Matematické modelovanie - proces budovania a štúdia matematických modelov
hlavné trendy vo vývoji matematického (počítačového) modelovania v posledné roky nesúvisia ani tak s riešením „mikro“ problémov, ako je napríklad vzťah „model-algoritmus-program“ uvedený vyššie. Dôraz na modelovanie sa čoraz viac presúva na „makroproblémy“. Hardvérové a softvérové nástroje na riešenie mikroproblémov totiž prakticky prestali obmedzovať možnosti modelovania aj v tých najväčších projektoch. Desiatky špecializovaných jazykov a komerčne dostupných modelovacích systémov sú široko používané po celom svete spolu so základnými programovacími jazykmi pre modelovanie a možnosťami sieťovania otvoreným prístupom k najmodernejším metodológiám a nápadom.
V moderná teória manažmentu sa vytvárajú a aplikujú matematické modely dvoch hlavných typov (hoci tieto typy sú v rôznych častiach teórie definované odlišne).
Pre technologické objekty toto rozdelenie zodpovedá „fenomenologickým“ a „deduktívnym“ modelom. Fenomenologické modely sú chápané ako prevažne empiricky rekonštruované vstupno-výstupné závislosti spravidla s malým počtom vstupov a výstupov. Deduktívne modelovanie zahŕňa objasnenie a popis základných fyzikálnych zákonitostí fungovania všetkých uzlov skúmaného procesu a mechanizmov ich interakcie. Deduktívne modely sú oveľa bohatšie, popisujú proces ako celok a nie jeho jednotlivé režimy.
Prvým typom modelov sú analytické modely (presnejšie dátové modely). "Dátové modely sú modely, ktoré nevyžadujú, nepoužívajú ani nezobrazujú žiadne hypotézy o fyzických procesoch (systémoch), v ktorých sa tieto údaje získavajú." Druhým typom modelov sú systémové modely (alebo systémové modely). Toto matematické modely, ktoré „sú z veľkej časti postavené na základe fyzikálnych zákonov a hypotéz o štruktúre systému a možno aj o jeho fungovaní“.
V klasickom zmysle dátové modely (analytické modely) zahŕňajú všetky modely matematická štatistika. Nedávno boli pre tieto modely pozorované aj charakteristické makrozmeny. Komunikácia s „vonkajším svetom“ preniká do tejto oblasti modelovania ako expertno-štatistické metódy a systémy, čo výrazne rozširuje metodický základ pre rozhodovanie v oblasti analýzy dát a problémov manažmentu.
Až donedávna matematické modely sa v manažérskej praxi využívali len ako zdroj vstupných údajov pre manažérske systémy. V tejto tradícii pokračuje modelovanie technických systémov v štádiu návrhu s cieľom optimalizovať ich štruktúru a parametre.
V mnohých iných problémoch sú zásadne použiteľné iba modely systému.V mnohých prípadoch môže model vstúpiť do riadiaceho systému vo forme bloku, ktorý zo svojich vstupov vypočítava výstupy nejakého objektu. Často v tomto prípade hovoríme o vývoji takzvaného simulačného modelovania – d dynamický objektové modelovanie. Dynamické modelovanie je typické pre rôzne úlohy v reálnom čase, predovšetkým pre počítačové simulátory. Takže v procese výcviku na simulátore sú akcie operátora interpretované ako vstupy modelu systému (technologické, dopravné atď.) a výstupy modelu sú konvertované do audiovizuálneho obrazu reakcií systému na akcie operátora. Takáto simulácia prebieha v reálnom čase, čo umožňuje jej výsledky využiť v rôznych technológiách reálneho času (od detekcie porúch až po interaktívne školenie operátorov).
S matematickými modelmi sú spojené dve hlavné triedy problémov: priame a inverzné. V prvom prípade sa predpokladá, že všetky parametre modelu sú známe a my musíme len preskúmať jeho správanie. Napríklad určenie frekvencie kmitov harmonického oscilátora so známou hodnotou parametra k je priamym problémom matematického modelovania.
Niekedy je potrebné vyriešiť inverzný problém: niektoré parametre modelu sú neznáme (napríklad ich nemožno explicitne zmerať) a je potrebné ich nájsť porovnaním správania skutočného systému s jeho modelom. Ďalší inverzný problém: vybrať parametre modelu tak, aby vyhovoval niektorým daným podmienkam - takéto problémy je potrebné riešiť pri návrhu systémov.
matematický model vyjadruje podstatné znaky objektu alebo procesu v reči rovníc a iných matematických prostriedkov. Prísne vzaté, samotná matematika vďačí za svoju existenciu tomu, čo sa snaží reflektovať, t.j. modelovať vo svojom vlastnom špecifickom jazyku vzory okolitého sveta.
Cesta matematického modelovania v našej dobe je oveľa komplexnejšia ako prirodzené modelovanie. Obrovský impulz pre rozvoj matematického modelovania dal nástup počítačov, hoci samotná metóda sa zrodila súčasne s matematikou pred tisíckami rokov.
Matematické modelovanie ako také nie vždy vyžadujú počítačovú podporu. Každý odborník, ktorý sa profesionálne venuje matematickému modelovaniu, robí všetko pre analytické štúdium modelu. Analytické riešenia (t. j. reprezentované vzorcami vyjadrujúcimi výsledky štúdie prostredníctvom počiatočných údajov) sú zvyčajne pohodlnejšie a informatívnejšie ako numerické. Možnosti analytických metód na riešenie zložitých matematických problémov sú však veľmi obmedzené a spravidla sú tieto metódy oveľa komplikovanejšie ako numerické.
Účelom kurzu o modelovaní zdvíhacích a dopravných systémov je naučiť základy modelovania zdvíhacích a dopravných strojov (PTM), čo zahŕňa zostavovanie matematických modelov PTM, softvérovú implementáciu modelov na počítači, ako aj získavanie, spracovanie a analýza výsledkov simulácií.
Na oboznámenie sa s uvedenou problematikou sa odporúča nasledujúca literatúra: Braude V. I., Ter-Mkhitarov M. S. „Systémové metódy výpočtu zdvíhacích strojov“, Ignatiev N. B., Ilyevsky B. Z., Klaus L. P. „Modelovacie strojové systémy“, Rachkov EV, Silikov Yu V. „Zdvíhacie a dopravné stroje a mechanizmy“, ako aj referenčné knihy a návody na numerické metódy výpočtovej matematiky a používanie matematického editora MathCad.
Modelovanie je teoretická a experimentálna metóda kognitívnej činnosti, je to metóda skúmania a vysvetľovania javov, procesov a systémov (pôvodných objektov) založená na vytváraní nových objektov – modelov.
Modelovanie je nahradenie skúmaného objektu (originálu) jeho podmieneným obrazom alebo iným objektom (modelom) a štúdium vlastností originálu skúmaním vlastností modelu.
Podľa spôsobu realizácie možno všetky modely rozdeliť do 4 skupín: fyzikálne, matematické, predmetovo-matematické a kombinované [,].
Fyzický model je skutočným stelesnením tých vlastností originálu, ktoré sú zaujímavé pre výskumníka. Fyzické modely sa tiež nazývajú rozloženia, takže fyzické modelovanie sa nazýva rozloženie.
Matematický model je formalizovaný popis systému (alebo procesu) pomocou nejakého abstraktného jazyka (matematicky), napríklad vo forme grafov, rovníc, algoritmov, matematických korešpondencií atď.
Predmetovo-matematické modely sú analógové, t.j. zároveň sa pri modelovaní využíva princíp rovnakého matematického popisu procesov, reálnych a vyskytujúcich sa v modeli.
