Prídavné meno „štvorcový“ hneď napovedá, že tu niečo súvisí so štvorcom (druhý stupeň) a veľmi skoro spoznáme to „niečo“ a čo je to forma. Hneď sa ukázalo :)
Vitajte v mojej novej lekcii a ako okamžité zahriatie sa pozrieme na pruhovaný tvar lineárne. Lineárna forma premenné volal homogénne Polynóm 1. stupňa:
- niektoré konkrétne čísla *
(predpokladáme, že aspoň jeden z nich sa líši od nuly) a sú to premenné, ktoré môžu nadobúdať ľubovoľné hodnoty.
* V tejto téme budeme len uvažovať reálne čísla .
S pojmom „homogénny“ sme sa už stretli v lekcii o homogénne sústavy lineárnych rovníc a v tomto prípade to znamená, že polynóm nemá pridanú konštantu.
Napríklad: 
– lineárny tvar dvoch premenných
Teraz je tvar kvadratický. kvadratická forma premenné volal homogénne polynóm 2. stupňa, z ktorých každé obdobie obsahuje buď druhú mocninu premennej resp dvojitý súčin premenných. Takže napríklad kvadratická forma dvoch premenných má nasledujúci tvar:
Pozor! Toto je štandardný záznam a nemusíte v ňom nič meniť! Napriek „hroznému“ vzhľadu je tu všetko jednoduché - dvojité dolné indexy konštánt signalizujú, ktoré premenné sú zahrnuté v jednom alebo druhom termíne:
– tento výraz obsahuje produkt a (štvorec);
- tu je práca;
- a tu je práca.
- Okamžite očakávam hrubú chybu, keď stratia "mínus" koeficientu, neuvedomujúc si, že ide o výraz:
Niekedy je v duchu „školská“ verzia dizajnu, ale to len niekedy. Mimochodom, všimnite si, že konštanty nám tu nehovoria vôbec nič, a preto je ťažšie zapamätať si „ľahký zápis“. Najmä keď je tých premenných viac.
A kvadratická forma troch premenných už obsahuje šesť pojmov:
... prečo sú "dva" multiplikátory uvedené v "zmiešaných" podmienkach? Je to pohodlné a čoskoro bude jasné prečo.
Zapíšeme si však všeobecný vzorec, je vhodné ho usporiadať pomocou „hárka“:
- pozorne si preštudujte každý riadok - nie je na tom nič zlé!
Kvadratická forma obsahuje členy so štvorcovými premennými a členy s ich párovými súčinmi (cm. kombinatorický vzorec kombinácií) . Nič iné - žiadne „osamelé x“ a žiadna pridaná konštanta (potom nedostanete kvadratickú formu, ale heterogénne polynóm 2. stupňa).
V závislosti od hodnôt môže uvažovaná forma nadobudnúť kladné aj záporné hodnoty a to isté platí pre akúkoľvek lineárnu formu - ak je aspoň jeden z jej koeficientov nenulový, potom sa môže ukázať ako kladná alebo záporná (v závislosti od na hodnotách).
Táto forma sa nazýva striedavý. A ak je všetko transparentné s lineárnou formou, potom sú veci oveľa zaujímavejšie s kvadratickou formou:
Je celkom jasné, že táto forma môže nadobudnúť hodnoty akéhokoľvek znamenia, teda kvadratická forma môže byť aj striedavá.
Nemusí to byť:
– vždy, pokiaľ nie sú obe rovné nule.
- pre hocikoho vektor okrem nuly.
A všeobecne povedané, ak pre nejaké nenulové vektor , , potom sa nazýva kvadratická forma kladné definitívne; Ak potom negatívny definitívny.
A všetko by bolo v poriadku, ale jednoznačnosť kvadratickej formy je viditeľná iba na jednoduchých príkladoch a táto viditeľnosť sa stráca už s miernou komplikáciou: 
– ?
Dalo by sa predpokladať, že forma je pozitívne definovaná, ale je to naozaj tak? Zrazu existujú hodnoty, pri ktorých je menej ako nula?
Na tento účet, tam teorém: padám vlastné hodnoty matice kvadratického tvaru sú kladné * , potom je to pozitívne definované. Ak sú všetky negatívne, potom je to negatívne.
