Riešenie rôznych geometrických, fyzikálnych a inžinierskych problémov často vedie k rovniciam, ktoré spájajú nezávislé premenné charakterizujúce konkrétny problém s nejakou funkciou týchto premenných a deriváciami tejto funkcie rôznych rádov.
Ako príklad môžeme uvažovať o najjednoduchšom prípade rovnomerne zrýchleného pohybu hmotného bodu.
Je známe, že posunutie hmotného bodu počas rovnomerne zrýchleného pohybu je funkciou času a je vyjadrené vzorcom:
Na druhej strane zrýchlenie a je časová derivácia t z rýchlosti V, čo je tiež derivát vzhľadom na čas t z pohybu S. Tie.
Potom dostaneme: 
- rovnica dáva do súvislosti funkciu f(t) s nezávisle premennou t a deriváciou druhého rádu funkcie f(t).
Definícia. Diferenciálnej rovnice nazývaná rovnica týkajúca sa nezávislých premenných, ich funkcií a derivácií (alebo diferenciálov) tejto funkcie.
Definícia. Ak má diferenciálna rovnica jednu nezávislú premennú, potom sa nazýva obyčajná diferenciálna rovnica , ak existujú dve alebo viac nezávislých premenných, potom sa takáto diferenciálna rovnica nazýva parciálna diferenciálna rovnica.
Definícia. Najvyšší rád derivácií v rovnici je tzv v poriadku Diferenciálnej rovnice .
Príklad.
- obyčajná diferenciálna rovnica 1. rádu. V všeobecný pohľad je zaznamenaný 
.
- obyčajná diferenciálna rovnica 2. rádu. Vo všeobecnosti sa píše 
- diferenciálna rovnica v parciálnych deriváciách prvého rádu.
Definícia. Všeobecné riešenie diferenciálna rovnica je taká diferencovateľná funkcia y = (x, C), ktorá po dosadení do pôvodnej rovnice namiesto neznámej funkcie zmení rovnicu na identitu
1) Pretože konštanta C je ľubovoľná hodnota, potom vo všeobecnosti diferenciálna rovnica má nekonečná množina riešenia.
2) Za akýchkoľvek počiatočných podmienok x \u003d x 0, y (x 0) \u003d y 0 existuje taká hodnota C \u003d C 0, pre ktorú je riešením diferenciálnej rovnice funkcia y \u003d (x, C 0).
Definícia. Zavolá sa riešenie v tvare y \u003d (x, C 0). súkromné rozhodnutie Diferenciálnej rovnice.
Definícia. Cauchy problém (Augustin Louis Cauchy (1789-1857) - francúzsky matematik) sa nazýva nájdenie akéhokoľvek konkrétneho riešenia diferenciálnej rovnice tvaru y \u003d (x, C 0), ktorá spĺňa počiatočné podmienky y (x 0) \u003d y 0 .
Cauchyho veta. (veta o existencii a jednoznačnosti riešenia diferenciálnej rovnice 1. rádu)
Ak je funkciaf(X,
r) je v určitej doméne spojitýDv lietadleXOYa má v tejto oblasti spojitú parciálnu deriváciu 
, potom bez ohľadu na bod (x 0
, r 0
) v oblastiD, existuje len jedno riešenie 
rovnice 
, definovaný v nejakom intervale obsahujúcom bod x 0
, prijatie v x = x 0
význam
(X 0
) = y 0
, t.j. existuje jedinečné riešenie diferenciálnej rovnice.
Definícia.
integrálne
diferenciálna rovnica je každá rovnica, ktorá neobsahuje derivácie, pre ktoré je táto diferenciálna rovnica dôsledkom. 
Príklad. Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice 
.
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice sa hľadá integráciou ľavej a pravej strany rovnice, ktorá je predbežne transformovaná takto:
Teraz integrujme: 
je všeobecné riešenie pôvodnej diferenciálnej rovnice.
Predpokladajme, že sú dané nejaké počiatočné podmienky: x 0 = 1; y 0 = 2, potom máme
Dosadením získanej hodnoty konštanty do všeobecného riešenia získame partikulárne riešenie pre dané počiatočné podmienky (riešenie Cauchyho úlohy).
Definícia. integrálna krivka nazývame graf y = (x) riešenia diferenciálnej rovnice v rovine XOY.
Definícia. špeciálne riešenie diferenciálnej rovnice je také riešenie, ktorého vo všetkých bodoch sa nazýva Cauchyova podmienka jednoznačnosti (porov. Cauchyho veta.) nie je spokojný, t.j. v okolí nejakého bodu (x, y) sú aspoň dve integrálne krivky.
Singulárne riešenia nezávisia od konštanty C.
Špeciálne riešenia nemožno získať zo všeobecného riešenia pre žiadne hodnoty konštanty C. Ak zostrojíme rodinu integrálnych kriviek pre diferenciálnu rovnicu, potom špeciálne riešenie bude reprezentované čiarou, ktorá sa dotýka aspoň jednej integrálnej krivky v každý jeho bod.
Všimnite si, že nie každá diferenciálna rovnica má singulárne riešenia.
Príklad. Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice: 
Nájdite špeciálne riešenie, ak existuje.
Táto diferenciálna rovnica má tiež špeciálne riešenie pri= 0. Toto riešenie nie je možné získať zo všeobecného, avšak pri dosadzovaní do pôvodnej rovnice získame identitu. názor, že riešenie r = 0 možno získať z spoločné riešenie pri S 1 = 0 nesprávne, pretože C 1 = e C 0.
Diferenciálne rovnice (DE). Tieto dve slová obyčajného laika zvyčajne vydesia. Zdá sa, že diferenciálne rovnice sú pre mnohých študentov niečo poburujúce a ťažko zvládnuteľné. Uuuuuu... diferenciálne rovnice, ako toto všetko prežijem?!
Takýto názor a takýto postoj je zásadne nesprávny, pretože v skutočnosti DIFERENCIÁLNE ROVNICE SÚ JEDNODUCHÉ A DOKONCA ZÁBAVNÉ. Čo potrebujete vedieť a vedieť sa naučiť riešiť diferenciálne rovnice? Ak chcete úspešne študovať rozdiely, musíte byť dobrí v integrácii a rozlišovaní. Čím lepšie sa témy študujú Derivácia funkcie jednej premennej a Neurčitý integrál, tým ľahšie bude pochopenie diferenciálnych rovníc. Poviem viac, ak máte viac-menej slušné integračné schopnosti, tak téma je prakticky zvládnutá! Čím viac integrálov rôznych typov dokážete vyriešiť, tým lepšie. prečo? Musíte sa veľa integrovať. A rozlišovať. Tiež vysoko odporucany naučiť sa nájsť.
V 95% prípadov v kontrolná práca existujú 3 typy diferenciálnych rovníc prvého rádu: oddeliteľné rovnice, ktorým sa budeme venovať v tejto lekcii; homogénne rovnice a lineárne nehomogénne rovnice. Pre začiatočníkov, ktorí študujú difúzory, vám odporúčam prečítať si lekcie v tomto poradí a po preštudovaní prvých dvoch článkov nebude na škodu upevniť si svoje zručnosti na ďalšom workshope - rovnice, ktoré sa redukujú na homogénne.
