Výrazy, konverzia výrazov
V tomto článku budeme hovoriť o transformácii výrazov pomocou mocničiek. Najprv sa zameriame na transformácie, ktoré sa vykonávajú s výrazmi akéhokoľvek druhu, vrátane mocninných výrazov, ako sú otváracie zátvorky, redukujúce podobné výrazy. A potom budeme analyzovať transformácie obsiahnuté konkrétne vo výrazoch so stupňami: práca so základom a exponentom, pomocou vlastností stupňov atď.
Navigácia na stránke.
Pojem „mocenské výrazy“ sa v školských učebniciach matematiky prakticky nevyskytuje, často sa však vyskytuje v zbierkach úloh, najmä na prípravu na Jednotnú štátnu skúšku a napr. OGE. Po analýze úloh, v ktorých je potrebné vykonať akékoľvek akcie s mocenskými výrazmi, je jasné, že mocenské výrazy sa chápu ako výrazy, ktoré vo svojich záznamoch obsahujú stupne. Preto si pre seba môžete vziať nasledujúcu definíciu:
Definícia.
Mocenské výrazy sú výrazy obsahujúce mocniny.
Poďme priniesť príklady mocenských výrazov. Navyše ich budeme reprezentovať podľa toho, ako prebieha vývoj názorov na stupeň s prirodzeným ukazovateľom na stupeň s reálnym ukazovateľom.
Ako viete, najprv je oboznámenie sa so stupňom čísla s prirodzeným exponentom, v tejto fáze sú prvé najjednoduchšie mocninné výrazy typu 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 atď.
O niečo neskôr sa študuje mocnina čísla s celočíselným exponentom, čo vedie k objaveniu sa mocninných výrazov so zápornými celočíselnými mocninami, ako napríklad: 3 −2, 
a -2 +2 b -3 + c2.
Vo vyšších ročníkoch sa opäť vracajú k titulom. Tam je zavedený stupeň s racionálnym exponentom, ktorý vedie k objaveniu sa zodpovedajúcich mocninných výrazov: 
, , 
atď. Nakoniec sa uvažujú stupne s iracionálnymi exponentmi a výrazy, ktoré ich obsahujú: , .
Vec sa neobmedzuje len na uvedené mocninné výrazy: ďalej premenná preniká do exponentu a existujú napríklad také výrazy 2 x 2 +1 resp. 
. A po oboznámení sa s tým sa začnú objavovať výrazy s mocninami a logaritmami, napríklad x 2 lgx −5 x lgx.
Takže sme prišli na otázku, čo sú výrazy moci. Ďalej sa naučíme, ako ich transformovať.
Pomocou mocenských výrazov môžete vykonávať akúkoľvek zo základných transformácií identity výrazov. Môžete napríklad rozšíriť zátvorky, nahradiť číselné výrazy ich hodnotami, pridať podobné výrazy atď. Prirodzene, v tomto prípade je potrebné dodržať prijatý postup vykonávania úkonov. Uveďme si príklady.
Príklad.
Vypočítajte hodnotu mocninného výrazu 2 3 ·(4 2 −12) .
Riešenie.
Podľa poradia akcií najskôr vykonáme akcie v zátvorkách. Tam po prvé nahradíme mocninu 4 2 jej hodnotou 16 (prípadne pozri) a po druhé vypočítame rozdiel 16−12=4 . Máme 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.
Vo výslednom výraze nahradíme mocninu 2 3 jej hodnotou 8 , po čom vypočítame súčin 8·4=32 . Toto je požadovaná hodnota.
takze 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.
odpoveď:
2 3 (4 2 - 12) = 32 .
Príklad.
Zjednodušte mocenské výrazy 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.
Riešenie.
Je zrejmé, že tento výraz obsahuje podobné výrazy 3 · a 4 · b − 7 a 2 · a 4 · b − 7 a môžeme ich zredukovať: .
odpoveď:
3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.
Príklad.
Vyjadrite výraz so schopnosťami ako produkt.
Riešenie.
Vyrovnať sa s úlohou umožňuje znázornenie čísla 9 ako mocniny 3 2 a následné použitie skráteného vzorca násobenia, rozdielu štvorcov: 
odpoveď:
Existuje tiež množstvo identických transformácií, ktoré sú súčasťou mocenských výrazov. Ďalej ich budeme analyzovať.
Existujú stupne, ktorých základom a / alebo indikátorom nie sú len čísla alebo premenné, ale niektoré výrazy. Ako príklad si napíšme (2+0,3 7) 5−3,7 a (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .
Pri práci s takýmito výrazmi je možné nahradiť výraz v základe stupňa aj výraz v ukazovateli zhodne rovnakým výrazom na DPV jeho premenných. Inými slovami, podľa pravidiel, ktoré sú nám známe, môžeme samostatne previesť základ stupňa a samostatne - indikátor. Je zrejmé, že v dôsledku tejto transformácie sa získa výraz, ktorý je identicky rovnaký ako pôvodný.
Takéto transformácie nám umožňujú zjednodušiť vyjadrenia pomocou právomocí alebo dosiahnuť iné ciele, ktoré potrebujeme. Napríklad vo vyššie uvedenom mocnine (2+0,3 7) 5−3,7 môžete vykonávať operácie s číslami v základe a exponente, čo vám umožní prejsť na mocninu 4,1 1,3. A po otvorení zátvoriek a vložení podobných výrazov do základne stupňa (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) dostaneme mocninné vyjadrenie viac jednoduchá forma a 2 (x+1) .
Jedným z hlavných nástrojov na transformáciu výrazov pomocou právomocí sú rovnosti, ktoré odrážajú . Pripomeňme si tie hlavné. Pre všetky kladné čísla a a b a ľubovoľné reálne čísla r a s platia nasledujúce mocninné vlastnosti:
Všimnite si, že pre prirodzené, celé a kladné exponenty nemusia byť obmedzenia pre čísla a a b také prísne. Napríklad pre prirodzené čísla m a n platí rovnosť a m ·a n =a m+n nielen pre kladné a , ale aj záporné a pre a=0 .
V škole sa hlavná pozornosť pri transformácii mocenských prejavov sústreďuje práve na schopnosť vybrať si vhodnú vlastnosť a správne ju aplikovať. V tomto prípade sú základy stupňov väčšinou kladné, čo umožňuje využívať vlastnosti stupňov bez obmedzení. To isté platí pre transformáciu výrazov obsahujúcich premenné v základoch stupňov - rozsah prijateľných hodnôt premenných je zvyčajne taký, že základy na ňom nadobúdajú iba kladné hodnoty, čo vám umožňuje voľne používať vlastnosti stupňov. Vo všeobecnosti si treba neustále klásť otázku, či je možné v tomto prípade uplatniť nejakú vlastnosť stupňov, pretože nepresné použitie vlastností môže viesť k zúženiu ODZ a iným nepríjemnostiam. Tieto body sú podrobne a s príkladmi rozobraté v článku transformácia výrazov pomocou vlastností stupňov. Tu sa obmedzíme na niekoľko jednoduchých príkladov.
Príklad.
Vyjadrite výraz a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ako mocninu so základom a .
Riešenie.