* Teoreticky je dokázané, že všetky vlastné hodnoty skutočnej symetrickej matice platné
Napíšme maticu vyššie uvedeného tvaru: 
a z rovnice 
poďme ju nájsť vlastné hodnoty:
Riešime staré dobré kvadratická rovnica:
, teda formulár 
je pozitívne definovaný, t.j. pre všetky nenulové hodnoty je väčšia ako nula.
Zdá sa, že zvažovaná metóda funguje, no je tu jedno veľké ALE. Už pre maticu „tri po troch“ je hľadanie vlastných hodnôt zdĺhavá a nepríjemná úloha; s vysokou pravdepodobnosťou dostanete polynóm 3. stupňa s iracionálnymi koreňmi.
Ako byť? Existuje jednoduchší spôsob!
Nie, nie Sylvester Stallone :) Najprv vám dovoľte pripomenúť, čo hranatých maloletých matice. Toto determinanty 
ktoré „rastú“ z jeho ľavého horného rohu: 
a posledný sa presne rovná determinantu matice.
Teraz v skutočnosti kritérium:
1) Definovaná kvadratická forma pozitívne vtedy a len vtedy, ak VŠETKY jeho uhlové minority sú väčšie ako nula: .
2) Definovaná kvadratická forma negatívne práve vtedy, ak sa jeho uhlové minory striedajú v znamienku, pričom 1. minor je menší ako nula: , , ak je párne alebo , ak je nepárne.
Ak má aspoň jeden hranatý vedľajší znak opačné znamienko, potom tvar znamenie-striedanie. Ak uhlové neplnoleté osoby znamenajú „to“, ale medzi nimi sú nula, potom toto špeciálny prípad, ktorým sa trochu budem venovať, keď si prejdeme bežnejšie príklady.
Poďme analyzovať uhlové minority matice 
:
A to nám hneď hovorí, že forma nie je negatívne určená.
Záver: všetky vedľajšie uhly sú väčšie ako nula, takže tvar 
pozitívne definované.
Existuje rozdiel oproti metóde vlastných hodnôt? ;)
Maticu tvaru zapisujeme z Príklad 1:
jeho prvý uhlový moll a druhý 
, z čoho vyplýva, že tvar je znamienkovo striedavý, t.j. v závislosti od hodnôt môže mať kladné aj záporné hodnoty. To je však také zrejmé.
Zoberte formulár a jeho matricu Príklad 2:
tu vobec bez nadhladu nechapem. Ale pri kritériu Sylvester je nám to jedno:
, teda forma rozhodne nie je negatívna.
, a rozhodne nie pozitívne. (pretože všetci neplnoletí musia byť pozitívni).
Záver: tvar je striedavý.
Príklady rozcvičky pre nezávislé rozhodnutie:
Príklad 4
Preskúmajte kvadratické formy na určenie znamienka
a) 
V týchto príkladoch je všetko hladké (pozri koniec lekcie), ale v skutočnosti je potrebné takúto úlohu dokončiť Sylvesterovo kritérium nemusí byť dostatočné.
Ide o to, že existujú „hraničné“ prípady, a to: ak pre nejaké nenulové vector , potom je definovaný tvar nezáporné, Ak potom nepozitívne. Tieto formy majú nenulové vektory pre ktoré .
Tu si môžete priniesť takýto „gombíkový akordeón“:
Zvýraznenie plné námestie, hneď vidíme nezápornosť tvar: , navyše sa rovná nule pre každý vektor s rovnakými súradnicami, napríklad: 
.
"Zrkadlový" príklad nepozitívne určitá forma:
a ešte triviálnejší príklad:
– tu sa tvar rovná nule pre ľubovoľný vektor , kde je ľubovoľné číslo.
Ako odhaliť nezápornosť alebo nepozitivitu formy?
Na to potrebujeme koncept hlavných maloletých
matice. Hlavná moll je mol zložená z prvkov, ktoré sú v priesečníku riadkov a stĺpcov s rovnakými číslami. Matica má teda dvoch hlavných maloletých 1. rádu:
(prvok je v priesečníku 1. riadku a 1. stĺpca);
(prvok je v priesečníku 2. riadku a 2. stĺpca),
a jedna veľká vedľajšia 2. rádu: 
- zložený z prvkov 1., 2. riadku a 1., 2. stĺpca.
