagbabago sa kinetic energy ng system
2. Magbigay tayo ng isa pang eksperimento sa bangko ni Zhukovsky. Ang demonstrador ay nakaupo o nakatayo sa isang bangko at binibigyan ng mabilis na umiikot na gulong na may patayong nakadirekta na axis (Larawan 5.18). Pagkatapos ay pinaikot ng demonstrador ang gulong 180 0 . Sa kasong ito, ang pagbabago sa angular na momentum ng gulong ay ganap na inilipat sa bench at ang demonstrator. Bilang isang resulta, ang bangko, kasama ang demonstrator, ay pumapasok sa pag-ikot na may angular na bilis na tinutukoy batay sa batas ng konserbasyon ng angular momentum.
Ang angular momentum ng system sa paunang estado ay tinutukoy lamang ng angular na momentum ng gulong at katumbas ng
kung saan ang moment of inertia ng gulong, ay ang angular velocity ng pag-ikot nito.
Pagkatapos paikutin ang gulong sa isang anggulong 180 0, matutukoy na ang sandali ng momentum ng system sa pamamagitan ng kabuuan ng momentum ng momentum ng bench kasama ang tao at ang sandali ng momentum ng gulong. Isinasaalang-alang ang katotohanan na ang momentum vector ng gulong ay nagbago ng direksyon nito sa kabaligtaran, at ang projection nito sa vertical axis ay naging negatibo, nakuha namin
,
kung saan ang moment of inertia ng "man-platform" system, ay ang angular velocity ng pag-ikot ng bench kasama ang tao.
Ayon sa batas ng konserbasyon ng angular momentum
at 
.
Bilang isang resulta, nakita namin ang bilis ng pag-ikot ng bangko
3. Manipis na rod mass m at haba l umiikot na may angular na bilis ω=10 s -1 sa isang pahalang na eroplano sa paligid ng isang patayong axis na dumadaan sa gitna ng baras. Ang patuloy na pag-ikot sa parehong eroplano, ang baras ay gumagalaw upang ang axis ng pag-ikot ay dumaan na ngayon sa dulo ng baras. Hanapin ang angular velocity sa pangalawang kaso.
Sa problemang ito, dahil sa ang katunayan na ang pamamahagi ng masa ng baras na may kaugnayan sa axis ng pag-ikot ay nagbabago, ang sandali ng pagkawalang-galaw ng baras ay nagbabago din. Alinsunod sa batas ng konserbasyon ng angular momentum ng isang nakahiwalay na sistema, mayroon tayo
Dito - ang sandali ng pagkawalang-kilos ng baras tungkol sa axis na dumadaan sa gitna ng baras; 
- ang sandali ng pagkawalang-galaw ng baras tungkol sa axis na dumadaan sa dulo nito at natagpuan ng teorem ni Steiner.
Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa batas ng konserbasyon ng angular momentum, nakuha namin
,
.
4. Haba ng baras L=1.5 m at timbang m 1=10 kg ay nakabitin sa itaas na dulo. Ang isang bala ay tumama sa gitna ng pamalo na may masa m2=10 g, lumilipad nang pahalang sa bilis na =500 m/s, at naipit sa pamalo. Sa anong anggulo lilihis ang baras pagkatapos ng impact?
Isipin natin sa Fig. 5.19. sistema ng mga nakikipag-ugnayang katawan na "rod-bullet". Ang mga sandali ng mga panlabas na puwersa (gravity, axis reaction) sa sandali ng epekto ay katumbas ng zero, kaya maaari nating gamitin ang batas ng konserbasyon ng angular momentum
Ang angular momentum ng system bago ang impact ay katumbas ng angular momentum ng bullet na may kaugnayan sa suspension point
Ang angular na momentum ng system pagkatapos ng inelastic na epekto ay tinutukoy ng formula
,
kung saan ang sandali ng pagkawalang-galaw ng baras na may kaugnayan sa punto ng suspensyon, ay ang sandali ng pagkawalang-galaw ng bala, ay ang angular na bilis ng baras na may bala kaagad pagkatapos ng epekto.
Ang paglutas ng nagresultang equation pagkatapos ng pagpapalit, nakita namin
.
