Hlavnými dynamickými charakteristikami rotačného pohybu sú moment hybnosti okolo rotačnej osi z:

a kinetickej energie

Vo všeobecnom prípade sa energia počas rotácie s uhlovou rýchlosťou zistí podľa vzorca:

, kde je tenzor zotrvačnosti .

V termodynamike

Presne podľa rovnakých úvah ako v prípade pohyb vpred ekvipartícia znamená, že pri tepelnej rovnováhe je priemerná rotačná energia každej častice monatomického plynu: (3/2)k B T. Podobne ekvipartičný teorém umožňuje vypočítať strednú štvorcovú uhlovú rýchlosť molekúl.

pozri tiež

Nadácia Wikimedia. 2010.

Pozrite sa, čo je „Energia rotačného pohybu“ v iných slovníkoch:

Tento výraz má iné významy, pozri Energia (významy). Energia, dimenzia ... Wikipedia

POHYBY- POHYBY. Obsah: Geometria D..................452 Kinematika D...................456 Dynamika D. ...................461 Motorické mechanizmy ......................465 Metódy štúdia D. človeka ..........471 Patológia D. človeka ............. 474 ... ... Veľká lekárska encyklopédia

Kinetická energia energie mechanický systém v závislosti od rýchlostí jej bodov. Často prideľujte kinetickú energiu translačného a rotačného pohybu. Presnejšie povedané, kinetická energia je rozdiel medzi celkovou ... ... Wikipedia

Tepelný pohyb α peptidu. Komplexný chvejúci sa pohyb atómov, ktoré tvoria peptid, je náhodný a energia jednotlivého atómu kolíše v širokom rozsahu, ale pomocou zákona ekvipartície sa vypočíta ako priemerná kinetická energia každého ... ... Wikipedia

Tepelný pohyb α peptidu. Komplexný chvejúci sa pohyb atómov, ktoré tvoria peptid, je náhodný a energia jednotlivého atómu kolíše v širokom rozsahu, ale pomocou zákona ekvipartície sa vypočíta ako priemerná kinetická energia každého ... ... Wikipedia

- (francúzsky marées, nemecký Gezeiten, anglický príliv a odliv) periodické výkyvy hladina vody v dôsledku príťažlivosti mesiaca a slnka. Všeobecné informácie. P. je najvýraznejší pozdĺž brehov oceánov. Bezprostredne po nízkej vode najväčšieho odlivu hladina oceánu začína klesať ... ... encyklopedický slovník F. Brockhaus a I.A. Efron

Chladiaca nádoba Ivory Tirupati počiatočná stabilita je negatívna Schopnosť stability ... Wikipedia

Chladiaca nádoba Ivory Tirupati počiatočná stabilita je negatívna Stabilita schopnosť plávajúceho zariadenia odolať vonkajším silám, ktoré spôsobujú jeho nakláňanie alebo orezávanie a návrat do rovnovážneho stavu na konci rušivého ... ... Wikipedia

Kinetická energia je aditívna veličina. Preto sa kinetická energia tela pohybujúceho sa ľubovoľným spôsobom rovná súčtu kinetických energií všetkých n hmotných bodov, na ktoré možno toto teleso mentálne rozdeliť:

Ak sa teleso otáča okolo pevnej osi z uhlovou rýchlosťou , potom lineárna rýchlosť i-tý bod , Ri je vzdialenosť k osi otáčania. teda

Pri porovnaní a je vidieť, že moment zotrvačnosti telesa I je mierou zotrvačnosti pri rotačný pohyb, rovnako ako hmotnosť m je mierou zotrvačnosti pri translačnom pohybe.

Vo všeobecnom prípade možno pohyb tuhého telesa znázorniť ako súčet dvoch pohybov - translačného s rýchlosťou vc a rotačného s uhlovou rýchlosťou ω okolo okamžitej osi prechádzajúcej stredom zotrvačnosti. Potom celková kinetická energia tohto telesa

Tu Ic je moment zotrvačnosti okolo okamžitej osi rotácie prechádzajúcej stredom zotrvačnosti.

