ŠTÁTNA UNIVERZITA SEVASTOPOL
MM. Ghashim, T. V. Cernautsanu
NÁHODNÉ FUNKCIE
Schválené
Akademická rada ústavu
Sevastopol
Ghashim M.M., T.V. Cerneutsanu
Náhodné funkcie: metóda štúdia. príspevok. - Sevastopoľ: SevGU, 2015.
Táto príručka obsahuje tri hlavné časti: "", "", "". Každá z častí obsahuje hlavné otázky teórie, analýzu typických príkladov, úlohy pre samostatnú prácu s odpoveďami na ne.
je určená pre študentov tretieho ročníka pri štúdiu témy „“.
Recenzenti:
c.f.-m..,
Ph.D., docent
nc.ph.-m.s. docent
© Vydanie SevGU, 2015
§ 1. Pojem náhodná funkcia…………………………………………
§ 2. Charakteristiky náhodných funkcií…………………………………
§ 3. Prevádzkovateľ dynamický systém……………………………….
§ 4. Lineárne transformácie náhodné funkcie ………………
§ 5. Stacionárne náhodné procesy……………………
§6. Spektrálny rozklad stacionárna náhodná funkcia ....
§ 7. Ergodická vlastnosť stacionárnych náhodných funkcií………….
Riešenie typických problémov ……………………………………………….
Úlohy pre nezávislé riešenie………………………………
LITERATÚRA………………………………………………………………………
náhodné vlastnosti
Koncept náhodnej funkcie.
V priebehu teórie pravdepodobnosti boli hlavným predmetom skúmania náhodné premenné, ktoré sa vyznačovali tým, že v dôsledku experimentu nadobudli jedinú, dovtedy neznámu, no jedinečnú hodnotu. To znamená, že náhodné javy sa študovali akosi v „statike“, v nejakých pevných konštantných podmienkach samostatného experimentu. V praxi sa však často musíme zaoberať náhodnými premennými, ktoré sa v priebehu experimentu neustále menia. Napríklad uhol predstihu pre nepretržité mierenie na pohybujúci sa cieľ; odchýlka trajektórie vedenej strely od teoretickej v procese riadenia alebo navádzania a pod. V zásade akékoľvek systémy s automatizovaným riadením kladú určité požiadavky na zodpovedajúci teoretický základ - teóriu automatické ovládanie. Rozvoj tejto teórie nie je možný bez analýzy chýb, ktoré nevyhnutne sprevádzajú riadiace procesy, ktoré vždy prebiehajú v podmienkach nepretržite pôsobiacich náhodných porúch alebo „interferencií“. Tieto poruchy sú svojou povahou náhodné funkcie. Takže:
Definícia . náhodná funkcia X(t) sa nazýva funkcia nenáhodného argumentu t, čo je pre každú pevnú hodnotu argumentu náhodná premenná.
Špecifická forma, ktorú má náhodná funkcia X(t) v dôsledku skúseností, je tzv implementáciu náhodná funkcia.
Príklad . Lietadlo na vzdušnom kurze má teoreticky konštantnú rýchlosť letu V. V skutočnosti jeho rýchlosť kolíše okolo tejto priemernej nominálnej hodnoty a je náhodnou funkciou času. Na let sa dá pozerať ako na zážitok, v ktorom funguje náhoda V(t) má určitú implementáciu (obr.1).
 |
|||
Od skúseností k skúsenostiam sa typ implementácie líši. Ak je v lietadle nainštalovaný záznamník, tak pri každom lete zaznamená novú, od ostatných odlišnú, implementáciu náhodnej funkcie. V dôsledku niekoľkých letov možno získať skupinu implementácií náhodnej funkcie V(t) (obr. 2).
V praxi existujú náhodné funkcie, ktoré nezávisia od jedného argumentu, ale od viacerých, napríklad od stavu atmosféry (teplota, tlak, vietor, zrážky). V tomto kurze budeme uvažovať iba o náhodných funkciách jedného argumentu. Keďže týmto argumentom je najčastejšie čas, budeme ho označovať písmenom t. Okrem toho súhlasíme s označovaním náhodných funkcií veľkými písmenami ( X(t), Y(t), ...) na rozdiel od nenáhodných funkcií ( X(t),r(t), …).
Zvážte nejakú náhodnú funkciu X(t). Predpokladajme to n nezávislých experimentov, v dôsledku ktorých sa získalo n realizácií, ktoré označujeme podľa počtov experimentov. X 1 (t), X 2 (t), …, X n(t). Je zrejmé, že každá implementácia je pravidelná (nie náhodná) funkcia. Výsledkom každého experimentu je teda náhodná funkcia X(t) sa zmení na nenáhodnú funkciu.
Poďme teraz opraviť nejakú hodnotu argumentu t. V tomto prípade náhodná funkcia X(t) sa stáva náhodnou premennou.
Definícia. prierez náhodná funkcia X(t) sa nazýva náhodná premenná zodpovedajúca pevnej hodnote argumentu náhodnej funkcie.
Vidíme, že náhodná funkcia kombinuje vlastnosti náhodnej premennej a funkcie. V nasledujúcom texte budeme často striedavo uvažovať o rovnakej funkcii X(t) niekedy ako náhodná funkcia, niekedy ako náhodná premenná, v závislosti od toho, či sa uvažuje v celom rozsahu zmien t alebo na jeho pevnej hodnote.
Zvážte náhodnú premennú X(t) je aktuálny prierez náhodnej funkcie t. Táto náhodná premenná má samozrejme distribučný zákon, ktorý vo všeobecnom prípade závisí od t. Označme to f(X, t). Funkcia f(X, t) sa nazýva zákon jednorozmerného rozdelenia náhodná funkcia X(t).