Existujú ešte zriedkavejšie typy diferenciálnych rovníc: rovnice v totálnych diferenciáloch, Bernoulliho rovnice a niektoré ďalšie. Najdôležitejšie z týchto dvoch najnovšie druhy sú rovnice v totálnych diferenciáloch, keďže okrem tohto DE uvažujem nový materiál – čiastočná integrácia.
Ak vám zostáva len deň alebo dva, potom pre ultra rýchlu prípravu existuje bleskový kurz vo formáte pdf.
Takže orientačné body sú nastavené - poďme na to:
Najprv si pripomeňme obvyklé algebraické rovnice. Obsahujú premenné a čísla. Najjednoduchší príklad: . Čo znamená vyriešiť obyčajnú rovnicu? To znamená nájsť súbor čísel ktoré spĺňajú túto rovnicu. Je ľahké vidieť, že detská rovnica má jeden koreň: . Pre zábavu si urobme kontrolu a nahraďte nájdený koreň do našej rovnice:
- získa sa správna rovnosť, čo znamená, že riešenie je nájdené správne.
Difúzory sú usporiadané takmer rovnakým spôsobom!
Diferenciálnej rovnice prvá objednávka všeobecne obsahuje:
1) nezávislá premenná;
2) závislá premenná (funkcia);
3) prvá derivácia funkcie: .
V niektorých rovniciach 1. rádu nemusí byť "x" alebo (a) "y", ale to nie je podstatné - dôležité takže v DU bol prvá derivácia a nemal deriváty vyšších rádov - atď.
Čo znamená ? Riešiť diferenciálnu rovnicu znamená nájsť súbor všetkých funkcií ktoré spĺňajú túto rovnicu. Takáto množina funkcií má často tvar ( je ľubovoľná konštanta), ktorá sa nazýva všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.
Príklad 1
Riešiť diferenciálnu rovnicu
Plná munícia. Kde začať Riešenie?
Najprv musíte prepísať derivát do trochu inej podoby. Pripomíname si ťažkopádny zápis, ktorý mnohí z vás pravdepodobne považovali za smiešny a nepotrebný. Je to to, čo vládne v difúzoroch!
V druhom kroku sa pozrime, či je to možné rozdelené premenné?Čo to znamená oddeliť premenné? Zhruba povedané, na ľavej strane musíme odísť len "hry", a napravo organizovať iba x. Separácia premenných sa vykonáva pomocou „školských“ manipulácií: zátvorky, prenos pojmov z časti do časti so zmenou znamienka, prenos faktorov z časti do časti podľa pravidla proporcie atď.
Diferenciály a sú plnými multiplikátormi a aktívnymi účastníkmi nepriateľských akcií. V tomto príklade sú premenné ľahko oddelené preklápacími faktormi podľa pravidla proporcie:
Premenné sú oddelené. Na ľavej strane - iba "Hra", na pravej strane - iba "X".
Ďalšia fáza - integrácia diferenciálnych rovníc. Je to jednoduché, integrály zavesíme na obe časti:
Samozrejme, treba brať integrály. V tomto prípade sú tabuľkové:
Ako si pamätáme, konštanta je priradená akejkoľvek primitívnej derivácii. Sú tu dva integrály, ale konštantu stačí napísať raz (pretože konštanta + konštanta sa stále rovná inej konštante). Vo väčšine prípadov je umiestnený na pravej strane.
Presne povedané, po zobratí integrálov sa diferenciálna rovnica považuje za vyriešenú. Jediná vec je, že naše „y“ nie je vyjadrené pomocou „x“, to znamená, že je prezentované riešenie v implicitnom formulár. Implicitné riešenie diferenciálnej rovnice sa nazýva všeobecný integrál diferenciálnej rovnice. To znamená, že ide o všeobecný integrál.
Odpoveď v tejto forme je celkom prijateľná, existuje však lepšia možnosť? Skúsme dostať spoločné rozhodnutie.
Rado sa stalo, pamätajte na prvú techniku, je veľmi bežný a často používaný v praktických úlohách: ak sa po integrácii objaví logaritmus na pravej strane, potom v mnohých prípadoch (ale v žiadnom prípade nie vždy!) je tiež vhodné zapísať konštantu pod logaritmus.
teda NAMIESTO zvyčajne sa píšu záznamy 
.
Prečo je to potrebné? A aby sa ľahšie vyjadrilo „y“. Používame vlastnosť logaritmov 
. V tomto prípade:
Teraz je možné odstrániť logaritmy a moduly:
Funkcia je uvedená explicitne. Toto je všeobecné riešenie.
Odpoveď: spoločné rozhodnutie: 
.
Odpovede na mnohé diferenciálne rovnice sa dajú pomerne ľahko skontrolovať. V našom prípade sa to robí celkom jednoducho, vezmeme nájdené riešenie a rozlíšime ho:
Potom deriváciu dosadíme do pôvodnej rovnice:
- získa sa správna rovnosť, čo znamená, že všeobecné riešenie vyhovuje rovnici, ktorú bolo potrebné skontrolovať.
Zadaním rôznych hodnôt konštanty môžete získať nekonečný počet súkromné rozhodnutia Diferenciálnej rovnice. Je jasné, že niektorá z funkcií , atď. spĺňa diferenciálnu rovnicu.
Niekedy sa nazýva všeobecné riešenie rodina funkcií. V tomto príklade je to všeobecné riešenie 
je rodina lineárnych funkcií, alebo skôr rodina priamych úmerností.
Po podrobnej diskusii o prvom príklade je vhodné odpovedať na niekoľko naivných otázok o diferenciálnych rovniciach:
1)V tomto príklade sa nám podarilo oddeliť premenné. Je to vždy možné? Nie vždy. A ešte častejšie sa premenné nedajú oddeliť. Napríklad v homogénne rovnice prvého poriadku treba najskôr vymeniť. V iných typoch rovníc, napríklad v lineárnej nehomogénnej rovnici prvého rádu, musíte použiť rôzne triky a metódy na nájdenie všeobecného riešenia. Oddeliteľné premenné rovnice, o ktorých uvažujeme v prvej lekcii, sú najjednoduchším typom diferenciálnych rovníc.
2) Je vždy možné integrovať diferenciálnu rovnicu? Nie vždy. Je veľmi jednoduché vymyslieť „vymyslenú“ rovnicu, ktorá sa nedá integrovať, navyše existujú integrály, ktoré sa nedajú vziať. Ale takéto DE možno vyriešiť približne pomocou špeciálnych metód. D'Alembert a Cauchy zaručujú... ...fuj, číha viac. Ak som práve teraz veľa čítal, skoro som dodal "z druhého sveta."
3) V tomto príklade sme dostali riešenie vo forme všeobecného integrálu 
. Dá sa vždy zo všeobecného integrálu nájsť všeobecné riešenie, teda vyjadrenie „y“ v explicitnej forme? Nie vždy. Napríklad: . No, ako tu môžem vyjadriť "y"?! V takýchto prípadoch by mala byť odpoveď napísaná ako všeobecný integrál. Okrem toho sa niekedy dá nájsť všeobecné riešenie, ktoré je však napísané tak ťažkopádne a nemotorne, že je lepšie nechať odpoveď vo forme všeobecného integrálu
4) ...nateraz snáď stačí. V prvom príklade sme sa stretli ďalší dôležitý bod, ale aby „figuríny“ nezasypala lavína nové informácie Nechám to na ďalšiu hodinu.