Kombinované modely sú kombináciou matematického alebo predmetovo-matematického a fyzikálneho modelu. Používajú sa vtedy, keď je matematický popis jedného z prvkov skúmaného systému neznámy alebo zložitý a tiež je podľa podmienok modelovania potrebné zaviesť ako prvok fyzikálny model (napríklad simulátor) .
Matematické modelovanie je nahradenie originálu matematickým modelom a štúdium vlastností originálu na tomto modeli.
Systém je kombináciou niekoľkých navzájom prepojených objektov (prvkov), ktoré tvoria určitú integritu.
Prvok je relatívne nezávislá časť systému, uvažovaná o danej úrovni analýzu ako celok, navrhnutú na implementáciu nejakej funkcie.
Systém má nasledovné, tzv. Vlastnosti "systému":
štruktúra, t.j. prísne definované poradie kombinovania prvkov do skupín;
účelovosť alebo funkčnosť, t.j. prítomnosť účelu, na ktorý bol systém vytvorený;
efektívnosť, schopnosť dosiahnuť ciele s najmenšími výdavkami zdrojov;
stabilita, schopnosť zachovať charakteristiky svojich vlastností nezmenené v určitých medziach pri zmene vonkajších podmienok.
V súčasnosti sa v technike na štúdium prevádzky strojových komplexov a strojov používa pojem „systém človek-stroj“ (HMS), t.j. zmiešaný systém, ktorý spolu s technickými objektmi zahŕňa aj ľudského operátora [, ]. Okrem toho HMS interaguje s prostredím. Na modelovanie PTS je teda potrebné uvažovať so systémom človek-stroj-prostredie, ktorý je možné zobraziť pomocou nasledujúceho grafu (obr. 1).
R
je. 1 Graf systému človek-stroj-životné prostredie.
Šípky na grafe znázorňujú toky energie, hmoty a informácií vymieňané medzi prvkami systému.
Procesy vyskytujúce sa v technických systémoch sú tvorené súborom jednoduchých operácií. Operácie - transformácie vstupných fyzikálnych veličín na výstupné v nízkoúrovňovom prvku systému (obr. 2).
V každom prvku systému (E i) sa vstupné akcie (Xi) transformujú na výstupné akcie (Yi) a výstupné akcie jedného elementu môžu byť vstupom ďalšieho. Spojenie prvkov v blokovej schéme podľa charakteru prenosu vplyvov prebieha sériovo alebo paralelne.
Ryža. 2 Bloková schéma systému.
Zdvíhacie a prepravné systémy (PTS), preštudované v rámci tohto predmetu, budeme nazývať systémy zahŕňajúce človeka, životné prostredie a zdvíhacie a prepravné stroje (PTM).
PTM sú stroje určené na prepravu nákladu na relatívne krátke vzdialenosti bez jeho spracovania. PTM sa používajú na uľahčenie, zrýchlenie a zvýšenie efektívnosti operácií prekládky.
Matematické modely by mali mať tieto vlastnosti:
primeranosť, vlastnosť zhody s modelom a objektom výskumu;
spoľahlivosť, ktorá zaisťuje danú pravdepodobnosť, že výsledky simulácie spadajú do intervalu spoľahlivosti,
presnosť, nepatrný (v rámci dovolenej chyby) nesúlad medzi výsledkami simulácie a ukazovateľmi skutočných objektov (procesov);
stabilita, vlastnosť súladu malých zmien výstupných parametrov s malými zmenami na vstupe;
efektívnosť, schopnosť dosiahnuť ciele s nízkymi nákladmi na zdroje;
prispôsobivosť, schopnosť ľahko sa prestavať na riešenie rôznych problémov.
Na dosiahnutie týchto vlastností existujú niektoré princípy (pravidlá) matematického modelovania, z ktorých množstvo je uvedené nižšie.
Princíp cieľavedomosti je, že model musí zabezpečiť dosiahnutie presne definovaných cieľov a v prvom rade odrážať tie vlastnosti originálu, ktoré sú potrebné na dosiahnutie cieľa.
Princíp dostatočnosti informácií spočíva v obmedzení množstva informácií o objekte pri tvorbe jeho modelu a hľadaní optima medzi vstupnými informáciami a výsledkami simulácie. Dá sa to ilustrovať na nasledujúcom diagrame.
Všetky možné prípady simulácie sú uvedené v stĺpci 2.
Princíp uskutočniteľnosti je, že model musí zabezpečiť dosiahnutie stanoveného cieľa s pravdepodobnosťou blízkou 1 a v konečnom čase. Tento princíp možno vyjadriť v dvoch podmienkach
a 
,
(1)
kde 
- pravdepodobnosť dosiahnutia cieľa, - čas na dosiahnutie cieľa, 
a - prípustné hodnoty pravdepodobnosti a času dosiahnutia cieľa.
Princíp agregácie je, že model by mal pozostávať zo subsystémov 1. úrovne, ktoré zasa pozostávajú zo subsystémov 2. úrovne atď. Subsystémy by mali byť navrhnuté ako samostatné nezávislé bloky. Takáto konštrukcia modelu umožňuje použitie štandardných výpočtových postupov a tiež uľahčuje prispôsobenie modelu na riešenie rôznych problémov.
Princíp parametrizácie spočíva v nahradení pri modelovaní určitých parametrov podsystémov popísaných funkciami zodpovedajúcimi číselnými charakteristikami.
Proces modelovania pomocou týchto pravidiel spočíva v vykonaní nasledujúcich 5 krokov (fáz).
Definícia účelov modelovania.
Vypracovanie koncepčného modelu (výpočtová schéma).
Formalizácia.
Implementácia modelu.
Analýza a interpretácia výsledkov simulácie.
Významné rozdiely v implementácii etáp 3-5 nám umožňujú hovoriť o dvoch prístupoch k budovaniu modelu.
Analytické modelovanie- ide o využitie matematického modelu vo forme rovníc doplnených o systém obmedzení, ktoré spájajú vstupné premenné s výstupnými parametrami. Analytické modelovanie sa používa, ak existuje úplné vyjadrenie výskumného problému a je potrebné získať jeden konečný výsledok, ktorý mu zodpovedá.
Simulácia- ide o využitie matematického modelu na popis fungovania systému v čase pre rôzne kombinácie parametrov systému a rôznych vonkajších vplyvov. Simulačné modelovanie sa používa vtedy, ak neexistuje konečné vyjadrenie problému a je potrebné preskúmať procesy prebiehajúce v systéme. Simulačné modelovanie predpokladá rešpektovanie časového rozsahu. Tie. udalosti na modeli sa vyskytujú v časových intervaloch úmerných udalostiam na origináli s konštantným koeficientom úmernosti.
Podľa použitia nástrojov na implementáciu modelu možno rozlíšiť ešte jeden typ modelovania, počítačové modelovanie. Počítačové modelovanie je matematické modelovanie pomocou výpočtovej techniky.
Všetky matematické modely možno rozdeliť do niekoľkých skupín podľa nasledujúcich klasifikačných kritérií.
Podľa typu modelovaného systému sú modely statické a dynamické. Statické modely slúžia na štúdium statických systémov, dynamické modely na štúdium dynamických. Dynamické systémy sa vyznačujú tým, že majú veľa stavov, ktoré sa časom menia.
Podľa účelu modelovania sa modely delia na záťažové, manažérske a funkčné. Modely zaťaženia slúžia na určenie zaťažení pôsobiacich na prvky systému, modely riadenia slúžia na určenie kinematických parametrov skúmaného systému, ktoré zahŕňajú rýchlosti a pohyby prvkov systému, funkčné modely slúžia na určenie súradníc systému. modelu v priestore možných funkčných stavov systému.