Základný zákon dynamiky rotačného pohybu.

Rotačná dynamika

Základný zákon dynamiky rotačného pohybu:

alebo M=Je, kde M je moment sily M = [ r F ] , J - moment zotrvačnosti je moment hybnosti telesa.

ak M(vonkajšia)=0 - zákon zachovania momentu hybnosti. - kinetická energia rotujúceho telesa.

rotačná práca.

Zákon zachovania momentu hybnosti.

Moment hybnosti (hybnosť) hmotného bodu A vzhľadom na pevný bod O je fyzikálna veličina určená vektorovým súčinom:

kde r je vektor polomeru nakreslený z bodu O do bodu A, p=mv je hybnosť hmotného bodu (obr. 1); L je pseudovektor, ktorého smer sa zhoduje so smerom translačného pohybu pravej skrutky pri jej rotácii z r na p.

Modul vektora hybnosti

kde α je uhol medzi vektormi r a p, l je rameno vektora p vzhľadom na bod O.

Moment hybnosti vo vzťahu k pevnej osi z je skalárna hodnota Lz, ktorá sa rovná priemetu vektora momentu hybnosti na túto os, definovaného vzhľadom na ľubovoľný bod O tejto osi. Moment hybnosti Lz nezávisí od polohy bodu O na osi z.

Keď sa absolútne tuhé teleso otáča okolo pevnej osi z, každý bod telesa sa pohybuje po kružnici s konštantným polomerom ri rýchlosťou vi. Rýchlosť vi a hybnosť mivi sú kolmé na tento polomer, t. j. polomer je ramenom vektora mivi . Môžeme teda napísať, že moment hybnosti jednotlivej častice je

a smeruje pozdĺž osi v smere určenom pravidlom pravej skrutky.

Hybnosť tuhého telesa vzhľadom na os je súčtom hybnosti jednotlivých častíc:

Pomocou vzorca vi = ωri dostaneme

Moment hybnosti tuhého telesa okolo osi sa teda rovná momentu zotrvačnosti telesa okolo tej istej osi vynásobenému uhlovou rýchlosťou. Rozlišujme rovnicu (2) vzhľadom na čas:

Tento vzorec je ďalšou formou rovnice dynamiky rotačného pohybu tuhého telesa okolo pevnej osi: derivácia momentu hybnosti tuhého telesa okolo osi sa rovná momentu síl okolo tej istej osi.

Dá sa ukázať, že vektorová rovnosť platí

V uzavretom systéme, moment vonkajšie sily M=0 a odkiaľ

Výraz (4) je zákon zachovania momentu hybnosti: moment hybnosti uzavretého systému je zachovaný, t.j. v čase sa nemení.

Zákon zachovania momentu hybnosti ako aj zákon zachovania energie je základným prírodným zákonom. Je spojená so symetrickou vlastnosťou priestoru - jeho izotropiou, t.j. s invariantnosťou fyzikálnych zákonov vzhľadom na voľbu smeru súradnicových osí referenčného systému (vzhľadom na rotáciu uzavretého systému v priestore o akýkoľvek uhol).

Tu si ukážeme zákon zachovania momentu hybnosti pomocou Žukovského lavice. Osoba sediaca na lavičke, rotujúca okolo zvislej osi a držiaca činky vo vystretých rukách (obr. 2), je otáčaná vonkajším mechanizmom s uhlovou rýchlosťou ω1. Ak človek pritlačí činky k telu, zníži sa moment zotrvačnosti systému. Moment vonkajších síl je však rovný nule, moment hybnosti sústavy je zachovaný a uhlová rýchlosť otáčania ω2 sa zvyšuje. Podobne gymnasta pri preskakovaní hlavy pritiahne ruky a nohy k telu, aby znížil moment zotrvačnosti a tým zvýšil uhlovú rýchlosť otáčania.

