GRADIENTNÁ FUNKCIA u = f(x, y, z) špecifikované v niektorom regióne. priestor (X Y Z), existuje vektor s výbežkami označenými symbolmi: grad 
kde i, j, k- súradnicové vektory. G. f. - existuje bodová funkcia (x, y, z), t.j. tvorí vektorové pole. Derivát v smere G. f. v tomto bode dosahuje najväčšiu hodnotu a rovná sa: 
Smer gradientu je smer najrýchlejšieho nárastu funkcie. G. f. v danom bode je kolmá na rovný povrch prechádzajúci týmto bodom. Efektívnosť použitia G. f. v litologických štúdiách sa ukázalo pri štúdiu eolických ex. Centrálny Karakum.
Geologický slovník: v 2 zväzkoch. - M.: Nedra. Editoval K. N. Paffengolts a kol.. 1978 .
Tento článok je o matematickej charakteristike; o metóde výplne pozri: Gradient (počítačová grafika) ... Wikipedia
- (lat.). Rozdiel v barometrických a termometrických údajoch v rôznych oblastiach. Slovník cudzích slov zahrnutých v ruskom jazyku. Chudinov A.N., 1910. GRADIENTNÝ rozdiel v údajoch barometra a teplomera v rovnakom okamihu ... ... Slovník cudzích slov ruského jazyka
gradient- Zmena hodnoty nejakej veličiny na jednotku vzdialenosti v danom smere. Topografický gradient je zmena nadmorskej výšky na meranej horizontálnej vzdialenosti. Ochrana relé EN gradient vypínacej charakteristiky diferenciálnej ochrany … Technická príručka prekladateľa
Gradient- vektor smerujúci k najrýchlejšiemu nárastu funkcie a veľkosťou rovný jej derivácii v tomto smere: kde symboly ei označujú jednotkové vektory súradnicových osí (orth) ... Ekonomický a matematický slovník
Jeden zo základných konceptov vektorovej analýzy a teórie nelineárnych zobrazení. Gradient skalárnej funkcie vektorového argumentu z euklidovského priestoru E n tzv. derivácia funkcie f (t) vzhľadom na vektorový argument t, teda n-rozmerný vektor s ... ... Matematická encyklopédia
fyziologický gradient- - hodnota odrážajúca zmenu v k alebo indikátor funkcie v závislosti od inej hodnoty; napríklad gradient parciálneho tlaku je rozdiel parciálnych tlakov, ktorý určuje difúziu plynov z alveol (accinus) do krvi az krvi do ... ... Slovník pojmov pre fyziológiu hospodárskych zvierat
I Gradient (z lat. gradiens, rod gradientis walking) Vektor znázorňujúci smer najrýchlejšej zmeny určitej veličiny, ktorej hodnota sa mení z jedného bodu v priestore do druhého (pozri Teória poľa). Ak je hodnota ... ... Veľká sovietska encyklopédia
Gradient- (z lat. gradiens chôdza, chôdza) (v matematike) vektor ukazujúci smer najrýchlejšieho nárastu niektorej funkcie; (vo fyzike) miera zväčšenia alebo zmenšenia v priestore alebo v rovine akejkoľvek fyzikálnej veličiny na jednotku ... ... Začiatky moderných prírodných vied
Niektoré pojmy a termíny sa používajú prísne v rámci úzkych hraníc, iné definície sa nachádzajú v oblastiach, ktoré sú ostro protichodné. Takže napríklad pojem „gradient“ používa fyzik, matematik a špecialista na manikúru alebo „Photoshop“. Čo je gradient ako koncept? Poďme na to.
Čo je to „gradient“ špeciálne tematické slovníky interpretujú vo vzťahu k svojim špecifikám. Preložené z latinčina toto slovo znamená - "ten, čo ide, rastie." A „Wikipedia“ tento pojem definuje ako „vektor označujúci smer rastúcej magnitúdy“. AT výkladové slovníky význam tohto slova vidíme ako „zmenu akejkoľvek hodnoty o jednu hodnotu“. Pojem môže mať kvantitatívny aj kvalitatívny význam.