Podľa stupňa diskretizácie sa modely delia na diskrétne, zmiešané a kontinuálne. Diskrétne modely obsahujú vzájomne prepojené prvky, ktorých charakteristiky sú sústredené v bodoch. Môžu to byť hmoty, objemy, sila a iné vplyvy sústredené v bodoch. Modely kontinua obsahujú prvky, ktorých parametre sú rozložené po dĺžke, ploche alebo objeme celého prvku. Zmiešané modely obsahujú prvky oboch typov.
PREDNÁŠKA 4
Definícia a účel matematického modelovania
Pod Model(z lat. modul - miera, vzorka, norma) budeme chápať taký materiálne alebo mentálne reprezentovaný predmet, ktorý v procese poznávania (štúdia) nahrádza pôvodný predmet, pričom si zachováva niektoré jeho typické znaky, ktoré sú pre toto štúdium dôležité. . Proces vytvárania a používania modelu sa nazýva modelovanie.
esencia matematického modelovania (MM) spočíva v nahradení skúmaného objektu (procesu) adekvátnym matematickým modelom a následnom štúdiu vlastností tohto modelu pomocou analytických metód alebo výpočtových experimentov.
Niekedy je užitočnejšie namiesto prísnych definícií opísať konkrétny pojem konkrétnym príkladom. Preto vyššie uvedené definície MM ilustrujeme na príklade problému výpočtu špecifického impulzu. Začiatkom 60. rokov 20. storočia stáli vedci pred úlohou vyvinúť raketové palivo s najvyšším špecifickým impulzom. Princíp pohybu rakety je nasledujúci: kvapalné palivo a okysličovadlo z nádrží rakiet sa privádzajú do motora, kde sa spália a splodiny horenia sa uvoľňujú do atmosféry. Zo zákona zachovania hybnosti vyplýva, že v tomto prípade sa raketa bude pohybovať rýchlosťou.
Špecifický impulz paliva je výsledný impulz delený hmotnosťou paliva. Experimenty boli veľmi drahé a viedli k systematickému poškodzovaniu zariadenia. Ukázalo sa, že jednoduchšie a lacnejšie je vypočítať termodynamické funkcie ideálnych plynov, s ich pomocou vypočítať zloženie emitovaných plynov a teplotu plazmy a následne špecifický impulz. To znamená vykonať MM procesu spaľovania paliva.
Pojem matematického modelovania (MM) je dnes jedným z najbežnejších vo vedeckej literatúre. Prevažná väčšina moderných diplomových a dizertačných prác je spojená s vývojom a používaním vhodných matematických modelov. Počítačový MM je dnes neoddeliteľnou súčasťou mnohých oblastí ľudskej činnosti (veda, technika, ekonómia, sociológia atď.). Aj to je jeden z dôvodov dnešného nedostatku špecialistov v oblasti informačných technológií.
Rýchly rast matematického modelovania je spôsobený rýchlym zlepšovaním počítačová veda. Ak sa ešte pred 20 rokmi zaoberal numerickými výpočtami len malý počet programátorov, teraz je množstvo pamäte a rýchlosť moderných počítačov, ktoré umožňujú riešiť problémy matematického modelovania, dostupné všetkým odborníkom vrátane študentov vysokých škôl.
V každej disciplíne sa najprv uvádza kvalitatívny popis javov. A potom - kvantitatívne, formulované vo forme zákonov, ktoré stanovujú vzťahy medzi rôznymi veličinami (sila poľa, intenzita rozptylu, náboj elektrónov, ...) vo forme matematických rovníc. Dá sa teda povedať, že v každej disciplíne je toľko vedy, koľko je v nej matematikov a táto skutočnosť nám umožňuje úspešne riešiť mnohé problémy pomocou metód matematického modelovania.
Kurz je určený pre študentov aplikovanej matematiky, ktorí dokončujú svoje dizertačné práce pod vedením popredných vedcov pôsobiacich v rôznych oblastiach. Preto je tento kurz potrebný nielen ako učebný materiál, ale aj ako príprava na diplomovú prácu. Na štúdium tohto kurzu budeme potrebovať nasledujúce časti matematiky:
1. Rovnice matematickej fyziky (Kantova mechanika, plyn a hydrodynamika)
2. Lineárna algebra (teória pružnosti)
3. Skalárne a vektorové polia (teória poľa)
4. Teória pravdepodobnosti ( kvantová mechanika, štatistická fyzika, fyzikálna kinetika)
5. Špeciálne vlastnosti.
6. Tenzorová analýza (teória elasticity)
7. Matematická analýza
MM v prírodných vedách, inžinierstve a ekonómii
Uvažujme najskôr o rôznych odvetviach prírodných vied, techniky, ekonómie, v ktorých sa používajú matematické modely.
prírodná veda
Fyzika, ktorá stanovuje základné zákony prírodných vied, sa oddávna delí na teoretickú a experimentálnu. Teoretická fyzika sa zaoberá odvodzovaním rovníc popisujúcich fyzikálne javy. Za jednu z oblastí matematického modelovania teda možno považovať aj teoretickú fyziku. (Pripomeňme, že názov prvej knihy o fyzike – „The Mathematical Principles of Natural Philosophy“ od I. Newtona možno preložiť do moderný jazyk ako "Matematické modely prírodných vied.") Na základe získaných zákonov sa vykonávajú inžinierske výpočty, ktoré sa vykonávajú v rôznych ústavoch, firmách, projekčných kanceláriách. Tieto organizácie vyvíjajú technológie na výrobu moderných produktov, ktoré sú náročné na vedu.Pojem technológií náročných na vedu teda zahŕňa výpočty pomocou vhodných matematických modelov.
Jedna z najrozsiahlejších oblastí fyziky - klasickej mechaniky(niekedy sa táto časť nazýva teoretická alebo analytická mechanika). Táto časť teoretickej fyziky študuje pohyb a interakciu telies. Výpočty pomocou vzorcov teoretickej mechaniky sú potrebné pri štúdiu rotácie telies (výpočet momentov zotrvačnosti, gyrostaty - zariadenia, ktoré udržujú osi rotácie nehybné), analýzu pohybu telesa vo vákuu a pod. Jedna z častí teoretickej mechaniky sa nazýva teória stability a je základom mnohých matematických modelov popisujúcich pohyb lietadiel, lodí, rakiet. Úseky praktickej mechaniky - kurzy "Teória strojov a mechanizmov", "Súčiastky strojov", študujú študenti takmer všetkých technických univerzít (vrátane MGIU).
Teória elasticity- časť oddielu mechanika kontinua, ktorý predpokladá, že materiál pružného telesa je homogénny a plynule rozložený po celom objeme telesa, takže najmenší prvok vyrezaný z telesa má rovnakú fyzikálne vlastnosti, čo je celé telo. Aplikácia teórie pružnosti - kurz "pevnosť materiálov", študujú študenti všetkých technických univerzít (vrátane MGIU). Táto časť je potrebná pre všetky výpočty pevnosti. Tu je výpočet pevnosti trupov lodí, lietadiel, rakiet, výpočet pevnosti oceľových a železobetónových konštrukcií budov a mnoho ďalšieho.
Plyn a hydrodynamika, ako aj teória pružnosti - časť sekcie mechanika kontinua, uvažuje o zákonoch pohybu kvapaliny a plynu. Rovnice plynu a hydrodynamiky sú potrebné pri analýze pohybu telies v kvapalnom a plynnom médiu (satelity, ponorky, rakety, granáty, autá), pri výpočte úniku plynu z dýz raketových a leteckých motorov. Praktická aplikácia dynamiky tekutín – hydraulika (brzda, smerovka,...)
