Os je smer. Preto sa priemet na os alebo na smerovanú čiaru považuje za rovnaký. Projekcia môže byť algebraická alebo geometrická. Z geometrického hľadiska sa priemet vektora na os chápe ako vektor a v algebrickom zmysle je to číslo. To znamená, že sa používajú koncepty premietania vektora na os a numerické premietanie vektora na os.
Ak máme os L a nenulový vektor A B → , potom môžeme zostrojiť vektor A 1 B 1 ⇀ , označujúci priemety jeho bodov A 1 a B 1 .
A 1 B → 1 bude projekcia vektora A B → na L .
Definícia 1
Priemet vektora na os volá sa vektor, ktorého začiatok a koniec sú projekcie začiatku a konca daného vektora. n p L A B → → je zvykom označovať priemet A B → na L . Ak chcete zostrojiť projekciu na L, umiestnite kolmice na L.
Príklad 1
Príklad premietania vektora na os.
Na rovine súradníc O x y je určený bod M 1 (x 1, y 1). Pre obraz polomerového vektora bodu M 1 je potrebné postaviť projekcie na O x a O y. Získame súradnice vektorov (x 1 , 0) a (0 , y 1) .
Ak hovoríme o priemete a → na nenulové b → alebo priemete a → do smeru b → , tak máme na mysli priemet a → na os, s ktorou sa zhoduje smer b →. Priemet a → na priamku definovanú b → označujeme n p b → a → → . Je známe, že keď je uhol medzi a → a b → , môžeme považovať n p b → a → → a b → kosmerné. V prípade, že je uhol tupý, n p b → a → → a b → smerujú opačne. V situácii kolmosti a → a b → a a → je nula, priemet a → pozdĺž smeru b → je nulový vektor.
Číselná charakteristika premietania vektora na os je číselná premietanie vektora na danú os.
Definícia 2
Numerické premietanie vektora na os zavolajte číslo, ktoré sa rovná súčinu dĺžky daného vektora a kosínusu uhla medzi daným vektorom a vektorom, ktorý určuje smer osi.
Číselná projekcia A B → na L je označená n p L A B → a a → na b → - n p b → a → .
Na základe vzorca dostaneme npb → a → = a → · cos a → , b → ^ , odkiaľ a → je dĺžka vektora a → , a ⇀ , b → ^ je uhol medzi vektormi a → a b → .
Dostaneme vzorec na výpočet číselnej projekcie: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Platí pre známe dĺžky a → a b → a uhol medzi nimi. Vzorec je použiteľný pre známe súradnice a → a b → , existuje však jeho zjednodušená verzia.
Príklad 2
Zistite numerický priemet a → na priamku v smere b → s dĺžkou a → rovnou 8 a uhlom medzi nimi je 60 stupňov. Podľa podmienky máme a ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° . Číselné hodnoty teda dosadíme do vzorca n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .
odpoveď: 4.
Pri známom cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → máme a → , b → ako skalárny súčin a → a b → . Podľa vzorca n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ môžeme nájsť číselnú projekciu a → smerujúcu pozdĺž vektora b → a dostaneme n p b → a → = a → , b → b → . Vzorec je ekvivalentný definícii uvedenej na začiatku vety.
Definícia 3
Číselný priemet vektora a → na os zhodnej s b → je pomer skalárneho súčinu vektorov a → a b → k dĺžke b → . Vzorec n p b → a → = a → , b → b → je použiteľný na nájdenie numerického priemetu a → na priamku zhodnú v smere s b → , so známymi súradnicami a → a b →.
Príklad 3
Dané b → = (- 3 , 4) . Nájdite numerickú projekciu a → = (1 , 7) na L .
Riešenie
Na súradnicovej rovine npb → a → = a → , b → b → má tvar npb → a → = a → , b → b → = ax bx + ay bybx 2 + by 2 , pre a → = (ax , ay ) a b → = bx , podľa . Na nájdenie numerickej projekcie vektora a → na os L potrebujete: np L a → = npb → a → = a → , b → b → = ax bx + ay bybx 2 + by 2 = 1 (- 3 ) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.
odpoveď: 5.
