Prednáška 3. Dynamika pevné telo
Plán prednášok
3.1. Moment sily.
3.2. Základné rovnice rotačný pohyb. Moment zotrvačnosti.
3.3. Kinetická energia rotácie.
3.4. moment impulzu. Zákon zachovania momentu hybnosti.
3.5. Analógia medzi translačným a rotačným pohybom.
Moment sily
Zvážte pohyb tuhého telesa okolo pevnej osi. Nech pevné teleso má pevnú os otáčania ОО ( obr.3.1) a pôsobí naň ľubovoľná sila.
Ryža. 3.1
Silu rozložíme na dve zložky sily, sila leží v rovine rotácie a sila je rovnobežná s osou rotácie. Potom silu rozložíme na dve zložky: – pôsobiace pozdĺž vektora polomeru a – kolmé naň.
Žiadna sila aplikovaná na teleso ho neotočí. Sily a vytvárajú tlak na ložiská, ale neotáčajte ich.
Sila môže alebo nemusí vyviesť telo z rovnováhy v závislosti od toho, kde vo vektore polomeru pôsobí. Preto sa zavádza pojem moment sily okolo osi. Moment sily vzhľadom na os rotácie sa nazýva vektorový súčin vektora polomeru a sily.
Vektor je nasmerovaný pozdĺž osi otáčania a je určený pravidlom krížového súčinu alebo pravidlom pravej skrutky alebo pravidlom gimlet.
Modul momentu sily
kde α je uhol medzi vektormi a .
Z obr.3.1. to je jasné .
r0- najkratšia vzdialenosť od osi otáčania k čiare pôsobenia sily a nazýva sa rameno sily. Potom možno zapísať moment sily
M = Fr 0 . (3.3)
Z obr. 3.1.
kde F je priemet vektora do smeru kolmého na vektor polomeru vektora . V tomto prípade je moment sily
. (3.4)
Ak na teleso pôsobí viacero síl, potom sa výsledný moment sily rovná vektorovému súčtu momentov jednotlivých síl, ale keďže všetky momenty smerujú pozdĺž osi, možno ich nahradiť algebraickým súčtom. Moment sa bude považovať za pozitívny, ak otáča telo v smere hodinových ručičiek a negatívny, ak sa otáča proti smeru hodinových ručičiek. Ak sú všetky momenty síl rovné nule (), teleso bude v rovnováhe.
Koncept momentu sily možno demonštrovať pomocou „rozmarnej cievky“. Cievka nite sa ťahá za voľný koniec nite ( ryža. 3.2).
Ryža. 3.2
V závislosti od smeru napätia nite sa cievka odvaľuje jedným alebo druhým smerom. Ak ťaháte pod uhlom α , potom moment sily okolo osi O(kolmo na obrázok) otáča cievkou proti smeru hodinových ručičiek a otáča sa späť. V prípade napätia pod uhlom β krútiaci moment je proti smeru hodinových ručičiek a cievka sa otáča dopredu.
Pomocou podmienky rovnováhy () môžete navrhnúť jednoduché mechanizmy, ktoré sú „prevodníkami“ sily, t.j. Použitím menšej sily môžete zdvíhať a presúvať bremená rôznej hmotnosti. Na tomto princípe sú založené páky, fúriky, bloky rôznych druhov, ktoré majú široké využitie v stavebníctve. Aby sa dodržala rovnovážna podmienka v stavebných žeriavoch na kompenzáciu momentu sily spôsobenej hmotnosťou bremena, vždy existuje systém protizávaží, ktorý vytvára moment sily opačného znamienka.
3.2. Základná rotačná rovnica
pohyb. Moment zotrvačnosti
Predstavte si absolútne tuhé teleso otáčajúce sa okolo pevnej osi OO(obr.3.3). Rozdeľme mentálne toto teleso na prvky s hmotnosťou Δ m 1, Δ m2, …, Δ m n. Počas otáčania budú tieto prvky opisovať kruhy s polomermi r1,r2 , …,rn. Na každý prvok pôsobia sily F1,F2 , …,F n. Rotácia telesa okolo osi OO vzniká vplyvom celkového momentu síl M.
