Telesá sa od seba líšia hmotnosťou, farbou, hustotou, tvrdosťou, miestom, ktoré zaberajú atď.
Tieto znaky sa nazývajú vlastnosti telies.
Telesá s týmito vlastnosťami sú tzv fyzické telá.
Spomedzi týchto vlastností treba venovať osobitnú pozornosť vlastnostiam tela, tzv dĺžka.
Dĺžka existuje vlastnosť telesa zaujať určité miesto v priestore.
Nazýva sa to geometrická vlastnosť tela. Táto vlastnosť určuje tvar a veľkosť tela.
Teleso, ktoré má iba jednu vlastnosť rozšírenia, sa nazýva geometrické teleso. Vzhľadom na geometrické teleso venujte pozornosť iba jeho tvaru a veľkosti.
Ostatné vlastnosti tela sa nazývajú fyzické.
Geometrické telo existuje priestor fyzického tela.
Geometrické teleso je ohraničené zo všetkých strán. Od ostatného priestoru je oddelený povrchom tela. Aby to vyjadrili, hovoria to
Povrch existuje telesný limit.
Jedna plocha je oddelená od druhej čiarou. Čiara ohraničuje povrch, preto sa čiara nazýva hranica povrchu.
Linka existuje povrchový limit.
Koniec čiary sa nazýva bod. Bod ohraničuje a oddeľuje jednu čiaru od druhej, preto sa bod nazýva hranica čiary.
Bodka existuje limit linky.
Výkres 1 znázorňuje teleso vo forme škatule uzavretej zo všetkých strán. Je ohraničená šiestimi stranami, ktoré tvoria povrch škatule. Každá strana krabice môže byť vnímaná ako samostatný povrch. Tieto strany sú od seba oddelené 12 čiarami, ktoré tvoria okraje krabice. Čiary sú od seba oddelené 8 bodmi, ktoré tvoria rohy krabice.
Telá, povrchy a línie nie sú rovnakej veľkosti. To znamená, že zaberajú nerovnaký priestor alebo nerovnakú dĺžku.
Objem tela. Veľkosť geometrického telesa sa nazýva objem alebo kapacita telesa.
Plocha povrchu. Veľkosť povrchu sa nazýva plocha.
Dĺžka čiary. Veľkosť čiary sa nazýva dĺžka.
Dĺžka, plocha a objem sú rozdielne veličiny. Meria sa v rôznych jednotkách a používajú sa na rôzne účely. Ak chcete zistiť vzdialenosť dvoch predmetov, šírku ramena, hĺbku studne, výšku veže, určte dĺžku čiary. Na tento účel sa vykoná iba jedno meranie, to znamená, že sa vykoná meranie v jednom smere. Pri meraní sa uchýlili k jednotkám dĺžky. Tieto jednotky dĺžky sa nazývajú versty, sáhy, aršiny, stopy, metre atď. Jednotka dĺžky má jeden rozmer, preto sa hovorí, že
Čiary sú jeden rozmer. Čiary nemajú šírku ani hrúbku. Sú rovnakej dĺžky.
Aby ste mali predstavu o veľkosti obrazu, musíte poznať jeho dĺžku a šírku. Dĺžka a šírka poskytujú predstavu o ploche maľby. Na určenie plochy je potrebné vykonať dve merania alebo zmerať obrázok v dvoch smeroch. Na určenie veľkosti plochy sa uchýlili k jednotkám plôch. Štvorec sa berie ako jednotka plochy, ktorej strany majú určitú jednotku dĺžky. Jednotky plochy sa nazývajú štvorcové míle, štvorcové míle, štvorcové stopy atď. Štvorcová míľa je plocha štvorca, ktorého každá strana je míľa atď. Jednotka plochy má dva rozmery: dĺžku a šírka. Keďže povrchy sa merajú v jednotkách plochy, hovoria to v tomto zmysle
Povrchy majú dva rozmery. Povrchy nie sú hrubé. Môžu mať len dĺžku a šírku.
Aby ste mali predstavu o kapacite miestnosti alebo boxu, musíte poznať ich objemy. Aby ste to dosiahli, musíte poznať dĺžku, šírku a výšku miestnosti, to znamená vykonať tri merania alebo ju zmerať v troch smeroch. Objemy sa merajú v jednotkách objemu. Kocka sa považuje za jednotku objemu, ktorej každá strana sa rovná jednej. Jednotky objemu majú tri rozmery: dĺžku, šírku a výšku. Keďže sa objemy merajú v jednotkách objemov, hovoria to
Telá majú tri rozmery.
Jednotky objemu sa nazývajú kubické versty, kubické stopy atď., v závislosti od dĺžky strany kocky.
Bod nemá ani dĺžku, ani šírku, ani výšku, alebo bod nemá žiadnu mieru.
Geometrické úseky. Čiary, povrchy a telesá sa nazývajú geometrické rozšírenia.
Geometria existuje veda o vlastnostiach a meraní geometrických predĺžení.
Geometria je veda o vesmíre. Stanovuje súbor nevyhnutných vzťahov spojených s povahou priestoru.
Na čiaru sa môžete pozerať rovnakým spôsobom ako na stopu zanechanú pohybom bodu, na povrch ako na stopu zanechanú pohybom čiary a na telo ako na stopu zanechanú pri pohybe. povrchu. Ďalšie definície čiary, povrchu a telesa sú založené na týchto úvahách.
Linka je tam miesto pohybujúceho sa bodu.
Povrch existuje geometrické miesto pohyblivej čiary.
Telo existuje geometrické miesto pohybujúceho sa povrchu.
Všetky objekty uvažované v prírode majú tri rozmery. Nie sú v ňom žiadne body, žiadne čiary, žiadne povrchy a existujú iba telesá. V geometrii sa však body, čiary a povrchy zvažujú oddelene od telies. Zároveň nám veľmi tenká škrupina tela poskytuje približnú vizuálnu reprezentáciu povrchu, veľmi tenká niť alebo vlas poskytuje vizuálnu reprezentáciu línie a hrotu konca vlákna.
Čiary sú kategorizované ako rovné, prerušované a zakrivené.
medzi dvoma bodmi je najkratšia vzdialenosť.
Pevne natiahnutá tenká niť poskytuje určitú vizuálnu reprezentáciu priamky.
Každý riadok je označený písmenami umiestnenými v jeho bodoch. Výkres 2 znázorňuje priamku AB. V každej priamke sa jej venuje pozornosť smer a rozsah.
Smer priamky je určený jej polohou.
dochádza k postupnému a súvislému spojeniu niekoľkých priamych línií s nerovnakým smerom.
Prerušovaná čiara ABCD (obr. 3) je zložená z priamych čiar AB, BC, CD, ktoré majú nerovnaký smer.
existuje jeden, ktorý nemožno zložiť z priameho.
Čiara zobrazená v diablovi. 4, bude to zakrivená čiara.
Čiara zložená z priamych čiar a kriviek sa niekedy nazýva zložená čiara.
Výkres (4, a) predstavuje takúto zloženú čiaru.
Povrchy sú kategorizované ako rovné alebo ploché a zakrivené... Rovný povrch sa nazýva rovina.
Lietadlo. Plocha sa nazýva rovina, keď každá priamka vedená cez každé dva body plochy leží na nej so všetkými jej bodmi.
Zakrivený povrch existuje jedna, ktorá sa nedá poskladať z rovín.
Priama čiara nakreslená medzi ľubovoľnými dvoma bodmi zakriveného povrchu sa naň nezmestí so všetkými jeho medziľahlými bodmi.
Určité vizuálne zobrazenie roviny je dané povrchom dobre vylešteného zrkadla alebo povrchom stojatej vody. Príkladom zakrivených plôch je plocha biliardovej gule.
Geometria sa delí na planimetriu a objemovú geometriu..
Planimetrie študuje vlastnosti geometrických predĺžení uvažovaných v rovine.
Stereometria študuje vlastnosti takých geometrických predĺžení, ktoré nemožno znázorniť v jednej rovine.
Planimetria sa nazýva geometria v rovine, stereometria sa nazýva geometria v priestore.
Geometria je tiež rozdelená na počiatočnú a vyššiu. V tejto eseji sa navrhuje iba prezentácia počiatočnej geometrie.
Geometrické pravdy sú vyjadrené vo forme axióm, viet, lém a problémov alebo problémov.
axióma existuje pravda, ale jej zjavnosť nevyžaduje dôkaz.
Príklady právd, ktoré nevyžadujú dôkaz, sú tieto axiómy:
Celok sa rovná súčtu jeho častí.
Celok je väčší ako jeho časť. Časti sú menšie ako celok.
Dve množstvá, ktoré sa rovnajú tej istej tretine, sú si navzájom rovné.
Rovnakým sčítaním alebo odčítaním od rovnakých hodnôt dostaneme rovnaké hodnoty.
Pričítaním alebo odčítaním od rovnakých hodnôt nie rovnako dostaneme nerovnaké hodnoty.
Rovnomerným sčítaním alebo odčítaním od nerovnakých množstiev dostaneme nerovnaké množstvá.
Súčet väčších hodnôt je väčší ako súčet menších hodnôt.
Rovnaká sa mu homogénna veličina, ktorá nie je viac a nie je menšia ako iná atď.
Veta. Veta alebo predpoklad je pravda, ktorá si vyžaduje dôkaz..
Dôkaz je súbor argumentov, vďaka ktorým je teorém zrejmý.
Veta je dokázaná pomocou axióm.
Zloženie vety. Akákoľvek veta pozostáva z podmienky a záveru.
Stav sa niekedy nazýva predpoklad, predpoklad, a záver sa niekedy nazýva dôsledkom... Podmienka je daná a preto niekedy dostane meno daný.
Veta sa nazýva inverzná, ak je záver urobený podmienkou a podmienka alebo predpoklad je urobený záverom. V tomto prípade sa táto veta nazýva priama. Nie každá veta má svoj opak.
Problém alebo výzva existuje otázka, ktorá sa dá vyriešiť pomocou viet.
Lemma je pomocná pravda, ktorá uľahčuje dôkaz vety.
Geometria (Grécka geometria, z ge - Zem a metero - meru)
odvetvie matematiky, ktoré študuje priestorové vzťahy a formy, ako aj iné vzťahy a formy, ktoré sú svojou štruktúrou podobné priestorovým. Pôvod termínu „G.“, čo doslovne znamená „meračstvo“, možno vysvetliť nasledujúcimi slovami pripisovanými starogréckemu vedcovi Eudovi z Rodosu (4. storočie pred Kristom): „Geometriu objavili Egypťania a vznikla pri meraní Zeme. Toto meranie mu bolo potrebné kvôli rozvodnenej rieke Níl, ktorá neustále zmývala hranice.“ „Už u starých Grékov znamenala geografia matematickú vedu, zatiaľ čo pojem geodézia bol zavedený pre vedu o meraní. zem.
