S.P. BOBKOV, D.O. BYTEV
MODELOVACIE SYSTÉMY
Návod
Federálna agentúra pre vzdelávanie
Štátna vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania
Štátna chemicko-technologická univerzita v Ivanove
Medzinárodná univerzita obchodu a nových technológií (Inštitút)
S.P. BOBKOV, D.O. BYTEV
MODELOVACIE SYSTÉMY
Pre vysokoškolákov.
Bobkov S.P. Systémové modelovanie: učebnica. príspevok / S.P. Bobkov,
PRED. Bytev; Ivan. štát chem.-techn. un-t. - Ivanovo, 2008 .-- 156 s. - ISBN
Účelom tutoriálu je poskytnúť študentom všeobecnú predstavu o moderných metódach technického a technického modelovania ekonomické systémy a predmetov.
Príručka pokrýva všeobecné problémy a modernú metodiku
simulačná logika, spojitá a diskrétna deterministická mo-
delenie objektov a systémov, stochastické modely s diskrétnym a spojitým časom. Veľká pozornosť sa venuje metódam simulácie systémov s pravdepodobnostnými charakteristikami. Uvádza sa prehľad ďalších prístupov k modelovaniu zložitých systémov, ako je informačno-entropia, využitie o neurálne siete a Petriho siete.
Príručka je určená pre študentov študujúcich v odboroch výcviku 080801 „Aplikovaná informatika“ a 230201
« Informačné systémy a technológie“. Okrem toho môže byť príručka užitočná aj pre študentov iných odborov a oblastí.
Tabuľka 7. Obr. 92. Bibliografia: 10 titulov.
Vydané rozhodnutím redakčnej a vydavateľskej rady Ivanov-
Štátna chemicko-technologická univerzita Skogo.
Recenzenti:
Katedra aplikovanej matematiky, Ivanovo State Power Engineering University; Doktor fyzikálnych a matematických vied V.A. Sokolov (Yaroslavl State University).
ISBN 5-9616-0268-6 © GOU VPO Ivanovo Štátna chemicko-technologická univerzita ", 2008
1.5. Koncept schémy matematického modelovania. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
1.6. Všeobecná metodika tvorby matematických modelov. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... trinásť
1.7. Základné pojmy systematického prístupu k tvorbe
matematických modelov. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... šestnásť
2. STANOVENÉ MODELY. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... dvadsať
2.1. Matematické modely technických objektov. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... dvadsať
2.1.1. Komponentné funkcionálne rovnice objektov. ... ... ... ... dvadsať
2.1.2. Fázové premenné a ich analógie. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 23
2.1.3. Topologické rovnice. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 24
2.1.4. Príklady tvorby modelov technických objektov. ... ... ... ... ... ... 25
2.1.5. Modely technologických prístrojov. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 29
2.2. Konečné automaty. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 31
2.2.1. Koncept konečného automatu. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 31
2.2.2. Popis metód a tried konečných automatov. ... ... ... ... ... ... ... 32
2.2.3. Iné typy konečných automatov. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 37
3. STOCHASTICKÉ MODELY. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 39
3.1. Prvky Markovovej teórie náhodné procesy. . . . . . . . . . . 39
3.1.1. Koncept náhodného procesu. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 39
3.1.2. Diskrétne Markovove reťazce. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 40
3.1.3. Stacionárne rozdelenie pravdepodobnosti. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 43
3.1.4. Nepretržité Markovove reťazce. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 45
3.1.5. Rovnice A.N. Kolmogorov. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 46
3.1.6. Prúdy udalostí. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 48
3.2. Základy teórie radenia. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 51
3.2.1. Zovšeobecnená bloková schéma QS. Parametre
a vlastnosti. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 52
3.2.2. Otvorte QS s čakaním a požiadavkami pacienta. 58
3.2.3. Obmedzené možnosti pre otvorený QS. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 62
3.2.4 Všeobecný prípad otvoreného QS. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 64
3.2.5. Uzavreté SOT. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 68
3.2.6. Siete radenia
s najjednoduchšími prúdmi udalostí. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 73
3.3. Pravdepodobnostné automaty. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 77
| 4. IMITÁCIA MODELOVANIA. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.1. Stanovenie metódy simulácie. ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.2. Základné pojmy simulácie. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.3. Hlavné fázy simulácie. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.4. Čas v simulačných modeloch. Pseudoparalelnosť. ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.5. Generalizované simulačné algoritmy. ... ... ... ... ... ... | |
| 4.6. Simulácia náhodných faktorov. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.6.1. Základné modelovanie náhodné premenné. . . . . . . . . . . . | |
| 4.6.2. Modelovanie spojitých náhodných premenných | |
| S svojvoľné rozdelenie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.6.3. Modelovanie diskrétnych náhodných premenných. ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.6.4. Modelovanie náhodných udalostí a ich tokov. ... ... ... ... ... ... | |
| 4.7 Simulácia náhodných procesov. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.7.1 Diskrétne Markovove reťazce. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.7.2 Súvislé Markovove reťazce. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.8. Spracovanie a analýza výsledkov simulácií. | |
| 4.8.1. Odhad pravdepodobnostných parametrov. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.8.2. Odhad korelačných parametrov. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.8.3. Výpočet časovo spriemerovaných parametrov QS. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 4.9. Plánovanie experimentov so simulačnými modelmi. ... ... ... ... | |
| 4.10. Všeobecné problémy simulácie. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 5. PREHĽAD ALTERNATÍVNYCH PRÍSTUPOV K MODELOVANIU | |
| KOMPLEXNÉ SYSTÉMY. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 5.1. Petriho siete. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 5.1.1. Definícia Petriho siete. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 5.1.2. Fungovanie Petriho siete. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 5.1.3. Analýza Petriho sietí. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 5.2. Neurálne siete. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 5.2.1. Koncept neurónovej siete. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 5.2.2. Umelý neurón. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 5.2.3. Hlavné typy aktivačných funkcií umelých | |
| neuróny. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 5.2.4. Typy najjednoduchších neurónových sietí. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| 5.2.5. Rekurentné a samoorganizujúce sa neurónové siete. ... ... | |
| 5.2.6. Všeobecné poznámky o používaní neurónových sietí. ... ... ... | |
| 5.3. Informačno-entropický prístup k modelovaniu systémov | |
| ZOZNAM ODPORÚČANEJ LITERATÚRY. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | |
| . . . . . . . . . |
ÚVOD
Modelovanie je univerzálna metóda získavania a využívania vedomostí o svete okolo nás. Modeling vždy využíva človek pri cieľavedomej činnosti, najmä vo výskume. V moderných podmienkach narastá úloha a význam matematického modelovania, ktoré s rozvojom prostriedkov výpočtovej technikyčasto sa začali nazývať počítač.
Matematické (počítačové) modely vďaka svojej konzistentnosti a prísnemu formálnemu charakteru umožňujú identifikovať hlavné faktory, ktoré určujú vlastnosti skúmaných systémov a študovať ich reakcie na vonkajšie vplyvy a zmenou parametrov. Matematické modely sa často používajú jednoduchšie a pohodlnejšie ako prirodzené (fyzikálne). Umožňujú realizovať výpočtové experimenty, ktorých samotné nastavenie je náročné alebo nemožné.
Štúdium základných princípov matematického modelovania je neoddeliteľnou súčasťou prípravy špecialistov v technické oblastičinnosti. Disciplíny súvisiace so štúdiom hlavných aspektov modelovania objektov a systémov sú povinne zahrnuté v príslušných učebných osnovách, ktoré sú súčasťou federálnych vzdelávacích štandardov.
