Geometrická progresia nemenej dôležité v matematike ako v aritmetike. Geometrická postupnosť je taká postupnosť čísel b1, b2,..., b[n], ktorej každý ďalší člen sa získa vynásobením predchádzajúceho konštantným číslom. Toto číslo, ktoré tiež charakterizuje rýchlosť rastu alebo poklesu progresie, sa nazýva menovateľ geometrickej postupnosti a označujú
Pre úplné priradenie geometrickej postupnosti je okrem menovateľa potrebné poznať alebo určiť jej prvý člen. Pre kladného menovateľa je progresia monotónna postupnosť, a ak je táto postupnosť čísel monotónne klesajúca a monotónne rastúca ako. Prípad, keď sa menovateľ rovná jednej, sa v praxi nezohľadňuje, pretože máme postupnosť rovnakých čísel a ich súčet nie je praktický.
Všeobecný pojem geometrickej postupnosti vypočítané podľa vzorca
Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti určený vzorcom
Uvažujme o riešeniach klasických úloh geometrickej postupnosti. Začnime tým najjednoduchším na pochopenie.
Príklad 1. Prvý člen geometrickej postupnosti je 27 a jej menovateľ je 1/3. Nájdite prvých šesť členov geometrickej postupnosti.
Riešenie: Do formulára napíšeme podmienku úlohy
Na výpočty používame vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti
Na základe nej nachádzame neznámych členov progresie
Ako vidíte, výpočet podmienok geometrickej progresie nie je zložitý. Samotný postup bude vyzerať takto
Príklad 2. Prvé tri členy geometrickej postupnosti sú dané: 6; -12; 24. Nájdite menovateľa a siedmy člen.
Riešenie: Menovateľa geometrickej postupnosti vypočítame na základe jej definície
Dostali sme striedavý geometrický postup, ktorého menovateľ je -2. Siedmy člen sa vypočíta podľa vzorca
Na tejto úlohe je vyriešená.
Príklad 3. Geometrická postupnosť je daná dvoma jej členmi 
. Nájdite desiaty termín postupu.
rozhodnutie:
Napíšme dané hodnoty cez vzorce
Podľa pravidiel by bolo potrebné nájsť menovateľa a potom hľadať požadovanú hodnotu, ale pre desiaty člen máme
Rovnaký vzorec možno získať na základe jednoduchých manipulácií so vstupnými údajmi. Šiesty termín série delíme ďalším, ako výsledok dostaneme
Ak sa výsledná hodnota vynásobí šiestym členom, dostaneme desiaty
Teda na takéto problémy pomocou jednoduchých premien na rýchly spôsob môžete nájsť správne riešenie.
Príklad 4. Geometrická postupnosť je daná opakujúcimi sa vzorcami
Nájdite menovateľa geometrickej postupnosti a súčet prvých šiestich členov.
rozhodnutie:
Uvedené údaje zapisujeme vo forme sústavy rovníc
Vyjadrite menovateľ tak, že druhú rovnicu vydelíte prvou
Nájdite prvý člen postupu z prvej rovnice
Vypočítajte nasledujúcich päť členov, aby ste našli súčet geometrickej postupnosti
Dôležité poznámky!
1. Ak namiesto vzorcov vidíte abrakadabra, vymažte vyrovnávaciu pamäť. Ako to urobiť vo vašom prehliadači je napísané tu:
2. Skôr ako začnete čítať článok, venujte pozornosť nášmu navigátoru najviac užitočný zdroj pre
Poďme si teda sadnúť a začať písať nejaké čísla. Napríklad:
Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete (v našom prípade ich). Bez ohľadu na to, koľko čísel napíšeme, vždy vieme povedať, ktoré z nich je prvé, ktoré druhé a tak ďalej až do posledného, čiže ich vieme očíslovať. Toto je príklad číselnej postupnosti:
Číselná postupnosť je množina čísel, z ktorých každému možno priradiť jedinečné číslo.
Napríklad pre našu postupnosť:
Pridelené číslo je špecifické len pre jedno poradové číslo. Inými slovami, v poradí nie sú žiadne tri sekundové čísla. Druhé číslo (ako -té číslo) je vždy rovnaké.
Číslo s číslom sa nazýva -tý člen postupnosti.
Obvykle nazývame celú postupnosť nejaké písmeno (napríklad), a každý člen tejto postupnosti - rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena: .
V našom prípade:
Najbežnejšie typy progresie sú aritmetické a geometrické. V tejto téme budeme hovoriť o druhom druhu - geometrická progresia.
Už v staroveku sa taliansky matematik, mních Leonardo z Pisy (známejší ako Fibonacci), zaoberal praktickými potrebami obchodu. Mních stál pred úlohou určiť, aký najmenší počet závaží je možné použiť na váženie tovaru? Fibonacci vo svojich spisoch dokazuje, že takýto systém váh je optimálny: Toto je jedna z prvých situácií, v ktorej sa ľudia museli vysporiadať s geometrickou progresiou, o ktorej ste už určite počuli a máte ju aspoň všeobecný pojem. Keď úplne pochopíte tému, zamyslite sa nad tým, prečo je takýto systém optimálny?
V súčasnosti sa v životnej praxi prejavuje geometrická progresia pri investovaní peňazí v banke, kedy sa úročí suma nahromadená na účte za predchádzajúce obdobie. Inými slovami, ak vložíte peniaze na termínovaný vklad do sporiteľne, tak o rok sa vklad zvýši o z pôvodnej sumy, t.j. nová suma sa bude rovnať príspevku vynásobenému o. V ďalšom roku sa táto suma zvýši o, t.j. suma získaná v tom čase sa opäť vynásobí atď. Podobná situácia je popísaná v problematike výpočtovej tzv zložené úročenie- percento sa vždy berie zo sumy, ktorá je na účte, pričom sa zohľadňuje predchádzajúci úrok. O týchto úlohách si povieme trochu neskôr.
Existuje oveľa viac jednoduchých prípadov, keď sa aplikuje geometrická progresia. Napríklad šírenie chrípky: jeden človek nakazil človeka, ten zase infikoval iného človeka, a teda druhá vlna nákazy - človeka, a ten zase nakazil ďalšieho...a tak ďalej.. .
Mimochodom, finančná pyramída, to isté MMM, je jednoduchý a suchý výpočet podľa vlastností geometrickej progresie. zaujímavé? Poďme na to.
Povedzme, že máme číselná postupnosť:
Hneď odpoviete, že je to ľahké a názov takejto sekvencie je s rozdielom jej členov. Čo tak niečo takéto:
Ak odčítate predchádzajúce číslo od nasledujúceho čísla, uvidíte, že zakaždým, keď dostanete nový rozdiel (a tak ďalej), ale postupnosť určite existuje a je ľahké si ju všimnúť - každé ďalšie číslo je krát väčšie ako predchádzajúce !
Tento typ sekvencie sa nazýva geometrická progresia a je označený.
Geometrická postupnosť ( ) je číselná postupnosť, ktorej prvý člen je odlišný od nuly a každý člen, počnúc druhým, je rovný predchádzajúcemu, vynásobený rovnakým číslom. Toto číslo sa nazýva menovateľ geometrickej progresie.
Obmedzenia, že prvý člen ( ) nie je rovnaký a nie sú náhodné. Povedzme, že neexistujú žiadne a prvý člen je stále rovnaký a q je, hmm .. nech, potom sa ukáže:
Súhlaste, že to nie je progresia.
Ako ste pochopili, dostaneme rovnaké výsledky, ak je to akékoľvek číslo iné ako nula, ale. V týchto prípadoch jednoducho nedôjde k progresii, pretože celý číselný rad bude buď všetky nuly, alebo jedno číslo a všetky ostatné nuly.
Teraz si povedzme podrobnejšie o menovateli geometrickej progresie, teda o.
Zopakujme si: - toto je číslo, koľkokrát sa každý nasledujúci výraz zmení geometrická progresia.
Čo si myslíte, že by to mohlo byť? To je správne, pozitívne a negatívne, ale nie nulové (o tomto sme hovorili trochu vyššie).
Povedzme, že máme pozitívny. Nech v našom prípade a. Aký je druhý termín a? Na to môžete ľahko odpovedať:
V poriadku. Preto, ak, potom všetci ďalší členovia progresie majú rovnaké znamenie - oni pozitívne.
Čo ak je to negatívne? Napríklad a. Aký je druhý termín a?
Je to úplne iný príbeh
Skúste si spočítať obdobie tohto postupu. koľko si dostal? Mám. Ak teda, potom sa striedajú znaky členov geometrickej progresie. To znamená, že ak vidíte progresiu so striedajúcimi sa znakmi v jej členoch, potom je jej menovateľ záporný. Tieto znalosti vám môžu pomôcť otestovať sa pri riešení problémov na túto tému.
Teraz si poďme trochu precvičiť: skúste určiť, ktoré číselné postupnosti sú geometrickou a aritmetickou postupnosťou:
Mám to? Porovnajte naše odpovede:
Vráťme sa k nášmu poslednému postupu a skúsme nájsť jeho výraz rovnakým spôsobom ako v aritmetike. Ako ste možno uhádli, existujú dva spôsoby, ako ho nájsť.
Každý výraz postupne násobíme o.
Takže -tý člen opísanej geometrickej postupnosti sa rovná.
Ako už tušíte, teraz sami odvodíte vzorec, ktorý vám pomôže nájsť ľubovoľného člena geometrickej postupnosti. Alebo ste si to už vymysleli pre seba a popísali, ako postupne nájsť th člena? Ak áno, skontrolujte správnosť svojich úvah.
Ilustrujme si to na príklade nájdenia -tého člena tejto postupnosti:
Inými slovami:
Zistite si hodnotu člena daného geometrického postupu.
Stalo? Porovnajte naše odpovede:
Dávajte pozor, aby ste dostali presne to isté číslo ako v predchádzajúcej metóde, keď sme postupne násobili každým predchádzajúcim členom geometrickej postupnosti.