Predchádzajúce časti mechaniky uvažovali o pohybe telies v makrokozme a fyzikálne zákony makrokozmu nie sú použiteľné v mikrokozme, v ktorom sa pohybujú častice hmoty – protóny, neutróny, elektróny. Tu fungujú úplne iné princípy a na popis mikrosveta je to nevyhnutné kvantová mechanika. Základnou rovnicou popisujúcou správanie mikročastíc je Schrödingerova rovnica: 
. Tu je hamiltonovský operátor (hamiltonián). Pre jednorozmernú rovnicu pohybu častíc https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-potenciálna energia. Riešenie tejto rovnice je sada vlastné hodnoty energie a vlastných funkcií..gif" width="55" height="24 src=">– hustota pravdepodobnosti. Kvantovo-mechanické výpočty sú potrebné pre vývoj nových materiálov (mikroobvodov), tvorbu laserov, vývoj spektrálnej analýzy metódy atď.
Rieši sa veľké množstvo úloh kinetika opisujúci pohyb a interakciu častíc. Tu a difúzia, prenos tepla, teória plazmy - štvrté skupenstvo hmoty.
štatistická fyzika zvažuje súbory častíc, umožňuje povedať o parametroch súboru na základe vlastností jednotlivých častíc. Ak súbor pozostáva z molekúl plynu, potom vlastnosti súboru odvodené metódami štatistickej fyziky sú známe rovnice stavu plynu zo strednej školy: https://pandia.ru/text/78/009/images /image009_85.gif" width="16" height="17 src=">.gif" width="16" height="17">-molekulárna hmotnosť plynu. TO - Rydbergova konštanta. Štatistické metódy sa používajú aj na výpočet vlastností roztokov, kryštálov a elektrónov v kovoch. MM štatistickej fyziky je teoretickým základom termodynamiky, ktorá je základom výpočtu motorov, tepelných sietí a staníc.
Teória poľa popisuje metódami MM jednu z hlavných foriem hmoty – pole. V tomto prípade sú prvoradé elektromagnetické polia. Rovnice elektromagnetického poľa (elektrodynamika) odvodil Maxwell: , 
, , 
. Tu a https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - hustota náboja, - hustota prúdu. Elektrodynamické rovnice sú základom výpočtov šírenia elektromagnetické vlny potrebné popísať šírenie rádiových vĺn (rozhlas, televízia, bunková komunikácia), vysvetliť činnosť radarových staníc.
Chémia môže byť zastúpená v dvoch aspektoch, pričom vyzdvihujeme deskriptívnu chémiu – objav chemických faktorov a ich opis – a teoretickú chémiu – vývoj teórií, ktoré umožňujú zovšeobecniť stanovené faktory a prezentovať ich vo forme špecifického systému (L. Pauling) . Teoretická chémia sa nazýva aj fyzikálna chémia a je to v podstate odvetvie fyziky, ktoré študuje látky a ich interakcie. Preto všetko, čo bolo povedané o fyzike, plne platí pre chémiu. Sekciami fyzikálnej chémie budú termochémia, ktorá študuje tepelné účinky reakcií, chemická kinetika (reakčné rýchlosti), kvantová chémia (štruktúra molekúl). Problémy chémie sú zároveň mimoriadne zložité. Napríklad na riešenie problémov kvantovej chémie - vedy o štruktúre atómov a molekúl sa používajú programy, ktoré sú objemovo porovnateľné s programami protivzdušnej obrany krajiny. Napríklad, aby ste opísali molekulu UCl4, ktorá sa skladá z 5 atómových jadier a +17 * 4) elektrónov, musíte zapísať pohybovú rovnicu - rovnice v parciálnych deriváciách.
Biológia
Matematika sa do biológie skutočne dostala až v druhej polovici 20. storočia. Prvé pokusy o matematický popis biologických procesov súvisia s modelmi populačnej dynamiky. Populácia je spoločenstvo jedincov rovnakého druhu, ktorí zaberajú určitú oblasť priestoru na Zemi. Táto oblasť matematickej biológie, ktorá študuje zmenu veľkosti populácie za rôznych podmienok (prítomnosť konkurenčných druhov, predátorov, chorôb atď.), naďalej slúžila ako matematické testovacie pole, na ktorom sa „vyvíjali“ matematické modely v r. rôzne oblasti biológie. Vrátane modelov evolúcie, mikrobiológie, imunológie a ďalších oblastí súvisiacich s populáciami buniek.
Úplne prvým známym modelom sformulovaným v biologickom prostredí je slávna Fibonacciho séria (každé nasledujúce číslo je súčtom predchádzajúcich dvoch), ktorú vo svojej práci cituje Leonardo z Pisy v 13. storočí. Toto je séria čísel popisujúcich počet párov králikov, ktoré sa narodia každý mesiac, ak králiky začnú množiť od druhého mesiaca a každý mesiac vyprodukujú pár králikov. Riadok predstavuje postupnosť čísel: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
|
|
|
|
8, 13, …
Ďalším príkladom je štúdium procesov iónového transmembránového transportu na umelej dvojvrstvovej membráne. Aby bolo možné študovať zákony tvorby pórov, cez ktoré ión prechádza cez membránu do bunky, je potrebné vytvoriť modelový systém, ktorý možno experimentálne študovať a pre ktorý je možné dobre vyvinutý fyzikálny popis. použité.
Klasickým príkladom MM je aj populácia Drosophila. Ešte vhodnejším modelom sú vírusy, ktoré sa dajú množiť v skúmavke. Metódami modelovania v biológii sú metódy teórie dynamických systémov a prostriedkami sú diferenciálne a diferenčné rovnice, metódy kvalitatívnej teórie diferenciálnych rovníc, simulačné modelovanie.
Ciele modelovania v biológii:
3. Objasnenie mechanizmov interakcie medzi prvkami systému
4. Identifikácia a overenie parametrov modelu pomocou experimentálnych údajov.
5. Posúdenie stability systému (modelu).
6. Predikcia správania systému pod rôznymi vonkajšími vplyvmi, rôznymi spôsobmi manažment a pod.
7. Optimálna kontrola systém v súlade so zvoleným kritériom optimality.
Technika
Zdokonaľovaniu technológií sa venuje veľké množstvo odborníkov, ktorí sa pri svojej práci spoliehajú na výsledky vedecký výskum. Preto sú MM v technológii rovnaké ako MM v prírodných vedách, o ktorých sa hovorilo vyššie.
Ekonomika a sociálne procesy
Všeobecne sa uznáva, že matematické modelovanie ako metódu analýzy makroekonomických procesov prvýkrát použil lekár kráľa Ľudovíta XV. François Quesnay, ktorý v roku 1758 vydal dielo „Ekonomická tabuľka“. V tejto práci bol urobený prvý pokus o kvantitatívne popísanie národného hospodárstva. A v roku 1838 v knihe O. Cournot Kvantitatívne metódy „Skúmanie matematických princípov teórie bohatstva“ sa prvýkrát použili na analýzu konkurencie na komoditnom trhu v rôznych trhových situáciách.
Všeobecne známa je aj Malthusova populačná teória, v ktorej navrhol myšlienku, že rast populácie nie je ani zďaleka vždy žiaduci a tento rast je rýchlejší ako rastúce možnosti zásobovania obyvateľstva potravinami. Matematický model takéhoto procesu je pomerne jednoduchý: Nech - rast populácie v čase https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> číslo sa rovná ... a sú koeficienty zohľadňujúce mieru pôrodnosti a úmrtnosti (osoby/rok).
https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Inštrumentálne a matematické metódy" href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="záložka"> matematické metódy analýza (napríklad v posledných desaťročiach sa v humanitných vedách objavili matematické teórie kultúrneho rozvoja, matematické modely mobilizácie, cyklický vývoj sociokultúrnych procesov, model interakcie medzi ľuďmi a vládou, model pretekov v zbrojení atď.) boli postavené a študované.