Súdiac podľa dochovaných fragmentov staroegyptských písomností, geografia sa vyvinula nielen z meraní Zeme, ale aj z meraní objemov a povrchov pri výkopových a stavebných prácach atď. Prvotné pojmy G. vznikli ako výsledok abstrakcie od všetkých vlastností a vzťahov telies, okrem vzájomného usporiadania a veľkosti. Prvé sú vyjadrené v dotyku alebo priľnutí tiel k sebe, v tom, že jedno telo je súčasťou druhého, v usporiadaní „medzi“, „vnútri“ atď. Druhé sú vyjadrené výrazmi „viac“, „menej“, v koncepte rovnosti tiel. Prostredníctvom toho istého rozptýlenia vzniká pojem geometrického telesa. Geometrické teleso je abstrakcia, v ktorej sú zachované iba tvary a rozmery v úplnej abstrakcii od všetkých ostatných vlastností. G. zároveň, ako je pre matematiku všeobecne charakteristické, úplne abstrahuje od neurčitosti a pohyblivosti reálnych foriem a veľkostí a všetky vzťahy a formy, ktoré skúma, považuje za absolútne presné a určité. Odpútanie pozornosti od napínania tiel vedie k pojmom povrch, čiara a bod. Toto je jasne vyjadrené napríklad v definíciách poskytnutých Euklidom: "čiara je dĺžka bez šírky", "plocha je taká, ktorá má dĺžku a šírku." Bod bez akéhokoľvek rozšírenia je abstrakciou odrážajúcou možnosť neobmedzeného zmenšovania všetkých rozmerov telesa, pomyselnú hranicu jeho nekonečného delenia. Potom existuje všeobecný pojem o geometrickom útvare, ktorým sa rozumie nielen teleso, plocha, čiara či bod, ale aj ich ľubovoľná kombinácia. G. v pôvodnom význame je náuka o figúrach, o vzájomnej polohe a veľkosti ich častí, ako aj o premene figúrok. Táto definícia je v súlade s definíciou geografie ako vedy o priestorových formách a vzťahoch. Postava, ako sa o nej uvažuje v G., je skutočne priestorovou formou; preto v G. hovoria napr. „guľa“ a nie „guľovité teleso“; umiestnenie a veľkosť sú určené priestorovými vzťahmi; napokon, transformácia, ako ju chápe G., má tiež určitý vzťah medzi dvoma figúrami - danou a tou, do ktorej sa premieňa. V modernom, všeobecnejšom zmysle geografia zahŕňa rôzne matematické teórie, ktorých príslušnosť ku geografii je daná nielen podobnosťou (hoci niekedy veľmi vzdialenou) ich predmetu s bežnými priestorovými formami a vzťahmi, ale aj tým, že historicky sa vyvíjali a formovali na základe geografie v jej pôvodnom význame a pri jej konštrukciách vychádzajú z analýzy, zovšeobecňovania a modifikácie jej pojmov. G. je v tomto všeobecnom zmysle úzko spätá s ostatnými odvetviami matematiky a jej hranice nie sú presné. Pozrite si časti Zovšeobecnenie učiva geometrie a Moderná geometria. Vývoj geometrie... Vo vývoji G. možno naznačiť štyri hlavné obdobia, ktorých prechody naznačovali kvalitatívnu zmenu G. Prvé, obdobie zrodu geografie ako matematickej vedy, prebiehalo v Starovekom Egypte, Babylone a Grécku približne do 5. storočia. pred Kr e. Primárne geometrické informácie sa objavujú už v najskorších štádiách vývoja spoločnosti. Stanovenie prvých všeobecných zákonov, v tomto prípade vzťahov medzi geometrickými veličinami, by sa malo považovať za základy vedy. Tento moment sa nedá datovať. Najstaršie dielo obsahujúce základy G. sa k nám dostalo zo starovekého Egypta a pochádza približne zo 17. storočia. pred Kr e., ale nepochybne nie je prvý. Geometrické informácie z tohto obdobia boli vzácne a zredukovali sa predovšetkým na výpočet určitých plôch a objemov. Boli prezentované vo forme pravidiel, zjavne, do značnej miery empirického pôvodu, zatiaľ čo logické dôkazy boli pravdepodobne ešte veľmi primitívne. G. bol podľa svedectva gréckych historikov prenesený do Grécka z Egypta v 7. storočí. pred Kr e. Tu sa počas niekoľkých generácií vyvinul do harmonického systému. Tento proces prebiehal hromadením nového geometrické znalosti, objasnenie súvislostí medzi rôznymi geometrickými faktami, vývoj metód dokazovania a napokon aj vytváranie pojmov o obrazci, o geometrickom výroku a o dôkaze. Tento proces napokon viedol ku kvalitatívnemu skoku vpred. Geografia sa zmenila na samostatnú matematickú vedu: objavili sa jej systematické výklady, kde sa jej návrhy dôsledne dokazovali. Odvtedy sa začína druhé obdobie vývoja G. Známe sú zmienky o systematických expozíciách G., medzi nimi aj tá uvedená v 5. storočí. pred Kr e. Hippokrates z Chiosu (pozri Hippokrates z Chiosu). Zachoval sa a neskôr zohral rozhodujúcu úlohu, ktorá sa objavila okolo roku 300 pred Kr. e. „Začiatky“ Euklida (Pozri Počiatky Euklida). Geografia je tu prezentovaná tak, ako sa vo všeobecnosti chápe aj teraz, ak sa obmedzíme na elementárnu geometriu (pozri Elementárna geometria); je to veda o najjednoduchších priestorových formách a vzťahoch, rozvíjaná v logickej postupnosti, založená na jasne formulovaných základných ustanoveniach – axiómach a základných priestorových pojmoch. Geometria vyvinutá na rovnakých základoch (axiómach), dokonca prepracovaná a obohatená tak v predmete, ako aj v metódach výskumu, sa nazýva euklidovská geometria (pozri euklidovská geometria). Aj v Grécku k nemu pribudli nové výsledky, nové metódy určovania plôch a objemov (Archimedes, 3. storočie pred n. l.), objavila sa náuka o kužeľových rezoch (Apollonius z Pergy, 3. storočie pred Kristom), pribudli počiatky trigonometrie.( Hipparchos , 2
v. pred Kr B.C.) a G. na guli (Menelaus, 1. storočie n. l.). Úpadok antickej spoločnosti viedol ku komparatívnej stagnácii vo vývoji Gruzínska, ďalej sa však rozvíjal v Indii, v r. Stredná Ázia, v krajinách arabského východu. Oživenie vedy a umenia v Európe znamenalo ďalší rozkvet G.. nový krok bol vyrobený v 1. polovici 17. storočia. R. Descartes, ktorý do geografie zaviedol metódu súradníc. Súradnicová metóda umožnila prepojiť geografiu s vtedy sa rozvíjajúcou algebrou a rodiacou sa analýzou. Aplikácia metód týchto vied v geografii viedla k vzniku analytickej geografie a potom diferenciálnej. G. prešiel v porovnaní s antickým G. do kvalitatívne novej etapy: uvažuje oveľa všeobecnejšie postavy a používa podstatne nové metódy. Od tejto doby sa začalo tretie obdobie vývoja G. Analytická geometria študuje obrazce a premeny dané algebraické rovnice v pravouhlých súradniciach pomocou metód algebry. Diferenciálna geometria, ktorá vznikla v 18. storočí. V dôsledku práce L. Eulera, G. Mongea a iných už študuje akékoľvek dostatočne hladké zakrivené línie a plochy, ich rodiny (čiže ich súvislé kolekcie) a transformácie (pojem „diferenciálna geometria“ je tzv. teraz často všeobecnejší význam, pozri časť Moderná geometria). Jeho názov sa spája najmä s jeho metódou, založenou na diferenciálnom počte. Do 1. polovice 17. stor. odkazuje na zrod projektívnej geometrie (pozri Projektívna geometria) v prácach J. Desarguesa a B. Pascala (pozri Pascal). Vznikol z problémov zobrazovania tiel v rovine; jeho prvým predmetom sú tie vlastnosti rovinných útvarov, ktoré sa zachovávajú pri navrhovaní z jednej roviny do druhej z akéhokoľvek bodu. Finálny dizajn a systematická prezentácia týchto nových trendov v geografii sa uskutočnila v 18. a na začiatku 19. storočia. Euler pre analytickú geometriu (1748), Monge pre diferenciálnu geometriu (1795), J. Poncelet pre projektívnu geometriu (1822) a samotná doktrína geometrického obrazu (v priamej súvislosti s problémami kreslenia) bola vyvinutá ešte skôr (1799) resp. je vnesená do Mongeovho systému vo forme deskriptívnej geometrie (Pozri Deskriptívna geometria). Vo všetkých týchto nových disciplínach zostali základy (axiómy, počiatočné pojmy) geometrie nezmenené, pričom sa rozšíril rozsah skúmaných útvarov a ich vlastností, ako aj používaných metód. Štvrté obdobie vo vývoji G. bolo otvorené výstavbou N.I. Lobačevského (pozri Lobačevskij)
v roku 1826 nová, neeuklidovská geometria, teraz nazývaná Lobačevského geometria (pozri Lobačevského geometriu). Nezávisle od Lobačevského postavil v roku 1832 to isté mesto J. Bolyai (rovnaké myšlienky rozvinul aj K. Gauss, ale nezverejnil ich). Zdroj, podstata a zmysel Lobačevského myšlienok sú nasledovné. V geometrii Euklida existuje axióma o rovnobežkách, ktorá hovorí: "cez bod, ktorý neleží na danej priamke, nemôže byť nakreslená viac ako jedna priamka rovnobežná s danou." Mnoho geometrov sa pokúšalo dokázať túto axiómu na základe iných základných premís euklidovskej geometrie, no neúspešne. Lobačevskij dospel k záveru, že takýto dôkaz je nemožný. Výrok oproti Euklidovej axióme znie: „cez bod, ktorý neleží na danej priamke, možno nakresliť nie jednu, ale aspoň dve priamky rovnobežné s ním.“ Toto je Lobačevského axióma. Doplnenie tohto ustanovenia k ostatným základným ustanoveniam G. podľa Lobačevského vedie k logicky bezchybným záverom. Systém týchto záverov tvorí novú, neeuklidovskú zásluhu G. Lobačevského, že túto myšlienku nielen vyjadril, ale v skutočnosti postavil a komplexne rozvinul novú G., logicky rovnako dokonalú a na závery bohatú ako euklidovská, napriek svojej nejednotnosti. s obvyklými vizuálnymi reprezentáciami. Lobačevskij považoval svoju G. za možnú teóriu priestorových vzťahov; ostal však hypotetický, kým sa neobjasnil jeho skutočný význam (v roku 1868), a tým nebolo dané jeho plné opodstatnenie (pozri časť Výklad geometrie). Revolúcia v Nemecku, ktorú uskutočnil Lobačevskij, nie je významovo nižšia ako žiadna z revolúcií v prírodných vedách a nie nadarmo bol Lobačevskij nazývaný „Kopernikom geometrie“. V jeho predstavách boli načrtnuté tri princípy, ktoré určili nový vývoj G. Prvým princípom je, že logicky nie je mysliteľný len euklidovský G., ale aj iné „geometrie“. Druhým princípom je princíp samotnej konštrukcie nových geometrických teórií úpravou a zovšeobecnením základných ustanovení euklidovského H. zistí v tomto zmysle nepresnosť euklidovského H. Moderná fyzika to potvrdila. Tým sa však nestráca matematická presnosť euklidovského G., keďže je určená logickou konzistentnosťou (konzistenciou) tohto G. Rovnako vo vzťahu k akejkoľvek geometrickej teórii je potrebné rozlišovať medzi ich fyzikálnou a matematickou pravdou; prvá spočíva v zhode reality overenej skúsenosťou, druhá v logickej konzistentnosti. Lobačevskij teda dal filozofii matematiky materialistický základ. Vymenované všeobecné princípy zohrali dôležitú úlohu nielen v geografii, ale aj v matematike všeobecne, pri rozvoji jej axiomatickej metódy a pri pochopení jej vzťahu k realite. Hlavná črta nového obdobia v dejinách geografie, ktoré začal Lobačevskij, spočíva vo vývoji nových geometrických teórií – nových „geometrií“ a v zodpovedajúcom zovšeobecnení predmetu geografie; vzniká pojem rôznych druhov „priestorov“ (pojem „priestor“ má vo vede dva významy: na jednej strane je to obyčajný reálny priestor, na druhej strane abstraktný „matematický priestor“). Zároveň sa v rámci euklidovskej geografie formovali niektoré teórie vo forme jej špeciálnych kapitol a až potom nadobudli samostatný význam. Takto sa formovala projektívna, afinná, konformná geometria a iné, ktorých predmetom sú vlastnosti útvarov, ktoré sú zachované pri vhodných (projekčných, afinných, konformných atď.) transformáciách. Vznikol koncept projektívnych, afinných a konformných priestorov; Samotný Euklidián G. sa začal v istom zmysle považovať za hlavu projektívnej G. Dr. teórie, podobne ako Lobačevského geometria, boli od počiatku budované na základe zmien a zovšeobecnení pojmov euklidovského G. Vzniklo tak napríklad viacrozmerné G.; prvé práce s ňou súvisiace (G. Grasman a A. Cayley, 1844) predstavili formálne zovšeobecnenie obvyklej analytickej geometrie z troch súradníc na n... F. Klein zhrnul vývoj všetkých týchto nových „geometrií“ v roku 1872 a naznačil všeobecný princíp ich konštrukcie. Zásadný krok urobil B. Riemann (prednáška 1854, vyd. 1867). Najprv jasne formuloval zovšeobecnený pojem priestoru ako súvislý súbor ľubovoľných homogénnych predmetov alebo javov (pozri časť Zovšeobecnenie predmetu geometria). Po druhé, zaviedol pojem priestoru s akýmkoľvek zákonom na meranie vzdialeností v nekonečne malých krokoch (ako je meranie dĺžky čiary vo veľmi malej mierke). Odtiaľ sa vyvinula rozsiahla oblasť geografie, tzv. Riemannova geometria a jej zovšeobecnenia, ktoré našli dôležité aplikácie v teórii relativity, mechanike atď.
