Uvažujme najskôr o prípade funkcie dvoch premenných. Podmienený extrém funkcie $z=f(x,y)$ v bode $M_0(x_0;y_0)$ je extrémom tejto funkcie dosiahnutým za podmienky, že premenné $x$ a $y$ v okolie tohto bodu spĺňa obmedzujúcu rovnicu $\ varphi(x,y)=0$.
Názov "podmienený" extrém je spôsobený skutočnosťou, že na premenné je uložená dodatočná podmienka $\varphi(x,y)=0$. Ak je možné z rovnice spojenia vyjadriť jednu premennú inou, potom sa problém určenia podmieneného extrému redukuje na problém obvyklého extrému funkcie jednej premennej. Napríklad, ak $y=\psi(x)$ vyplýva z obmedzujúcej rovnice, potom dosadením $y=\psi(x)$ do $z=f(x,y)$ dostaneme funkciu jednej premennej $ z=f\vľavo (x,\psi(x)\vpravo)$. Vo všeobecnom prípade je však táto metóda málo použiteľná, takže je potrebný nový algoritmus.
Metóda Lagrangeových multiplikátorov spočíva v tom, že na nájdenie podmieneného extrému sa Lagrangeova funkcia skladá: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parameter $\lambda $ sa nazýva Lagrangeov multiplikátor). Potrebné extrémne podmienky sú dané sústavou rovníc, z ktorých sú určené stacionárne body:
$$ \left \( \začiatok(zarovnané) & \frac(\čiastočné F)(\čiastočné x)=0;\\ & \frac(\čiastočné F)(\čiastočné y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\koniec (zarovnané)\vpravo.$$
Znak $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Ak je v stacionárnom bode $d^2F > 0$, potom funkcia $z=f(x,y)$ má v tomto bode podmienené minimum, ale ak $d^2F< 0$, то условный максимум.
Existuje ďalší spôsob, ako určiť povahu extrému. Z rovnice obmedzenia dostaneme: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, takže v akomkoľvek stacionárnom bode máme:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\vpravo)$$
Druhý faktor (umiestnený v zátvorkách) môže byť znázornený v tejto forme:
Prvky $\left| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (pole) \right|$ čo je Hessián Lagrangeovej funkcie. Ak $H > 0$, potom $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 USD, t.j. máme podmienené minimum funkcie $z=f(x,y)$.
Poznámka k tvaru determinantu $H$. ukázať skryť
$$ H=-\left|\begin(pole) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(pole) \right| $$
V tejto situácii sa pravidlo formulované vyššie mení takto: ak $H > 0$, potom má funkcia podmienené minimum a pre $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
Predpokladajme, že máme funkciu $n$ premenných $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ a $m$ obmedzujúcich rovníc ($n > m$):
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,$$
Označením Lagrangeových multiplikátorov ako $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ vytvoríme Lagrangeovu funkciu:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
Nevyhnutné podmienky pre prítomnosť podmieneného extrému sú dané systémom rovníc, z ktorých sa nachádzajú súradnice stacionárnych bodov a hodnoty Lagrangeových multiplikátorov:
$$\left\(\začiatok(zarovnané) & \frac(\čiastočné F)(\čiastočné x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(zarovnané) \right.$$
Či má funkcia podmienené minimum alebo podmienené maximum v nájdenom bode, ako predtým, je možné zistiť pomocou znamienka $d^2F$. Ak v nájdenom bode $d^2F > 0$, potom má funkcia podmienené minimum, ale ak $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
Maticový determinant $\left| \begin(pole) (ccccc) \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(1)^(2)) & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(1)\čiastočné x_(2) ) & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(1)\čiastočné x_(3)) &\ldots & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(1)\čiastočné x_(n)) \\ \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(2)\čiastočné x_1) & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(2)^(2)) & \frac(\čiastočné^2F )(\čiastočné x_(2)\čiastočné x_(3)) &\ldots & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(2)\čiastočné x_(n))\\ \frac(\čiastočné^2F )(\čiastočné x_(3) \čiastočné x_(1)) & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(3)\čiastočné x_(2)) & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\čiastočné x_(3)\čiastočné x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(n)\čiastočné x_(1)) & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(n)\čiastočné x_(2)) & \ frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(n)\čiastočné x_(3)) &\ldots & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(n)^(2))\\ \end( pole) \right|$ zvýraznené červenou farbou v matici $L$ je Hessián Lagrangeovej funkcie. Používame nasledujúce pravidlo:
Príklad č. 1
Nájdite podmienený extrém funkcie $z(x,y)=x+3y$ pod podmienkou $x^2+y^2=10$.
Geometrický výklad tohto problému je nasledovný: je potrebné nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu aplikácie roviny $z=x+3y$ pre body jej priesečníka s valcom $x^2+y^2 = 10 $.
Je trochu ťažké vyjadriť jednu premennú v podmienkach druhej z rovnice obmedzenia a dosadiť ju do funkcie $z(x,y)=x+3y$, preto použijeme Lagrangeovu metódu.