Tlak v kvapaline a plyne.

Molekuly plynu, ktoré vykonávajú chaotický, chaotický pohyb, nie sú viazané alebo skôr slabo viazané interakčnými silami, preto sa pohybujú takmer voľne a v dôsledku zrážok sa rozptyľujú na všetky strany, pričom vypĺňajú celý im poskytnutý objem. t.j. objem plynu je určený objemom nádoby obsadenej plynom.

A kvapalina, ktorá má určitý objem, má formu nádoby, v ktorej je uzavretá. Ale na rozdiel od plynov v kvapalinách, priemerná vzdialenosť medzi molekulami zostáva v priemere konštantná, takže kvapalina má takmer nezmenený objem.

Vlastnosti kvapalín a plynov sú v mnohých ohľadoch veľmi rozdielne, no vo viacerých mechanické javy ich vlastnosti sú určené rovnakými parametrami a rovnakými rovnicami. Z tohto dôvodu je hydroaeromechanika odvetvím mechaniky, ktoré študuje rovnováhu a pohyb plynov a kvapalín, interakciu medzi nimi a medzi nimi obtekajúcimi tuhými telesami, t.j. uplatňuje sa jednotný prístup k štúdiu kvapalín a plynov.

Kvapaliny a plyny sa v mechanike považujú s vysokou presnosťou za spojité, súvisle rozložené v časti priestoru, ktorú zaberajú. V plynoch hustota výrazne závisí od tlaku. Založené zo skúseností. že stlačiteľnosť kvapaliny a plynu možno často zanedbať a je vhodné použiť jednotný pojem - nestlačiteľnosť kvapaliny - kvapaliny všade s rovnakou hustotou, ktorá sa v čase nemení.

Umiestnime ho do tenkej dosky v pokoji, v dôsledku čoho budú časti kvapaliny umiestnené na opačných stranách dosky pôsobiť na každý z jej prvkov ΔS silami ΔF, ktoré budú rovnaké v absolútnej hodnote a budú smerovať kolmo na miesto. ΔS, bez ohľadu na orientáciu miesta, inak by prítomnosť tangenciálnych síl uviedla častice kvapaliny do pohybu (obr. 1)

Stanovená fyzikálna veličina normálna sila, pôsobiace zo strany kvapaliny (alebo plynu) na jednotku plochy, sa nazýva tlak p / kvapalina (alebo plyn): p=ΔF/ΔS.

Jednotkou tlaku je pascal (Pa): 1 Pa sa rovná tlaku vytvorenému silou 1 N, ktorá je rovnomerne rozložená po ploche 1 m2, ktorá je k nej kolmá (1 Pa = 1 N/m2).

Rovnovážny tlak kvapalín (plynov) sa riadi Pascalovým zákonom: tlak v ktoromkoľvek mieste kvapaliny v pokoji je rovnaký vo všetkých smeroch a tlak sa rovnako prenáša celým objemom, ktorý kvapalina v pokoji zaberá.

Preskúmajme vplyv hmotnosti tekutiny na rozloženie tlaku vo vnútri stacionárnej nestlačiteľnej tekutiny. Keď je kvapalina v rovnováhe, tlak pozdĺž akejkoľvek horizontálnej čiary je vždy rovnaký, inak by rovnováha nebola. To znamená, že voľný povrch tekutiny v pokoji je vždy vodorovný (neberieme do úvahy príťažlivosť tekutiny stenami nádoby). Ak je tekutina nestlačiteľná, potom je hustota tekutiny nezávislá od tlaku. Potom pri priereze S stĺpca kvapaliny, jeho výške h a hustote ρ je hmotnosť P=ρgSh, pričom tlak na spodnú základňu je: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

t.j. tlak sa mení lineárne s nadmorskou výškou. Tlak ρgh sa nazýva hydrostatický tlak.