Vo všeobecnosti možno proces MM sociálno-ekonomických procesov podmienečne rozdeliť do štyroch etáp:
Všimnite si, že proces matematického modelovania je spravidla cyklický, pretože aj pri štúdiu relatívne jednoduchých procesov je len zriedka možné od prvého kroku zostaviť adekvátny matematický model a zvoliť jeho presné parametre.
V súčasnosti je ekonomika považovaná za komplexný rozvíjajúci sa systém, na kvantitatívny popis ktorého sa využívajú dynamické matematické modely rôzneho stupňa zložitosti. Jedna z oblastí výskumu makroekonomickej dynamiky je spojená s konštrukciou a analýzou relatívne jednoduchých nelineárnych simulačných modelov, ktoré odrážajú interakciu rôznych subsystémov – trh práce, trh tovarov, finančný systém, prírodné prostredie atď.
Teória katastrof sa úspešne rozvíja. Táto teória sa zaoberá otázkou podmienok, za ktorých zmena parametrov nelineárneho systému spôsobí posunutie bodu vo fázovom priestore charakterizujúceho stav systému z oblasti príťažlivosti do počiatočná poloha rovnováhy do oblasti príťažlivosti do inej rovnovážnej polohy. Ten je veľmi dôležitý nielen pre analýzu technických systémov, ale aj pre pochopenie udržateľnosti sociálno-ekonomických procesov. V tejto súvislosti nálezy o význame štúdia nelineárnych modelov pre manažment. V knihe „Teória katastrof“, vydanej v roku 1990, píše najmä: „... súčasná reštrukturalizácia je do značnej miery spôsobená tým, že začali fungovať aspoň niektoré spätnoväzbové mechanizmy (strach z osobnej deštrukcie). "
(parametre modelu)
Pri budovaní modelov reálnych predmetov a javov sa človek často stretáva s nedostatkom informácií. Pre skúmaný objekt je s rôznou mierou neistoty známe rozloženie vlastností, parametre nárazu a počiatočný stav. Pri zostavovaní modelu sú možné nasledujúce možnosti popisu neistých parametrov:
Klasifikácia matematických modelov
(metódy implementácie)
Metódy implementácie MM možno klasifikovať podľa nižšie uvedenej tabuľky.
Metódy implementácie MM Veľmi často sa analytické riešenie pre model prezentuje vo forme funkcií. Na získanie hodnôt týchto funkcií pre konkrétne hodnoty vstupných parametrov sa používa ich rozšírenie do série (napríklad Taylor) a približne sa určí hodnota funkcie pre každú hodnotu argumentu. Modely, ktoré využívajú túto techniku, sú tzv približné. o numerický prístup množina matematických vzťahov modelu je nahradená konečnorozmerným analógom. Najčastejšie sa to dosiahne diskretizáciou počiatočných vzťahov, t. j. prechodom od funkcií spojitého argumentu k funkciám diskrétneho argumentu (metódy mriežky). Riešenie nájdené po výpočtoch na počítači sa berie ako približné riešenie pôvodného problému. Väčšina existujúce systémy sú veľmi zložité a je pre nich nemožné vytvoriť reálny model popísaný analyticky. Takéto systémy by sa mali študovať pomocou simulačné modelovanie. Jedna z hlavných metód simulačného modelovania je spojená s použitím generátora náhodných čísel. Keďže sa pomocou metód MM rieši veľké množstvo problémov, metódy implementácie MM sa študujú na viac ako jednom školení. Tu sú parciálne diferenciálne rovnice, numerické metódy na riešenie týchto rovníc, výpočtová matematika, počítačová simulácia atď. PAULING, Linus Carl (Pauling, Linus Carl) (), americký chemik a fyzik, ocenený v roku 1954 nobelová cena v odbore chémia pre štúdium povahy chemických väzieb a určovanie štruktúry bielkovín. Narodil sa 28. februára 1901 v Portlande, Oregon. Vyvinul kvantovú mechanickú metódu na štúdium štruktúry molekúl (spolu s americkým fyzikom J. Slayerom) - metódu valenčných väzieb, ako aj teóriu rezonancie, ktorá umožňuje vysvetliť štruktúru zlúčenín obsahujúcich uhlík. , predovšetkým zlúčeniny aromatického radu. V období kultu osobnosti ZSSR boli vedci zaoberajúci sa kvantovou chémiou prenasledovaní a obviňovaní z „polingizmu“. MALTHUS, THOMAS ROBERT (Malthus, Thomas Robert) (), anglický ekonóm. Narodil sa v Rookery pri Dorkingu v Surrey 15. alebo 17. februára 1766. V roku 1798 publikoval anonymne Experiment so zákonom populácie. V roku 1819 bol Malthus zvolený za člena Kráľovskej spoločnosti. |
S.P. BOBKOV, D.O. BYTEV
MODELOVANIE SYSTÉMU
Návod
Federálna agentúra pre vzdelávanie
Štátna vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania
Štátna chemicko-technologická univerzita v Ivanove
Medzinárodná univerzita obchodu a nových technológií (inštitút)
S.P. BOBKOV, D.O. BYTEV
MODELOVANIE SYSTÉMU
Pre vysokoškolákov.
Bobkov S.P. Modelovacie systémy: učebnica. príspevok / S.P. Bobkov,
PRED. Bytev; Ivan. štát chemicko-technologické un-t. - Ivanovo, 2008. - 156 s. - ISBN
Cieľ študijná príručka- poskytnúť študentom všeobecnú predstavu o moderných metódach technického a technického modelovania ekonomické systémy a predmetov.
Príručka pojednáva o všeobecných problémoch a moderných metódach
logika modelovania, spojitá a diskrétna deterministická
rozdelenie objektov a systémov, stochastické modely s diskrétnym a spojitým časom. Veľká pozornosť je venovaná metódam simulačného modelovania systémov s pravdepodobnostnými charakteristikami. Uvádza sa prehľad iných prístupov k modelovaniu zložitých systémov, ako je informačná entropia, použitie neurónových sietí a Petriho sietí.
Učebnica je určená pre študentov študujúcich v odboroch učebného odboru 080801 „Aplikovaná informatika“ a 230201
« Informačné systémy a technológie“. Okrem toho môže byť príručka užitočná aj pre študentov iných špecializácií a smerov.
Tabuľka 7. Il.92. Bibliografia: 10 titulov.
Vydané rozhodnutím redakčnej a vydavateľskej rady Ivanov-
Štátna vysoká škola chemicko-technologická.
Recenzenti:
Katedra aplikovanej matematiky, Ivanovo State Power Engineering University; Doktor fyzikálnych a matematických vied V.A. Sokolov (Yaroslavl State University).