V skratke ide o plynulý postupný prechod ľubovoľnej hodnoty o jednu hodnotu, progresívnu a nepretržitú zmenu množstva alebo smeru. Vektor počítajú matematici, meteorológovia. Tento koncept sa používa v astronómii, medicíne, umení, počítačovej grafike. Pod podobným pojmom sú definované úplne odlišné typy činností.
Aký je gradient funkcie v matematike? Toto označuje smer rastu funkcie v skalárnom poli z jednej hodnoty na druhú. Veľkosť gradientu sa vypočíta pomocou definície parciálnych derivácií. Na zistenie najrýchlejšieho smeru rastu funkcie na grafe sa vyberú dva body. Definujú začiatok a koniec vektora. Rýchlosť, akou hodnota rastie z jedného bodu do druhého, je veľkosť gradientu. Matematické funkcie založené na výpočtoch tohto ukazovateľa sa používajú vo vektorovej počítačovej grafike, ktorej objektmi sú grafické obrázky matematických objektov.
Pojem gradient je bežný v mnohých odvetviach fyziky: gradient optiky, teploty, rýchlosti, tlaku atď. V tomto odvetví pojem označuje mieru zvýšenia alebo zníženia hodnoty na jednotku. Vypočítava sa ako rozdiel medzi týmito dvoma ukazovateľmi. Pozrime sa na niektoré množstvá podrobnejšie.
Čo je to potenciálny gradient? Pri práci s elektrostatickým poľom sa určujú dve charakteristiky: napätie (výkon) a potenciál (energia). Tieto rôzne veličiny súvisia so životným prostredím. A hoci definujú odlišné vlastnosti, stále majú medzi sebou spojenie.
Na určenie napätia silové pole používa sa gradient potenciálu - hodnota, ktorá určuje rýchlosť zmeny potenciálu v smere siločiary. Ako vypočítať? Potenciálny rozdiel dvoch bodov elektrické pole sa vypočíta zo známeho napätia pomocou vektora intenzity, ktorý sa rovná gradientu potenciálu.
Meteorológovia po prvýkrát použili koncept gradientu na určenie zmeny veľkosti a smeru rôznych meteorologických ukazovateľov: teploty, tlaku, rýchlosti a sily vetra. Je to miera kvantitatívnej zmeny rôznych veličín. Maxwell tento termín zaviedol do matematiky oveľa neskôr. V definícii poveternostné podmienky existujú koncepty vertikálnych a horizontálnych gradientov. Zvážme ich podrobnejšie.
Čo je to vertikálny teplotný gradient? Ide o hodnotu, ktorá ukazuje zmenu výkonu, vypočítanú vo výške 100 m. Môže byť kladná alebo záporná, na rozdiel od horizontálnej, ktorá je vždy kladná.
Gradient ukazuje veľkosť alebo uhol sklonu na zemi. Vypočíta sa ako pomer výšky k dĺžke priemetu dráhy na určitom úseku. Vyjadrené v percentách.
Definíciu "teplotného gradientu" možno tiež nájsť medzi lekárske termíny. Ukazuje rozdiel v zodpovedajúcich ukazovateľoch vnútorné orgány a povrchu tela. V biológii fyziologický gradient fixuje zmenu vo fyziológii akéhokoľvek orgánu alebo organizmu ako celku v ktoromkoľvek štádiu jeho vývoja. V medicíne je metabolickým ukazovateľom intenzita metabolizmu.
Tento termín vo svojej práci používajú nielen fyzici, ale aj lekári. Čo je tlakový gradient v kardiológii? Tento pojem definuje rozdiel v krvnom tlaku v akýchkoľvek prepojených úsekoch kardiovaskulárneho systému.
Klesajúci gradient automatiky je indikátorom poklesu frekvencie vzruchov srdca v smere od jeho základne k vrcholu, ktoré sa vyskytujú automaticky. Okrem toho kardiológovia identifikujú miesto arteriálneho poškodenia a jeho stupeň riadením rozdielu v amplitúdach systolických vĺn. Inými slovami, pomocou amplitúdového gradientu impulzu.
