Online kalkulačka umožňuje rýchlo nájsť najväčšie spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok dvoch a akéhokoľvek iného počtu čísel.
Kalkulačka na nájdenie GCD a NOC
Nájdite GCD a NOC
GCD a NOC nájdené: 5806
Najväčší spoločný deliteľ viacerých čísel je najväčšie prirodzené celé číslo, ktorým sú všetky pôvodné čísla bezo zvyšku deliteľné. Najväčší spoločný deliteľ je skrátený ako GCD.
Najmenší spoločný násobok viac čísel je najmenšie číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné každým z pôvodných čísel. Najmenší spoločný násobok sa označuje skratkou NOC.
Ak chcete zistiť, či je jedno číslo deliteľné druhým bezo zvyšku, môžete použiť niektoré vlastnosti deliteľnosti čísel. Potom ich kombináciou možno skontrolovať deliteľnosť niektorými z nich a ich kombináciami.
1. Znamienko deliteľnosti čísla 2
Ak chcete zistiť, či je číslo deliteľné dvoma (či je párne), stačí sa pozrieť na poslednú číslicu tohto čísla: ak sa rovná 0, 2, 4, 6 alebo 8, potom je číslo párne, čo znamená, že je deliteľné 2.
Príklad: zisti, či je číslo 34938 deliteľné 2.
Riešenie: pozrite sa na poslednú číslicu: 8 znamená, že číslo je deliteľné dvoma.
2. Znamienko deliteľnosti čísla 3
Číslo je deliteľné tromi, keď súčet jeho číslic je deliteľný tromi. Ak teda chcete určiť, či je číslo deliteľné 3, musíte vypočítať súčet číslic a skontrolovať, či je deliteľné 3. Aj keď sa ukázalo, že súčet číslic je veľmi veľký, môžete zopakovať rovnaký postup. znova.
Príklad: určite, či je číslo 34938 deliteľné 3.
Riešenie: spočítame súčet číslic: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je deliteľné 3, čo znamená, že číslo je deliteľné tromi.
3. Znamienko deliteľnosti čísla 5
Číslo je deliteľné 5, ak je jeho posledná číslica nula alebo päť.
Príklad: určite, či je číslo 34938 deliteľné 5.
Riešenie: pozrite sa na poslednú číslicu: 8 znamená, že číslo NIE JE deliteľné piatimi.
4. Znamienko deliteľnosti čísla 9
Toto znamienko je veľmi podobné znamienku deliteľnosti tromi: číslo je deliteľné 9, ak súčet jeho číslic je deliteľný 9.
Príklad: určite, či je číslo 34938 deliteľné 9.
Riešenie: vypočítame súčet číslic: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je deliteľné 9, čo znamená, že číslo je deliteľné deviatimi.
Väčšina jednoduchým spôsobom Výpočet najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel znamená nájsť všetkých možných deliteľov týchto čísel a vybrať najväčšieho z nich.
Zvážte túto metódu pomocou príkladu hľadania GCD(28, 36):
Existujú dva najbežnejšie spôsoby, ako nájsť najmenší násobok dvoch čísel. Prvým spôsobom je, že si môžete vypísať prvé násobky dvoch čísel a potom si z nich vybrať také číslo, ktoré bude pre obe čísla spoločné a zároveň najmenšie. A druhým je nájsť GCD týchto čísel. Len to zvážme.
Ak chcete vypočítať LCM, musíte vypočítať súčin pôvodných čísel a potom ho rozdeliť na predtým nájdené GCD. Nájdite LCM pre rovnaké čísla 28 a 36:
Najväčší spoločný deliteľ možno nájsť pre niekoľko čísel, nielen pre dve. Na tento účel sa čísla, ktoré sa majú nájsť pre najväčšieho spoločného deliteľa, rozložia na prvočísla a potom sa nájde súčin spoločných prvočiniteľov týchto čísel. Ak chcete nájsť GCD niekoľkých čísel, môžete použiť nasledujúci vzťah: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).
Podobný vzťah platí aj pre najmenší spoločný násobok čísel: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
Príklad: nájdite GCD a LCM pre čísla 12, 32 a 36.