Najprv transformujeme druhý faktor (a 2) −3 vlastnosťou zvýšenia mocniny na mocninu: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. V tomto prípade bude mať počiatočné vyjadrenie mocniny tvar a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Je zrejmé, že zostáva použiť vlastnosti násobenia a delenia právomocí s rovnakým základom, aký máme
a 2,5 a -6: a -5,5 =
a 2,5-6:a-5,5 =a-3,5:a-5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a2.
odpoveď:
a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.
Vlastnosti mocniny sa používajú pri transformácii mocninných výrazov zľava doprava a sprava doľava.
Príklad.
Nájdite hodnotu mocninného výrazu.
Riešenie.
Rovnosť (a·b) r =a r ·b r , aplikovaná sprava doľava, umožňuje prejsť od pôvodného výrazu k súčinu formy a ďalej. A pri vynásobení mocnín s rovnakým základom sa ukazovatele sčítajú: 
.
Transformáciu pôvodného výrazu bolo možné vykonať iným spôsobom: 
odpoveď:
.
Príklad.
Vzhľadom na mocninný výraz a 1,5 −a 0,5 −6 , zadajte novú premennú t=a 0,5 .
Riešenie.
Stupeň a 1,5 možno znázorniť ako a 0,5 3 a ďalej na základe vlastnosti stupňa v stupni (a r) s =ar s aplikovaný sprava doľava previesť do tvaru (a 0,5) 3 . Touto cestou, a 1,5 -a 0,5 -6 = (a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Teraz je jednoduché zaviesť novú premennú t=a 0,5 , dostaneme t 3 −t−6 .
odpoveď:
t3−t−6.
Mocninné výrazy môžu obsahovať zlomky s mocninami alebo takéto zlomky reprezentovať. Akákoľvek zo základných transformácií zlomkov, ktoré sú vlastné zlomkom akéhokoľvek druhu, je plne aplikovateľná na takéto zlomky. To znamená, že zlomky, ktoré obsahujú stupne, sa dajú zmenšiť, zredukovať na nového menovateľa, pracovať oddelene s ich čitateľom a oddelene s menovateľom atď. Na ilustráciu vyššie uvedených slov zvážte riešenia niekoľkých príkladov.
Príklad.
Zjednodušte vyjadrenie sily 
.
Riešenie.
Tento výraz sily je zlomok. Pracujme s jeho čitateľom a menovateľom. V čitateli otvoríme zátvorky a následne získaný výraz zjednodušíme pomocou vlastností mocnin a v menovateli uvádzame podobné pojmy: 
A tiež zmeníme znamienko menovateľa tak, že pred zlomok umiestnime mínus: 
.
odpoveď:
.
Redukcia obsahových mocnín zlomkov na nového menovateľa sa vykonáva podobne ako redukcia na nového menovateľa racionálne zlomky. Zároveň sa nájde aj ďalší faktor a vynásobí sa ním čitateľ a menovateľ zlomku. Pri vykonávaní tejto akcie je potrebné pripomenúť, že zníženie na nového menovateľa môže viesť k zúženiu DPV. Aby sa tomu zabránilo, je potrebné, aby dodatočný faktor nezmizol pre žiadne hodnoty premenných z premenných ODZ pre pôvodný výraz.
Príklad.
Preneste zlomky do nového menovateľa: a) do menovateľa a, b) 
na menovateľa.
Riešenie.
a) V tomto prípade je celkom ľahké zistiť, ktorý dodatočný faktor pomáha dosiahnuť požadovaný výsledok. Toto je násobiteľ a 0,3, pretože a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Všimnite si, že v rozsahu prijateľných hodnôt premennej a (toto je množina všetkých kladných reálnych čísel) nezaniká stupeň a 0,3, preto máme právo násobiť čitateľa a menovateľa daného zlomku týmto dodatočným faktorom: 
b) Pri bližšom pohľade na menovateľa zistíme, že 
a vynásobením tohto výrazu dostaneme súčet kociek a , teda . A toto je nový menovateľ, ku ktorému musíme priviesť pôvodný zlomok.
Tak sme našli ďalší faktor. Výraz nezaniká v rozsahu prijateľných hodnôt premenných x a y, preto ním môžeme vynásobiť čitateľa a menovateľa zlomku: 
odpoveď:
a) 
, b) 
.
Nič nové nie je ani v redukcii zlomkov obsahujúcich stupne: čitateľ a menovateľ sú reprezentované ako určitý počet faktorov a tie isté faktory čitateľa a menovateľa sú redukované.
Príklad.
Znížte zlomok: a) 
, b).
Riešenie.
a) Najprv je možné čitateľa a menovateľa zmenšiť o čísla 30 a 45, čo sa rovná 15. Tiež, samozrejme, môžete znížiť o x 0,5 +1 a o 
. Tu je to, čo máme: 
b) V tomto prípade tie isté faktory v čitateli a menovateli nie sú okamžite viditeľné. Aby ste ich získali, musíte vykonať predbežné transformácie. V tomto prípade spočívajú v rozklade menovateľa na faktory podľa vzorca rozdielu štvorcov: 
odpoveď:
a) 
b) 
.
Redukcia zlomkov na nový menovateľ a redukcia zlomkov sa používa najmä na vykonávanie operácií so zlomkami. Akcie sa vykonávajú podľa známych pravidiel. Pri sčítaní (odčítaní) zlomkov sa zlomky zredukujú na spoločného menovateľa, po ktorom sa pripočítajú (odčítajú) čitatelia a menovateľ zostáva rovnaký. Výsledkom je zlomok, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov a menovateľ je súčinom menovateľov. Delenie zlomkom je násobenie jeho recipročným.
Príklad.
Nasleduj kroky 
.
Riešenie.
Najprv odčítame zlomky v zátvorkách. Aby sme to dosiahli, privádzame ich k spoločnému menovateľovi, ktorým je 
, potom odčítajte čitateľov: 
Teraz vynásobíme zlomky: 
Je zrejmé, že je možné zníženie o výkon x 1/2, po ktorom máme 
.
Výraz mocniny v menovateli môžete tiež zjednodušiť pomocou vzorca rozdielu štvorcov: 
.
odpoveď:
Príklad.
Zjednodušte vyjadrenie sily 
.
Riešenie.
Je zrejmé, že tento zlomok môže byť znížený o (x 2,7 + 1) 2, čím sa získa zlomok 
. Je jasné, že s mocninami x treba urobiť niečo iné. Aby sme to dosiahli, prevedieme výslednú frakciu na produkt. To nám dáva možnosť využiť vlastnosť delenia mocnín s rovnakými základmi: 
. A na konci procesu prechádzame od posledného produktu k frakcii.
odpoveď:
.
A dodávame, že je možné a v mnohých prípadoch žiadúce preniesť faktory so zápornými exponentmi z čitateľa do menovateľa alebo z menovateľa do čitateľa zmenou znamienka exponenta. Takéto transformácie často zjednodušujú ďalšie činnosti. Napríklad mocninný výraz možno nahradiť výrazom .