Ďalší príklad. Stav plynu vo valci pod piestom je určený tlakom a teplotou. Množinu všetkých možných stavov plynu teda možno znázorniť ako dvojrozmerný priestor. „Body“ tohto „priestoru“ sú stavy plynu; „Body“ sa líšia dvoma „súradnicami“ - tlakom a teplotou, rovnako ako sa body v rovine líšia hodnotami svojich súradníc. Priebežná zmena stavu je znázornená čiarou v tomto priestore. Ďalej si možno predstaviť akýkoľvek materiálový systém - mechanický alebo fyzikálno-chemický. Súhrn všetkých možných stavov tohto systému sa nazýva „fázový priestor“. „Body“ tohto priestoru sú samotné štáty. Ak sa zistí stav systému n množstvá, potom hovoria, že systém má n stupne slobody. Tieto veličiny zohrávajú úlohu súradníc bodového stavu, ako v príklade s tlakom a teplotou plynu zohrávali úlohu súradníc. V súlade s tým sa takýto fázový priestor systému nazýva n-rozmerný. Zmena stavu je znázornená čiarou v tomto priestore; jednotlivé oblasti štátov, odlíšené jedným alebo druhým znakom, budú oblasťami fázového priestoru a hranice oblastí budú povrchy v tomto priestore. Ak má systém iba dva stupne voľnosti, potom jeho stavy môžu byť reprezentované bodmi v rovine. Takže stav plynu s tlakom R a teplotu T bude reprezentovaný bodom so súradnicami R a T, a procesy prebiehajúce s plynom budú znázornené čiarami v rovine. Tento spôsob grafického znázornenia je dobre známy a neustále sa používa vo fyzike a technike na vizualizáciu procesov a ich zákonitostí. Ak je však počet stupňov voľnosti väčší ako 3, potom je jednoduché grafické znázornenie (aj v priestore) nemožné. Potom, aby sme zachovali užitočné geometrické analógie, sa uchýlime ku konceptu abstraktného fázového priestoru. Vizuálne grafické techniky sa tak vyvinú do tejto abstraktnej reprezentácie. Metóda fázového priestoru je široko používaná v mechanike, teoretickej fyzike a fyzikálnej chémii. V mechanike pohyb mechanický systém zobrazujú pohyb bodu v jeho fázovom priestore. Vo fyzikálnej chémii je obzvlášť dôležité zvážiť tvar a vzájomné prispôsobenie tých oblastí fázového priestoru systému niekoľkých látok, ktoré zodpovedajú kvalitatívne odlišným stavom. Povrchy oddeľujúce tieto oblasti sú povrchmi prechodov z jednej kvality do druhej (tavenie, kryštalizácia atď.). V samotnom G. sa uvažuje aj o abstraktných priestoroch, ktorých „bodmi“ sú figúry; takto sa definujú "priestory" kružníc, gúľ, priamok atď. V mechanike a teórii relativity sa zavádza aj abstraktný štvorrozmerný priestor, ktorý pridáva čas k trom priestorovým súradniciam ako štvrtej súradnici. To znamená, že udalosti musia byť rozlíšené nielen svojou polohou v priestore, ale aj v čase. Ukazuje sa teda, ako možno súvislé agregáty určitých objektov, javov, stavov zaradiť pod zovšeobecnený pojem priestoru. V takomto priestore je možné kresliť „čiary“ znázorňujúce súvislé sledy javov (stavov), kresliť „plochy“ a vhodným spôsobom určovať „vzdialenosti“ medzi „bodmi“, čím sa kvantifikuje fyzikálny pojem stupňa. rozdielu medzi zodpovedajúcimi javmi (stavmi) atď. Analogicky s obyčajnou geometriou teda vzniká „geometria“ abstraktného priestoru; ten druhý sa môže dokonca len málo podobať bežnému priestoru, je napríklad nehomogénny vo svojich geometrických vlastnostiach a konečný, ako nerovnomerne zakrivená uzavretá plocha. Predmetom geografie vo všeobecnom zmysle nie sú len priestorové formy a vzťahy, ale akékoľvek formy a vzťahy, ktoré sa pri abstrakcii od ich obsahu ukazujú ako podobné bežným priestorovým formám a vzťahom. Tieto priestorové formy reality sa nazývajú „priestormi“ a „postavami“. Priestor v tomto zmysle predstavuje súvislý súbor homogénnych predmetov, javov, stavov, ktoré zohrávajú úlohu bodov v priestore a v tomto súbore existujú vzťahy podobné bežným priestorovým vzťahom, ako je vzdialenosť medzi bodmi, rovnosť obrazcov atď. (postava je vo všeobecnosti súčasťou priestoru). G. uvažuje o týchto formách reality v abstrakcii od konkrétneho obsahu, pričom skúmanie konkrétnych foriem a vzťahov v súvislosti s ich kvalitatívne jedinečným obsahom je predmetom iných vied a G. im slúži ako metóda. Príkladom môže byť akákoľvek aplikácia abstraktu G., aspoň vyššie uvedená aplikácia n-rozmerný priestor vo fyzikálnej chémii. Geometria sa vyznačuje takým prístupom k objektu, ktorý spočíva v zovšeobecnení a prenose obvyklých geometrických konceptov a vizuálnych zobrazení na nové objekty. To je presne to, čo sa robí vo vyššie uvedených príkladoch farebného priestoru atď. Tento geometrický prístup nie je vôbec čistou konvenciou, ale zodpovedá samotnej podstate javov. Ale často môžu byť tie isté skutočné fakty zobrazené analyticky alebo geometricky, pretože rovnakú závislosť možno nastaviť rovnicou alebo čiarou v grafe. Netreba však vývoj geografie reprezentovať tak, že iba registruje a opisuje geometrickým jazykom formy a vzťahy, s ktorými sa už v praxi, podobne ako s priestorovými, stretávame. Geometria v skutočnosti definuje široké triedy nových priestorov a obrazcov v nich, vychádzajúc z analýzy a zovšeobecnenia údajov vizuálnej geometrie a už zavedených geometrických teórií. V abstraktnej definícii sa tieto priestory a postavy javia ako možné formy reality. Nejde teda o čisto špekulatívne konštrukcie, ale v konečnom dôsledku by mali slúžiť ako prostriedok na skúmanie a opis skutočných faktov. Lobačevskij, ktorý vytvoril svoj G., to považoval za možnú teóriu priestorových vzťahov. A tak ako jeho G. bola podložená v zmysle svojej logickej konzistentnosti a použiteľnosti na prírodné javy, tak aj každá abstraktná geometrická teória prechádza rovnakým dvojitým testom. Pre kontrolu logickej konzistencie je nevyhnutný spôsob konštrukcie matematických modelov nových priestorov. Vo vede sú však napokon zakorenené len tie abstraktné pojmy, ktoré sú zdôvodnené tak konštrukciou umelého modelu, ako aj aplikáciami, ak nie priamo v prírodných vedách a technike, tak aspoň v iných matematických teóriách, prostredníctvom ktorých sú tieto pojmy nejakým spôsobom spojené s realita. Ľahkosť, s akou dnes matematici a fyzici pracujú s rôznymi „priestormi“, bola dosiahnutá v dôsledku dlhého rozvoja geografie v úzkom spojení s rozvojom matematiky ako celku a iných exaktných vied. V dôsledku tohto vývoja druhá strana G., naznačená v všeobecná definícia, uvedené na začiatku článku: zaradenie do G. štúdia foriem a vzťahov podobných formám a vzťahom v bežnom priestore. Ako príklad abstraktnej geometrickej teórie môžeme považovať G. n-rozmerný euklidovský priestor. Konštruuje sa jednoduchým zovšeobecnením základných výrokov bežnej geografie a možností na to je viacero: možno napríklad zovšeobecniť axiómy obyčajných geometrií, ale možno vychádzať aj zo špecifikácie bodov súradnicami. S druhým prístupom n-rozmerný priestor je definovaný ako množina akýchkoľvek špecifikovaných bodových prvkov (každého) nčísla x 1, x 2,…, xn, umiestnené v určitom poradí - súradnice bodov. Ďalej vzdialenosť medzi bodmi X = (x 1, x 2, ..., xn) a X "= (x' 1, x '2, ..., x' n) je definovaný vzorcom: čo je priame zovšeobecnenie známeho vzorca pre vzdialenosť v trojrozmernom priestore. Pohyb je definovaný ako transformácia tvaru, ktorá nemení vzdialenosť medzi jeho bodmi. Potom predmet n-rozmerná G. je definovaná ako náuka o tých vlastnostiach figúrok, ktoré sa počas pohybu nemenia. Na tomto základe vznikli pojmy priamka, roviny rôzneho počtu rozmerov od dvoch do n-1, o lopte atď. To. tvorí sa obsahovo bohatá teória, v mnohých ohľadoch analogická s obvyklou euklidovskou G., ale v mnohých ohľadoch odlišná od nej. Často sa stáva, že výsledky získané pre trojrozmerný priestor sa ľahko prenesú s príslušnými zmenami do priestoru ľubovoľného počtu rozmerov. Napríklad teorém, že medzi všetkými telesami rovnakého objemu má guľa najmenší povrch, sa číta doslova rovnakým spôsobom v priestore ľubovoľného počtu rozmerov [treba mať na pamäti n-rozmerný objem, ( n-1) -rozmerná plocha a n-rozmerná guľa, ktoré sú definované celkom podobne ako zodpovedajúce pojmy obyčajného G.]. Ďalej, v n-rozmerný priestor, objem hranola sa rovná súčinu základnej plochy výškou a objem pyramídy sa rovná súčinu deleného n... V takýchto príkladoch by sa dalo pokračovať. Na druhej strane sa v multidimenzionálnych priestoroch odhaľujú aj kvalitatívne nové skutočnosti. Interpretácie geometrie... Rovnaká geometrická teória umožňuje rôzne aplikácie, rôzne interpretácie (realizácie, modely alebo interpretácie). Akákoľvek aplikácia teórie nie je nič iné, ako implementácia niektorých jej záverov v príslušnej oblasti javov. Možnosť rôznych realizácií je spoločnou vlastnosťou každej matematickej teórie. Aritmetické vzťahy sa teda realizujú na širokej škále množín objektov; tá istá rovnica často opisuje úplne odlišné javy. Matematika uvažuje len o forme javu, abstrahuje od obsahu a z hľadiska formy je veľa kvalitatívne odlišných javov často podobných. Rôznorodosť aplikácií matematiky a najmä geografie zabezpečuje práve jej abstraktnosť. Predpokladá sa, že určitý systém objektov (oblasť javov) umožňuje realizáciu teórie, ak vzťahy v tejto oblasti objektov možno opísať v jazyku teórie tak, že každé tvrdenie teórie vyjadruje jedno alebo druhé. skutočnosť, ktorá sa odohráva v posudzovanej oblasti. Najmä ak je teória vybudovaná na základe určitého systému axióm, potom výklad tejto teórie spočíva v takom porovnaní jej pojmov s nejakými objektmi a ich vzťahmi, v ktorom sú axiómy pre tieto objekty splnené. G. Euklidovský vznikol ako odraz faktov reality. Za pohyb sa považuje jeho zaužívaný výklad, v ktorom sa napnuté nite považujú za rovné, mechanický pohyb atď., a predchádza geografii ako matematickej teórii. Otázka iných interpretácií nebola a nemohla byť nastolená, kým sa neobjavilo abstraktnejšie chápanie geometrie. Lobačevskij vytvoril neeuklidovskú geometriu ako možnú geometriu a potom vyvstala otázka o jej skutočnej interpretácii. Tento problém vyriešil v roku 1868 E. Beltrami, ktorý si všimol, že Lobačevského geometria sa zhoduje s vnútornou geometriou plôch s konštantnou zápornou krivosťou, teda vety Lobačevského geometrie opisujú geometrické fakty na takýchto plochách (v tomto prípade úloha priamych čiar zohrávajú geodetické čiary a rolu pohybov - ohýbanie povrchu smerom k sebe). Keďže takáto plocha je zároveň objektom Euklidovského G., ukázalo sa, že Lobačevského geometria je interpretovaná v zmysle euklidovskej geometrie. Tak sa dokázala konzistentnosť Lobačevského geometrie, od r rozpor v ňom by na základe vyššie uvedeného výkladu znamenal rozpor v geometrii Euklida. Tak sa objasňuje dvojaký význam výkladu geometrickej teórie – fyzikálny a matematický. Ak hovoríme o interpretácii na konkrétnych objektoch, tak získame experimentálny dôkaz pravdivosti teórie (samozrejme s patričnou presnosťou); ak samotné objekty majú abstraktný charakter (ako geometrický povrch v rámci euklidovskej geometrie), potom je teória spojená s inou matematickou teóriou, v tomto prípade s euklidovskou geometriou a prostredníctvom nej s experimentálnymi údajmi v nej zhrnutými. Táto interpretácia jednej matematickej teórie pomocou inej sa stala matematickou metódou na zdôvodnenie nových teórií, technikou na dokazovanie ich konzistentnosti, pretože rozpor v novej teórii by vyvolal rozpor v teórii, v ktorej sa interpretuje. Ale teóriu, ktorou sa interpretácia robí, treba zasa podložiť. Preto uvedená matematická metóda neodstraňuje skutočnosť, že prax zostáva konečným kritériom pravdivosti matematických teórií. V súčasnosti sa geometrické teórie najčastejšie interpretujú analyticky; napríklad body na rovine Lobačevského môžu byť spojené s pármi čísel X a pri, priame čiary - určí sa pomocou rovníc atď. Táto technika poskytuje zdôvodnenie teórie, pretože samotná matematická analýza je v konečnom dôsledku podložená rozsiahlou praxou jej aplikácie. Moderná geometria... Formálno-matematická definícia pojmov priestor a figúra, akceptovaná v modernej matematike, vychádza z pojmu množiny (pozri Teória množín). Priestor je definovaný ako súbor ľubovoľných prvkov („bodov“) s podmienkou, že v tomto súbore sú vytvorené nejaké vzťahy, podobne ako bežné priestorové vzťahy. Veľa farieb, veľa stavov fyzického systému, veľa spojitých funkcií definovaných na segmente atď. tvoria priestory, kde body sú farby, stavy, funkcie. Presnejšie povedané, tieto množiny sa chápu ako priestory, ak sú v nich zafixované iba zodpovedajúce vzťahy, napríklad vzdialenosť medzi bodmi a tie vlastnosti a vzťahy, ktoré sú prostredníctvom nich určené. Takže vzdialenosť medzi funkciami môže byť definovaná ako maximum absolútnej hodnoty ich rozdielu: max | f(X)-g(X)|
... Obrazec je definovaný ako ľubovoľná množina bodov v danom priestore. (Niekedy je priestor sústavou množín prvkov. Napríklad v projektívnej geografii je zvykom považovať body, čiary a roviny za rovnaké počiatočné geometrické objekty spojené vzťahmi „spojenia“.) Hlavné typy vzťahov, ktoré v rôznych kombináciách vedú k celej škále „priestorov“ modernej geografie, sú nasledovné: 1) Všeobecné vzťahy, ktoré existujú v akejkoľvek množine, sú vzťahy príslušnosti a inklúzie: bod patrí do množiny a jedna množina je súčasťou inej. Ak sa berú do úvahy iba tieto vzťahy, potom v množine nie je definovaná žiadna „geometria“, nestáva sa priestorom. Ak sa však vyberú nejaké špeciálne obrazce (množiny bodov), potom „geometria“ priestoru môže byť určená zákonmi spojenia bodov s týmito obrazcami. Takúto úlohu zohrávajú kombinačné axiómy v elementárnom, afinnom, projektívnom G .; tu sú špeciálnymi súbormi priame čiary a roviny. Rovnaký princíp rozlišovania niektorých špeciálnych množín nám umožňuje definovať pojem topologického priestoru - priestoru, v ktorom sa ako špeciálne množiny vyberajú „okolia“ bodov (s podmienkou, že bod patrí do jeho okolia a každý bod má min. jedno susedstvo; kladenie ďalších požiadaviek na susedstvá určuje jeden alebo druhý typ topologických priestorov). Ak má každé okolie daného bodu body spoločné s nejakou množinou, potom sa takýto bod nazýva dotykový bod tejto množiny. Dve množiny možno nazvať súvislými, ak aspoň jedna z nich obsahuje styčné body druhej; priestor alebo obrazec bude súvislý, alebo, ako sa hovorí, spojený, ak ho nemožno rozdeliť na dve nesúvislé časti; premena je kontinuálna, ak nepreruší kontakt. Pojem topologického priestoru teda slúži na matematické vyjadrenie pojmu spojitosti. [Topologický priestor môže byť definovaný aj inými špeciálnymi množinami (uzavreté, otvorené) alebo priamo dotykovým vzťahom, v ktorom je s jeho dotykovými bodmi spojená ľubovoľná množina bodov.] Topologické priestory ako také, množiny v nich a ich transformácie sú predmet topológie. Predmetom vlastnej geografie (z veľkej časti) je štúdium topologických priestorov a útvarov v nich, obdarených ďalšími vlastnosťami. 