Jednoznačne funkcia f(X, t) nie je úplnou, vyčerpávajúcou charakteristikou náhodnej funkcie X(t), pretože charakterizuje len distribučný zákon X(t) za danú, hoci ľubovoľnú t a neodpovedá na otázku o závislosti náhodné premenné X(t) pre rôzne t. Z tohto hľadiska je úplnejšia charakteristika náhodnej funkcie X(t) je tzv dvojrozmerný zákon distribúcia: f(X 1 , X 2 ; t 1 , t 2). Toto je zákon rozdelenia systému dvoch náhodných premenných X(t 1), X(t 2), t.j. dve ľubovoľné sekcie náhodnej funkcie X(t). Táto charakteristika však vo všeobecnom prípade nie je vyčerpávajúca. Je zrejmé, že teoreticky je možné donekonečna zvyšovať počet argumentov a získavať ďalšie a ďalšie úplný popis náhodná funkcia, ale je mimoriadne ťažké pracovať s takými ťažkopádnymi charakteristikami, ktoré závisia od mnohých argumentov. V rámci tohto kurzu nebudeme vôbec používať distribučné zákony, ale obmedzíme sa na zváženie najjednoduchších charakteristík náhodných funkcií, podobných numerickým charakteristikám náhodných premenných.
Predbežné poznámky. Nájdite Fourierov obrázok z d-funkcie.
Je zrejmé, že aj inverzná Fourierova transformácia platí:
Ako aj:
1. Nech je proces konštantný x(t)=Ao. Ako už bolo objasnené skôr, korelačná funkcia takéhoto procesu je Nájdite spektrálnu hustotu procesu priamou Fourierovou transformáciou funkcie R(t):
Spektrum procesu pozostáva z jediného vrcholu typu impulznej funkcie umiestneného na začiatku. Ak je teda v procese len jedna frekvencia w=0, potom to znamená, že celý výkon procesu je sústredený na tejto frekvencii, čo potvrdzuje formu funkcie S(w). Ak náhodná funkcia obsahuje konštantnú zložku, t.j. potom stredná hodnota S(š) bude mať diskontinuitu na začiatku a bude charakterizovaná prítomnosťou d-funguje v určitom bode w=0.
2. Pre harmonickú funkciu X=A o sin(w 0 t+j) korelačná funkcia:
Spektrálna hustota je
Rozvrh S(š) bude mať dva vrcholy typu impulznej funkcie umiestnené symetricky vzhľadom na počiatok súradníc at w=+w 0 a w=-w 0 To naznačuje, že sila procesu je sústredená na dvoch frekvenciách + w 0 a - w 0 .
Ak má náhodná funkcia harmonické zložky, potom má spektrálna hustota diskontinuity v bodoch w= ± w 0 a je charakterizovaná prítomnosťou dvoch delta funkcií umiestnených v týchto bodoch.
biely šum . Biely šum je náhodný proces, ktorý má rovnaké hodnoty spektrálna hustota pri všetkých frekvenciách od -¥ do +¥ : S( w) = Konšt.
Príkladom takéhoto procesu za určitých predpokladov je tepelný šum, kozmické žiarenie atď. Korelačná funkcia takéhoto procesu sa rovná
Touto cestou R(t) je impulzná funkcia umiestnená na začiatku.
Tento proces je čisto náhodný proces, pretože pre akékoľvek t¹0 neexistuje žiadna korelácia medzi nasledujúcimi a predchádzajúcimi hodnotami náhodnej funkcie. Proces s takouto spektrálnou hustotou je fyzikálne nereálny, pretože zodpovedá nekonečne veľkému rozptylu a strednej štvorci náhodnej premennej:
Takýto proces zodpovedá nekonečne veľkému výkonu a zdroju s nekonečne veľkou energiou.
2. Biely šum s obmedzenou šírkou pásma. Takýto proces je charakterizovaný spektrálnou hustotou formy
S(w)=C pri ½ w½<w n
S(š)= 0 at ½w½>wn.
kde (- w n w n) šírka pásma pre spektrálnu hustotu.
Ide o taký náhodný proces, ktorého spektrálna hustota zostáva prakticky konštantná vo frekvenčnom rozsahu, ktorý môže ovplyvniť uvažovaný riadiaci systém, t.j. v rozsahu frekvencií prechádzajúcich systémom. Pohľad z krivky S(w) mimo tohto rozsahu nezáleží, pretože časť krivky zodpovedajúca vyšším frekvenciám neovplyvní činnosť systému. Tento proces zodpovedá korelačnej funkcii
Procesný rozptyl je
5. Typický vstupný signál servosystému. Ako typický signál sa berie signál, ktorého graf je na obr.63. Rýchlosť otáčania hnacieho hriadeľa servosystému zostáva v určitých časových intervaloch konštantná t1, t2,...
Prechod z jednej hodnoty na druhú je okamžitý. Časové intervaly sa riadia Poissonovým zákonom rozdelenia. Očakávaná hodnota
Obr.63. Typický signál
Graf tohto druhu sa získa v prvej aproximácii pri sledovaní radar za pohyblivým cieľom. Hodnoty konštantnej rýchlosti zodpovedajú pohybu cieľa v priamke. Zmena znamienka alebo veľkosti rýchlosti zodpovedá manévru cieľa.
Nechať byť m je priemerný počet zmien rýchlosti za 1 s. Potom T = 1/m bude priemerná hodnota časových intervalov, počas ktorých si uhlová rýchlosť udržiava konštantnú hodnotu. Aplikovaný na radar táto hodnota bude priemerný čas, počas ktorého sa cieľ pohybuje po priamke. Na určenie korelačnej funkcie je potrebné zistiť priemernú hodnotu produktu
Pri zisťovaní tejto hodnoty existujú dva prípady.