Účelom tohto tutoriálu je poskytnúť konzistentnú prezentáciu moderných techník modelovania. Príručka je určená najmä študentom zaradených do odborov a oblastí "Informačné systémy" a "Aplikovaná informatika (podľa odvetví." - onny systémy, ale v texte zahŕňa aj úvahy o technicko-technických a ekonomických systémoch a objektoch.
Materiál príručky je štruktúrovaný nasledovne. Prvá kapitola skúma všeobecnú problematiku a modernú metodiku modelovania, využitie systematického prístupu pri tvorbe matematických modelov. Druhá kapitola je venovaná úvahám o spojitých a diskrétnych deterministických modeloch objektov a systémov. Navrhuje sa použiť metódu analógov pri syntéze a analýze modelov technických objektov rôzneho fyzikálneho charakteru. Tretia kapitola skúma stochastické modely s diskrétnym a spojitým časom. Veľká pozornosť je v príručke venovaná metódam simulácie systémov s pravdepodobnostnými charakteristikami, čo je obsahom štvrtej kapitoly. Piata kapitola poskytuje prehľad ďalších prístupov k modelovaniu zložitých systémov, akými sú informačno-entropia, využitie neurónových sietí a Petriho sietí.
VŠEOBECNÉ POJMY MATEMATICKÉHO MODELOVANIA
Matematické modelovanie v užšom zmysle slova chápeme ako opis vo forme rovníc a nerovníc reálnych fyzikálnych, chemických, technologických, biologických, ekonomických a iných procesov. Aby bolo možné použiť matematické metódy na analýzu a syntézu rôznych procesov, je potrebné vedieť tieto procesy opísať jazykom matematiky, teda opísať ich vo forme sústavy rovníc a nerovníc.
Matematické metódy fungujú ako spôsob, ako získať nové poznatky o objekte. Neplatí to len pre systémy. Pri pohľade späť, pri pohľade do histórie vedy, výskumník vidí, že celú dynamiku vedy možno vnímať ako nepretržitý proces budovania nových, dokonalejších a výkonnejších modelov. Zakorenila sa myšlienka, že „všetko poznanie je modelovanie“ (N. Amosov). Pod vplyvom všeobecnej teórie systémov došlo k prehodnoteniu, prehodnoteniu klasických predstáv. Pojem matematického modelovania sa začal vykladať tak široko, že zahŕňal všetku formalizáciu a matematizáciu poznatkov. " Matematický model je len špeciálnym spôsobom popisu, ktorý umožňuje použiť na analýzu formálno-logický aparát matematiky."(Moiseev N.N., 1973).
Ale modely zložitých a veľkých systémov sú v princípe niečo iné, kvalitatívne. Analytický, formálno-logický aparát tu už nestačí. V rámci tejto práce sa matematickým modelom rozumie akákoľvek matematická konštrukcia, ktorá je veľká a/alebo zložitá. dynamický systém a majúci vlastnosť štruktúrneho a funkčného izomorfizmu vzhľadom na skúmaný systém (pôvodný systém).
Existuje hlboký rozdiel medzi modelovaním a získavaním kvantitatívneho alebo kvalitatívneho výsledku pomocou matematických metód. Aplikácia matematiky je možná vtedy, keď je jasné, čo a za akým účelom definovať, hodnotiť, merať, čo a ako spracovávať matematickými metódami. Model neplní tieto úlohy. Matematické modelovanie nie je aplikácia matematického nástroja na objekt, nie riešenie konkrétnych problémov matematickými prostriedkami. Ide o konštrukciu abstraktného objektu izofunkčného voči skúmanému objektu formálnymi metódami a prostriedkami pre následnú aplikáciu matematických metód kvantitatívnych a kvalitatívna analýza... Využitie matematiky v modelovaní ako jazyka (metateória) zároveň dáva získaným záverom dôkaznú silu. Činnosť budovania modelov nepatrí do matematiky a nevykonávajú ju (mali by ju vykonávať) nie matematici, ale špecialisti v určitej oblasti vedomostí.
Na vybudovanie modelu systému človek potrebuje tie zmysluplné empirické myšlienky, tie deskriptívne vedy, ktoré predchádzajú vzniku formalizovaných vied. Tieto opisy nie sú zahrnuté vo forme základných častí formalizovanej vedy, ale iba uľahčujú proces formalizácie, obohacujú heuristické možnosti formalizácie. Model nevyžaduje predbežný popis modelovaného objektu, pretože sám je formou popisu.
Vzťah medzi modelom a realitou je odlišný od vzťahu medzi realitou a matematickým vzorcom. Vzorec je hieroglyf, znak reality. Model je samotná realita. Dá sa tvrdiť, že fyzik či matematik dokonale cíti dynamiku, skutočné vzťahy, ktoré sa za vzorcom skrývajú, nevníma ho ako hieroglyf, a navyše moderná matematika ani zďaleka nie je jednoduchá a nielen vzorec. A predsa nemôže vedec myslieť pomocou vzorcov. Model je iná vec. Má dynamiku, žije (nielen obrazne, niekedy v prenesenom zmysle slova). Výskumník môže myslieť s modelmi, dostáva príležitosť obrazného myslenia. Vo svete modelov sa spája umelecké a logické vnímanie reality.
Matematické modelovanie nevylučuje použitie klasickej matematiky, navyše v rámci modelu získava matematik silu a univerzálnosť prieniku, o ktorú bol v klasickej ére ukrátený.
Ak uvažujeme určitý objekt ako celok, daný jeho vonkajšími vlastnosťami, môžeme efektívne využiť analytické metódy popisu procesov prebiehajúcich mimo tohto celku. Ale stojí za to stanoviť si úlohu vnútorného popisu veľkého a / alebo zložitého systému, popísať interakcie medzi jeho časťami, prvkami a podsystémami metódami klasickej matematiky, pretože okamžite narazíme na neprekonateľné ťažkosti.
Na druhej strane pokus popísať určitý systém procedurálnymi metódami vo všeobecnosti bez preniknutia do jeho vnútornej štruktúry, do jeho štruktúry a funkcií prvkov spravidla nevedie k významnému výsledku. Každá metóda má svoje miesto.
V matematike analytických štruktúr musíme najprv pochopiť a potom popísať. V modelovaní, v matematike algoritmických procesov, sa samotný proces opisovania toho, čo ešte nebolo pochopené, často stáva prostriedkom porozumenia.