Keď sa hovorí o rýchlosti zmeny určitej veličiny, myslí sa tým rýchlosť zmeny v čase a priestore. Inými slovami, gradient rýchlosti určuje zmenu priestorových súradníc vo vzťahu k časovým ukazovateľom. Tento ukazovateľ vypočítavajú meteorológovia, astronómovia, chemici. Gradient šmykovej rýchlosti vrstiev tekutiny sa určuje v ropnom a plynárenskom priemysle na výpočet rýchlosti, ktorou tekutina stúpa potrubím. Takýmto indikátorom tektonických pohybov je oblasť výpočtov seizmológov.
Na podloženie dôležitých teoretických záverov ekonómovia široko používajú pojem gradient. Pri riešení spotrebiteľských problémov sa využíva funkcia užitočnosti, ktorá pomáha reprezentovať preferencie z množiny alternatív. „Funkcia rozpočtového obmedzenia“ je termín používaný na označenie súboru spotrebiteľských balíkov. Sklony v tejto oblasti sa používajú na výpočet optimálnych odberov.
Pojem „gradient“ poznajú kreatívni ľudia. Aj keď sú ďaleko od exaktných vied. Čo je gradient pre dizajnéra? Keďže v exaktných vedách ide o postupné zvyšovanie hodnoty o jednu, tak vo farbe tento indikátor označuje plynulý, natiahnutý prechod odtieňov tej istej farby od svetlejšej k tmavšej alebo naopak. Umelci tento proces nazývajú „strečing“. Je tiež možné prepnúť na rôzne sprievodné farby v rovnakom rozsahu.
Gradientné naťahovanie odtieňov vo farbení miestností zaujalo silné postavenie medzi dizajnérskymi technikami. Nový štýl ombre - plynulý tok tieňa od svetla k tme, od svetlej po bledú - efektívne premení každú miestnosť v dome a kancelárii.
Optici používajú vo svojich slnečných okuliaroch špeciálne šošovky. Čo je gradient v okuliaroch? Ide o výrobu šošovky špeciálnym spôsobom, kedy sa farba zhora nadol mení z tmavšieho na svetlejší odtieň. Produkty vyrobené pomocou tejto technológie chránia oči pred slnečným žiarením a umožňujú prezeranie predmetov aj pri veľmi jasnom svetle.
Pre tých, ktorí sa venujú webdizajnu a počítačová grafika, známy je univerzálny nástroj „gradient“, pomocou ktorého sa vytvára široká škála efektov. Farebné prechody sú premenené na zvýraznenia, efektné pozadie, trojrozmernosť. Manipulácia s odtieňmi, vytváranie svetla a tieňov dodáva vektorovým objektom objem. Na tento účel sa používa niekoľko typov gradientov:
Pre návštevníkov kozmetických salónov otázka, čo je gradient, nebude prekvapením. Pravda, v tomto prípade nie je potrebná znalosť matematických zákonov a základov fyziky. Je to o to isté o farebných prechodoch. Vlasy a nechty sa stávajú predmetom gradientu. Technika ombre, čo vo francúzštine znamená „tón“, prišla do módy od športových surferov a iných. plážové aktivity. prirodzeným spôsobom spálené a odrastené vlasy sa stali hitom. Ženy módy si začali špeciálne farbiť vlasy so sotva viditeľným prechodom odtieňov.
Technika ombre neprešla nechtovými salónmi. Gradient na nechtoch vytvára sfarbenie s postupným zosvetľovaním platničky od koreňa po okraj. Majstri ponúkajú horizontálne, vertikálne, s prechodom a iné odrody.
Pojem „gradient“ poznajú ihličkové ženy z inej strany. Technika tohto druhu sa používa pri vytváraní ručne vyrábaných predmetov v štýle decoupage. Takto vznikajú nové starožitné veci, prípadne sa reštaurujú staré: komody, stoličky, truhlice a pod. Decoupage zahŕňa aplikáciu vzoru pomocou šablóny, ktorá je založená na farebnom gradiente ako pozadí.
Textilní umelci si osvojili farbenie týmto spôsobom pre nové modely. Šaty s gradientnými farbami dobyli prehliadkové móla. Módu vyzdvihli ihličkové - pletiarky. Úplety s plynulým prechodom farieb majú úspech.