1. Body v čase t A t+t patria do rovnakého intervalu. Potom sa priemerný súčin uhlových rýchlostí bude rovnať strednej štvorci uhlovej rýchlosti alebo disperzie:
2. Okamihy v čase t A t+t patria do rôznych intervalov. Potom sa priemerný súčin rýchlostí bude rovnať nule, pretože množstvá W(t) A W(t+t) pre rôzne intervaly možno považovať za nezávislé veličiny:
Korelačná funkcia je:
kde R 1 - pravdepodobnosť nájdenia časových bodov t a t + t v rovnakom intervale a R 2 = 1- R 1 pravdepodobnosť ich nájdenia v rôznych intervaloch.
Odhadnime hodnotu Р 1 . Pravdepodobnosť výskytu zmeny rýchlosti v malom časovom intervale Dt je úmerná tomuto intervalu a rovná sa mDt alebo Dt/T. Pravdepodobnosť žiadnej zmeny rýchlosti v rovnakom intervale sa bude rovnať 1-Dt/T. Pre časový interval t je pravdepodobnosť nezmenenia rýchlosti t.j. pravdepodobnosť nájdenia časových bodov t a t + t v rovnakom intervale konštantná rýchlosť sa bude rovnať súčinu pravdepodobnosti neprítomnosti zmeny rýchlosti na každom elementárnom intervale Dt, keďže tieto udalosti sú nezávislé. Pre konečný interval dostaneme, že počet intervalov sa rovná t/Dt a
Prechádzame na limit, dostávame sa
Prepustite náhodnú funkciu X(t) vykonaná P nezávislých experimentov (pozorovaní) a ako výsledok získaný P implementácie náhodnej funkcie (obr. 15.4.1).
Ryža. 15.4.1
Je potrebné nájsť odhady charakteristík náhodnej funkcie: jej matematického očakávania m x (t), disperzia D x (t) a korelačnej funkcie Kx(t,t).
Ak to chcete urobiť, zvážte sériu sekcií náhodnej funkcie pre časové body 
a zaregistrujte hodnoty akceptované funkciou X(t) v týchto časoch. Do každého okamihu /, t2, ..., t m sa bude zhodovať P náhodné funkčné hodnoty.
Hodnoty /, ja, t m sú zvyčajne umiestnené rovnako rozmiestnené; hodnota intervalu medzi susednými hodnotami sa volí v závislosti od typu experimentálnych kriviek tak, aby sa vybrané body dali použiť na obnovenie hlavného priebehu kriviek. Často sa stáva, že interval medzi susednými hodnotami t sa nastavuje bez ohľadu na úlohy spracovania frekvenciou prevádzky záznamového zariadenia (napríklad tempom videokamery).
Registrované hodnoty X(t) sa zadávajú do tabuľky, ktorej každý riadok zodpovedá určitej implementácii a počet stĺpcov sa rovná počtu referenčných hodnôt argumentu (tabuľka 15.4.1).
Tabuľka 15.4.1
|
x2 (?2) |
x 2 U k) |
X 2 (ti) |
x 2 (Jm) |
|||||
|
%i(tm) |
||||||||
|
X„(t 2) |
X„(tk) |
X" (?,) |
V tabuľke 15.4.1 /-tý riadok obsahuje hodnoty náhodnej funkcie pozorované v /-tej implementácii (/-tý experiment) s hodnotami argumentov, / 2 , ..., t m . Symbol Xj( 4) hodnota zodpovedajúca v súčasnosti i-tej realizácii t k .
Výsledný materiál nie je nič iné ako výsledky P experimenty v systéme T náhodné premenné
a zaobchádza sa presne rovnakým spôsobom (pozri pododdiel 14.3). Najprv sa pomocou vzorca nájdu odhady matematických očakávaní
potom - pre odchýlky
a nakoniec pre korelačné momenty
V mnohých prípadoch je vhodné pri výpočte odhadov pre odchýlky a korelačné momenty použiť vzťah medzi počiatočným a centrálnym momentom a vypočítať ich pomocou vzorcov:
Pri používaní najnovších verzií vzorcov, aby sa predišlo rozdielom medzi blízkymi číslami, sa odporúča vopred posunúť začiatok pozdĺž osi y bližšie k matematickému očakávaniu.
Po výpočte týchto charakteristík je možné použiť množstvo hodnôt m x (t (), m x (t 2), m x (t m), vybudovať závislosť m x (t)(obr. 15.4.1). Závislosť sa buduje podobným spôsobom O X (/). Funkcia dvoch argumentov Kx(t,t") reprodukované svojimi hodnotami v pravouhlej mriežke bodov. V prípade potreby sú všetky tieto funkcie aproximované niektorými analytickými výrazmi.
15.5. Metódy určovania charakteristík transformovaných náhodných funkcií z charakteristík pôvodných náhodných funkcií
V predchádzajúcej podkapitole sme sa zoznámili s metódou priameho určovania charakteristík náhodnej funkcie zo skúsenosti. Táto metóda sa nepoužíva vždy. Po prvé, nastavenie špeciálnych experimentov určených na štúdium náhodných funkcií, ktoré nás zaujímajú, sa môže ukázať ako veľmi komplikované a drahé.
Po druhé, často potrebujeme skúmať náhodné funkcie, ktoré charakterizujú chyby prístrojov, zameriavacích zariadení, riadiacich systémov atď., ktoré ešte neexistujú, ale sa len navrhujú alebo vyvíjajú. V tomto prípade sa štúdium týchto chýb zvyčajne vykonáva práve s cieľom racionálne zvoliť konštrukčné parametre systému tak, aby viedli k minimálnym chybám.