Matrix "tri na tri" 
Existuje sedem hlavných maloletých a tu už musíte mávať bicepsmi:
- traja maloletí 1. rádu,
traja maloletí 2. rádu: 
- zložený z prvkov 1., 2. riadku a 1., 2. stĺpca; 
- zložený z prvkov 1., 3. riadku a 1., 3. stĺpca; 
- zložený z prvkov 2., 3. riadku a 2., 3. stĺpca,
a jeden neplnoletý 3. rádu: 
- zložený z prvkov 1., 2., 3. riadku a 1., 2. a 3. stĺpca.
Cvičenie pre pochopenie: zapíšte si všetky hlavné neplnoleté matice 
.
Na konci hodiny skontrolujeme a pokračujeme.
Schwarzeneggerovo kritérium:
1) Definovaná nenulová* kvadratická forma nezáporné vtedy a len vtedy, ak VŠETCI jej hlavné neplnoleté osoby nezáporné(väčšie alebo rovné nule).
* Nulová (degenerovaná) kvadratická forma má všetky koeficienty rovné nule.
2) Nenulová kvadratická forma s definovanou maticou nepozitívne vtedy a len vtedy, ak je to:
– hlavní maloletí 1. rádu nepozitívne(menší alebo rovný nule);
sú hlavnými maloletými 2. rádu nezáporné;
– hlavní maloletí 3. rádu nepozitívne(striedanie začalo);
…
– dur moll th rádu nepozitívne, ak je nepárne resp nezáporné, ak je párne.
Ak je aspoň jeden neplnoletý opačného znamienka, potom je tvar znamienkový.
Pozrime sa, ako funguje kritérium vo vyššie uvedených príkladoch:
Urobme maticu tvaru a po prvé vypočítajme uhlové neplnoleté osoby - čo ak je to pozitívne alebo negatívne definované? 
Získané hodnoty nespĺňajú Sylvesterovo kritérium, avšak druhé menšie nie negatívne, a preto je potrebné skontrolovať 2. kritérium (v prípade 2. kritéria nebude splnené automaticky, t. j. okamžite sa urobí záver o zmene tvaru).
Maloletí 1. rádu:
- sú pozitívne
dur moll 2. rádu: 
- nie negatívne.
Teda VŠETCI dôležitejší neplnoletí sú nezáporní, teda forma nezáporné.
Napíšeme maticu formulára 
, pre ktoré, samozrejme, nie je splnené kritérium Sylvester. Nedostali sme však ani opačné znamienka (pretože obe uhlové minory sa rovnajú nule). Preto kontrolujeme splnenie kritéria nezápornosti/nepozitivity. Maloletí 1. rádu:
- nie pozitívne
dur moll 2. rádu: 
- nie negatívne.
Podľa Schwarzeneggerovho kritéria (bod 2) je teda forma určená nekladne.
Teraz, plne vyzbrojení, analyzujeme zábavnejší problém:
Príklad 5
Preskúmajte kvadratickú formu na určenie znamienka
Tento formulár zdobí poradie „alfa“, ktoré sa môže rovnať akémukoľvek reálnemu číslu. Ale bude to len zábavnejšie rozhodnúť.
Najprv si zapíšme maticu formulára, pravdepodobne sa mnohí už prispôsobili, aby to urobili ústne: na hlavná uhlopriečka koeficienty umiestnime na štvorce a na symetrické miesta - polovičné koeficienty zodpovedajúcich „zmiešaných“ produktov:
Vypočítajme uhlové neplnoleté deti: 
Rozšírim tretí determinant pozdĺž 3. riadku:
Kvadratická forma je homogénny polynóm 2. stupňa vo viacerých premenných.