Označením $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ vytvoríme Lagrangeovu funkciu:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\čiastočné F)(\čiastočné x)=1+2\lambda x; \frac(\čiastočné F)(\čiastočné y)=3+2\lambda y. $$
Zapíšme si sústavu rovníc na určenie stacionárnych bodov Lagrangeovej funkcie:
$$ \left \( \začiatok(zarovnané) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (zarovnané)\vpravo.$$
Ak predpokladáme $\lambda=0$, potom prvá rovnica bude: $1=0$. Výsledný rozpor hovorí, že $\lambda\neq 0$. Pod podmienkou $\lambda\neq 0$ z prvej a druhej rovnice máme: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Nahradením získaných hodnôt do tretej rovnice dostaneme:
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(zarovnané) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(zarovnané) \right.\\ \begin(zarovnané) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(zarovnané) $$
Systém má teda dve riešenia: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ a $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Zistime povahu extrému v každom stacionárnom bode: $M_1(1;3)$ a $M_2(-1;-3)$. Aby sme to dosiahli, vypočítame determinant $H$ v každom z bodov.
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\vľavo| \begin(pole) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(pole) \right|= \left| \begin(pole) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(pole) \right|= 8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(pole) \right| $$
V bode $M_1(1;3)$ dostaneme: $H=8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(pole) \right|= 8\cdot\left| \začiatok(pole) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(pole) \right|=40 > 0$, takže v bode $M_1(1;3)$ funkcia $z(x,y)=x+3y$ má podmienené maximum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.
Podobne v bode $M_2(-1;-3)$ nájdeme: $H=8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(pole) \right|= 8\cdot\left| \začiatok(pole) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(pole) \right|=-40$. Od $ H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
Poznamenávam, že namiesto výpočtu hodnoty determinantu $H$ v každom bode je oveľa pohodlnejšie ho rozšíriť v všeobecný pohľad. Aby sa text nezahltil detailmi, skryjem tento spôsob pod poznámku.
Zápis determinantu $H$ vo všeobecnej forme. ukázať skryť
$$ H=8\cdot\left|\begin(pole)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(pole)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$
V zásade je už zrejmé, ktoré znamienko $H$ má. Keďže žiadny z bodov $M_1$ alebo $M_2$ sa nezhoduje s pôvodom, potom $y^2+x^2>0$. Preto je znamienko $H$ opačné ako znamienko $\lambda$. Môžete tiež dokončiť výpočty:
$$ \začiatok(zarovnané) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\vľavo((-3)^2+(-1)^2\vpravo)=-40. \end(zarovnané) $$
Otázku o povahe extrému v stacionárnych bodoch $M_1(1;3)$ a $M_2(-1;-3)$ je možné vyriešiť bez použitia determinantu $H$. Nájdite znamienko $d^2F$ v každom stacionárnom bode:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\vpravo) $$
Podotýkam, že zápis $dx^2$ znamená presne $dx$ povýšené na druhú mocninu, t.j. $\left(dx\right)^2$. Máme teda: $dx^2+dy^2>0$, takže pre $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ dostaneme $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
Odpoveď: v bode $(-1;-3)$ má funkcia podmienené minimum $z_(\min)=-10$. V bode $(1;3)$ má funkcia podmienené maximum, $z_(\max)=10$
Príklad č. 2
Nájdite podmienený extrém funkcie $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ pod podmienkou $x+y=0$.
Označením $\varphi(x,y)=x+y$ vytvoríme Lagrangeovu funkciu: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\čiastočné F)(\čiastočné x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\čiastočné F)(\čiastočné y)=9y^2-x+\lambda.\\ \ľavé \( \začiatok(zarovnané) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(zarovnané)\vpravo.$$
Vyriešením systému dostaneme: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ a $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$, $\lambda_2=-10$. Máme dva stacionárne body: $M_1(0;0)$ a $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Zistime povahu extrému v každom stacionárnom bode pomocou determinantu $H$.
$$ H=\vľavo| \begin(pole) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(pole) \right|= \left| \začiatok(pole) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18r \end(pole) \right|=-10-18r $$
V bode $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, takže v tomto bode má funkcia podmienené maximum $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
Povahu extrému v každom bode skúmame inou metódou na základe znamienka $d^2F$:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$
Z rovnice obmedzenia $x+y=0$ máme: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
Keďže $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, potom $M_1(0;0)$ je podmienený minimálny bod funkcie $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Podobne $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
Z rovnice obmedzenia $x+y=0$ dostaneme: $y=-x$. Dosadením $y=-x$ do funkcie $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ dostaneme nejakú funkciu premennej $x$. Označme túto funkciu ako $u(x)$:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
Problém hľadania podmieneného extrému funkcie dvoch premenných sme teda zredukovali na problém určenia extrému funkcie jednej premennej.
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$
Získali ste body $M_1(0;0)$ a $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Ďalší výskum je známy z priebehu diferenciálneho počtu funkcií jednej premennej. Preskúmaním znamienka $u_(xx)^("")$ v každom stacionárnom bode alebo kontrolou zmeny znamienka $u_(x)^(")$ v nájdených bodoch dostaneme rovnaké závery ako v prvom riešení . Napríklad začiarknite znak $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10, $ $
Keďže $u_(xx)^("")(M_1)>0$, potom $M_1$ je minimálny bod funkcie $u(x)$, zatiaľ čo $u_(\min)=u(0)=0 $ . Od $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
Hodnoty funkcie $u(x)$ za danej podmienky pripojenia sa zhodujú s hodnotami funkcie $z(x,y)$, t.j. nájdené extrémy funkcie $u(x)$ sú požadované podmienené extrémy funkcie $z(x,y)$.
Odpoveď: v bode $(0;0)$ má funkcia podmienené minimum $z_(\min)=0$. V bode $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ má funkcia podmienené maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.
Zoberme si ešte jeden príklad, v ktorom zistíme povahu extrému určením znamienka $d^2F$.