Je zrejmé, že v tomto prípade je priama štúdia náhodných funkcií charakterizujúcich činnosť systému neúčelná a v niektorých prípadoch vôbec nemožná. V takýchto prípadoch sa ako hlavné pracovné metódy nepoužívajú priame, ale nepriame metódy štúdia náhodných funkcií. Podobné nepriame metódy sme už použili pri štúdiu náhodných veličín: množstvo kapitol nášho kurzu -10,11,12 - bolo venovaných hľadaniu distribučných zákonov a numerických charakteristík náhodných veličín nepriamo, podľa distribučných zákonov a numerických charakteristík iné náhodné premenné s nimi spojené. Pomocou úplne podobných metód je možné určovať charakteristiky náhodných funkcií nepriamo, podľa charakteristík iných náhodných funkcií s nimi spojených. Vývoj takýchto nepriamych metód je hlavným obsahom aplikovanej teórie náhodných funkcií.
Problém nepriameho vyšetrovania náhodných funkcií v praxi zvyčajne vzniká v nasledovnej podobe.
Ryža. 15.5.1
Existuje nejaký dynamický systém ALE; pod „dynamickým systémom“ rozumieme akékoľvek zariadenie, zameriavač, počítací mechanizmus, automatický riadiaci systém atď. Tento systém môže byť mechanický, elektrický alebo môže obsahovať akékoľvek iné prvky. Činnosť systému si predstavíme nasledovne: na vstupe systému sú priebežne prijímané nejaké vstupné dáta; systém ich spracuje a priebežne vytvára nejaký výsledok. Dohodnime sa, že dáta prichádzajúce na vstup systému budeme nazývať „vplyv“ a výstupným výsledkom je „reakcia“ systému na tento vplyv. Ako vplyvy sa môžu prejaviť zmenené napätia, uhlové a lineárne súradnice niektorých objektov, signály alebo príkazy zadané riadiacemu systému atď. Rovnakým spôsobom môže byť reakcia systému vyvinutá v jednej alebo druhej forme: vo forme napätí, uhlových posunov atď. Napríklad pre letecký zameriavač je dopad uhlovou súradnicou pohybujúceho sa cieľa, ktorá sa nepretržite meria v procese sledovania, reakciou je uhol predstihu. Zvážte najjednoduchší prípad: keď systémový vstup ALE je aplikovaná iba jedna akcia, ktorá je funkciou času x(/); reakcia systému na tento vplyv je ďalšou funkciou času pri(/). Schéma fungovania systému ALE konvenčne znázornené na obr. 15.5.1. Povieme, že systém ALE vykoná nejakú transformáciu na vstupnej akcii, v dôsledku ktorej funkcia x(f) prevedené na inú funkciu pri(/). Túto transformáciu zapíšeme symbolicky ako:
transformácia ALE môže byť akéhokoľvek druhu a akejkoľvek zložitosti. V najjednoduchších prípadoch ide napríklad o násobenie daným faktorom (zosilňovače, multiplikačné mechanizmy), diferenciáciu alebo integráciu (diferenciačné alebo integračné zariadenia). V praxi však systémy, ktoré čistej forme s takými jednoduchými premenami sa takmer nikdy nestretneme; činnosť systému je spravidla popísaná diferenciálnymi rovnicami a transformáciou ALE príde na rozhodnutie Diferenciálnej rovnice prepojenie akcie x (/) s reakciou y(ja).
Pri štúdiu dynamického systému sa v prvom rade rieši hlavný problém: pre danú akciu x(t) určiť odozvu systému y(t). Na úplné preštudovanie systému a vyhodnotenie jeho technických kvalít však takýto elementárny prístup nestačí. V skutočnosti akcia x(/) nikdy nedorazí na vstup systému vo svojej čistej forme; vždy je skreslený nejakými náhodnými chybami (poruchy), v dôsledku ktorých v skutočnosti systém ovplyvňuje nešpecifikovaná funkcia x(t), a náhodná funkcia X(t) Podľa toho systém vyvíja ako reakciu náhodnú funkciu Y(t), tiež odlišné od teoretickej reakcie y (/) (obr. 15.5.2).
Ryža. 15.5.2
Prirodzene vyvstáva otázka: aké veľké budú náhodné skreslenia odozvy systému za prítomnosti náhodných porúch na jej vstupe? A ďalej: ako treba voliť parametre systému, aby tieto skreslenia boli minimálne?
Riešenie takýchto problémov nie je možné získať metódami klasickej teórie pravdepodobnosti; jediné vhodné matematický aparát na tento účel slúži aparát teórie náhodných funkcií.
Z dvoch vyššie položených úloh je, prirodzene, jednoduchšia prvá – priama – úloha. Sformulujme to nasledovne.
Do vstupu dynamického systému ALE prichádza náhodná funkcia X(1 ); systém ho podrobí známej transformácii, v dôsledku ktorej sa na výstupe systému objaví náhodná funkcia:
Charakteristiky náhodnej funkcie sú známe X(t): matematické očakávanie a korelačná funkcia. Je potrebné nájsť podobné charakteristiky náhodnej funkcie Y(t). Stručne povedané, podľa daných charakteristík náhodnej funkcie na vstupe dynamického systému nájdite charakteristiky náhodnej funkcie na výstupe.
Nastolený problém možno vyriešiť presne v jednom konkrétnom, ale pre prax veľmi dôležitom prípade: pri transformácii ALE patrí do triedy tzv lineárne transformácie a podľa toho aj systém ALE patrí do triedy lineárne systémy.
