Okamžite urobím výhradu, že článok bude diskutovať o expanzii tangenty na nule, ktorá sa v mnohých učebniciach nazýva Maclaurinova expanzia.
Všetky funkcie budú nekonečne diferencovateľné tam, kde potrebujeme.
Zatiaľ čo väčšina ostatných najjednoduchších elementárnych funkcií môže byť ľahko rozšírená do Taylorovho radu a zákon, podľa ktorého sú členy expanzie tvorené, väčšinou nie je komplikovaný a jednoducho uhádnutý, v prípade dotyčnice to tak nie je. Hoci by sa zdalo, že to druhé je len pomer sínusu ku kosínusu, funkcie, s ktorými pri rozklade nie sú problémy. Medzitým, aby sme naznačili formu spoločného výrazu pre dotyčnicu, budeme musieť začať trochu z diaľky a použiť umelé metódy. V praxi však často nie je potrebné poznať všetky koeficienty radu, stačí len niekoľko členov rozšírenia. S takýmto vyjadrením problému sa žiaci stretávajú najčastejšie. Takže, tam začneme. Aby sme sa zvlášť netrápili, budeme hľadať rozklad až po koeficient na piatom stupni.
Prvá vec, ktorá vás tu napadne, je pokúsiť sa priamo použiť Taylorov vzorec. Ľudia často jednoducho nemajú ani poňatia o iných spôsoboch rozširovania v rade. Mimochodom, náš seminarista z matematiky. analýza, v druhom ročníku som hľadal rozklad týmto spôsobom, aj keď nemôžem o ňom povedať nič zlé, strýko je šikovný, možno len chcel ukázať svoje schopnosti v preberaní derivátov. Nech je to akokoľvek, ale získanie derivátov tangenciálneho potešenia vyšších rádov je stále mimoriadne únavná úloha, len jedna z tých, ktoré je jednoduchšie zveriť strojom, a nie človeku. Nás ako skutočných športovcov však nezaujíma výsledok, ale proces a je žiaduce, aby bol proces jednoduchší. Deriváty sú (vypočítané v systéme maxima): 
, 
, 
, 
, . Kto si myslí, že deriváty sa dajú ľahko získať ručne, nech si to urobí v pohode. Každopádne, teraz môžeme napísať rozšírenie: 
.
Pre zjednodušenie uvádzame, že 
a tak prvá derivácia dotyčnice je vyjadrená cez dotyčnicu, navyše z toho vyplýva, že všetky ostatné derivácie dotyčnice budú polynómy dotyčnice, čo nám umožňuje netrpieť s deriváciami kvocientu od sínusov. a kosínusy:
,
,
,
.
Rozklad je samozrejme rovnaký.
O ďalšom spôsobe rozširovania v sérii som sa dozvedel priamo na žinenkovej skúške. rozbor a pre neznalosť tejto metódy som potom dostal zbor. namiesto ex.-a. Význam metódy je v tom, že poznáme expanziu do radu sínusových aj kosínusových, ako aj funkciu , posledná expanzia nám umožňuje nájsť expanziu sekúnd: . Otvorením zátvoriek dostaneme sériu, ktorú je potrebné znásobiť rozšírením sínusu. A teraz nám stačí vynásobiť dva riadky. Pokiaľ ide o zložitosť, pochybujem, že je horšia ako prvá metóda, najmä preto, že množstvo výpočtov rýchlo rastie so zvyšujúcim sa stupňom rozšírenia, ktoré je potrebné nájsť.
Ďalšia metóda je variantom metódy neurčitých koeficientov. Najprv si položme otázku, čo vieme o dotyčnici z toho, čo nám môže pomôcť vybudovať rozklad, takpovediac apriórne. Najdôležitejšia vec je, že funkcia dotyčnice je nepárna, a preto sú všetky koeficienty pri párnych mocninách rovné nule, inými slovami, nie je potrebné nájsť polovicu koeficientov. Potom môžete napísať , alebo , rozšírením sínusu a kosínusu do série, dostaneme . A prirovnaním koeficientov pri rovnakých mocninách dostaneme, 
, 
a vo všeobecnosti 
. Pomocou iteračného procesu teda môžeme nájsť ľubovoľný počet výrazov rozšírenia.