Príklad č. 3
Nájdite najväčšie a najmenšia hodnota funkcie $z=5xy-4$, ak sú premenné $x$ a $y$ kladné a spĺňajú obmedzujúcu rovnicu $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1= 0 $.
Zostavte Lagrangeovu funkciu: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Nájdite stacionárne body Lagrangeovej funkcie:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(zarovnané) \right.$$
Všetky ďalšie transformácie sa vykonajú s prihliadnutím na $x > 0; \; y > 0 $ (je to stanovené v podmienkach problému). Z druhej rovnice vyjadríme $\lambda=-\frac(5x)(y)$ a nájdenú hodnotu dosadíme do prvej rovnice: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$, $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Dosadením $x=2y$ do tretej rovnice dostaneme: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $ y = 1 $.
Pretože $y=1$, potom $x=2$, $\lambda=-10$. Charakter extrému v bode $(2;1)$ je určený zo znamienka $d^2F$.
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$
Pretože $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, potom:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$
V zásade tu môžete okamžite nahradiť súradnice stacionárneho bodu $x=2$, $y=1$ a parameter $\lambda=-10$, čím získate:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \vpravo)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
Avšak v iných problémoch pre podmienený extrém môže byť niekoľko stacionárnych bodov. V takýchto prípadoch je lepšie reprezentovať $d^2F$ vo všeobecnom tvare a potom dosadiť súradnice každého z nájdených stacionárnych bodov do výsledného výrazu:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$
Nahradením $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ dostaneme:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
Pretože $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
Odpoveď: v bode $(2;1)$ má funkcia podmienené maximum, $z_(\max)=6$.
V ďalšej časti sa budeme zaoberať aplikáciou Lagrangeovej metódy pre funkcie väčšieho počtu premenných.
Príklad
Nájdite extrém funkcie za predpokladu, že X A pri súvisia pomerom: . Geometricky problém znamená nasledovné: na elipse 
lietadlo 
.
Tento problém možno vyriešiť nasledovne: z rovnice 
Nájsť 
X:
za predpokladu, že 
, zredukovaný na problém nájdenia extrému funkcie jednej premennej na intervale 
.
Geometricky problém znamená nasledovné: na elipse 
získané krížením valca 
lietadlo 
, je potrebné nájsť maximálnu alebo minimálnu hodnotu žiadosti 
(obr. 9). Tento problém možno vyriešiť nasledovne: z rovnice 
Nájsť 
. Dosadením zistenej hodnoty y do rovnice roviny dostaneme funkciu jednej premennej X:
Teda problém nájsť extrém funkcie 
za predpokladu, že 
, zredukovaný na problém nájdenia extrému funkcie jednej premennej na segmente.
takze problém nájdenia podmieneného extrému je problém nájsť extrém objektívnej funkcie 
za predpokladu, že premenné X A pri podlieha obmedzeniu 
volal rovnica spojenia.
To si povieme bodka
, splnenie obmedzujúcej rovnice, je bod miestneho podmieneného maxima (minimum), ak existuje susedstvo 
tak, že za akékoľvek body 
, ktorých súradnice spĺňajú obmedzujúcu rovnicu, nerovnosť platí.
Ak z rovnice komunikácie možno nájsť výraz pre pri, potom dosadením tohto výrazu do pôvodnej funkcie túto zmeníme na komplexnú funkciu jednej premennej X.
Všeobecná metóda riešenia problému podmieneného extrému je Lagrangeova multiplikačná metóda. Vytvorme si pomocnú funkciu, kde 
─ nejaké číslo. Táto funkcia sa nazýva Lagrangeova funkcia, ale 
─ Lagrangeov multiplikátor. Problém nájdenia podmieneného extrému sa teda zredukoval na nájdenie bodov lokálneho extrému pre Lagrangeovu funkciu. Na nájdenie bodov možného extrému je potrebné vyriešiť sústavu 3 rovníc s tromi neznámymi x, y A
Potom by sme mali použiť nasledujúcu dostatočnú extrémnu podmienku.
TEOREM.
Nech je bod bodom možného extrému pre Lagrangeovu funkciu. Predpokladáme, že v blízkosti bodu 
existujú spojité parciálne derivácie druhého rádu funkcií 
A 
. Označiť
Potom ak 
, potom 
─ podmienený extrémny bod funkcie 
pri obmedzovacej rovnici 
medzitým, ak 
, potom 
─ podmienený minimálny bod, ak 
, potom 
─ bod podmieneného maxima.
Nechajte funkciu 
definované v nejakej (otvorenej) doméne. Zvážte akýkoľvek bod 
táto oblasť a akákoľvek smerovaná priamka (os) 
prechádzajúci týmto bodom (obr. 1). Nechať byť 
- nejaký iný bod tejto osi, 
- dĺžka segmentu medzi 
A 
, brané so znamienkom plus, ak je smer 
sa zhoduje so smerom osi 
a so znamienkom mínus, ak sú ich smery opačné.
Nechať byť 
približuje na neurčito 
. Limit
volal derivácia funkcie 
smerom k
(alebo pozdĺž osi 
) a označuje sa takto:
.
Táto derivácia charakterizuje "rýchlosť zmeny" funkcie v bode 
smerom k 
. Najmä a bežné parciálne deriváty 
,
možno chápať aj ako deriváty „vzhľadom na smer“.
Predpokladajme teraz, že funkcia 
má v posudzovanom regióne spojité parciálne derivácie. Nechajte os 
zviera uhly so súradnicovými osami 
A 
. Podľa predpokladov smerová derivácia 
existuje a vyjadruje sa vzorcom
.