Príklad 4
Nájdite priemet a → na L , ktorý sa zhoduje so smerom b → , kde sú a → = - 2 , 3 , 1 a b → = (3 , - 2 , 6) . Je daný trojrozmerný priestor.
Riešenie
Dané a → = a x , a y , a z a b → = b x , b y , b z vypočítajte skalárny súčin: a ⇀ , b → = a x b x + a y b y + a z b z . Dĺžku b → nájdeme podľa vzorca b → = b x 2 + b y 2 + b z 2. Z toho vyplýva, že vzorec na určenie číselnej projekcie a → bude: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .
Dosaďte číselné hodnoty: np L a → = npb → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .
Odpoveď: - 6 7 .
Pozrime sa na súvislosť medzi a → na L a dĺžkou priemetu a → na L . Nakreslite os L pridaním a → a b → z bodu do L, potom nakreslíme kolmicu z konca a → na L a premietneme na L . Existuje 5 variácií obrázkov:
najprv prípad, keď a → = npb → a → → znamená a → = npb → a → → , teda npb → a → = a → cos (a , → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = npb → a → → .
Po druhé prípad znamená použitie n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → , teda n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .
Po tretie prípad vysvetľuje, že ako npb → a → → = 0 → dostaneme npb ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0, potom npb → a → → = 0 a npb → a → = 0 = npb → a → → .
Po štvrté prípad ukazuje npb → a → → = a → cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^) , nasleduje npb → a → = a → cos (a → , b → ^) = - npb → a → → .
Po piate prípad ukazuje a → = npb → a → → , čo znamená a → = npb → a → → , teda máme npb → a → = a → cos a → , b → ^= a → cos 180 ° = - a → = - npb → a → .
Definícia 4
Numerický priemet vektora a → na os L , ktorá smeruje ako b → , má význam:
Príklad 5
Vzhľadom na dĺžku priemetu a → na L sa rovná 2 . Nájdite číselnú projekciu a → za predpokladu, že uhol je 5 π 6 radiánov.
Riešenie
Z podmienky je zrejmé, že tento uhol je tupý: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .
odpoveď: - 2.
Príklad 6
Daná je rovina O x y z s dĺžkou vektora a → rovnou 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) s uhlom 30 stupňov. Nájdite súradnice priemetu a → na os L.
Riešenie
Najprv vypočítame numerickú projekciu vektora a → : n p L a → = n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9 .
Podľa podmienky je uhol ostrý, potom numerická projekcia a → = je dĺžka priemetu vektora a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Tento prípad ukazuje, že vektory n p L a → → a b → sú v spoločnej orientácii, čo znamená, že existuje číslo t, pre ktoré platí rovnosť: n p L a → → = t · b → . Odtiaľto vidíme, že np L a → → = tb → , takže môžeme nájsť hodnotu parametra t: t = np L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3.
Potom np L a → → = 3 b → so súradnicami priemetu vektora a → na os L sú b → = (- 2 , 1 , 2) , kde je potrebné vynásobiť hodnoty 3 Máme np L a → → = (- 6 , 3 , 6). Odpoveď: (- 6 , 3 , 6) .
Je potrebné zopakovať predtým študované informácie o stave kolinearity vektora.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
projekcia vektor na osi sa nazýva vektor, ktorý sa získa vynásobením skalárneho premietania vektora na túto os a jednotkového vektora tejto osi. Napríklad, ak je x skalárna projekcia vektor a na osi x, potom a x i- jeho vektorové premietanie na túto os.
Označiť vektorová projekcia rovnako ako samotný vektor, ale s indexom osi, na ktorú sa vektor premieta. Takže vektorová projekcia vektora a na osi x označujú a X ( mastný písmeno označujúce vektor a dolný index názvu osi) alebo (netučné písmeno označujúce vektor, ale so šípkou navrchu (!) a dolným indexom názvu osi).
Skalárna projekcia vektor na os sa nazýva číslo, ktorej absolútna hodnota sa rovná dĺžke segmentu osi (vo zvolenej mierke) uzavretého medzi priemetmi začiatočného bodu a koncového bodu vektora. Zvyčajne namiesto výrazu skalárna projekcia jednoducho povedz - projekcia. Projekcia sa označuje rovnakým písmenom ako premietaný vektor (normálnym, nie tučným písmom) s dolným indexom (zvyčajne) názvu osi, na ktorú sa tento vektor premieta. Napríklad, ak sa vektor premieta na os x a, potom jeho priemet označíme a x . Pri premietaní rovnakého vektora na inú os, ak je osou Y , bude jej projekcia označená ako y .