Neponáhľajme sa. Ďalšie jednoduché diaľkové ovládanie a ďalšie typické riešenie:
Príklad 2
Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku
Riešenie: podľa stavu, ktorý je potrebné nájsť súkromné riešenie DE, ktoré spĺňa danú počiatočnú podmienku. Tento druh kladenia otázok sa tiež nazýva Cauchy problém.
Najprv nájdeme všeobecné riešenie. V rovnici nie je žiadna premenná „x“, ale to by nemalo byť trápne, hlavná vec je, že má prvú deriváciu.
Deriváciu prepíšeme do požadovaného tvaru:
Je zrejmé, že premenné možno rozdeliť, chlapci naľavo, dievčatá napravo:
Integrujeme rovnicu: 
Získa sa všeobecný integrál. Tu som nakreslil konštantu s prízvukovou hviezdou, faktom je, že veľmi skoro sa zmení na inú konštantu.
Teraz sa snažíme previesť všeobecný integrál na všeobecné riešenie (explicitne vyjadrite „y“). Spomíname na starú, dobrú školu: 
. V tomto prípade:
Konštanta v ukazovateli akosi nevyzerá kóšer, preto je zvyčajne spustená z neba na zem. V detailoch sa to deje takto. Pomocou vlastnosti stupňov prepíšeme funkciu takto:
Ak je konštanta, potom je tiež nejaká konštanta, premenujte ju na písmeno:
Pamätajte, že "demolácia" konštanty je druhá technika, ktorý sa často používa pri riešení diferenciálnych rovníc.
Takže všeobecné riešenie je: Taká pekná rodina exponenciálnych funkcií.
V záverečnej fáze musíte nájsť konkrétne riešenie, ktoré spĺňa danú počiatočnú podmienku. Je to tiež jednoduché.
aká je úloha? Treba vyzdvihnúť taký hodnota konštanty na splnenie podmienky .
Môžete to zariadiť rôznymi spôsobmi, ale najzrozumiteľnejšie to bude asi takto. Vo všeobecnom riešení namiesto „x“ nahradíme nulu a namiesto „y“ dve:
teda
Štandardné prevedenie:
Teraz dosadíme nájdenú hodnotu konštanty do všeobecného riešenia:
– toto je konkrétne riešenie, ktoré potrebujeme.
Odpoveď: súkromné riešenie:
Urobme kontrolu. Overenie konkrétneho riešenia zahŕňa dve fázy:
Najprv je potrebné skontrolovať, či nájdené konkrétne riešenie skutočne spĺňa počiatočnú podmienku? Namiesto "x" dosadíme nulu a uvidíme, čo sa stane:
- áno, skutočne bola získaná dvojka, čo znamená, že počiatočná podmienka je splnená.
Druhá etapa je už známa. Zoberieme výsledné konkrétne riešenie a nájdeme deriváciu:
Dosaďte do pôvodnej rovnice:
- získa sa správna rovnosť.
Záver: konkrétne riešenie bolo nájdené správne.
Prejdime k zmysluplnejším príkladom.
Príklad 3
Riešiť diferenciálnu rovnicu
Riešenie: Deriváciu prepíšeme do tvaru, ktorý potrebujeme: 
Posúdenie, či je možné oddeliť premenné? Môcť. Druhý výraz prenesieme na pravú stranu so zmenou znamienka: 
A preklopíme faktory podľa pravidla proporcie: 
Premenné sú oddelené, integrujme obe časti: 
Musím ťa varovať, blíži sa súdny deň. Ak ste sa dobre neučili neurčité integrály, vyriešil niekoľko príkladov, potom už nie je kam ísť - musíte ich teraz ovládať.
Integrál ľavej strany je ľahké nájsť, s integrálom kotangens sa zaoberáme štandardnou technikou, ktorú sme zvažovali v lekcii Integrácia goniometrických funkcií V minulom roku: 
Na pravej strane máme logaritmus a podľa môjho prvého technického odporúčania by sa pod logaritmus mala zapisovať aj konštanta.
Teraz sa pokúsime zjednodušiť všeobecný integrál. Keďže máme iba logaritmy, je celkom možné (a nevyhnutné) sa ich zbaviť. Cez známe vlastnosti maximálne "zbaliť" logaritmy. Napíšem veľmi podrobne: 
Obal je kompletný na barbarské roztrhanie: 
Je možné vyjadriť "y"? Môcť. Obe časti musia byť štvorcové.
Ale nemusíš.
Tretí technický tip: ak na získanie všeobecného riešenia potrebujete získať moc alebo zakoreniť, potom Väčšinou mali by ste sa zdržať týchto akcií a nechať odpoveď vo forme všeobecného integrálu. Faktom je, že všeobecné riešenie bude vyzerať hrozne - s veľkými koreňmi, znakmi a iným odpadom.
Preto odpoveď píšeme ako všeobecný integrál. Za dobrú formu sa považuje prezentácia vo forme, to znamená, že na pravej strane, ak je to možné, ponechajte iba konštantu. Nie je to potrebné, ale potešiť profesora je vždy prospešné ;-)
odpoveď: všeobecný integrál:
! Poznámka: všeobecný integrál ktorejkoľvek rovnice možno zapísať viacerými spôsobmi. Ak sa teda váš výsledok nezhoduje s predtým známou odpoveďou, neznamená to, že ste rovnicu vyriešili nesprávne.
Všeobecný integrál sa tiež kontroluje pomerne ľahko, hlavná vec je vedieť ho nájsť derivácia funkcie definovanej implicitne. Rozlišujme odpoveď: 
Oba výrazy vynásobíme: 
A delíme podľa: 
Pôvodná diferenciálna rovnica bola získaná presne, čo znamená, že všeobecný integrál bol nájdený správne.
Príklad 4
Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku. Spustite kontrolu.
Toto je príklad pre nezávislé rozhodnutie.
Pripomínam, že algoritmus pozostáva z dvoch fáz:
1) nájdenie všeobecného riešenia;
2) nájdenie požadovaného konkrétneho riešenia.
Kontrola sa tiež vykonáva v dvoch krokoch (pozri vzor v príklade č. 2), potrebujete:
1) uistite sa, že konkrétne nájdené riešenie spĺňa počiatočnú podmienku;
2) skontrolujte, či konkrétne riešenie vo všeobecnosti vyhovuje diferenciálnej rovnici.
Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Príklad 5
Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice 
, ktoré spĺňajú počiatočnú podmienku. Spustite kontrolu.