M \u003d M 1 + M 2 + ... + M n (3.4)
kde M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n
Podľa druhého Newtonovho zákona každá sila F pôsobiace na prvok hmoty D m, spôsobuje zrýchlenie daného prvku a, t.j.
F i = D m ja a i (3.5)
Nahradením zodpovedajúcich hodnôt do (3.4) dostaneme
Ryža. 3.3
Poznať vzťah medzi lineárnym uhlovým zrýchlením ε () a že uhlové zrýchlenie je rovnaké pre všetky prvky, bude vyzerať vzorec (3.6).
M = (3.7)
=ja (3.8)
ja je moment zotrvačnosti telesa okolo pevnej osi.
Potom dostaneme
M = I ε (3.9)
Alebo vo vektorovej forme
(3.10)
Táto rovnica je základnou rovnicou pre dynamiku rotačného pohybu. Formou je podobná rovnici II Newtonovho zákona. Od (3.10) je moment zotrvačnosti
Moment zotrvačnosti daného telesa je teda pomer momentu sily k uhlovému zrýchleniu ním spôsobenému. Z (3.11) je vidieť, že moment zotrvačnosti je mierou zotrvačnosti telesa vzhľadom na rotačný pohyb. Moment zotrvačnosti hrá rovnakú úlohu ako hmotnosť v translačných pohyboch. jednotka SI [ ja] = kg m2. Zo vzorca (3.7) vyplýva, že moment zotrvačnosti charakterizuje rozloženie hmotností častíc telesa vzhľadom na os rotácie.
Moment zotrvačnosti prvku s hmotnosťou ∆m pohybujúceho sa po kružnici s polomerom r sa teda rovná
I = r2 D m (3.12)
ja = (3.13)
V prípade spojitého rozdelenia hmoty možno súčet nahradiť integrálom
I = ∫ r 2 dm (3.14)
kde sa integrácia vykonáva cez celú telesnú hmotu.
To ukazuje, že moment zotrvačnosti telesa závisí od hmotnosti a jej rozloženia vzhľadom na os rotácie. Dá sa to dokázať experimentálne obr.3.4).
Ryža. 3.4
Dva okrúhle valce, jeden dutý (napríklad kovový), druhý plný (drevený) s rovnakými dĺžkami, polomermi a hmotnosťami, sa začnú stáčať súčasne. Dutý valec s veľkým momentom zotrvačnosti bude za pevným zaostávať.
Moment zotrvačnosti môžete vypočítať, ak poznáte hmotnosť m a jeho rozloženie vzhľadom na os otáčania. Najjednoduchším prípadom je krúžok, keď sú všetky prvky hmoty umiestnené rovnako od osi otáčania ( ryža. 3.5):
ja = 
(3.15)
Ryža. 3.5
Uveďme výrazy pre momenty zotrvačnosti rôznych symetrických telies s hmotnosťou m.
1. Moment zotrvačnosti krúžky, dutý tenkostenný valec okolo osi rotácie zhodnej s osou symetrie.
, (3.16)
r je polomer krúžku alebo valca
2. Pre pevný valec a disk moment zotrvačnosti okolo osi symetrie
(3.17)
3. Moment zotrvačnosti lopty okolo osi prechádzajúcej stredom
(3.18)
r- polomer gule
4. Moment zotrvačnosti tenkej tyče dlhého l vzhľadom k osi kolmej na tyč a prechádzajúcej jej stredom
(3.19)
l- dĺžka tyče.
Ak os rotácie neprechádza ťažiskom, potom moment zotrvačnosti telesa okolo tejto osi určuje Steinerova veta.
(3.20)
Podľa tejto vety moment zotrvačnosti okolo ľubovoľnej osi О'O' ( ) sa rovná momentu zotrvačnosti okolo rovnobežnej osi prechádzajúcej ťažiskom telesa ( ) plus súčin telesnej hmotnosti krát druhá mocnina vzdialenosti ale medzi nápravami ( ryža. 3.6).
Ryža. 3.6
Kinetická energia rotácie
Zvážte rotáciu absolútne tuhého telesa okolo pevnej osi OO s uhlovou rýchlosťou ω (ryža. 3.7). Rozdelíme tuhé telo na n elementárne hmotnosti ∆ m i. Každý prvok hmoty rotuje na kruhu s polomerom RI s lineárnou rýchlosťou (). Kinetická energia je súčet kinetických energií jednotlivých prvkov.