Ak zhrnieme definíciu „gradientu“, môžeme povedať o veľmi rozsiahlej oblasti ľudskej činnosti, v ktorej má tento pojem miesto. Nahradenie synonymom "vektor" nie je vždy vhodné, pretože vektor je predsa funkčný, priestorový pojem. To, čo určuje všeobecnosť pojmu, je postupná zmena určitého množstva, látky, fyzikálneho parametra na jednotku za určité obdobie. Vo farbe ide o hladký prechod tónu.
Zo školského kurzu matematiky je známe, že vektor na rovine je riadený segment. Jeho začiatok a koniec majú dve súradnice. Vektorové súradnice sa vypočítajú odčítaním počiatočných súradníc od koncových súradníc.
Pojem vektor môže byť rozšírený aj na n-rozmerný priestor (namiesto dvoch súradníc bude n súradníc).
Gradient gradz funkcia z=f(x 1 , x 2, ... x n) je vektor parciálnych derivácií funkcie v bode, t.j. vektor so súradnicami.
Dá sa dokázať, že gradient funkcie charakterizuje smer najrýchlejšieho rastu úrovne funkcie v bode.
Napríklad pre funkciu z \u003d 2x 1 + x 2 (pozri obrázok 5.8) bude mať gradient v akomkoľvek bode súradnice (2; 1). Môže byť postavený na rovine rôznymi spôsobmi, pričom sa za začiatok vektora považuje ľubovoľný bod. Môžete napríklad spojiť bod (0; 0) s bodom (2; 1) alebo bod (1; 0) s bodom (3; 1) alebo bod (0; 3) s bodom (2; 4), alebo t .P. (pozri obrázok 5.8). Všetky takto skonštruované vektory budú mať súradnice (2 - 0; 1 - 0) = = (3 - 1; 1 - 0) = (2 - 0; 4 - 3) = (2; 1).
Obrázok 5.8 jasne ukazuje, že úroveň funkcie rastie v smere gradientu, pretože zostrojené čiary úrovne zodpovedajú hodnotám úrovne 4 > 3 > 2.
Obrázok 5.8 - Gradient funkcie z \u003d 2x 1 + x 2
Zvážte ďalší príklad - funkciu z= 1/(x 1 x 2). Gradient tejto funkcie už nebude vždy rovnaký v rôznych bodoch, pretože jej súradnice sú určené vzorcami (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).
Obrázok 5.9 zobrazuje čiary úrovní funkcie z= 1/(x 1 x 2) pre úrovne 2 a 10 (čiara 1/(x 1 x 2) = 2 je označená bodkovanou čiarou a čiara 1/( x 1 x 2) = 10 je plná čiara).
Obrázok 5.9 - Gradienty funkcie z \u003d 1 / (x 1 x 2) v rôznych bodoch
Vezmite si napríklad bod (0,5; 1) a vypočítajte gradient v tomto bode: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . Všimnite si, že bod (0,5; 1) leží na čiare úrovne 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, pretože z \u003d f (0,5; 1) \u003d 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. Ak chcete nakreslite vektor (-4; -2) na obrázku 5.9, spojte bod (0,5; 1) s bodom (-3,5; -1), pretože (-3,5 - 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).
Zoberme si ďalší bod na rovnakej úrovni, napríklad bod (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Vypočítajte gradient v tomto bode (-1/(12 *0,5); -1/(1*0,52)) = (-2; -4). Aby sme to zobrazili na obrázku 5.9, spojíme bod (1; 0,5) s bodom (-1; -3,5), pretože (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - štyri).
Zoberme si ešte jeden bod na tej istej rovine, ale až teraz v nekladnej súradnicovej štvrtine. Napríklad bod (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Gradient v tomto bode bude (-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Znázornime to na obrázku 5.9 spojením bodu (-0,5; -1) s bodom (3,5; 1), pretože (3,5 - (-0,5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).
Treba poznamenať, že vo všetkých troch uvažovaných prípadoch gradient ukazuje smer rastu úrovne funkcie (smerom k čiare úrovne 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).
Dá sa dokázať, že spád je vždy kolmý na niveletu (hladinu) prechádzajúcu daným bodom.