Riešenie: Najprv nájdime všeobecné riešenie Táto rovnica už obsahuje hotové diferenciály a , čo znamená, že riešenie je zjednodušené. Oddelenie premenných: 
Integrujeme rovnicu: 
Integrál vľavo je tabuľkový, integrál vpravo je braný metóda sčítania funkcie pod znamienkom diferenciálu:
Všeobecný integrál bol získaný, je možné úspešne vyjadriť všeobecné riešenie? Môcť. Logaritmy zavesíme na obe strany. Keďže sú kladné, modulo znaky sú nadbytočné: 
(Dúfam, že každý chápe premenu, také veci by už mali byť známe)
Takže všeobecné riešenie je:
Nájdite konkrétne riešenie zodpovedajúce danej počiatočnej podmienke.
Vo všeobecnom riešení namiesto „x“ nahradíme nulu a namiesto „y“ logaritmus dvoch: 
Známejší dizajn:
Nájdenú hodnotu konštanty dosadíme do všeobecného riešenia.
odpoveď: súkromné riešenie:
Kontrola: Najprv skontrolujte, či je splnená počiatočná podmienka:
- všetko je dobré.
Teraz skontrolujme, či nájdené konkrétne riešenie vôbec vyhovuje diferenciálnej rovnici. Nájdeme derivát:
Pozrime sa na pôvodnú rovnicu: 
– uvádza sa v diferenciáloch. Existujú dva spôsoby kontroly. Je možné vyjadriť diferenciál z nájdenej derivácie:
Nájdené partikulárne riešenie a výsledný diferenciál dosadíme do pôvodnej rovnice 
: 
Používame základnú logaritmickú identitu: 
Získa sa správna rovnosť, čo znamená, že konkrétne riešenie je nájdené správne.
Druhý spôsob kontroly je zrkadlový a známejší: z rovnice 
vyjadrite deriváciu, preto všetky časti vydelíme takto: 
A v transformovanom DE dosadíme získané partikulárne riešenie a nájdenú deriváciu. V dôsledku zjednodušení by sa mala dosiahnuť aj správna rovnosť.
Príklad 6
Vyriešte diferenciálnu rovnicu. Vyjadrite odpoveď ako všeobecný integrál.
Toto je príklad na samoriešenie, úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Aké ťažkosti čakajú pri riešení diferenciálnych rovníc so separovateľnými premennými?
1) Nie vždy je zrejmé (najmä pre čajník), že premenné možno oddeliť. Zvážte podmienený príklad: . Tu musíte vyňať faktory zo zátvoriek: a oddeliť korene:. Ako ďalej postupovať je jasné.
2) Ťažkosti pri samotnej integrácii. Integrály často vznikajú nie najjednoduchšie, a ak existujú nedostatky v zručnostiach hľadania neurčitý integrál, potom to bude s mnohými difúzormi ťažké. Okrem toho sú kompilátori zbierok a príručiek obľúbení s logikou „keďže diferenciálna rovnica je jednoduchá, potom budú aspoň integrály komplikovanejšie“.
3) Transformácie s konštantou. Ako si každý všimol, s konštantou v diferenciálnych rovniciach sa dá narábať celkom voľne a niektoré transformácie nie sú začiatočníkovi vždy jasné. Pozrime sa na ďalší hypotetický príklad: 
. V ňom je vhodné vynásobiť všetky výrazy 2: 
. Výsledná konštanta je tiež nejaký druh konštanty, ktorú možno označiť: 
. Áno, a keďže na pravej strane je logaritmus, odporúča sa prepísať konštantu ako inú konštantu: 
.
Problém je v tom, že sa často neobťažujú indexmi a používajú rovnaké písmeno. Výsledkom je, že záznam o rozhodnutí má nasledujúcu formu: 
Aká heréza? Tu sú chyby! Presne povedané, áno. Z vecného hľadiska však k chybám nedochádza, pretože v dôsledku transformácie premennej konštanty sa stále získava premenná konštanta.
Alebo iný príklad, predpokladajme, že v priebehu riešenia rovnice sa získa všeobecný integrál. Táto odpoveď vyzerá škaredo, preto je vhodné zmeniť znamienko každého výrazu: 
. Formálne je tam opäť chyba - vpravo má byť napísané . Neformálne sa však predpokladá, že „mínus ce“ je stále konštanta ( ktorý rovnako dobre nadobúda akékoľvek hodnoty!), takže dávať "mínus" nemá zmysel a môžete použiť rovnaké písmeno.
Pokúsim sa vyhnúť nedbanlivému prístupu a pri prevode stále uvádzam rôzne indexy pre konštanty.
Príklad 7
Vyriešte diferenciálnu rovnicu. Spustite kontrolu.
Riešenie: Táto rovnica pripúšťa separáciu premenných. Oddelenie premenných: 
Integrujeme: 
Konštanta tu nemusí byť definovaná pod logaritmom, pretože z toho nebude nič dobré.
odpoveď: všeobecný integrál:
Kontrola: Odlíšte odpoveď ( implicitná funkcia):
Zbavíme sa zlomkov, preto oba výrazy vynásobíme takto: 
Pôvodná diferenciálna rovnica bola získaná, čo znamená, že všeobecný integrál bol nájdený správne.
Príklad 8
Nájdite konkrétne riešenie DE.
,
Toto je príklad „urob si sám“. Jediným náznakom je, že tu získate všeobecný integrál a presnejšie povedané, musíte sa snažiť nájsť nie konkrétne riešenie, ale súkromný integrál. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.
I. Obyčajné diferenciálne rovnice
1.1. Základné pojmy a definície
Diferenciálna rovnica je rovnica, ktorá sa týka nezávislej premennej X, požadovanú funkciu r a jeho deriváty alebo diferenciály.
Symbolicky je diferenciálna rovnica napísaná takto:
F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0
Diferenciálna rovnica sa nazýva obyčajná, ak požadovaná funkcia závisí od jednej nezávislej premennej.
Riešením diferenciálnej rovnice sa nazýva taká funkcia, ktorá premení túto rovnicu na identitu.
Poradie diferenciálnej rovnice je poradie najvyššej derivácie v tejto rovnici
Príklady.
1. Uvažujme diferenciálnu rovnicu prvého rádu
Riešením tejto rovnice je funkcia y = 5 ln x. Naozaj, nahrádzaním y" do rovnice dostaneme - identitu.
A to znamená, že funkcia y = 5 ln x– je riešením tejto diferenciálnej rovnice.
2. Uvažujme diferenciálnu rovnicu druhého rádu y" - 5r" + 6y = 0. Funkcia je riešením tejto rovnice.
Naozaj,.
Dosadením týchto výrazov do rovnice dostaneme: , - identitu.
A to znamená, že funkcia je riešením tejto diferenciálnej rovnice.
Integrácia diferenciálnych rovníc je proces hľadania riešení diferenciálnych rovníc.
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice sa nazýva funkcia formy 
, ktorá zahŕňa toľko nezávislých ľubovoľných konštánt, koľko je poradie rovnice.
Parciálne riešenie diferenciálnej rovnice sa nazýva riešenie získané zo všeobecného riešenia pre rôzne číselné hodnoty ľubovoľných konštánt. Hodnoty ľubovoľných konštánt sa nachádzajú pri určitých počiatočných hodnotách argumentu a funkcie.
Graf konkrétneho riešenia diferenciálnej rovnice sa nazýva integrálna krivka.