(3.21)
Ryža. 3.7
Pripomeňme si to z (3.13). je moment zotrvačnosti okolo osi OO.
Teda kinetická energia rotujúceho telesa
E k \u003d (3.22)
Uvažovali sme o kinetickej energii rotácie okolo pevnej osi. Ak sa telo zúčastňuje dvoch pohybov: translačného a rotačného pohybu, potom je kinetická energia tela súčtom kinetickej energie. pohyb vpred a kinetickú energiu otáčania.
Napríklad guľa z hmoty m valcovanie; ťažisko lopty sa pohybuje rýchlosťou dopredu u (ryža. 3.8).
Ryža. 3.8
Celková kinetická energia lopty sa bude rovnať
(3.23)
3.4. moment impulzu. zákon zachovania
moment hybnosti
Fyzikálna veličina rovná súčinu momentu zotrvačnosti ja na uhlovú rýchlosť ω , sa nazýva moment hybnosti (moment hybnosti) L okolo osi otáčania.
– moment hybnosti je vektorová veličina a zhoduje sa v smere so smerom uhlovej rýchlosti.
Diferenciačná rovnica (3.24) vzhľadom na čas dostaneme
kde, M je celkový moment vonkajších síl. V izolovanom systéme neexistuje žiadny moment vonkajších síl ( M=0) a
Uvažujme najprv tuhé teleso rotujúce okolo pevnej osi OZ uhlovou rýchlosťou ω (obr.5.6). Rozložme telo na elementárne hmoty. Lineárna rýchlosť elementárnej hmoty je , kde je jej vzdialenosť od osi rotácie. Kinetická energia i-že elementárna hmotnosť sa bude rovnať
.
Kinetická energia celého tela je teda tvorená kinetickými energiami jeho častí
.
Vzhľadom na to, že súčet na pravej strane tohto vzťahu predstavuje moment zotrvačnosti telesa okolo osi rotácie, nakoniec dostaneme
. (5.30)
Vzorce pre kinetickú energiu rotujúceho telesa (5.30) sú podobné ako zodpovedajúce vzorce pre kinetickú energiu translačného pohybu telesa. Získavajú sa z nich formálnou substitúciou 
.
Vo všeobecnom prípade možno pohyb tuhého telesa znázorniť ako súčet pohybov - translačný s rýchlosťou rovnajúcu sa rýchlosti ťažiska telesa a rotácia s uhlovou rýchlosťou okolo okamžitej osi prechádzajúcej ťažisko. V tomto prípade má výraz pre kinetickú energiu telesa formu
.
Nájdime teraz prácu vykonanú momentom vonkajších síl pri rotácii tuhého telesa. Elementárna práca vonkajších síl v čase dt sa bude rovnať zmene kinetickej energie telesa
Ak vezmeme diferenciál z kinetickej energie rotačného pohybu, zistíme jeho prírastok
.
V súlade so základnou rovnicou dynamiky pre rotačný pohyb
Berúc do úvahy tieto vzťahy, redukujeme výraz pre elementárnu prácu na formu
kde je priemet výsledného momentu vonkajších síl na smer osi otáčania OZ, je uhol natočenia telesa za uvažované časové obdobie.
Integrovaním (5.31) získame vzorec pre prácu vonkajších síl pôsobiacich na rotujúce teleso
Ak , potom je vzorec zjednodušený
Práca vonkajších síl pri otáčaní tuhého telesa okolo pevnej osi je teda určená pôsobením priemetu momentu týchto síl na danú os.
Gyroskop
Gyroskop je rýchlo rotujúce symetrické teleso, ktorého os rotácie môže meniť svoj smer v priestore. Aby sa os gyroskopu mohla voľne otáčať v priestore, je gyroskop umiestnený v takzvanom kardanovom závese (obr. 5.13). Zotrvačník gyroskopu sa otáča vo vnútornej prstencovej klietke okolo osi C 1 C 2 prechádzajúcej jeho ťažiskom. Vnútorná klietka sa zase môže otáčať vo vonkajšej klietke okolo osi B1B2 kolmej na C1C2. Nakoniec sa vonkajší krúžok môže voľne otáčať v ložiskách vzpery okolo osi A 1 A 2 kolmej na osi C 1 C 2 a B 1 B 2 . Všetky tri osi sa pretínajú v určitom pevnom bode O, ktorý sa nazýva stred zavesenia alebo otočný bod gyroskopu. Gyroskop v gimbale má tri stupne voľnosti, a preto môže robiť akúkoľvek rotáciu okolo stredu gimbalu. Ak sa stred zavesenia gyroskopu zhoduje s jeho ťažiskom, potom sa výsledný moment tiaže všetkých častí gyroskopu vzhľadom na stred zavesenia rovná nule. Takýto gyroskop sa nazýva vyvážený.