Pokúsme sa tento vzorec "odosobniť" - prenesieme ho do všeobecnej podoby a dostaneme:
Odvodený vzorec platí pre všetky hodnoty – kladné aj záporné. Overte si to sami výpočtom členov geometrickej postupnosti s nasledujúcimi podmienkami: , a.
Počítal si? Porovnajme výsledky:
Súhlaste s tým, že by bolo možné nájsť člena progresie rovnakým spôsobom ako člena, existuje však možnosť nesprávneho výpočtu. A ak sme už našli tý člen geometrickej postupnosti a, tak čo môže byť jednoduchšie ako použiť „skrátenú“ časť vzorca.
Nedávno sme hovorili o tom, čo môže byť väčšie alebo menšie ako nula, existujú však špeciálne hodnoty, pre ktoré sa geometrická progresia nazýva nekonečne klesajúci.
Prečo si myslíte, že má taký názov?
Na začiatok si napíšme nejakú geometrickú postupnosť pozostávajúcu z členov.
Povedzme teda:
Vidíme, že každý nasledujúci výraz je časovo menší ako predchádzajúci, ale bude tam nejaké číslo? Okamžite odpoviete – „nie“. Preto nekonečne klesajúce - klesá, klesá, ale nikdy sa nestane nulou.
Aby sme jasne pochopili, ako to vizuálne vyzerá, skúsme nakresliť graf nášho postupu. Takže v našom prípade má vzorec nasledujúcu formu:
Na grafoch sme zvyknutí budovať závislosť na:
Podstata výrazu sa nezmenila: v prvom vstupe sme ukázali závislosť hodnoty geometrického progresívneho člena od jeho poradového čísla a v druhom vstupe sme jednoducho zobrali hodnotu geometrického progresívneho člena pre a radové číslo bolo označené nie ako, ale ako. Zostáva už len nakresliť graf.
Pozrime sa, čo máš. Tu je graf, ktorý som dostal:
Vidíš? Funkcia klesá, má tendenciu k nule, ale nikdy ju neprekročí, takže nekonečne klesá. Vyznačme si na grafe naše body a zároveň, čo súradnica a znamená:
Skúste schematicky znázorniť graf geometrickej progresie, ak je jej prvý člen rovnaký. Analyzujte, aký je rozdiel oproti predchádzajúcemu grafu?
Podarilo sa ti? Tu je graf, ktorý som dostal:
Teraz, keď ste úplne porozumeli základom témy geometrickej postupnosti: viete, čo to je, viete nájsť jej pojem a tiež viete, čo je nekonečne klesajúca geometrická postupnosť, prejdime k jej hlavnej vlastnosti.
Pamätáte si na vlastnosť členov aritmetického postupu? Áno, áno, ako nájsť hodnotu určitého počtu progresie, keď existujú predchádzajúce a nasledujúce hodnoty členov tejto progresie. Pamätáte si? toto:
Teraz stojíme pred presne tou istou otázkou pre podmienky geometrickej progresie. Aby sme odvodili takýto vzorec, začnime kresliť a uvažovať. Uvidíte, je to veľmi jednoduché, a ak zabudnete, môžete si to priniesť sami.
Zoberme si ďalší jednoduchý geometrický postup, v ktorom poznáme a. Ako nájsť? S aritmetickým postupom je to ľahké a jednoduché, ale ako je to tu? V skutočnosti nie je nič zložité ani v geometrii - stačí namaľovať každú hodnotu, ktorá nám bola poskytnutá, podľa vzorca.
Pýtate sa a čo s tým teraz urobíme? Áno, veľmi jednoduché. Na začiatok znázornime tieto vzorce na obrázku a pokúsme sa s nimi urobiť rôzne manipulácie, aby sme dosiahli hodnotu.
Abstrahujeme od čísel, ktoré sú nám dané, zameriame sa len na ich vyjadrenie prostredníctvom vzorca. Musíme nájsť zvýraznenú hodnotu oranžová so znalosťou výrazov, ktoré s ním susedia. Pokúsme sa s nimi vykonávať rôzne akcie, v dôsledku ktorých môžeme získať.
Doplnenie.
Skúsme pridať dva výrazy a dostaneme:
Z tohto výrazu, ako vidíte, sa nebudeme môcť nijako vyjadrovať, preto skúsime inú možnosť - odčítanie.
Odčítanie.
Ako vidíte, ani z toho sa nevieme vyjadriť, preto sa pokúsime tieto výrazy navzájom znásobiť.
Násobenie.
Teraz sa pozorne pozrite na to, čo máme, vynásobením podmienok geometrickej progresie, ktoré sme dostali, v porovnaní s tým, čo je potrebné nájsť:
Hádajte, o čom hovorím? Správne, aby sme našli, musíme vziať Odmocnina z čísel geometrickej postupnosti susediacich s požadovaným číslom vynásobených navzájom:
Dobre. Sami ste odvodili vlastnosť geometrickej progresie. Skúste napísať tento vzorec všeobecný pohľad. Stalo?
Kedy ste zabudli na stav? Zamyslite sa nad tým, prečo je to dôležité, skúste si to napríklad vypočítať sami, pri. Čo sa stane v tomto prípade? To je pravda, úplný nezmysel, pretože vzorec vyzerá takto:
Preto nezabudnite na toto obmedzenie.
Teraz spočítajme, čo je
Správna odpoveď - ! Ak ste pri výpočte nezabudli na druhú možnú hodnotu, tak ste skvelý chlapík a môžete hneď pristúpiť k tréningu a ak ste zabudli, prečítajte si, čo je rozoberané nižšie a venujte pozornosť tomu, prečo musia byť v odpovedi napísané oba korene .
Nakreslime obe naše geometrické postupnosti – jednu s hodnotou a druhú s hodnotou a skontrolujme, či obe majú právo na existenciu:
Aby sme skontrolovali, či takáto geometrická progresia existuje alebo nie, je potrebné zistiť, či je rovnaká medzi všetkými jej danými členmi? Vypočítajte q pre prvý a druhý prípad.
Vidíte, prečo musíme napísať dve odpovede? Pretože znamienko požadovaného termínu závisí od toho, či je kladné alebo záporné! A keďže nevieme, čo to je, treba napísať obe odpovede s plusom a mínusom.
Teraz, keď ste zvládli hlavné body a odvodili vzorec pre vlastnosť geometrickej postupnosti, nájdite, poznáte a
Porovnajte svoje odpovede so správnymi:
Čo si myslíte, čo keby sme nedostali hodnoty členov geometrickej progresie susediacich s požadovaným číslom, ale v rovnakej vzdialenosti od neho. Napríklad musíme nájsť, a dané a. Môžeme v tomto prípade použiť vzorec, ktorý sme odvodili? Pokúste sa potvrdiť alebo vyvrátiť túto možnosť rovnakým spôsobom, opíšte, z čoho každá hodnota pozostáva, ako ste to urobili pri odvodzovaní vzorca od začiatku, s.
Čo si dostal?
Teraz sa znova pozorne pozrite.
a zodpovedajúcim spôsobom:
Z toho môžeme usúdiť, že vzorec funguje nielen so susednými s požadovanými členmi geometrickej progresie, ale aj s v rovnakej vzdialenosti z toho, čo členovia hľadajú.
Náš pôvodný vzorec sa teda stáva:
To znamená, že ak sme to v prvom prípade povedali, teraz hovoríme, že sa to môže rovnať hociktorému prirodzené číslo, čo je menej. Hlavné je, aby boli obe dané čísla rovnaké.
Cvičte na konkrétnych príkladoch, len buďte maximálne opatrní!
Rozhodol som sa? Dúfam, že ste boli mimoriadne pozorní a všimli ste si malý háčik.
Porovnávame výsledky.
V prvých dvoch prípadoch pokojne použijeme vyššie uvedený vzorec a získame nasledujúce hodnoty:
V treťom prípade pri bližšom skúmaní sériové číslačísla, ktoré nám boli dané, chápeme, že nie sú v rovnakej vzdialenosti od čísla, ktoré hľadáme: je to predchádzajúce číslo, ale odstránené na pozícii, takže vzorec nie je možné použiť.
Ako to vyriešiť? V skutočnosti to nie je také ťažké, ako sa zdá! Poďme si s vami zapísať, z čoho sa skladá každé číslo, ktoré nám bolo pridelené, a želané číslo.
Takže máme a. Pozrime sa, čo s nimi môžeme urobiť. Navrhujem rozdeliť. Dostaneme:
Naše údaje dosadíme do vzorca:
Ďalší krok, ktorý môžeme nájsť - na to musíme vziať odmocninu z výsledného čísla.
Teraz sa znova pozrime na to, čo máme. Máme, ale musíme nájsť, a to sa zase rovná:
Zistili sme všetky potrebné údaje pre výpočet. Nahraďte vo vzorci:
Naša odpoveď: .
Skúste sami vyriešiť ďalší rovnaký problém:
Vzhľadom na to: ,
Nájsť:
koľko si dostal? Mám - .
Ako vidíte, v skutočnosti potrebujete zapamätaj si len jeden vzorec- Všetko ostatné si môžete kedykoľvek sami bez problémov stiahnuť. Ak to chcete urobiť, jednoducho napíšte najjednoduchšiu geometrickú postupnosť na kus papiera a zapíšte si, čomu sa podľa vyššie uvedeného vzorca rovná každé z jeho čísel.
Teraz zvážte vzorce, ktoré nám umožňujú rýchlo vypočítať súčet členov geometrickej progresie v danom intervale:
Aby sme odvodili vzorec pre súčet členov konečnej geometrickej postupnosti, vynásobíme všetky časti vyššie uvedenej rovnice. Dostaneme:
Pozrite sa pozorne: čo majú posledné dva vzorce spoločné? Je to tak, napríklad spoloční členovia a podobne, okrem prvého a posledného člena. Skúsme odčítať 1. rovnicu od 2. rovnice. Čo si dostal?