Gamitin natin ngayon ang batas ng konserbasyon ng mekanikal na enerhiya. Itumbas natin ang kinetic energy ng baras matapos itong tamaan ng bala sa potensyal nitong enerhiya sa pinakamataas na punto ng pag-akyat:
,
kung saan ang taas ng sentro ng masa ng ibinigay na sistema.
Nang maisagawa ang mga kinakailangang pagbabago, nakukuha namin
Ang anggulo ng pagpapalihis ng baras ay nauugnay sa halaga ng ratio
.
Nang maisagawa ang mga kalkulasyon, nakuha namin ang =0,1p=18 0 .
5. Tukuyin ang acceleration ng mga katawan at ang pag-igting ng thread sa Atwood machine, sa pag-aakala na (Fig. 5.20). Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng bloke tungkol sa axis ng pag-ikot ay ako, block radius r. Huwag pansinin ang masa ng thread.
Ayusin natin ang lahat ng pwersang kumikilos sa mga load at block, at buuin ang mga dynamics equation para sa kanila.
Kung walang slippage ng thread kasama ang block, ang linear at angular acceleration ay nauugnay sa kaugnayan
Ang paglutas ng mga equation na ito, nakukuha namin
Pagkatapos ay makikita natin ang T 1 at T 2 .
6. Ang isang thread ay nakakabit sa pulley ng Oberbeck cross (Fig. 5.21), kung saan ang isang load ng masa M= 0.5 kg. Tukuyin kung gaano katagal bago mahulog ang isang load mula sa taas h=1 m sa ilalim na posisyon. Pulley radius r\u003d 3 cm. Apat na timbang ng masa m=250g bawat isa sa layo R= 30 cm mula sa axis nito. Pabayaan ang sandali ng pagkawalang-galaw ng krus mismo at ang kalo kumpara sa sandali ng pagkawalang-galaw ng mga timbang.
Ang kinetic energy ng umiikot na katawan ay katumbas ng kabuuan ng kinetic energies ng lahat ng particle ng katawan:
Ang masa ng anumang particle, ang linear (circumferential) na bilis nito, proporsyonal sa distansya ng particle na ito mula sa axis ng pag-ikot. Ang pagpapalit sa expression na ito at pagkuha ng angular velocity o karaniwan para sa lahat ng mga particle mula sa tanda ng kabuuan, makikita natin:
Ang formula na ito para sa kinetic energy ng isang umiikot na katawan ay maaaring mabawasan sa isang form na katulad ng expression para sa kinetic energy ng translational motion kung ipinakilala natin ang halaga ng tinatawag na moment of inertia ng katawan. Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang materyal na punto ay ang produkto ng masa ng punto at ang parisukat ng distansya nito mula sa axis ng pag-ikot. Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng katawan ay ang kabuuan ng mga sandali ng pagkawalang-galaw ng lahat ng mga materyal na punto ng katawan:
Kaya, ang kinetic energy ng isang umiikot na katawan ay tinutukoy ng sumusunod na formula:
Ang formula (2) ay naiiba sa pormula na tumutukoy sa kinetic energy ng isang katawan sa translational motion dahil sa halip na ang body mass, ang moment of inertia ay pumapasok ako dito at sa halip na ang velocity, ang group velocity.
Ang malaking kinetic energy ng umiikot na flywheel ay ginagamit sa teknolohiya upang mapanatili ang pagkakapareho ng makina sa ilalim ng biglang pagbabago ng load. Sa una, upang dalhin ang flywheel na may malaking sandali ng inertia sa pag-ikot, ang makina ay nangangailangan ng malaking trabaho, ngunit kapag ang isang malaking load ay biglang binuksan, ang makina ay hindi tumitigil at gumagana dahil sa kinetic energy reserve ng flywheel.
Partikular na napakalaking flywheel ang ginagamit sa mga rolling mill na pinapatakbo ng de-kuryenteng motor. Narito ang paglalarawan ng isa sa mga gulong na ito: “Ang gulong ay may diameter na 3.5 m at tumitimbang normal na bilis Sa 600 rpm, ang kinetic energy ng gulong ay tulad na sa oras ng pag-ikot, ang gulong ay nagbibigay sa gilingan ng lakas na 20,000 hp. Sa. Ang alitan sa mga bearings ay pinananatiling pinakamaliit sa pamamagitan ng isang fairy tale sa ilalim ng presyon, at upang maiwasan ang nakakapinsalang epekto ng mga puwersa ng centrifugal inertia, ang gulong ay balanse upang ang pagkarga na inilagay sa circumference ng gulong ay naglalabas nito sa pahinga.