Uvažujme teraz o najdôležitejších vlastnostiach gyroskopu, ktoré preň našli široké uplatnenie v rôznych oblastiach.
1) Udržateľnosť.
Pri akomkoľvek otáčaní stojana vyváženého gyroskopu zostáva jeho os otáčania rovnaký smer vzhľadom na referenčný rámec laboratória. Je to spôsobené tým, že moment všetkých vonkajších síl, rovný momentu trecích síl, je veľmi malý a prakticky nespôsobuje zmenu momentu hybnosti gyroskopu, t.j.
Pretože moment hybnosti smeruje pozdĺž osi rotácie gyroskopu, jeho orientácia musí zostať nezmenená.
Ak vonkajšia sila pôsobí krátko, potom integrál, ktorý určuje prírastok momentu hybnosti, bude malý
. (5.34)
To znamená, že pri krátkodobých vplyvoch aj veľkých síl sa pohyb vyváženého gyroskopu mení len málo. Gyroskop akosi odoláva všetkým pokusom zmeniť veľkosť a smer svojho momentu hybnosti. S tým je spojená pozoruhodná stabilita, ktorú pohyb gyroskopu získava po jeho uvedení do rýchlej rotácie. Táto vlastnosť gyroskopu je široko využívaná automatické ovládanie pohyb lietadiel, lodí, rakiet a iných vozidiel.
Ak budeme pôsobiť na gyroskop dlho konštantná v smere momentu vonkajších síl, potom sa os gyroskopu nakoniec ustanoví v smere momentu vonkajších síl. Tento jav sa využíva v gyrokompase. Toto zariadenie je gyroskop, ktorého os sa môže voľne otáčať v horizontálnej rovine. Vplyvom dennej rotácie Zeme a pôsobením momentu odstredivých síl sa os gyroskopu otáča tak, že uhol medzi a sa stáva minimálnym (obr. 5.14). To zodpovedá polohe osi gyroskopu v rovine poludníka.
2). Gyroskopický efekt.
Ak na rotačný gyroskop pôsobí dvojica síl a má tendenciu otáčať ho okolo osi kolmej na os otáčania, potom sa bude otáčať okolo tretej osi, kolmej na prvé dve (obr. 5.15). Toto neobvyklé správanie gyroskopu sa nazýva gyroskopický efekt. Vysvetľuje sa to tým, že moment dvojice síl smeruje pozdĺž osi O 1 O 1 a zmena vektora o hodnotu v čase bude mať rovnaký smer. V dôsledku toho sa nový vektor bude otáčať okolo osi O202. Zdanlivo neprirodzené správanie gyroskopu teda plne zodpovedá zákonom dynamiky rotačného pohybu
3). Gyroskopická precesia.
Precesia gyroskopu je kužeľový pohyb jeho osi. Vyskytuje sa vtedy, keď sa moment vonkajších síl, ktorý má konštantnú veľkosť, otáča súčasne s osou gyroskopu, pričom s ním neustále zviera pravý uhol. Na demonštráciu precesie môže poslúžiť koleso bicykla s predĺženou osou, ktorá sa rýchlo otáča (obr. 5.16).
Ak je koleso zavesené na predĺženom konci nápravy, potom sa jeho náprava začne pretláčať okolo zvislej osi pôsobením vlastnej hmotnosti. Ako ukážka precesie môže poslúžiť aj rýchlo sa otáčajúci vrch.