Štvrtá metóda je tiež metóda neurčitých koeficientov, na ktorú však nepotrebujeme rozširovanie ďalších funkcií. Budeme uvažovať diferenciálnu rovnicu pre dotyčnicu. Vyššie sme videli, že deriváciu dotyčnice možno vyjadriť ako funkciu dotyčnice. Nahradením tejto rovnice radom neurčitých koeficientov môžeme napísať . Pomocou druhej mocniny a odtiaľto bude opäť možné nájsť koeficienty expanzie iteračným procesom.
Tieto metódy sú oveľa jednoduchšie ako prvé dva, ale hľadanie výrazov pre spoločný člen radu týmto spôsobom nebude fungovať, ale chceli by sme. Ako som povedal na začiatku, budete musieť začať z diaľky (budem postupovať podľa Courantovho návodu). Začneme rozšírením funkcie do série. V dôsledku toho dostaneme sériu, ktorá bude napísaná vo forme 
, kde čísla sú Bernoulliho čísla.
Spočiatku tieto čísla našiel Jacob Bernoulli pri hľadaní súčtu m-tých mocnín prirodzené čísla 
. Zdalo by sa, a tu trigonometria? Neskôr Euler, ktorý riešil problém súčtu inverzných štvorcov radu prirodzených čísel, dostal odpoveď z rozšírenia sínusu na nekonečný súčin. Ďalej sa ukázalo, že rozšírenie kotangens obsahuje súčty tvaru , pre všetky prirodzené čísla n. A už na základe toho Euler získal výrazy pre takéto sumy v Bernoulliho číslach. Sú tu teda súvislosti a netreba sa čudovať, že expanzia dotyčnice obsahuje túto postupnosť.
Ale vráťme sa k expanzii zlomkov. Rozšírením exponentu, odčítaním jednotky a delením "x" nakoniec dostaneme . Už odtiaľto je zrejmé, že prvé z Bernoulliho čísel sa rovná jednej, druhé mínus jedna sekunda atď. Vypíšme výraz pre k-té Bernoulliho číslo, začínajúc od jednotky. Vynásobením tohto výrazu číslom prepíšeme výraz do nasledujúceho tvaru. A z tohto výrazu môžeme postupne získať Bernoulliho čísla, konkrétne: , , 
Ak je funkcia f(x) má na nejakom intervale obsahujúcom bod ale, deriváty všetkých rádov, potom naň možno použiť Taylorov vzorec:
kde rn- takzvaný zvyškový člen alebo zvyšok série, možno ho odhadnúť pomocou Lagrangeovho vzorca:
, kde číslo x je uzavreté medzi X A ale.
Ak pre nejakú hodnotu x r n®0 pri n®¥, potom sa v limite Taylorov vzorec pre túto hodnotu zmení na konvergentný vzorec Taylorova séria:
Takže funkcia f(x) možno v uvažovanom bode rozšíriť do Taylorovho radu X, ak:
1) má deriváty všetkých rádov;
2) zostrojený rad v tomto bode konverguje.
o ale=0 dostaneme sériu tzv neďaleko Maclaurinu:
Príklad 1 f(x)= 2X.
Riešenie. Nájdeme hodnoty funkcie a jej derivátov na X=0
f(x) = 2X, f( 0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2X ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;
f¢¢(x) = 2X V 22, f¢¢( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;
f(n)(x) = 2X ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.
Nahradením získaných hodnôt derivátov do vzorca Taylorovho radu dostaneme:
Polomer konvergencie tohto radu sa rovná nekonečnu, takže toto rozšírenie platí pre -¥<X<+¥.
Príklad 2 X+4) pre funkciu f(x)= e X.