Definujme pojem extrém pre funkciu mnohých premenných.
Funkcia mnohých premenných f(X) má v bode X (0) maximum (minimum), ak existuje také okolie tohto bodu, že pre všetky body X z tohto okolia platia nerovnosti f(X)f(X (0)) ().
Ak sú tieto nerovnosti splnené ako prísne, potom sa volá extrém silný, a ak nie, tak slabý.
Všimnite si, že takto definovaný extrém je miestne charakteru, keďže tieto nerovnosti platia len pre niektoré okolie extrémneho bodu.
Nevyhnutnou podmienkou pre lokálny extrém diferencovateľnej funkcie z=f(x 1, . . ., x n) v bode je rovnosť nuly všetkých parciálnych derivácií prvého rádu v tomto bode: 
.
Body, v ktorých tieto rovnosti platia, sa nazývajú stacionárne.
Iným spôsobom môže byť nevyhnutná podmienka pre extrém formulovaná nasledovne: v bode extrému je gradient rovný nule. Je možné dokázať aj všeobecnejšie tvrdenie - v extrémnom bode derivácie funkcie vo všetkých smeroch zanikajú.
Stacionárne body by mali byť podrobené dodatočným štúdiám - či sú splnené dostatočné podmienky pre existenciu lokálneho extrému. Za týmto účelom určite znamienko diferenciálu druhého rádu. Ak pre ľubovoľné, ktoré nie sú súčasne rovné nule, je vždy záporné (kladné), potom má funkcia maximum (minimum). Ak môže zmiznúť nielen pri nulových prírastkoch, potom otázka extrému zostáva otvorená. Ak môže nadobudnúť kladné aj záporné hodnoty, potom v stacionárnom bode nie je žiadny extrém.
Vo všeobecnom prípade je určenie znamienka diferenciálu pomerne komplikovaný problém, ktorý tu nebudeme uvažovať. Pre funkciu dvoch premenných možno dokázať, že ak v stacionárnom bode 
, potom je tu extrém. V tomto prípade sa znamienko druhého diferenciálu zhoduje so znamienkom 
, t.j. ak 
, tak toto je maximum a ak 
, tak toto je minimum. Ak 
, potom v tomto bode neexistuje extrém a ak 
, potom otázka extrému zostáva otvorená.
Príklad 1. Nájdite extrémy funkcie 
.
Nájdite parciálne derivácie metódou logaritmickej diferenciácie.
ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)
Podobne 
.
Nájdite stacionárne body zo sústavy rovníc:
Takto sa našli štyri stacionárne body (1; 1), (1; -1), (-1; 1) a (-1; -1).
Nájdite parciálne derivácie druhého rádu:
ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)
Podobne 
;
.
Pretože 
, výraz znak 
závisí len od 
. Všimnite si, že v oboch týchto derivátoch je menovateľ vždy kladný, takže môžete brať do úvahy iba znamienko čitateľa alebo dokonca znamienko výrazov x (x 2 - 3) a y (y 2 - 3). Stanovme ju v každom kritickom bode a skontrolujme splnenie dostatočnej extrémnej podmienky.
Pre bod (1; 1) dostaneme 1*(1 2 - 3) = -2< 0. Т.к. произведение
двух záporné čísla
> 0 a 
<
0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он
равен
=
2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) =
= 8/4
= 2.
Pre bod (1; -1) dostaneme 1*(1 2 - 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3)
= 2 >0. Pretože súčin týchto čísel 
< 0, в этой точке экстремума нет.
Аналогично можно показать, что нет
экстремума в точке (-1; 1).
Pre bod (-1; -1) dostaneme (-1)*((-1) 2 - 3) = 2 > 0. súčin dvoch kladných čísel 
> 0 a 
> 0, v bode (-1; -1) nájdete minimum. Rovná sa 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2)) = -8/4 = = -2.
Nájsť globálne maximum alebo minimum (maximálna alebo minimálna hodnota funkcie) je o niečo zložitejšia ako lokálny extrém, pretože tieto hodnoty možno dosiahnuť nielen v stacionárnych bodoch, ale aj na hranici domény definície. Nie je vždy ľahké študovať správanie funkcie na hranici tejto oblasti.