Na výpočet projekcie vektor na osi (napríklad os X) je potrebné odčítať súradnicu začiatočného bodu od súradnice jeho koncového bodu, tj.
a x \u003d x k - x n.
Priemet vektora na os je číslo. Navyše, projekcia môže byť kladná, ak je hodnota x k väčšia ako hodnota x n,
záporné, ak je hodnota x k menšia ako hodnota x n
a rovné nule, ak x k sa rovná x n.
Projekciu vektora na os možno nájsť aj tak, že poznáme modul vektora a uhol, ktorý zviera s touto osou.
Z obrázku je zrejmé, že a x = a Cos α
to znamená, že priemet vektora na os sa rovná súčinu modulu vektora a kosínusu uhla medzi smerom osi a vektorový smer. Ak je uhol ostrý, potom
Cos α > 0 a a x > 0, a ak je tupý, potom kosínus tupého uhla je záporný a projekcia vektora na os bude tiež záporná.
Uhly počítané od osi proti smeru hodinových ručičiek sa považujú za pozitívne av smere - negatívne. Keďže však kosínus je párna funkcia, to znamená Cos α = Cos (− α), pri výpočte projekcií možno uhly počítať v smere aj proti smeru hodinových ručičiek.
Na nájdenie projekcie vektora na os je potrebné modul tohto vektora vynásobiť kosínusom uhla medzi smerom osi a smerom vektora.
Vektorové súradnice sú koeficienty jedinej možnej lineárnej kombinácie bázových vektorov vo zvolenom súradnicovom systéme rovné danému vektoru.
kde sú súradnice vektora.
Bodový súčin vektorov
PRODUKT VEKTOROV Z KOLÍNA[- v konečnej dimenzii vektorový priestor je definovaný ako súčet súčinov tých istých zložiek násob vektory.
Napríklad S. p. a = (a 1 , ..., a n) a b = (b 1 , ..., b n):
(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n
a. Priemetom bodu A na os PQ (obr. 4) je základňa a kolmice spadnutá z daného bodu na danú os. Os, na ktorú premietame, sa nazýva os premietania.
b. Nech sú dané dve osi a vektor A B, ako je znázornené na obr. 5.
Vektor, ktorého začiatok je priemet začiatku a konca - priemet konca tohto vektora, sa nazýva priemet vektora A B na os PQ, Píše sa takto;
Niekedy nie je indikátor PQ napísaný v spodnej časti, robí sa to v prípadoch, keď okrem PQ neexistuje iná os, na ktorú by sa dalo premietať.
S Veta I. Hodnoty vektorov ležiacich na tej istej osi súvisia s hodnotami ich projekcií na ľubovoľnej osi.
Nech sú uvedené osi a vektory znázornené na obrázku 6. Z podobnosti trojuholníkov je vidieť, že dĺžky vektorov sú vo vzťahu ako dĺžky ich priemetov, t.j.
Pretože vektory na výkrese sú nasmerované rôznymi smermi, ich veľkosti majú rôzne hodnoty, preto
Je zrejmé, že hodnoty projekcie majú aj iné znamenie:
dosadením (2) za (3) do (1) dostaneme
Obrátením značiek dostaneme
Ak sú vektory rovnako smerované, potom bude existovať jeden smer a ich projekcie; vo vzorcoch (2) a (3) nebudú žiadne znamienka mínus. Dosadením (2) a (3) do rovnosti (1) okamžite dostaneme rovnosť (4). Veta je teda dokázaná pre všetky prípady.
d. Veta II. Hodnota priemetu vektora na ľubovoľnú os sa rovná hodnote vektora vynásobenej kosínusom uhla medzi osou priemetov a osou vektora.Osiam nech je daný vektor, ako je naznačené na obr. 7. Zostrojme vektor rovnako nasmerovaný svojou osou a posunutý napríklad od priesečníka osí. Nech sa jeho dĺžka rovná jednej. Potom jeho hodnota
Vo fyzike pre 9. ročník (I.K. Kikoin, A.K. Kikoin, 1999),
úloha №5
do kapitoly" KAPITOLA 1. VŠEOBECNÉ INFORMÁCIE O POHYBE».