Podľa vzorca (1) bude tlaková sila na spodné vrstvy kvapaliny väčšia ako na horné, preto na teleso ponorené do kvapaliny (plynu) pôsobí sila určená Archimedovým zákonom: vznášajúce sa smerom hore sila rovnajúca sa hmotnosti kvapaliny (plynu) vytlačenej telesom: FA = ρgV, kde ρ je hustota kvapaliny, V je objem telesa ponoreného do kvapaliny.

Uvažujme absolútne tuhé teleso otáčajúce sa okolo pevnej osi. Poďme mentálne rozbiť toto telo na nekonečne malé kúsky s nekonečne malými rozmermi a hmotnosťami. mv t., t 3,... na vzdialenosti RvR°, R 3,... od osi. Kinetická energia rotujúceho telesa ako súčet kinetických energií jeho malých častí nájdeme:

- moment zotrvačnosti tuhé teleso vzhľadom na danú os 00,. Z porovnania vzorcov pre kinetickú energiu translačných a rotačných pohybov je zrejmé, že moment zotrvačnosti pri rotačnom pohybe je analogický s hmotnosťou pri translačnom pohybe. Vzorec (4.14) je vhodný na výpočet momentu zotrvačnosti sústav pozostávajúcich z jednotlivých hmotných bodov. Ak chcete vypočítať moment zotrvačnosti pevných telies, pomocou definície integrálu ho môžete previesť do tvaru

Je ľahké vidieť, že moment zotrvačnosti závisí od výberu osi a mení sa s jej paralelným posunom a rotáciou. Nájdite hodnoty momentov zotrvačnosti pre niektoré homogénne telesá.

Zo vzorca (4.14) je zrejmé, že moment zotrvačnosti hmotného bodu rovná sa

kde t - hmotnosť bodu; R- vzdialenosť k osi otáčania.

Je ľahké vypočítať moment zotrvačnosti pre dutý tenkostenný valec(alebo špeciálny prípad valca s malou výškou - tenký krúžok) polomer R okolo osi symetrie. Vzdialenosť k osi rotácie všetkých bodov pre takéto teleso je rovnaká, rovná sa polomeru a možno ju vybrať pod znamienkom súčtu (4.14):

Ryža. 4.5

pevný valec(alebo špeciálny prípad valca s malou výškou - disk) polomer R na výpočet momentu zotrvačnosti okolo osi symetrie je potrebný výpočet integrálu (4.15). Vopred možno pochopiť, že hmotnosť je v tomto prípade v priemere sústredená o niečo bližšie k osi ako v prípade dutého valca a vzorec bude podobný (4.17), ale koeficient menší ako jedna bude objaviť sa v ňom. Poďme nájsť tento koeficient. Pevný valec nech má hustotu p a výšku A. Rozdeľme ho na duté valce (tenké valcové plochy) s hrúbkou DR(Obr. 4.5 znázorňuje priemet kolmý na os symetrie). Objem takéhoto dutého valca s polomerom r sa rovná ploche vynásobenej hrúbkou: dV = 2nrhdr, hmotnosť: dm=2nphrdr, a moment zotrvačnosti podľa vzorca (4.17): dj=

= r 2 dm = 2lr/?g Wr. Celkový moment zotrvačnosti plného valca sa získa integráciou (sčítaním) momentov zotrvačnosti dutých valcov:

Podobne hľadali moment zotrvačnosti tenkej tyče dĺžka L a masy t, ak je os otáčania kolmá na tyč a prechádza jej stredom. Poďme to rozbiť

Berúc do úvahy skutočnosť, že hmotnosť pevného valca súvisí s hustotou podľa vzorca t = nR 2 hp, konečne máme moment zotrvačnosti pevného valca:

Ryža. 4.6

tyč v súlade s obr. Hrúbka 4,6 kusov dl. Hmotnosť takéhoto kusu je dm = mdl/L, a moment zotrvačnosti podľa vzorca (4.6): dj = l 2 dm = l 2 mdl/L. Celkový moment zotrvačnosti tenkej tyče sa získa integráciou (sčítaním) momentov zotrvačnosti kusov:

Ak vezmeme elementárny integrál, dostaneme moment zotrvačnosti tenkej tyče dĺžky L a masy t

Ryža. 4.7

Pri hľadaní sa integrál berie o niečo zložitejšie moment zotrvačnosti homogénnej gule polomer R a hmotnosť /77 vzhľadom na os symetrie. Nech má pevná guľa hustotu p. Poďme si to rozobrať, ako je znázornené na obr. 4,7 pre duté tenké valce hrúbky DR, ktorého os symetrie sa zhoduje s osou rotácie lopty. Objem takéhoto dutého valca s polomerom G sa rovná ploche vynásobenej hrúbkou:

kde je výška valca h nájdené pomocou Pytagorovej vety:

Potom je ľahké nájsť hmotnosť dutého valca:

ako aj moment zotrvačnosti podľa vzorca (4.15):

Celkový moment zotrvačnosti pevnej gule sa získa integráciou (sčítaním) momentov zotrvačnosti dutých valcov:

Berúc do úvahy skutočnosť, že hmotnosť pevnej gule súvisí s hustotou tvaru - 4.

loy t = -npR A y konečne tu máme moment zotrvačnosti okolo osi

symetria homogénnej gule polomeru R omši t:

Kinetická energia rotácie

Prednáška 3. Dynamika tuhého telesa

Plán prednášok

3.1. Moment sily.

3.2. Základné rovnice rotačného pohybu. Moment zotrvačnosti.

3.3. Kinetická energia rotácie.

3.4. moment impulzu. Zákon zachovania momentu hybnosti.

3.5. Analógia medzi translačným a rotačným pohybom.

Moment sily

Zvážte pohyb tuhého telesa okolo pevnej osi. Nech pevné teleso má pevnú os otáčania ОО ( obr.3.1) a pôsobí naň ľubovoľná sila.

Ryža. 3.1

Silu rozložíme na dve zložky sily, sila leží v rovine rotácie a sila je rovnobežná s osou rotácie. Potom silu rozložíme na dve zložky: – pôsobiace pozdĺž vektora polomeru a – kolmé naň.

Žiadna sila aplikovaná na teleso ho neotočí. Sily a vytvárajú tlak na ložiská, ale neotáčajte ich.

Sila môže alebo nemusí vyviesť telo z rovnováhy v závislosti od toho, kde vo vektore polomeru pôsobí. Preto sa zavádza pojem moment sily okolo osi. Moment sily vzhľadom na os rotácie sa nazýva vektorový súčin vektora polomeru a sily.

Vektor je nasmerovaný pozdĺž osi otáčania a je určený pravidlom krížového súčinu alebo pravidlom pravej skrutky alebo pravidlom gimlet.

Modul momentu sily

kde α je uhol medzi vektormi a .

Z obr.3.1. to je jasné .

r0- najkratšia vzdialenosť od osi otáčania k čiare pôsobenia sily a nazýva sa rameno sily. Potom možno zapísať moment sily

M = Fr 0 . (3.3)

Z obr. 3.1.

kde F je priemet vektora do smeru kolmého na vektor polomeru vektora . V tomto prípade je moment sily

. (3.4)

Ak na teleso pôsobí viacero síl, tak výsledný moment sily sa rovná vektorovému súčtu momentov jednotlivých síl, ale keďže všetky momenty smerujú pozdĺž osi, možno ich nahradiť algebraickým súčtom. Moment sa bude považovať za pozitívny, ak otáča telo v smere hodinových ručičiek a negatívny, ak sa otáča proti smeru hodinových ručičiek. Ak sú všetky momenty síl rovné nule (), teleso bude v rovnováhe.