Vo všetkých predchádzajúcich častiach tejto kapitoly sa predpokladalo, že riadiace a rušivé činnosti sú určitými funkciami času. Avšak pre automatické riadiace systémy pracujúce v reálnych podmienkach charakteristické, že tieto účinky sú náhodné a v podstate nepredvídateľné.
Uvažujme napríklad o prevádzke sledovacieho systému, ktorý riadi radarovú anténu. Pre tento systém je riadiacim pôsobením poloha cieľa a za rušivé vplyvy možno považovať zaťaženie antény vetrom, odchýlky lúča od smeru k cieľu v dôsledku lomu v atmosfére, vlastný šum v zosilňovacej dráhe. Všetky tieto procesy sú spôsobené mnohými vzájomne sa ovplyvňujúcimi príčinami a sú také zložité, že si ich nikto nedokáže predstaviť. danú funkciučas. To isté možno povedať o ovládacej akcii. V praxi ho nemožno považovať za typický, napríklad stupňovitý, lineárne rastúci, sínusový alebo akýkoľvek pravidelný signál. V skutočnosti cieľ manévruje, takže jeho polohu v akomkoľvek nasledujúcom okamihu nemožno presne predpovedať. Toto manévrovanie prekrýva neustále blúdenie odrazového bodu pozdĺž tela cieľa.
Riadiace signály a poruchy v reálnych podmienkach sú teda náhodné procesy. náhodný alebo stochastický proces
volajte takú funkciu času, ktorá je pre každú hodnotu argumentu náhodnou premennou. Ak sa namiesto času použije iná nezávislá premenná, potom sa používa pojem náhodná funkcia. Pri opakovanej reprodukcii podmienok pre priebeh náhodného procesu tento náhodný proces nadobúda zakaždým iné špecifické hodnoty. Tieto hodnoty ako funkcie času sa nazývajú realizácie náhodného procesu. Typický pohľad na niekoľko implementácií stochastického procesu chyby uhlovej súradnice cieľa sledovaného radarovou stanicou je na obr. XIII. štrnásť.
Matematický popis náhodného procesu. Pre pevnú hodnotu argumentu je náhodný proces náhodná premenná, Celý popisčo dáva distribučnú funkciu
t.j. pravdepodobnosť, že v tento moment náhodná premenná bude mať hodnotu menšiu ako Ako je známe z teórie pravdepodobnosti, namiesto distribučnej funkcie je často vhodnejšie použiť hustotu pravdepodobnosti, ktorá je jej deriváciou (vo zovšeobecnenom zmysle):
Ak fixujeme dva body v čase, potom hodnoty náhodného procesu tvoria systém dvoch náhodných premenných alebo dvojrozmerný náhodný vektor. Aby sme to úplne opísali, musíme poznať funkciu dvojrozmerného rozdelenia
Ryža. XIII.14. Proces stochastickej chyby merania uhlových súradníc cieľa sledovaného radarovou stanicou
alebo dvojrozmerná hustota
ktoré závisia od toho, ako od parametrov.
Pre viac Detailný popis Náhodný proces v ľubovoľných časoch, podobne sú zavedené distribučné a hustotné funkcie vyšších rádov. Úplný štatistický popis náhodnej funkcie (procesu) je teda daný konečnou postupnosťou jej distribučných funkcií:
alebo sekvenciu ich derivátov
Každý z členov týchto postupností má obvyklé vlastnosti distribučných funkcií, respektíve hustôt. Okrem toho každý ďalší člen postupnosti určuje všetky predchádzajúce. Napríklad, ak dáte
máme podobné vzorce pre akékoľvek iné okamihy času.
Táto podmienka sa nazýva podmienka konzistencie pre rodinu distribučných funkcií. Platí aj podmienka symetrie:
Vo všeobecnosti hustoty vyššieho rádu alebo distribučné funkcie nie sú určené hustotami alebo funkciami nižšieho rádu.
Často je však užitočné zvážiť takzvaný absolútne náhodný proces, ktorého hodnoty sú v súhrne pre ľubovoľné nezávislé. Pre takýto proces sa hustota distribúcie akéhokoľvek poriadku určuje prostredníctvom jednorozmerného:
Takýto proces je matematickým zjednodušením, pretože pre dostatočne blízke hodnoty sú hodnoty akéhokoľvek skutočného procesu blízke, a teda závislé. Ďalším extrémnym prípadom je degenerovaný alebo singulárny proces definovaný jednou alebo viacerými náhodnými premennými; napríklad,
kde je náhodná premenná; sú známe konštanty. Takýto proces sa stane plne známym, ak ho možno kedykoľvek zmerať. Vo všeobecnejšom prípade je singulárny náhodný proces charakterizovaný súborom náhodných premenných, napr.
kde sú obyčajné (deterministické funkcie času).
Ryža. XIII.15. Možné implementácie dvoch náhodných funkcií: a - s vysokofrekvenčnými komponentmi; b - s nízkofrekvenčnými komponentmi
Momentové funkcie. V praktických problémoch viac ako jednoduché vlastnosti náhodné procesy- momentové funkcie. Okamih prvého rádu alebo matematické očakávanie procesu sa nazýva výraz
Ak sa táto funkcia uvažuje v závislosti od toho, všetky realizácie náhodného procesu budú zoskupené okolo priemernej hodnoty funkcie (obr. XIII.15).