Teraz vyjadrite pomocou vzorca člena geometrickej postupnosti a dosaďte výsledný výraz do nášho posledného vzorca:
Zoskupte výraz. Mali by ste dostať:
Zostáva len vyjadriť:
Podľa toho v tomto prípade.
Čo ak? Aký vzorec potom funguje? Predstavte si geometrickú postupnosť pri. Aká je? Správne rad rovnakých čísel, respektíve vzorec bude vyzerať takto:
Rovnako ako v prípade aritmetického a geometrického postupu existuje veľa legiend. Jednou z nich je legenda o Sethovi, tvorcovi šachu.
Mnoho ľudí vie, že šachová hra bola vynájdená v Indii. Keď sa s ňou hinduistický kráľ stretol, bol potešený jej dôvtipom a rozmanitosťou pozícií, ktoré v nej boli možné. Keď sa kráľ dozvedel, že ho vynašiel jeden z jeho poddaných, rozhodol sa ho osobne odmeniť. Zavolal k sebe vynálezcu a prikázal, aby si od neho vypýtal čokoľvek, čo by chcel, pričom sľúbil, že splní aj tú najšikovnejšiu túžbu.
Seta požiadal o čas na rozmyslenie, a keď na druhý deň Seta predstúpil pred kráľa, prekvapil kráľa nevídanou skromnosťou svojej žiadosti. Požiadal o pšeničné zrno na prvé pole šachovnice, pšenicu na druhé, tretie, štvrté atď.
Kráľ sa nahneval a zahnal Setha so slovami, že žiadosť sluhu nie je hodná kráľovskej štedrosti, ale sľúbil, že sluha dostane svoje obilie za všetky bunky rady.
A teraz otázka znie: pomocou vzorca pre súčet členov geometrickej progresie vypočítajte, koľko zŕn by mal Seth dostať?
Začnime diskutovať. Keďže podľa podmienky Seth požiadal o zrnko pšenice za prvú bunku šachovnice, za druhú, za tretiu, za štvrtú atď., vidíme, že v probléme rozprávame sa o geometrickom postupe. Čo sa rovná v tomto prípade?
správne.
Celkový počet buniek na šachovnici. Respektíve, . Všetky údaje máme, ostáva už len dosadiť do vzorca a vypočítať.
Aby sme aspoň približne reprezentovali „stupnice“ daného čísla, transformujeme pomocou vlastností stupňa:
Samozrejme, ak chcete, môžete si vziať kalkulačku a vypočítať, k akému číslu sa dostanete, a ak nie, musíte mi dať za pravdu: konečná hodnota výrazu bude.
T.j.:
kvintilión kvadrilión bilión miliárd miliónov miliónov tisíc.
Fuh) Ak si chcete predstaviť obrovskú hodnotu tohto čísla, potom odhadnite, aká veľká stodola by bola potrebná na umiestnenie celého množstva obilia.
Pri výške stodoly m a šírke m by jej dĺžka musela siahať do km, t.j. dvakrát tak ďaleko ako od Zeme k Slnku.
Ak by bol kráľ silný v matematike, mohol by ponúknuť vedcovi, aby spočítal zrnká, pretože na to, aby narátal milión zŕn, by potreboval aspoň deň neúnavného počítania a vzhľadom na to, že je potrebné počítať kvintilióny, zrnká by musel počítať celý život.
A teraz vyriešime jednoduchú úlohu na súčte členov geometrickej postupnosti.
Žiak 5. ročníka Vasya ochorel na chrípku, no naďalej chodí do školy. Každý deň Vasya infikuje dvoch ľudí, ktorí zase infikujú ďalších dvoch ľudí atď. Len jeden človek v triede. Za koľko dní dostane chrípku celá trieda?
Takže prvým členom geometrickej progresie je Vasya, teda osoba. člen geometrickej progresie, to sú dvaja ľudia, ktorých nakazil v prvý deň svojho príchodu. Celkový súčet členov postupu sa rovná počtu žiakov 5A. V súlade s tým hovoríme o progresii, v ktorej:
Dosaďte naše údaje do vzorca pre súčet členov geometrickej progresie:
Do niekoľkých dní ochorie celá trieda. Neveríte vzorcom a číslam? Skúste „infekciu“ žiakov vykresliť sami. Stalo? Pozrite sa, ako to u mňa vyzerá:
Spočítajte si sami, koľko dní by žiaci dostali chrípku, ak by každý nakazil človeka a v triede bol aj človek.
Akú hodnotu ste získali? Ukázalo sa, že všetci začali byť po dni chorí.
Ako vidíte, takáto úloha a jej kresba pripomína pyramídu, v ktorej každá ďalšia „prináša“ nových ľudí. Skôr či neskôr však príde moment, keď ten druhý nedokáže nikoho zaujať. V našom prípade, ak si predstavíme, že trieda je izolovaná, osoba z uzavrie reťazec (). Ak teda bola osoba zapojená do finančná pyramída, v ktorom sa dali peniaze, ak privediete ďalších dvoch účastníkov, potom by daný človek (alebo vo všeobecnosti) nepriviedol nikoho, respektíve by prišiel o všetko, čo do tohto finančného podvodu investoval.
Všetko, čo bolo povedané vyššie, sa týka klesajúceho alebo rastúceho geometrického postupu, ale ako si pamätáte, máme špeciálny druh - nekonečne klesajúci geometrický postup. Ako vypočítať súčet jeho členov? A prečo má tento typ progresie určité vlastnosti? Poďme na to spolu.
Pre začiatok sa teda pozrime znova na tento obrázok nekonečne klesajúcej geometrickej progresie z nášho príkladu:
A teraz sa pozrime na vzorec pre súčet geometrickej progresie, odvodený o niečo skôr:
alebo
O čo sa usilujeme? Je to tak, graf ukazuje, že má tendenciu k nule. Teda kedy, to sa bude takmer rovnať, respektíve pri výpočte výrazu dostaneme takmer. V tejto súvislosti sa domnievame, že pri výpočte súčtu nekonečne klesajúcej geometrickej progresie možno túto zátvorku zanedbať, pretože sa bude rovnať.
- vzorec je súčet členov nekonečne klesajúcej geometrickej progresie.
DÔLEŽITÉ! Vzorec pre súčet členov nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti používame iba vtedy, ak podmienka výslovne uvádza, že potrebujeme nájsť súčet nekonečné počet členov.
Ak je uvedené konkrétne číslo n, potom použijeme vzorec pre súčet n členov, aj keď alebo.
A teraz poďme cvičiť.
Dúfam, že ste boli veľmi opatrní. Porovnajte naše odpovede:
Teraz viete všetko o geometrickom postupe a je čas prejsť od teórie k praxi. Najbežnejšie exponenciálne problémy nájdené na skúške sú problémy so zloženým úrokom. Práve o nich sa budeme rozprávať.
Určite ste už počuli o takzvanom vzorci zloženého úroku. Chápeš, čo tým myslí? Ak nie, poďme na to, pretože po realizácii samotného procesu okamžite pochopíte, čo s tým má geometrická progresia spoločné.
Všetci ideme do banky a vieme, že existujú rozdielne podmienky o vkladoch: ide o termínovanú aj dodatočnú údržbu a percento s dvoma rôzne cesty jeho výpočet - jednoduchý a zložitý.
S jednoduchý záujem všetko je viac-menej jasné: úrok sa účtuje raz na konci doby vkladu. To znamená, že ak hovoríme o znížení 100 rubľov ročne, budú pripísané až na konci roka. Na konci vkladu teda dostaneme ruble.
Zložené úročenie je možnosť, v ktorej úroková kapitalizácia, t.j. ich pripočítanie k výške vkladu a následný výpočet príjmu nie z počiatočnej, ale z kumulovanej sumy vkladu. Veľké písmená sa nevyskytujú neustále, ale s určitou periodicitou. Spravidla sú takéto obdobia rovnaké a najčastejšie banky používajú mesiac, štvrťrok alebo rok.
Povedzme, že vložíme všetky rovnaké ruble ročne, ale s mesačnou kapitalizáciou vkladu. čo získame?
Rozumieš tu všetkému? Ak nie, poďme na to krok za krokom.
Priniesli sme ruble do banky. Do konca mesiaca by sme mali mať na účte sumu pozostávajúcu z našich rubľov plus úrok z nich, teda:
Súhlasím?
Môžeme to vytiahnuť zo zátvorky a potom dostaneme:
Súhlasíte, tento vzorec je už viac podobný tomu, ktorý sme napísali na začiatku. Zostáva riešiť percentá
V stave problému sa nám hovorí o ročnom. Ako viete, nenásobíme - konvertujeme percentá na desatinné miesta, to znamená:
Správny? Teraz sa pýtate, odkiaľ pochádza číslo? Veľmi jednoduché!
Opakujem: stav problému hovorí o VÝROČNÝ naakumulovaný úrok MESAČNE. Ako viete, za rok mesiacov nám banka bude účtovať časť ročného úroku za mesiac:
Realizované? Teraz skúste napísať, ako by táto časť vzorca vyzerala, keby som povedal, že úroky sa počítajú denne.
Podarilo sa ti? Porovnajme výsledky:
Výborne! Vráťme sa k našej úlohe: napíšte, koľko bude pripísané na náš účet za druhý mesiac, berúc do úvahy, že z nahromadenej sumy vkladu sa účtuje úrok.
Stalo sa mi toto:
Alebo inak povedané:
Myslím, že ste si už všimli vzor a videli ste v tom všetkom geometrický postup. Napíšte, koľko sa bude jeho člen rovnať, alebo inak povedané, koľko peňazí dostaneme na konci mesiaca.
Vyrobené? Kontrola!