Poďme vyriešiť problém. Máme dva typy cookies. Niektoré sú čokoládové a niektoré obyčajné. Čokoládových kúskov je 48, jednoduchých 36. Z týchto keksíkov je potrebné vyrobiť maximálny možný počet darčekov a treba ich použiť všetky.
Najprv si zapíšme všetkých deliteľov každého z týchto dvoch čísel, keďže obe tieto čísla musia byť deliteľné počtom darov.
Dostaneme
Nájdime medzi deliteľmi tie spoločné, ktoré má prvé aj druhé číslo.
Spoločné deliče budú: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Najväčší spoločný deliteľ zo všetkých je 12. Toto číslo sa nazýva najväčší spoločný deliteľ 36 a 48.
Na základe výsledku môžeme konštatovať, že zo všetkých cookies možno vyrobiť 12 darčekov. Jeden takýto darček bude obsahovať 4 čokoládové sušienky a 3 bežné sušienky.
Niekedy sa na skrátenie záznamu používa skratka GCD.
Niektoré dvojice čísel majú jedničku ako najväčšieho spoločného deliteľa. Takéto čísla sa nazývajú coprime čísla. Napríklad čísla 24 a 35. Majte GCD =1.
Aby ste našli najväčšieho spoločného deliteľa, nie je potrebné vypisovať všetkých deliteľov týchto čísel.
Môžete to urobiť inak. Najprv započítajte obe čísla do prvočísel.
Teraz z faktorov, ktoré sú zahrnuté v rozšírení prvého čísla, vymažeme všetky tie, ktoré nie sú zahrnuté v rozšírení druhého čísla. V našom prípade ide o dve dvojky.
Zostávajú faktory 2, 2 a 3. Ich súčin je 12. Toto číslo bude najväčším spoločným deliteľom čísel 48 a 36.
Toto pravidlo možno rozšíriť na prípady troch, štyroch atď. čísla.
2 |
5 |
||||||
2 |
5 |
||||||
3 |
3 |
||||||
5 |
|||||||
60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Vypíšeme faktory zahrnuté do rozšírenia prvého z týchto čísel a doplníme k nim chýbajúci faktor 5 z rozšírenia druhého čísla. Dostaneme: 2*2*3*5*5=300. Nájdené NOC, t.j. táto suma = 300. Nezabudnite na rozmer a napíšte odpoveď:
Odpoveď: Mama dáva po 300 rubľov.
Definícia GCD: Najväčší spoločný deliteľ (GCD) prirodzené čísla ale A v pomenujte najväčšie prirodzené číslo c, ktorému a a, A b rozdelené bezo zvyšku. Tie. c je najmenšie prirodzené číslo, pre ktoré a ale A b sú násobky.
Pripomienka: Existujú dva prístupy k definícii prirodzených čísel
Záporné a necelé (racionálne, reálne, ...) čísla nie sú prirodzené. Niektorí autori zaraďujú do množiny prirodzených čísel nulu, iní nie. Množina všetkých prirodzených čísel sa zvyčajne označuje symbolom N
Pripomienka: Deliteľ prirodzeného čísla a zavolajte na číslo b, ku ktorému a rozdelené bezo zvyšku. Násobok prirodzeného čísla b nazývané prirodzené číslo a, ktorý je rozdelený podľa b bez stopy. Ak číslo b- deliteľ čísla a, potom a násobok b. Príklad: 2 je deliteľ 4 a 4 je násobok 2. 3 je deliteľ 12 a 12 je násobok 3.
Pripomienka: Prirodzené čísla sa nazývajú prvočísla, ak sú deliteľné bezo zvyšku len samy sebou a 1. Koprvé sú čísla, ktoré majú iba jedného spoločného deliteľa rovného 1.
Definícia toho, ako nájsť GCD vo všeobecnom prípade: Ak chcete nájsť GCD (najväčší spoločný deliteľ) Je potrebných niekoľko prirodzených čísel:
1) Rozložte ich na hlavné faktory. (Tabuľka prvočísel môže byť veľmi užitočná.)
2) Napíšte faktory zahrnuté do rozšírenia jedného z nich.
3) Vymažte tie, ktoré nie sú zahrnuté v rozšírení zostávajúcich čísel.
4) Vynásobte faktory získané v odseku 3).