Riešenie. Hľadanie derivácií funkcie e X a ich hodnoty v bode X=-4.
f(x)= e X, f(-4) = e -4 ;
f¢(x)= e X, f¢(-4) = e -4 ;
f¢¢(x)= e X, f¢¢(-4) = e -4 ;
f(n)(x)= e X, f(n)( -4) = e -4 .
Preto požadovaný Taylorov rad funkcie má tvar:
Tento rozklad platí aj pre -¥<X<+¥.
Príklad 3 . Rozbaliť funkciu f(x)=ln X v sérii podľa stupňov ( X- 1),
(t. j. v Taylorovom rade v blízkosti bodu X=1).
Riešenie. Nájdeme deriváty tejto funkcie.
Nahradením týchto hodnôt do vzorca dostaneme požadovaný Taylorov rad:
Pomocou d'Alembertovho testu možno overiť, že séria konverguje, keď
½ X- 1½<1. Действительно,
Rad konverguje, ak ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 získame striedavý rad, ktorý spĺňa podmienky Leibnizovho testu. o X Funkcia =0 nie je definovaná. Oblasť konvergencie Taylorovho radu je teda polootvorený interval (0;2].
Uveďme takto získané rozšírenia v Maclaurinovom rade (t. j. v susedstve bodu X=0) pre niektoré elementárne funkcie:
(2) 
,
(3) 
,
( posledná expanzia je tzv binomický rad)
Príklad 4 . Rozbaľte funkciu na mocninový rad
Riešenie. V rozklade (1) nahrádzame X na - X 2, dostaneme:
Príklad 5
. Rozšírte funkciu v sérii Maclaurin 
Riešenie. Máme 
Pomocou vzorca (4) môžeme napísať:
nahradenie namiesto X do vzorca -X, dostaneme:
Odtiaľto nájdeme:
Dostaneme rozšírenie zátvoriek, preusporiadanie podmienok série a zmenšenie podobných výrazov
Tento rad v intervale konverguje
(-1;1), pretože je odvodený z dvoch radov, z ktorých každý konverguje v tomto intervale.
Komentujte .
Vzorce (1)-(5) možno použiť aj na rozšírenie zodpovedajúcich funkcií v Taylorovom rade, t.j. na rozšírenie funkcií v kladných celých mocninách ( Ha). Na to je potrebné vykonať na danej funkcii také identické transformácie, aby sme získali jednu z funkcií (1) - (5), v ktorej namiesto X náklady k( Ha) m , kde k je konštantné číslo, m je kladné celé číslo. Často je vhodné zmeniť premennú t=Ha a rozšíriť výslednú funkciu vzhľadom na t v Maclaurinovom rade.
Táto metóda ilustruje teorém o jedinečnosti expanzie funkcie v mocninnom rade. Podstatou tejto vety je, že v okolí toho istého bodu nemožno získať dva rôzne mocninné rady, ktoré by konvergovali k tej istej funkcii, bez ohľadu na to, ako sa jej expanzia vykonáva.
Príklad 6 . Rozšírte funkciu v Taylorovom rade v okolí bodu X=3.
Riešenie. Tento problém je možné vyriešiť, ako predtým, pomocou definície Taylorovho radu, pre ktorý je potrebné nájsť deriváty funkcií a ich hodnoty na X=3. Bude však jednoduchšie použiť existujúci rozklad (5):
Výsledný rad konverguje na 
alebo -3<X- 3<3, 0<X< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
Príklad 7
. Napíšte Taylorovu sériu v mocninách ( X-1) vlastnosti 
.
Riešenie.
Séria konverguje na 
, alebo 2< X 5 £.
Ako vložiť matematické vzorce na stránku?
Ak niekedy potrebujete pridať jeden alebo dva matematické vzorce na webovú stránku, najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je popísaný v článku: matematické vzorce sa jednoducho vložia na stránku vo forme obrázkov, ktoré Wolfram Alpha automaticky vygeneruje. Táto univerzálna metóda okrem jednoduchosti pomôže zlepšiť viditeľnosť stránky vo vyhľadávačoch. Funguje to už dlho (a myslím si, že bude fungovať navždy), ale je morálne zastarané.