2) Druhým najdôležitejším princípom určovania určitých priestorov a ich štúdia je zavedenie súradníc. Varieta je (spojený) topologický priestor, do ktorého susedstva každého bodu možno zaviesť súradnice umiestnením bodov okolia do vzájomnej spojitosti jedna k jednej so systémami z n reálne čísla x 1, x 2,(, xn... číslo n je počet dimenzií diverzity. Priestory študované vo väčšine geometrických teórií sú rozmanité; Najjednoduchšie geometrické tvary (segmenty, časti plôch ohraničené krivkami a pod.) sú zvyčajne kusy rozdeľovačov. Ak sa medzi všetkými súradnicovými systémami, ktoré možno zaviesť po častiach variety, rozlišujú súradnicové systémy takého druhu, že niektoré súradnice sú vyjadrené v termínoch iných pomocou diferencovateľných (jeden alebo iný počet krát) alebo analytických funkcií, potom dostaneme takzvaný. hladké (analytické) potrubie. Tento koncept zovšeobecňuje vizuálnu reprezentáciu hladkého povrchu. Hladké rozvody ako také tvoria predmet tzv. diferenciálna topológia. V G. vlastnom sú obdarené ďalšími vlastnosťami. Súradnice s akceptovanou podmienkou diferencovateľnosti ich transformácií poskytujú základ pre široké použitie analytických metód - diferenciálneho a integrálneho počtu, ako aj vektorovej a tenzorovej analýzy (pozri Vector calculus, Tensor calculus). Úhrn teórií G., vypracovaných týmito metódami, tvorí všeobecný diferenciál G.; Jej najjednoduchším prípadom je klasická teória hladkých kriviek a plôch, ktoré nie sú ničím iným ako jedno- a dvojrozmernými diferencovateľnými varietami. 3) Zovšeobecnenie pojmu pohybu ako premeny jednej figúry na inú vedie k všeobecnému princípu definovania rôznych priestorov, keď sa priestor považuje za množinu prvkov (bodov), v ktorých skupina jedno-k- je daná jedna transformácia tejto množiny na sebe. „Geometria“ takéhoto priestoru spočíva v štúdiu tých vlastností figúrok, ktoré sa zachovávajú pri transformáciách z tejto skupiny. Preto z pohľadu takého G. možno figúry považovať za „rovnocenné“, ak jedna prechádza do druhej transformáciou z danej skupiny. Napríklad euklidovská geometria študuje vlastnosti postáv, ktoré sa zachovajú počas pohybov, afinná geometria študuje vlastnosti postáv, ktoré sa zachovajú pri afinných transformáciách, a topológia, vlastnosti postáv, ktoré sa zachovajú pri akejkoľvek transformácii jedna ku jednej a nepretržitej transformácii. . Rovnaká schéma zahŕňa geometriu Lobachevského, projektívnu geometriu a ďalšie.V skutočnosti je tento princíp kombinovaný so zavedením súradníc. Priestor je definovaný ako hladká varieta, v ktorej sú transformácie dané funkciami spájajúcimi súradnice každého daného bodu a toho, do ktorého ide (súradnice obrazu bodu sú dané ako funkcie súradníc samotného bodu a parametre, od ktorých transformácia závisí; napríklad afinné transformácie sú definované ako lineárne: x "i = a i1 x 1 + a i2 x 2 +... + a v x n, i = 1,..., n). Preto všeobecným aparátom na vývoj takýchto „geometrií“ je teória spojitých transformačných grúp. Je možný aj iný, v podstate ekvivalentný pohľad, podľa ktorého sa nešpecifikujú transformácie priestoru, ale transformácie súradníc v ňom a študujú sa tie vlastnosti útvarov, ktoré sú rovnako vyjadrené v rôznych súradnicových systémoch. Tento uhol pohľadu našiel uplatnenie v teórii relativity, ktorá vyžaduje rovnaké vyjadrenie fyzikálnych zákonov v rôznych súradnicových systémoch, ktoré sa vo fyzike nazývajú referenčné sústavy. 4) Ďalší všeobecný princíp pre definíciu priestorov, ktorý v roku 1854 naznačil Riemann, vychádza zo zovšeobecnenia pojmu vzdialenosti. Podľa Riemanna je priestor hladká varieta, v ktorej je daný zákon merania vzdialeností, presnejšie dĺžok, v infinitezimálnych krokoch, to znamená, že diferenciál dĺžky oblúka krivky je špecifikovaný ako funkcia súradníc bodu. krivky a ich diferenciálov. Ide o zovšeobecnenie vnútorného G. plôch, ktoré Gauss definoval ako štúdium vlastností plôch, ktoré možno zistiť meraním dĺžok kriviek na nich. Najjednoduchší prípad predstavuje tzv. Riemannove priestory, v ktorých Pytagorova veta platí v infinitezimálnom (tj v okolí každého bodu možno zaviesť súradnice tak, že v tomto bode sa druhá mocnina diferenciálu dĺžky oblúka bude rovnať súčtu štvorcov diferenciály súradníc; v ľubovoľných súradniciach je vyjadrený všeobecnou kladnou kvadratickou formou; pozri Riemannove geometrie (Pozri Riemannovu geometriu)). Takýto priestor je teda euklidovský v infinitezimáli, ale celkovo nemusí byť euklidovský, rovnako ako zakrivenú plochu len v infinitezimáli možno s primeranou presnosťou zredukovať na rovinu. Geometrie Euklida a Lobačevského sa ukazujú byť špeciálnym prípadom tohto Riemannovho G. Najširšie zovšeobecnenie pojmu vzdialenosť viedlo ku koncepcii všeobecného metrického priestoru ako takého súboru prvkov, v ktorom je daná „metrika“, to znamená, že každej dvojici prvkov je pridelené číslo - vzdialenosť medzi nimi, len za veľmi všeobecných podmienok. Táto myšlienka hrá dôležitú úlohu vo funkčnej analýze (pozri Funkčná analýza) a je základom niektorých najnovších geometrických teórií, ako je vnútorná geometria nehladkých povrchov a zodpovedajúce zovšeobecnenia Riemannovej geometrie. 5) Kombinácia Riemannovej myšlienky definovania „geometrie“ v nekonečne malých oblastiach rozmanitosti s definíciou „geometrie“ pomocou skupiny transformácií viedla (E. Cartan, 1922-25) ku konceptu priestor, v ktorom sú premeny dané len v nekonečne malých oblastiach; inými slovami, transformácie tu vytvárajú spojenie iba medzi nekonečne blízkymi časťami rozmanitosti: jeden kus sa premieňa na druhý, nekonečne blízky. Preto sa hovorí o priestoroch s „konektivitou“ jedného alebo druhého typu. Najmä priestory s „euklidovským spojením“ sú riemannovské. Ďalšie zovšeobecnenia sa vracajú ku konceptu priestoru ako hladkej variety, na ktorej je dané všeobecné „pole“ nejakého „objektu“, čo môže byť kvadratická forma, ako v Riemannovej geometrii, množina veličín, ktoré určujú súvislosť, konkrétny tenzor a pod. Sem patrí aj nedávno zavedený tzv. vrstvené priestory. Medzi tieto pojmy patrí najmä zovšeobecnenie Riemannovej geometrie súvisiacej s teóriou relativity, keď sa uvažuje o priestoroch, kde metrike už nie je priradený kladný, ale striedavý kvadratický tvar (takéto priestory sa nazývajú aj riemannovské alebo pseudoriemannovské , ak ich niekto chce odlíšiť od Riemannovských priestorov v pôvodnom zmysle ). Tieto priestory sú priestory so spojením definovaným príslušnou skupinou, inou ako je skupina euklidovských pohybov. Na základe teórie relativity vznikla teória priestorov, v ktorej bol definovaný pojem postupnosti bodov, takže každý bod X veľa V (X) nasledujúce body. (Ide o prirodzené matematické zovšeobecnenie postupnosti udalostí, ktoré je definované skutočnosťou, že udalosť Y nasleduje udalosť X, ak X ovplyvňuje Y, a potom Y nasleduje X v čase v akomkoľvek vzťažnom rámci.) Od samotnej definície množín V definuje nasledujúce body X, ako patriace do súpravy V (X), potom sa definícia tohto typu priestorov ukazuje ako aplikácia prvého z vyššie uvedených princípov, kedy je „geometria“ priestoru určená výberom špeciálnych množín. Samozrejme, v tomto prípade sady V musí spĺňať príslušné podmienky; v najjednoduchšom prípade sú to konvexné kužele. Táto teória zahŕňa teóriu zodpovedajúcich pseudo-riemannovských priestorov. 6) Axiomatická metóda vo svojom čistej forme teraz slúži buď na vytvorenie hotových teórií, alebo na určenie všeobecných typov priestorov s odlíšenými špeciálnymi množinami. Ak sa určí jeden alebo druhý typ konkrétnejších priestorov, formulujú sa ich vlastnosti ako axiómy, potom sa použijú buď súradnice, alebo metrika atď.. Konzistentnosť a tým aj zmysluplnosť axiomatickej teórie sa overí uvedením modelu, na ktorom je implementovaný, ako to bolo prvýkrát urobené pre geometriu Lobachevsky. Samotný model je zostavený z abstraktných matematických objektov, takže „konečné opodstatnenie“ akejkoľvek geometrickej teórie ide do oblasti základov matematiky vo všeobecnosti, ktoré nemôžu byť konečné v plnom zmysle, ale vyžadujú si prehĺbenie (pozri Matematika, axiomatická metóda). Uvedené princípy v rôznych kombináciách a variáciách dávajú vznik širokej škále geometrických teórií. Význam každej z nich a miera pozornosti venovanej jej problémom sú určené obsahom týchto problémov a dosiahnutými výsledkami a ich prepojením s inými teóriami geografie, s inými oblasťami matematiky, s exaktnými prírodnými vedami a s problémy techniky. Každá daná geometrická teória je určená medzi ostatnými geometrickými teóriami, po prvé, akým priestorom alebo akým typom priestoru uvažuje. Po druhé, definícia teórie zahŕňa označenie skúmaných čísel. Takto sa rozlišujú teórie mnohostenov, kriviek, plôch, konvexných telies atď. Každá z týchto teórií sa môže rozvíjať v určitom priestore. Napríklad možno uvažovať o teórii mnohostenov v bežnom euklidovskom priestore, v n-rozmerný euklidovský priestor, v Lobačevskom priestore atď. Môžete rozvinúť obvyklú teóriu plôch, projektívnu, v Lobačevskom priestore atď. Po tretie, povaha uvažovaných vlastností obrazcov je dôležitá. Takže môžete študovať vlastnosti povrchov, ktoré sú zachované pri určitých transformáciách; možno rozlišovať medzi teóriou zakrivenia plôch, teóriou ohybov (t. j. deformácií, ktoré nemenia dĺžky kriviek na ploche) a vnútorným G. Napokon, definícia teórie môže zahŕňať jej hlavnú metódu a tzv. charakter formulácie problémov. Rozlišujú teda G.: elementárne, analytické, diferenciálne; možno napríklad hovoriť o elementárnom alebo analytickom G. Lobačevského priestoru. Rozlišuje sa geometria „v malom“, ktorá zohľadňuje len vlastnosti ľubovoľne malých kúskov geometrického obrazu (krivka, plocha, varieta), od geometrie „v celku“, ktorá študuje, ako je zrejmé z jej názvu. , geometrické obrázky ako celok po celej dĺžke. Rozdiel medzi analytickými metódami a syntetickými geometrickými metódami (alebo vlastnými geometrickými metódami) je veľmi všeobecný; prvé používajú prostriedky zodpovedajúceho počtu: diferenciál, tenzor atď., druhé pracujú priamo s geometrickými obrazmi. Zo všetkých rôznych geometrických teórií sú v skutočnosti najrozvinutejšie n-rozmerná euklidovská G. a riemannovská (vrátane pseudoriemannovskej) G. V prvej sa rozvíja teória kriviek a plôch (a hyperploch rôzneho počtu rozmerov) a skúmanie plôch „vo veľkom“ a plôch, ktoré sú oveľa všeobecnejšie ako hladké, študované v klasickom diferenciáli G .; patria sem aj mnohosteny (mnohosteny). Potom treba menovať teóriu konvexných telies, ktorú však z veľkej časti možno odvolávať na teóriu plôch ako celok, keďže teleso je definované jeho povrchom. Ďalej - teória pravidelných sústav postáv, to znamená, že umožňujú pohyby, ktoré prenášajú celý systém do seba a ktorúkoľvek z jeho postáv do akejkoľvek inej (pozri Fedorovove skupiny (pozri Fedorovovu skupinu)). Možno konštatovať, že značný počet najvýznamnejších výsledkov v týchto oblastiach patrí Sov. geometre: veľmi úplný vývoj teórie konvexných plôch a podstatný vývoj teórie všeobecných nekonvexných plôch, rôzne vety o plochách všeobecne (existencia a jedinečnosť konvexných plôch s danou vnútornou metrikou alebo s danou alebo iná „funkcia zakrivenia“, teorém o nemožnosti existencie celoplošný so zakrivením všade menej ako ktorýkoľvek iný záporné číslo, atď.), štúdium správneho členenia priestoru a pod. V teórii Riemannovských priestorov sa skúmajú otázky týkajúce sa spojenia ich metrických vlastností s topologickou štruktúrou, správanie sa geodetických línií (najkratšie v malých úsekoch) vo všeobecnosti, ako napríklad otázka existencie uzavretých geodetík, otázky „ imerzia“, teda realizácia daného n-rozmerný Riemannov priestor vo forme n-rozmerný povrch v euklidovskom priestore ľubovoľného počtu rozmerov, otázky pseudoriemannovskej geometrie súvisiace so všeobecnou teóriou relativity atď. G. Okrem toho treba spomenúť algebraickú geometriu (pozri Algebraická geometria), ktorá sa vyvinula z analytickej geometrie a skúma predovšetkým geometrické obrazy definované algebraickými rovnicami; zaujíma zvláštne miesto, pretože zahŕňa nielen geometrické, ale aj algebraické a aritmetické úlohy. Existuje tiež rozsiahla a dôležitá oblasť štúdia nekonečne rozmerných priestorov, ktorá však nie je zahrnutá v G., ale je zahrnutá do funkčnej analýzy, pretože nekonečno-rozmerné priestory sú špecificky definované ako priestory, ktorých body sú určitými funkciami. Napriek tomu v tejto oblasti existuje veľa výsledkov a problémov, ktoré sú skutočne geometrického charakteru, a preto ich treba pripísať G. Hodnota geometrie. Používanie euklidovského G. je najčastejším javom všade tam, kde sa určujú plochy, objemy atď. Celá technika, keďže v nej hrá rolu tvar a veľkosť telies, využíva euklidovskú G. Kartografiu, geodéziu, astronómiu, všetky grafické metódy, mechaniku si bez G nemožno predstaviť. Pozoruhodným príkladom je objav faktu rotácie I. Keplera. planét v elipsách; mohol využiť skutočnosť, že elipsu skúmali starovekí geometri. Geometrická kryštalografia je hlbokou aplikáciou geometrickej kryštalografie, ktorá slúžila ako zdroj a oblasť aplikácie teórie regulárnych sústav obrazcov (pozri Kryštalografia). Abstraktnejšie geometrické teórie nachádzajú široké uplatnenie v mechanike a fyzike, keď sa množina stavov systému považuje za určitý priestor (pozri časť Zovšeobecnenie učiva geometrie). Všetky možné konfigurácie (vzájomné usporiadanie prvkov) mechanického