Často vo výrazoch, v ktorých sa vyžadujú určité transformácie, spolu so stupňami so zlomkovými exponentmi, sú aj korene. Na prevod takéhoto výrazu do požadovanej podoby vo väčšine prípadov stačí prejsť len ku koreňom alebo len k mocninám. Ale keďže je pohodlnejšie pracovať so stupňami, zvyčajne sa pohybujú od koreňov k stupňom. Je však vhodné vykonať takýto prechod vtedy, keď ODZ premenných pre pôvodný výraz umožňuje nahradiť korene stupňami bez nutnosti prístupu do modulu alebo rozdelenia ODZ do viacerých intervalov (podrobne sme to rozobrali v článok, prechod od odmocniny k mocninám a naopak Po oboznámení sa so stupňom s racionálnym exponentom sa zavádza stupeň s iracionálnym ukazovateľom, ktorý umožňuje hovoriť o stupňoch s ľubovoľným reálnym ukazovateľom. škola začína študovať exponenciálna funkcia , ktorý je analyticky daný stupňom, na základe ktorého existuje číslo a v ukazovateli - premenná. Stretávame sa teda s exponenciálnymi výrazmi obsahujúcimi čísla v základe stupňa a v exponente - výrazy s premennými a prirodzene vzniká potreba vykonávať transformácie takýchto výrazov.
Treba povedať, že transformáciu výrazov naznačeného typu treba väčšinou vykonať pri riešení exponenciálne rovnice a exponenciálne nerovnosti a tieto transformácie sú celkom jednoduché. Vo veľkej väčšine prípadov vychádzajú z vlastností stupňa a sú zamerané väčšinou na zavedenie novej premennej v budúcnosti. Rovnica nám ich umožní demonštrovať 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
Najprv sa exponenty, v ktorých exponentoch sa nachádza súčet nejakej premennej (alebo výraz s premennými) a čísla, nahradia súčinmi. Platí to pre prvý a posledný výraz výrazu na ľavej strane:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
Ďalej sú obe časti rovnosti delené výrazom 7 2 x , ktorý nadobúda iba kladné hodnoty na ODZ premennej x pre pôvodnú rovnicu (toto je štandardná technika riešenia rovníc tohto druhu, nie sme keď o tom teraz hovoríme, tak sa zamerajte na následné transformácie výrazov s mocninami): 
Teraz sú zlomky s mocninami zrušené, čo dáva 
.
Nakoniec sa pomer mocnin s rovnakými exponentmi nahradí mocninami pomerov, čo vedie k rovnici 
, čo je ekvivalent 
. Vykonané transformácie nám umožňujú zaviesť novú premennú, ktorá redukuje riešenie pôvodnej exponenciálnej rovnice na riešenie kvadratickej rovnice.
Prečo sú potrebné tituly?
Kde ich potrebujete?
Prečo by ste mali tráviť čas ich štúdiom?
Ak sa chcete dozvedieť VŠETKO O STUPŇOCH, prečítajte si tento článok.
A samozrejme znalosť stupňov vás priblíži k úspešnému zvládnutiu skúšky.
A vstúpiť na univerzitu svojich snov!
Poďme... (Poďme!)
Umocňovanie je rovnaká matematická operácia ako sčítanie, odčítanie, násobenie alebo delenie.
Teraz všetko vysvetlím ľudskou rečou na veľmi jednoduchých príkladoch. Dávaj pozor. Príklady sú elementárne, ale vysvetľujú dôležité veci.
Začnime s pridávaním.
Tu nie je čo vysvetľovať. Už viete všetko: je nás osem. Každý má dve fľaše koly. Koľko coly? Správne - 16 fliaš.
Teraz násobenie.
Rovnaký príklad s kolou možno napísať aj iným spôsobom: . Matematici sú prefíkaní a leniví ľudia. Najprv si všimnú nejaké vzory a potom prídu na spôsob, ako ich rýchlejšie „spočítať“. V našom prípade si všimli, že každý z ôsmich ľudí má rovnaký počet fliaš koly a prišli s technikou zvanou násobenie. Súhlasíte, považuje sa to za jednoduchšie a rýchlejšie ako.
Aby ste teda počítali rýchlejšie, jednoduchšie a bez chýb, stačí si zapamätať násobilku. Samozrejme, všetko sa dá robiť pomalšie, ťažšie a s chybami! Ale…
Tu je tabuľka násobenia. Opakujte.
A ešte jeden, krajší:
A aké ďalšie zložité triky na počítanie vymysleli leniví matematici? Správny - zvýšenie čísla na mocninu.
Ak potrebujete vynásobiť číslo päťkrát, potom matematici hovoria, že toto číslo musíte zvýšiť na piatu mocninu. Napríklad . Matematici si pamätajú, že dve až piata mocnina je. A takéto problémy riešia vo svojej mysli – rýchlejšie, jednoduchšie a bez chýb.
K tomu potrebujete iba zapamätajte si, čo je farebne zvýraznené v tabuľke mocnin čísel. Verte mi, výrazne vám to uľahčí život.
Mimochodom, prečo sa volá druhý stupeň námestiečísla a tretie kocka? Čo to znamená? Veľmi dobrá otázka. Teraz budete mať štvorce aj kocky.
Začnime druhou mocninou čísla.
Predstavte si štvorcový bazén s rozmermi metrov po metroch. Bazén je vo vašom dvore. Je horúco a ja si chcem naozaj zaplávať. Ale ... bazén bez dna! Dno bazéna je potrebné obložiť dlažbou. Koľko dlaždíc potrebujete? Aby ste to mohli určiť, musíte poznať oblasť dna bazéna.
Škubaním prsta jednoducho spočítate, že dno bazéna tvoria kocky meter po metri. Ak sú vaše dlaždice meter na meter, budete potrebovať kusy. Je to jednoduché... Ale kde ste videli takú dlaždicu? Dlaždica bude skôr cm krát cm A potom vás bude trápiť „počítanie prstom“. Potom sa musíte množiť. Takže na jednu stranu dna bazéna osadíme dlažbu (kusy) a na druhú tiež dlažbu. Vynásobením získate dlaždice ().
Všimli ste si, že sme vynásobili rovnaké číslo, aby sme určili plochu dna bazéna? Čo to znamená? Keďže sa rovnaké číslo násobí, môžeme použiť techniku umocňovania. (Samozrejme, keď máte len dve čísla, musíte ich ešte vynásobiť alebo umocniť na mocninu. Ak ich však máte veľa, potom je umocnenie oveľa jednoduchšie a vo výpočtoch je tiež menej chýb. Pre skúšku je to veľmi dôležité).
Takže tridsať až druhý stupeň bude (). Alebo môžete povedať, že tridsať štvorcových bude. Inými slovami, druhá mocnina čísla môže byť vždy reprezentovaná ako štvorec. A naopak, ak vidíte štvorec, je to VŽDY druhá mocnina nejakého čísla. Štvorec je obrazom druhej mocniny čísla.
Tu je úloha pre vás, spočítajte, koľko políčok je na šachovnici pomocou druhej mocniny čísla... Na jednej aj na druhej strane buniek. Ak chcete spočítať ich počet, musíte vynásobiť osem ôsmimi, alebo ... ak si všimnete, že šachovnica je štvorec so stranou, potom môžete odmocniť osem. Získajte bunky. () Takže?
Teraz kocka alebo tretia mocnina čísla. Ten istý bazén. Teraz však musíte zistiť, koľko vody bude potrebné naliať do tohto bazéna. Musíte vypočítať objem. (Mimochodom, objemy a kvapaliny sa merajú v kubických metroch. Nečakané, však?) Nakreslite bazén: dno veľké meter a meter hlboké a skúste vypočítať, koľko kociek meter po metri sa dostane do vášho bazéna.