Ako vidíte, ak vložíte peniaze do banky na rok s jednoduchým úrokom, dostanete ruble, a ak ich vložíte so zloženou sadzbou, dostanete ruble. Prínos je malý, ale stáva sa to iba počas tého roka, ale na dlhšie obdobie je kapitalizácia oveľa výnosnejšia:
Zvážte iný typ problémov so zloženým úrokom. Po tom, čo ste zistili, to bude pre vás elementárne. Takže úloha znie:
Zvezda začala investovať do odvetvia v roku 2000 s dolárovým kapitálom. Od roku 2001 každoročne dosahuje zisk, ktorý sa rovná kapitálu predchádzajúceho roka. Aký zisk bude mať spoločnosť Zvezda na konci roka 2003, ak by zisk nebol stiahnutý z obehu?
Hlavné mesto spoločnosti Zvezda v roku 2000.
- hlavné mesto spoločnosti Zvezda v roku 2001.
- hlavné mesto spoločnosti Zvezda v roku 2002.
- hlavné mesto spoločnosti Zvezda v roku 2003.
Alebo môžeme stručne napísať:
Pre náš prípad:
2000, 2001, 2002 a 2003.
Respektíve:
rubľov
Všimnite si, že v tomto probléme nemáme delenie ani podľa ani podľa, keďže percentá sa uvádzajú ROČNE a počítajú sa ROČNE. To znamená, že pri čítaní problému zloženého úroku venujte pozornosť tomu, aké percento je uvedené av akom období sa účtuje, a až potom pokračujte vo výpočtoch.
Teraz viete všetko o geometrickom postupe.
odpovede:
2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- zvýši sa o 100 %, to znamená 2-krát.
Respektíve:
rubľov
Peňažné toky MSK:
2005, 2006, 2007.
- zvyšuje o, teda krát.
Respektíve:
rubľov
rubľov
1) Geometrická postupnosť ( ) je číselná postupnosť, ktorej prvý člen je odlišný od nuly a každý člen, začínajúc od druhého, sa rovná predchádzajúcemu, vynásobený rovnakým číslom. Toto číslo sa nazýva menovateľ geometrickej progresie.
2) Rovnica členov geometrickej postupnosti -.
3) môže mať akúkoľvek hodnotu okrem a.
4) , at - vlastnosť geometrickej postupnosti (susedné členy)
alebo
, v (ekvidistantné výrazy)
Keď to nájdete, nezabudnite na to mali by byť dve odpovede..
Napríklad,
5) Súčet členov geometrickej postupnosti sa vypočíta podľa vzorca:
alebo
alebo
DÔLEŽITÉ! Vzorec pre súčet členov nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti použijeme len vtedy, ak podmienka výslovne uvádza, že je potrebné nájsť súčet nekonečného počtu členov.
6) Úlohy na zložené úročenie sa počítajú aj podľa vzorca člena geometrickej progresie za predpokladu, že prostriedky neboli stiahnuté z obehu:
Geometrická progresia( ) je číselná postupnosť, ktorej prvý člen je odlišný od nuly a každý člen, počnúc druhým, sa rovná predchádzajúcemu, vynásobený rovnakým číslom. Toto číslo sa volá menovateľ geometrickej progresie.
Menovateľ geometrickej postupnosti môže mať akúkoľvek hodnotu okrem a.
Rovnica členov geometrickej postupnosti - .
Súčet členov geometrickej postupnosti vypočítané podľa vzorca:
alebo
Ak progresia nekonečne klesá, potom:
No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, potom ste veľmi cool.
Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak ste dočítali až do konca, tak ste v tých 5%!
Teraz to najdôležitejšie.
Prišli ste na teóriu na túto tému. A opakujem, je to ... je to jednoducho super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.
Problém je, že to nemusí stačiť...
Prečo?
Pre úspešné absolvovanie skúšky, za prijatie do ústavu na rozpočet a HLAVNE na doživotie.
Nebudem ťa o ničom presviedčať, poviem len jedno...
Ľudia, ktorí získali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nezískali. Toto je štatistika.
Ale to nie je to hlavné.
Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...
Ale zamysli sa nad sebou...
Čo potrebujete, aby ste boli na skúške lepší ako ostatní a boli in prípadne...šťastnejší?
VYPLŇTE SI RUKU, RIEŠTE PROBLÉMY V TEJTO TÉME.
Na skúške sa vás nebudú pýtať na teóriu.
Budete potrebovať riešiť problémy včas.
A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo ju jednoducho neurobíte včas.
Je to ako v športe – treba opakovať veľakrát, aby ste vyhrali.
Nájdite zbierku kdekoľvek chcete nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!
Môžete využiť naše úlohy (nie je potrebné) a určite ich odporúčame.
Aby ste s pomocou našich úloh mohli pomôcť, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.
ako? Sú dve možnosti:
Áno, takýchto článkov máme v učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.
Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný počas celej životnosti stránky.
Na záver...
Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neprestaňte s teóriou.
„Rozumiem“ a „Viem, ako vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.
Nájdite problémy a riešte ich!
Geometrická postupnosť je nový druhčíselný rad, s ktorým sa musíme zoznámiť. Pre úspešné zoznámenie nezaškodí aspoň poznať a pochopiť. Potom nebude problém s geometrickým postupom.)
Čo je geometrická progresia? Koncept geometrickej progresie.
Prehliadku začíname, ako inak, základňou. Píšem nedokončenú postupnosť čísel:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
Dokážete zachytiť vzorec a povedať, ktoré čísla budú nasledovať? Paprika je jasná, čísla 100000, 1000000 a tak ďalej pôjdu ďalej. Aj bez veľkého psychického stresu je všetko jasné, však?)
OK Ďalší príklad. Píšem nasledujúcu postupnosť:
1, 2, 4, 8, 16, …
Môžete povedať, ktoré čísla budú nasledovať po čísle 16 a mene ôsmyčlen sekvencie? Ak ste prišli na to, že to bude číslo 128, tak veľmi dobre. Polovica úspechu je teda v porozumení význam a Kľúčové body geometrický postup už bol vykonaný. Môžete rásť ďalej.)
A teraz sa opäť obrátime od pocitov k prísnej matematike.
Kľúčové momenty geometrickej progresie.
Kľúčový moment #1
Geometrická postupnosť je postupnosť čísel. Rovnako ako progresia. Nič zložité. Práve usporiadal túto sekvenciu inak. Preto má, samozrejme, iné meno, áno ...
Kľúčový moment #2
S druhým kľúčovým bodom bude otázka zložitejšia. Vráťme sa trochu späť a spomeňme si na kľúčovú vlastnosť aritmetickej progresie. Tu je: každý člen je iný ako predchádzajúci o rovnakú sumu.
Je možné sformulovať podobnú kľúčovú vlastnosť pre geometrickú progresiu? Zamyslite sa trochu... Pozrite sa na uvedené príklady. Uhádli ste? Áno! V geometrickej postupnosti (akejkoľvek!) sa každý jej člen líši od predchádzajúceho v rovnakom počte krát. Vždy!
V prvom príklade je toto číslo desať. Ktorýkoľvek člen sekvencie si vyberiete, je väčší ako predchádzajúci desaťkrát.
V druhom príklade je to dvojka: každý člen je väčší ako predchádzajúci. dvakrát.
Práve v tomto kľúčovom bode sa geometrická progresia líši od aritmetického. V aritmetickom postupe sa získa každý ďalší člen pridávanie rovnakej hodnoty ako v predchádzajúcom období. A tu - násobenie predchádzajúce obdobie o rovnakú sumu. To je rozdiel.)
Kľúčový moment #3
Tento kľúčový bod je úplne identický s bodom aritmetického postupu. menovite: každý člen geometrickej postupnosti je na svojom mieste. Všetko je úplne rovnaké ako pri aritmetickom postupe a komentáre sú podľa mňa zbytočné. Je tu prvý termín, je tam sto prvý a tak ďalej. Preusporiadame aspoň dva členy – vzor (a s ním aj geometrická postupnosť) zmizne. Bude tu len postupnosť čísel bez akejkoľvek logiky.
To je všetko. To je celý zmysel geometrického postupu.
Termíny a označenia.
A teraz, keď sme sa zaoberali významom a kľúčovými bodmi geometrickej progresie, môžeme prejsť k teórii. Inak, čo je teória bez pochopenia významu, však?
Čo je geometrická progresia?
Ako sa všeobecne píše geometrická postupnosť? Žiaden problém! Každý člen postupu je tiež napísaný ako list. Len na aritmetický postup sa zvyčajne používa písmeno "a", pre geometrické - písm "b". Číslo člena, ako obvykle, je uvedené pravý dolný index. Samotné členy progresie sú jednoducho uvedené oddelené čiarkami alebo bodkočiarkami.
Páči sa ti to:
b1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …
Stručne povedané, takýto postup je napísaný takto: (b n) .
Alebo takto pre konečný postup:
b1, b2, b3, b4, b5, b6.
b1, b2, ..., b29, b30.
Alebo v skratke:
(b n), n=30 .
To sú vlastne všetky označenia. Všetko je rovnaké, len písmeno je iné, áno.) A teraz prejdeme priamo k definícii.
Definícia geometrickej progresie.
Geometrická postupnosť je číselná postupnosť, ktorej prvý člen je nenulový a každý nasledujúci člen sa rovná predchádzajúcemu členu vynásobenému rovnakým nenulovým číslom.
To je celá definícia. Väčšina slov a fráz je vám jasná a známa. Pokiaľ, samozrejme, nerozumiete významu geometrickej progresie "na prstoch" a vo všeobecnosti. Je tu však aj niekoľko nových fráz, na ktoré by som chcel osobitne upozorniť.
Najprv slová: „prvé obdobie ktorého odlišný od nuly".