Matematické očakávania vyšších stupňov sa nazývajú počiatočné momenty poriadku
Náhodná funkcia má nulový priemer a nazýva sa centrovaná. Ústredným momentom poradia procesu je matematické očakávanie stupňa centrovaného procesu
Miera rozptylu hodnôt náhodného procesu vo vzťahu k jeho matematickému očakávaniu je určená momentom druhého rádu, ktorý sa často nazýva disperzia:
Charakteristiky náhodného procesu založeného na prvej hustote však neodrážajú zmeny v implementáciách v priebehu času. Napríklad dva procesy s rovnakou prvou hustotou (obr. XIII. 15, a a b) sa líšia v rýchlosti zmeny realizácií, tj v miere vzťahu medzi dvoma hodnotami v jednej realizácii v rôznych bodoch čas. Opísať dobu vnútorná štruktúra náhodné procesy využívajú korelačnú funkciu
Táto funkcia sa tiež často nazýva autokorelácia alebo kovariancia a hrá hlavnú úlohu v teórii náhodných procesov.
Je ľahké ukázať, že korelačná funkcia je symetrická vzhľadom na jej argumenty a keď sa jej hodnota rovná rozptylu náhodného procesu. Naozaj,
Na charakterizáciu presnosti automatických riadiacich systémov je vhodné použiť necentrovanú korelačnú funkciu:
nazývaný aj druhý počiatočný moment procesu.
Spojenie medzi nimi je vytvorené nasledujúcimi transformáciami:
Keď bude priemerná štvorec procesu
V automatických riadiacich systémoch sa často vyskytuje niekoľko náhodných rušivých alebo riadiacich signálov, nezávislých alebo vzájomne prepojených. Mierou vzťahu medzi dvoma náhodnými procesmi je funkcia vzájomnej korelácie
kde je spoločná hustota pravdepodobnosti pre nezávislé procesy
Funkcia krížovej korelácie spĺňa rovnosť
Teória náhodných procesov, v ktorých sa využívajú iba momenty prvého a druhého rádu, sa nazýva korelačná teória. Vytvorili ho zásadné diela A. N. Kolmogorova, D. Ya. Khinchina, N. Viiera. Veľký prínos k jeho rozvoju mali sovietski vedci V. S. Pugačev, V. V. Solodovnikov a ďalší.
Stacionárne náhodné procesy. Pri uvažovaní rôznych náhodných procesov sa vyčleňuje skupina procesov, ktorých štatistické vlastnosti sa s posunom v čase nemenia. Takéto procesy sa nazývajú stacionárne. Vzhľadom na súbor implementácií náhodného procesu znázorneného na obr. XIII. 14, možno predpokladať, že v tomto prípade môže byť pôvod časovej referencie zvolený ľubovoľne, t.j. ide o stacionárny proces. Naopak, na obr. XIII. 15, samozrejme, máme príklady nestacionárnych procesov.
Štúdium systémov, v ktorých sú náhodné procesy stacionárne, je oveľa jednoduchšie ako štúdium systémov s nestacionárnymi procesmi. Procesy v mnohých riadiacich systémoch však možno považovať približne za stacionárne. To má veľký praktický význam v teórii stacionárnych náhodných procesov.
Podľa definície stacionárneho náhodného procesu musí byť jeho matematické očakávanie konštantné, keď je argument posunutý o ľubovoľný interval T:
a korelačná funkcia vyhovuje vzťahu
Za predpokladu, že zistíme, že korelačná funkcia stacionárneho procesu závisí iba od rozdielu medzi hodnotami
Ergodické vlastnosti náhodných procesov. Ak máme súbor, alebo, ako sa hovorí, súbor realizácií, tak matematické očakávanie a korelačná funkcia sa získajú spriemerovaním nad súborom realizácií náhodného procesu, teda „naprieč“ procesom v jednom resp. , respektíve dve jeho sekcie. Je tiež zaujímavé zvážiť výsledky spriemerovania implementácií stacionárneho procesu v priebehu času pozdĺž osi na intervale, definujúc túto operáciu prirodzeným spôsobom:
Táto hodnota je odlišná pre rôzne implementácie náhodného procesu a sama o sebe je náhodná. Dá sa ukázať, že jeho matematické očakávanie pre stacionárny proces je . Zároveň rozptyl tohto množstva, ako ukazujú priame výpočty,
Ryža. XIII.16. Štrukturálny diagram korelátora
Podmienky, aby bol proces ergodický v , formulované V. S. Pugačevom, obsahujú vyššie momenty náhodného procesu a nie sú tu uvedené.
Vlastnosti ergodicity stochastických procesov umožňujú nahradiť priemerovanie nad množinou realizácií, čo je prakticky zriedka realizovateľné, spriemerovaním v čase, prevzaté z jednej realizácie, keď je T veľké.
Nie všetko stacionárne procesy majú ergodické vlastnosti. Napríklad proces, ktorého všetky realizácie sú náhodné premenné, ktoré sa nemenia v čase, možno ľahko považovať za neergodický. Z toho teda vyplýva fyzický význam ergodicita spočíva v „dobrom zmiešaní“ implementácií náhodného procesu. Keďže k tomu dochádza takmer vo všetkých aplikáciách, v nasledujúcom budeme predpokladať, že uvažované procesy sú ergotické.
Pre takéto procesy je možné experimentálne určiť priemernú hodnotu a korelačnú funkciu procesu pomocou špeciálnych prístrojov - korelátorov. Princíp činnosti korelátorov je zrejmý z obr. XIII.16.
Privedením jediného signálu na vstup korelátora na jeho výstupe s dostatočne veľkým integračným časom T dostaneme priemernú hodnotu procesu x, ktorá sa približne zhoduje s jeho matematickým očakávaním. Ak teda v dôsledku bude mať druhý počiatočný moment, z ktorého je ľahké určiť korelačnú funkciu.