Zistite dôvody precesie gyroskopu. Uvažujme nevyvážený gyroskop, ktorého os sa môže voľne otáčať okolo určitého bodu O (obr. 5.16). Moment gravitácie aplikovaný na gyroskop má rovnakú veľkosť
kde je hmotnosť gyroskopu, je vzdialenosť od bodu O k ťažisku gyroskopu, je uhol, ktorý zviera os gyroskopu s vertikálou. Vektor je nasmerovaný kolmo na vertikálnu rovinu prechádzajúcu osou gyroskopu.
Pod vplyvom tohto momentu sa moment hybnosti gyroskopu (jeho začiatok je umiestnený v bode O) v čase zvýši a vertikálna rovina prechádzajúca osou gyroskopu sa otočí o uhol. Vektor je vždy kolmý na , preto bez zmeny veľkosti vektor mení iba smer. V tomto prípade bude po chvíli relatívna poloha vektorov a rovnaká ako v počiatočnom okamihu. V dôsledku toho sa os gyroskopu bude neustále otáčať okolo vertikály a opisuje kužeľ. Tento pohyb sa nazýva precesia.
Určme uhlovú rýchlosť precesie. Podľa obr.5.16 je uhol natočenia roviny prechádzajúcej osou kužeľa a osou gyroskopu rovný
kde je moment hybnosti gyroskopu a jeho prírastok v čase.
Vydelením , berúc do úvahy vyššie uvedené vzťahy a transformácie, dostaneme uhlovú rýchlosť precesie
. (5.35)
Pre gyroskopy používané v technológii je uhlová rýchlosť precesie miliónkrát menšia ako rýchlosť otáčania gyroskopu.
Na záver poznamenávame, že fenomén precesie sa pozoruje aj v atómoch v dôsledku orbitálneho pohybu elektrónov.
Príklady aplikácie zákonov dynamiky
Pri otáčaní
1. Zvážte niekoľko príkladov zákona zachovania momentu hybnosti, ktorý možno implementovať pomocou Zhukovského lavice. V najjednoduchšom prípade je Žukovského lavica diskovitá plošina (stolička), ktorá sa môže voľne otáčať okolo zvislej osi na guľôčkových ložiskách (obr. 5.17). Demonštrant sedí alebo stojí na lavičke, potom sa uvedie do rotačného pohybu. Vzhľadom na to, že trecie sily spôsobené použitím ložísk sú veľmi malé, moment hybnosti systému pozostávajúceho z lavice a demonštrátora okolo osi otáčania sa nemôže meniť v čase, ak je systém ponechaný sám na seba. Ak demonštrant drží v rukách ťažké činky a rozpaží ruky do strán, tak zvýši moment zotrvačnosti sústavy, a preto musí uhlová rýchlosť rotácie klesnúť tak, aby moment hybnosti zostal nezmenený.
Podľa zákona zachovania momentu hybnosti zostavíme pre tento prípad rovnicu
kde je moment zotrvačnosti osoby a lavice a je moment zotrvačnosti činiek v prvej a druhej polohe a sú uhlové rýchlosti systému.
Uhlová rýchlosť otáčania systému pri chove činiek na stranu sa bude rovnať
.
Práca vykonaná osobou pri pohybe činiek môže byť určená zmenou kinetickej energie systému
2. Dajme ešte jeden pokus so Žukovského lavicou. Demonštrant sedí alebo stojí na lavičke a dostane rýchlo sa otáčajúce koleso s vertikálne orientovanou osou (obr. 5.18). Demonštrátor potom otočí koleso o 180°. V tomto prípade sa zmena momentu hybnosti kolesa úplne prenesie na lavicu a demonštrátor. V dôsledku toho sa lavica spolu s demonštrátorom dostane do rotácie s uhlovou rýchlosťou určenou na základe zákona zachovania momentu hybnosti.
Moment hybnosti systému v počiatočnom stave je určený iba momentom hybnosti kolesa a rovná sa
kde je moment zotrvačnosti kolesa, je uhlová rýchlosť jeho otáčania.
Po otočení kolesa pod uhlom 180 0 bude moment hybnosti sústavy už určený súčtom momentu hybnosti lavice s človekom a momentu hybnosti kolesa. Ak vezmeme do úvahy skutočnosť, že vektor hybnosti kolesa zmenil svoj smer na opačný a jeho priemet na vertikálnu os sa stal negatívnym, dostaneme
,
kde je moment zotrvačnosti systému "človek-platforma", je uhlová rýchlosť otáčania lavice s osobou.