Stačí ukázať prstom a počítať! Jeden, dva, tri, štyri...dvadsaťdva, dvadsaťtri... Koľko to vyšlo? Nestratili ste sa? Je ťažké počítať prstom? Takže to! Vezmite si príklad od matematikov. Sú leniví, a tak si všimli, že na výpočet objemu bazéna je potrebné navzájom vynásobiť jeho dĺžku, šírku a výšku. V našom prípade sa objem bazéna bude rovnať kockám ... Jednoduchšie, však?
Teraz si predstavte, akí leniví a prefíkaní sú matematici, ak to príliš zjednodušujú. Všetko zredukované na jednu akciu. Všimli si, že dĺžka, šírka a výška sú rovnaké a že to isté číslo sa samo násobí... A čo to znamená? To znamená, že môžete použiť stupeň. Takže to, čo ste kedysi spočítali prstom, urobia v jednej akcii: tri v kocke sa rovná. Píše sa to takto:
Zostáva iba zapamätať si tabuľku stupňov. Ak, samozrejme, nie ste leniví a prefíkaní ako matematici. Ak radi tvrdo pracujete a robíte chyby, môžete ďalej počítať prstom.
Aby sme vás konečne presvedčili, že tituly vymysleli flákači a prefíkaní ľudia, aby riešili svoje životné problémy a nie aby vám robili problémy, tu je ešte pár príkladov zo života.
Máte milión rubľov. Na začiatku každého roka zarobíte za každý milión ďalší milión. To znamená, že každý z vašich miliónov sa na začiatku každého roka zdvojnásobí. Koľko peňazí budete mať za roky? Ak teraz sedíte a „počítate prstom“, potom ste veľmi pracovitý človek a .. hlúpy. Ale s najväčšou pravdepodobnosťou odpoviete za pár sekúnd, pretože ste šikovný! Takže v prvom roku - dva krát dva ... v druhom roku - čo sa stalo, o dva viac, v treťom roku ... Stop! Všimli ste si, že číslo sa raz vynásobí samo. Takže dve až piata mocnina je milión! Teraz si predstavte, že máte súťaž a ten, kto počíta rýchlejšie, dostane tieto milióny ... Oplatí sa zapamätať si stupne čísel, čo myslíte?
Máš milión. Na začiatku každého roka zarobíte za každý milión o dva viac. Je to skvelé, že? Každý milión sa strojnásobí. Koľko peňazí budete mať za rok? Poďme počítať. Prvý rok - násobte, potom výsledok ďalším ... Je to už nudné, pretože ste už všetko pochopili: tri sa násobí krát. Štvrtá mocnina je teda milión. Len si treba uvedomiť, že tri až štvrtá mocnina je alebo.
Teraz už viete, že zvýšením čísla na mocninu si výrazne uľahčíte život. Poďme sa ďalej pozrieť na to, čo môžete robiť s titulmi a čo o nich potrebujete vedieť.
Najprv si teda definujme pojmy. Co si myslis, čo je exponent? Je to veľmi jednoduché – ide o číslo, ktoré je „navrchu“ mocniny čísla. Nie je to vedecké, ale jasné a ľahko zapamätateľné ...
No zároveň čo taký základ titulu? Ešte jednoduchšie je číslo, ktoré je dole, na základni.
Tu je obrázok, aby ste si boli istí.
No, vo všeobecnosti, aby sme si to lepšie zovšeobecnili a zapamätali ... Titul so základom "" a indikátorom "" sa číta ako "v stupni" a píše sa takto:
Mocnina čísla s prirodzeným exponentom
Pravdepodobne ste už uhádli: pretože exponent je prirodzené číslo. Áno, ale čo je prirodzené číslo? Základné! Prirodzené čísla sú tie, ktoré sa používajú pri počítaní pri uvádzaní položiek: jeden, dva, tri ... Keď počítame položky, nehovoríme: „mínus päť“, „mínus šesť“, „mínus sedem“. Nehovoríme ani „jedna tretina“ alebo „nula bod päť desatín“. Nie je celé čísla. Aké sú podľa vás tieto čísla?
Čísla ako „mínus päť“, „mínus šesť“, „mínus sedem“ označujú celé čísla. Vo všeobecnosti celé čísla zahŕňajú všetky prirodzené čísla, čísla opačné k prirodzeným číslam (t. j. brané so znamienkom mínus) a číslo. Nulu je ľahké porozumieť – vtedy nie je nič. A čo znamenajú záporné („mínusové“) čísla? Boli však vynájdené predovšetkým na označenie dlhov: ak máte na telefóne zostatok v rubľoch, znamená to, že dlhujete operátorovi v rubľoch.
Všetky zlomky sú racionálne čísla. Ako vznikli, čo myslíte? Veľmi jednoduché. Pred niekoľkými tisíckami rokov naši predkovia zistili, že nemajú dostatok prirodzených čísel na meranie dĺžky, hmotnosti, plochy atď. A prišli na to racionálne čísla... Zaujímavé, však?
Existujú aj iracionálne čísla. Aké sú tieto čísla? Skrátka nekonečný desatinný zlomok. Ak napríklad vydelíte obvod kruhu jeho priemerom, dostanete iracionálne číslo.
Zhrnutie:
Definujme si pojem stupeň, ktorého exponentom je prirodzené číslo (teda celé a kladné).
Definícia. Zvýšiť číslo na prirodzenú mocninu znamená vynásobiť číslo samo sebou krát:
.
Odkiaľ sa tieto vlastnosti vzali? Teraz ti to ukážem.
Pozrime sa, čo je a ?
Podľa definície:
Koľko násobiteľov je celkovo?
Je to veľmi jednoduché: k faktorom sme pridali faktory a výsledkom sú faktory.
Ale podľa definície ide o stupeň čísla s exponentom, teda: , ktorý bolo potrebné dokázať.
Príklad: Zjednodušte výraz.
Riešenie:
Príklad: Zjednodušte výraz.
Riešenie: Je dôležité poznamenať, že v našom pravidle nevyhnutne musí to byť rovnaký dôvod!
Preto kombinujeme stupne so základňou, ale zostávame samostatným faktorom:
len pre produkty síl!
V žiadnom prípade to nepíš.
2. teda -tá mocnina čísla
Rovnako ako pri predchádzajúcej vlastnosti, prejdime k definícii stupňa:
Ukazuje sa, že výraz sa sám násobí raz, to znamená, že podľa definície je to tá mocnina čísla:
V skutočnosti sa to dá nazvať „zátvorkou indikátora“. Ale nikdy to nemôžete urobiť úplne:
Pripomeňme si vzorce na skrátené násobenie: koľkokrát sme chceli písať?
Ale to nie je pravda, naozaj.
Až do tohto bodu sme diskutovali len o tom, aký by mal byť exponent.
Čo by však malo byť základom?
V stupňoch od prirodzený indikátor základ môže byť ľubovoľné číslo. V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť akékoľvek číslo, či už je kladné, záporné alebo párne.
Zamyslime sa nad tým, aké znamienka ("" alebo "") budú mať stupne kladných a záporných čísel?
Napríklad, bude číslo kladné alebo záporné? A? ? Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.
Ale tie negatívne sú o niečo zaujímavejšie. Veď si pamätáme jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus krát mínus dáva plus“. Teda resp. Ale ak to vynásobíme, vyjde to.