systému teda tvoria „konfiguračný priestor“; pohyb systému je znázornený pohybom bodu v tomto priestore. Súhrn všetkých stavov fyzikálneho systému (v najjednoduchšom prípade polohy a rýchlosti hmotných bodov tvoriacich systém, napríklad molekúl plynu) sa považuje za „fázový priestor“ systému. Toto hľadisko nachádza uplatnenie najmä v štatistickej fyzike (pozri Štatistická fyzika) atď. Prvýkrát sa koncept viacrozmerného priestoru zrodil v spojení s mechanikou už u J. Lagrangea, keď tri priestory. súradnice x, y, zčas sa formálne pridáva ako štvrtý t... Takto sa javí štvorrozmerný „časopriestor“, kde je bod určený štyrmi súradnicami x, y, z, t... Každá udalosť je charakterizovaná týmito štyrmi súradnicami a, abstraktne, súbor všetkých udalostí vo svete sa ukazuje ako štvorrozmerný priestor. Tento pohľad bol vyvinutý v geometrickej interpretácii teórie relativity, ktorú podal G. Minkowski (Pozri Minkowski), a potom v konštrukcii A. Einsteina o všeobecnej teórii relativity. V nej použil štvorrozmerný Riemannov (pseudo-riemannian) G. Geometrické teórie, ktoré sa vyvinuli zo zovšeobecnenia údajov priestorovej skúsenosti, sa teda ukázali ako matematická metóda na zostavenie hlbšej teórie priestoru a času. Na druhej strane teória relativity dala silný impulz rozvoju všeobecných geometrických teórií. Vychádzajúc zo základnej praxe sa G. sériou abstrakcií a zovšeobecnení vracia k prírodnej vede a praxi na vyššej úrovni ako k metóde. Z geometrického hľadiska sa časopriestorová rozmanitosť vo všeobecnej teórii relativity zvyčajne interpretuje ako nehomogénny Riemannov typ, ale s metrikou určenou striedavým tvarom, redukovaným v nekonečne malej oblasti na tvar dx 2 + dy 2 + dz 2 - c 2 dt 2 (s - rýchlosť svetla vo vákuu). Samotný priestor, keďže ho možno oddeliť od času, sa tiež ukazuje ako nehomogénny riemannovský. Z moderného geometrického hľadiska je lepšie pozrieť sa na teóriu relativity nasledujúcim spôsobom. Špeciálna teória relativity tvrdí, že časopriestorová varieta je pseudoeuklidovský priestor, teda priestor, v ktorom úlohu „pohybov“ zohrávajú transformácie, ktoré zachovávajú kvadratická forma x 2 + y 2 + z 2 - c 2 t 2 presnejšie ide o priestor so skupinou transformácií zachovávajúcich naznačenú kvadratickú formu. Od každého vzorca vyjadrujúceho fyzikálny zákon sa vyžaduje, aby sa nemenil pri transformáciách grupy tohto priestoru, čo sú takzvané Lorentzove transformácie. Podľa všeobecnej teórie relativity je diverzita časopriestoru nehomogénna a len v každej „nekonečne malej“ oblasti je redukovaná na pseudoeuklidovský, čiže ide o priestor typu Cartan (pozri časť Moderná geometria ). Takéto pochopenie však bolo možné až neskôr, od r samotný koncept priestorov tohto typu sa objavil po teórii relativity a bol vyvinutý pod jej priamym vplyvom. V samotnej matematike je postavenie a úloha geografie daná predovšetkým tým, že sa cez ňu do matematiky vniesla kontinuita. Matematika ako veda o formách reality čelí predovšetkým dvom všeobecným formám: diskrétnosti a kontinuite. Počítanie samostatných (diskrétnych) objektov dáva aritmetiku, medzery. kontinuitné štúdie G. Jedným z hlavných rozporov poháňajúcich rozvoj matematiky je kolízia diskrétneho a spojitého. Rovnomerné rozdelenie spojitých veličín na časti a meranie predstavujú porovnanie diskrétneho a spojitého: napríklad stupnica sa vykresľuje pozdĺž meraného segmentu v samostatných krokoch. Rozpor vyšiel najavo s. Zvlášť zreteľné to bolo, keď sa v starovekom Grécku (pravdepodobne v 5. storočí pred Kristom) zistila nesúmerateľnosť strany a uhlopriečky štvorca: dĺžka uhlopriečky štvorca so stranou 1 nebola vyjadrená žiadnym číslom, keďže pojem iracionálneho čísla neexistoval. Chcelo to zovšeobecnenie pojmu číslo – vytvorenie pojmu iracionálneho čísla (čo sa v Indii podarilo až oveľa neskôr). Všeobecná teória iracionálnych čísel vznikla až v 70. rokoch. 19. storočie Priamka (a s ňou aj akýkoľvek obrazec) sa začala považovať za množinu bodov. Teraz je tento uhol pohľadu dominantný. Ťažkosti teórie množín však ukázali jej obmedzenia. Rozpor medzi diskrétnym a spojitým nemožno úplne odstrániť. Všeobecná úloha geografie v matematike spočíva aj v tom, že je spojená s presným syntetickým myslením, ktoré vychádza z priestorových reprezentácií a často umožňuje obsiahnuť ako celok to, čo sa analýzou a výpočtami dosiahne len prostredníctvom dlhého reťazca kroky. Geografia je teda charakteristická nielen svojím predmetom, ale aj metódou, ktorá vychádza z vizuálnych zobrazení a ukazuje sa ako plodná pri riešení mnohých problémov v iných oblastiach matematiky. G. zasa vo veľkej miere využíva ich metódy. Jeden a ten istý matematický problém možno často interpretovať buď analyticky, alebo geometricky, alebo kombináciou oboch metód. V istom zmysle možno takmer všetku matematiku vnímať ako rozvíjajúcu sa z interakcie algebry (pôvodne aritmetiky) a geografie a v zmysle metódy z kombinácie výpočtov a geometrických zobrazení. Vidno to už v koncepte súčtu všetkých reálnych čísel ako číselnej osi spájajúcej aritmetické vlastnosti čísel so spojitosťou. Tu sú niektoré z hlavných bodov vplyvu G. v matematike. 1) Pri vzniku a rozvoji analýzy mal G. spolu s mechanikou rozhodujúci význam. Integrácia pochádza z hľadania plôch a objemov, ktoré začali starovekí vedci, a plocha a objem ako veličiny boli považované za definitívne; až do prvej polovice 19. storočia neexistovala žiadna analytická definícia integrálu. Kreslenie dotyčníc bolo jednou z výziev, ktoré splodili diferenciáciu. Grafické znázornenie funkcií zohralo dôležitú úlohu vo vývoji konceptov analýzy a zostáva dôležité. V samotnej terminológii analýzy je možné vidieť geometrický zdroj jej pojmov, ako napríklad: „bod zlomu“, „rozsah variácie premennej“ atď. Prvý kurz analýzy, ktorý v roku 1696 napísal G. L'Hôtal (Pozri L'Hôpital), sa volal: „Analýza nekonečna na pochopenie zakrivených čiar“. Teória diferenciálnych rovníc sa väčšinou interpretuje geometricky (integrálne krivky a pod.). Variačný počet
vznikla a rozvíja sa do značnej miery na problémoch geografie a jej koncepty v nej zohrávajú významnú úlohu. 2) Komplexné čísla sa v matematike definitívne ustálili na prelome 18.-19. len ako výsledok ich porovnania s bodmi roviny, teda zostrojením „zložitej roviny“. V teórii funkcií komplexnej premennej zohrávajú geometrické metódy podstatnú úlohu. Samotný koncept analytickej funkcie w = f(z) komplexnej premennej možno definovať čisto geometricky: takáto funkcia je konformným zobrazením roviny z(alebo oblasť lietadla z) do lietadla w... Pojmy a metódy Riemannovej geometrie nachádzajú uplatnenie v teórii funkcií viacerých komplexných premenných. 3) Hlavnou myšlienkou funkčnej analýzy je, že funkcie danej triedy (napríklad všetky spojité funkcie dané na segmente) sa považujú za body „funkčného priestoru“ a vzťahy medzi funkciami sa interpretujú ako geometrické vzťahy medzi zodpovedajúcimi bodmi (napríklad konvergencia funkcií sa interpretuje ako konvergencia bodov, maximum z absolútna hodnota rozdielu funkcií ako vzdialenosť atď.). Potom mnoho otázok analýzy dostane geometrické osvetlenie, ktoré sa v mnohých prípadoch ukáže ako veľmi plodné. Vo všeobecnosti je znázornenie určitých matematických objektov (funkcií, obrazcov atď.) ako bodov určitého priestoru so zodpovedajúcou geometrickou interpretáciou vzťahov týchto objektov jednou z najvšeobecnejších a najplodnejších myšlienok modernej matematiky, ktorá prenikla do takmer všetky jeho časti. 4) G. ovplyvňuje algebru a dokonca aritmetiku — teóriu čísel. V algebre sa napríklad používa pojem vektorový priestor. V teórii čísel bol vytvorený geometrický smer, ktorý umožňuje riešenie mnohých problémov, ktoré sú sotva prístupné výpočtovej metóde. Na druhej strane treba poznamenať aj grafické metódy výpočtov (viď.Nomografia) a geometrické metódy moderná teória výpočtov a počítačov. 5) Logické zdokonaľovanie a rozbor axiomatiky geografie zohralo rozhodujúcu úlohu vo vývoji abstraktnej formy axiomatickej metódy s jej úplnou abstrakciou od podstaty objektov a vzťahov, ktoré figurujú v axiomatizovateľnej teórii. Na tom istom materiáli boli vyvinuté koncepty konzistentnosti, úplnosti a nezávislosti axióm. Celkovo je prienik geografie a iných oblastí matematiky taký blízky, že hranice sú často podmienené a spojené len s tradíciou. S geografiou zostali takmer alebo vôbec spojené len také časti ako abstraktná algebra, matematická logika a niektoré ďalšie. Svieti .: Hlavné klasické diela. Euclid, Princípy, prel. z gréčtiny., kniž. 1-15, M.-L., 1948-50; R. Descartes, Geometria, prel. z lat., M. - L., 1938; G. Monge, Applications of Analysis to Geometry, trans. z franc., M. - L., 1936; Ponselet J. V., Traite des proprietes projectives des Figures, Metz - P., 1822; Gauss K.F., Všeobecný výskum zakrivených plôch, prekl. s it., v zborníku: O základoch geometrie, M., 1956; Lobačevskij N.I., Poln. zber cit., 1-3, M.-L., 1946-51; Bolai, J., Príloha. Dodatok, ..., per. z lat., M. - L., 1950; B. Riemann, O hypotézach základov geometrie, prel. s it., v zborníku: O základoch geometrie, M., 1956; Klein, F., Comparative Review of Recent Geometric Research (The Erlangen Program), tamtiež; E. Cartan, Holonómia skupiny zovšeobecnených priestorov, prekl. z francúzštiny, v knihe: VIII. medzinárodná súťaž o cenu Nikolaja Ivanoviča Lobačevského (1937), Kazaň, 1940; Gilbert D., Základy geometrie, prekl. z nem., M. - L., 1948. Príbeh. Kolman E., Dejiny matematiky v staroveku, M., 1961; Yushkevich A.P., Dejiny matematiky v stredoveku, M., 1961; Vileitner G., Dejiny matematiky od Descarta do polovice 19. storočia, prekl. z it., 2. vydanie, M., 1966; Cantor M., Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik, Bd 1-4, Lpz., 1907-08. b) Elementárna geometria. Hadamard J., Elementárna geometria, prel. z francúzštiny, 1. časť, 3. vydanie, M., 1948, 2. časť, M., 1938; Pogorelov A.V., Elementárna geometria, Moskva, 1969. v) Analytická geometria. P.S. Aleksandrov, Prednášky o analytickej geometrii ..., M., 1968; Pogorelov A.V., Analytická geometria, 3. vydanie, Moskva, 1968. e) Deskriptívna a projektívna geometria. Glagolev N.A., deskriptívna geometria, 3. vydanie, M. - L., 1953; Efimov N.V., Vyššia geometria, 4. vydanie, Moskva, 1961. e) Riemannovská geometria a jej zovšeobecnenia. Rashevsky P.K., Riemannova geometria a tenzorová analýza, 2. vydanie, M. - L., 1964; Norden A. P., Priestory afinného spojenia, M. - L., 1950; E. Cartan, Geometria Riemannovských priestorov, prel. z franc., M. - L., 1936; Eisenhart L.P., Riemannovská geometria, prel. z angličtiny, M., 1948. Niektoré monografie o geometrii. Fedorov E.S., Symetria a štruktúra kryštálov. Hlavné diela, M., 1949; Aleksandrov A.D., Konvexný mnohosten, M. - L., 1950; jeho, Vnútorná geometria konvexných plôch, M. - L., 1948; Pogorelov A.V., Vonkajšia geometria konvexných plôch, M., 1969; Buseman G., Geometria geodézie, prekl. z angl., M., 1962; ho, Konvexné plochy, trans. z angl., M., 1964; E. Cartan, Metóda pohyblivého rámca, teória spojitých grúp a zovšeobecnených priestorov, prekl. z franc., M. - L., 1936; Finikov S. P., Cartanova metóda vonkajších foriem v diferenciálnej geometrii, M. - L., 1948; jeho, Projektívno-diferenciálna geometria, M. - L., 1937; jeho, Teória kongruencií, M. - L., 1950; Schouten I.A., Stroyk D.J., Úvod do nových metód diferenciálnej geometrie, prekl. z angličtiny, t. 1-2, M. - L., 1939-48; K. Nomizu, Lieovy grupy a diferenciálna geometria, prekl. z angl., M., 1960; Milnor J., Morseova teória, prekl. z angličtiny, M., 1965. Slovník cudzích slov ruského jazyka
4. Príklady úloh na geometrické polohy bodov
1. Dve kolesá s polomermi r 1 a r 2 sa odvaľujú v priamke l. Nájdite množinu priesečníkov M ich spoločných vnútorných dotyčníc.
Riešenie: Nech O 1 a O 2 sú stredy kolies s polomermi r 1 a r 2. Ak M je priesečník vnútorných dotyčníc, potom O 1 M: O 2 M = r 1: r 2. Z tejto podmienky je ľahké zistiť, že vzdialenosť od bodu M k priamke l sa rovná 2r 1 r 2 / (r 1 + r 2). Preto všetky priesečníky spoločných vnútorných dotyčníc ležia na priamke rovnobežnej s priamkou l a vo vzdialenosti 2r 1 r 2 / (r 1 + r 2) od nej.
2. Nájdite ťažisko stredov kružníc prechádzajúcich dvoma danými bodmi.
Riešenie: Nechajte kružnicu so stredom O prechádzať danými bodmi A a B. Keďže OA = OB (ako polomery jednej kružnice), bod O leží na strednej kolmici úsečky AB. Naopak, každý bod O ležiaci na kolmici k AB je rovnako vzdialený od bodov A a B. Preto je bod O stredom kružnice prechádzajúcej bodmi A a B.
3. Strany AB a CD štvoruholníka ABCD plochy S nie sú rovnobežné. Nájdite GMT X ležiaci vo vnútri štvoruholníka, pre ktorý S ABX + S CDX = S / 2.
Riešenie: Nech O je priesečník priamok AB a CD. Položme na lúče OA a OD segmenty OK a OL, ktoré sa rovnajú AB a CD. Potom S ABX + S CDX = S KOX + S LOX ± S KXL. V dôsledku toho je plocha trojuholníka KXL konštantná, to znamená, že bod X leží na priamke rovnobežnej s KL.
4. Na rovine sú uvedené body A a B. Nájdite GMT M, pre ktorý je rozdiel druhých mocnín dĺžok úsečiek AM a BM konštantný.
Riešenie: Zavedme súradnicový systém výberom bodu A ako počiatku súradníc a nasmerovaním osi Ox pozdĺž lúča AB. Nech má bod M súradnice (x, y). Potom AM 2 = x 2 + y 2 a BM 2 = (x - a) 2 + y 2, kde a = AB. Preto AM 2 - BM 2 = 2ax - a 2. Táto hodnota sa rovná k pre body M so súradnicami ((a 2 + k) / 2a, y); všetky takéto body ležia na priamke kolmej na AB.