Toto obmedzenie v prvom volebnom období nebolo zavedené náhodou. Čo si myslíte, že sa stane, ak prvý termín b 1 ukáže sa ako nula? Aký bude druhý člen, ak je každý člen väčší ako predchádzajúci rovnaký počet krát? Povedzme trikrát? Pozrime sa... Vynásobte prvý člen (t. j. 0) 3 a dostanete... nulu! A tretí člen? Tiež nula! A štvrtý termín je tiež nula! Atď…
Dostaneme len vrece rožkov so sekvenciou núl:
0, 0, 0, 0, …
Samozrejme, že takáto sekvencia má právo na život, ale nemá praktický význam. Všetko je tak jasné. Ktorýkoľvek z jej členov je nula. Súčet ľubovoľného počtu členov je tiež nula ... Aké zaujímavé veci s tým môžete robiť? nič…
Nasledujúce kľúčové slová: „vynásobené rovnakým nenulovým číslom“.
Toto isté číslo má tiež svoje špeciálne meno - menovateľ geometrickej postupnosti. Začnime spolu chodiť.)
Menovateľ geometrickej progresie.
Všetko je jednoduché.
Menovateľom geometrickej progresie je nenulové číslo (alebo hodnota). koľko krátkaždý člen progresu viac ako predchádzajúca.
Opäť, analogicky s aritmetickou progresiou, kľúčové slovo, ktorému treba venovať pozornosť v tejto definícii, je slovo "viac". Znamená to, že sa získa každý člen geometrickej progresie násobenie práve tomuto menovateľovi predchádzajúci člen.
Vysvetlím.
Na výpočet, povedzme druhýčlen vziať najprvčlenom a množiť to na menovateľa. Pre výpočet desiatyčlen vziať deviatyčlenom a množiť to na menovateľa.
Menovateľom samotnej geometrickej progresie môže byť čokoľvek. Úplne ktokoľvek! Celé číslo, zlomok, kladné, záporné, iracionálne - všetci. Okrem nuly. O tom nám hovorí slovo „nenulový“ v definícii. Prečo je toto slovo potrebné tu - viac o tom neskôr.
Menovateľ geometrickej postupnosti zvyčajne sa označuje písmenom q.
Ako nájsť tento q? Žiaden problém! Musíme vziať akýkoľvek termín postupu a rozdeliť podľa predchádzajúceho obdobia. Rozdelenie je zlomok. Odtiaľ pochádza názov – „menovateľ progresie“. Menovateľ, ten väčšinou sedí v zlomku, áno...) Aj keď, logicky, hodnota q treba zavolať súkromné geometrická progresia, podobne ako rozdiel pre aritmetický postup. Ale súhlasil, že zavolá menovateľ. A nevynájdeme ani koleso.)
Definujme napríklad hodnotu q pre túto geometrickú postupnosť:
2, 6, 18, 54, …
Všetko je elementárne. Berieme akýkoľvek poradové číslo. Čo chceme, to si berieme. Okrem toho úplne prvého. Napríklad 18. A deliť podľa predchádzajúce číslo. Teda o 6.
Dostaneme:
q = 18/6 = 3
To je všetko. Toto je správna odpoveď. Pre danú geometrickú postupnosť je menovateľ tri.
Poďme nájsť menovateľa q pre ďalší geometrický postup. Napríklad takto:
1, -2, 4, -8, 16, …
Všetky rovnaké. Akékoľvek znaky majú samotní členovia, stále berieme akýkoľvek poradové číslo (napríklad 16) a vydeliť predchádzajúce číslo(t.j. -8).
Dostaneme:
d = 16/(-8) = -2
A je to.) Tentokrát sa menovateľ progresie ukázal ako negatívny. Mínus dva. To sa stáva.)
Zoberme si tento postup:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
A opäť, bez ohľadu na typ čísel v postupnosti (aj celé čísla, aj zlomkové, aj záporné, aj iracionálne), vezmeme ľubovoľné číslo (napríklad 1/9) a vydelíme predchádzajúcim číslom (1/3). Podľa pravidiel operácií so zlomkami, samozrejme.
Dostaneme:
To je všetko.) Tu sa ukázalo, že menovateľ je zlomkový: q = 1/3.
Ale taká "progresia" ako ty?
3, 3, 3, 3, 3, …
Očividne tu q = 1 . Formálne ide tiež o geometrický postup, len s rovnakých členov.) Ale také pokroky k štúdiu a praktické uplatnenie nezaujímavé. Rovnako ako progresie s plnými nulami. Preto ich nebudeme zvažovať.
Ako vidíte, menovateľom progresie môže byť čokoľvek – celé číslo, zlomok, kladné, záporné – čokoľvek! Nemôže to byť len nula. Neuhádli ste prečo?
Nuž, pozrime sa na nejaký konkrétny príklad, čo sa stane, ak vezmeme za menovateľa q nula.) Nech máme napr b 1 = 2 , a q = 0 . Aké bude potom druhé volebné obdobie?
My veríme:
b 2 = b 1 · q= 2 0 = 0
A tretí člen?
b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0
Typy a správanie geometrických postupností.
So všetkým bolo viac-menej jasné: ak je rozdiel v postupe d je pozitívny, progresia sa zvyšuje. Ak je rozdiel záporný, progresia klesá. Sú len dve možnosti. Tretia neexistuje.)
Ale so správaním geometrickej progresie bude všetko oveľa zaujímavejšie a rozmanitejšie!)
Len čo sa tu členovia správajú: pribúdajú a klesajú a neobmedzene sa približujú k nule a dokonca menia znamienka, striedavo sa ponáhľajú buď do "plus" alebo "mínus"! A v celej tejto rozmanitosti musí byť človek schopný dobre rozumieť, áno ...
Rozumieme?) Začnime s najjednoduchším prípadom.
Menovateľ je kladný ( q >0)
S kladným menovateľom môžu v prvom rade vstúpiť členovia geometrickej progresie plus nekonečno(t.j. neobmedzene zvyšovať) a môže ísť do mínus nekonečno(t.j. neobmedzene znižovať). Na takéto správanie progresií sme si už zvykli.
Napríklad:
(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …
Všetko je tu jednoduché. Každý člen progresie je viac ako predchádzajúce. A každý člen dostane násobenie predchádzajúci člen na pozitívnečíslo +2 (t.j. q = 2 ). Správanie takejto progresie je zrejmé: všetci členovia progresie rastú donekonečna a idú do vesmíru. Navyše nekonečno...
Teraz je postup:
(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …
Aj tu sa získava každý člen postupu násobenie predchádzajúci člen na pozitívnečíslo +2. Ale správanie takejto progresie je už priamo opačné: získa sa každý člen progresie menej ako predchádzajúce a všetky jeho členy sa donekonečna zmenšujú až do mínus nekonečna.
Teraz sa zamyslime: čo majú tieto dve progresie spoločné? Správne, menovateľ! Tu a tam q = +2 . Kladné číslo. Dvojka. A tu správanie Tieto dve progresie sú zásadne odlišné! Neuhádli ste prečo? Áno! Je to všetko o prvý člen! Je to on, ako sa hovorí, že objednáva hudbu.) Presvedčte sa sami.
V prvom prípade prvý termín progresie pozitívne(+1) a teda všetky nasledujúce výrazy získané vynásobením pozitívne menovateľ q = +2 , bude tiež pozitívne.
Ale v druhom prípade prvý termín negatívne(-jedna). Preto všetky nasledujúce členy progresie získame vynásobením pozitívne q = +2 , bude tiež získaný negatívne. Pre „mínus“ až „plus“ vždy dáva „mínus“, áno.)
Ako vidíte, na rozdiel od aritmetickej progresie sa geometrická progresia môže správať úplne inak, nielen v závislosti od menovateľaq, ale aj v závislosti od prvého člena, Áno.)
Pamätajte: správanie geometrickej progresie je jednoznačne určené jej prvým členom b 1 a menovateľq .
A teraz začneme s analýzou menej známych, ale oveľa zaujímavejších prípadov!
Zoberme si napríklad nasledujúcu postupnosť:
(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Táto postupnosť je tiež geometrickým postupom! Každý člen tohto postupu je tiež získaný násobenie predchádzajúci termín rovnakým číslom. Iba číslo je zlomkový: q = +1/2 . Alebo +0,5 . A (dôležité!) číslo, menší:q = 1/2<1.
Čo je zaujímavé na tomto geometrickom postupe? Kam smerujú jej členovia? Poďme sa pozrieť:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
čo je tu zaujímavé? Po prvé, pokles členov progresie je okamžite zarážajúci: každý z jej členov menšie predchádzajúce presne 2 krát. Alebo podľa definície geometrickej progresie každý pojem viac predchádzajúce 1/2 krát, pretože menovateľ progresie q = 1/2 . A od vynásobenia kladným číslom menším ako jedna sa výsledok zvyčajne znižuje, áno ...
Čo viac možno vidieť v správaní tejto progresie? Miznú jej členovia? neobmedzené, ísť do mínus nekonečna? nie! Miznú zvláštnym spôsobom. Najprv klesajú pomerne rýchlo a potom čoraz pomalšie. A po celú dobu pobytu pozitívne. Aj keď veľmi, veľmi malé. A o čo sa snažia? Neuhádli ste? Áno! Majú tendenciu k nule!) A pozor, členovia našej progresie nikdy nedosiahnu! Iba nekonečne blízko k nemu. Je to veľmi dôležité.)
Podobná situácia bude v takomto vývoji:
(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
Tu b 1 = -1 , a q = 1/2 . Všetko je po starom, len teraz sa členovia priblížia k nule z druhej strany, zdola. Zostať celý čas negatívne.)
Taký geometrický postup, ktorého členovia blížiace sa k nule na neurčito.(nezáleží na tom, na pozitívnej alebo negatívnej strane), v matematike má špeciálny názov - nekonečne klesajúca geometrická progresia. Tento vývoj je taký zaujímavý a nezvyčajný, že dokonca bude samostatná lekcia .)
Takže sme zvážili všetko možné pozitívne menovatele sú veľké aj menšie. Samotnú jednotku z vyššie uvedených dôvodov nepovažujeme za menovateľa (pamätajte na príklad s postupnosťou trojíc ...)
Zhrnúť:
pozitívnea viac než jeden (q>1), potom členovia progresie:
a) zvyšovať na neurčito (akb 1 >0);
b) znižovať na neurčito (akb 1 <0).