Určite si sami, aké znamenie budú mať nasledujúce výrazy:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Zvládli ste to?
Tu sú odpovede: Dúfam, že v prvých štyroch príkladoch je všetko jasné? Jednoducho sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.
V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: nezáleží na tom, čomu sa rovná základňa - stupeň je rovnomerný, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny.
Teda okrem prípadov, keď je základ nula. Základ nie je rovnaký, však? Očividne nie, keďže (lebo).
Príklad 6) už nie je taký jednoduchý!
celý pomenúvame prirodzené čísla, ich protiklady (teda brané so znamienkom "") a číslo.
kladné celé číslo, a nelíši sa od prirodzeného, potom všetko vyzerá presne ako v predchádzajúcej časti.
Teraz sa pozrime na nové prípady. Začnime s ukazovateľom rovným.
Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej:
Ako vždy si kladieme otázku: prečo je to tak?
Zvážte nejakú silu so základňou. Vezmite si napríklad a vynásobte:
Takže sme číslo vynásobili a dostali sme rovnaké ako -. Aké číslo treba vynásobiť, aby sa nič nezmenilo? Presne tak, tak. Prostriedky.
To isté môžeme urobiť s ľubovoľným číslom:
Zopakujme si pravidlo:
Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej.
Existujú však výnimky z mnohých pravidiel. A tu je to tiež tam - toto je číslo (ako základ).
Na jednej strane sa to musí rovnať ľubovoľnému stupňu – nech už nulu vynásobíte akokoľvek, stále dostanete nulu, to je jasné. Ale na druhej strane, ako každé číslo na nulový stupeň, musí sa rovnať. Aká je teda pravda? Matematici sa rozhodli nezasahovať a odmietli zvýšiť nulu na nulovú mocninu. To znamená, že teraz môžeme nielen deliť nulou, ale aj zvýšiť na nulovú mocninu.
Poďme ďalej. Okrem prirodzených čísel a čísel zahŕňajú celé čísla aj záporné čísla. Aby sme pochopili, čo je záporný stupeň, urobme to isté ako naposledy: vynásobíme nejaké normálne číslo rovnakým v zápornom stupni:
Odtiaľ je už ľahké vyjadriť želané:
Teraz rozšírime výsledné pravidlo na ľubovoľnú mieru:
Sformulujme teda pravidlo:
Číslo k zápornej mocnine je prevrátená hodnota rovnakého čísla k kladnej mocnine. Ale v rovnakom čase základ nemôže byť null:(pretože sa to nedá rozdeliť).
Poďme si to zhrnúť:
Ako obvykle, príklady pre nezávislé riešenie:
Viem, viem, čísla sú strašidelné, ale na skúške musíte byť pripravení na všetko! Vyriešte tieto príklady alebo rozoberte ich riešenie, ak ste to nevedeli vyriešiť a na skúške sa naučíte, ako si s nimi jednoducho poradiť!
Pokračujme v rozširovaní rozsahu čísel „vhodných“ ako exponent.
Teraz zvážte racionálne čísla. Aké čísla sa nazývajú racionálne?
Odpoveď: všetko, čo môže byť reprezentované ako zlomok, kde a sú celé čísla, navyše.
Aby ste pochopili, čo je "zlomkový stupeň" Zoberme si zlomok:
Uveďme obe strany rovnice na mocninu:
Teraz si zapamätajte pravidlo "od stupňa k stupňu":
Aké číslo je potrebné zvýšiť na mocninu, aby ste získali?
Táto formulácia je definíciou koreňa t. stupňa.
Dovoľte mi pripomenúť: odmocnina tej mocniny čísla () je číslo, ktoré sa po umocnení rovná.
To znamená, že koreň tého stupňa je inverzná operácia umocňovania: .
Ukazuje sa, že. Je zrejmé, že tento špeciálny prípad môže byť rozšírený: .
Teraz pridajte čitateľa: čo to je? Odpoveď je ľahké získať pomocou pravidla power-to-power:
Ale môže byť základom akékoľvek číslo? Koniec koncov, koreň nemožno extrahovať zo všetkých čísel.
Žiadne!
Pamätajte na pravidlo: každé číslo umocnené na párnu mocninu je kladné číslo. To znamená, že nie je možné extrahovať korene párneho stupňa zo záporných čísel!
A to znamená, že takéto čísla nemožno zvýšiť na zlomkovú mocninu s párnym menovateľom, to znamená, že výraz nedáva zmysel.
A čo vyjadrovanie?
Tu však nastáva problém.
Číslo môže byť reprezentované ako iné, zmenšené zlomky, napr.
A ukázalo sa, že existuje, ale neexistuje, a to sú len dva rôzne záznamy rovnakého čísla.
Alebo iný príklad: raz, potom si to môžete zapísať. Ale akonáhle napíšeme indikátor iným spôsobom, opäť dostaneme problém: (to znamená, že sme dostali úplne iný výsledok!).
Aby ste sa vyhli takýmto paradoxom, zvážte iba kladný základný exponent so zlomkovým exponentom.
Takže ak:
Príklady:
Mocniny s racionálnym exponentom sú veľmi užitočné pri transformácii výrazov s koreňmi, napríklad:
No, teraz - najťažšie. Teraz budeme analyzovať stupňa s iracionálnym exponentom.
Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupne s racionálnym exponentom, s výnimkou
Podľa definície sú iracionálne čísla čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (to znamená, že iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).
Pri štúdiu titulov s prirodzeným, celočíselným a racionálnym ukazovateľom sme si zakaždým vytvorili určitý „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch.
Napríklad prirodzený exponent je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí;
...nulový výkon- je to akoby číslo raz vynásobené samo sebou, teda ešte sa nezačalo násobiť, čiže samotné číslo sa ešte ani neobjavilo - výsledkom je teda len určitá „príprava číslo“, menovite číslo;
...záporný exponent celého čísla- je to, ako keby sa uskutočnil určitý „obrátený proces“, to znamená, že číslo nebolo vynásobené samo o sebe, ale rozdelené.
Mimochodom, veda často používa stupeň s komplexným exponentom, to znamená, že exponent nie je ani skutočné číslo.
Ale v škole o takýchto ťažkostiach nepremýšľame, v inštitúte budete mať príležitosť pochopiť tieto nové koncepty.
KAM SOM SI ISTÝ, ŽE PÔJDETE! (ak sa naucis riesit taketo priklady :))
Napríklad:
1. Začnime s už zaužívaným pravidlom pre zvyšovanie titulu na stupeň:
Stupeň je vyjadrením tvaru: , kde:
Zvýšenie čísla na prirodzenú mocninu n znamená vynásobenie čísla samo o sebe krát:
Ak je exponent kladné celé čísločíslo:
erekcia na nulový výkon:
Výraz je neurčitý, pretože na jednej strane je do akéhokoľvek stupňa toto a na druhej strane akékoľvek číslo do tého stupňa je toto.
Ak je exponent celé číslo zápornéčíslo:
(pretože sa to nedá rozdeliť).
Ešte raz o nulách: výraz nie je definovaný v prípade. Ak potom.
Príklady:
Príklady:
Aby sme uľahčili riešenie problémov, pokúsme sa pochopiť: odkiaľ tieto vlastnosti pochádzajú? Dokážme ich.