5. Daný obdĺžnik ABCD. Nájdite GMT X, pre ktoré AX + BX = CX + DX.
Riešenie: Nech l je priamka prechádzajúca stredmi strán BC a AD. Predpokladajme, že bod X neleží na priamke l, napríklad že body A a X ležia na tej istej strane priamky l. Potom AX< DX и BX < CX, а значит, AX + BX < CX + DX. Поэтому прямая l - искомое ГМТ.
6. Dané dve priamky pretínajúce sa v bode O. Nájdite GMT X, pre ktoré je súčet dĺžok priemetov úsečiek OX na tieto priamky konštantný.
Riešenie: Nech aab sú jednotkové vektory rovnobežné s danými priamkami; x sa rovná vektoru oh. Súčet dĺžok priemetov vektora x na tieto priamky je | (a, x) | + | (b, x) | = | (a ± b, x) | a zmena znamienka nastane na kolmiciach obnovených z bodu O k daným čiaram. Požadovaný GMT je teda obdĺžnik, ktorého strany sú rovnobežné s osami uhlov medzi týmito priamkami a vrcholy ležia na označených kolmičkách.
7. Daná je kružnica S a bod M mimo nej. Cez bod M sú nakreslené všetky možné kružnice S 1 pretínajúce kružnicu S; X - priesečník dotyčnice v bode M ku kružnici S 1 s pokračovaním spoločnej tetivy kružníc S a S 1. Nájdite GMT X.
Riešenie: Nech A a B sú priesečníky kružníc S a S 1. Potom XM2 = XA. XB = XO 2 - R 2, kde O a R sú stred a polomer kružnice S. Preto XO 2 - XM 2 = R 2, čo znamená, že body X ležia na kolmici na priamku OM.
8. Sú dané dva nesúvislé kruhy. Nájdite ťažisko bodov stredov kružníc, ktoré rozdeľujú dané kružnice na polovicu (to znamená, že ich pretínajú v diametrálne opačných bodoch).
Riešenie: Nech O 1 a O 2 sú stredy týchto kružníc, R 1 a R 2 ich polomery. Kruh s polomerom r so stredom na X pretína prvý kruh v diametrálne opačných bodoch práve vtedy, ak r 2 = XO 1 2 + R 1 2, preto požadovaný GMT pozostáva z bodov X tak, že XO 1 2 + R 1 2 = XO 2 2 + R 2 2, všetky takéto body X ležia na priamke kolmej na O 1 O 2.
9. Vo vnútri kružnice je zachytený bod A. Nájdite miesta priesečníkov dotyčníc ku kružnici vedenej cez konce všetkých možných tetiv obsahujúcich bod A.
Riešenie: Nech O je stred kružnice, R - jej polomer, M - priesečník dotyčníc vedených cez konce tetivy obsahujúcej bod A, P - stred tejto tetivy. Potom OP * OM = R 2 a OP = OA cos f, kde f = AOP. Preto AM 2 = OM 2 + OA 2 - 2OM * OA cos f = OM 2 + OA 2 - 2R 2, čo znamená, že hodnota OM 2 - AM 2 = 2R 2 - OA 2 je konštantná. Preto všetky body M ležia na priamke kolmej na OA.
10. Nájdite ťažisko bodov M ležiacich vo vnútri kosoštvorca ABCD a majúcich vlastnosť AMD + BMC = 180 o.
Riešenie: Nech N je bod taký, že vektory MN = DA. Potom NAM = DMA a NBM = BMC, takže štvoruholník AMBN je vpísaný. Uhlopriečky vpísaného štvoruholníka AMBN sú rovnaké, preto AM | BN alebo BM | AN. V prvom prípade AMD = MAN = AMB a v druhom prípade BMC = MBN = BMA. Ak AMB = AMD, potom AMB + BMC = 180 o a bod M leží na uhlopriečke AC, a ak BMA = BMC, potom bod M leží na uhlopriečke BD. Je tiež jasné, že ak bod M leží na jednej z uhlopriečok, potom AMD + BMC = 180 o.
11. a) Je daný rovnobežník ABCD. Dokážte, že hodnota AX 2 + CX 2 - BX 2 - DX 2 nezávisí od výberu bodu X.
b) Štvoruholník ABCD nie je rovnobežník. Dokážte, že všetky body X spĺňajúce vzťah AX 2 + CX 2 = BX 2 + DX 2 ležia na jednej priamke kolmej na úsečku spájajúcu stredy uhlopriečok.
Riešenie: Nech P a Q sú stredy uhlopriečok AC a BD. Potom AX 2 + CX 2 = 2PX 2 + AC 2/2 a BX 2 + DX 2 = 2QX 2 + BD 2/2, preto v úlohe b) požadovaný HMT pozostáva z bodov X tak, že PX 2 - QX 2 = ( BD 2 - AC 2) / 4 a v úlohe a) P = Q; preto je uvažovaná hodnota (BD 2 - AC 2) / 2.
Literatúra
1. Pogorelov A.V. Geometria: Učebnica pre 7. – 9. ročník vzdelávacích inštitúcií. - M .: Vzdelávanie, 2000, s. 61.
2. Savin A.P. Geometric Place Method / Voliteľný predmet z matematiky: Návod pre 7. – 9. ročník strednej školy. Skomplikovaný I.L. Nikolskaja. - M .: Vzdelávanie, 1991, s. 74.
3. Smirnova I.M., Smirnov V.A. Geometria: Učebnica pre 7. – 9. ročník vzdelávacích inštitúcií. - M .: Mnemosina, 2005, s. 84.
4. Sharygin I.F. Geometria. Ročníky 7-9: Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie. - M .: Drop, 1997, s. 76.
5. Internetový zdroj: http://matschool2005.narod.ru/Lessons/Lesson8.htm
Informačná kauzalita interakcií (neutralizácia entropie) spojená s procesmi odrazu stupňov usporiadania (excitácií), vlastníctvom univerzálneho systému časopriestorových vzťahov, prideľuje „absolútne kvantum“ do fenomenálneho fenoménu fyzikálnej povahy. Môže to byť nečakané materiálne stelesnenie tej počiatočnej účinnej látky, že objektívny idealizmus, ...
Q (y) takéhoto prierezu sa rovná, kde y sa počas integrácie považuje za konštantné. Integráciou potom Q (y) v rozsahu y, teda od c do d, dospejeme k druhému výrazu pre dvojitý integrál (B) Tu sa integrácia vykoná najskôr cez x a potom cez y. Vzorce (A) a (B) ukazujú, že výpočet dvojitého integrálu je redukovaný na sekvenčný výpočet dvoch bežných ...
Geometria je veda, ktorá študuje priestorové vzťahy a formy predmetov.
Euklidovská geometria- Ide o geometrickú teóriu založenú na systéme axióm, prvýkrát predstavených v Euklidových „Prvkoch“.
Lobačevského geometria (hyperbolická geometria)- jedna z neeuklidovských geometrií, geometrická teória založená na rovnakých základných premisách ako bežná euklidovská geometria, s výnimkou axiómy rovnobežných priamok, ktorá je nahradená rovnobežnou axiómou Lobačevského.
Priamka ohraničená na jednom konci a neobmedzená na druhom sa nazýva lúč.
Časť priamky ohraničená na oboch stranách sa nazýva úsečka.
Injekcia je geometrický útvar tvorený dvoma lúčmi (stranami uhla) vychádzajúcimi z jedného bodu (vrcholu uhla). Uhly sa merajú v dvoch jednotkách: radiánoch a stupňoch. Uhol 90 ° sa nazýva pravý uhol; uhol menší ako 90 ° sa nazýva ostrý; uhol väčší ako 90 ° sa nazýva tupý.
Priľahlé rohy- to sú rohy, ktoré majú spoločnú hornú časť a spoločnú stranu; ostatné dve strany sú predĺžením jednej druhej. Súčet susedných uhlov je 180°. Vertikálne rohy sú dva rohy so spoločným vrcholom, pričom strany jedného sú predĺžením strán druhého.
Stred uhla nazývaný lúč, ktorý delí uhol na polovicu.
Dve priamky sa nazývajú rovnobežné, ak ležia v rovnakej rovine a nepretínajú sa, bez ohľadu na to, koľko z nich pokračuje. Všetky priamky rovnobežné s jednou priamkou sú navzájom rovnobežné. Všetky kolmice k tej istej priamke sú navzájom rovnobežné a naopak, priamka kolmá na jednu z rovnobežiek je kolmá na zvyšok. Dĺžka kolmého segmentu uzavretého medzi dvoma rovnobežnými priamkami je vzdialenosť medzi nimi. Keď sa pretínajú dve rovnobežné priame čiary tretej čiary, vytvorí sa osem uhlov, ktoré sa nazývajú v pároch: zodpovedajúce uhly (tieto uhly sú rovnaké v pároch); vnútorné uhly kríženia (v pároch sú rovnaké); vonkajšie križujúce sa rohy (v pároch sú rovnaké); vnútorné jednostranné rohy (ich súčet je 180 °); vonkajšie jednostranné rohy (ich súčet je 180°).
Thalesova veta... Keď sa strany rohu pretínajú rovnobežnými priamkami, strany rohu sú rozdelené na proporcionálne segmenty.
Axiómy geometrie... Axióma spolupatričnosti: cez ľubovoľné dva body v rovine môžete nakresliť priamku a navyše iba jednu. Axióma poriadku: medzi akýmikoľvek tromi bodmi ležiacimi na priamke je najviac jeden bod ležiaci medzi dvoma ďalšími.
Axióma kongruencie (rovnosť) segmenty a uhly: ak sú dva segmenty (uhly) zhodné s tretím, potom sú navzájom zhodné. Axióma rovnobežiek: cez ktorýkoľvek bod ležiaci mimo priamky môžete nakresliť ďalšiu priamku rovnobežnú s danou a navyše iba jednu.
Axióma spojitosti (Archimedova axióma): pre ľubovoľné dva úsečky AB a CD existuje konečná množina bodov A1, A2,…, An ležiacich na priamke AB tak, že úsečky AA1, A1A2,…, An-1An sú zhodný s úsečkou CD a bod B leží medzi A a An.
Rovinný útvar tvorený uzavretým reťazcom úsečiek sa nazýva mnohouholník.
V závislosti od počtu rohov môže byť mnohouholník trojuholník, štvoruholník, päťuholník, šesťuholník atď. Súčet dĺžok sa nazýva obvod a označuje sa p.
Ak všetky uhlopriečky ležia vo vnútri mnohouholníka, nazýva sa konvexný. Súčet vnútorných uhlov konvexného mnohouholníka je 180 ° * (n-2), kde n je počet uhlov (alebo strán) mnohouholníka.
Trojuholník je mnohouholník s tromi stranami (alebo tromi rohmi). Ak sú všetky tri rohy ostré, potom ide o trojuholník s ostrým uhlom. Ak je jeden z rohov rovný, potom ide o pravouhlý trojuholník; strany tvoriace pravý uhol sa nazývajú nohy; opačná strana pravého uhla sa nazýva prepona. Ak je jeden z rohov tupý, potom je to tupý trojuholník. Trojuholník je rovnoramenný, ak sú jeho dve strany rovnaké. Trojuholník je rovnostranný, ak sú všetky jeho strany rovnaké.
V správny trojuholník platia nasledujúce vzťahy:
Oblasť pravouhlého trojuholníka:
Polomer vpísaného kruhu:
V ľubovoľnom trojuholníku:
Kruh môžete vpísať do akéhokoľvek pravidelného mnohouholníka a kruh okolo neho môžete opísať: 
kde a je strana, n je počet strán mnohouholníka, R je polomer kružnice opísanej, r je polomer kružnice vpísanej (apotém pravidelného mnohouholníka).
Oblasť pravidelného mnohouholníka: 
Dĺžky strán a uhlopriečok sú spojené podľa vzorca: 
Základné vlastnosti trojuholníkov:
Znaky rovnosti trojuholníkov: trojuholníky sú rovnaké, ak sa rovnajú:
Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov: dva pravouhlé trojuholníky sú rovnaké, ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:
Výška trojuholníka je kolmica spadnutá z ľubovoľného vrcholu na opačnú stranu (alebo jej predĺženie). Táto strana sa nazýva základňa trojuholníka. Tri výšky trojuholníka sa vždy pretínajú v jednom bode, ktorý sa nazýva ortocentrum trojuholníka. Ortocentrum trojuholníka s ostrým uhlom sa nachádza vo vnútri trojuholníka a ortocentrum tupého trojuholníka je vonku; ortocentrum pravouhlého trojuholníka sa zhoduje s vrcholom pravého uhla.
Vzorec pre výšku trojuholníka:
Medián je úsečka spájajúca ľubovoľný vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany. Tri stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý je vždy vo vnútri trojuholníka a je jeho ťažiskom. Tento bod rozdeľuje každý medián zhora v pomere 2:1.
Bisector je segment osy uhla od vrcholu k priesečníku s opačnou stranou. Tri osi trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý vždy leží vo vnútri trojuholníka a je stredom vpísanej kružnice. Osa rozdeľuje opačnú stranu na časti proporcionálne k susedným stranám.
Vzorec pre osi trojuholníka:
Stredná kolmá je kolmica vedená zo stredu úsečky (strany). Tri stredné kolmice trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý je stredom kružnice opísanej. V trojuholníku s ostrým uhlom tento bod leží vo vnútri trojuholníka; v tupom - vonku; v pravouhlom, v strede prepony. Ortocentrum, ťažisko, stred opísanej kružnice a stred vpísanej kružnice sa zhodujú iba v rovnostrannom trojuholníku.
Pytagorova veta... V pravouhlom trojuholníku sa druhá mocnina dĺžky prepony rovná súčtu druhých mocnín dĺžok nôh: c2 = a2 + b2.
Vo všeobecnom prípade (pre ľubovoľný trojuholník) platí: c2 = a2 + b2–2? A? B? CosC, kde C je uhol medzi stranami a a b.
Štvoruholník- útvar tvorený štyrmi bodmi (vrcholmi), z ktorých žiadne tri neležia na jednej priamke, a štyrmi postupne ich spájajúcimi (stranami), ktoré sa nesmú pretínať.
Paralelogram je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú v pároch rovnobežné. Akékoľvek dve protiľahlé strany rovnobežníka sa nazývajú jeho základne a vzdialenosť medzi nimi sa nazýva výška.