Ako metodika vedecký výskum matematické modelovanie spája skúsenosti rôznych oblastí vedy o prírode a spoločnosti, aplikovanej matematike, informatike a systémovom programovaní na riešenie základných problémov. Matematické modelovanie objektov komplexnej povahy je jeden ucelený vývojový cyklus od základného výskumu problému až po špecifické numerické výpočty ukazovateľov účinnosti objektu. Výsledkom vývoja je systém matematických modelov, ktoré popisujú kvalitatívne heterogénne vzorce fungovania objektu a jeho vývoja ako celku ako komplexného systému za rôznych podmienok. Výpočtové experimenty s matematickými modelmi poskytujú počiatočné údaje na posúdenie výkonnostných ukazovateľov objektu. Preto je matematické modelovanie ako metodológia organizovania vedeckej expertízy hlavných problémov nevyhnutné pri vypracovávaní národných ekonomických rozhodnutí. (Týka sa to predovšetkým modelovania ekonomických systémov). Vo svojom jadre je matematické modelovanie metódou na riešenie nových zložitých problémov, preto by mal výskum matematického modelovania pokračovať. V predstihu by sa mali vyvinúť nové metódy, mali by sa vyškoliť kádre, ktoré sú schopné kvalifikovane aplikovať tieto metódy na riešenie nových praktických problémov. Matematický model môže vzniknúť tromi spôsobmi:1. Výsledkom priameho štúdia skutočného procesu. Takéto modely sa nazývajú fenomenologické. 2. V dôsledku procesu odpočtu. Nový model je u niektorých zvláštnym prípadom všeobecný model... Takéto modely sa nazývajú asymptotické. V dôsledku procesu indukcie. Nový model je zovšeobecnením elementárnych modelov. Takéto modely sa nazývajú súborové modely. Proces modelovania začína modelovaním zjednodušeného procesu, ktorý na jednej strane odráža hlavné kvalitatívne javy a na druhej strane umožňuje celkom jednoduchý matematický popis. Ako sa výskum prehlbuje, budujú sa nové modely, ktoré tento jav popisujú podrobnejšie. Faktory, ktoré sa v tejto fáze považujú za menej významné, sa vyradia. Avšak v ďalších fázach štúdie, keď sa model stáva zložitejším, môžu byť zahrnuté do úvahy. V závislosti od účelu štúdie možno jeden a ten istý faktor považovať za primárny alebo sekundárny Matematický model a reálny proces nie sú totožné. Matematický model sa spravidla vytvára s určitým zjednodušením a určitou idealizáciou. Reálny objekt skúmania odráža len približne a výsledky skúmania reálneho objektu matematickými metódami sú približné. Presnosť štúdie závisí od miery primeranosti modelu a objektu a od presnosti použitých metód. výpočtová matematika.Schéma vytvárania matematických modelov je nasledovná:1. Zvýraznenie parametra alebo funkcie, ktorá sa má skúmať. Voľba zákona, ktorému táto hodnota podlieha. 3. Výber oblasti, v ktorej chcete tento fenomén študovať.
Teoretická disciplína sa stáva exaktnou vedou, keď pracuje s kvantitatívnymi charakteristikami. Po kvalitatívnom popise modelu nasleduje druhá fáza abstrakcie - kvantitatívny popis modelu. Dokonca aj Galileo Galilei povedal, že kniha prírody je napísaná v jazyku matematiky. Immanuel Kant hlásal, že „v každej vede je toľko pravdy, koľko je v nej matematiky“. A David Hilbert vlastní slová: „Matematika − základ celej exaktnej prírodnej vedy “.
Matematické modelovanie je teoretická a experimentálna metóda kognitívnej a tvorivej činnosti, je to metóda štúdia a vysvetľovania javov, procesov a systémov (pôvodných objektov) založená na vytváraní nových objektov - matematických modelov.
Matematický model sa zvyčajne chápe ako súbor vzťahov (rovnice, nerovnice, logické podmienky, operátory atď.), ktoré určujú charakteristiky stavov modelovacieho objektu a prostredníctvom nich výstupné hodnoty - reakcie v závislosti od parametre pôvodného objektu, vstupné akcie 
, počiatočné a hraničné podmienky ako aj čas.
Matematický model spravidla berie do úvahy iba tie vlastnosti (atribúty) pôvodného objektu, ktoré odrážajú, definujú a sú zaujímavé z hľadiska cieľov a zámerov konkrétnej štúdie. V dôsledku toho, v závislosti od cieľov modelovania, pri posudzovaní toho istého pôvodného objektu z rôznych uhlov pohľadu a v rôznych aspektoch môže mať tento objekt rôzne matematické popisy a v dôsledku toho môže byť reprezentovaný rôznymi matematickými modelmi.
Berúc do úvahy vyššie uvedené, uvedieme najvšeobecnejšiu, no zároveň striktnú konštruktívnu definíciu matematického modelu, ktorú sformuloval P.J. Cohen.
Definícia 4.1. Matematický model je formálny systém, ktorý je konečnou zbierkou symbolov a úplne striktných pravidiel pre obsluhu týchto symbolov v spojení s interpretáciou vlastností určitého objektu nejakými vzťahmi, symbolmi alebo konštantami.
Ako vyplýva z vyššie uvedenej definície, finálna zbierka symbolov (abeceda) a úplne prísne pravidlá pre prácu s týmito symbolmi („gramatika“ a „syntax“ matematických výrazov) vedú k vzniku abstraktných matematických objektov (AMO). Iba interpretácia robí z tohto abstraktného objektu matematický model.
Matematický model je kvantitatívna formalizácia abstraktných predstáv o skúmanom jave alebo objekte.
Matematické modely môžu byť reprezentované rôznymi matematickými prostriedkami:
· skutočné alebo komplexné hodnoty;
· vektory, matice;
· geometrické obrazy;
· nerovnosti;
· funkcie a funkcie;
· množiny, rôzne rovnice;
· funkcie rozdelenia pravdepodobnosti, štatistici a pod.
„Vo fyzike − Thompson napísal, − pri štúdiu akéhokoľvek objektu je prvým a najdôležitejším krokom nájdenie princípov numerického hodnotenia a praktických metód merania niektorých z toho, čo je tomuto objektu vlastné."
Prechod z prvej do druhej fázy abstrakcie, t.j. od fyzikálneho modelu k matematickému často model oslobodzuje od špecifických čŕt, ktoré sú vlastné danému javu alebo skúmanému objektu. Mnohé matematické modely, ktoré stratili svoju fyzickú alebo technickú škrupinu, nadobúdajú univerzálnosť, t.j. schopnosť kvantitatívne opísať procesy, ktoré sa líšia svojou fyzikálnou podstatou alebo z hľadiska technického účelu predmetov. Toto je jedna z najdôležitejších vlastností matematickej formalizácie predmetu výskumu, vďaka ktorej pri formulovaní a riešení aplikovaných problémov vo väčšine prípadov nie je potrebné vytvárať nové. matematický aparát, ale môžete použiť existujúci, s vylepšením a výkladom potrebným pre konkrétnu situáciu. Na riešenie teda možno použiť jeden matematický model Vysoké číslo konkrétne konkrétne problémy a v tomto zmysle vyjadruje jeden z hlavných praktických účelov teórie.
Samozrejme, budovanie fyzického modelu je často neoddeliteľne spojené s budovaním matematického modelu a oba tieto procesy predstavujú dve strany jedného procesu abstrakcie.
Sme obklopení komplexom umelé technické objekty (technické systémy)... V procese návrhu nového alebo modernizácie existujúceho technického systému sa riešia úlohy výpočtu parametrov a štúdia procesov v tomto systéme. Pri vykonávaní viacrozmerných výpočtov je reálny systém nahradený modelom. V širšom zmysle je model definovaný ako odraz najpodstatnejších vlastností objektu.
Definícia 4.2 ... Matematický model technického objektu je súbor matematických objektov a vzťahov medzi nimi, ktorý adekvátne odráža vlastnosti skúmaného objektu, ktoré sú zaujímavé pre výskumníka (inžiniera).
Model môže byť reprezentovaný rôznymi spôsobmi.
Vzorové prezentačné formuláre
· invariantný - písanie modelových vzťahov pomocou tradičného matematického jazyka, bez ohľadu na spôsob riešenia modelových rovníc;
· analytické - zaznamenávanie modelu ako výsledku analytického riešenia pôvodných rovníc modelu;
· algoritmické - zaznamenávanie vzťahov medzi modelom a vybranou numerickou metódou riešenia vo forme algoritmu;
· schematické (grafické) - znázornenie modelu v určitom grafickom jazyku (napríklad jazyk grafov, ekvivalentných obvodov, schém atď.);
· fyzické;
· analóg;
Matematické modelovanie je najuniverzálnejším popisom procesov.