Úloha 2 na (NOK): Do nového roka Kolja Puzatov kúpil v meste 48 škrečkov a 36 kávových kanvíc. Fekla Dormidontova ako najčestnejšie dievča v triede dostala za úlohu rozdeliť túto nehnuteľnosť na čo najväčší počet darčekových setov pre učiteľov. Aký je počet súprav? Aké je zloženie setov?
Príklad 2.1. riešenie problému nájdenia GCD. Nájdenie GCD výberom.
Riešenie: Každé z čísel 48 a 36 musí byť deliteľné počtom darov.
1) Napíšte deliteľov 48: 48, 24, 16, 12
, 8, 6, 3, 2, 1
2) Napíšte deliteľov 36: 36, 18, 12
, 9, 6, 3, 2, 1 Vyberte najväčšieho spoločného deliteľa. Op-la-la! Nájdené, toto je počet sád 12 kusov.
3) Vydelíme 48 12, dostaneme 4, vydelíme 36 12, dostaneme 3. Nezabudni na rozmer a napíš odpoveď:
Odpoveď: V každej sade dostanete 12 sád po 4 škrečky a 3 kanvice na kávu.
Lancinova Aisa
Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si Google účet (účet) a prihláste sa: https://accounts.google.com
Úlohy pre GCD a LCM čísel Práca žiačky 6. ročníka MKOU "Kamyshovskaya OOSh" Lantsinova Aisa školiteľka Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna, učiteľka matematiky p. Kamyshovo, 2013
Príklad nájdenia GCD čísel 50, 75 a 325. 1) Rozložme čísla 50, 75 a 325 na prvočiniteľa. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 delte bezo zvyšku čísla a a b nazývame najväčším spoločným deliteľom týchto čísel.
Príklad nájdenia LCM čísel 72, 99 a 117. 1) Rozložme čísla 72, 99 a 117 na rozklad. Vypíšte faktory zahrnuté v expanzii jedného z čísel 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 a pridajte k nim chýbajúce faktory zvyšných čísel. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Nájdite súčin výsledných faktorov. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Odpoveď: LCM (72, 99 a 117) = 10296 Najmenší spoločný násobok prirodzených čísel aab sa nazýva najmenšie prirodzené číslo, ktoré je násobkom a a b.
Hárok lepenky má tvar obdĺžnika, ktorého dĺžka je 48 cm a šírka 40 cm Tento hárok je potrebné bez odpadu rozrezať na rovnaké štvorce. Aké najväčšie štvorce možno získať z tohto hárku a koľko? Riešenie: 1) S = a ∙ b je plocha obdĺžnika. S \u003d 48 ∙ 40 \u003d 1960 cm². je plocha kartónu. 2) a - strana štvorca 48: a - počet štvorcov, ktoré možno položiť pozdĺž dĺžky kartónu. 40: a - počet štvorcov, ktoré možno položiť po šírke kartónu. 3) GCD (40 a 48) \u003d 8 (cm) - strana štvorca. 4) S \u003d a² - plocha jedného štvorca. S \u003d 8² \u003d 64 (cm².) - plocha jedného štvorca. 5) 1960: 64 = 30 (počet štvorcov). Odpoveď: 30 štvorcov so stranou každého 8 cm. Úlohy pre GCD
Krb v miestnosti musí byť vyložený dokončovacími dlaždicami v tvare štvorca. Koľko kachlí je potrebných na krb 195 ͯ 156 cm a aké sú najväčšie veľkosti kachlí? Riešenie: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) - S povrchu krbu. 2) GCD (195 a 156) = 39 (cm) - strana dlaždice. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - plocha 1 dlaždice. 4) 30420: = 20 (kusov). Odpoveď: 20 dlaždíc s rozmermi 39 ͯ 39 (cm). Úlohy pre GCD