Pozrime sa: čo je a?
Podľa definície:
Takže na pravej strane tohto výrazu sa získa nasledujúci produkt:
Ale podľa definície ide o mocninu čísla s exponentom, teda:
Q.E.D.
Príklad : Zjednodušte výraz.
Riešenie : .
Príklad : Zjednodušte výraz.
Riešenie : Je dôležité poznamenať, že v našom pravidle nevyhnutne musí mať rovnaký základ. Preto kombinujeme stupne so základňou, ale zostávame samostatným faktorom:
Ďalšia dôležitá poznámka: toto pravidlo - len pre produkty mocností!
V žiadnom prípade by som to nemal písať.
Rovnako ako pri predchádzajúcej vlastnosti, prejdime k definícii stupňa:
Preusporiadame to takto:
Ukazuje sa, že výraz sa sám násobí raz, to znamená, že podľa definície je to -tá mocnina čísla:
V skutočnosti sa to dá nazvať „zátvorkou indikátora“. Ale nikdy to nemôžete urobiť úplne:!
Pripomeňme si vzorce na skrátené násobenie: koľkokrát sme chceli písať? Ale to nie je pravda, naozaj.
Až do tohto bodu sme diskutovali len o tom, čo by malo byť indikátor stupňa. Čo by však malo byť základom? V stupňoch od prirodzené indikátor základ môže byť ľubovoľné číslo .
V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť akékoľvek číslo, či už je kladné, záporné alebo párne. Zamyslime sa nad tým, aké znamienka ("" alebo "") budú mať stupne kladných a záporných čísel?
Napríklad, bude číslo kladné alebo záporné? A? ?
Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.
Ale tie negatívne sú o niečo zaujímavejšie. Veď si pamätáme jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus krát mínus dáva plus“. Teda resp. Ale ak vynásobíme (), dostaneme -.
A tak ďalej ad infinitum: s každým ďalším násobením sa znamienko zmení. Je možné formulovať takéto jednoduché pravidlá:
Určite si sami, aké znamenie budú mať nasledujúce výrazy:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Zvládli ste to? Tu sú odpovede:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Dúfam, že v prvých štyroch príkladoch je všetko jasné? Jednoducho sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.
V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: nezáleží na tom, čomu sa rovná základňa - stupeň je rovnomerný, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny. Teda okrem prípadov, keď je základ nula. Základ nie je rovnaký, však? Očividne nie, keďže (lebo).
Príklad 6) už nie je taký jednoduchý. Tu musíte zistiť, čo je menej: alebo? Ak si to pamätáte, je jasné, že to znamená, že základňa je menšia ako nula. To znamená, že použijeme pravidlo 2: výsledok bude negatívny.
A opäť použijeme definíciu stupňa:
Všetko je ako obvykle - zapíšeme si definíciu stupňov a rozdelíme ich na seba, rozdelíme do dvojíc a dostaneme:
Pred analýzou posledného pravidla vyriešme niekoľko príkladov.
Vypočítajte hodnoty výrazov:
Riešenia :
Vráťme sa k príkladu:
A opäť vzorec:
Takže teraz posledné pravidlo:
Ako to chceme dokázať? Samozrejme, ako obvykle: rozšírme pojem titul a zjednodušíme:
No, teraz otvoríme zátvorky. Koľko písmen bude? krát podľa násobiteľov - ako to vyzerá? Toto nie je nič iné ako definícia operácie násobenie: celkom sa ukázalo, že existujú multiplikátory. To znamená, že je to podľa definície mocnina čísla s exponentom:
Príklad:
Okrem informácií o stupňoch pre priemernú úroveň budeme analyzovať stupeň s iracionálnym ukazovateľom. Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupeň s racionálnym exponentom, s výnimkou - napokon iracionálne čísla sú podľa definície čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (tj. , iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).
Pri štúdiu titulov s prirodzeným, celočíselným a racionálnym ukazovateľom sme si zakaždým vytvorili určitý „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch. Napríklad prirodzený exponent je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí; číslo do nultého stupňa je akoby číslom, ktoré sa už raz násobí samo sebou, to znamená, že sa ešte nezačalo násobiť, čo znamená, že samotné číslo sa ešte ani neobjavilo - výsledkom je teda iba určitá „príprava čísla“, konkrétne číslo; stupeň s celočíselným negatívnym ukazovateľom - je to, ako keby nastal určitý „obrátený proces“, to znamená, že číslo nebolo vynásobené, ale rozdelené.
Je mimoriadne ťažké predstaviť si stupeň s iracionálnym exponentom (rovnako ako je ťažké predstaviť si 4-rozmerný priestor). Ide skôr o čisto matematický objekt, ktorý matematici vytvorili, aby rozšírili pojem stupňa na celý priestor čísel.
Mimochodom, veda často používa stupeň s komplexným exponentom, to znamená, že exponent nie je ani skutočné číslo. Ale v škole o takýchto ťažkostiach nepremýšľame, v inštitúte budete mať príležitosť pochopiť tieto nové koncepty.
Čo teda urobíme, ak uvidíme iracionálny exponent? Snažíme sa, aby sme sa toho zbavili! :)
Napríklad:
Rozhodnite sa sami:
| 1) | 2) | 3) |
odpovede:
stupňa sa nazýva výraz v tvare: , kde:
Stupeň s celočíselným exponentom
stupňa, ktorého exponentom je prirodzené číslo (t. j. celé číslo a kladné číslo).
Stupeň s racionálnym exponentom
stupňa, ktorého ukazovateľom sú záporné a zlomkové čísla.
Stupeň s iracionálnym exponentom
exponent, ktorého exponent je nekonečný desatinný zlomok alebo odmocnina.
Vlastnosti stupňa
Vlastnosti stupňov.
Ako sa vám páči článok? Dajte mi vedieť v komentároch nižšie, či sa vám to páčilo alebo nie.
Povedzte nám o svojich skúsenostiach s energetickými vlastnosťami.
Možno máte otázky. Alebo návrhy.
Napíšte do komentárov.
A veľa šťastia pri skúškach!
No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, potom ste veľmi cool.
Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak ste dočítali až do konca, tak ste v tých 5%!
Teraz to najdôležitejšie.
Prišli ste na teóriu na túto tému. A opakujem, je to ... je to jednoducho super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.
Problém je, že to nemusí stačiť...
Prečo?
Pre úspešné absolvovanie skúšky, za prijatie do ústavu na rozpočet a HLAVNE na doživotie.
Nebudem ťa o ničom presviedčať, poviem len jedno...
Ľudia, ktorí získali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nezískali. Toto je štatistika.
Ale to nie je to hlavné.
Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? Neviem...
Ale zamysli sa nad sebou...
Čo potrebujete, aby ste boli na skúške lepší ako ostatní a boli in prípadne...šťastnejší?
VYPLŇTE SI RUKU, RIEŠTE PROBLÉMY V TEJTO TÉME.
Na skúške sa vás nebudú pýtať na teóriu.
Budete potrebovať riešiť problémy včas.
A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo ju jednoducho neurobíte včas.
Je to ako v športe – treba opakovať veľakrát, aby ste vyhrali.
Nájdite zbierku kdekoľvek chcete nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!
Môžete využiť naše úlohy (nie je potrebné) a určite ich odporúčame.