Laboratórium č. 4
. Náhodná hodnota(SV) 
môže nadobudnúť jedinú hodnotu 
z nejakej sady 
; táto hodnota sa nazýva realizácia daného RV. môže byť napríklad množina reálnych čísel 
alebo jej podmnožinu. Ak je množina konečná alebo spočítateľná (diskrétny CV), môžeme hovoriť o pravdepodobnosti 
implementácia udalosti, ktorá spočíva v prijatí hodnoty náhodnou premennou, t.j. na množine hodnôt diskrétnej náhodnej premennej, rozdelenia pravdepodobnosti. Ak je množina nespočítateľná (napríklad celá skutočná čiara), potom poskytne úplný popis náhodnej premennej distribučná funkcia, definovaný výrazom 
,
kde 
. Ak je distribučná funkcia spojitá a diferencovateľná, potom ju možno definovať rozdelenie hustoty pravdepodobnosti(PRD), skrátene nazývaná aj hustota pravdepodobnosti
(a niekedy len hustota):
, kde 
.
Je zrejmé, že distribučná funkcia je nezáporná neklesajúca funkcia s vlastnosťami 
, 
. v dôsledku toho
PDF je nezáporná funkcia, ktorá vyhovuje normalizačný stav 
.
Niekedy obmedzené číselné charakteristiky náhodne, zvyčajne momenty. Základné moment 
-tý poriadok (prvý počiatočný moment)
,
kde je vodorovná čiara a 
sú symbolický zápis integrálneho operátora priemerovanie súboru. Prvý štartovací moment 
, sa volá matematické očakávanie alebo distribučné centrum.
Centrálne moment objednávky (stredný moment)
Najčastejším z centrálnych momentov je druhý centrálny moment, príp disperzia
Namiesto rozptylu sa často operuje smerodajná odchýlka(RMS) náhodná premenná 
.
^ Stredný štvorec alebo druhý počiatočný moment 
, súvisí s rozptylom a matematickým očakávaním:
Koeficient sa používa na opis formy PDF asymetrie 
a koeficient špičatosť 
(niekedy je špičatosť charakterizovaná hodnotou 
).
Často sa používa normálne alebo Gaussovo (Gaussovo) rozdelenie s PDF.
,
kde 
A 
– distribučné parametre (matematické očakávanie a smerodajná odchýlka). Pre Gaussovo rozdelenie 
, 
.
Dve náhodné premenné a 
charakterizovaný kĺb hustota distribúcie 
. Číselné charakteristiky hustoty spoja sú počiatočné a centrálne zmiešané momenty
, 
,
kde a 
sú ľubovoľné kladné celé čísla; 
A 
– matematické očakávania CB X A r.
Najčastejšie používané zmiešané momenty druhého rádu sú počiatočné ( korelačné moment):
a centrálny ( kovariancia moment, príp kovariancia)
.
Pre dvojicu Gaussových náhodných premenných má dvojrozmerný spoločný PDF tvar
kde 
, 
– štandardné odchýlky; 
– matematické očakávania; 
– korelačný koeficient je normalizovaný kovariančný moment
.
Pri nulovom korelačnom koeficiente je zrejmé, že
,
t.j. nekorelované Gaussove náhodné premenné nezávislý.
^
náhodné procesy
Náhodný proces je postupnosť náhodných premenných zoradených vzostupne podľa nejakej premennej (najčastejšie času). Je možné prejsť od popisu náhodnej premennej k popisu náhodného procesu zvážením spoločných rozdelení dvoch, troch alebo viacerých hodnôt procesu v rôznych časových bodoch. Najmä s ohľadom na proces v čase oddielov(at 
), získame -rozmernú funkciu spoločného rozdelenia a hustotu rozdelenia pravdepodobnosti náhodných premenných 
… 
, definovaný výrazom
.
Náhodný proces sa považuje za úplne istý, ak pre nejaké jeden môže napísať jeho spoločné PDF pre ľubovoľný výber časových bodov 
.
Pri popise náhodného procesu sa často môžeme obmedziť na množinu jeho zmiešaných počiatočných momentov (ak existujú, t. j. zodpovedajúce integrály sa zbiehajú)
a zmiešané ústredné momenty
pre celé číslo nezáporné 
a vo všeobecnosti.
Vo všeobecnom prípade momenty spoločného PDF závisia od umiestnenia úsekov na časovej osi a sú tzv. momentové funkcie. Najčastejšie používaný druhý zmiešaný centrálny moment
,
nazývaná autokorelačná funkcia alebo autokorelačná funkcia (ACF). Pripomeňme, že tu a nižšie nie je explicitne uvedená závislosť od času, konkrétne funkcie času sú 
, 
A 
.
Dva náhodné procesy možno posudzovať spoločne 
A 
; takáto úvaha predpokladá ich popis vo forme spoločného viacrozmerného PDF, ako aj vo forme súboru všetkých momentov, vrátane zmiešaných. Najčastejšie sa v tomto prípade používa druhý zmiešaný centrálny moment.
,
nazývaná krížová korelačná funkcia 
.
Spomedzi všetkých náhodných procesov sa vyčleňujú SP, pre ktoré sa spoločné rozmerové PDF nemení pri súčasnej zmene (posune) všetkých časových úsekov o rovnakú hodnotu. Takéto procesy sa nazývajú stacionárne v užšom zmysle alebo prísne stacionárne.
Častejšie sa uvažuje o širšej triede náhodných procesov s oslabenými vlastnosťami stacionárnosti. Spoločný podnik je tzv stacionárne v širšom zmysle, ak sa súčasným šmykom úsekov nemení len jeho momenty nie vyšší ako druhý objednať. V praxi to znamená, že SP je v širšom zmysle stacionárny, ak má konštanty priemerný(matematické očakávanie) a disperzia 
, zatiaľ čo ACF závisí iba od rozdielu medzi časovými okamihmi, ale nie od ich pozícií na časovej osi:
1) 
,
2) , 
.