Príklady
1. Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice prvého rádu
xdx + ydy = 0, ak r= 4 at X = 3.
Riešenie. Integráciou oboch strán rovnice dostaneme
Komentujte. Ľubovoľná konštanta C získaná ako výsledok integrácie môže byť reprezentovaná v akejkoľvek forme vhodnej pre ďalšie transformácie. V tomto prípade, berúc do úvahy kanonickú rovnicu kruhu, je vhodné reprezentovať ľubovoľnú konštantu С v tvare .
je všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.
Konkrétne riešenie rovnice, ktoré spĺňa počiatočné podmienky r = 4 at X = 3 sa zistí zo všeobecného dosadením počiatočných podmienok do všeobecného riešenia: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.
Dosadením C=5 do všeobecného riešenia dostaneme x2 + y2 = 5 2 .
Toto je konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice získané zo všeobecného riešenia za daných počiatočných podmienok.
2. Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice
Riešením tejto rovnice je ľubovoľná funkcia tvaru , kde C je ľubovoľná konštanta. Vskutku, dosadením do rovníc dostaneme: , .
Preto má táto diferenciálna rovnica nekonečný počet riešení, pretože pre rôzne hodnoty konštanty C rovnosť určuje rôzne riešenia rovnice.
Napríklad priamou substitúciou je možné overiť, že funkcie 
sú riešenia rovnice .
Problém, v ktorom je potrebné nájsť konkrétne riešenie rovnice y" = f(x, y) splnenie počiatočnej podmienky y(x0) = y0, sa nazýva Cauchyho problém.
Riešenie rovnice y" = f(x, y), spĺňajúce počiatočnú podmienku, y(x0) = y0, sa nazýva riešenie Cauchyho problému.
Riešenie Cauchyho úlohy má jednoduchý geometrický význam. V skutočnosti, podľa týchto definícií, vyriešiť Cauchyho problém y" = f(x, y) poskytnuté y(x0) = y0, znamená nájsť integrálnu krivku rovnice y" = f(x, y) ktorý prechádza daný bod M0 (x0,y 0).
II. Diferenciálne rovnice prvého rádu
2.1. Základné pojmy
Diferenciálna rovnica prvého rádu je rovnica tvaru F(x,y,y") = 0.
Diferenciálna rovnica prvého rádu zahŕňa prvú deriváciu a nezahŕňa derivácie vyššieho rádu.
Rovnica y" = f(x, y) sa nazýva rovnica prvého rádu vyriešená vzhľadom na deriváciu.
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice prvého rádu je funkciou tvaru , ktorá obsahuje jednu ľubovoľnú konštantu.
Príklad. Zvážte diferenciálnu rovnicu prvého poriadku.
Riešením tejto rovnice je funkcia .
Nahradením tejto rovnice jej hodnotou skutočne získame
to jest 3x = 3x
Preto je funkcia všeobecným riešením rovnice pre ľubovoľnú konštantu C.
Nájdite konkrétne riešenie tejto rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku y(1)=1 Nahradenie počiatočných podmienok x = 1, y = 1 do všeobecného riešenia rovnice , dostaneme odkiaľ C=0.
Zo všeobecného teda získame konkrétne riešenie tak, že do tejto rovnice dosadíme výslednú hodnotu C=0 je súkromné rozhodnutie.
2.2. Diferenciálne rovnice so separovateľnými premennými
Diferenciálna rovnica s oddeliteľnými premennými je rovnica v tvare: y"=f(x)g(y) alebo cez diferenciály , kde f(x) a g(y) sú dané funkcie.
Pre tých r, pre ktorú platí rovnica y"=f(x)g(y) je ekvivalentná rovnici 
v ktorom premenná r je prítomná iba na ľavej strane a premenná x je prítomná iba na pravej strane. Hovoria: „v rovnici y"=f(x)g(y oddelenie premenných.
Typ rovnice sa nazýva separovaná premenná rovnica.
Po integrácii oboch častí rovnice na X, dostaneme G(y) = F(x) + C je všeobecné riešenie rovnice, kde G(y) a F(x) sú niektoré primitívne deriváty funkcií resp f(x), Cľubovoľná konštanta.
Algoritmus riešenia diferenciálnej rovnice prvého rádu so separovateľnými premennými
Príklad 1
vyriešiť rovnicu y" = xy
Riešenie. Derivácia funkcie y" nahradiť s
oddeľujeme premenné
Poďme integrovať obe časti rovnosti:
Príklad 2
2yy" = 1- 3x 2, ak y0 = 3 pri x0 = 1
Toto je oddelená premenná rovnica. Znázornime to v diferenciáloch. Aby sme to dosiahli, prepíšeme túto rovnicu do tvaru 
Odtiaľ 
Integráciou oboch častí poslednej rovnosti nájdeme
Nahradenie počiatočných hodnôt x 0 = 1, y0 = 3 Nájsť S 9=1-1+C, t.j. C = 9.
Preto požadovaný parciálny integrál bude 
alebo 
Príklad 3
Napíšte rovnicu pre krivku prechádzajúcu bodom M(2;-3) a má dotyčnicu so sklonom
Riešenie. Podľa stavu
Toto je separovateľná premenná rovnica. Rozdelením premenných dostaneme: 
Integráciou oboch častí rovnice dostaneme: 
Pomocou počiatočných podmienok, x=2 a y = -3 Nájsť C:
Preto má požadovaná rovnica tvar 
2.3. Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu
Lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu je rovnica tvaru y" = f(x)y + g(x)
kde f(x) a g(x)- niektoré dané funkcie.
Ak g(x)=0 potom sa lineárna diferenciálna rovnica nazýva homogénna a má tvar: y" = f(x)y
Ak potom rovnica y" = f(x)y + g(x) nazývané heterogénne.
Všeobecné riešenie lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice y" = f(x)y daný vzorcom: kde S je ľubovoľná konštanta.
Najmä ak C \u003d 0, potom je riesenie y=0 Ak lineárne homogénna rovnica má formu y" = ky kde k je nejaká konštanta, potom má jej všeobecné riešenie tvar: .
Všeobecné riešenie lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice y" = f(x)y + g(x) daný vzorcom 
,
tie. sa rovná súčtu všeobecného riešenia zodpovedajúcej lineárnej homogénnej rovnice a partikulárneho riešenia tejto rovnice.
Pre lineárnu nehomogénnu rovnicu tvaru y" = kx + b,
kde k a b- niektoré čísla a konkrétne riešenie budú konštantnou funkciou . Preto má všeobecné riešenie tvar .
Príklad. vyriešiť rovnicu y" + 2 y + 3 = 0
Riešenie. Rovnicu reprezentujeme vo forme y" = -2r -3 kde k = -2, b = -3 Všeobecné riešenie je dané vzorcom .
Preto, kde C je ľubovoľná konštanta.
2.4. Riešenie lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu Bernoulliho metódou
Nájdenie všeobecného riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu y" = f(x)y + g(x) redukuje na riešenie dvoch diferenciálnych rovníc so separovanými premennými pomocou substitúcie y=uv, kde u a v- neznáme funkcie z X. Táto metóda riešenia sa nazýva Bernoulliho metóda.