Ak na druhej strane neustále používate matematické vzorce na svojej stránke, potom vám odporúčam použiť MathJax, špeciálnu knižnicu JavaScript, ktorá zobrazuje matematický zápis vo webových prehliadačoch pomocou značiek MathML, LaTeX alebo ASCIIMathML.
Existujú dva spôsoby, ako začať používať MathJax: (1) pomocou jednoduchého kódu môžete k svojej stránke rýchlo pripojiť skript MathJax, ktorý sa automaticky načíta zo vzdialeného servera v správnom čase (zoznam serverov); (2) nahrajte skript MathJax zo vzdialeného servera na váš server a pripojte ho ku všetkým stránkam vašej lokality. Druhý spôsob je zložitejší a časovo náročnejší a umožní vám zrýchliť načítavanie stránok vášho webu a ak sa materský server MathJax stane z nejakého dôvodu dočasne nedostupným, nijako to neovplyvní vašu vlastnú stránku. Napriek týmto výhodám som zvolil prvý spôsob, keďže je jednoduchší, rýchlejší a nevyžaduje technické zručnosti. Nasledujte môj príklad a do 5 minút budete môcť na svojej stránke využívať všetky funkcie MathJax.
Skript knižnice MathJax môžete pripojiť zo vzdialeného servera pomocou dvoch možností kódu prevzatých z hlavnej webovej stránky MathJax alebo zo stránky dokumentácie:
Jednu z týchto možností kódu je potrebné skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky
A alebo hneď za značkou . Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky sleduje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak prilepíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v Blogger alebo WordPress: na ovládacom paneli lokality pridajte miniaplikáciu určenú na vkladanie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu načítacieho kódu uvedeného vyššie a umiestnite miniaplikáciu bližšie. na začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do svojich webových stránok.
Akýkoľvek fraktál je zostavený podľa určitého pravidla, ktoré sa dôsledne uplatňuje neobmedzený počet krát. Každý takýto čas sa nazýva iterácia.
Iteračný algoritmus na zostavenie Mengerovej špongie je celkom jednoduchý: pôvodná kocka so stranou 1 je rozdelená rovinami rovnobežnými s jej plochami na 27 rovnakých kociek. Odstráni sa z nej jedna centrálna kocka a 6 kociek, ktoré k nej priliehajú pozdĺž plôch. Vznikne sada pozostávajúca z 20 zostávajúcich menších kociek. Ak urobíme to isté s každou z týchto kociek, dostaneme súpravu pozostávajúcu zo 400 menších kociek. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, dostaneme Mengerovu špongiu.
V teórii funkčných radov zaujíma ústredné miesto časť venovaná expanzii funkcie do radu.
Nastáva teda problém: pre danú funkciu je potrebné nájsť takýto mocninný rad
ktorý konvergoval na nejakom intervale a jeho súčet sa rovnal 
,
tie.
=
..
Táto úloha sa nazýva problém rozšírenia funkcie do mocninového radu.
Nevyhnutná podmienka rozšírenia funkcie do mocninného radu je jeho diferencovateľnosť nekonečne veľakrát - to vyplýva z vlastností konvergentných mocninných radov. Táto podmienka je spravidla splnená pre elementárne funkcie v oblasti ich definície.
Predpokladajme teda, že funkcia 
má deriváty akéhokoľvek rádu. Dá sa rozšíriť na mocninovú sériu, ak áno, ako túto sériu nájsť? Druhá časť problému sa rieši ľahšie, tak začnime ňou.
Predpokladajme, že funkcia 
možno znázorniť ako súčet mocninových radov konvergujúcich v intervale obsahujúcom bod X 0 :
=
..
(*)
kde ale 0 ,ale 1 ,ale 2 ,...,ale P ,... – neisté (zatiaľ) koeficienty.
Dajme rovnosť (*) hodnotu x = x 0 , potom dostaneme
.
Mocninný rad (*) rozlišujeme člen po člene
=
..
a dať sem x = x 0 , dostaneme
.