1. Priemet vektora a na súradnicovú os je dĺžka úseku medzi priemetom začiatku a konca vektora a (kolmice spustené z týchto bodov na os) na túto súradnicovú os.
2. Priemet vektora posunutia s na súradnicové osi sa rovnajú zmene príslušných súradníc telesa.
3. Ak sa súradnica bodu časom zväčší, potom bude priemet vektora posunutia na súradnicovú os kladný, pretože v tomto prípade prejdeme od priemetu začiatku k priemetu konca vektora v smere samotnej osi.
Ak sa súradnica bodu v priebehu času zníži, potom bude priemet vektora posunutia na súradnicovú os záporný, pretože v tomto prípade prejdeme od priemetu začiatku k priemetu konca vektora proti samotnej smerovacej osi.
4. Ak je vektor posunutia rovnobežný s osou X, potom sa modul premietania vektora na túto os rovná modulu samotného vektora a jeho priemet na os Y je nulový.
5. Vo všetkých nasledujúcich prípadoch sa súradnica Y telesa nemení a súradnica X telesa sa zmení nasledovne:
a) s1;
priemet vektora s 1 na os X je záporný a modulo sa rovná dĺžke vektora s 1 . Pri takomto posunutí sa X súradnica telesa zmenší o dĺžku vektora s 1 .
b) s2;
priemet vektora s 2 na os X je kladný a v absolútnej hodnote sa rovná dĺžke vektora s 1 . Pri takomto posunutí sa X súradnica telesa zväčší o dĺžku vektora s 2 .
c) s3;
priemet vektora s 3 na os X je záporný av absolútnej hodnote sa rovná dĺžke vektora s 3 . Pri takomto posunutí sa X súradnica telesa zmenší o dĺžku vektora s 3 .
d) s4;
priemet vektora s 4 na os X je kladný a v absolútnej hodnote sa rovná dĺžke vektora s 4 . Pri takomto posunutí sa X súradnica telesa zväčší o dĺžku vektora s 4 .
e) s5;
priemet vektora s5 na os X je záporný av absolútnej hodnote sa rovná dĺžke vektora s5. Pri takomto posunutí sa X súradnica telesa zmenší o dĺžku vektora s 5 .
6. Možno. Je to spôsobené tým, že posunutie (vektor posunutia) je vektorová veličina, t.j. je nasmerovaná priamka spájajúca počiatočnú polohu tela s jeho nasledujúcimi polohami. A konečná poloha tela (bez ohľadu na prejdenú vzdialenosť) sa môže ľubovoľne blížiť počiatočnej polohe tela. Ak sa konečná a počiatočná poloha telesa zhodujú, modul posunutia sa bude rovnať nule.
7. Hlavnou úlohou mechanika je kedykoľvek určiť polohu tela. Pri poznaní vektora posunutia telesa vieme určiť súradnice telesa, t.j. polohu tela v akomkoľvek čase a keďže poznáme iba prejdenú vzdialenosť, nemôžeme určiť súradnice telesa, pretože nemáme informácie o smere pohybu, ale vieme posúdiť len dĺžku prejdenej dráhy v danom čase.
Úvod ……………………………………………………………………………………… 3
1. Hodnota vektora a skaláru……………………………………………………….4
2. Definícia priemetu, osi a súradnice bodu………………...5
3. Vektorová projekcia na os………………………………………………...6
4. Základný vzorec vektorovej algebry………………………………………..8
Úvod:
Fyzika je neoddeliteľne spojená s matematikou. Matematika dáva fyzike prostriedky a techniky všeobecného a presného vyjadrenia vzťahu medzi fyzikálnymi veličinami, ktoré sú objavené ako výsledok experimentu alebo teoretického výskumu.Veď hlavná metóda výskumu vo fyzike je experimentálna. To znamená, že vedec odhaľuje výpočty pomocou meraní. Označuje vzťah medzi rôznymi fyzikálnymi veličinami. Potom sa všetko preloží do jazyka matematiky. Vytvára sa matematický model. Fyzika je veda, ktorá študuje najjednoduchšie a zároveň najvšeobecnejšie zákony. Úlohou fyziky je vytvoriť v našej mysli taký obraz fyzického sveta, ktorý čo najplnšie odráža jeho vlastnosti a poskytuje také vzťahy medzi prvkami modelu, ktoré medzi prvkami existujú.