Aby ste s pomocou našich úloh mohli pomôcť, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.
ako? Sú dve možnosti:
Áno, takýchto článkov máme v učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.
Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný počas celej životnosti stránky.
Na záver...
Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neprestaňte s teóriou.
„Rozumiem“ a „Viem, ako vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.
Nájdite problémy a riešte ich!
Číslo umocnené zavolajte na číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí.
Mocnina čísla so zápornou hodnotou (a - n) možno definovať rovnakým spôsobom, ako sa určuje stupeň rovnakého čísla s kladným exponentom (an) . Vyžaduje si to však aj ďalšiu definíciu. Vzorec je definovaný ako:
a-n = (1 / a n)
Vlastnosti záporných hodnôt mocnín čísel sú podobné mocninám s kladným exponentom. Reprezentovaná rovnica a m/a n = a m-n môže byť spravodlivý ako
« Nikde, ako v matematike, jasnosť a presnosť záveru neumožňuje človeku uniknúť odpovedi rozprávaním okolo otázky.».
A. D. Alexandrov
pri n viac m , ako aj m viac n . Pozrime sa na príklad: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .
Najprv musíte určiť číslo, ktoré slúži ako definícia stupňa. b=a(-n) . V tomto príklade -n je indikátorom stupňa b - požadovaná číselná hodnota, a - základ stupňa ako prirodzená číselná hodnota. Potom určte modul, teda absolútnu hodnotu záporného čísla, ktoré funguje ako exponent. Vypočítajte stupeň daného čísla vzhľadom na absolútne číslo ako ukazovateľ. Hodnota stupňa sa zistí vydelením jedného výsledným číslom.
Ryža. jeden
Zvážte silu čísla so záporným zlomkovým exponentom. Predstavte si, že číslo a je akékoľvek kladné číslo, čísla n a m - celé čísla. Podľa definície a , ktorý je pozdvihnutý k moci - rovná sa 1 delené rovnakým číslom s kladným stupňom (obr. 1). Ak je mocninou čísla zlomok, potom sa v takýchto prípadoch použijú iba čísla s kladnými exponentmi.
Stojí za pripomenutieže nula nikdy nemôže byť exponentom čísla (pravidlo delenia nulou).
Šírenie takého pojmu ako čísla začalo také manipulácie, ako sú výpočty meraní, ako aj rozvoj matematiky ako vedy. Zavedenie záporných hodnôt bolo spôsobené vývojom algebry, ktorá dala všeobecné riešenia aritmetických úloh bez ohľadu na ich konkrétny význam a počiatočné číselné údaje. V Indii sa v 6. až 11. storočí pri riešení problémov systematicky používali záporné hodnoty čísel a interpretovali sa rovnako ako dnes. V európskej vede sa záporné čísla začali široko používať vďaka R. Descartesovi, ktorý dal geometrickú interpretáciu záporných čísel ako smerov segmentov. Bol to Descartes, kto navrhol, aby sa číslo umocnené zobrazilo ako dvojposchodový vzorec a n .
Silové vzorce používa sa v procese znižovania a zjednodušovania zložitých výrazov, pri riešení rovníc a nerovníc.
číslo c je n-tá mocnina čísla a kedy:
Operácie so stupňami.
1. Vynásobením stupňov s rovnakým základom sa ich ukazovatele spočítajú:
a ma n = a m + n.
2. Pri delení stupňov s rovnakým základom sa ich ukazovatele odpočítajú:
3. Stupeň súčinu 2 resp viac faktorov sa rovná súčinu mocnín týchto faktorov:
(abc…) n = a n b n c n …
4. Stupeň zlomku sa rovná pomeru stupňov dividendy a deliteľa:
(a/b) n = a n/bn.
5. Zvýšením mocniny na mocninu sa exponenty vynásobia:
(am) n = a m n .
Každý vzorec vyššie je správny v smere zľava doprava a naopak.
napríklad. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operácie s koreňmi.
1. Koreň súčinu viacerých faktorov sa rovná súčinu koreňov týchto faktorov:
2. Odmocnina pomeru sa rovná pomeru dividendy a deliteľa koreňov:
3. Pri zvyšovaní odmocniny na mocninu stačí zvýšiť odmocninu na túto mocninu:
4. Ak zvýšime stupeň koreňa v n raz a zároveň zvýšiť na n mocnina je číslo odmocniny, potom sa hodnota odmocniny nezmení:
5. Ak znížime stupeň koreňa v n root súčasne n stupňa od radikálneho čísla, potom sa hodnota koreňa nezmení:
Stupeň so záporným exponentom. Stupeň určitého čísla s kladným (celočíselným) exponentom je definovaný ako podiel vydelený stupňom toho istého čísla s exponentom rovným absolútnej hodnote kladného exponentu:
Vzorec a m:a n = a m - n možno použiť nielen na m> n, ale aj pri m< n.
napríklad. a4:a7 = a4-7 = a-3.
Formulovať a m:a n = a m - n sa stal spravodlivým m=n, potrebujete prítomnosť nultého stupňa.
Stupeň s nulovým exponentom. Mocnina akéhokoľvek nenulového čísla s nulovým exponentom sa rovná jednej.
napríklad. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Stupeň so zlomkovým exponentom. Zvýšiť skutočné číslo a do istej miery m/n, musíte extrahovať koreň n tý stupeň m mocnina tohto čísla a.
Povýšenie na zápornú mocninu je jedným zo základných prvkov matematiky, s ktorým sa často stretávame pri riešení algebraických úloh. Nižšie je podrobný návod.
Keď číslo vezmeme na zvyčajnú mocninu, jeho hodnotu niekoľkokrát vynásobíme. Napríklad 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Pri zápornom zlomku je opak pravdou. Všeobecná forma podľa vzorca bude mať nasledujúci tvar: a -n = 1/a n . Ak teda chcete číslo umocniť na zápornú mocninu, musíte jednotku vydeliť daným číslom, ale už na kladnú mocninu.
S ohľadom na vyššie uvedené pravidlo, poďme vyriešiť niekoľko príkladov.
4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Odpoveď: 4 -2 = 1/16
4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Odpoveď je -4 -2 = 1/16.
Prečo je však odpoveď v prvom a druhom príklade rovnaká? Faktom je, že keď sa záporné číslo zvýši na párnu mocninu (2, 4, 6 atď.), znamienko sa stane kladným. Ak bol stupeň párny, zachová sa mínus:
4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)
Pripomeňme si, že keď sa číslo medzi 0 a 1 zvýši na kladnú mocninu, hodnota so zvyšujúcou sa mocninou klesá. Takže napríklad 0,5 2 = 0,25. 0,25
Príklad 3: Vypočítajte 0,5 -2
Riešenie: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Odpoveď: 0,5 -2 = 4
Analýza (postupnosť akcií):
Príklad 4: Vypočítajte 0,5 -3
Riešenie: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8
Príklad 5: Vypočítajte -0,5 -3
Riešenie: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Odpoveď: -0,5 -3 = -8
Na základe 4. a 5. príkladu vyvodíme niekoľko záverov:
Výrazy tohto typu majú nasledujúci tvar: a -m/n , kde a je obyčajné číslo, m je čitateľ stupňa, n je menovateľ stupňa.