Vlastnosti rovnobežníka:
Plocha rovnobežníka:
Polomer kružnice vpísanej do rovnobežníka: 
Obdĺžnik je rovnobežník so všetkými uhlami rovnými 90°.
Základné vlastnosti obdĺžnika.
Strany obdĺžnika sú zároveň jeho výškami.
Uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké: AC = BD.
Druhá mocnina uhlopriečky obdĺžnika sa rovná súčtu štvorcov jeho strán (podľa Pytagorovej vety).
Oblasť obdĺžnika: S = ab.
Priemer obdĺžnika: 
Polomer kružnice opísanej okolo obdĺžnika: 
Kosoštvorec sa nazýva rovnobežník, v ktorom sú všetky strany rovnaké. Uhlopriečky kosoštvorca sú navzájom kolmé a delia svoje uhly na polovicu.
Plocha kosoštvorca je vyjadrená uhlopriečkami:
Štvorec je rovnobežník s pravými uhlami a rovnakými stranami. Štvorec je špeciálny prípad obdĺžnika a kosoštvorca zároveň, preto má všetky vyššie uvedené vlastnosti.
Štvorcová plocha:
Polomer kružnice opísanej okolo štvorca:
Polomer kruhu vpísaného do štvorca:
Uhlopriečka štvorca:
Lichobežník je štvoruholník s dvoma protiľahlými rovnobežnými stranami. Rovnobežné strany sa nazývajú základne lichobežníka a ďalšie dve sa nazývajú strany. Vzdialenosť medzi základňami je výška. Segment spájajúci stredy strán sa nazýva stredová čiara lichobežníka. Stredná čiara lichobežníka sa rovná polovičnému súčtu základov a je s nimi rovnobežná. Lichobežník s rovnakými stranami sa nazýva rovnoramenný lichobežník. V rovnoramennom lichobežníku sú uhly na každej základni rovnaké.
Oblasť trapézu: 
, kde a a b sú základne, h je výška.
Stredná čiara trojuholníka je úsečka spájajúca stredy strán trojuholníka. Stredná čiara trojuholníka sa rovná polovici jeho základne a je s ňou rovnobežná. Táto vlastnosť vyplýva z vlastnosti lichobežníka, pretože trojuholník možno považovať za prípad degenerácie lichobežníka, keď sa jedna z jeho základní zmení na bod.
Podobnosť plochých postáv... Ak zmeníte všetky rozmery plochej postavy rovnaký počet krát (pomer podobnosti), potom staré a nové figúrky sa nazývajú ako. Dva polygóny sú podobné, ak sú ich uhly rovnaké a strany sú proporcionálne.
Známky podobnosti trojuholníkov. Dva trojuholníky sú podobné, ak:
Plochy takýchto obrázkov sú úmerné štvorcom ich podobných čiar (napríklad strany, priemery).
Lokus bodov je množina všetkých bodov, ktoré spĺňajú určité špecifikované podmienky.
Kruh je ťažisko bodov v rovine, rovnako vzdialené od jedného bodu, nazývaného stred kružnice. Úsečka spájajúca stred kruhu s ktorýmkoľvek z jeho bodov sa nazýva polomer a označuje sa - r. Časť roviny ohraničená kružnicou sa nazýva kružnica. Časť kruhu sa nazýva oblúk. Priamka prechádzajúca dvoma bodmi kružnice sa nazýva sečna a jej úsek ležiaci vo vnútri kružnice sa nazýva tetiva. Tetiva prechádzajúca stredom kružnice sa nazýva priemer a označuje sa d. Priemer je najväčšia tetiva, ktorá sa rovná dvom polomerom: d = 2r.
Kde a - skutočná, b - imaginárna poloos.
Rovnica roviny v priestore:
Ax + By + Cz + D = 0,
kde x, y, z - pravouhlé súradnice premenný bod roviny, A, B, C sú konštantné čísla.
Priamka prechádzajúca bodom na kružnici kolmej na polomer nakreslený do tohto bodu sa nazýva dotyčnica. V tomto prípade sa tento bod nazýva dotykový bod.
Vlastnosti dotyčnice:
Segment je časť kružnice ohraničená oblúkom a príslušnou tetivou. Dĺžka kolmice vedenej od stredu tetivy po priesečník s oblúkom sa nazýva výška segmentu.
Sektor je časť kružnice ohraničená oblúkom a dvoma polomermi nakreslenými na konce tohto oblúka.
Uhly v kruhu... Stredový roh je roh tvorený dvoma polomermi. Vpísaný uhol je uhol, ktorý tvoria dve tetivy ťahané z ich spoločného bodu. Opísaný uhol je uhol tvorený dvoma dotyčnicami vedenými z jedného spoločného bodu.
Tento vzorec je základom pre definovanie meraní radiánového uhla. Radiánová miera akéhokoľvek uhla je pomer dĺžky oblúka nakresleného ľubovoľným polomerom a uzavretého medzi stranami tohto uhla k jeho polomeru.
Vzťahy medzi prvkami kruhu.
Vpísaný uhol sa rovná polovici stredového uhla spočívajúceho na rovnakom oblúku. Preto sú všetky vpísané uhly založené na rovnakom oblúku rovnaké. A keďže stredový uhol obsahuje rovnaký počet stupňov ako jeho oblúk, potom sa akýkoľvek vpísaný uhol meria polovicou oblúka, na ktorom spočíva.
Všetky vpísané uhly spočívajúce na polkruhu sú rovné.
Uhol tvorený dvoma tetivami sa meria polovičným súčtom oblúkov uzavretých medzi ich stranami.
Uhol, ktorý tvoria dva sečny, sa meria polovičným rozdielom oblúkov uzavretých medzi jeho stranami.
Uhol tvorený dotyčnicou a tetivou sa meria polovicou oblúka, ktorý je v nej uzavretý.
Uhol, ktorý zviera dotyčnica a sečna, sa meria polovičným rozdielom oblúkov uzavretých medzi jej stranami.
Opísaný uhol tvorený dvoma dotyčnicami sa meria polovičným rozdielom oblúkov uzavretých medzi jeho stranami.
Súčiny úsečiek, ktorými sú delené priesečníkom, sú rovnaké.
Druhá mocnina dotyčnice sa rovná súčinu sečny a jej vonkajšej časti.
Tetiva kolmá na priemer je v ich priesečníku polovičná.
V kruhu je vpísaný mnohouholník, ktorého vrcholy sú umiestnené na kruhu. Okolo kruhu je opísaný mnohouholník, ktorého strany sa dotýkajú kruhu. Podľa toho sa kružnica prechádzajúca vrcholmi mnohouholníka nazýva opísaná okolo mnohouholníka; kružnica, pre ktorú sa strany mnohouholníka dotýkajú, sa nazýva vpísaná do mnohouholníka. Pre ľubovoľný mnohouholník nie je možné vpísať a opísať kruh okolo neho. Pre trojuholník táto možnosť vždy existuje.
Kruh možno vpísať do štvoruholníka, ak sú súčty jeho protiľahlých strán rovnaké. Pre rovnobežníky je to možné len pre kosoštvorec (štvorec). Stred vpísanej kružnice sa nachádza v priesečníku uhlopriečok. Kruh možno opísať okolo štvoruholníka, ak súčet jeho opačných uhlov je 180°. Pri rovnobežníkoch je to možné len pre obdĺžnik (štvorec). Stred kružnice opísanej leží v priesečníku uhlopriečok. Okolo lichobežníka možno opísať kruh, ak je len rovnoramenný. Pravidelný mnohouholník je mnohouholník s rovnakými stranami a uhlami.
Pravidelný štvoruholník je štvorec; pravý trojuholník je rovnostranný trojuholník. Každý roh pravidelného mnohouholníka je 180° (n - 2) / n, kde n je počet jeho rohov. Vo vnútri pravidelného mnohouholníka sa nachádza bod O rovnako vzdialený od všetkých jeho vrcholov, ktorý sa nazýva stred pravidelného mnohouholníka. Stred pravidelného mnohouholníka je tiež rovnako vzdialený od všetkých jeho strán. Do pravidelného mnohouholníka možno vpísať kruh a okolo neho opísať kruh. Stredy vpísanej a opísanej kružnice sa zhodujú so stredom pravidelného mnohouholníka. Polomer vpísanej kružnice je polomer pravidelného mnohouholníka a polomer vpísanej kružnice je jej apotém.
Základné axiómy stereometrie.
Bez ohľadu na rovinu existujú body, ktoré patria do tejto roviny a body, ktoré do nej nepatria.
Ak majú dve rôzne roviny spoločný bod, potom sa pretínajú v priamke prechádzajúcej týmto bodom.
Ak majú dve rôzne čiary spoločný bod, potom cez ne možno nakresliť iba jednu rovinu.
Cez tri body ležiace na jednej priamke možno nakresliť nespočetné množstvo rovín, ktoré v tomto prípade tvoria zväzok rovín. Priamka, ktorou prechádzajú všetky roviny lúča, sa nazýva os lúča. Cez ktorúkoľvek priamku a bod ležiaci mimo tejto priamky možno nakresliť len jednu rovinu. Nie je vždy možné nakresliť rovinu cez dve priame čiary, potom sa tieto priamky nazývajú pretínajúce sa.
Prekrížené čiary sa nepretínajú, bez ohľadu na to, koľko z nich pokračuje, ale nie sú to rovnobežné čiary, pretože neležia v rovnakej rovine. Iba rovnobežné priame čiary sú nepretínajúce sa čiary, cez ktoré možno nakresliť rovinu. Rozdiel medzi prekríženými a rovnobežnými čiarami je ten, že rovnobežné čiary majú rovnaký smer, ale skrížené čiary nie. Cez dve pretínajúce sa priame čiary je možné nakresliť vždy len jednu rovinu. Vzdialenosť medzi dvoma čiarami kríženia je dĺžka segmentu spájajúceho najbližšie body nachádzajúce sa na čiarach kríženia. Nepretínajúce sa roviny sa nazývajú rovnobežné roviny. Rovina a priamka sa buď pretínajú (v jednom bode), alebo nie. V druhom prípade sa hovorí, že priamka a rovina sú navzájom rovnobežné.
Kolmica spadnutá z bodu do roviny je úsečka spájajúca daný bod s bodom v rovine a držiaca ho na priamke kolmej na rovinu.
Priemet bodu do roviny je základňou kolmice spadnutej z bodu do roviny. Priemet úsečky na rovinu P je úsečka, ktorej konce sú priemety bodov tejto úsečky.
Dihedrálny uhol je obrazec tvorený dvoma polrovinami so spoločnou čiarou, ktorá ich ohraničuje. Polroviny sa nazývajú steny a ich ohraničujúca čiara sa nazýva hrana dihedrálneho uhla. Rovina kolmá na hranu dáva vo svojom priesečníku s polrovinami uhol nazývaný lineárny uhol dihedrálneho uhla. Dihedrálny uhol sa meria jeho lineárnym uhlom.
Polyedrický uhol... Ak bodom nakreslíme množinu rovín, ktoré sa postupne pretínajú v priamych čiarach, dostaneme obrazec nazývaný mnohostenný uhol. Roviny, ktoré tvoria mnohostenný uhol, sa nazývajú jeho plochy; priamky, pozdĺž ktorých sa plochy postupne pretínajú, sa nazývajú hrany mnohostenného uhla. Minimálny počet plôch pre polyedrický roh sú tri.
Rovnobežné roviny sú vyrezané na okrajoch mnohostenného rohu, proporcionálne k segmentom a tvoria podobné mnohouholníky.
Znaky rovnobežnosti priamky a roviny.
Ak je priamka ležiaca mimo roviny rovnobežná s akoukoľvek priamkou ležiacou v tejto rovine, potom je rovnobežná s touto rovinou.
Ak sú priamka a rovina kolmé na tú istú priamku, potom sú rovnobežné.
Príznaky rovinnej rovnobežnosti:
Priamka, ktorá pretína rovinu a nie je na ňu kolmá, sa nazýva naklonená k rovine.
Veta o troch kolmých
Priamka ležiaca v rovine a kolmá na priemet naklonená k tejto rovine je kolmá na najviac naklonenú.
Znaky rovnobežnosti priamych čiar v priestore:
Rovnica priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme xy:
ax + bx + c = 0, kde a, b, c sú konštantné čísla, x a y sú súradnice premenného bodu M (x, y) na priamke.
Znaky rovnobežnosti priamych čiar:
Znak kolmosti rovín: ak rovina prechádza priamkou kolmou na inú rovinu, potom sú tieto roviny kolmé.
Veta o spoločnej kolmici na dve pretínajúce sa priamky. Pre akékoľvek dve pretínajúce sa čiary existuje jedna spoločná kolmica.
Mnohosten je teleso, ktorého hranicu tvoria kusy rovín (polygónov). Tieto mnohouholníky sa nazývajú tváre, ich strany sú hrany a ich vrcholy sú vrcholy mnohostena. Segmenty spájajúce dva vrcholy a neležiace na rovnakej ploche sa nazývajú mnohostenné diagonály. Mnohosten je konvexný, ak sa v ňom nachádzajú všetky jeho uhlopriečky.
Kocka- trojrozmerný obrazec so šiestimi rovnakými okrajmi.
Objem a povrch kocky:
Hranol je mnohosten, ktorého dve strany (základne hranola) sú rovnaké mnohouholníky so zodpovedajúcimi rovnobežnými stranami a ostatné strany sú rovnobežníky.
Úsečky spájajúce zodpovedajúce vrcholy sa nazývajú bočné hrany. Výška hranola je akákoľvek kolmica spadnutá z akéhokoľvek bodu na základni na rovinu inej základne. V závislosti od tvaru mnohouholníka ležiaceho na základni môže byť hranol trojuholníkový, štvoruholníkový, päťuholníkový, šesťuholníkový atď. Ak sú bočné hrany hranola kolmé na rovinu podstavy, potom je takýto hranol nazývaný rovný; inak je to šikmý hranol. Ak pravidelný mnohouholník leží na základni priameho hranola, potom sa takýto hranol nazýva aj pravidelný. Uhlopriečka hranola je segment, ktorý spája dva vrcholy hranola, ktoré nepatria k tej istej ploche.
Bočný povrch rovného hranolu:
Strana S = P * H, kde P je obvod základne a H je výška.
Rovnobežníkovité je hranol, ktorého základňami sú rovnobežníky. Rovnobežník má teda šesť plôch a všetky sú rovnobežníky. Protiľahlé strany sú v pároch rovnaké a paralelné. Rovnobežník má štyri uhlopriečky; všetky sa pretínajú v jednom bode a v ňom sú rozdelené na polovicu.