Podľa zákona zachovania momentu hybnosti
A 
.
V dôsledku toho zistíme rýchlosť otáčania lavice
3. Tenká tyčová hmota m a dĺžka l sa otáča uhlovou rýchlosťou ω=10 s -1 vo vodorovnej rovine okolo zvislej osi prechádzajúcej stredom tyče. Pokračujúc v otáčaní v rovnakej rovine sa tyč pohybuje tak, že os otáčania teraz prechádza koncom tyče. Nájdite uhlovú rýchlosť v druhom prípade.
Pri tomto probléme sa v dôsledku toho, že sa mení rozloženie hmoty tyče vzhľadom na os otáčania, mení aj moment zotrvačnosti tyče. V súlade so zákonom zachovania momentu hybnosti izolovanej sústavy máme
Tu - moment zotrvačnosti tyče okolo osi prechádzajúcej stredom tyče; 
- moment zotrvačnosti tyče okolo osi prechádzajúcej jej koncom a zistený Steinerovou vetou.
Dosadením týchto výrazov do zákona zachovania momentu hybnosti dostaneme
,
.
4. Dĺžka tyče L= 1,5 m a hmotnosť m 1=10 kg je zavesený na hornom konci. Guľka zasiahne stred tyče hmotou m2=10 g, letí horizontálne rýchlosťou =500 m/s a zasekne sa v tyči. O aký uhol sa tyč po dopade vychýli?
Predstavme si na obr. 5.19. systém interagujúcich telies "tyč-guľa". Momenty vonkajších síl (gravitácia, osová reakcia) v momente dopadu sú rovné nule, takže môžeme použiť zákon zachovania momentu hybnosti
Moment hybnosti systému pred nárazom sa rovná momentu hybnosti strely vzhľadom na bod zavesenia
Moment hybnosti systému po nepružnom náraze je určený vzorcom
,
kde je moment zotrvačnosti tyče voči bodu závesu, je moment zotrvačnosti strely, je uhlová rýchlosť tyče s strelou bezprostredne po dopade.
Vyriešením výslednej rovnice po dosadení nájdeme
.
Využime teraz zákon zachovania mechanickej energie. Porovnajme kinetickú energiu tyče po dopade guľky s jej potenciálnou energiou v najvyššom bode stúpania:
,
kde je výška ťažiska daného systému.
Po vykonaní potrebných transformácií získame
Uhol vychýlenia tyče súvisí s hodnotou pomerom
.
Po vykonaní výpočtov dostaneme =0,1p=18 0 .
5. Určte zrýchlenie telies a napätie nite na stroji Atwood za predpokladu, že (obr. 5.20). Moment zotrvačnosti bloku okolo osi otáčania je ja, polomer bloku r. Ignorujte hmotnosť vlákna.
Usporiadajme všetky sily pôsobiace na zaťaženia a blok a zostavme pre ne dynamické rovnice
Ak nedôjde k kĺzaniu závitu pozdĺž bloku, potom lineárne a uhlové zrýchlenie súvisí vzťahom
Vyriešením týchto rovníc dostaneme
Potom nájdeme T1 a T2.
6. Na kladke Oberbeckovho kríža (obr. 5.21) je pripevnená niť, na ktorú sa naváža bremeno hm. M= 0,5 kg. Určte, ako dlho trvá pád bremena z výšky h= 1 m do spodnej polohy. Polomer kladky r\u003d 3 cm. Štyri závažia m= 250 g každý na diaľku R= 30 cm od svojej osi. Zanedbajte moment zotrvačnosti samotného kríža a kladky oproti momentu zotrvačnosti závaží.