Ak je vektor 
nastavený jeho súradnicami 
, potom derivácia funkcie 
v smere vektora 
možno vypočítať pomocou vzorca:
.
Vektor so súradnicami 
volal gradientový vektor funkcie 
v bode 
. Vektor gradientu udáva smer najrýchlejšieho nárastu funkcie v danom bode.
Príklad
Daná funkcia , bod A(1, 1) a vektor 
. Nájdite: 1) grad z v bode A; 2) derivácia v bode A v smere vektora 
.
Parciálne derivácie danej funkcie v bode 
:
;
.
Potom je gradientný vektor funkcie v tomto bode: 
. Vektor gradientu možno zapísať aj pomocou rozšírenia vektora 
A 
:
. Derivácia funkcie 
v smere vektora 
:
takze 
,
.◄
Extrémy funkcií viacerých premenných. Nevyhnutná podmienka pre extrém. Dostatočný stav pre extrém. Podmienený extrém. Metóda Lagrangeových multiplikátorov. Nájdenie najväčších a najmenších hodnôt.
Prednáška 5
Definícia 5.1. Bodka M 0 (x 0, y 0) volal maximálny bod funkcie z = f(x, y), ak f (x o, y o) > f(x, y) za všetky body (x, y) M 0.
Definícia 5.2. Bodka M 0 (x 0, y 0) volal minimálny bod funkcie z = f(x, y), ak f (x o, y o) < f(x, y) za všetky body (x, y) z nejakého okolia bodu M 0.
Poznámka 1. Maximálny a minimálny počet bodov sa nazýva extrémne body funkcie viacerých premenných.
Poznámka 2. Extrémny bod funkcie ľubovoľného počtu premenných je definovaný podobným spôsobom.
Veta 5.1(nevyhnutné extrémne podmienky). Ak M 0 (x 0, y 0) je extrémnym bodom funkcie z = f(x, y), potom sa v tomto bode parciálne derivácie prvého rádu tejto funkcie rovnajú nule alebo neexistujú.
Dôkaz.
Opravme hodnotu premennej pri počítanie y = y 0. Potom funkcia f(x, y0) bude funkciou jednej premennej X, pre ktoré x = x 0 je extrémny bod. Preto podľa Fermatovej vety ani neexistuje. Rovnaké tvrdenie je dokázané pre .
Definícia 5.3. Body patriace do definičného oboru funkcie viacerých premenných, v ktorých sú parciálne derivácie funkcie rovné nule alebo neexistujú, sa nazývajú stacionárne body túto funkciu.
Komentujte. Extrém sa teda dá dosiahnuť iba v stacionárnych bodoch, ale nemusí sa nevyhnutne pozorovať v každom z nich.
Veta 5.2(dostatočné podmienky pre extrém). Nechajte v nejakom okolí bodu M 0 (x 0, y 0), čo je stacionárny bod funkcie z = f(x, y), táto funkcia má spojité parciálne derivácie až do 3. rádu vrátane. Označte potom:
1) f(x, y) má v bode M 0 maximálne ak AC-B² > 0, A < 0;
2) f(x, y) má v bode M 0 minimálne ak AC-B² > 0, A > 0;
3) neexistuje žiadny extrém v kritickom bode, ak AC-B² < 0;
4) ak AC-B² = 0, je potrebný ďalší výskum.
Dôkaz.
Napíšme pre funkciu Taylorov vzorec druhého rádu f(x, y), majme na pamäti, že v stacionárnom bode sú parciálne derivácie prvého rádu rovné nule:
kde 
Ak je uhol medzi segmentom M 0 M, kde M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ pri) a os O X označte φ, potom Δ x =Δ ρ
cos φ,
Δ y=Δρsinφ. V tomto prípade bude mať Taylorov vzorec tvar: . Nech Potom môžeme výraz v zátvorke deliť a násobiť ALE. Dostaneme:
Zvážte teraz štyri možné prípady:
1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и 
pre dostatočne malé Δρ. Preto v nejakej štvrti M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f(x0, y0), t.j M 0 je maximálny bod.
2) Nechajte AC-B² > 0, A > 0. Potom 
, A M 0 je minimálny bod.
3) Nechajte AC-B² < 0, A> 0. Uvažujme prírastok argumentov pozdĺž lúča φ = 0. Potom z (5.1) vyplýva, že 
, to znamená, že pri pohybe pozdĺž tohto lúča sa funkcia zvyšuje. Ak sa pohybujeme po lúči tak, že tg φ 0 \u003d -A / B, potom 
, preto pri pohybe po tomto lúči funkcia klesá. Takže pointa M 0 nie je extrémny bod.
3') Kedy AC-B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится
podobný predchádzajúcemu.
3``) Ak AC-B² < 0, A= 0, potom . V čom . Potom, pre dostatočne malé φ, výraz 2 B cos + C sinφ blízko 2 IN, to znamená, že si zachováva konštantné znamienko a sinφ mení znamienko v blízkosti bodu M 0 . To znamená, že prírastok funkcie mení znamienko v blízkosti stacionárneho bodu, ktorý teda nie je extrémnym bodom.
4) Ak AC-B² = 0 a 
, 
, to znamená, že znamienko prírastku je určené znamienkom 2α 0 . Zároveň je potrebný ďalší výskum na objasnenie otázky existencie extrému.