Algoritmus riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu
y" = f(x)y + g(x)
1. Zadajte náhradu y=uv.
2. Diferencujte túto rovnosť y"=u"v + uv"
3. Náhradník r a y" do tejto rovnice: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) alebo u"v + uv" + f(x)uv = g(x).
4. Zoskupte členy rovnice tak, aby u vytiahnite to z hranatých zátvoriek:
5. V zátvorke, prirovnajúc ju k nule, nájdite funkciu
Toto je oddeliteľná rovnica: 
Rozdeľte premenné a získajte: 
Kde 
.
.
6. Nahraďte prijatú hodnotu v do rovnice (z bodu 4):
a nájdite funkciu Toto je oddeliteľná rovnica:
7. Napíšte všeobecné riešenie v tvare: 
, t.j. .
Príklad 1
Nájdite konkrétne riešenie rovnice y" = -2y +3 = 0 ak y=1 pri x=0
Riešenie. Riešime to substitúciou y=uv,.y"=u"v + uv"
Nahrádzanie r a y" do tejto rovnice dostaneme
Zoskupením druhého a tretieho člena na ľavej strane rovnice vyberieme spoločný faktor u mimo zátvoriek
Výraz v zátvorkách prirovnáme k nule a po vyriešení výslednej rovnice nájdeme funkciu v = v(x)
Dostali sme rovnicu s oddelenými premennými. Integrujeme obe časti tejto rovnice: Nájdite funkciu v:
Dosaďte výslednú hodnotu v do rovnice dostaneme:
Toto je oddelená premenná rovnica. Integrujeme obe časti rovnice: 
Poďme nájsť funkciu u = u(x,c) 
Poďme nájsť všeobecné riešenie: 
Nájdite konkrétne riešenie rovnice, ktoré spĺňa počiatočné podmienky y=1 pri x=0:
III. Diferenciálne rovnice vyššieho rádu
3.1. Základné pojmy a definície
Diferenciálna rovnica druhého rádu je rovnica obsahujúca derivácie nie vyššie ako druhého rádu. Vo všeobecnom prípade je diferenciálna rovnica druhého rádu napísaná ako: F(x,y,y",y") = 0
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice druhého rádu je funkciou tvaru , ktorá obsahuje dve ľubovoľné konštanty C1 a C2.
Konkrétnym riešením diferenciálnej rovnice druhého rádu je riešenie získané zo všeobecného pre niektoré hodnoty ľubovoľných konštánt C1 a C2.
3.2. Lineárne homogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantné pomery.
Lineárna homogénna diferenciálna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi sa nazýva rovnica tvaru y" + py" + qy = 0, kde p a q sú konštantné hodnoty.
Algoritmus riešenia homogénnych diferenciálnych rovníc druhého rádu s konštantnými koeficientmi
1. Napíšte diferenciálnu rovnicu v tvare: y" + py" + qy = 0.
2. Zostavte jeho charakteristickú rovnicu, označte y" naprieč r2, y" naprieč r, r v 1: r2 + pr + q = 0
Tento článok je východiskovým bodom pri štúdiu teórie diferenciálnych rovníc. Tu sú zhromaždené hlavné definície a pojmy, ktoré sa budú neustále objavovať v texte. Pre lepšiu asimiláciu a pochopenie sú definície uvedené s príkladmi.
diferenciálna rovnica (DE)- ide o rovnicu, ktorá obsahuje neznámu funkciu pod znamienkom derivácie alebo diferenciálu.
Ak je neznáma funkcia funkciou jednej premennej, potom sa volá diferenciálna rovnica obyčajný(skrátene ODE - obyčajná diferenciálna rovnica). Ak je neznáma funkcia funkciou mnohých premenných, potom sa volá diferenciálna rovnica parciálna diferenciálna rovnica.
Maximálny rád derivácie neznámej funkcie obsiahnutej v diferenciálnej rovnici sa nazýva poradie diferenciálnej rovnice.
Tu sú príklady ODR prvého, druhého a piateho rádu
Ako príklady parciálnych diferenciálnych rovníc druhého rádu uvádzame 
Ďalej budeme uvažovať iba obyčajné diferenciálne rovnice n-tého rádu tvaru 
alebo 
, kde Ф(x, y) = 0 je neznáma funkcia definovaná implicitne (ak je to možné, napíšeme ju v explicitnom zobrazení y = f(x) ).
Proces hľadania riešení diferenciálnej rovnice sa nazýva integrácia diferenciálnej rovnice.
Riešenie diferenciálnej rovnice je implicitne daná funkcia Ф(x, y) = 0 (v niektorých prípadoch môže byť funkcia y vyjadrená explicitne pomocou argumentu x), ktorá mení diferenciálnu rovnicu na identitu.
POZNÁMKA.
Riešenie diferenciálnej rovnice sa vždy hľadá na vopred určenom intervale X .
Prečo o tom hovoríme oddelene? Áno, pretože v podmienkach mnohých problémov sa interval X neuvádza. To znamená, že podmienka problémov je zvyčajne formulovaná takto: „nájdite riešenie obyčajnej diferenciálnej rovnice ". V tomto prípade sa rozumie, že riešenie treba hľadať pre všetky x, pre ktoré má zmysel požadovaná funkcia y aj pôvodná rovnica.
Riešenie diferenciálnej rovnice sa často označuje ako integrál diferenciálnej rovnice.
Funkcie alebo možno nazvať riešením diferenciálnej rovnice.
Jedným z riešení diferenciálnej rovnice je funkcia . Skutočne, dosadením tejto funkcie do pôvodnej rovnice získame identitu 
. Je ľahké vidieť, že ďalším riešením tejto ODR je napríklad . Diferenciálne rovnice teda môžu mať mnoho riešení.
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice je množina riešení obsahujúca všetky riešenia tejto diferenciálnej rovnice bez výnimky.
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice sa tiež nazýva všeobecný integrál diferenciálnej rovnice.
Vráťme sa k príkladu. Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice má tvar alebo , kde C je ľubovoľná konštanta. Vyššie sme uviedli dve riešenia tejto ODR, ktoré sa získajú zo všeobecného integrálu diferenciálnej rovnice dosadením C = 0 a C = 1.
Ak riešenie diferenciálnej rovnice spĺňa pôvodne dané dodatočné podmienky, potom sa volá konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice.
Konkrétnym riešením diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa podmienku y(1)=1, je . naozaj, 
a 
.
Hlavnými problémami teórie diferenciálnych rovníc sú Cauchyho úlohy, okrajové úlohy a úlohy hľadania všeobecného riešenia diferenciálnej rovnice na ľubovoľnom danom intervale X .
Cauchy problém je problém nájsť konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa dané počiatočné podmienky, kde sú čísla.
Hraničný problém je problém nájsť konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice druhého rádu, ktoré spĺňa dodatočné podmienky v hraničných bodoch x 0 a x 1:
f (x 0) \u003d f 0, f (x 1) \u003d f 1, kde f 0 a f 1 sú dané čísla.
Problém hraničnej hodnoty sa často nazýva problém hraničnej hodnoty.