ISBN 5-9616-0268-6 © Ivanovo Štátna chemicko-technologická univerzita, 2008
1.5. Pojem schémy matematického modelovania. . . . . . . . . . . . . . 12
1.6. Všeobecná metodika tvorby matematických modelov. . . . . . . . . . . trinásť
1.7. Základné pojmy systematického prístupu k tvorbe
matematických modelov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . šestnásť
2. DETERMINISTICKÉ MODELY. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dvadsať
2.1. Matematické modely technických objektov. . . . . . . . . . . . . . . dvadsať
2.1.1. Komponentné funkcionálne rovnice objektov. . . . . dvadsať
2.1.2. Fázové premenné a ich analógie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.3. Topologické rovnice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.4. Príklady tvorby modelov technických objektov. . . . . . . 25
2.1.5. Modely technologických zariadení. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Konečné automaty. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1. Koncept konečného automatu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2. Metódy popisu a triedy konečných automatov. . . . . . . . 32
2.2.3. Iné typy konečných automatov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3. STOCHASTICKÉ MODELY. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1. Prvky Markovovej teórie náhodné procesy. . . . . . . . . . . 39
3.1.1. Koncept náhodného procesu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.2. Diskrétne Markovove reťaze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.3. Stacionárne rozdelenie pravdepodobnosti. . . . . . . . . . . . . 43
3.1.4. Nepretržité Markovove reťazce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.5. A.N. Kolmogorov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.6. Streamy udalostí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2. Základy teórie radenia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1. Zovšeobecnená bloková schéma QS. Parametre
a vlastnosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.2. QS s otvorenou slučkou s čakaním a nárokmi pacienta. 58
3.2.3. Limitné varianty otvoreného QS. . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.4 Všeobecný prípad otvoreného QS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.5. Uzavreté QS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.6. Zaraďovacie siete
s jednoduchými tokmi udalostí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3. Pravdepodobnostné automaty. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
| 4. SIMULAČNÉ MODELOVANIE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.1. Definícia simulačnej metódy. . . . . . . . . . | |
| 4.2. Základné pojmy simulačného modelovania. . . . . . . . . . . . | |
| 4.3. Hlavné fázy simulačného modelovania. . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.4. Čas v simulačných modeloch. Pseudoparalelnosť. . . . . . . . . . | |
| 4.5. Generalizované simulačné algoritmy. . . . . . . | |
| 4.6. Modelovanie náhodných faktorov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.6.1. Základné modelovanie náhodné premenné. . . . . . . . . . . . | |
| 4.6.2. Simulácia spojitých náhodných premenných | |
| S svojvoľné rozdelenie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.6.3. Modelovanie diskrétnych náhodných premenných. . . . . . . . . | |
| 4.6.4. Modelovanie náhodných udalostí a ich tokov. . . . . . . | |
| 4.7 Modelovanie náhodných procesov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.7.1 Diskrétne Markovove reťaze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.7.2 Súvislé Markovove reťazce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.8. Spracovanie a analýza výsledkov simulácií. | |
| 4.8.1. Odhad pravdepodobnostných parametrov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.8.2. Odhad korelačných parametrov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.8.3. Výpočet časovo spriemerovaných parametrov QS. . . . . . . . . . . . | |
| 4.9. Plánovanie experimentov so simulačnými modelmi. . . . . | |
| 4.10. Všeobecné problémy simulačného modelovania. . . . . . . . . . . . | |
| 5. PREHĽAD ALTERNATÍVNYCH PRÍSTUPOV K MODELOVANIU | |
| KOMPLEXNÉ SYSTÉMY. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.1. Petriho siete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.1.1. Definícia Petriho siete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.1.2. Fungovanie Petriho siete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.1.3. Analýza Petriho sietí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.2. Neurálne siete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.2.1. Koncept neurónovej siete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.2.2. umelý neurón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.2.3. Hlavné typy aktivačných funkcií umelých | |
| neuróny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.2.4. Typy jednoduchých neurónových sietí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.2.5. Rekurentné a samoorganizujúce sa neurónové siete. . . | |
| 5.2.6. Všeobecné poznámky o používaní neurónových sietí. . . . | |
| 5.3. Informačno-entropický prístup k modelovaniu systému | |
| ZOZNAM ODPORÚČANEJ LITERATÚRY. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| . . . . . . . . . |
ÚVOD
Modelovanie je univerzálna metóda na získavanie a využívanie poznatkov o okolitom svete. Modeling využíva človek vždy pri cieľavedomej činnosti, najmä vo výskume. V moderných podmienkach narastá úloha a význam matematického modelovania, ktoré s rozvojom výpočtovej techniky často dostalo názov počítačové modelovanie.
Matematické (počítačové) modely vďaka svojej logike a striktnej formálnej povahe umožňujú identifikovať hlavné faktory, ktoré určujú vlastnosti skúmaných systémov a študovať ich reakcie na vonkajšie vplyvy a zmena nastavení. Matematické modely sa často používajú jednoduchšie a pohodlnejšie ako prirodzené (fyzikálne). Umožňujú realizovať výpočtové experimenty, ktorých reálna formulácia je ťažká alebo nemožná.
Štúdium základných princípov matematického modelovania je neoddeliteľnou súčasťou prípravy odborníkov v technických odboroch. Disciplíny súvisiace so štúdiom hlavných aspektov modelovania objektov a systémov sú povinne zahrnuté do príslušných učebných osnov a sú súčasťou federálnych vzdelávacích štandardov.
Účelom tohto tutoriálu je konzistentná prezentácia moderných metód modelovania. Príručka je určená najmä študentom študujúcich v špecializáciách a oblastiach „Informačné systémy“ a „Aplikovaná informatika (podľa odvetví“), vzhľadom na skúsenosti s výučbou takýchto disciplín na technických univerzitách však autori považovali za vhodné neobmedzovať sa brať do úvahy len informácie - o systémoch, ale do textu zahrnúť aj úvahy o technických a technicko-ekonomických systémoch a objektoch.
Materiál príručky je štruktúrovaný nasledovne. Prvá kapitola sa zaoberá všeobecnou problematikou modernej metodiky modelovania, využitím systematického prístupu pri tvorbe matematických modelov. Druhá kapitola je venovaná úvahám o spojitých a diskrétnych deterministických modeloch objektov a systémov. Analogickú metódu sa navrhuje použiť pri syntéze a analýze modelov technických objektov rôzneho fyzikálneho charakteru. V tretej kapitole sú študované stochastické modely s diskrétnym a spojitým časom. Veľká pozornosť je v príručke venovaná metódam simulačného modelovania systémov s pravdepodobnostnými charakteristikami, ktoré sú obsahom štvrtej kapitoly. Piata kapitola podáva prehľad ďalších prístupov k modelovaniu zložitých systémov, akými sú informačno-entropia, využitie neurónových sietí a Petriho sietí.
VŠEOBECNÉ POJMY MATEMATICKÉHO MODELOVANIA
Od polovice XX storočia. v rôznych oblastiach ľudskej činnosti sa začali vo veľkej miere využívať matematické metódy a počítače. Vznikli nové disciplíny ako „matematická ekonómia“, „matematická chémia“, „matematická lingvistika“ atď., ktoré študujú matematické modely relevantných objektov a javov, ako aj metódy na štúdium týchto modelov.
Matematický model je približný popis akejkoľvek triedy javov alebo objektov reálneho sveta v jazyku matematiky. Hlavným účelom modelovania je preskúmať tieto objekty a predpovedať výsledky budúcich pozorovaní. Modelovanie je však aj metóda poznávania okolitého sveta, ktorá umožňuje jeho ovládanie.
Matematické modelovanie a súvisiaci počítačový experiment sú nevyhnutné v prípadoch, keď je experiment v plnom rozsahu z jedného alebo druhého dôvodu nemožný alebo ťažký. Napríklad nie je možné v histórii založiť experiment v plnom rozsahu na overenie „čo by sa stalo, keby...“ Nie je možné overiť správnosť tej či onej kozmologickej teórie. V zásade je možné, ale ťažko rozumné experimentovať so šírením nejakej choroby, ako je mor, alebo uskutočniť jadrový výbuch s cieľom študovať jeho následky. To všetko sa však dá urobiť na počítači, ktorý predtým vytvoril matematické modely skúmaných javov.
1) Stavba modelu. V tejto fáze sa špecifikuje nejaký „nematematický“ objekt – prírodný jav, stavba, ekonomický plán, výrobný proces a pod. V tomto prípade je spravidla obtiažny jasný popis situácie. Najprv sa identifikujú hlavné črty javu a vzťah medzi nimi na kvalitatívnej úrovni. Potom sa nájdené kvalitatívne závislosti formulujú v jazyku matematiky, to znamená, že sa zostaví matematický model. Toto je najťažšia časť modelovania.
2) Riešenie matematického problému, ku ktorému model vedie. V tejto fáze sa veľká pozornosť venuje vývoju algoritmov a numerické metódy riešenie problému na počítači, pomocou ktorého možno nájsť výsledok s požadovanou presnosťou a v prijateľnom čase.