Príklad. Poďme nájsť extrémne body funkcie z=x² - 2 xy + 2r² + 2 X. Na hľadanie stacionárnych bodov riešime sústavu 
. Takže stacionárny bod je (-2,-1). V čom A = 2, IN = -2, OD= 4. Potom AC-B² = 4 > 0, preto sa v stacionárnom bode dosiahne extrém, a to minimum (od r. A > 0).
Definícia 5.4. Ak argumenty funkcie f (x 1 , x 2 ,..., x n) pripojený dodatočné podmienky ako m rovnice ( m< n) :
φ 1 ( x 1, x 2,..., x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,..., x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,..., x n) = 0, (5.2)
kde funkcie φ i majú spojité parciálne derivácie, potom sa volajú rovnice (5.2). spojovacie rovnice.
Definícia 5.5. Funkčný extrém f (x 1 , x 2 ,..., x n) za podmienok (5.2) je tzv podmienený extrém.
Komentujte. Môžeme ponúknuť nasledujúcu geometrickú interpretáciu podmieneného extrému funkcie dvoch premenných: nech argumenty funkcie f(x,y) súvisia rovnicou φ (x, y)= 0, definujúca nejakú krivku v rovine O hu. Po obnovení z každého bodu tejto krivky kolmej na rovinu O hu pred prechodom na povrch z = f (x, y), získame priestorovú krivku ležiacu na ploche nad krivkou φ (x, y)= 0. Problémom je nájsť krajné body výslednej krivky, ktoré sa, samozrejme, vo všeobecnom prípade nezhodujú s nepodmienečnými krajnými bodmi funkcie. f(x,y).
Definujme potrebné podmienené extrémne podmienky pre funkciu dvoch premenných tak, že vopred uvedieme nasledujúcu definíciu:
Definícia 5.6. Funkcia L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2,…, x n) +
+ λ 2 φ 2 (x 1, x 2,…, x n) +…+λ m φ m (x 1, x 2,…, x n), (5.3)
kde λ i - nejaké konštanty, tzv Lagrangeova funkcia a čísla λi– neurčité Lagrangeove multiplikátory.
Veta 5.3(nevyhnutné podmienené extrémne stavy). Podmienený extrém funkcie z = f(x, y) v prítomnosti obmedzujúcej rovnice φ ( x, y)= 0 sa dá dosiahnuť len v stacionárnych bodoch Lagrangeovej funkcie L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).
Dôkaz. Rovnica obmedzenia definuje implicitnú závislosť pri od X, takže to budeme predpokladať pri existuje funkcia od X: y = y(x). Potom z existuje komplexná funkcia X a jeho kritické body sú určené podmienkou: 
. (5.4) Z obmedzujúcej rovnice vyplýva, že 
. (5.5)
Rovnosť (5.5) vynásobíme nejakým číslom λ a pripočítame k (5.4). Dostaneme:
, alebo .
Posledná rovnosť musí platiť v stacionárnych bodoch, z ktorých vyplýva:
(5.6)
Získa sa systém troch rovníc pre tri neznáme: x, y a λ, pričom prvé dve rovnice sú podmienkami pre stacionárny bod Lagrangeovej funkcie. Vylúčením pomocnej neznámej λ zo systému (5.6) nájdeme súradnice bodov, v ktorých môže mať pôvodná funkcia podmienený extrém.
Poznámka 1. Prítomnosť podmieneného extrému v nájdenom bode možno overiť štúdiom parciálnych derivácií druhého rádu Lagrangeovej funkcie analogicky s vetou 5.2.
Poznámka 2. Body, v ktorých možno dosiahnuť podmienený extrém funkcie f (x 1 , x 2 ,..., x n) za podmienok (5.2), možno definovať ako riešenia systému 
(5.7)
Príklad. Nájdite podmienený extrém funkcie z = xy za podmienky x + y= 1. Zostavte Lagrangeovu funkciu L(x, y) = xy + λ (x + y – jeden). Systém (5.6) potom vyzerá takto:
Odkiaľ -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0,5. V čom L (x, y) môže byť reprezentovaný ako L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0,5 ≤ 0,5 teda v nájdenom stacionárnom bode L (x, y) má maximálnu a z = xy - podmienené maximum.
Extrémy funkcie viacerých premenných
Metóda najmenších štvorcov.
Lokálny extrém FNP
Nechajte funkciu A= f(P), RÎDÌR n a nechajte bod Р 0 ( ale 1 , ale 2 , ..., a p) –interné bod množiny D.
Definícia 9.4.
1) Bod P 0 sa nazýva maximálny bod funkcie A= f(P) ak existuje okolie tohto bodu U(P 0) Ì D také, že pre ktorýkoľvek bod P( X 1 , X 2 , ..., x n)н U(P 0) , Р¹Р 0 , podmienka f(P) £ f(P0). Význam f(P 0) sa volá funkcia v maximálnom bode maximálna funkcia a označené f(P 0) = max f(P) .
2) Bod P 0 sa nazýva minimálny bod funkcie A= f(P) ak existuje okolie tohto bodu U(P 0)Ì D také, že pre ktorýkoľvek bod P( X 1 , X 2 , ..., x n)нU(P 0), Р¹Р 0 , podmienka f(P)³ f(P0). Význam f(P 0) sa volá funkcia v minimálnom bode funkčné minimum a označené f(P 0) = min f(P).
Volajú sa minimálne a maximálne body funkcie extrémne body sa volajú hodnoty funkcie v extrémnych bodoch funkčné extrémy.
Ako vyplýva z definície, nerovnosti f(P) £ f(P0), f(P)³ f(P 0) sa musí vykonávať len v určitom okolí bodu P 0, a nie v celom obore funkcie, čo znamená, že funkcia môže mať viacero extrémov rovnakého typu (niekoľko miním, viacero maxím). Preto sa vyššie definované extrémy nazývajú miestne(lokálne) extrémy.