Koncept momentu sily možno demonštrovať pomocou „rozmarnej cievky“. Cievka nite sa ťahá za voľný koniec nite ( ryža. 3.2).

Ryža. 3.2

V závislosti od smeru napätia nite sa cievka odvaľuje jedným alebo druhým smerom. Ak ťaháte pod uhlom α , potom moment sily okolo osi O(kolmo na obrázok) otáča cievkou proti smeru hodinových ručičiek a otáča sa späť. V prípade napätia pod uhlom β krútiaci moment je proti smeru hodinových ručičiek a cievka sa otáča dopredu.

Pomocou podmienky rovnováhy () môžete navrhnúť jednoduché mechanizmy, ktoré sú „prevodníkami“ sily, t.j. Použitím menšej sily môžete zdvíhať a presúvať bremená rôznej hmotnosti. Na tomto princípe sú založené páky, fúriky, bloky rôznych druhov, ktoré majú široké využitie v stavebníctve. Aby sa dodržala rovnovážna podmienka v stavebných žeriavoch na kompenzáciu momentu sily spôsobenej hmotnosťou bremena, vždy existuje systém protizávaží, ktorý vytvára moment sily opačného znamienka.

3.2. Základná rotačná rovnica
pohyb. Moment zotrvačnosti

Predstavte si absolútne tuhé teleso otáčajúce sa okolo pevnej osi OO(obr.3.3). Rozdeľme mentálne toto teleso na prvky s hmotnosťou Δ m 1, Δ m2, …, Δ m n. Počas otáčania budú tieto prvky opisovať kruhy s polomermi r1,r2 , …,rn. Na každý prvok pôsobia sily F1,F2 , …,F n. Rotácia telesa okolo osi OO vzniká vplyvom celkového momentu síl M.

M \u003d M 1 + M 2 + ... + M n (3.4)

kde M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n

Podľa druhého Newtonovho zákona každá sila F pôsobiace na prvok hmoty D m, spôsobuje zrýchlenie daného prvku a, t.j.

F i = D m ja a i (3.5)

Nahradením zodpovedajúcich hodnôt do (3.4) dostaneme

Ryža. 3.3

Poznať vzťah medzi lineárnym uhlovým zrýchlením ε () a že uhlové zrýchlenie je rovnaké pre všetky prvky, bude vyzerať vzorec (3.6).

M = (3.7)

=ja (3.8)

ja je moment zotrvačnosti telesa okolo pevnej osi.

Potom dostaneme

M = I ε (3.9)

Alebo vo vektorovej forme

(3.10)

Táto rovnica je základnou rovnicou pre dynamiku rotačného pohybu. Formou je podobná rovnici II Newtonovho zákona. Od (3.10) je moment zotrvačnosti

Moment zotrvačnosti daného telesa je teda pomerom momentu sily k uhlovému zrýchleniu ním spôsobenému. Z (3.11) je vidieť, že moment zotrvačnosti je mierou zotrvačnosti telesa vzhľadom na rotačný pohyb. Moment zotrvačnosti hrá rovnakú úlohu ako hmotnosť v translačných pohyboch. jednotka SI [ ja] = kg m2. Zo vzorca (3.7) vyplýva, že moment zotrvačnosti charakterizuje rozloženie hmotností častíc telesa vzhľadom na os rotácie.

Moment zotrvačnosti prvku s hmotnosťou ∆m pohybujúceho sa po kružnici s polomerom r sa teda rovná

I = r2 D m (3.12)

ja = (3.13)

V prípade spojitého rozdelenia hmoty možno súčet nahradiť integrálom

I = ∫ r 2 dm (3.14)

kde sa integrácia vykonáva cez celú telesnú hmotu.

To ukazuje, že moment zotrvačnosti telesa závisí od hmotnosti a jej rozloženia vzhľadom na os rotácie. Dá sa to dokázať experimentálne obr.3.4).