Kinetická energia rotujúceho telesa sa rovná súčtu kinetických energií všetkých častíc telesa:
Hmotnosť akejkoľvek častice, jej lineárna (obvodová) rýchlosť, úmerná vzdialenosti tejto častice od osi rotácie. Ak do tohto výrazu dosadíme a vyberieme zo znamienka súčtu uhlovú rýchlosť o spoločnú pre všetky častice, zistíme:
Tento vzorec pre kinetickú energiu rotujúceho telesa môžeme zredukovať do podoby podobnej výrazu pre kinetickú energiu translačného pohybu, ak zavedieme hodnotu takzvaného momentu zotrvačnosti telesa. Moment zotrvačnosti hmotného bodu je súčinom hmotnosti bodu a druhej mocniny jeho vzdialenosti od osi rotácie. Moment zotrvačnosti telesa je súčtom momentov zotrvačnosti všetkých hmotných bodov telesa:
Kinetická energia rotujúceho telesa je teda určená nasledujúcim vzorcom:
Vzorec (2) sa líši od vzorca, ktorý určuje kinetickú energiu telesa pri translačnom pohybe v tom, že namiesto hmotnosti telesa sem vstupuje moment zotrvačnosti I a namiesto rýchlosti skupinová rýchlosť.
Veľká kinetická energia rotujúceho zotrvačníka sa v technike využíva na udržanie rovnomernosti stroja pri náhle sa meniacom zaťažení. Na uvedenie zotrvačníka s veľkým momentom zotrvačnosti do rotácie si stroj najprv vyžaduje značnú prácu, ale pri náhlom zapnutí veľkej záťaže sa stroj nezastaví a pracuje vďaka rezerve kinetickej energie zotrvačníka.
Obzvlášť masívne zotrvačníky sa používajú vo valcovniach poháňaných elektromotorom. Tu je popis jedného z týchto kolies: „Koleso má priemer 3,5 m a váži normálna rýchlosť Pri 600 otáčkach za minútu je kinetická energia kolesa taká, že v čase valcovania dáva koleso mlynu výkon 20 000 koní. od. Trenie v ložiskách je rozprávkovo pod tlakom udržiavané na minime a aby nedochádzalo k škodlivému pôsobeniu odstredivých zotrvačných síl, koleso je vyvážené tak, aby ho zaťaženie umiestnené na obvode kolesa vyviedlo z pokoja.
Uvádzame (bez vykonania výpočtov) hodnoty momentov zotrvačnosti niektorých telies (predpokladá sa, že každé z týchto telies má rovnakú hustotu vo všetkých svojich sekciách).
Moment zotrvačnosti tenkého prstenca okolo osi prechádzajúcej jeho stredom a kolmej na jeho rovinu (obr. 55):
Moment zotrvačnosti kruhového disku (alebo valca) okolo osi prechádzajúcej jeho stredom a kolmej na jeho rovinu (polárny moment zotrvačnosti disku; obr. 56):
Moment zotrvačnosti tenkého kruhového kotúča okolo osi zhodnej s jeho priemerom (ekvatoriálny moment zotrvačnosti kotúča; obr. 57):
Moment zotrvačnosti lopty okolo osi prechádzajúcej stredom lopty:
Moment zotrvačnosti tenkej guľovej vrstvy s polomerom okolo osi prechádzajúcej stredom:
Moment zotrvačnosti hrubej guľovej vrstvy (dutá guľa s polomerom vonkajšieho povrchu a polomerom dutiny) okolo osi prechádzajúcej stredom:
Výpočet momentov zotrvačnosti telies sa vykonáva pomocou integrálneho počtu. Pre predstavu o priebehu takýchto výpočtov nájdeme moment zotrvačnosti tyče vzhľadom na os, ktorá je na ňu kolmá (obr. 58). Nech existuje časť tyče, hustota. Vyčleníme elementárne malú časť tyče, ktorá má dĺžku a nachádza sa vo vzdialenosti x od osi otáčania. Potom jeho hmotnosť Pretože je vo vzdialenosti x od osi rotácie, potom jeho moment zotrvačnosti Integrujeme od nuly do I:
Moment zotrvačnosti pravouhlého rovnobežnostena okolo osi súmernosti (obr. 59)
Moment zotrvačnosti prstencového torusu (obr. 60)
Uvažujme, ako je energia rotácie telesa valiaceho sa (bez kĺzania) po rovine spojená s energiou translačného pohybu tohto telesa,
Energia translačného pohybu valivého telesa je , kde je hmotnosť telesa a rýchlosť translačného pohybu. Označme uhlovú rýchlosť otáčania valivého telesa a polomer telesa. Je ľahké pochopiť, že rýchlosť translačného pohybu telesa valiaceho sa bez kĺzania sa rovná obvodovej rýchlosti telesa v bodoch dotyku telesa s rovinou (v čase, keď teleso vykoná jednu otáčku, ťažisko tela sa pohybuje na vzdialenosť, preto,
Touto cestou,
Rotačná energia
v dôsledku toho
Ak tu nahradíme vyššie uvedené hodnoty momentov zotrvačnosti, zistíme, že:
a) energia rotačného pohybu rolovacej obruče sa rovná energii jej translačného pohybu;
b) energia rotácie valivého homogénneho disku sa rovná polovici energie translačného pohybu;
c) energia rotácie valiacej sa homogénnej gule je energiou translačného pohybu.