Záhradný pozemok s rozmermi 54 ͯ 48 m po obvode musí byť oplotený, preto treba v pravidelných rozostupoch umiestniť betónové stĺpy. Koľko stožiarov treba priniesť na miesto a v akej maximálnej vzdialenosti od seba budú stožiare stáť? Riešenie: 1) P = 2(a + b) – obvod lokality. P \u003d 2 (54 + 48) \u003d 204 m. 2) GCD (54 a 48) \u003d 6 (m) - vzdialenosť medzi stĺpmi. 3) 204: 6 = 34 (piliere). Odpoveď: 34 stĺpov, vo vzdialenosti 6 m.Úlohy pre GCD
Z 210 bordových, 126 bielych, 294 červených ruží sa nazbieralo kytíc, pričom v každej kytici je rovnaký počet ruží rovnakej farby. Ktoré najväčší počet kytice vyrobené z týchto ruží a koľko ruží z každej farby je v jednej kytici? Riešenie: 1) GCD (210, 126 a 294) = 42 (kytice). 2) 210: 42 = 5 (bordové ruže). 3) 126: 42 = 3 (biele ruže). 4) 294:42 = 7 (červené ruže). Odpoveď: 42 kytíc: 5 bordových, 3 biele, 7 červených ruží v každej kytici. Úlohy pre GCD
Tanya a Masha kúpili rovnaký počet poštových schránok. Tanya zaplatila 90 rubľov a Masha zaplatila 5 rubľov. viac. Koľko stojí jedna sada? Koľko súprav si každý kúpil? Riešenie: 1) Masha zaplatila 90 + 5 = 95 (rubľov). 2) GCD (90 a 95) = 5 (rubľov) - cena 1 sady. 3) 980: 5 = 18 (sady) - kúpila Tanya. 4) 95: 5 = 19 (sady) - Masha kúpila. Odpoveď: 5 rubľov, 18 sád, 19 sád. Úlohy pre GCD
V prístavnom meste začínajú tri turistické výlety loďou, z ktorých prvý trvá 15 dní, druhý - 20 a tretí - 12 dní. Po návrate do prístavu sa lode v ten istý deň opäť vydajú na plavbu. Motorové lode dnes opustili prístav na všetkých troch trasách. O koľko dní sa prvýkrát spolu plavia? Koľko ciest vykoná každá loď? Riešenie: 1) NOC (15.20 a 12) = 60 (dní) - čas stretnutia. 2) 60: 15 = 4 (plavby) - 1 loď. 3) 60: 20 = 3 (plavby) - 2 motorová loď. 4) 60: 12 = 5 (plavby) - 3 motorová loď. Odpoveď: 60 dní, 4 lety, 3 lety, 5 letov. Úlohy pre NOC
Máša kúpila vajcia pre medveďa v obchode. Cestou do lesa si uvedomila, že počet vajec je deliteľný 2, 3, 5, 10 a 15. Koľko vajec kúpila Máša? Riešenie: LCM (2;3;5;10;15) = 30 (vajcia) Odpoveď: Máša kúpila 30 vajec. Úlohy pre NOC
Na stohovanie škatúľ s rozmermi 16 ͯ 20 cm je potrebné vyrobiť škatuľu so štvorcovým dnom Aká by mala byť najkratšia strana štvorcového dna, aby sa škatuľky tesne zmestili do škatule? Riešenie: 1) NOC (16 a 20) = 80 (boxy). 2) S = a ∙ b je plocha 1 krabice. S \u003d 16 ∙ 20 \u003d 320 (cm ²) - plocha dna 1 škatule. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm ²) - štvorcová spodná plocha. 4) S \u003d a² \u003d a ∙ a 25600 \u003d 160 ∙ 160 - rozmery škatule. Odpoveď: 160 cm je strana štvorcového dna. Úlohy pre NOC
Pozdĺž cesty z bodu K sú stĺpy elektrického vedenia každých 45 m. Bolo rozhodnuté nahradiť tieto stĺpy inými s umiestnením vo vzdialenosti 60 m od seba. Koľko stožiarov tam bolo a koľko budú stáť? Riešenie: 1) NOK (45 a 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - boli tam stĺpy. 3) 180: 60 = 3 - boli tam stĺpy. Odpoveď: 4 piliere, 3 piliere. Úlohy pre NOC
Koľko vojakov pochoduje na prehliadke, ak pochodujú vo formácii 12 ľudí v rade a menia sa na kolónu 18 ľudí v rade? Riešenie: 1) NOC (12 a 18) = 36 (ľudí) - pochod. Odpoveď: 36 ľudí. Úlohy pre NOC
Ale mnohé prirodzené čísla sú rovnomerne deliteľné inými prirodzenými číslami.
Napríklad:
Číslo 12 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12;
Číslo 36 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.