Kvadratická forma v premenných pozostáva z členov dvoch typov: štvorcov premenných a ich párových súčinov s niektorými koeficientmi. Je obvyklé písať kvadratickú formu vo forme nasledujúcej štvorcovej schémy:
Dvojice podobných výrazov sa zapisujú s rovnakými koeficientmi, takže každý z nich je polovičným koeficientom zodpovedajúceho súčinu premenných. Teda každá kvadratická forma prirodzene je spojená s maticou jeho koeficientov, ktorá je symetrická.
Je tiež vhodné reprezentovať kvadratickú formu v nasledujúcom maticovom zápise. Označme X stĺpec premenných X - riadok, t.j. maticu transponovanú s X. Potom
Kvadratické formy sa nachádzajú v mnohých odvetviach matematiky a jej aplikácií.
V teórii čísel a kryštalografii sa kvadratické formy zvažujú za predpokladu, že premenné nadobúdajú iba celočíselné hodnoty. V analytickej geometrii je kvadratická forma súčasťou rovnice krivky (alebo povrchu) poriadku. Zdá sa, že v mechanike a fyzike vyjadruje kvadratická forma Kinetická energia sústavy cez zložky zovšeobecnených rýchlostí atď. Okrem toho je však štúdium kvadratických foriem nevyhnutné aj pri analýze pri štúdiu funkcií mnohých premenných, pri ktorých riešení je dôležité zistiť, ako daná funkcia v okolie daného bodu sa odchyľuje od lineárnej aproximácie funkcií. Príkladom problému tohto typu je štúdium funkcie pre maximum a minimum.
Uvažujme napríklad o probléme skúmania maxima a minima pre funkciu dvoch premenných, ktorá má spojité parciálne derivácie až po rádovo. Nevyhnutná podmienka aby bod dal maximum alebo minimum funkcie, je rovnosť parciálnych derivácií poradia v bode k nule.Predpokladajme, že táto podmienka je splnená. Premenným x a y dávame malé prírastky a k a uvažujeme zodpovedajúci prírastok funkcie. Podľa Taylorovho vzorca sa tento prírastok až po malé vyššie rády rovná kvadratickej forme, kde sú hodnoty druhého derivácie vypočítané v bode Ak je táto kvadratická forma kladná pre všetky hodnoty a k (okrem toho má funkcia v bode minimum; ak je záporná, potom má maximum. Nakoniec, ak tvar nadobudne kladné aj záporné hodnoty, potom nebude existovať žiadne maximum ani minimum. Podobným spôsobom sa študujú funkcie väčšieho počtu premenných.
Štúdium kvadratických foriem spočíva hlavne v štúdiu problému ekvivalencie foriem vzhľadom na jednu alebo druhú množinu lineárnych transformácií premenných. Dve kvadratické formy sa považujú za ekvivalentné, ak je možné jednu z nich preložiť do druhej pomocou jednej z transformácií danej množiny. S problémom ekvivalencie úzko súvisí problém redukcie formy, t.j. previesť ho do nejakej možno najjednoduchšej formy.
V rôznych otázkach súvisiacich s kvadratickými formami sa uvažuje aj o rôznych súboroch prípustných transformácií premenných.
V otázkach analýzy sa aplikujú akékoľvek nesingulárne transformácie premenných; pre účely analytickej geometrie sú najzaujímavejšie ortogonálne transformácie, t.j. tie, ktoré zodpovedajú prechodu z jedného systému premenných Kartézske súradnice inému. Nakoniec v teórii čísel a v kryštalografii sa uvažuje o lineárnych transformáciách s celočíselnými koeficientmi a s determinantom rovným jednej.
Budeme sa zaoberať dvoma z týchto problémov: otázkou redukcie kvadratickej formy na jej najjednoduchšiu formu pomocou akýchkoľvek nesingulárnych transformácií a rovnakou otázkou pre ortogonálne transformácie. Najprv zistime, ako sa transformuje matica kvadratickej formy pri lineárnej transformácii premenných.
Nech , kde A je symetrická matica tvarových koeficientov, X je stĺpec premenných.
Urobme lineárnu transformáciu premenných a zapíšme ju v skrátenej forme . C tu označuje maticu koeficientov tejto transformácie, X je stĺpec nových premenných. Potom a odtiaľ, takže matica transformovanej kvadratickej formy je
Matica sa automaticky ukáže ako symetrická, čo sa dá ľahko overiť. Problém redukcie kvadratickej formy na jej najjednoduchšiu formu je teda ekvivalentný problému redukcie symetrickej matice na jej najjednoduchšiu formu jej vynásobením zľava a sprava vzájomne transponovanými maticami.