Ak je menovateľom geometrickej progresie pozitívne a menej ako jeden (0< q<1), то члены прогрессии:
a) nekonečne blízko nule vyššie(akb 1 >0);
b) nekonečne blízko nule zdola(akb 1 <0).
Teraz zostáva zvážiť prípad záporný menovateľ.
Menovateľ je záporný ( q <0)
Pre príklad nepôjdeme ďaleko. Prečo vlastne huňatá babička?!) Nech je napríklad prvý člen progresie b 1 = 1 a vezmite menovateľa q = -2.
Dostaneme nasledujúcu postupnosť:
(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …
A tak ďalej.) Získa sa každý termín postupu násobenie predchádzajúci člen na záporné číslo-2. V tomto prípade budú všetci členovia na nepárnych miestach (prvý, tretí, piaty atď.). pozitívne a na párnych miestach (druhé, štvrté atď.) - negatívne. Značky sú striktne prekladané. Plus-mínus-plus-mínus ... Takáto geometrická postupnosť sa nazýva - rastúce znamenie striedanie.
Kam smerujú jej členovia? A nikde.) Áno, v absolútnej hodnote (t.j. modulo) termíny našej progresie sa neobmedzene zvyšujú (odtiaľ názov „rastúce“). Ale zároveň ho každý člen progresie striedavo hádže do tepla, potom do chladu. Buď plus alebo mínus. Náš postup kolíše... Navyše rozsah kolísania každým krokom rapídne rastie, áno.) Preto ašpirácie členov postupu niekam smerovať konkrétne tu č. Ani do plus nekonečna, ani do mínus nekonečna, ani do nuly – nikde.
Zvážte teraz nejaký zlomkový menovateľ medzi nulou a mínus jedna.
Napríklad, nechajme to tak b 1 = 1 , a q = -1/2.
Potom dostaneme priebeh:
(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
A opäť tu máme striedanie znamení! Ale, na rozdiel od predchádzajúceho príkladu, tu už existuje jasná tendencia členov približovať sa k nule.) Len tentoraz sa naše členy nepribližujú k nule striktne zhora alebo zdola, ale opäť váhanie. Striedavo brať kladné alebo záporné hodnoty. Ale zároveň oni modulov sú čoraz bližšie k drahocennej nule.)
Táto geometrická postupnosť sa nazýva nekonečne klesajúci striedavý znak.
Prečo sú tieto dva príklady zaujímavé? A skutočnosť, že v oboch prípadoch prebieha striedanie postáv! Takýto čip je typický len pre postupnosti so záporným menovateľom, áno.) Ak teda v nejakej úlohe uvidíte geometrickú progresiu so striedajúcimi sa členmi, potom už budete pevne vedieť, že jeho menovateľ je 100% záporný a nemýlite sa v znamení.)
Mimochodom, v prípade negatívneho menovateľa znamienko prvého členu vôbec neovplyvňuje správanie samotnej progresie. Nech je znak prvého člena postupu akýkoľvek, v každom prípade bude dodržaný znak striedania členov. Celá otázka je spravodlivá na akých miestach(párne alebo nepárne) budú členovia so špecifickými znakmi.
Pamätajte:
Ak je menovateľom geometrickej progresie negatívne , potom sú znaky podmienok progresie vždy striedať.
Zároveň samotní členovia:
a) zvyšovať na neurčitomodulo, akq<-1;
b) približovať sa k nule donekonečna, ak -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
To je všetko. Všetky typické prípady sú analyzované.)
V procese analýzy rôznych príkladov geometrických postupností som pravidelne používal slová: "inklinuje k nule", "sklon k plus nekonečnu", má tendenciu k mínus nekonečnu... To je v poriadku.) Tieto obraty reči (a konkrétne príklady) sú len prvotným zoznámením sa s nimi správanie rôzne číselné postupnosti. Príklad geometrického postupu.
Prečo vôbec potrebujeme poznať progresívne správanie? Aký je rozdiel v tom, kam ide? Do nuly, do plus nekonečna, do mínus nekonečna ... Čo nás na tom zaujíma?
Ide o to, že už na univerzite, v rámci vyššej matematiky, budete potrebovať schopnosť pracovať s rôznymi číselnými postupnosťami (s akýmikoľvek, nielen postupnosťami!) A schopnosť presne si predstaviť, ako sa tá alebo tá postupnosť správa. - či rastie je neobmedzené, či klesá, či smeruje ku konkrétnemu číslu (a nie nevyhnutne k nule), alebo dokonca vôbec k ničomu... Tejto téme je venovaná celá jedna časť v priebehu matematická analýza - teória limitov. Trochu konkrétnejšie, koncept limit číselnej postupnosti. Veľmi zaujímavá téma! Má zmysel ísť na vysokú školu a prísť na to.)
Niektoré príklady z tejto časti (sekvencie, ktoré majú limit) a najmä nekonečne klesajúca geometrická progresia začať sa učiť v škole. Zvyknúť si.)
Navyše, schopnosť dobre študovať správanie sekvencií v budúcnosti bude hrať do karát a bude veľmi užitočná funkčný výskum. Najrozmanitejšie. Ale schopnosť kompetentne pracovať s funkciami (vypočítať derivácie, preskúmať ich v plnom rozsahu, zostaviť ich grafy) už dramaticky zvyšuje vašu matematickú úroveň! pochybnosti? Netreba. Pamätajte tiež na moje slová.)
Pozrime sa na geometrický postup v živote?
V živote okolo nás sa veľmi, veľmi často stretávame s exponenciálnou progresiou. Bez toho, aby si to vedel.)
Napríklad rôzne mikroorganizmy, ktoré nás všade obklopujú v obrovských množstvách a ktoré bez mikroskopu ani nevidíme, sa množia presne geometrickým postupom.
Povedzme, že jedna baktéria sa rozmnožuje tak, že sa rozdelí na polovicu, pričom potomkom vzniknú 2 baktérie. Na druhej strane sa každý z nich, množiac, tiež rozdelí na polovicu, čo dáva spoločné potomstvo 4 baktérií. Ďalšia generácia dá 8 baktérií, potom 16 baktérií, 32, 64 atď. S každou ďalšou generáciou sa počet baktérií zdvojnásobí. Typický príklad geometrickej progresie.)
Tiež niektorý hmyz - vošky, muchy - sa množia exponenciálne. A králiky niekedy, mimochodom, tiež.)
Ďalším príkladom geometrickej progresie, bližšej každodennému životu, je tzv zložené úročenie. Takýto zaujímavý jav sa často nachádza v bankových vkladoch a je tzv úroková kapitalizácia.Čo to je?
Vy sám ste, samozrejme, ešte mladý. Študuješ na škole, do bánk sa nehlásiš. Ale vaši rodičia sú dospelí a nezávislí ľudia. Chodia do práce, zarábajú peniaze na svoj každodenný chlieb a časť peňazí vkladajú do banky, čím ušetria.)
Povedzme, že váš otec si chce našetriť určitú sumu peňazí na rodinnú dovolenku v Turecku a vloží 50 000 rubľov do banky s 10 % ročne na obdobie troch rokov. s ročnou úrokovou kapitalizáciou. Navyše počas celého tohto obdobia sa s vkladom nedá nič robiť. Nemôžete ani doplniť vklad, ani vybrať peniaze z účtu. Aký zisk dosiahne za tieto tri roky?
Najprv musíte zistiť, čo je 10% ročne. Znamená to, že v roku K počiatočnej výške vkladu banka pripočíta 10 %. Z čoho? Samozrejme, od výška počiatočného vkladu.
Vypočítajte výšku účtu za rok. Ak bola počiatočná výška vkladu 50 000 rubľov (t. j. 100 %), koľko úrokov bude na účte o rok? Presne tak, 110%! Od 50 000 rubľov.
Takže uvažujeme 110% z 50 000 rubľov:
50 000 1,1 \u003d 55 000 rubľov.
Dúfam, že chápete, že nájdenie 110% hodnoty znamená vynásobenie tejto hodnoty číslom 1,1? Ak nerozumiete, prečo je to tak, spomeňte si na piaty a šiesty ročník. Totiž - vzťah percent so zlomkami a časťami.)
To znamená, že nárast za prvý rok bude 5 000 rubľov.
Koľko peňazí bude na účte po dvoch rokoch? 60 000 rubľov? Bohužiaľ (alebo skôr našťastie) to nie je také jednoduché. Celý trik kapitalizácie úrokov je v tom, že s každým novým prírastkom úrokov sa tieto rovnaké úroky už zohľadnia z novej sumy! Od toho, kto už je na účte Práve teraz. A úrok naakumulovaný za predchádzajúce obdobie sa pripočíta k počiatočnej výške vkladu, a teda sa sami podieľajú na výpočte nového úroku! To znamená, že sa stanú plnohodnotnou súčasťou celkového účtu. alebo všeobecný kapitál. Odtiaľ názov - úroková kapitalizácia.
Je to v ekonomike. A v matematike sa takýmto percentám hovorí zložené úročenie. Alebo percent percent.) Ich trik je v tom, že pri sekvenčnom výpočte sa percentá počítajú zakaždým z novej hodnoty. Nie z originálu...
Preto, aby bolo možné vypočítať súčet cez dva roky, potrebujeme vypočítať 110% sumy, ktorá bude na účte v roku. To znamená, že už od 55 000 rubľov.
Zvažujeme 110% z 55 000 rubľov:
55 000 1,1 \u003d 60 500 rubľov.
To znamená, že percentuálny nárast za druhý rok bude už 5 500 rubľov a na dva roky - 10 500 rubľov.
Teraz už môžete hádať, že o tri roky bude suma na účte 110% zo 60 500 rubľov. To je zase 110% z predchádzajúceho (minulého roku) sumy.
Tu uvažujeme:
60500 1,1 \u003d 66550 rubľov.