Ak sú štyri bočné strany rovnobežnostenu obdĺžniky, potom sa nazýva rovný. Rovný rovnobežnosten, v ktorom všetkých šesť plôch sú obdĺžniky, sa nazýva obdĺžnikový. Uhlopriečka pravouhlého rovnobežnostena d a jeho hrany a, b, c súvisia vzťahom d2 = a2 + b2 + c2. Obdĺžnikový hranol, ktorého všetky strany sú štvorcové, sa nazýva kocka. Všetky hrany kocky sú rovnaké.
Objem a povrch pravouhlého rovnobežnostena:
V = a * b * c, S plné = 2 (ab + ac + bc).
Pyramída je mnohosten, v ktorom jedna plocha (základňa pyramídy) je ľubovoľný mnohouholník a ostatné plochy (bočné plochy) sú trojuholníky so spoločným vrcholom, nazývaným vrchol pyramídy. Kolmica spadnutá z vrcholu pyramídy na jej základňu sa nazýva výška pyramídy. V závislosti od tvaru mnohouholníka ležiaceho na základni môže byť ihlan trojuholníkový, štvoruholníkový, päťuholníkový, šesťuholníkový atď. Trojuholníkový ihlan je štvorsten, štvorhranný je päťsten atď. mnohouholník a jeho výška padá do stredu základne. Všetky bočné okraje pravidelnej pyramídy sú rovnaké; všetky bočné strany sú rovnoramenné trojuholníky. Výška bočnej steny sa nazýva apotém pravidelnej pyramídy.
Ak nakreslíme rez rovnobežný so základňou pyramídy, potom sa teleso uzavreté medzi týmito rovinami a bočnou plochou nazýva zrezaná pyramída. Paralelné plochy sa nazývajú základne; vzdialenosť medzi nimi je výška. Zrezaná pyramída sa nazýva správna, ak je pyramída, z ktorej bola získaná, správna. Všetky bočné strany pravidelnej zrezanej pyramídy sú rovnaké rovnoramenné lichobežníky.
Bočný povrch pravidelnej pyramídy:
, kde P je obvod základne; h je výška bočnej steny (apotém pravidelnej pyramídy).
Objem skrátenej pyramídy:
Bočný povrch pravidelnej zrezanej pyramídy:
,
kde P a P' sú obvody základní; h je výška bočnej steny (apotém pravidelného zrezaného ihlana).
Valcová plocha vzniká pri pohybe priamky, pričom si zachováva svoj smer a pretína sa s danou čiarou (krivou). Táto čiara sa nazýva vodiaca čiara. Priamky zodpovedajúce rôznym polohám priamky pri jej pohybe sa nazývajú tvoriace priamky valcovej plochy.
Valec je teleso ohraničené valcovou plochou s uzavretým vedením a dvoma rovnobežnými rovinami. Časti týchto rovín sa nazývajú základne valca. Vzdialenosť medzi základňami je výška valca. Priamy valec, ak sú jeho tvoriace priamky kolmé na základňu; inak je valec naklonený. Valec sa nazýva kruhový, ak je jeho základňou kruh. Ak je valec rovný aj kruhový, potom sa nazýva kruhový. Hranol je špeciálny prípad valca.
Objem, plochy bočných a úplných plôch valca:
,
kde R je polomer báz; H je výška valca.
Valcové rezy bočného povrchu kruhového valca.
Úseky rovnobežné so základňou sú kruhy s rovnakým polomerom.
Úseky rovnobežné s tvoriacou čiarou valca sú dvojice rovnobežných priamych čiar.
Rezy, ktoré nie sú rovnobežné ani so základňou, ani s tvoriacimi priamkami, sú elipsy.
Kužeľová plocha sa vytvorí, keď sa priamka neustále pohybuje cez pevný bod a pretína sa pre danú čiaru, ktorá sa nazýva vodidlo. Priamky zodpovedajúce rôznym polohám priamky pri jej pohybe sa nazývajú generátory kužeľovej plochy; bod je jeho vrchol. Kužeľová plocha pozostáva z dvoch častí: jedna je opísaná lúčom, druhá jeho pokračovaním.
Zvyčajne sa jedna z jeho častí považuje za kužeľovú plochu.
Kužeľ je teleso ohraničené jednou z častí kužeľovej plochy s uzavretým vedením a rovinou pretínajúcou kužeľovú plochu, ktorá neprechádza vrcholom.
Časť tejto roviny umiestnená vo vnútri kužeľovej plochy sa nazýva základňa kužeľa. Kolmica spadnutá zhora na základňu sa nazýva výška kužeľa.
Pyramída je špeciálny prípad kužeľa. Kužeľ sa nazýva kruhový, ak je jeho základňou kruh. Priamka spájajúca vrchol kužeľa so stredom základne sa nazýva os kužeľa. Ak sa výška kruhového kužeľa zhoduje s jeho osou, potom sa takýto kužeľ nazýva okrúhly.
Objem, plochy bočných a úplných plôch kužeľa:
,
kde r je polomer; Sosn - oblasť; P je obvod základne; L je dĺžka tvoriacej čiary; H je výška kužeľa.
Objem a plocha bočného povrchu zrezaného kužeľa:
Kónické rezy.
Úseky kruhového kužeľa rovnobežné s jeho základňou sú kruhy.
Úsek, ktorý pretína iba jednu časť kruhového kužeľa a nie je rovnobežný so žiadnou z jeho tvoriacich priamok, je elipsa.
Úsek, ktorý pretína iba jednu časť kruhového kužeľa a je rovnobežný s jedným z jeho generátorov, je parabola.
Úsek pretínajúci obe časti kruhového kužeľa je vo všeobecnom prípade hyperbola pozostávajúca z dvoch vetiev. Najmä, ak tento úsek prechádza osou kužeľa, získame pár pretínajúcich sa priamok (tvoriacich kužeľ).
Sférický povrch je ťažisko bodov v priestore, rovnako vzdialené od jedného bodu, ktorý sa nazýva stred guľovej plochy.
Lopta (guľa) je teleso ohraničené guľovou plochou. Môžete získať loptu otáčaním polkruhu (alebo kruhu) okolo priemeru. Všetky ploché časti gule sú kruhy. Najväčší kruh leží v časti prechádzajúcej stredom lopty a nazýva sa veľký kruh. Jeho polomer sa rovná polomeru gule. Akékoľvek dva veľké kruhy sa pretínajú v priemere gule. Tento priemer je tiež priemerom pretínajúcich sa veľkých kruhov. Prostredníctvom dvoch bodov guľového povrchu, ktoré sa nachádzajú na koncoch rovnakého priemeru, môžete nakresliť nekonečné množstvo veľkých kruhov.
Objem gule je jedenapolkrát menší ako objem valca opísaného okolo neho a povrch gule je jedenapolkrát menší ako celkový povrch toho istého valca.
Rovnica gule v pravouhlom súradnicovom systéme:
(x-x0) + (y-y) 2+ (z-z0) = R2,
tu x, y, z - súradnice premenného bodu na gule;
x0, y0, z0 - súradnice stredu;
R je polomer gule.
Objem gule a plocha gule:
Objem segmentu lopty a povrch segmentu:
,
kde h je výška guľového segmentu.
Objem a celkový povrch sférického sektora:
,
kde R je polomer gule; h je výška guľového segmentu.
Objem a celkový povrch sférickej vrstvy:
,
kde h je výška; r1 a r2 sú polomery základne guľovej vrstvy.
Objem a povrch torusu:
,
kde r je polomer kruhu; R je vzdialenosť od stredu kruhu k osi otáčania.
Priemerné zakrivenie povrchu S v bode A0: 
Časti lopty... Časť gule (guľa), odrezaná od nej ľubovoľnou rovinou, sa nazýva sférický (sférický) segment. Kruh sa nazýva základňa guľového segmentu. Úsečka kolmice vedená od stredu kružnice k priesečníku s guľovou plochou sa nazýva výška guľového segmentu. Časť gule uzavretá medzi dvoma rovnobežnými rovinami pretínajúcimi guľový povrch sa nazýva guľová vrstva; zakrivený povrch guľovej vrstvy sa nazýva sférický pás (zóna). Vzdialenosť medzi základňami guľového pásu je jeho výška. Časť gule, ohraničená zakriveným povrchom guľového segmentu a kužeľovou plochou, ktorej základňa je základňou segmentu a vrchol je stredom gule, sa nazýva sférický sektor.
Symetria.
Zrkadlová symetria. Geometrický obrazec sa nazýva symetrický podľa roviny S, ak pre každý bod E tohto obrazca možno nájsť bod E „rovnakého obrazca, takže úsečka EE“ je kolmá na rovinu S a je delená touto rovinou na polovicu. . Rovina S sa nazýva rovina symetrie. Symetrické postavy, predmety a telesá nie sú si navzájom rovné v užšom zmysle slova, nazývajú sa zrkadlovo rovné.
Stredová symetria. Geometrický obrazec sa nazýva symetrický podľa stredu C, ak pre každý bod A tohto obrazca možno nájsť bod E toho istého obrazca, takže úsečka AE prechádza stredom C a je v tomto bode rozdelená na polovicu. Bod C sa v tomto prípade nazýva stred symetrie.
Rotačná symetria. Teleso má symetriu rotácie, ak sa pri otočení o uhol 360 ° / n (n je celé číslo) okolo priamky AB (os symetrie) úplne zhoduje s jej počiatočná poloha... Pre n = 2 máme osovú súmernosť.
Príklady typov symetrie. Guľa (guľa) má stredovú aj zrkadlovú a symetriu rotácie. Stred symetrie je stredom lopty; rovina symetrie je rovina ľubovoľného veľký kruh; osou symetrie je priemer gule.
Okrúhly kužeľ je osovo symetrický; osou symetrie je os kužeľa.
Priamy hranol má zrkadlovú symetriu. Rovina symetrie je rovnobežná s jej základňami a nachádza sa medzi nimi v rovnakej vzdialenosti.
Symetria rovinných útvarov.
Symetria zrkadlovej osi. Ak je rovinný obrazec symetrický podľa roviny (čo je možné, ak je na túto rovinu kolmý iba rovinný obrazec), potom čiara, pozdĺž ktorej sa tieto roviny pretínajú, je osou symetrie druhého rádu tohto obrazca. V tomto prípade sa postava nazýva zrkadlovo symetrická.
Stredová symetria. Ak má rovinný obrazec os symetrie druhého rádu kolmú na rovinu obrazca, potom bod, v ktorom sa priamka a rovina obrazca pretínajú, je stredom symetrie.
Príklady symetrie rovinných útvarov.
Rovnobežník má iba stredovú symetriu. Jeho stred symetrie je priesečníkom uhlopriečok.
Rovnoramenný lichobežník má iba osovú symetriu. Jeho osou symetrie je kolmica vedená cez stredy základne lichobežníka.
Kosoštvorec má stredovú aj osovú symetriu. Jeho osou symetrie je ľubovoľná z jeho uhlopriečok; stred symetrie je bod ich priesečníka.
Miesto bodov (ďalej GMT) je rovinný útvar pozostávajúci z bodov, ktoré majú nejakú vlastnosť, a neobsahuje jediný bod, ktorý túto vlastnosť nemá.
Budeme brať do úvahy iba tie GMT, ktoré je možné postaviť pomocou kompasu a pravítka.
Zvážte HMT v rovine s najjednoduchšími a najčastejšie vyjadrenými vlastnosťami:
1) GMT, ktorý sa nachádza v danej vzdialenosti r od daného bodu O, je kružnica so stredom v bode O s polomerom r.
2) GMT v rovnakej vzdialenosti od týchto dvoch bodov A a B je priamka kolmá na úsečku AB a prechádzajúca jej stredom.
3) GMT v rovnakej vzdialenosti od dvoch daných pretínajúcich sa čiar je tu pár vzájomne kolmých čiar prechádzajúcich priesečníkom a deliacich uhly medzi týmito čiarami na polovicu.
4) GMT, vzdialené od priamky v rovnakej vzdialenosti h, sú dve priamky rovnobežné s touto priamkou a umiestnené na jej opačných stranách v danej vzdialenosti h.
5) Ťažisko stredov kružníc dotýkajúcich sa danej priamky m v danom bode M na nej je kolmicou na AB v bode M (okrem bodu M).
6) Miestom stredov kružníc dotýkajúcich sa danej kružnice v danom bode M na nej je priamka prechádzajúca bodom M a stredom tejto kružnice (okrem bodov M a O).
7) GMT, z ktorého je tento segment viditeľný pod daným uhlom, sú dva oblúky kružníc popísané na tomto segmente a obsahujúce tento uhol.
8) GMT, vzdialenosti od ktorých k dvom daným bodom A a B sú v pomere m:n, je kružnica (nazývaná Apolloniova kružnica).
9) Stred stredov tetiv vytiahnutých z jedného bodu kružnice je kružnica postavená na úsečke spájajúcej daný bod so stredom danej kružnice ako na priemere.
10) Geometrickým miestom vrcholov trojuholníkov, ktoré sa rovnajú danému a majú spoločnú základňu, sú dve priamky rovnobežné so základňou, prechádzajúce vrcholom daného trojuholníka a symetrické vzhľadom na priamku so základňou. .
Uveďme príklady nájdenia GMT.
PRÍKLAD 2.Nájdite GMT, čo sú stredy akordov,nakreslený z jedného bodu daného kruhu(GMT č. 9).
Riešenie . Nech je daný kruh so stredom O a na tomto kruhu sa vyberie bod A, z ktorého sa ťahajú tetivy. Ukážme, že požadovaný GMT je kruh zostrojený na AO ako na priemere (okrem bodu A) (obr. 3).
Nech AB je nejaký akord a M jeho stred. Spojme M a O. Potom MO ^ AB (polomer rozdeľujúci tetivu na polovicu je kolmý na túto tetivu). Ale potom LAMO = 90 0. To znamená, že M patrí do kruhu s priemerom AO (GMT č. 7). Pretože tento kruh prechádza bodom O, potom O patrí nášmu GMT.
Naopak, nech M patrí k nášmu GMT. Potom nakreslením tetivy AB cez M a spojením M a O dostaneme LAMO = 90 0, tj. MO ^ AB, čo znamená, že M je stred akordu AB. Ak sa M zhoduje s O, potom O je stred AC.
Metóda súradníc vám často umožňuje nájsť GMT.
PRÍKLAD 3.Nájdite GMT, vzdialenosť, od ktorej sú dva dané body A a B v danom pomere m: n (m ≠ n).
Riešenie . Zvolme si pravouhlý súradnicový systém tak, aby body A a B ležali na osi Ox symetricky vzhľadom na počiatok a os Oy prechádzala stredným AB (obr. 4). Dáme AB = 2a. Potom bod A má súradnice A (a, 0), bod B má súradnice B (-a, 0). Nech C patrí nášmu GMT, súradnice C (x, y) a CB / CA = m / n. ale 
Prostriedky
(*)
Transformujme našu rovnosť. Máme