Závislosť momentu zotrvačnosti od polohy osi otáčania. Tyč (obr. 61) s ťažiskom v bode C necháme otáčať uhlovou rýchlosťou (o okolo osi O, kolmej na rovinu výkresu. Predpokladajme, že sa za určitý čas presunula z polohy AB do a ťažisko opísalo oblúk. Túto pohybovú tyč možno považovať za takú, ako keby sa tyč najprv translačne (to znamená, že zostala rovnobežná so sebou) presunula do polohy a potom sa otočila okolo C do polohy Označme (vzdialenosť stredu gravitácia od osi rotácie) o a, a uhol o Keď sa tyč pohybuje z polohy And V polohe, posunutie každej jej častice je rovnaké ako posunutie ťažiska, teda je rovné alebo To získať skutočný pohyb tyče, môžeme predpokladať, že oba tieto pohyby sa vykonávajú súčasne.okolo osi prechádzajúcej cez O možno rozložiť na dve časti.
Hlavnými dynamickými charakteristikami rotačného pohybu sú moment hybnosti okolo rotačnej osi z:
a kinetickej energie
Vo všeobecnom prípade sa energia počas rotácie s uhlovou rýchlosťou zistí podľa vzorca:
, kde je tenzor zotrvačnosti .Rovnakým uvažovaním ako v prípade translačného pohybu ekvipartícia znamená, že pri tepelnej rovnováhe je priemerná rotačná energia každej častice monatomického plynu: (3/2)k B T. Podobne ekvipartičný teorém umožňuje vypočítať strednú štvorcovú uhlovú rýchlosť molekúl.
Nadácia Wikimedia. 2010.
Tento výraz má iné významy, pozri Energia (významy). Energia, dimenzia ... Wikipedia
POHYBY- POHYBY. Obsah: Geometria D..................452 Kinematika D...................456 Dynamika D. ...................461 Motorické mechanizmy ......................465 Metódy štúdia D. človeka ..........471 Patológia D. človeka ............. 474 ... ... Veľká lekárska encyklopédia
Energia kinetickej energie mechanický systém v závislosti od rýchlostí jej bodov. Často prideľujte kinetickú energiu translačného a rotačného pohybu. Presnejšie povedané, kinetická energia je rozdiel medzi celkovou ... ... Wikipedia
Tepelný pohyb α peptidu. Komplexný chvejúci sa pohyb atómov, ktoré tvoria peptid, je náhodný a energia jednotlivého atómu kolíše v širokom rozmedzí, ale pomocou zákona ekvipartície sa vypočíta ako priemerná kinetická energia každého ... ... Wikipedia
Tepelný pohyb α peptidu. Komplexný chvejúci sa pohyb atómov, ktoré tvoria peptid, je náhodný a energia jednotlivého atómu kolíše v širokom rozmedzí, ale pomocou zákona ekvipartície sa vypočíta ako priemerná kinetická energia každého ... ... Wikipedia
- (francúzsky marées, nemecký Gezeiten, anglický príliv a odliv) periodické výkyvy hladina vody v dôsledku príťažlivosti mesiaca a slnka. Všeobecné informácie. P. je najvýraznejší pozdĺž brehov oceánov. Bezprostredne po nízkej vode najväčšieho odlivu hladina oceánu začína klesať ... ... encyklopedický slovník F. Brockhaus a I.A. Efron
Chladiaca nádoba Ivory Tirupati počiatočná stabilita je negatívna Schopnosť stability ... Wikipedia
Počiatočná stabilita chladiacej nádoby Ivory Tirupati je negatívna vonkajšie sily, čo spôsobí jeho otáčanie alebo orezávanie a návrat do rovnovážneho stavu na konci rušivého ... ... Wikipedia