A teraz zostavujeme naše peňažné sumy postupne podľa rokov:
50000;
55000 = 50000 1,1;
60500 = 55000 1,1 = (50000 1,1) 1,1;
66550 = 60500 1,1 = ((50 000 1,1) 1,1) 1,1
Tak ako? Prečo nie geometrický postup? Prvý člen b 1 = 50000 a menovateľ q = 1,1 . Každý výraz je striktne 1,1-krát väčší ako predchádzajúci. Všetko je v prísnom súlade s definíciou.)
A koľko dodatočných percentuálnych bonusov „prihodí“ váš otec, kým jeho 50 000 rubľov bolo na bankovom účte tri roky?
My veríme:
66550 - 50000 = 16550 rubľov
Je to zlé, samozrejme. Ale to v prípade, ak je počiatočná výška príspevku malá. Čo ak je toho viac? Povedzme, že nie 50, ale 200 tisíc rubľov? Potom bude zvýšenie na tri roky už 66 200 rubľov (ak počítate). Čo je už veľmi dobré.) A ak je príspevok ešte väčší? Tak to je...
Záver: čím vyšší je počiatočný vklad, tým je úroková kapitalizácia výnosnejšia. Preto vklady s úrokovou kapitalizáciou poskytujú banky na dlhé obdobia. Povedzme päť rokov.
Tiež všetky druhy zlých chorôb ako chrípka, osýpky a ešte hroznejšie choroby (rovnaký SARS na začiatku 21. storočia alebo mor v stredoveku) sa radi šíria exponenciálne. Preto rozsah epidémií, áno ...) A to všetko kvôli skutočnosti, že geometrický postup s celý kladný menovateľ (q>1) - vec, ktorá rastie veľmi rýchlo! Pamätajte na reprodukciu baktérií: z jednej baktérie sa získajú dve, z dvoch - štyri, zo štyroch - osem atď. ... Pri šírení akejkoľvek infekcie je všetko rovnaké.)
Najjednoduchšie úlohy v geometrickom postupe.
Začnime ako vždy jednoduchým problémom. Čisto na pochopenie významu.
1. Je známe, že druhý člen geometrickej postupnosti je 6 a menovateľ je -0,5. Nájdite prvý, tretí a štvrtý výraz.
Takže je nám dané nekonečné geometrická progresia, dobre známa druhý člen tento postup:
b2 = 6
Okrem toho tiež vieme menovateľ progresie:
q = -0,5
A musíte nájsť prvý, tretí a štvrtýčlenov tohto postupu.
Tu konáme. Postupnosť zapíšeme podľa stavu problému. Priamo vo všeobecnosti, kde druhým členom je šesť:
b1,6,b 3 , b 4 , …
Teraz začnime hľadať. Začíname ako vždy tým najjednoduchším. Môžete vypočítať napríklad tretí termín b 3? Môcť! Už vieme (priamo v zmysle geometrickej progresie), že tretí člen (b 3) viac ako sekundu (b 2 ) v "q" raz!
Takže píšeme:
b 3 =b 2 · q
Namiesto toho do tohto výrazu dosadíme šesť b 2 a -0,5 namiesto toho q a myslíme si. A mínus sa samozrejme tiež neignoruje ...
b 3 \u003d 6 (-0,5) \u003d -3
Páči sa ti to. Tretí termín dopadol negatívne. Niet divu: náš menovateľ q- negatívny. A plus vynásobené mínusom bude, samozrejme, mínus.)
Teraz zvážime ďalší, štvrtý termín postupu:
b 4 =b 3 · q
b 4 \u003d -3 (-0,5) \u003d 1,5
Štvrtý termín je opäť s plusom. Piaty termín bude opäť s mínusom, šiesty s plusom atď. Známky - striedajte!
Takže sa našiel tretí a štvrtý člen. Výsledkom je nasledujúca postupnosť:
b1; 6; -3; 1,5; …
Teraz zostáva nájsť prvý termín b 1 podľa známeho druhého. Aby sme to urobili, vykročíme iným smerom, doľava. To znamená, že v tomto prípade nepotrebujeme násobiť druhý člen progresie menovateľom, ale zdieľam.
Rozdelíme a dostaneme:
To je všetko.) Odpoveď na problém bude nasledovná:
-12; 6; -3; 1,5; …
Ako vidíte, princíp riešenia je rovnaký ako v . Vieme akýkoľvekčlenom a menovateľ geometrická postupnosť – môžeme nájsť akýkoľvek iný výraz. Čo chceme, také si nájdeme.) Rozdiel je len v tom, že sčítanie / odčítanie je nahradené násobením / delením.
Zapamätajte si: ak poznáme aspoň jeden člen a menovateľ geometrickej postupnosti, vždy môžeme nájsť ľubovoľného iného člena tejto postupnosti.
Nasledujúca úloha je podľa tradície zo skutočnej verzie OGE:
2.
…; 150; X; 6; 1,2; …
Tak ako? Tentoraz neexistuje žiadny prvý termín, žiadny menovateľ q, je daná len postupnosť čísel ... Už niečo známe, však? Áno! Podobný problém sa už riešil v aritmetickej postupnosti!
Tu sa nebojíme. Všetky rovnaké. Otočte hlavu a zapamätajte si základný význam geometrického postupu. Pozorne sa pozrieme na našu postupnosť a zistíme, ktoré parametre geometrickej postupnosti troch hlavných (prvý člen, menovateľ, číslo člena) sú v nej skryté.
Členské čísla? Nie sú tam žiadne členské čísla, áno... Ale sú štyria postupnéčísla. Čo toto slovo znamená, nevidím v tejto fáze zmysel vo vysvetľovaní.) Sú tam dva susedné známe čísla? Existuje! Toto je 6 a 1,2. Takže môžeme nájsť menovateľ progresie. Takže vezmeme číslo 1,2 a rozdelíme na predchádzajúce číslo. Za šesť.
Dostaneme:
Dostaneme:
X= 150 0,2 = 30
odpoveď: X = 30 .
Ako vidíte, všetko je celkom jednoduché. Hlavná ťažkosť spočíva iba vo výpočtoch. Obzvlášť ťažké je to v prípade záporných a zlomkových menovateľov. Takže tí, ktorí majú problémy, opakujte aritmetiku! Ako pracovať so zlomkami, ako pracovať so zápornými číslami a podobne... Inak tu nemilosrdne spomalíte.
Teraz trochu zmeníme problém. Teraz to bude zaujímavé! Odstránime v ňom posledné číslo 1,2. Poďme teraz vyriešiť tento problém:
3. Je napísaných niekoľko po sebe nasledujúcich členov geometrickej postupnosti:
…; 150; X; 6; …
Nájdite člen postupnosti označený písmenom x.
Všetko je rovnaké, len dva susedia slávny už nemáme členov progresie. Toto je hlavný problém. Pretože veľkosť q cez dva susediace termíny už vieme ľahko určiť nemôžeme. Máme šancu splniť výzvu? Určite!
Napíšme neznámy výraz " X„Priamo v zmysle geometrického postupu! Vo všeobecnosti.
Áno áno! Priamo s neznámym menovateľom!
Na jednej strane pre x môžeme napísať nasledujúci pomer:
X= 150q
Na druhej strane máme plné právo premaľovať rovnaké X Ďalšiečlen, cez šesť! Vydeľte šesť menovateľom.
Páči sa ti to:
X = 6/ q
Je zrejmé, že teraz môžeme dať oba tieto pomery rovnítkom. Keďže sa vyjadrujeme rovnaký hodnotu (x), ale dve rôzne cesty.
Dostaneme rovnicu:
Vynásobením všetkého q, zjednodušením, zmenšením, dostaneme rovnicu:
q 2 \u003d 1/25
Riešime a dostaneme:
q = ±1/5 = ±0,2
Ojoj! Menovateľ je dvojitý! +0,2 a -0,2. A ktorý si vybrať? Slepá ulica?
Pokojne! Áno, problém naozaj je dve riešenia! Nie je na tom nič zlé. Stáva sa.) Nečudujete sa, keď napríklad vyriešením obyčajného získate dva korene? Tu je ten istý príbeh.)
Pre q = +0,2 dostaneme:
X \u003d 150 0,2 \u003d 30
A pre q = -0,2 bude:
X = 150 (-0,2) = -30
Dostávame dvojitú odpoveď: X = 30; X = -30.
Čo znamená tento zaujímavý fakt? A čo existuje dve progresie, splnenie podmienky problému!
Ako tieto:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
Oboje je vhodné.) Aký je podľa vás dôvod rozdvojenia odpovedí? Len z dôvodu vyradenia konkrétneho člena postupu (1,2), prichádzajúceho po šestke. A keďže poznáme iba predchádzajúci (n-1)-tý a nasledujúci (n+1)-tý člen geometrickej postupnosti, nemôžeme už jednoznačne povedať nič o tom, že medzi nimi stojí n-tý člen. Sú dve možnosti – plus a mínus.
Ale to je jedno. V úlohách pre geometrický postup sú spravidla ďalšie informácie, ktoré dávajú jednoznačnú odpoveď. Povedzme si slová: "striedavá progresia znamienka" alebo "progresia s pozitívnym menovateľom" a tak ďalej... Práve tieto slová by mali slúžiť ako vodítko, aké znamienko plus mínus zvoliť pri konečnej odpovedi. Ak takéto informácie neexistujú, potom - áno, úloha bude mať dve riešenia.)
A teraz sa rozhodneme sami.
4. Určte, či číslo 20 bude členom geometrickej postupnosti:
4 ; 6; 9; …
5. Je daná striedavá geometrická postupnosť:
…; 5; X ; 45; …
Nájdite termín progresie označený písmenom X .
6. Nájdite štvrtý kladný člen geometrickej postupnosti:
625; -250; 100; …
7. Druhý člen geometrickej postupnosti je -360 a jej piaty člen je 23.04. Nájdite prvý termín tohto postupu.
Odpovede (v neporiadku): -15; 900; nie; 2.56.