Pojem matematického modelovania niekedy zahŕňa proces riešenia problému na počítači (čo v zásade nie je úplne pravda, pretože riešenie problému na počítači okrem iného poskytuje vytvorenie algoritmického a softvérového modelu, ktorý implementuje výpočet v súlade s matematickým modelom).
Definícia 4.3.MM je obraz skúmaného objektu, vytvorený v mysli výskumného pracovníka pomocou určitých formálnych (matematických) systémov za účelom štúdia (hodnotenia) určitých vlastností tohto objektu.
Nech nejaký namieta Q vlastní nejaký majetok, ktorý nás zaujíma C 0 .
Ak chcete získať matematický model popisujúci túto vlastnosť, musíte:
1... Určte ukazovateľ tejto vlastnosti(tie. určiť mieru vlastnosti v niektorom systéme merania).
2... Nastaviť zoznam vlastností C 1 , ..., С m, s ktorou nehnuteľnosťS 0 súvisí nejakými vzťahmi (môžu to byť vnútorné vlastnosti objektu a vlastnosti vonkajšie prostredie ovplyvňujúce objekt).
3... Vlastnosti vonkajšieho prostredia vo zvolenom formátovom systéme popíšte ako vonkajšie faktory x 1 , ..., x n, ovplyvňujúce požadovaný indikátorY,interné vlastnosti objektu ako z parametrov 1 , ..., z r, a nezapočítané vlastnosti patria do skupiny nezapočítaných faktorov.
4... Zistite, ak je to možné, logický vzťah medziYa všetky faktory a parametre, ktoré sa berú do úvahy, a urobte matematický popis(Model).
Reálny objekt je charakterizovaný nasledujúcim funkčným vzťahom medzi ukazovateľmi jeho vlastností:
Model však zobrazuje len tie faktory a parametre pôvodného objektu, ktoré sú podstatné pre riešenie skúmaného problému. Navyše merania podstatných faktorov a parametrov takmer vždy obsahujú chyby spôsobené nepresnosťou meracích prístrojov a neznalosťou niektorých faktorov. Z tohto dôvodu je MM len približným popisom vlastností skúmaného objektu.
Matematický model možno definovať aj ako abstrakcie skutočný subjektov.
Modely sa zvyčajne líšia od originálov charakterom svojich vnútorných parametrov. Podobnosť spočíva v primeranosti reakcie Y model a originál zmeniť vonkajšie faktory. Preto je vo všeobecnom prípade matematický model funkciou
kde sú vnútorné parametre modelu, adekvátne parametrom originálu.
V závislosti od použitých metód matematického popisu študovaných objektov (javov, procesov) sú MM analytické, logické, grafické, automatické atď.
Hlavnou otázkou matematického modelovania je otázka, ako presne zostavený MM odráža vzťah medzi faktormi, parametrami a ukazovateľom Y hodnotená vlastnosť reálneho objektu, t.j. ako presne rovnica (4.2) zodpovedá rovnici (4.1). Niekedy možno rovnicu (4.2) získať okamžite v explicitnej forme, napríklad vo forme systému diferenciálnych rovníc alebo vo forme iných explicitných matematických vzťahov.
V zložitejších prípadoch je tvar rovnice (4.2) neznámy a úlohou výskumníka je v prvom rade túto rovnicu nájsť. V tomto prípade sa všetky vonkajšie faktory a parametre skúmaného objektu vzťahujú na počet premenných parametrov a počet požadovaných parametrov zahŕňa vnútorné parametre modelu spájajúce faktory s ukazovateľom. Y"najpravdepodobnejší vzťah. Teória experimentu sa zaoberá riešením tohto problému. Podstatou tejto teórie je, že na základe vzorových meraní hodnôt parametrov a ukazovateľa Y“, nájdite parametre, pre ktorú funkcia (4.2) najpresnejšie odráža skutočný vzor (4.1).
Prednáška číslo 1
Úvod. Pojem matematických modelov a metód
Časť 1. Úvod
2. Metódy konštrukcie matematických modelov. Koncept systémového prístupu. jeden
3. Základné pojmy matematického modelovania ekonomických systémov .. 4
4. Metódy analytických, simulačných a terénnych modelov. 5
Testovacie otázky.. 6
Táto disciplína sa venuje štúdiu metód modelovania a praktické uplatnenie získané poznatky. Cieľom disciplíny je naučiť študentov všeobecnú problematiku teórie modelovania, metódy konštrukcie matematických modelov a formálneho opisu procesov a objektov, využitie matematických modelov na vykonávanie výpočtových experimentov a riešenie optimalizačných problémov pomocou moderných výpočtových prostriedkov.
Medzi úlohy disciplíny patrí:
Oboznámiť študentov so základnými pojmami teórie matematického modelovania, teóriou systémov, teóriou podobnosti, teóriou plánovania experimentov a experimentálnym spracovaním údajov využívaných pri zostavovaní matematických modelov,
Dať študentom zručnosti v oblasti zadania modelovacieho problému, matematického popisu objektov /procesov/, numerických metód implementácie matematických modelov na počítači a riešenia optimalizačných úloh.
V dôsledku štúdia odboru musí študent ovládať metódy matematického modelovania procesov a objektov od formulácie problému až po implementáciu matematických modelov na počítači a evidenciu výsledkov štúdia modelov.
Kurz disciplíny je koncipovaný na 12 prednášok a 12 praktická práca... V dôsledku štúdia odboru musí študent ovládať metódy matematického modelovania od formulácie problému až po implementáciu matematických modelov na počítači.
5. Riešenie problému.
Dôsledné používanie metód operačného výskumu a ich implementácia na modernú informačnú a výpočtovú techniku nám umožňuje prekonať subjektivitu, vylúčiť takzvané vôľové rozhodnutia založené nie na prísnom a presnom zvážení objektívnych okolností, ale na náhodných emóciách a osobnom záujme manažérov na týchto dobrovoľných rozhodnutiach sa môžu dohodnúť rôzne úrovne, ktoré navyše nie sú.
Systémová analýza umožňuje zohľadňovať a využívať pri riadení všetky dostupné informácie o kontrolovanom objekte, koordinovať prijímané rozhodnutia z hľadiska objektívneho, nie subjektívneho kritéria efektívnosti. Úspora na výpočtoch pri ovládaní je rovnaká ako úspora na mierení pri streľbe. Počítač však nielenže umožňuje brať do úvahy všetky informácie, ale tiež zbavuje manažéra nepotrebných informácií a všetky potrebné necháva človeka obísť, pričom mu predkladá len tie najvšeobecnejšie informácie, kvintesenciu. Systémový prístup v ekonómii je účinný sám o sebe, bez použitia počítačov, ako výskumná metóda, pričom nemení predtým objavené ekonomické zákonitosti, ale len učí ich lepšie využívať.
Simulácia je silná technika vedecké poznatky, pri ktorej je skúmaný objekt nahradený jednoduchším objektom nazývaným model. Za hlavné typy procesu modelovania možno považovať dva jeho typy – matematické a fyzikálne modelovanie. Pri fyzikálnom (v plnom rozsahu) modelovanie je skúmaný systém nahradený iným jemu zodpovedajúcim materiálovým systémom, ktorý reprodukuje vlastnosti skúmaného systému pri zachovaní ich fyzikálnej podstaty. Príkladom tohto typu modelovania je pilotná sieť, ktorá sa používa na štúdium základnej možnosti budovania siete založenej na určitých počítačoch, komunikačných zariadeniach, operačných systémoch a aplikáciách.