Nazýva sa obyčajná diferenciálna rovnica n-tého rádu lineárne, ak má tvar , a koeficienty sú spojité funkcie argumentu x na integračnom intervale.
Diferenciálnej rovnice volá sa rovnica, ktorá dáva do vzťahu nezávisle premennú x, požadovanú funkciu y=f(x) a jej derivácie y",y"",\ldots,y^((n)), teda rovnica tvaru
F(x,y,y",y"",\ldots,y^((n)))=0.
Ak je požadovaná funkcia y \u003d y (x) funkciou jednej nezávislej premennej x, diferenciálna rovnica sa nazýva obyčajná; Napríklad,
\mathsf(1))~\frac(dy)(dx)+xy=0, \quad \mathsf(2))~y""+y"+x=\cos(x), \quad \mathsf(3 ))~(x^2-y^2)\,dx-(x+y)\,dy=0.
Keď je požadovaná funkcia y funkciou dvoch alebo viacerých nezávislých premenných, napríklad ak y=y(x,t) , potom rovnica v tvare
F\!\left(x,t,y,\frac(\čiastočné(y))(\čiastočné(x)),\frac(\čiastočné(y))(\čiastočné(t)),\ldots,\ frac(\čiastočné^m(y))(\čiastočné(x^k)\čiastočné(t^l))\vpravo)=0
\frac(\čiastočné(y))(\čiastočné(t))-\frac(\čiastočné(y))(\čiastočné(x))=0, \quad \frac(\čiastočné(y))(\čiastočné (t))=\frac(\čiastočné^2y)(\čiastočné(x^2)).
Poradie diferenciálnej rovnice je poradie najvyššej derivácie v rovnici. Napríklad diferenciálna rovnica y"+xy=e^x je rovnica prvého rádu, diferenciálna rovnica y""+p(x)y=0, kde p(x) je známa funkcia, je druhá- rovnica rádu; diferenciálna rovnica y^( (9))-xy""=x^2 - rovnica 9. rádu.
Riešením diferenciálnej rovnice n-tý rád na intervale (a,b) je funkcia y=\varphi(x) definovaná na intervale (a,b) spolu s jej deriváciami až po n-tý rád vrátane, a to tak, že substitúcia funkcie y= \varphi (x) na diferenciálnu rovnicu zmení túto rovnicu na identitu v x na (a,b) . Napríklad funkcia y=\sin(x)+\cos(x) je riešením rovnice y""+y=0 na intervale (-\infty,+\infty). V skutočnosti musíme túto funkciu dvakrát diferencovať
y"=\cos(x)-\sin(x), \quad y""=-\sin(x)-\cos(x).
Dosadením výrazov y"" a y do diferenciálnej rovnice získame identitu
-\sin(x)-\cos(x)+\sin(x)+\cos(x)\equiv0
Graf na riešenie diferenciálnej rovnice je tzv integrálna krivka túto rovnicu.
Všeobecný pohľad na rovnicu prvého poriadku
F(x,y,y")=0.
Ak rovnicu (1) možno vyriešiť vzhľadom na y" , tak dostaneme rovnica prvého rádu vyriešená vzhľadom na deriváciu.
y"=f(x,y).
Cauchyho problém je problém nájsť riešenie y=y(x) rovnice y"=f(x,y), ktoré spĺňa počiatočnú podmienku y(x_0)=y_0 (iný zápis y|_(x=x_0) =y_0).
Geometricky to znamená, že hľadáme integrálnu krivku prechádzajúcu daným
bod M_0(x_0,y_0) roviny xOy (obr. 1).
Nech je daná diferenciálna rovnica y"=f(x,y), kde funkcia f(x,y) je definovaná v niektorej oblasti D roviny xOy obsahujúcej bod (x_0,y_0). Ak funkcia f(x ,y) spĺňa podmienky
a) f(x,y) je spojitá funkcia dvoch premenných x a y v oblasti D ;
b) f(x,y) má parciálnu deriváciu ohraničenú v oblasti D, potom existuje interval (x_0-h,x_0+h), na ktorom je jednoznačné riešenie y=\varphi(x) tejto rovnice, ktoré spĺňa podmienku y(x_0 )=y_0 .
Veta dáva dostatočné podmienky na existenciu jedinečného riešenia Cauchyho úlohy pre rovnicu y"=f(x,y) , ale tieto podmienky nie sú nevyhnutné. Konkrétne môže existovať jedinečné riešenie rovnice y"=f(x,y), ktoré spĺňa podmienku y(x_0)=y_0 , hoci podmienky a) alebo b) alebo obe nie sú v bode (x_0,y_0) splnené ).
Zvážte príklady.
1. y"=\frac(1)(y^2) . Tu f(x,y)=\frac(1)(y^2),~\frac(\čiastočné(f))(\čiastočné(y))=-\frac(2)(y^3). V bodoch (x_0,0) osi Ox nie sú splnené podmienky a) a b) (funkcia f(x,y) a jej parciálna derivácia \frac(\čiastočné(f))(\čiastočné(y)) sú nespojité na osi Ox a neohraničené pre y\to0 ), ale cez každý bod osi Ox prechádza jedna integrálna krivka y=\sqrt(3(x-x_0))(obr. 2).
2. y"=xy+e^(-y) . Pravá strana rovnice f(x,y)=xy+e^(-y) a jej parciálna derivácia \frac(\čiastočné(f))(\čiastočné(y))=x-e^(-y) sú spojité v x a y vo všetkých bodoch roviny xOy . Na základe vety o existencii a jedinečnosti oblasť, v ktorej má daná rovnica jedinečné riešenie
je celá rovina xOy .
3. y"=\frac(3)(2)\sqrt(y^2). Pravá strana rovnice f(x,y)=\frac(3)(2)\sqrt(y^2) je definovaná a spojitá vo všetkých bodoch roviny xOy. Čiastočná derivácia \frac(\čiastočné(f))(\čiastočné(y))=\frac(1)(\sqrt(y)) ide do nekonečna pri y=0, t.j. na osi Ox , takže pre y=0 je porušená podmienka b) vety o existencii a jedinečnosti. V dôsledku toho môže byť v bodoch osi Ox narušená jedinečnosť. Je ľahké skontrolovať, či funkcia je riešením danej rovnice. Okrem toho má rovnica zrejmé riešenie y\equiv0 . Každým bodom osi Ox teda prechádzajú aspoň dve integrálne priamky a v dôsledku toho je v bodoch tejto osi skutočne narušená jednoznačnosť (obr. 3).
Integrálne priamky tejto rovnice budú tiež priamkami zloženými z kúskov kubických parabol y=\frac((x+c)^3)(8) a segmenty osi Ox, napríklad ABOC_1, ABB_2C_2, A_2B_2x atď., takže každým bodom osi Ox prechádza nekonečná množina integrálnych čiar.
Komentujte. Podmienka ohraničená derivátom \čiastočné(f)/\čiastočné(y), vyskytujúce sa vo vete o existencii a jedinečnosti na riešenie Cauchyho problému, možno trochu oslabiť a nahradiť tzv. Lipschitzov stav.