Zvážte príklad:
Vypočítajte: 8 -1/3
Riešenie (postupnosť akcií):
Zo školy všetci poznáme pravidlo o umocnení: každé číslo s exponentom N sa rovná výsledku vynásobenia tohto čísla N-krát. Inými slovami, 7 na mocninu 3 je 7 vynásobená sama sebou trikrát, teda 343. Ďalšie pravidlo – umocnenie ľubovoľnej hodnoty na 0 dáva jednotku a umocnenie zápornej hodnoty je výsledkom obyčajného umocňovania, ak je párne a rovnaký výsledok so znamienkom mínus, ak je nepárny.
Pravidlá tiež dávajú odpoveď na to, ako zvýšiť číslo na zápornú mocninu. Aby ste to dosiahli, musíte obvyklým spôsobom zvýšiť požadovanú hodnotu modulom indikátora a potom rozdeliť jednotku výsledkom.
Z týchto pravidiel je zrejmé, že realizácia skutočných problémov s veľkým množstvom si bude vyžadovať prítomnosť technické prostriedky. Manuálne bude možné vynásobiť maximálny rozsah čísel do dvadsať alebo tridsať a potom nie viac ako tri alebo štyrikrát. Nehovoriac o tom, že potom aj jednotku vydeľte výsledkom. Preto pre tých, ktorí nemajú po ruke špeciálnu inžiniersku kalkulačku, vám povieme, ako zvýšiť číslo na zápornú mocninu v Exceli.
Na vyriešenie problémov s umocňovaním vám Excel umožňuje použiť jednu z dvoch možností.
Prvým je použitie vzorca so štandardným symbolom uzáveru. Do buniek hárka zadajte nasledujúce údaje:
Rovnakým spôsobom môžete zvýšiť požadovanú hodnotu na ľubovoľnú mocninu - zápornú, zlomkovú. Urobme nasledovné a odpovedzme na otázku, ako zvýšiť číslo na zápornú mocninu. Príklad:
Je možné opraviť priamo vo vzorci =B2^-C2.
Druhou možnosťou je použiť hotovú funkciu "Stupeň", ktorá preberá dva povinné argumenty - číslo a ukazovateľ. Ak ho chcete začať používať, stačí do ľubovoľnej voľnej bunky vložiť znak rovnosti (=) označujúci začiatok vzorca a zadať vyššie uvedené slová. Zostáva vybrať dve bunky, ktoré sa zúčastnia operácie (alebo zadať konkrétne čísla ručne), a stlačiť kláves Enter. Pozrime sa na niekoľko jednoduchých príkladov.
Vzorec | Výsledok |
||||
NAPÁJANIE(B2;C2) | |||||
NAPÁJANIE(B3;C3) |
|
Ako vidíte, nie je nič zložité na tom, ako zvýšiť číslo na zápornú mocninu a na obyčajnú pomocou Excelu. Koniec koncov, na vyriešenie tohto problému môžete použiť známy symbol „veka“, ako aj ľahko zapamätateľnú vstavanú funkciu programu. Toto je jednoznačné plus!
Prejdime na zložitejšie príklady. Pripomeňme si pravidlo, ako zvýšiť číslo na zápornú mocninu zlomkového charakteru, a uvidíme, že táto úloha je v Exceli vyriešená veľmi jednoducho.
Stručne povedané, algoritmus na výpočet čísla so zlomkovým exponentom je nasledujúci.
Súhlaste s tým, že aj pri práci s malými číslami a správnymi zlomkami môžu takéto výpočty trvať veľa času. Je dobré, že tabuľkovému procesoru Excel je jedno, aké číslo a do akej miery zvýšiť. Skúste vyriešiť nasledujúci príklad v pracovnom hárku programu Excel:
Pomocou vyššie uvedených pravidiel môžete skontrolovať a uistiť sa, že výpočet je správny.
V hárku programu Excel nájdete nasledujúce príklady. Aby všetko fungovalo správne, musíte pri kopírovaní vzorca použiť zmiešaný odkaz. Opravte číslo stĺpca obsahujúceho číslo, ktoré sa zvyšuje, a číslo riadku obsahujúceho indikátor. Váš vzorec by mal vyzerať asi takto: "=$B4^C$3".
Číslo / Stupeň | |||||
Upozorňujeme, že kladné čísla (aj neceločíselné) sa bez problémov vypočítajú pre akékoľvek exponenty. Nie sú žiadne problémy so zvýšením akýchkoľvek čísel na celé čísla. Ale zvýšenie záporného čísla na zlomkovú mocninu sa pre vás ukáže ako chyba, pretože nie je možné dodržať pravidlo uvedené na začiatku nášho článku o zvyšovaní záporných čísel, pretože parita je charakteristikou výlučne INTEGER čísla.
Číslo umocnené zavolajte na číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí.
Mocnina čísla so zápornou hodnotou (a - n) možno definovať rovnakým spôsobom, ako sa určuje stupeň rovnakého čísla s kladným exponentom (an) . Vyžaduje si to však aj ďalšiu definíciu. Vzorec je definovaný ako:
a-n = (1 / a n)
Vlastnosti záporných hodnôt mocnín čísel sú podobné mocninám s kladným exponentom. Reprezentovaná rovnica a m/a n = a m-n môže byť spravodlivý ako
« Nikde, ako v matematike, jasnosť a presnosť záveru neumožňuje človeku uniknúť odpovedi rozprávaním okolo otázky.».
A. D. Alexandrov
pri n viac m , ako aj m viac n . Pozrime sa na príklad: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .
Najprv musíte určiť číslo, ktoré slúži ako definícia stupňa. b=a(-n) . V tomto príklade -n je indikátorom stupňa b - požadovaná číselná hodnota, a - základ stupňa ako prirodzená číselná hodnota. Potom určte modul, teda absolútnu hodnotu záporného čísla, ktoré funguje ako exponent. Vypočítajte stupeň daného čísla vzhľadom na absolútne číslo ako ukazovateľ. Hodnota stupňa sa zistí vydelením jedného výsledným číslom.
Ryža. jeden
Zvážte silu čísla so záporným zlomkovým exponentom. Predstavte si, že číslo a je akékoľvek kladné číslo, čísla n a m - celé čísla. Podľa definície a , ktorý je pozdvihnutý k moci - rovná sa 1 delené rovnakým číslom s kladným stupňom (obr. 1). Ak je mocninou čísla zlomok, potom sa v takýchto prípadoch použijú iba čísla s kladnými exponentmi.
Stojí za pripomenutieže nula nikdy nemôže byť exponentom čísla (pravidlo delenia nulou).
Šírenie takého pojmu ako čísla začalo také manipulácie, ako sú výpočty meraní, ako aj rozvoj matematiky ako vedy. Zavedenie záporných hodnôt bolo spôsobené vývojom algebry, ktorá poskytla všeobecné riešenia aritmetických problémov bez ohľadu na ich špecifický význam a počiatočné číselné údaje. V Indii sa v 6. až 11. storočí pri riešení problémov systematicky používali záporné hodnoty čísel a interpretovali sa rovnako ako dnes. V európskej vede sa záporné čísla začali široko používať vďaka R. Descartesovi, ktorý dal geometrickú interpretáciu záporných čísel ako smerov segmentov. Bol to Descartes, kto navrhol, aby sa číslo umocnené zobrazilo ako dvojposchodový vzorec a n .