3) Interpretácia získaných dôsledkov z matematického modelu. Dôsledky odvodené z modelu v jazyku matematiky sú interpretované v jazyku akceptovanom v tejto oblasti.
4) Kontrola vhodnosti modelu. V tejto fáze sa zisťuje, či výsledky experimentu súhlasia s teoretickými dôsledkami z modelu v rámci určitej presnosti.
5) Úprava modelu. V tejto fáze sa buď model stáva zložitejším, aby bol adekvátnejší realite, alebo je zjednodušený, aby sa dosiahlo prakticky prijateľné riešenie.
Modely možno klasifikovať podľa rôznych kritérií. Napríklad podľa charakteru riešených problémov možno modely rozdeliť na funkčné a štrukturálne. V prvom prípade sú kvantitatívne vyjadrené všetky veličiny charakterizujúce jav alebo predmet. Súčasne sa niektoré z nich považujú za nezávislé premenné, zatiaľ čo iné sa považujú za funkcie týchto veličín. Matematický model je zvyčajne systém rovníc rôznych typov (diferenciálnych, algebraických atď.), ktoré stanovujú kvantitatívne vzťahy medzi uvažovanými veličinami. V druhom prípade model charakterizuje štruktúru komplexného objektu, pozostávajúceho zo samostatných častí, medzi ktorými existujú určité súvislosti. Tieto vzťahy sa zvyčajne nedajú kvantifikovať. Na zostavenie takýchto modelov je vhodné použiť teóriu grafov. Graf je matematický objekt, ktorý je množinou bodov (vrcholov) v rovine alebo v priestore, z ktorých niektoré sú spojené čiarami (hranami).
Podľa charakteru počiatočných údajov a výsledkov predikcie možno modely rozdeliť na deterministické a pravdepodobnostno-štatistické. Modely prvého typu dávajú definitívne a jednoznačné predpovede. Modely druhého typu sú založené na štatistických informáciách a predpovede získané pomocou nich majú pravdepodobnostný charakter.
1) Problémy s pohybom strely.
Zvážte nasledujúci problém v mechanike.
Strela je vypustená zo Zeme počiatočnou rýchlosťou v 0 = 30 m/s pod uhlom a = 45° k jej povrchu; je potrebné nájsť trajektóriu jeho pohybu a vzdialenosť S medzi počiatočným a koncovým bodom tejto trajektórie.
Potom, ako je známe zo školského kurzu fyziky, pohyb projektilu je opísaný vzorcami:
kde t - čas, g = 10 m / s 2 - zrýchlenie voľného pádu. Tieto vzorce poskytujú matematický model úlohy. Vyjadrením t ako x z prvej rovnice a jej dosadením do druhej dostaneme rovnicu pre dráhu strely:
Táto krivka (parabola) pretína os x v dvoch bodoch: x 1 \u003d 0 (začiatok trajektórie) a 
(miesto, kde projektil dopadol). Dosadením daných hodnôt v0 a a do získaných vzorcov dostaneme
odpoveď: y \u003d x - 90x 2, S \u003d 90 m.
Všimnite si, že pri konštrukcii tohto modelu bolo použitých niekoľko predpokladov: napríklad sa predpokladá, že Zem je plochá a vzduch a rotácia Zeme neovplyvňujú pohyb projektilu.
2) Problém nádrže s najmenším povrchom.
Je potrebné nájsť výšku h 0 a polomer r 0 plechovej nádrže s objemom V = 30 m 3 v tvare uzavretého kruhového valca, pri ktorej je jej povrch S minimálny (v tomto prípade najmenší množstvo cínu sa použije na jeho výrobu).
Pre objem a povrch valca s výškou h a polomerom r píšeme nasledujúce vzorce:
V = pr 2 h, S = 2 p r (r + h).
Vyjadrením h pomocou r a V z prvého vzorca a dosadením výsledného výrazu do druhého dostaneme:
Z matematického hľadiska sa teda problém redukuje na určenie hodnoty r, pri ktorej funkcia S(r) dosiahne svoje minimum. Nájdite tie hodnoty r 0, pre ktoré je derivácia
ide na nulu: 
Môžete skontrolovať, či druhá derivácia funkcie S(r) zmení znamienko z mínus na plus, keď argument r prechádza bodom r 0 . Preto funkcia S(r) má minimum v bode r0. Zodpovedajúca hodnota h 0 = 2r 0 . Dosadením danej hodnoty V do výrazu pre r 0 a h 0 dostaneme požadovaný polomer 
a výška 
3) Transportná úloha.
V meste sú dva sklady múky a dve pekárne. Z prvého skladu sa denne vyvezie 50 ton múky a do tovární 70 ton z druhého, do prvého 40 ton a do druhého 80 ton.
Označiť podľa a ij sú náklady na prepravu 1 tony múky z i-teho skladu do j-tého závodu (i, j = 1,2). Nechaj
a 11 \u003d 1,2 s., a 12 \u003d 1,6 s., a 21 \u003d 0,8 str., a 22 = 1 str.
Ako treba plánovať dopravu, aby ich cena bola minimálna?
Dajme problému matematickú formuláciu. Označme x 1 a x 2 množstvo múky, ktoré sa má prepraviť z prvého skladu do prvého a druhého závodu, a x 3 a x 4 - z druhého skladu do prvého a druhého závodu. potom:
x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)
Celkové náklady na všetku dopravu sa určujú podľa vzorca
f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x4.
Z matematického hľadiska je úlohou nájsť štyri čísla x 1 , x 2 , x 3 a x 4, ktoré spĺňajú všetky zadané podmienky a dávajú minimum funkcie f. Riešime sústavu rovníc (1) vzhľadom na xi (i = 1, 2, 3, 4) metódou eliminácie neznámych. Chápeme to
x 1 \u003d x 4 - 30, x 2 \u003d 80 - x 4, x 3 \u003d 70 - x 4, (2)
a x 4 nemožno jednoznačne určiť. Pretože x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4), z rovníc (2) vyplýva, že 30J x 4 J 70. Dosadením výrazu pre x 1 , x 2 , x 3 do vzorca pre f dostaneme
f \u003d 148 – 0,2 x 4.
Je ľahké vidieť, že minimum tejto funkcie sa dosiahne pri maximálnej možnej hodnote x 4, teda pri x 4 = 70. Zodpovedajúce hodnoty ostatných neznámych sú určené vzorcami (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.
4) Problém rádioaktívneho rozpadu.
Nech N(0) je počiatočný počet atómov rádioaktívnej látky a N(t) je počet nerozložených atómov v čase t. Experimentálne sa zistilo, že rýchlosť zmeny počtu týchto atómov N "(t) je úmerná N (t), to znamená, že N" (t) \u003d -l N (t), l > 0 je konštanta rádioaktivity danej látky. V školskom kurze matematickej analýzy sa ukazuje, že riešenie tohto problému Diferenciálnej rovnice má tvar N(t) = N(0)e –l t . Čas T, počas ktorého sa počet počiatočných atómov znížil na polovicu, sa nazýva polčas rozpadu a je dôležitou charakteristikou rádioaktivity látky. Na určenie T je potrebné zadať vzorec 
Potom 
Napríklad pre radón l = 2,084 10–6, a teda T = 3,15 dňa.
5) Problém cestujúceho predajcu.
Cestujúci obchodník žijúci v meste A 1 potrebuje navštíviť mestá A 2 , A 3 a A 4 , každé mesto presne raz, a potom sa vrátiť späť do A 1 . Je známe, že všetky mestá sú spojené v pároch cestami a dĺžky ciest b ij medzi mestami A i a A j (i, j = 1, 2, 3, 4) sú nasledovné:
b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.