Hovorí sa, že funkcia f(x,y) definovaná v nejakej oblasti D spĺňa Lipschitzovu podmienku na y v D, ak existuje taká konštanta L ( Lipschitzova konštanta), že pre ľubovoľné y_1,y_2 z D a ľubovoľné x z D je nerovnosť
|f(x,y_2)-f(x,y_1)| \leqslant L|y_2-y_1|.
Existencia ohraničenej derivácie v doméne D \frac(\čiastočné(f))(\čiastočné(y)) postačuje na to, aby funkcia f(x,y) splnila Lipschitzovu podmienku v D. Naopak, Lipschitzova podmienka neimplikuje podmienku ohraničenosti \frac(\čiastočné(f))(\čiastočné(y)); to druhé možno ani neexistuje. Napríklad pre rovnicu y"=2|y|\cos(x) funkcia f(x,y)=2|y|\cos(x) nediferencovateľné vzhľadom na y v bode (x_0,0),x_0\ne\frac(\pi)(2)+k\pi,k\in\mathbb(Z), ale Lipschitzova podmienka je v blízkosti tohto bodu splnená. Naozaj,
(|f(x,y_2)-f(x,y_1)|=L|2|y_2|\cos(x)-2|y_1|\cos(x)|=2|\cos(x)|\, ||y_2|-|y_1||\leqslant2|y_2-y_1|.)
pokiaľ |\cos(x)|\leqslant1, a ||y_2|-|y_1||\leqslant|y_2-y_1|. Lipschitzova podmienka je teda splnená s konštantou L=2.
Veta. Ak je funkcia f(x,y) spojitá a spĺňa Lipschitzovu podmienku na y v doméne D , potom Cauchyho problém
\frac(dy)(dx)=f(x,y), \quad y|_(x=x_0)=y_0, \quad (x_0,y_0)\in(D).
Lipschitzova podmienka je podstatná pre jedinečnosť riešenia Cauchyho problému. Ako príklad zvážte rovnicu
\frac(dy)(dx)=\začiatok (prípady)\dfrac(4x^3y)(x^4+y^4),&x^2+y^2>0,\\0,&x=y=0 .\end(cases)
Je ľahké vidieť, že funkcia f(x, y) je spojitá; na druhej strane,
f(x,Y)-f(x,y)=\frac(4x^3(x^4+yY))((x^4+y^2)(x^4+Y^2))(Yy ).
Ak y=\alpha x^2,~Y=\beta x^2, potom
|f(x,Y)-f(x,y)|=\frac(4)(|x|)\frac(1-\alpha\beta)((1+\alpha^2)(1+\beta ^2))|Yy|,
Táto diferenciálna rovnica pripúšťa riešenie y=C^2-\sqrt(x^4+C^4), kde C je ľubovoľná konštanta. To ukazuje, že existuje nekonečná množina riešení, ktoré spĺňajú počiatočnú podmienku y(0)=0.
Všeobecné riešenie diferenciálna rovnica (2) sa nazýva funkcia
y=\varphi(x,C),
1) spĺňa rovnicu (2) pre všetky prípustné hodnoty konštanty C;
2) bez ohľadu na počiatočnú podmienku
\Bigl.(y)\Bigr|_(x=x_0)=y_0,
Súkromné rozhodnutie diferenciálna rovnica (2) je riešenie získané zo všeobecného riešenia (3) pre nejakú konkrétnu hodnotu ľubovoľnej konštanty C .
Príklad 1. Skontrolujte, či funkcia y=x+C je všeobecným riešením diferenciálnej rovnice y"=1 a nájdite konkrétne riešenie, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku y|_(x=0)=0. Uveďte geometrickú interpretáciu výsledok.
Riešenie. Funkcia y=x+C spĺňa túto rovnicu pre ľubovoľné hodnoty ľubovoľnej konštanty C . Skutočne, y"=(x+C)"=1.
Nastavme ľubovoľnú počiatočnú podmienku y|_(x=x_0)=y_0 . Vložením x=x_0 a y=y_0 do rovnice y=x+C zistíme, že C=y_0-x_0 . Nahradením tejto hodnoty C do tejto funkcie budeme mať y=x+y_0-x_0 . Táto funkcia spĺňa zadanú počiatočnú podmienku: položením x=x_0 dostaneme y=x_0+y_0-x_0=y_0. Takže funkcia y=x+C je všeobecným riešením tejto rovnice.
Konkrétne, nastavením x_0=0 a y_0=0 dostaneme konkrétne riešenie y=x .
Všeobecné riešenie tejto rovnice, t.j. funkcia y=x+C , definuje v rovine xOy rodinu rovnobežných priamok s faktor sklonu k=1. Cez každý bod M_0(x_0,y_0) roviny xOy prechádza jedna integrálna priamka y=x+y_0-x_0. Partikulárne riešenie y=x určuje jednu z integrálnych kriviek, a to priamku prechádzajúcu počiatkom (obr. 4).
Príklad 2. Skontrolujte, či funkcia y=Ce^x je všeobecným riešením rovnice y"-y=0 a nájdite konkrétne riešenie, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku y|_(x=1)=-1. .
Riešenie. Máme y=Ce^x,~y"=Ce^x . Dosadením výrazov y a y" do tejto rovnice dostaneme Ce^x-Ce^x\equiv0 , tj funkcia y=Ce^x túto rovnicu spĺňa pre ľubovoľné hodnoty konštanty C .
Nastavme ľubovoľnú počiatočnú podmienku y|_(x=x_0)=y_0 . Nahradením x_0 a y_0 namiesto x a y vo funkcii y=Ce^x dostaneme y_0=Ce^(x_0) , odkiaľ pochádza C=y_0e^(-x_0) . Funkcia y=y_0e^(x-x_0) spĺňa počiatočnú podmienku. V skutočnosti, za predpokladu, že x=x_0 dostaneme y=y_0e^(x_0-x_0)=y_0. Funkcia y=Ce^x je všeobecným riešením tejto rovnice.
Pre x_0=1 a y_0=-1 dostaneme konkrétne riešenie y=-e^(x-1) .
S geometrický bod všeobecné riešenie definuje skupinu integrálnych kriviek, ktorými sú grafy exponenciálne funkcie; konkrétnym riešením je integrálna krivka prechádzajúca bodom M_0(1;-1) (obr.5).
Vzťah v tvare \Phi(x,y,C)=0 , ktorý implicitne určuje všeobecné riešenie, sa nazýva spoločný integrál diferenciálna rovnica prvého rádu.
Vzťah získaný zo všeobecného integrálu pri konkrétnej hodnote konštanty C sa nazýva súkromný integrál Diferenciálnej rovnice.
Problémom riešenia alebo integrácie diferenciálnej rovnice je nájsť všeobecné riešenie alebo všeobecný integrál danej diferenciálnej rovnice. Ak je dodatočne daná počiatočná podmienka, potom je potrebné vybrať konkrétne riešenie alebo konkrétny integrál, ktorý spĺňa danú počiatočnú podmienku.
Keďže z geometrického hľadiska sú súradnice x a y rovnaké spolu s rovnicou \frac(dx)(dy)=f(x,y) budeme uvažovať o rovnici \frac(dx)(dy)=\frac(1)(f(x,y)).