Gratulujeme, ak všetko klapne!
Niečo nesedí? Existuje niekde dvojitá odpoveď? Pozorne sme si prečítali podmienky zadania!
Posledná hádanka nefunguje? Nie je tam nič zložité.) Pracujeme priamo podľa významu geometrickej postupnosti. No, môžeš si nakresliť obrázok. Pomáha to.)
Ako vidíte, všetko je elementárne. Ak je progresia krátka. Čo ak je to dlhé? Alebo je počet požadovaného člena veľmi veľký? Chcel by som, analogicky s aritmetickým postupom, nejakým spôsobom získať vhodný vzorec, ktorý uľahčí nájdenie akýkoľvekčlen akejkoľvek geometrickej postupnosti podľa jeho čísla. Bez násobenia mnohokrát q. A existuje taký vzorec!) Podrobnosti - v ďalšej lekcii.
Uvažujme o sérii.
7 28 112 448 1792...
Je úplne jasné, že hodnota ktoréhokoľvek z jeho prvkov je presne štyrikrát väčšia ako u predchádzajúceho. Takže táto séria je pokroková.
Geometrická postupnosť je nekonečná postupnosť čísel, ktorej hlavnou črtou je, že ďalšie číslo sa získa z predchádzajúceho vynásobením určitým konkrétnym číslom. To je vyjadrené nasledujúcim vzorcom.
a z +1 =a z q, kde z je číslo vybraného prvku.
Preto z ∈ N.
Obdobie, keď sa v škole študuje geometrický postup, je 9. ročník. Príklady vám pomôžu pochopiť tento koncept:
0.25 0.125 0.0625...
Na základe tohto vzorca možno nájsť menovateľa progresie takto:
Ani q, ani b z nemôže byť nula. Každý z prvkov progresie by sa tiež nemal rovnať nule.
Preto, aby ste zistili ďalšie číslo v rade, musíte vynásobiť posledné číslo q.
Ak chcete určiť túto postupnosť, musíte zadať jej prvý prvok a menovateľ. Potom je možné nájsť ktorýkoľvek z nasledujúcich výrazov a ich súčet.
V závislosti od q a a 1 je táto progresia rozdelená do niekoľkých typov:
Príklad: a 1 =3, q=2 - oba parametre sú väčšie ako jedna.
Potom možno číselnú postupnosť zapísať takto:
3 6 12 24 48 ...
Príklad: a 1 = 6, q = 1/3 - a 1 je väčšie ako jedna, q je menšie.
Potom možno číselnú postupnosť zapísať takto:
6 2 2/3 ... - ktorýkoľvek prvok je 3-krát väčší ako prvok, ktorý za ním nasleduje.
Príklad: a 1 = -3 , q = -2 - oba parametre sú menšie ako nula.
Potom môže byť postupnosť napísaná takto:
3, 6, -12, 24,...
Pre pohodlné používanie geometrických postupností existuje veľa vzorcov:
Príklad:q = 3, a 1 = 4. Je potrebné vypočítať štvrtý prvok progresie.
rozhodnutie:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
Od (1-q) je v menovateli, potom (1 - q)≠ 0, teda q sa nerovná 1.
Poznámka: ak q=1, potom by postupnosť bola radom nekonečne sa opakujúcich čísel.
Súčet geometrickej postupnosti, príklady:a 1 = 2, q= -2. Vypočítajte S 5 .
rozhodnutie:S 5 = 22 - výpočet podľa vzorca.
Príklad:a 1 = 2 , q= 0,5. Nájdite množstvo.
rozhodnutie:Sz = 2 · = 4
Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
a z 2 = a z -1 · az+1
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , kdetje vzdialenosť medzi týmito číslami.
Aby ste lepšie pochopili, čo je geometrická progresia, môžu vám pomôcť príklady s riešením pre 9. ročník.
Riešenie: každý nasledujúci prvok je väčší ako predchádzajúciq raz.Niektoré prvky je potrebné vyjadriť prostredníctvom iných pomocou menovateľa.
tedaa 3 = q 2 · a 1
Pri striedaníq= 4
rozhodnutie:Na to stačí nájsť q, prvý prvok a dosadiť ho do vzorca.
a 3 = q· a 2 , teda,q= 2
a 2 = q a 1,Preto a 1 = 3
S6 = 189
Riešenie: na to stačí vyjadriť štvrtý prvok cez prvý a cez menovateľ.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Riešenie: Počiatočná suma je 10 tisíc rubľov. Takže rok po investícii bude na účte suma rovnajúca sa 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10 000 1,06
V súlade s tým bude suma na účte po ďalšom roku vyjadrená takto:
(10 000 1,06) 0,06 + 10 000 1,06 = 1,06 1,06 10 000
To znamená, že každý rok sa táto suma zvyšuje 1,06-krát. To znamená, že na zistenie množstva prostriedkov na účte po 4 rokoch stačí nájsť štvrtý prvok progresie, ktorý je daný prvým prvkom rovným 10 tisíc, a menovateľom rovným 1,06.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10 000 = 12625
V rôznych úlohách sa používa geometrická postupnosť. Príklad na nájdenie súčtu možno uviesť takto:
a 1 = 4, q= 2, vypočítajteS5.
Riešenie: všetky údaje potrebné na výpočet sú známe, stačí ich dosadiť do vzorca.
S 5 = 124
rozhodnutie:
Geom. postupnosť, každý ďalší prvok je q-krát väčší ako predchádzajúci, to znamená, že na výpočet súčtu musíte prvok poznaťa 1 a menovateľq.
a 2 · q = a 3
q = 3
Podobne musíme nájsťa 1 , vediaca 2 aq.
a 1 · q = a 2
a 1 =2
S 6 = 728.
Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, spätnú väzbu, návrhy! Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.
Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre ročník 9
Funkcie a grafy mocnin a koreňov
Chlapci, dnes sa zoznámime s iným typom progresie.
Témou dnešnej hodiny je geometrická postupnosť.
Príklad. 1,2,4,8,16… Geometrická postupnosť, v ktorej sa prvý člen rovná jednej a $q=2$.
Príklad. 8,8,8,8… Geometrická postupnosť, ktorej prvý člen je osem,
a $q=1$.
Príklad. 3,-3,3,-3,3... Geometrická postupnosť, ktorej prvý člen je tri,
a $q=-1$.
Geometrický postup má vlastnosti monotónnosti.
Ak $b_(1)>0$, $q>1$,
potom sa postupnosť zvyšuje.
Ak $b_(1)>0$, $0 Postupnosť sa zvyčajne označuje ako: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Rovnako ako v aritmetickej postupnosti, ak je počet prvkov v geometrickej postupnosti konečný, potom sa postupnosť nazýva konečná geometrická postupnosť.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Všimnite si, že ak je postupnosť geometrickou progresiou, potom postupnosť umocnených členov je tiež geometrická postupnosť. Druhá postupnosť má prvý člen $b_(1)^2$ a menovateľ $q^2$.
Vráťme sa k našim príkladom.
Príklad. 1,2,4,8,16… geometrická postupnosť, ktorej prvý člen sa rovná jednej,
a $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
Príklad. 16,8,4,2,1,1/2… Geometrická postupnosť, ktorej prvý člen je šestnásť a $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
Príklad. 8,8,8,8… Geometrická postupnosť, kde prvý člen je osem a $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
Príklad. 3,-3,3,-3,3… Geometrická postupnosť, ktorej prvý člen je tri a $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
Príklad. Daná geometrická postupnosť $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Je známe, že $b_(1)=6, q=3$. Nájdite $b_(5)$.
b) Je známe, že $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Nájsť n.
c) Je známe, že $q=-2, b_(6)=96$. Nájdite $b_(1)$.
d) Je známe, že $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Nájdite q.
rozhodnutie.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ keďže $2^7=128 => n-1=7; n = 8 $.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Príklad. Rozdiel medzi siedmym a piatym členom geometrickej postupnosti je 192, súčet piateho a šiesteho člena geometrickej postupnosti je 192. Nájdite desiaty člen tejto postupnosti.
rozhodnutie.
Vieme, že: $b_(7)-b_(5)=192$ a $b_(5)+b_(6)=192$.
Tiež vieme: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
potom:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192 $.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Dostali sme systém rovníc:
$\začiatok(prípady)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\koniec (prípady)$.
Ak dávame rovnítko, naše rovnice dostanú:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Máme dve riešenia q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Dosadzujte postupne do druhej rovnice:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ žiadne riešenia.
Dostali sme, že: $b_(1)=4, q=2$.
Poďme nájsť desiaty člen: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
Nech je daná konečná geometrická postupnosť: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Uveďme si zápis súčtu jeho členov: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
V prípade, keď $q=1$. Všetky členy geometrickej postupnosti sa rovnajú prvému členu, potom je zrejmé, že $S_(n)=n*b_(1)$.
Zvážte teraz prípad $q≠1$.
Vynásobte vyššie uvedené množstvo q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Poznámka:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
Získali sme vzorec pre súčet konečnej geometrickej postupnosti.
rozhodnutie.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Príklad.
Nájdite piaty člen geometrickej postupnosti, ktorý je známy: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
rozhodnutie.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024 $.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341 $ q=1 364 $.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Číselná postupnosť je geometrická postupnosť iba vtedy, ak sa druhá mocnina každého z jej členov rovná súčinu dvoch susedných členov postupnosti. Nezabudnite, že pre konečný postup nie je táto podmienka splnená pre prvý a posledný termín.
Modul ktoréhokoľvek člena geometrickej progresie sa rovná geometrickému priemeru dvoch susedných členov.
rozhodnutie.
Využime charakteristickú vlastnosť:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ a $x_(2)=-1$.
Postupne nahraďte v pôvodnom výraze naše riešenia:
S $x=2$ sme dostali postupnosť: 4;6;9 je geometrická progresia s $q=1,5$.
S $x=-1$ sme dostali postupnosť: 1;0;0.
Odpoveď: $x=2.$