Všimni si 
, čo znamená stálosť rozptylu.
Je ľahké overiť, že proces, ktorý je stacionárny v užšom zmysle, je tiež stacionárny v širšom zmysle. Opačné tvrdenie vo všeobecnosti nie je pravdivé, hoci existujú procesy, pre ktoré stacionárnosť v širšom zmysle znamená stacionárnosť v užšom zmysle.
Spoločný rozmerový súbor PDF s údajmi 
Gaussov proces v časových úsekoch má tvar
, (4.1)
kde 
je determinant štvorcovej matice zloženej z párových korelačných koeficientov odčítaní; 
– algebraický doplnok prvku 
túto matricu.
Spoločné Gaussovské PDF pre ľubovoľné je úplne určené matematickými očakávaniami, rozptylmi a korelačnými koeficientmi odčítaní, t. j. momentovými funkciami nie vyšších ako druhého rádu. Ak je Gaussov proces v širšom zmysle stacionárny, potom sú všetky matematické očakávania rovnaké, všetky odchýlky (a teda aj RMS) sú si navzájom rovné a korelačné koeficienty sú určené len vzdialenosťou časových úsekov od seba. Potom sa samozrejme PDF (4.1) nezmení, ak sa všetky časové úseky posunú doľava alebo doprava o rovnakú hodnotu. Z toho teda vyplýva Gaussov proces, ktorý je stacionárny v širšom zmysle, je tiež stacionárny v užšom zmysle(prísne stacionárne).
Medzi striktne stacionárnymi náhodnými procesmi sa často rozlišuje užšia trieda ergodický náhodné procesy. Pre ergodické procesy sa momenty zistené spriemerovaním celého súboru rovnajú zodpovedajúcim momentom zisteným spriemerovaním v priebehu času:
,
(tu 
je symbolický zápis operátora časového priemeru).
Najmä pre ergodický proces sú matematické očakávania, rozptyl a ACF, v tomto poradí,
,
,
Ergodicita je veľmi žiaduca, pretože umožňuje prakticky merať (odhadovať) numerické charakteristiky náhodného procesu. Faktom je, že pozorovateľ má zvyčajne k dispozícii iba jednu (aj keď možno dosť dlhú) implementáciu náhodného procesu. Ergodicita v podstate znamená, že táto jediná realizácia je plnoprávnym zástupcom celého súboru.
Meranie charakteristík ergodického procesu je možné vykonať pomocou jednoduchých meracích zariadení; takže ak je procesom napätie, ktoré závisí od času, potom voltmeter magnetoelektrický systému meria jeho matematické očakávanie (konštantná zložka), voltmeter elektromagnetického alebo termoelektrického systému, zapojený cez separačnú kapacitu (na vylúčenie konštantnej zložky), meria jeho efektívnu hodnotu (RMS). Zariadenie, ktorého bloková schéma je znázornená na obr. 4.1, umožňuje merať hodnoty funkcie autokorelácie pre rôzne 
. Dolnopriepustný filter tu zohráva úlohu integrátora, kondenzátor vykonáva centrovanie procesu, pretože neprepúšťa jednosmernú zložku. Toto zariadenie je tzv korelometer.
Ryža. 4.1
Podmienkou sú dostatočné podmienky pre ergodicitu stacionárneho náhodného procesu 
, ako aj menej silné Slutsky stav 
.
^
Diskrétne algoritmy na odhadovanie parametrov SP
Vyššie uvedené výrazy na nájdenie odhadov parametrov SP a korelačnej funkcie platia pre spojitý čas. V tomto laboratórne práce(ako v mnohých moderných technických systémoch a zariadeniach) sú analógové signály generované a spracovávané digitálnymi zariadeniami, čo vedie k potrebe určitej úpravy zodpovedajúcich výrazov. Najmä na určenie odhadu matematického očakávania sa používa výraz vzorový priemer
,
kde 
je postupnosť čítaní procesu ( vzorka objem 
). Odhad rozptylu je vzorový rozptyl, definovaný výrazom
.
Odhad autokorelačnej funkcie, inak tzv korelogram, sa nachádza ako
.
Odhad hustoty rozdelenia pravdepodobnosti okamžitej hodnoty SSP je stĺpcový graf. Na jeho nájdenie je rozsah možných hodnôt SP rozdelený na 
intervaly rovnakej šírky, potom pre každý 
interval, počet 
vzorové vzorky v ňom zahrnuté. Histogram je množina čísel 
, zvyčajne zobrazený ako mriežkový diagram. Počet intervalov pre danú veľkosť vzorky sa volí na základe kompromisu medzi presnosťou odhadu a rozlíšením (stupňom detailu) histogramu.
^
Korelačno-spektrálna teória náhodných procesov
Ak nás zaujímajú iba momentové charakteristiky prvého a druhého rádu, ktoré určujú vlastnosť stacionárnosti v širšom zmysle, potom sa popis stacionárneho SP vykonáva na úrovni autokorelačnej funkcie. 
a výkonová spektrálna hustota 
, spojené dvojicou Fourierových transformácií ( Wiener-Khinchinova veta):
, 
.
Samozrejme, SPM nezáporné funkciu. Ak má proces nenulové matematické očakávanie , potom sa sčítanec pridá k PSD 
.
Pre skutočný proces sú ACF a SPM dokonca skutočnými funkciami.
Niekedy sa môžete obmedziť na číselné charakteristiky – korelačný interval a efektívnu šírku spektra. ^ Korelačný interval [0028] Výrazy "sú definované" sú definované rôznymi spôsobmi, známe sú najmä nasledujúce definície