S ďalšou diferenciáciou dostaneme sériu
=
..
za predpokladu x = x 0 ,
dostaneme 
, kde 
.
Po P-zložková diferenciácia dostaneme
Za predpokladu, že v poslednej rovnosti x = x 0 ,
dostaneme 
, kde
Takže koeficienty sú nájdené
,
,
,
…,
,….,
dosadením ktoré do riadku (*) dostaneme
Výsledný rad je tzv blízko Taylora
pre funkciu
.
Tak sme to zistili ak je možné funkciu rozšíriť na mocninný rad (x - x 0 ), potom je toto rozšírenie jedinečné a výsledný rad je nevyhnutne Taylorovým radom.
Všimnite si, že Taylorov rad možno získať pre akúkoľvek funkciu, ktorá má v bode derivácie akéhokoľvek rádu x = x 0 . To ale ešte neznamená, že medzi funkciu a výsledný rad možno vložiť znamienko rovnosti, t.j. že súčet radu sa rovná pôvodnej funkcii. Po prvé, takáto rovnosť môže mať zmysel len v oblasti konvergencie a Taylorov rad získaný pre funkciu môže divergovať a po druhé, ak Taylorov rad konverguje, potom sa jeho súčet nemusí zhodovať s pôvodnou funkciou.
Sformulujme vyhlásenie, pomocou ktorého bude uvedený problém vyriešený.
Ak je funkcia
v nejakom okolí bodu x 0 má deriváty až do (n+
1)-tého rádu vrátane, potom v tejto štvrti mámevzorec
Taylor
kdeR n (X)-zvyškový člen Taylorovho vzorca - má tvar (Lagrangeova forma)
kde bodkaξ leží medzi x a x 0 .
Všimnite si, že medzi Taylorovým radom a Taylorovým vzorcom je rozdiel: Taylorov vzorec je konečný súčet, t.j. P - pevné číslo.
Pripomeňme, že súčet série S(X) možno definovať ako hranicu funkčnej postupnosti čiastkových súčtov S P (X) v nejakom intervale X:
.
Podľa toho expandovať funkciu do Taylorovho radu znamená nájsť taký rad, že pre ľubovoľný XX
Taylorov vzorec píšeme v tvare kde
Všimni si 
definuje chybu, ktorú dostaneme, nahraďte funkciu f(X)
polynóm S n (X).
Ak 
, potom 
,tie. funkcia expanduje do Taylorovho radu. Naopak, ak 
, potom 
.
Tak sme dokázali kritérium rozšírenia funkcie do Taylorovho radu.
Aby v nejakom intervale funkciaf(x) expanduje v Taylorovom rade, je potrebné a postačujúce, aby na tomto intervale
, kdeR n (X) je zvyšok Taylorovho radu.
Pomocou formulovaného kritéria možno získať dostatočnépodmienky pre expanziu funkcie do Taylorovho radu.
Ak vnejaké okolie bodu x 0 absolútne hodnoty všetkých derivácií funkcie sú obmedzené rovnakým číslom M≥ 0, t.j.
, To v tomto susedstve sa funkcia rozšíri na Taylorov rad.
Z vyššie uvedeného vyplýva algoritmusrozšírenie funkcie f(X) v sérii Taylor v blízkosti bodu X 0 :
1. Hľadanie derivačných funkcií f(X):
f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (X),…
2. Vypočítame hodnotu funkcie a hodnoty jej derivácií v bode X 0
f(x 0 ), f'(x 0 ), f“(x 0 ), f'“ (x 0 ), f (n) (X 0 ),…
3. Formálne napíšeme Taylorov rad a nájdeme oblasť konvergencie výsledného mocninného radu.
4. Kontrolujeme splnenie dostatočných podmienok, t.j. stanoviť pre ktoré X z konvergenčného regiónu, zvyšok obdobia R n (X)
má tendenciu k nule pri 
alebo
.
Rozšírenie funkcií v Taylorovom rade podľa tohto algoritmu sa nazýva rozšírenie funkcie v Taylorovom rade podľa definície alebo priamy rozklad.