Fyzika teda vytvára model sveta okolo nás a študuje jeho vlastnosti. Ale každý model je obmedzený. Pri tvorbe modelov konkrétneho javu sa berú do úvahy len vlastnosti a súvislosti, ktoré sú pre daný okruh javov podstatné. Toto je umenie vedca - zo všetkej rozmanitosti vybrať to hlavné.
Fyzikálne modely sú matematické, ale matematika nie je ich základom. Kvantitatívne vzťahy medzi fyzikálnymi veličinami sú objasnené ako výsledok meraní, pozorovaní a experimentálnych štúdií a sú vyjadrené iba v jazyku matematiky. Neexistuje však žiadny iný jazyk na vytváranie fyzikálnych teórií.
1. Hodnota vektora a skaláru.
Vo fyzike a matematike je vektor veličina, ktorá je charakterizovaná svojou číselnou hodnotou a smerom. Vo fyzike existuje veľa dôležitých veličín, ktoré sú vektormi, ako je sila, poloha, rýchlosť, zrýchlenie, krútiaci moment, hybnosť, elektrické a magnetické polia. Môžu byť porovnané s inými veličinami, ako je hmotnosť, objem, tlak, teplota a hustota, ktoré možno opísať obyčajným číslom a nazývajú sa „ skaláre".
Sú písané buď písmenami bežného písma, alebo číslicami (a, b, t, G, 5, -7 ....). Skaláre môžu byť pozitívne alebo negatívne. Niektoré objekty štúdia môžu mať zároveň také vlastnosti, pre ktorých úplný popis nepostačuje znalosť len číselnej miery, je potrebné tieto vlastnosti charakterizovať aj smerom v priestore. Takéto vlastnosti sú charakterizované vektorovými veličinami (vektormi). Vektory sa na rozdiel od skalárov označujú tučnými písmenami: a, b, g, F, C ....
Vektor je často označený obyčajným (nie tučným) písmenom, ale so šípkou nad ním:
Modul vektora, teda dĺžka nasmerovaného priamkového segmentu, je označený rovnakými písmenami ako samotný vektor, ale v bežnom (nie tučným) písmom a bez šípky nad nimi, alebo rovnako ako vektor (to znamená tučným alebo pravidelným písmom, ale so šípkou), ale označenie vektora je uzavreté zvislými pomlčkami.
Vektor je komplexný objekt, ktorý je charakterizovaný veľkosťou aj smerom súčasne.
Neexistujú ani pozitívne a negatívne vektory. Ale vektory sa môžu navzájom rovnať. To je, keď napríklad a a b majú rovnaké moduly a sú nasmerované rovnakým smerom. V tomto prípade záznam a= b. Malo by sa tiež pamätať na to, že pred symbolom vektora môže byť znamienko mínus, napríklad -c, avšak toto znamienko symbolicky naznačuje, že vektor -c má rovnaký modul ako vektor c, ale smeruje do opačný smer.
Vektor -c sa nazýva opak (alebo inverzný) vektora c.
Vo fyzike je však každý vektor naplnený špecifickým obsahom a pri porovnávaní vektorov rovnakého typu (napríklad síl) môžu mať značný význam aj body ich aplikácie.
2.Určenie priemetu, osi a súradnice bodu.
Os je priamka, ktorá má daný smer.