Veta 9.1.( nevyhnutná podmienka extrém FNP)
Ak je funkcia A= f(X 1 , X 2 , ..., x n) má extrém v bode P 0 , potom jeho parciálne derivácie prvého rádu v tomto bode sú buď rovné nule, alebo neexistujú.
Dôkaz. Nech v bode Р 0 ( ale 1 , ale 2 , ..., a p) funkciu A= f(P) má extrém, napríklad maximum. Poďme opraviť argumenty X 2 , ..., x n, uvedenie X 2 =ale 2 ,..., x n = a p. Potom A= f(P) = f 1 ((X 1 , ale 2 , ..., a p) je funkciou jednej premennej X jeden . Keďže táto funkcia má X 1 = ale 1 extrém (maximálne), potom f 1 ¢=0 alebo neexistuje, keď X 1 =ale 1 (nevyhnutná podmienka existencie extrému funkcie jednej premennej). Ale potom alebo neexistuje v bode P 0 - bod extrému. Podobne môžeme uvažovať o parciálnych deriváciách vzhľadom na iné premenné. CHTD.
Body definičného oboru funkcie, v ktorých sú parciálne derivácie prvého rádu rovné nule alebo neexistujú, sa nazývajú kritických bodov túto funkciu.
Ako vyplýva z vety 9.1, medzi kritickými bodmi funkcie treba hľadať extrémne body FNP. Ale čo sa týka funkcie jednej premennej, nie každý kritický bod je extrémnym bodom.
Veta 9.2
Nech Р 0 je kritický bod funkcie A= f(P) a 
je diferenciál druhého rádu tejto funkcie. Potom
A keď d 2 u(P 0) > 0 pre , potom Р 0 je bod minimálne funkcie A= f(P);
b) ak d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maximálne funkcie A= f(P);
c) ak d 2 u(P 0) nie je definované znamienkom, potom P 0 nie je extrémny bod;
Túto vetu uvažujeme bez dôkazu.
Všimnite si, že veta nezohľadňuje prípad, kedy d 2 u(P 0) = 0 alebo neexistuje. To znamená, že otázka prítomnosti extrému v bode P 0 za takýchto podmienok zostáva otvorená – sú potrebné ďalšie štúdie, napríklad štúdium prírastku funkcie v tomto bode.
V podrobnejších kurzoch matematiky sa dokazuje, že najmä pre funkciu z = f(X,r) dvoch premenných, ktorých diferenciál druhého rádu je súčtom tvaru
štúdium prítomnosti extrému v kritickom bode Р 0 možno zjednodušiť.
Označte , , . Zostavte determinant
.
Ukazuje sa:
d 2 z> 0 v bode P 0, t.j. P 0 - minimálny bod, ak A(P°) > 0 a D(P°) > 0;
d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;
ak D(P 0)< 0, то d 2 z v blízkosti bodu Р 0 sa mení znamienko a v bode Р 0 nie je extrém;
ak D(Р 0) = 0, potom sú potrebné aj ďalšie štúdie funkcie v blízkosti kritického bodu Р 0.
Teda pre funkciu z = f(X,r) dve premenné, máme nasledujúci algoritmus (nazvime ho „algoritmus D“) na nájdenie extrému:
1) Nájdite doménu definície D( f) funkcie.
2) Nájdite kritické body, t.j. body z D( f), pre ktoré a sú rovné nule alebo neexistujú.
3) V každom kritickom bode Р 0 skontrolujte dostatočné podmienky pre extrém. Ak to chcete urobiť, nájdite , kde , , a vypočítajte D(Р 0) a ALE(P 0). Potom:
ak D(Р 0) >0, potom je v bode Р 0 extrém, navyše ak ALE(P 0) > 0 - potom je to minimum a ak ALE(P 0)< 0 – максимум;
ak D(P 0)< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;
Ak D(Р 0) = 0, potom sú potrebné ďalšie štúdie.
4) Vypočítajte hodnotu funkcie v nájdených extrémnych bodoch.
Príklad 1.
Nájdite extrém funkcie z = X 3 + 8r 3 – 3xy .
Riešenie. Oblasťou tejto funkcie je celá rovina súradníc. Poďme nájsť kritické body.
, 
, 
Þ Р 0 (0,0) , .
Skontrolujme splnenie dostatočných extrémnych podmienok. Poďme nájsť
6X, = -3, = 48pri A 
= 288hu – 9.
Potom D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.
D(Р 1) = 36-9>0 - v bode Р 1 je extrém a od r. ALE(P 1) = 3 >0, potom je tento extrém minimom. Takže min z=z(P1) = 
.
Príklad 2
Nájdite extrém funkcie 
.
Riešenie: D( f) = R2. Kritické body: 
; neexistuje na pri= 0, teda P 0 (0,0) je kritický bod tejto funkcie.
2, = 0, = , = , ale D(Р 0) nie je definované, takže nie je možné študovať jeho znamienko.
Z rovnakého dôvodu nie je možné priamo aplikovať vetu 9.2 − d 2 z v tomto bode neexistuje.
Zvážte prírastok funkcie f(X, r) v bode Р 0 . Ak D f =f(P)- f(P 0)>0 "P, potom P 0 je minimálny bod, ak D f < 0, то Р 0 – точка максимума.