Možnosti fyzického modelovania sú dosť obmedzené. Umožňuje riešiť jednotlivé problémy pri nastavení malého počtu kombinácií študovaných parametrov systému. Pri modelovaní počítačovej siete v plnom rozsahu je skutočne takmer nemožné skontrolovať jej fungovanie z hľadiska možností pomocou rôznych typov komunikačných zariadení - smerovačov, prepínačov atď., značné materiálové náklady.
Ale aj v tých prípadoch, keď sa počas optimalizácie siete nemenia typy zariadení a operačných systémov, ale iba ich parametre, je prakticky nemožné v dohľadnej budúcnosti robiť experimenty v reálnom čase pre veľké množstvo rôznych kombinácií týchto parametrov. . Dokonca aj jednoduchá zmena maximálnej veľkosti paketu v akomkoľvek protokole vyžaduje rekonfiguráciu operačný systém v stovkách počítačov v sieti, čo vyžaduje veľa práce od správcu siete.
Preto je pri optimalizácii sietí v mnohých prípadoch vhodnejšie použiť matematické modelovanie. Matematický model je súbor vzťahov (vzorcov, rovníc, nerovníc, logických podmienok), ktoré určujú proces zmeny stavu systému v závislosti od jeho parametrov, vstupných signálov, počiatočných podmienok a času.
Simulačné modely sú špeciálnou triedou matematických modelov. Takéto modely predstavujú počítačový program, ktorý krok za krokom reprodukuje udalosti odohrávajúce sa v reálnom systéme. Pokiaľ ide o počítačové siete, ich simulačné modely reprodukujú procesy generovania správ aplikáciami, rozdeľovanie správ do paketov a rámcov určitých protokolov, oneskorenia spojené so spracovaním správ, paketov a rámcov v operačnom systéme, proces získavania prístupu počítača k zdieľané sieťové prostredie, proces spracovania prichádzajúcich paketov routerom atď. Pri simulácii siete nie je potrebné kupovať drahé zariadenie - jeho prácu simulujú programy, ktoré presne reprodukujú všetky hlavné vlastnosti a parametre takéhoto zariadenia.
Výhodou simulačných modelov je možnosť nahradiť proces meniacich sa udalostí v skúmanom systéme v reálnom čase zrýchleným procesom meniacich sa udalostí tempom programu. Vďaka tomu je v priebehu niekoľkých minút možné reprodukovať prevádzku siete na niekoľko dní, čo umožňuje vyhodnocovať chod siete v širokom rozsahu premenných parametrov.
Výsledkom simulačného modelu sú štatistické údaje zozbierané počas pozorovania prebiehajúcich udalostí o najdôležitejších charakteristikách siete: časy odozvy, miera využitia kanálov a uzlov, pravdepodobnosť straty paketov atď.
Existujú špeciálne simulačné jazyky, ktoré uľahčujú proces vytvárania programovacieho modelu ako používanie generických programovacích jazykov. Príkladmi simulačných jazykov sú jazyky ako SIMULA, GPSS, SIMDIS.
Existujú aj simulačné systémy, ktoré sa zameriavajú na úzku triedu študovaných systémov a umožňujú vytvárať modely bez programovania.
V predloženom článku ponúkame príklady matematických modelov. Okrem toho budeme venovať pozornosť fázam vytvárania modelov a analyzovať niektoré úlohy spojené s matematickým modelovaním.
Ďalšou našou otázkou sú matematické modely v ekonómii, príklady, ktorých definíciu zvážime o niečo neskôr. Navrhujeme začať náš rozhovor samotným pojmom „model“, stručne zvážiť ich klasifikáciu a prejsť k našim hlavným otázkam.
Často počujeme slovo „modelka“. Čo je to? Tento pojem má veľa definícií, tu sú len tri z nich:
Na základe všetkého, čo bolo povedané skôr, možno vyvodiť malý záver: model vám umožňuje podrobne študovať zložitý systém alebo objekt.
Všetky modely možno klasifikovať podľa niekoľkých charakteristík:
Informačné modely sa zas delia na znakové a verbálne. A tie ikonické – do počítačových aj nepočítačových. Teraz prejdime k podrobnému zváženiu príkladov matematického modelu.
Ako asi tušíte, matematický model odráža akékoľvek vlastnosti objektu alebo javu pomocou špeciálnych matematických symbolov. Matematika je potrebná na to, aby ste mohli modelovať zákony okolitého sveta vo vašom konkrétnom jazyku.
Metóda matematického modelovania vznikla veľmi dávno, pred tisíckami rokov spolu so vznikom tejto vedy. Impulz k rozvoju tejto metódy modelovania však dal vzhľad počítačov (elektronických počítačov).
Teraz prejdime ku klasifikácii. Môže sa tiež uskutočniť z určitých dôvodov. Sú uvedené v tabuľke nižšie.
Navrhujeme zastaviť sa a pozrieť sa bližšie na poslednú klasifikáciu, ako to odráža všeobecné vzory modelovanie a účel vytvorených modelov.
V tejto kapitole sa navrhujeme podrobnejšie venovať deskriptívnym matematickým modelom. Aby bolo všetko veľmi jasné, uvedieme príklad.
Na začiatok možno tento pohľad nazvať deskriptívnym. Je to spôsobené tým, že robíme len výpočty a prognózy, no výsledok akcie nemôžeme nijako ovplyvniť.
Pozoruhodným príkladom deskriptívneho matematického modelu je výpočet dráhy letu, rýchlosti, vzdialenosti od Zeme kométy, ktorá napadla rozľahlosť nášho Slnečná sústava... Tento model je popisný, keďže všetky získané výsledky nás môžu len varovať pred prípadným nebezpečenstvom. Bohužiaľ, nemôžeme ovplyvniť výsledok akcie. Na základe získaných výpočtov však môžete prijať akékoľvek opatrenia na zachovanie života na Zemi.
Teraz si povieme niečo o ekonomických a matematických modeloch, ktorých príkladmi sú rôzne situácie, ktoré sa vyvinuli. V tomto prípade prichádza o modeloch, ktoré pomáhajú nájsť správnu odpoveď v určitých podmienkach. Nevyhnutne majú nejaké parametre. Aby to bolo úplne jasné, zvážte príklad z agrárnej časti.
Máme sýpku, ale obilie sa veľmi rýchlo kazí. V tomto prípade musíme zvoliť správnu teplotu a optimalizovať proces skladovania.
Môžeme teda definovať pojem „model optimalizácie“. V matematickom zmysle ide o sústavu rovníc (lineárnych aj nelineárnych), ktorých riešenie pomáha nájsť optimálne riešenie v konkrétnej ekonomickej situácii. Uvažovali sme o príklade matematického modelu (optimalizácie), ale rád by som dodal: tento typ patrí do triedy extrémnych problémov, pomáhajú opísať fungovanie ekonomického systému.
Všimnime si ešte jednu nuanciu: modely sa môžu nosiť iný charakter(pozri tabuľku nižšie).
Teraz vás pozývame, aby ste sa trochu porozprávali o matematickom modeli multikriteriálnej optimalizácie. Predtým sme uviedli príklad matematického modelu na optimalizáciu procesu podľa akéhokoľvek jedného kritéria, ale čo ak ich je veľa?
Pozoruhodným príkladom viackriteriálnej úlohy je organizácia správneho, zdravého a zároveň úsporného jedla. veľké skupinyľudí. Takéto úlohy sa často vyskytujú v armáde, školských jedálňach, letných táboroch, nemocniciach atď.
Aké kritériá máme v tejto úlohe?