Os je označená ľubovoľným písmenom: X, Y, Z, s, t ... Zvyčajne sa na osi volí (ľubovoľne) bod, ktorý sa nazýva počiatok a spravidla je označený písmenom O Vzdialenosti k iným bodom, ktoré nás zaujímajú, sa merajú od tohto bodu.
bodová projekcia na osi sa nazýva základňa kolmice spadnutá z tohto bodu na danú os. To znamená, že priemet bodu na os je bod.
bodová súradnica na danej osi sa nazýva číslo, ktorého absolútna hodnota sa rovná dĺžke segmentu osi (vo zvolenej mierke) uzavretého medzi začiatkom osi a priemetom bodu na túto os. Toto číslo sa berie so znamienkom plus, ak je priemet bodu umiestnený v smere osi od jej začiatku a so znamienkom mínus, ak je v opačnom smere.
3.Premietnutie vektora na os.
Projekcia vektora na os je vektor, ktorý sa získa vynásobením skalárnej projekcie vektora na túto os a jednotkového vektora tejto osi. Napríklad, ak a x je skalárna projekcia vektora a na os X, potom a x i je jeho vektorová projekcia na túto os.
Vektorovú projekciu označme rovnako ako samotný vektor, avšak s indexom osi, na ktorú sa vektor premieta. Takže vektorový priemet vektora a na os X sa označí x (tučné písmeno označujúce vektor a dolný index názvu osi) resp.
(netučné písmeno označujúce vektor, ale so šípkou navrchu (!) a dolným indexom názvu osi).Skalárna projekcia vektor na os sa nazýva číslo, ktorej absolútna hodnota sa rovná dĺžke segmentu osi (vo zvolenej mierke) uzavretého medzi priemetmi začiatočného bodu a koncového bodu vektora. Zvyčajne namiesto výrazu skalárna projekcia jednoducho povedz - projekcia. Projekcia sa označuje rovnakým písmenom ako premietaný vektor (normálnym, nie tučným písmom) s dolným indexom (zvyčajne) názvu osi, na ktorú sa tento vektor premieta. Napríklad, ak sa vektor premieta na os x a, potom jeho priemet označíme a x . Pri premietaní rovnakého vektora na inú os, ak je osou Y , bude jej projekcia označená ako y .
Na výpočet projekcie vektor na osi (napríklad os X) je potrebné odčítať súradnicu začiatočného bodu od súradnice jeho koncového bodu, tj.
a x \u003d x k - x n.
Priemet vektora na os je číslo. Navyše, projekcia môže byť kladná, ak je hodnota x k väčšia ako hodnota x n,
záporné, ak je hodnota x k menšia ako hodnota x n
a rovné nule, ak x k sa rovná x n.
Projekciu vektora na os možno nájsť aj tak, že poznáme modul vektora a uhol, ktorý zviera s touto osou.
Z obrázku je zrejmé, že a x = a Cos α
To znamená, že priemet vektora na os sa rovná súčinu modulu vektora a kosínusu uhla medzi smerom osi a vektorový smer. Ak je uhol ostrý, potom
Cos α > 0 a a x > 0, a ak je tupý, potom kosínus tupého uhla je záporný a projekcia vektora na os bude tiež záporná.
Uhly počítané od osi proti smeru hodinových ručičiek sa považujú za pozitívne av smere - negatívne. Keďže však kosínus je párna funkcia, to znamená Cos α = Cos (− α), pri výpočte projekcií možno uhly počítať v smere aj proti smeru hodinových ručičiek.
Na nájdenie projekcie vektora na os je potrebné modul tohto vektora vynásobiť kosínusom uhla medzi smerom osi a smerom vektora.
4. Základný vzorec vektorovej algebry.
Premietneme vektor a na osi X a Y pravouhlého súradnicového systému. Nájdite vektorové projekcie vektora a na týchto osiach:
a x = a x i a y = a y j.
Ale podľa pravidla sčítania vektorov
a \u003d a x + a y.
a = a x i + a y j.
Takto sme vektor vyjadrili z hľadiska jeho projekcií a ortov pravouhlého súradnicového systému (alebo z hľadiska jeho vektorových projekcií).
Vektorové projekcie a x a a y sa nazývajú zložky alebo zložky vektora a. Operácia, ktorú sme vykonali, sa nazýva rozklad vektora pozdĺž osí pravouhlého súradnicového systému.
Ak je vektor uvedený v priestore, potom
a = a x i + a y j + a z k.
Tento vzorec sa nazýva základný vzorec vektorovej algebry. Samozrejme, dá sa to napísať aj takto.