Definícia. Kvadratický tvar z n sa volá neznámy kladné definitívne, ak sa jeho poradie rovná kladnému indexu zotrvačnosti a sa rovná číslu neznámy.
Veta. Kvadratická forma je pozitívne definitívna vtedy a len vtedy, ak má kladné hodnoty na akejkoľvek nenulovej množine premenných hodnôt.
Dôkaz. Nech je kvadratická forma nedegenerovanou lineárnou transformáciou neznámych
vrátil do normálu
.
Pre každú nenulovú množinu premenných hodnôt aspoň jedno z čísel 
odlišný od nuly, t.j. . Nevyhnutnosť vety je dokázaná.
Predpokladajme, že kvadratická forma nadobúda kladné hodnoty na akejkoľvek nenulovej množine premenných, ale jej index zotrvačnosti je kladný. Nedegenerovanou lineárnou transformáciou neznámych
Vráťme to do normálu. Bez straty všeobecnosti môžeme predpokladať, že v tomto normálnom tvare druhá mocnina poslednej premennej buď chýba, alebo do nej vstupuje so znamienkom mínus, t.j. 
, kde alebo . Predpokladajme, že ide o nenulovú množinu hodnôt premenných získaných ako výsledok riešenia systému lineárne rovnice
V tomto systéme sa počet rovníc rovná počtu premenných a determinant systému je nenulový. Podľa Cramerovej vety má systém jedinečné riešenie a je nenulové. Pre túto sadu. Rozpor s podmienkou. Dostávame sa k rozporu s predpokladom, ktorý dokazuje dostatočnosť vety.
Pomocou tohto kritéria nie je možné z koeficientov určiť, či je kvadratická forma pozitívne-definitívna. Odpoveď na túto otázku dáva ďalšia veta, pre formuláciu ktorej uvádzame ešte jeden pojem. Hlavná diagonálna matica Minors sú maloletí umiestnení v jeho ľavom hornom rohu:
,
, 
, … , 
.
Veta.Kvadratická forma je pozitívne definitívna vtedy a len vtedy, ak sú všetky jej hlavné diagonálne minory kladné.
Dôkaz vykonáme metódou úplnej matematickej indukcie na čísle n kvadratických tvarových premenných f.
Hypotéza indukcie. Predpokladajme, že pre kvadratické formy s menším počtom premenných n tvrdenie je správne.
Zvážte kvadratickú formu z n premenné. Zhromaždite v jednej zátvorke všetky výrazy obsahujúce . Zvyšné členy tvoria v premenných kvadratickú formu. Podľa indukčnej hypotézy je tvrdenie pravdivé.
Predpokladajme, že kvadratická forma je pozitívne definitívna. Potom je kvadratická forma tiež pozitívne definitívna. Ak predpokladáme, že to tak nie je, potom existuje nenulová množina premenných hodnôt 
, pre ktoré 
a zodpovedajúcim spôsobom, 
, čo je v rozpore s tým, že kvadratická forma je pozitívne definitívna. Podľa indukčnej hypotézy sú všetky hlavné diagonálne minory kvadratickej formy kladné, t.j. všetky prvé hlavné neplnoleté kvadratickej formy f sú pozitívne. Posledná hlavná moll kvadratického tvaru –
je determinantom jeho matice. Tento determinant je kladný, keďže jeho znamienko sa zhoduje so znamienkom matice jeho normálnej formy, t.j. so znakom determinantu matice identity.
Nech sú všetky hlavné diagonálne minority kvadratickej formy kladné, potom všetky hlavné diagonálne minority kvadratickej formy sú kladné z rovnosti 
. Podľa indukčnej hypotézy je kvadratická forma pozitívne definitívna, takže dochádza k nedegenerovanej lineárnej transformácii premenných, ktorá redukuje formu na formu súčtu štvorcov nových premenných . Táto lineárna transformácia môže byť dokončená na nedegenerovanú lineárna transformácia všetky premenné za predpokladu . Kvadratická forma sa touto transformáciou redukuje na formu
V tejto časti sa zameriame na špeciálnu, ale dôležitú triedu pozitívnych kvadratických foriem.