Ako vidíte, tieto ciele sa vôbec nezhodujú. To znamená, že pri riešení problému je potrebné hľadať optimálne riešenie, rovnováhu medzi dvoma kritériami.
Keď hovoríme o herných modeloch, je potrebné pochopiť pojem „teória hier“. Jednoducho povedané, tieto modely odrážajú matematické modely skutočných konfliktov. Stojí za to pochopiť, že na rozdiel od skutočného konfliktu má herný matematický model svoje špecifické pravidlá.
Teraz uvediem minimum informácií z teórie hier, ktoré vám pomôžu pochopiť, čo je herný model. Model teda nevyhnutne obsahuje strany (dve alebo viac), ktoré sa zvyčajne nazývajú hráči.
Všetky modely majú určité vlastnosti.
Herný model môže byť párový alebo viacnásobný. Ak máme dva subjekty, potom je konflikt párový, ak viac, je viacnásobný. Môžete tiež rozlíšiť antagonistickú hru, nazýva sa to aj hra s nulovým súčtom. Ide o model, v ktorom sa zisk jedného z účastníkov rovná strate druhého.
V tejto časti sa zameriame na matematické simulačné modely. Príklady úloh:
V tomto prípade hovoríme o modeloch, ktoré sú čo najbližšie k reálnym procesom. Vo všeobecnosti napodobňujú akýkoľvek prejav v prírode. V prvom prípade môžeme napríklad modelovať dynamiku počtu mravcov v jednej kolónii. V tomto prípade môžete sledovať osud každého jednotlivca. V tomto prípade sa matematický popis používa zriedka, častejšie sú prítomné písomné podmienky:
Používajú sa teda na opis veľkého systému. Matematickým záverom je spracovanie získaných štatistických údajov.
Je veľmi dôležité to vedieť tento druh modely majú určité požiadavky, medzi ktoré patria tie, ktoré sú uvedené v tabuľke nižšie.
Všestrannosť | Táto vlastnosť vám umožňuje použiť rovnaký model pri popise rovnakého typu skupín objektov. Je dôležité poznamenať, že univerzálne matematické modely sú úplne nezávislé od fyzickej povahy skúmaného objektu. |
Primeranosť | Tu je dôležité pochopiť, že táto vlastnosť umožňuje čo najpresnejšie reprodukovať skutočné procesy. V problémoch prevádzky je táto vlastnosť matematického modelovania veľmi dôležitá. Príkladom modelu je proces optimalizácie využitia plynového systému. V tomto prípade sa porovnávajú vypočítané a skutočné ukazovatele, v dôsledku čoho sa skontroluje správnosť zostaveného modelu. |
Presnosť | Táto požiadavka implikuje zhodu hodnôt, ktoré získame pri výpočte matematického modelu a vstupných parametrov nášho reálneho objektu. |
Ziskovosť | Požiadavka hospodárnosti každého matematického modelu je charakterizovaná nákladmi na implementáciu. Ak sa práca s modelom vykonáva ručne, potom je potrebné vypočítať, ako dlho bude trvať vyriešenie jedného problému pomocou tohto matematického modelu. Ak hovoríme o počítačom podporovanom dizajne, vypočítajú sa ukazovatele času a pamäte počítača. |
Celkovo je v matematickom modelovaní zvykom rozlišovať štyri stupne.
V tejto časti stručne upozorníme na problém. Príklady úloh:
Ekonomický a matematický model zobrazuje ekonomickú abstrakciu, ktorá je vyjadrená pomocou matematických výrazov a znakov.
Príklady počítačového matematického modelu sú:
Počítačový model je obraz objektu alebo systému prezentovaný vo forme:
Navyše tento model odráža štruktúru a vzťahy systému.
O tom, čo je ekonomický a matematický model, sme si už povedali. Práve teraz sa zváži príklad riešenia problému. Potrebujeme analyzovať výrobný program, aby sme identifikovali rezervu na zvýšenie zisku v prípade posunu v sortimente.
Nebudeme sa plne zaoberať problémom, ale iba zostavíme ekonomický a matematický model. Kritériom našej úlohy je maximalizácia zisku. Potom má funkcia tvar: L = p1 * x1 + p2 * x2 ..., smerujúci k maximu. V tomto modeli p je zisk na jednotku, x je počet vyrobených jednotiek. Ďalej, na základe skonštruovaného modelu, je potrebné vykonať výpočty a zhrnúť.
Úloha. Rybár sa vrátil s týmto úlovkom:
Koľko rýb kúpil v obchode?
Takže príklad vytvorenia matematického modelu tohto problému je nasledujúci. Označujeme celkový počet rýb na x. Podľa podmienky 0,2x je počet rýb žijúcich v južných zemepisných šírkach. Teraz skombinujeme všetky dostupné informácie a získame matematický model problému: x = 0,2x + 8. Vyriešime rovnicu a dostaneme odpoveď na hlavnú otázku: kúpil 10 rýb v obchode.
Od polovice XX storočia. v rôznych oblastiach ľudskej činnosti sa začali vo veľkej miere využívať matematické metódy a počítače. Objavili sa nové disciplíny ako „matematická ekonómia“, „matematická chémia“, „matematická lingvistika“ atď., ktoré študujú matematické modely zodpovedajúcich objektov a javov, ako aj metódy na štúdium týchto modelov.
Matematický model je približný popis triedy javov alebo objektov reálneho sveta v jazyku matematiky. Hlavným účelom modelovania je skúmať tieto objekty a predpovedať výsledky budúcich pozorovaní. Modelovanie je však aj metóda poznávania okolitého sveta, ktorá umožňuje jeho ovládanie.
Matematické modelovanie a súvisiace počítačové experimenty sú nevyhnutné v prípadoch, keď je prirodzený experiment z jedného alebo druhého dôvodu nemožný alebo ťažký. Napríklad nie je možné vytvoriť prirodzený experiment v histórii, ktorý by overil, „čo by sa stalo, keby...“ Nie je možné overiť správnosť tej či onej kozmologickej teórie. V zásade je možné, ale sotva rozumné, uskutočniť experiment na šírenie choroby, ako je mor, alebo vykonať nukleárny výbuchštudovať jeho dôsledky. To všetko sa však dá urobiť na počítači, ktorý má predtým vytvorené matematické modely študovaných javov.
1) Zostavenie modelu... V tejto fáze je stanovený určitý „nematematický“ objekt – prírodný jav, dizajn, ekonomický plán, výrobný proces atď. V tomto prípade je spravidla obtiažne jasne popísať situáciu. Najprv sa identifikujú hlavné črty javu a súvislosti medzi nimi na kvalitatívnej úrovni. Potom sa nájdené kvalitatívne závislosti formulujú v jazyku matematiky, to znamená, že sa zostaví matematický model. Toto je najťažšia fáza modelovania.
2) Riešenie matematickej úlohy, ku ktorej model vedie... V tejto fáze sa veľká pozornosť venuje vývoju algoritmov a numerických metód na riešenie problému na počítači, pomocou ktorých je možné nájsť výsledok s požadovanou presnosťou a v primeranom čase.
3) Interpretácia získaných dôsledkov z matematického modelu. Dôsledky odvodené z modelu v jazyku matematiky sú interpretované v jazyku akceptovanom v danej oblasti.
4) Kontrola vhodnosti modelu. V tejto fáze sa zisťuje, či experimentálne výsledky súhlasia s teoretickými dôsledkami modelu v rámci určitej presnosti.
5) Úprava modelu. V tejto fáze dochádza buď ku komplikácii modelu, aby bol adekvátnejší realite, alebo k jeho zjednodušeniu s cieľom dosiahnuť prakticky prijateľné riešenie.