Ryža. 3.4

Dva okrúhle valce, jeden dutý (napríklad kovový), druhý plný (drevený) s rovnakými dĺžkami, polomermi a hmotnosťami, sa začnú stáčať súčasne. Dutý valec s veľkým momentom zotrvačnosti bude za pevným zaostávať.

Moment zotrvačnosti môžete vypočítať, ak poznáte hmotnosť m a jeho rozloženie vzhľadom na os otáčania. Najjednoduchším prípadom je krúžok, keď sú všetky prvky hmoty umiestnené rovnako od osi otáčania ( ryža. 3.5):

ja = (3.15)

Ryža. 3.5

Uveďme výrazy pre momenty zotrvačnosti rôznych symetrických telies s hmotnosťou m.

1. Moment zotrvačnosti krúžky, dutý tenkostenný valec okolo osi rotácie zhodnej s osou symetrie.

, (3.16)

r je polomer krúžku alebo valca

2. Pre pevný valec a disk moment zotrvačnosti okolo osi symetrie

(3.17)

3. Moment zotrvačnosti lopty okolo osi prechádzajúcej stredom

(3.18)

r- polomer gule

4. Moment zotrvačnosti tenkej tyče dlhého l vzhľadom k osi kolmej na tyč a prechádzajúcej jej stredom

(3.19)

l- dĺžka tyče.

Ak os rotácie neprechádza ťažiskom, potom moment zotrvačnosti telesa okolo tejto osi určuje Steinerova veta.

(3.20)

Podľa tejto vety moment zotrvačnosti okolo ľubovoľnej osi О'O' ( ) sa rovná momentu zotrvačnosti okolo rovnobežnej osi prechádzajúcej ťažiskom telesa ( ) plus súčin telesnej hmotnosti krát druhá mocnina vzdialenosti a medzi nápravami ( ryža. 3.6).

Ryža. 3.6

Kinetická energia rotácie

Zvážte rotáciu absolútne tuhého telesa okolo pevnej osi OO s uhlovou rýchlosťou ω (ryža. 3.7). Rozdelíme tuhé telo na n elementárne hmotnosti ∆ m i. Každý prvok hmoty rotuje na kruhu s polomerom RI s lineárnou rýchlosťou (). Kinetická energia je súčet kinetických energií jednotlivých prvkov.

(3.21)

Ryža. 3.7

Pripomeňme si to z (3.13). je moment zotrvačnosti okolo osi OO.

Teda kinetická energia rotujúceho telesa

E k \u003d (3.22)

Uvažovali sme o kinetickej energii rotácie okolo pevnej osi. Ak sa teleso zúčastňuje dvoch pohybov: translačného a rotačného pohybu, potom kinetická energia telesa je súčtom kinetickej energie translačného pohybu a kinetickej energie rotácie.

Napríklad guľa hmoty m valcovanie; ťažisko lopty sa pohybuje rýchlosťou dopredu u (ryža. 3.8).

Ryža. 3.8

Celková kinetická energia lopty sa bude rovnať

(3.23)

3.4. moment impulzu. zákon zachovania
moment hybnosti

Fyzikálna veličina rovná súčinu momentu zotrvačnosti ja na uhlovú rýchlosť ω , sa nazýva moment hybnosti (moment hybnosti) L okolo osi otáčania.

– moment hybnosti je vektorová veličina a zhoduje sa v smere so smerom uhlovej rýchlosti.