Je potrebné určiť poradie navštevujúcich miest, v ktorých je dĺžka zodpovedajúcej cesty minimálna.
Znázornime každé mesto ako bod na rovine a označme ho príslušným označením Ai (i = 1, 2, 3, 4). Spojme tieto body s úsečkami: budú zobrazovať cesty medzi mestami. Pre každú „cestu“ uvádzame jej dĺžku v kilometroch (obr. 2). Výsledkom je graf - matematický objekt pozostávajúci z určitej množiny bodov v rovine (nazývaných vrcholy) a určitého súboru čiar spájajúcich tieto body (nazývaných hrany). Okrem toho je tento graf označený, pretože jeho vrcholom a hranám sú priradené niektoré označenia - čísla (hrany) alebo symboly (vrcholy). Cyklus na grafe je postupnosť vrcholov V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 taká, že vrcholy V 1 , ..., V k sú rôzne a ľubovoľná dvojica vrcholov V i, V i+1 (i = 1, ..., k – 1) a dvojica V 1 , V k sú spojené hranou. Uvažovaným problémom je teda nájsť taký cyklus na grafe prechádzajúci všetkými štyrmi vrcholmi, pre ktorý je súčet všetkých váh hrán minimálny. Poďme prehľadať všetky rôzne cykly prechádzajúce cez štyri vrcholy a začínajúce na A 1:
1) Ai, A4, A3, A2, Ai;
2) Ai, A3, A2, A4, Ai;
3) Ai, A3, A4, A2, Ai.
Teraz nájdime dĺžky týchto cyklov (v km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Prvá je teda trasa s najmenšou dĺžkou.
Všimnite si, že ak je v grafe n vrcholov a všetky vrcholy sú spojené v pároch hranami (takýto graf sa nazýva úplný), potom je počet cyklov prechádzajúcich všetkými vrcholmi rovnaký. Preto sú v našom prípade presne tri cykly .
6) Problém hľadania súvislosti medzi štruktúrou a vlastnosťami látok.
Zvážte niekoľko chemických zlúčenín nazývaných normálne alkány. Pozostávajú z n atómov uhlíka a n + 2 atómov vodíka (n = 1, 2 ...), vzájomne prepojených, ako je znázornené na obrázku 3 pre n = 3. Experimentálne hodnoty teplôt varu týchto zlúčenín sú známe:
ye (3) = -42°, ye (4) = 0°, ye (5) = 28°, ye (6) = 69°.
Pre tieto zlúčeniny je potrebné nájsť približný vzťah medzi teplotou varu a číslom n. Predpokladáme, že táto závislosť má tvar
y » a n+b
kde a, b - konštanty, ktoré sa majú určiť. Na nájdenie a a b do tohto vzorca postupne dosadíme n = 3, 4, 5, 6 a zodpovedajúce hodnoty bodov varu. Máme:
– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+b.
Na určenie toho najlepšieho a ab existuje veľa rôznych metód. Využime najjednoduchšie z nich. Vyjadrujeme b v termínoch a z týchto rovníc:
b" - 42 - 3 a, b » – 4 a, b » 28. – 5 a, b » 69 – 6 a.
Zoberme si ako požadované b aritmetický priemer týchto hodnôt, to znamená, že dáme b » 16 - 4,5 a. Dosaďte túto hodnotu b do pôvodného systému rovníc a výpočtu a, dostaneme za a nasledujúce hodnoty: a» 37, a» 28, a» 28, a» 36 a priemernú hodnotu týchto čísel, teda nastavíme a» 34. Požadovaná rovnica má teda tvar
y » 34n – 139.
Skontrolujeme presnosť modelu na počiatočných štyroch zlúčeninách, pre ktoré vypočítame teploty varu pomocou získaného vzorca:
yr (3) = – 37°, yr (4) = – 3°, yr (5) = 31°, yr (6) = 65°.
Výpočtová chyba tejto vlastnosti pre tieto zlúčeniny teda nepresahuje 5°. Výslednú rovnicu použijeme na výpočet teploty varu zlúčeniny s n = 7, ktorá nie je zahrnutá v počiatočnej množine, za ktorú do tejto rovnice dosadíme n = 7: y р (7) = 99°. Výsledok sa ukázal ako celkom presný: je známe, že experimentálna hodnota teploty varu y e (7) = 98°.
7) Problém stanovenia spoľahlivosti elektrického obvodu.
Tu uvažujeme o príklade pravdepodobnostného modelu. Najprv si dajme pár informácií z teórie pravdepodobnosti – matematickej disciplíny, ktorá študuje zákonitosti náhodných javov pozorovaných pri opakovanom opakovaní experimentu. Nazvime náhodnú udalosť A možným výsledkom nejakej skúsenosti. Udalosti A 1 , ..., Ak tvoria ucelenú skupinu, ak jedna z nich nevyhnutne nastane v dôsledku experimentu. Udalosti sa nazývajú nekompatibilné, ak sa nemôžu vyskytnúť súčasne v rovnakom zážitku. Nech sa udalosť A vyskytne m-krát počas n-násobného opakovania experimentu. Frekvencia udalosti A je číslo W =. Je zrejmé, že hodnotu W nemožno presne predpovedať, kým sa neuskutoční séria n experimentov. Povaha náhodných udalostí je však taká, že v praxi sa niekedy pozoruje nasledujúci efekt: s nárastom počtu experimentov hodnota prakticky prestáva byť náhodná a ustáli sa okolo nejakého nenáhodného čísla P(A), tzv. pravdepodobnosť udalosti A. Pre nemožnú udalosť (ktorá v experimente nikdy nenastane) P(A)=0 a pre určitú udalosť (ktorá sa v experimente vždy vyskytne) P(A)=1. Ak udalosti A 1 , ..., Ak tvoria úplnú skupinu nekompatibilných udalostí, potom P(A 1)+...+P(A k)=1.
Nech je skúsenosť napríklad v hode kockou a sledovaní počtu padnutých bodov X. Potom môžeme zaviesť tieto náhodné udalosti A i =(X = i), i = 1, ..., 6. Tvoria úplná skupina nezlučiteľných rovnako pravdepodobných udalostí, preto P(A i) = (i = 1, ..., 6).
Súčet dejov A a B je dej A + B, ktorý spočíva v tom, že aspoň jeden z nich nastane v experimente. Súčinom dejov A a B je dej AB, ktorý spočíva v súčasnom výskyte týchto dejov. Pre nezávislé udalosti A a B platia vzorce
P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).
8) Zvážte nasledujúce úloha. Predpokladajme, že tri prvky sú zapojené do série v elektrickom obvode, pracujú nezávisle na sebe. Pravdepodobnosť zlyhania 1., 2. a 3. prvku je P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Obvod budeme považovať za spoľahlivý, ak pravdepodobnosť, že v obvode nebude prúd, nie je väčšia ako 0,4. Je potrebné zistiť, či je daný reťazec spoľahlivý.
Keďže prvky sú zapojené do série, v obvode nebude prúdiť (udalosť A), ak zlyhá aspoň jeden z prvkov. Nech je A i udalosť, ktorá i-tý prvok funguje (i = 1, 2, 3). Potom P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Je zrejmé, že A 1 A 2 A 3 je prípad, keď všetky tri prvky pracujú súčasne, a
P(A1A2A3) = P(A1) P(A2) P(A3) = 0,612.
Potom P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, teda P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.
Na záver poznamenávame, že vyššie uvedené príklady matematických modelov (medzi ktorými sú funkčné a štrukturálne, deterministické a pravdepodobnostné) sú ilustratívne a samozrejme nevyčerpávajú celú škálu matematických modelov, ktoré vznikajú v prírodných a humanitných vedách.
1,
2
,
3,
5,