Modely možno klasifikovať podľa rôznych kritérií. Napríklad podľa charakteru riešených problémov možno modely rozdeliť na funkčné a štrukturálne. V prvom prípade sú kvantitatívne vyjadrené všetky veličiny, ktoré charakterizujú jav alebo predmet. V tomto prípade sa niektoré z nich považujú za nezávislé premenné, zatiaľ čo iné za funkcie týchto veličín. Matematický model je zvyčajne sústava rovníc rôznych typov (diferenciálnych, algebraických atď.), ktoré stanovujú kvantitatívne vzťahy medzi uvažovanými veličinami. V druhom prípade model charakterizuje štruktúru komplexného objektu, pozostávajúceho zo samostatných častí, medzi ktorými existujú určité súvislosti. Tieto vzťahy sa zvyčajne nedajú kvantifikovať. Na zostavenie takýchto modelov je vhodné použiť teóriu grafov. Graf je matematický objekt, ktorý je množinou bodov (vrcholov) v rovine alebo v priestore, z ktorých niektoré sú spojené čiarami (hranami).
Podľa charakteru počiatočných údajov a výsledkov predikcie možno modely rozdeliť na deterministické a pravdepodobnostno-štatistické. Modely prvého typu poskytujú definitívne, jednoznačné predpovede. Modely druhého typu sú založené na štatistických informáciách a predpovede získané s ich pomocou majú pravdepodobnostný charakter.
1) Problémy s pohybom strely.
Zvážte nasledujúci problém v mechanike.
Strela bola vypustená zo Zeme počiatočnou rýchlosťou v 0 = 30 m/s pod uhlom a = 45° k jej povrchu; je potrebné nájsť trajektóriu jeho pohybu a vzdialenosť S medzi počiatočným a koncovým bodom tejto trajektórie.
Potom, ako je známe zo školského kurzu fyziky, pohyb projektilu je opísaný vzorcami:
kde t je čas, g = 10 m / s 2 je gravitačné zrýchlenie. Tieto vzorce poskytujú matematický model danej úlohy. Vyjadrením t ako x z prvej rovnice a jej dosadením do druhej dostaneme rovnicu pre dráhu strely:
Táto krivka (parabola) pretína os x v dvoch bodoch: x 1 = 0 (začiatok trajektórie) a 
(miesto, kde projektil dopadol). Dosadením daných hodnôt v0 a a do výsledných vzorcov dostaneme
odpoveď: y = x - 90x 2, S = 90 m.
Všimnite si, že pri konštrukcii tohto modelu sa použilo množstvo predpokladov: napríklad sa predpokladá, že Zem je plochá a vzduch a rotácia Zeme neovplyvňujú pohyb projektilu.
2) Problém nádrže s najmenším povrchom.
Je potrebné nájsť výšku h 0 a polomer r 0 plechovej nádrže s objemom V = 30 m 3 v tvare uzavretého kruhový valec, pri ktorej je plocha jeho povrchu S minimálna (v tomto prípade sa na jeho výrobu použije najmenšie množstvo cínu).
Napíšme nasledujúce vzorce pre objem a povrch valca s výškou h a polomerom r:
V = pr 2 h, S = 2 p r (r + h).
Vyjadrením h pomocou r a V z prvého vzorca a dosadením výsledného výrazu do druhého dostaneme:
Z matematického hľadiska sa teda problém redukuje na určenie takej hodnoty r, pri ktorej funkcia S (r) dosiahne svoje minimum. Nájdite tie hodnoty r 0, pre ktoré je derivácia
zmizne: 
Môžete skontrolovať, či druhá derivácia funkcie S (r) zmení znamienko z mínus na plus, keď argument r prechádza bodom r 0. Preto v bode r0 má funkcia S (r) minimum. Zodpovedajúca hodnota je h 0 = 2r 0. Dosadením danej hodnoty V do výrazu pre r 0 a h 0 dostaneme požadovaný polomer 
a výška 
3) Problém s dopravou.
V meste sú dva sklady múky a dve pekárne. Každý deň sa z prvého skladu prepraví 50 ton múky az druhého - 70 ton do tovární a do prvého - 40 ton a do druhého - 80 ton.
Označme podľa a ij náklady na prepravu 1 tony múky z i-teho skladu do j-tá rastlina(i, j = 1,2). Nechaj
a 11 = 1,2 b., a 12 = 1,6 b., a 21 = 0,8 p., a 22 = 1 str.
Ako by ste si mali naplánovať prepravu, aby ich náklady boli minimálne?
Dajme problému matematickú formuláciu. Označme x 1 a x 2 množstvo múky, ktoré je potrebné prepraviť z prvého skladu do prvého a druhého závodu a cez x 3 a x 4 - z druhého skladu do prvého a druhého závodu. potom:
x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)
Celkové náklady na všetku dopravu sa určujú podľa vzorca
f = 1,2 x 1 + 1,6 x 2 + 0,8 x 3 + x 4.
Z matematického hľadiska je úlohou nájsť štyri čísla x 1, x 2, x 3 a x 4, ktoré spĺňajú všetky zadané podmienky a dávajú minimum funkcie f. Vyriešme sústavu rovníc (1) pre xi (i = 1, 2, 3, 4) odstránením neznámych. Chápeme to
x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)
a x 4 nemožno jednoznačne určiť. Pretože xi і 0 (i = 1, 2, 3, 4), potom z rovníc (2) vyplýva, že 30Ј x 4 Ј 70. Nahradením výrazu pre x 1, x 2, x 3 vo vzorci pre f dostať
f = 148 - 0,2 x 4.
Je ľahké vidieť, že minimum tejto funkcie je dosiahnuté pri maximálnej možnej hodnote x 4, teda pri x 4 = 70. Zodpovedajúce hodnoty ostatných neznámych sú určené vzorcami (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.
4) Problém rádioaktívneho rozpadu.
Nech N (0) je počiatočný počet atómov rádioaktívnej látky a N (t) je počet nerozložených atómov v čase t. Experimentálne sa zistilo, že rýchlosť zmeny počtu týchto atómov N "(t) je úmerná N (t), to znamená, že N" (t) = - l N (t), l> 0 je konštanta rádioaktivity danej látky. Školský kurz matematickej analýzy ukazuje, že riešenie tohto problému Diferenciálnej rovnice má tvar N (t) = N (0) e –l t. Čas T, počas ktorého sa počet počiatočných atómov znížil na polovicu, sa nazýva polčas rozpadu a je dôležitou charakteristikou rádioaktivity látky. Ak chcete určiť T, musíte zadať vzorec 
Potom 
Napríklad pre radón l = 2,084 · 10 –6, a teda T = 3,15 dňa.
5) Problém cestujúceho predajcu.
Cestujúci obchodník žijúci v meste A 1 musí navštíviť mestá A 2, A 3 a A 4, každé mesto presne raz, a potom sa vrátiť späť do A 1. Je známe, že všetky mestá sú spojené cestami v pároch a dĺžky ciest b ij medzi mestami A i a A j (i, j = 1, 2, 3, 4) sú nasledovné:
b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.
Je potrebné určiť poradie navštevujúcich miest, v ktorých je dĺžka zodpovedajúcej cesty minimálna.