Ipinakita namin (nang hindi nagsasagawa ng mga kalkulasyon) ang mga halaga ng mga sandali ng pagkawalang-galaw ng ilang mga katawan (pinapalagay na ang bawat isa sa mga katawan na ito ay may parehong density sa lahat ng mga seksyon nito).
Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang manipis na singsing tungkol sa isang axis na dumadaan sa gitna nito at patayo sa eroplano nito (Larawan 55):
Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang bilog na disk (o cylinder) tungkol sa isang axis na dumadaan sa gitna nito at patayo sa eroplano nito (ang polar moment ng inertia ng disk; Fig. 56):
Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang manipis na bilog na disk tungkol sa isang axis na tumutugma sa diameter nito (equatorial moment of inertia ng disk; Fig. 57):
Ang sandali ng pagkawalang-kilos ng bola tungkol sa axis na dumadaan sa gitna ng bola:
Sandali ng pagkawalang-galaw ng isang manipis na spherical layer ng radius tungkol sa isang axis na dumadaan sa gitna:
Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang makapal na spherical layer (isang guwang na bola na may panlabas na radius ng ibabaw at isang radius ng cavity) tungkol sa isang axis na dumadaan sa gitna:
Ang pagkalkula ng mga sandali ng inertia ng mga katawan ay isinasagawa gamit ang integral calculus. Upang magbigay ng ideya ng kurso ng naturang mga kalkulasyon, nakita namin ang sandali ng pagkawalang-galaw ng baras na may kaugnayan sa axis na patayo dito (Larawan 58). Hayaang magkaroon ng isang seksyon ng baras, density. Binibigyang-diin namin ang isang maliit na bahagi ng baras, na may haba at matatagpuan sa layo na x mula sa axis ng pag-ikot. Pagkatapos ang masa nito Dahil ito ay nasa layo na x mula sa axis ng pag-ikot, kung gayon ang moment of inertia nito Pinagsasama namin mula zero hanggang I:
Moment of inertia ng isang rectangular parallelepiped tungkol sa axis ng symmetry (Fig. 59)
Moment of inertia ng annular torus (Fig. 60)
Isaalang-alang natin kung paano ang enerhiya ng pag-ikot ng isang katawan na lumiligid (nang hindi dumudulas) sa eroplano ay konektado sa enerhiya ng translational motion ng katawan na ito,
Ang enerhiya ng translational motion ng isang rolling body ay , kung saan ang masa ng katawan at ang bilis ng translational motion. Hayaang tukuyin ang angular velocity ng pag-ikot ng rolling body at ang radius ng body. Madaling maunawaan na ang bilis ng pagsasalin ng paggalaw ng isang katawan na gumulong nang hindi dumudulas ay katumbas ng circumferential speed ng katawan sa mga punto ng pakikipag-ugnay ng katawan sa eroplano (sa panahon na ang katawan ay gumagawa ng isang rebolusyon, ang ang sentro ng grabidad ng katawan ay gumagalaw ng malayo, samakatuwid,
Sa ganitong paraan,
Enerhiya ng pag-ikot
kaya naman,
Ang pagpapalit dito ng mga halaga sa itaas ng mga sandali ng pagkawalang-galaw, nalaman namin na:
a) ang enerhiya ng rotational motion ng rolling hoop ay katumbas ng enerhiya ng translational motion nito;
b) ang enerhiya ng pag-ikot ng isang rolling homogenous na disk ay katumbas ng kalahati ng enerhiya ng translational motion;
c) ang enerhiya ng pag-ikot ng isang rolling homogenous na bola ay ang enerhiya ng translational motion.