Čísla, ktorými je číslo deliteľné (pre 12 je to 1, 2, 3, 4, 6 a 12), sa nazývajú deliteľmi čísel. Deliteľ prirodzeného čísla a je prirodzené číslo, ktoré delí dané číslo a bez stopy. Prirodzené číslo, ktoré má viac ako dva faktory, sa nazýva zložený. Všimnite si, že čísla 12 a 36 majú spoločných deliteľov. Sú to čísla: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najväčší deliteľ týchto čísel je 12.
Spoločný deliteľ dvoch daných čísel a A b je číslo, ktorým sú obe dané čísla bezo zvyšku deliteľné a A b. Spoločný deliteľ viacerých čísel (GCD) je číslo, ktoré slúži ako deliteľ každého z nich.
Stručne povedané, najväčší spoločný deliteľ čísel a A b sú napísané takto:
Príklad gcd (12; 36) = 12.
Deliče čísel v zázname riešenia sa označujú veľkým písmenom „D“.
Príklad:
gcd (7; 9) = 1
Čísla 7 a 9 majú len jedného spoločného deliteľa - číslo 1. Takéto čísla sa nazývajú nesúdeliteľnéchi slam.
Vzájomne základné čísla sú prirodzené čísla, ktoré majú iba jedného spoločného deliteľa – číslo 1. Ich gcd je 1.
To znamená najmä to, že na zmenšenie zlomku na neredukovateľnú formu je potrebné vydeliť jeho čitateľa a menovateľa ich gcd.
a preto predstavujú lineárnu kombináciu čísel m A n:
Tento pomer sa nazýva Bezoutov pomer a koeficienty u A v — bezoutové koeficienty. Bézoutove koeficienty sú efektívne vypočítané rozšíreným Euklidovým algoritmom. Toto tvrdenie je zovšeobecnené na množiny prirodzených čísel – jeho význam je taký, že podskupina skupiny vygenerovaná množinou je cyklická a generuje ju jeden prvok: gcd ( a 1 , a 2 , … , a n).
Efektívne spôsoby výpočtu gcd dvoch čísel sú Euklidov algoritmus A binárnealgoritmus. Okrem toho hodnota GCD ( m,n) možno ľahko vypočítať, ak je známa kanonická expanzia čísel m A n pre hlavné faktory:
kde sú odlišné prvočísla a a sú nezáporné celé čísla (môžu byť nulové, ak príslušné prvočíslo nie je v rozklade). Potom gcd ( m,n) a LCM ( m,n) sú vyjadrené vzorcami:
Ak existujú viac ako dve čísla: , ich GCD sa nájde podľa nasledujúceho algoritmu:
- toto je požadované GCD.
Tiež s cieľom nájsť najväčší spoločný deliteľ, môžete každé z daných čísel rozložiť na prvočísla. Potom samostatne vypíšte len tie faktory, ktoré sú zahrnuté vo všetkých uvedených číslach. Potom vynásobíme čísla napísané medzi sebou - výsledkom násobenia je najväčší spoločný deliteľ .
Poďme analyzovať výpočet najväčšieho spoločného deliteľa krok za krokom:
1. Rozložte deliteľa čísel na prvočiniteľa:
Výpočty sa pohodlne píšu pomocou zvislej čiary. Vľavo od riadku najskôr zapíšte dividendu, vpravo deliteľ. Ďalej do ľavého stĺpca zapíšeme hodnoty private. Poďme si to hneď vysvetliť na príklade. Rozložme čísla 28 a 64 na prvočísla.
2. V oboch číslach podčiarkneme rovnaké prvočísla:
28 = 2 . 2 . 7
64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
3. Nájdeme súčin identických prvočiniteľov a zapíšeme odpoveď:
GCD (28; 64) = 2. 2 = 4
Odpoveď: GCD (28; 64) = 4
Umiestnenie GCD môžete usporiadať dvoma spôsobmi: v stĺpci (ako bolo uvedené vyššie) alebo „v riadku“.
Prvý spôsob zápisu GCD:
Nájdite GCD 48 a 36.
GCD (48; 36) = 2 u. 2. 3 = 12
Druhý spôsob zápisu GCD:
Teraz napíšme riešenie vyhľadávania GCD do riadku. Nájdite GCD 10 a 15.
D(10) = (1, 2, 5, 10)
D(15) = (1, 3, 5, 15)
D(10; 15) = (1; 5)