Označme každé mesto bodom na rovine a označme ho príslušným štítkom Ai (i = 1, 2, 3, 4). Spojme tieto body priamymi úsečkami: budú predstavovať cesty medzi mestami. Pre každú „cestu“ uvedieme jej dĺžku v kilometroch (obr. 2). Výsledkom je graf – matematický objekt pozostávajúci z množiny bodov v rovine (nazývaných vrcholy) a množiny čiar spájajúcich tieto body (nazývaných hrany). Okrem toho je tento graf označený, pretože jeho vrcholom a hranám sú priradené niektoré označenia - čísla (hrany) alebo symboly (vrcholy). Cyklus na grafe je postupnosť vrcholov V 1, V 2, ..., V k, V 1 taká, že vrcholy V 1, ..., V k sú odlišné a ľubovoľná dvojica vrcholov V i, V i + 1 (i = 1, ..., k - 1) a dvojica V 1, V k sú spojené hranou. Uvažovaným problémom je teda nájsť taký cyklus na grafe prechádzajúci všetkými štyrmi vrcholmi, pre ktorý je súčet všetkých váh hrán minimálny. Nájdite vyčerpávajúcim hľadaním všetky rôzne cykly prechádzajúce cez štyri vrcholy a začínajúce na A 1:
1) Ai, A4, A3, A2, Ai;
2) Ai, A3, A2, A4, Ai;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.
Nájdime teraz dĺžky týchto cyklov (v km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Prvá je teda trasa s najkratšou dĺžkou.
Všimnite si, že ak je v grafe n vrcholov a všetky vrcholy sú spojené v pároch hranami (takýto graf sa nazýva úplný), potom počet cyklov prechádzajúcich všetkými vrcholmi je V našom prípade sú to teda presne tri cykly .
6) Problém hľadania vzťahu medzi štruktúrou a vlastnosťami látok.
Zvážte niekoľko chemických zlúčenín nazývaných normálne alkány. Pozostávajú z n atómov uhlíka a n + 2 atómov vodíka (n = 1, 2 ...), vzájomne prepojených, ako je znázornené na obrázku 3 pre n = 3. Experimentálne hodnoty teplôt varu týchto zlúčenín sú známe:
ye (3) = -42°, ye (4) = 0°, ye (5) = 28°, ye (6) = 69°.
Pre tieto zlúčeniny je potrebné nájsť približný vzťah medzi teplotou varu a číslom n. Predpokladajme, že táto závislosť má tvar
y" a n + b,
kde a, b - konštanty, ktoré sa majú určiť. Nájsť a a b do tohto vzorca postupne dosadíme n = 3, 4, 5, 6 a príslušné teploty varu. Máme:
- 42 "3 a+ b, 0 "4 a+ b, 28 "5 a+ b, 69 "6 a+ b.
Na určenie toho najlepšieho a ab existuje veľa rôznych metód. Využime najjednoduchšie z nich. Vyjadrime b v termínoch a z týchto rovníc:
b "- 42 - 3 a, b "- 4 a, b "28 - 5 a, b "69 - 6 a.
Vezmime ako požadované b aritmetický priemer týchto hodnôt, to znamená, že dáme b »16 - 4,5 a... Túto hodnotu b a dosadíme do pôvodnej sústavy rovníc, počítajúc a, dostaneme za a nasledujúce hodnoty: a"37, a"28, a"28, a"36. Berte podľa potreby." a priemer týchto čísel, to znamená, že sme dali a»34. Takže požadovaná rovnica má tvar
y "34n - 139.
Skontrolujeme presnosť modelu pre počiatočné štyri zlúčeniny, pre ktoré vypočítame teploty varu pomocou získaného vzorca:
yR (3) = -37°, yR (4) = -3°, yR (5) = 31°, yR (6) = 65°.
Chyba pri výpočte tejto vlastnosti pre tieto zlúčeniny teda nepresahuje 5 °. Získanú rovnicu použijeme na výpočet teploty varu zlúčeniny s n = 7, ktorá nie je zahrnutá v pôvodnej množine, za ktorú dosadíme n = 7 do tejto rovnice: y p (7) = 99 °. Výsledok je celkom presný: je známe, že experimentálna hodnota bodu varu y e (7) = 98 °.
7) Problém stanovenia spoľahlivosti elektrického obvodu.
Tu sa pozrieme na príklad pravdepodobnostného modelu. Najprv uvedieme niekoľko informácií z teórie pravdepodobnosti – matematickej disciplíny, ktorá študuje vzorce náhodných javov pozorovaných pri opakovanom opakovaní experimentu. Nazvime náhodnú udalosť A možným výsledkom nejakého experimentu. Udalosti A 1, ..., A k tvoria ucelenú skupinu, ak v dôsledku experimentu nevyhnutne nastane jedna z nich. Udalosti sa nazývajú nekonzistentné, ak sa nemôžu stať súčasne v rovnakej skúsenosti. Predpokladajme, že po zopakovaní experimentu n-krát nastane udalosť A m-krát. Frekvencia udalosti A je číslo W =. Je zrejmé, že hodnotu W nemožno presne predpovedať pred vykonaním série n experimentov. Povaha náhodných udalostí je však taká, že v praxi sa niekedy pozoruje nasledujúci efekt: s nárastom počtu experimentov hodnota prakticky prestáva byť náhodná a ustáli sa okolo nejakého nenáhodného čísla P (A), tzv. pravdepodobnosť udalosti A. Pre nemožnú udalosť (ktorá sa v experimente nikdy nevyskytne) P (A) = 0 a pre spoľahlivú udalosť (ktorá sa v experimente vždy vyskytne) P (A) = 1. Ak udalosti A 1, ..., Ak tvoria úplnú skupinu nezlučiteľných udalostí, potom P (A 1) + ... + P (A k) = 1.
Predpokladajme napríklad, že experiment spočíva v hádzaní kockou a sledovaní počtu padnutých bodov X. Potom môžeme zaviesť nasledujúce náhodné javy A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Tvoria úplná skupina nekompatibilných ekvipravdepodobných udalostí, preto P (A i) = (i = 1, ..., 6).
Súčet udalostí A a B sa nazýva udalosť A + B, spočívajúca v tom, že aspoň jedna z nich nastane v zážitku. Súčin dejov A a B sa nazýva dej AB, ktorý spočíva v súčasnom výskyte týchto dejov. Pre nezávislé udalosti A a B platia tieto vzorce:
P (AB) = P (A) P (B), P (A + B) = P (A) + P (B).
8) Zvážte nasledujúce úloha... Predpokladajme, že tri prvky sú zapojené do série v elektrickom obvode a fungujú nezávisle od seba. Pravdepodobnosti zlyhania 1., 2. a 3. prvku sú v tomto poradí P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Obvod budeme považovať za spoľahlivý, ak pravdepodobnosť, že v obvode nebude prúd, nie je väčšia ako 0,4. Je potrebné zistiť, či je daný obvod spoľahlivý.
Keďže prvky sú zapojené do série, v obvode nebude prúdiť (udalosť A), ak zlyhá aspoň jeden z prvkov. Nech A i je udalosť, pri ktorej funguje i-tý prvok (i = 1, 2, 3). Potom P (A1) = 0,9, P (A2) = 0,85, P (A3) = 0,8. Je zrejmé, že A 1 A 2 A 3 je udalosť, pri ktorej všetky tri prvky fungujú súčasne, a
P (A1A2A3) = P (A1) P (A2) P (A3) = 0,612.
Potom P (A) + P (A 1 A 2 A 3) = 1, teda P (A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.
Na záver poznamenávame, že uvedené príklady matematických modelov (medzi ktorými sú funkčné a štrukturálne, deterministické a pravdepodobnostné) majú ilustratívny charakter a samozrejme nevyčerpávajú celú škálu matematických modelov, ktoré vznikajú v prírodných a humanitných vedách. .