Ang pag-asa ng sandali ng pagkawalang-galaw sa posisyon ng axis ng pag-ikot. Hayaang ang baras (Larawan 61) na may sentro ng gravity sa punto C ay umikot na may angular na bilis (o sa paligid ng axis O, patayo sa eroplano ng pagguhit. Ipagpalagay na sa loob ng isang tiyak na tagal ng panahon ay lumipat ito mula sa posisyon AB hanggang at ang sentro ng grabidad ay inilarawan ang isang arko. Ang paggalaw na ito ay maaaring ituring na parang ang baras ay unang nagsasalin (iyon ay, nananatiling kahanay sa sarili nito) lumipat sa posisyon at pagkatapos ay umikot sa paligid ng C sa posisyon. gravity mula sa axis ng pag-ikot) sa pamamagitan ng a, at ang anggulo sa pamamagitan ng Kapag ang baras ay gumagalaw mula sa posisyon At Sa posisyon, ang displacement ng bawat isa sa mga particle nito ay pareho sa pag-aalis ng sentro ng grabidad, ibig sabihin, ito ay katumbas ng o Sa. makuha ang aktwal na paggalaw ng baras, maaari nating ipagpalagay na ang parehong mga paggalaw na ito ay ginanap nang sabay-sabay. tungkol sa axis na dumadaan sa O ay maaaring mabulok sa dalawang bahagi.
Ang mga pangunahing dynamic na katangian ng rotational motion ay ang angular momentum tungkol sa rotation axis z:
at kinetic energy
Sa pangkalahatang kaso, ang enerhiya sa panahon ng pag-ikot na may angular na bilis ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
, nasaan ang inertia tensor .Sa eksaktong parehong pangangatwiran tulad ng sa kaso ng translational motion, ang equipartition ay nagpapahiwatig na sa thermal equilibrium ang average na rotational energy ng bawat particle ng isang monatomic gas ay: (3/2)k B T. Katulad nito, ang equipartition theorem ay nagpapahintulot sa isa na kalkulahin ang root-mean-square na angular velocity ng mga molekula.
Wikimedia Foundation. 2010 .
Ang terminong ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Enerhiya (mga kahulugan). Enerhiya, Dimensyon ... Wikipedia
MGA GALAW- MGA MOVEMENT. Mga Nilalaman: Geometry D.....................452 Kinematics D...................456 Dynamics D. ...................461 Mga mekanismo ng motor ......................465 Paraan ng pag-aaral D. ng isang tao ..........471 Patolohiya D. ng isang tao ............. 474 ... ... Malaking Medical Encyclopedia
Enerhiya ng kinetic na enerhiya mekanikal na sistema, depende sa bilis ng mga punto nito. Kadalasang inilalaan ang kinetic energy ng translational at rotational motion. Mas mahigpit, ang kinetic energy ay ang pagkakaiba sa pagitan ng kabuuang ... ... Wikipedia
Thermal motion ng α peptide. Ang kumplikadong nanginginig na paggalaw ng mga atomo na bumubuo sa peptide ay random, at ang enerhiya ng isang indibidwal na atom ay nagbabago sa isang malawak na hanay, ngunit ang paggamit ng batas ng equipartition ay kinakalkula bilang ang average na kinetic energy ng bawat ... ... Wikipedia
Thermal motion ng α peptide. Ang kumplikadong nanginginig na paggalaw ng mga atomo na bumubuo sa peptide ay random, at ang enerhiya ng isang indibidwal na atom ay nagbabago sa isang malawak na hanay, ngunit ang paggamit ng batas ng equipartition ay kinakalkula bilang ang average na kinetic energy ng bawat ... ... Wikipedia
- (French marées, German Gezeiten, English tides) panaka-nakang pagbabagu-bago antas ng tubig dahil sa atraksyon ng buwan at araw. Pangkalahatang Impormasyon. Ang P. ay pinaka-kapansin-pansin sa baybayin ng mga karagatan. Kaagad pagkatapos ng mababang tubig ng pinakamalaking low tide, ang antas ng karagatan ay nagsisimula sa ... ... encyclopedic Dictionary F. Brockhaus at I.A. Efron
Ang pinalamig na sisidlan Ivory Tirupati paunang katatagan ay negatibong Kakayahang Katatagan ... Wikipedia
Ang pinalamig na sisidlan Ivory Tirupati paunang katatagan ay negatibo Katatagan ang kakayahan ng isang lumulutang na bapor na lumaban panlabas na pwersa, na nagiging sanhi upang ito ay gumulong o pumantay at bumalik sa isang estado ng ekwilibriyo sa dulo ng nakakaligalig ... ... Wikipedia