V našom prípade máme
D f = f(X, r) – f(0, 0) = f(0+D X,0+D r) – f(0, 0) = .
V D X= 0,1 a D r= -0,008 dostaneme D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при DX= 0,1 a D r= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, t.j. v blízkosti bodu Р 0 ani podmienka D f <0 (т.е. f(X, r) < f(0, 0) a teda P 0 nie je maximálny bod), ani podmienka D f>0 (t.j. f(X, r) > f(0, 0) a potom Р 0 nie je minimálny bod). Preto podľa definície extrému táto funkcia nemá žiadne extrémy.
Podmienený extrém.
Uvažovaný extrém funkcie sa nazýva bezpodmienečné, pretože na argumenty funkcie nie sú kladené žiadne obmedzenia (podmienky).
Definícia 9.2. Funkčný extrém A = f(X 1 , X 2 , ... , x n), zistil pod podmienkou, že jeho argumenty X 1 , X 2 , ... , x n splniť rovnice j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, kde P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( f), sa nazýva podmienený extrém .
Rovnice j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, sa volajú spojovacie rovnice.
Zvážte funkcie z = f(X,r) dvoch premenných. Ak existuje len jedna obmedzujúca rovnica, t.j. , potom nájdenie podmieneného extrému znamená, že extrém sa nehľadá v celej doméne funkcie, ale na nejakej krivke ležiacej v D( f) (t. j. nehľadajú sa najvyššie ani najnižšie body povrchu z = f(X,r), a najvyššie alebo najnižšie body medzi priesečníkmi tejto plochy s valcom , obr. 5).
Podmienený extrém funkcie z = f(X,r) dvoch premenných možno nájsť nasledujúcim spôsobom ( eliminačná metóda). Z rovnice vyjadrite jednu z premenných ako funkciu druhej (napríklad napíšte ) a dosadením tejto hodnoty premennej do funkcie zapíšte túto premennú ako funkciu jednej premennej (v uvažovanom prípade 
). Nájdite extrém výslednej funkcie jednej premennej.
1. Nech je funkcia spojito diferencovateľná v niektorom okolí bodu a má spojité parciálne derivácie druhého rádu (čisté a zmiešané).
2. Označte determinantom druhého rádu
extrémne variabilná prednášková funkcia
Veta
Ak je bod so súradnicami stacionárny bod pre funkciu, potom:
A) Keď ide o bod lokálneho extrému a pri lokálnom maxime - lokálne minimum;
C) keď bod nie je lokálnym extrémnym bodom;
C) ak, možno oboje.
Dôkaz
Napíšeme Taylorov vzorec pre funkciu, pričom sa obmedzíme na dva členy:
Keďže podľa podmienky vety je bod stacionárny, parciálne derivácie druhého rádu sú rovné nule, t.j. A Potom
Označiť
Potom bude mať prírastok funkcie tvar:
Vzhľadom na kontinuitu parciálnych derivácií druhého rádu (čistých a zmiešaných), podľa podmienky vety v bode, môžeme písať:
Kde alebo; ,
1. Nech a t.j. alebo.
2. Prírastok funkcie vynásobíme a vydelíme, dostaneme:
3. Doplňte výraz v zložených zátvorkách na celú druhú mocninu súčtu:
4. Výraz v zložených zátvorkách je nezáporný, keďže
5. Preto, ak a teda, a, potom a teda, podľa definície je bod bodom lokálneho minima.
6. Ak a znamená, a potom, podľa definície, bod so súradnicami je lokálnym maximálnym bodom.
2. Zvážte štvorcový trojčlen, jeho diskriminačný, .
3. Ak, potom sú také body, že polynóm
4. Celkový prírastok funkcie v bode v súlade s výrazom získaným v I zapíšeme v tvare:
5. Vzhľadom na kontinuitu parciálnych derivácií druhého rádu, podľa podmienky vety v bode, môžeme napísať, že
preto existuje také okolie bodu, že pre každý bod je štvorcová trojčlenka väčšia ako nula:
6. Zvážte – okolie bodu.
Zvoľme si ľubovoľnú hodnotu, takže o to ide. Za predpokladu, že vo vzorci pre prírastok funkcie
Čo získame:
7. Odvtedy.
8. Ak budeme argumentovať podobne pre koreň, dostaneme, že v akomkoľvek -okolí bodu je bod, pre ktorý teda v okolí bodu nezachová znamienko, preto v bode nie je extrém.
Pri hľadaní extrémov funkcie dvoch premenných často vznikajú problémy súvisiace s tzv. podmieneným extrémom. Tento pojem možno vysvetliť na príklade funkcie dvoch premenných.
Nech je daná funkcia a priamka L na rovine 0xy. Úlohou je nájsť taký bod P (x, y) na priamke L, v ktorom je hodnota funkcie najväčšia alebo najmenšia v porovnaní s hodnotami tejto funkcie v bodoch priamky L, ktoré sa nachádzajú blízko bod P. Takéto body P sa nazývajú podmienené funkcie extrémnych bodov na priamke L. Na rozdiel od bežného bodu extrému sa hodnota funkcie v bode podmieneného extrému porovnáva s hodnotami funkcie nie vo všetkých bodoch niektorých jej susedstiev, ale iba v tých, ktoré ležia na linke L.
Je celkom jasné, že bod obvyklého extrému (hovoria aj bezpodmienečný extrém) je zároveň bodom podmienečného extrému pre akúkoľvek priamku prechádzajúcu týmto bodom. Opak, samozrejme, nie je pravda: podmienený extrémny bod nemusí byť konvenčným extrémnym bodom. Ukážme si to, čo bolo povedané, na príklade.