Definícia 3. Skutočná kvadratická forma sa nazýva nezáporná (nekladná), ak pre akékoľvek reálne hodnoty premenných
. (35)
V tomto prípade sa symetrická matica koeficientov nazýva kladná semidefinitná (negatívna semidefinitná).
Definícia 4. Skutočná kvadratická forma sa nazýva pozitívne-definitívna (negatívne-definitívna), ak pre akékoľvek reálne hodnoty premenných, ktoré nie sú súčasne rovné nule
. (36)
V tomto prípade sa matica nazýva aj pozitívne definitná (negatívne definitná).
Trieda pozitívne-určitých (negatívno-určitých) foriem je súčasťou triedy nezáporných (resp. nepozitívnych) foriem.
Nech je uvedený nezáporný tvar. Predstavujeme to ako súčet nezávislých štvorcov:
. (37)
V tomto znázornení musia byť všetky štvorce kladné:
. (38)
V skutočnosti, ak by nejaké boli, potom by bolo možné vybrať také hodnoty, pre ktoré
Ale potom by pre tieto hodnoty premenných mal formulár zápornú hodnotu, čo je podľa podmienky nemožné. Je zrejmé, že naopak z (37) a (38) vyplýva, že forma je kladná.
Nezáporná kvadratická forma je teda charakterizovaná rovnosťami .
Buďme teraz pozitívnou definitívnou formou. Potom aj nezáporná forma. Preto môže byť zastúpený vo forme (37), kde sú všetky kladné. Z pozitívnej vyhranenosti formy vyplýva, že . Skutočne, v prípade, že je možné zvoliť také hodnoty, ktoré nie sú súčasne rovné nule, pre ktoré by všetky zmizli. Ale potom, na základe (37), at , čo je v rozpore s podmienkou (36).
Je ľahké vidieť, že naopak, ak v (37) a sú všetky kladné, potom ide o pozitívnu definitívnu formu.
Inými slovami, nezáporná forma je pozitívne definitívna vtedy a len vtedy, ak nie je v jednotnom čísle.
Nasledujúca veta dáva kritérium pre pozitívnu definitívnosť tvaru vo forme nerovností, ktoré musia byť splnené koeficientmi tvaru. V tomto prípade sa používa zápis, s ktorým sme sa už stretli v predchádzajúcich častiach pre po sebe idúce hlavné neplnoleté osoby matice:
.
Veta 3. Aby bola kvadratická forma pozitívne definitná, je potrebné a postačujúce, aby nerovnosti
Dôkaz. Dostatočnosť podmienok (39) vyplýva priamo z Jacobiho vzorca (28). Nevyhnutnosť podmienok (39) je stanovená nasledovne. Z pozitívnej určitosti formy vyplýva pozitívna určitosť „orezaných“ foriem
.
Ale potom všetky tieto tvary musia byť nejednotné, t.j.
Teraz máme možnosť použiť Jacobiho vzorec (28) (pre ). Pretože na pravej strane tohto vzorca musia byť všetky štvorce kladné
Z toho vyplývajú nerovnosti (39). Veta bola dokázaná.
Keďže každá hlavná menšia matica so správnym prečíslovaním premenných môže byť umiestnená v ľavom hornom rohu, máme
Dôsledok. V pozitívne definitívnej kvadratickej forme sú všetky hlavné minority matice koeficientov kladné:
Komentujte. Z nezápornosti po sebe nasledujúcich hlavných maloletých
nesleduje nezápornosť formy . Naozaj, forma
,
kde 
, spĺňa podmienky , ale nie je nezáporná.
Existuje však nasledovné
Veta 4. Aby bola kvadratická forma nezáporná, je potrebné a postačujúce, aby všetky hlavné minority jej koeficientovej matice boli nezáporné:
Dôkaz. Uveďme pomocnú formu, ktorá je nekladná, je potrebná a postačujúca, aby nerovnosti