Diferenciačná rovnica (3.24) vzhľadom na čas dostaneme

kde, M je celkový moment vonkajších síl. V izolovanom systéme neexistuje žiadny moment vonkajších síl ( M=0) a

Začnime uvažovaním rotácie telesa okolo pevnej osi, ktorú budeme nazývať os z (obr. 41.1). Lineárna rýchlosť elementárnej hmoty je kde je vzdialenosť hmoty od osi. Preto sa pre kinetickú energiu elementárnej hmoty získa výraz

Kinetická energia telesa sa skladá z kinetických energií jeho častí:

Súčet na pravej strane tohto pomeru je moment zotrvačnosti telesa 1 okolo osi otáčania. Kinetická energia telesa rotujúceho okolo pevnej osi je teda

Nech na hmotu pôsobí vnútorná sila a vonkajšia sila (pozri obr. 41.1). Podľa (20.5) budú tieto sily v danom čase konať

Uskutočnením cyklickej permutácie faktorov v zmiešaných produktoch vektorov (pozri (2.34)) dostaneme:

kde N je moment vnútornej sily vo vzťahu k bodu O, N je analogický moment vonkajšej sily.

Sumárnym vyjadrením (41.2) cez všetky elementárne hmotnosti dostaneme elementárnu prácu vykonanú na telese za čas dt:

Súčet momentov vnútorných síl sa rovná nule (pozri (29.12)). Označením celkového momentu vonkajších síl cez N sa teda dostaneme k výrazu

(použili sme vzorec (2.21)).

Nakoniec, ak vezmeme do úvahy, že existuje uhol, cez ktorý sa telo otáča v čase, dostaneme:

Znamienko diela závisí od znamienka, t.j. od znamienka priemetu vektora N na smer vektora.

Takže keď sa teleso otáča, vnútorné sily nevykonávajú prácu, zatiaľ čo práca vonkajších síl je určená vzorcom (41.4).

K vzorcu (41.4) môžeme dospieť tak, že práca vykonaná všetkými silami pôsobiacimi na teleso vedie k zvýšeniu jeho kinetickej energie (pozri (19.11)). Ak vezmeme diferenciál oboch strán rovnosti (41.1), dostaneme sa k vzťahu

Podľa rovnice (38.8) teda nahradením cez prídeme na vzorec (41.4).

Tabuľka 41.1

V tabuľke. 41.1 sa porovnávajú vzorce mechaniky rotačných pohybov s podobnými vzorcami mechaniky translačného pohybu (mechanika bodu). Z tohto porovnania je ľahké usúdiť, že vo všetkých prípadoch zohráva úlohu hmotnosti moment zotrvačnosti, úlohu sily moment sily, úlohu hybnosti zohráva moment hybnosti atď.

Vzorec. (41.1) sme dostali pre prípad, keď sa teleso otáča okolo pevnej osi upevnenej v telese. Teraz predpokladajme, že teleso sa ľubovoľne otáča okolo pevného bodu, ktorý sa zhoduje s jeho ťažiskom.

Pevne spojme karteziánsky súradnicový systém s telesom, ktorého počiatok bude umiestnený v ťažisku telesa. Rýchlosť i-ta elementárna hmotnosť je Preto pre kinetickú energiu telesa môžeme napísať výraz

kde je uhol medzi vektormi Nahradením priechodu a zohľadnením toho, čo dostaneme:

Poďme sa podpísať bodkové produkty prostredníctvom projekcií vektorov na osi súradnicového systému spojeného s telom:

Nakoniec spojením členov s rovnakými súčinmi zložiek uhlovej rýchlosti a vyňatím týchto súčinov zo znamienok súčtov dostaneme: takže vzorec (41.7) nadobudne tvar (porovnaj s (41.1)). Keď sa ľubovoľné teleso otáča okolo jednej z hlavných osí zotrvačnosti, povedzme, že osi a vzorec (41.7) prechádza do (41.10.

Teda. kinetická energia rotujúceho telesa sa rovná polovici súčinu momentu zotrvačnosti a druhej mocniny uhlovej rýchlosti v troch prípadoch: 1) pre teleso rotujúce okolo pevnej osi; 2) pre teleso rotujúce okolo jednej z hlavných osí zotrvačnosti; 3) na plesový top. V iných prípadoch je kinetická energia definovaná viac zložité vzorce(41,5) alebo (41,7).