Príklad č. 1. Grafom funkcie je horná hemisféra (obr. 2).
Ryža. 2.
Táto funkcia má na začiatku maximum; zodpovedá vrcholu M pologule. Ak je priamka L priamka prechádzajúca bodmi A a B (jej rovnica), potom je geometricky jasné, že pre body tejto priamky je maximálna hodnota funkcie dosiahnutá v bode ležiacom v strede medzi bodmi A a B. Toto sú podmienené extrémne (maximálne) bodové funkcie na tomto riadku; zodpovedá bodu M 1 na pologuli a z obrázku je vidieť, že o nejakom obyčajnom extréme tu nemôže byť reč.
Všimnite si, že v záverečnej časti problému hľadania najväčších a najmenších hodnôt funkcie v uzavretej oblasti je potrebné nájsť extrémne hodnoty funkcie na hranici tejto oblasti, t.j. na nejakom riadku, a tým vyriešiť problém pre podmienený extrém.
Definícia 1. Hovoria, že kde má podmienené alebo relatívne maximum (minimum) v bode, ktorý spĺňa rovnicu: ak pre akýkoľvek, ktorý spĺňa rovnicu, nerovnosť
Definícia 2. Rovnica tvaru sa nazýva obmedzujúca rovnica.
Veta
Ak funkcie a sú plynule diferencovateľné v okolí bodu a parciálna derivácia a bod sú bodom podmieneného extrému funkcie vzhľadom na rovnicu obmedzenia, potom sa determinant druhého rádu rovná nule:
Dôkaz
1. Keďže podľa podmienky vety, parciálnej derivácie a hodnoty funkcie, potom v nejakom obdĺžniku
definovaná implicitná funkcia
Komplexná funkcia dvoch premenných v bode bude mať lokálny extrém, teda príp.
2. Skutočne, podľa invariantnej vlastnosti diferenciálnej formuly prvého rádu
3. Rovnica spojenia môže byť znázornená v tomto tvare, čo znamená
4. Vynásobte rovnicu (2) a (3) a pridajte ich
Preto pri
svojvoľný. h.t.d.
Dôsledok
Hľadanie podmienených extrémnych bodov funkcie dvoch premenných sa v praxi uskutočňuje riešením sústavy rovníc
Takže vo vyššie uvedenom príklade č. 1 z rovnice komunikácie máme. Odtiaľ je ľahké skontrolovať, čo dosahuje maximum pri . Ale potom z rovnice komunikácie. Dostaneme bod P, nájdený geometricky.
Príklad č. 2. Nájdite podmienené extrémne body funkcie vzhľadom na rovnicu obmedzenia.
Poďme nájsť parciálne derivácie danú funkciu a rovnice zapojenia:
Urobme determinant druhého rádu:
Zapíšme si sústavu rovníc na nájdenie podmienených extrémnych bodov:
preto existujú štyri podmienené extrémne body funkcie so súradnicami: .
Príklad č. 3. Nájdite extrémne body funkcie.
Prirovnaním parciálnych derivácií k nule: , nájdeme jeden stacionárny bod - počiatok. Tu,. Preto ani bod (0, 0) nie je extrémnym bodom. Rovnica je rovnicou hyperbolického paraboloidu (obr. 3), obrázok ukazuje, že bod (0, 0) nie je extrémnym bodom.
Ryža. 3.
1. Nech je funkcia definovaná a spojitá v ohraničenej uzavretej oblasti D.
2. Nech má funkcia v tejto oblasti konečné parciálne derivácie, okrem jednotlivých bodov oblasti.
3. V súlade s Weierstrassovou vetou v tejto oblasti existuje bod, v ktorom funkcia nadobúda najväčšie a najmenšie hodnoty.
4. Ak sú tieto body vnútornými bodmi oblasti D, potom je zrejmé, že budú mať maximum alebo minimum.
5. V tomto prípade body záujmu pre nás patria medzi podozrivé body na extréme.
6. Funkcia však môže nadobudnúť aj maximálnu alebo minimálnu hodnotu na hranici oblasti D.
7. Aby ste našli najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie v oblasti D, musíte nájsť všetky vnútorné body podozrivé z extrému, vypočítajte hodnotu funkcie v nich, potom porovnajte s hodnotou funkcie na hraničných bodoch oblasti a najväčšia zo všetkých nájdených hodnôt bude najväčšia v uzavretej oblasti D.
8. Metóda zisťovania lokálneho maxima alebo minima bola zvážená skôr v časti 1.2. a 1.3.
9. Zostáva zvážiť spôsob hľadania maximálnych a minimálnych hodnôt funkcie na hranici regiónu.
10. V prípade funkcie dvoch premenných sa zvyčajne ukáže, že oblasť je ohraničená krivkou alebo niekoľkými krivkami.
11. Pozdĺž takejto krivky (alebo niekoľkých kriviek) závisia premenné a buď jedna na druhej, alebo obe závisia od jedného parametra.
12. Na hranici sa teda funkcia ukáže ako závislá od jednej premennej.
13. Metóda vyhľadávania najväčšiu hodnotu funkcie jednej premennej boli diskutované skôr.
14. Nech je hranica oblasti D daná parametrickými rovnicami:
Potom na tejto krivke bude funkcia dvoch premenných komplexnou funkciou parametra: . Pre takúto funkciu je najväčšia a najmenšia hodnota určená metódou určenia najväčších a najmenších hodnôt pre funkciu jednej premennej.
