Riešenie lineárnych systémov algebraické rovnice(SLAE) je nepochybne najdôležitejšou témou kurzu lineárnej algebry. Obrovské množstvo problémov zo všetkých odvetví matematiky sa redukuje na systémy riešenia lineárne rovnice. Tieto faktory vysvetľujú dôvod vytvorenia tohto článku. Materiál článku je vybraný a štruktúrovaný tak, aby ste s jeho pomocou mohli
Stručný popis materiálu článku.
Najprv uvedieme všetky potrebné definície, pojmy a zavedieme nejaký zápis.
Ďalej uvažujeme o metódach riešenia systémov lineárnych algebraických rovníc, v ktorých sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a ktoré majú jedinečné riešenie. Najprv sa zameriame na Cramerovu metódu, po druhé si ukážeme maticovú metódu riešenia takýchto sústav rovníc a po tretie rozoberieme Gaussovu metódu (metóda postupnej eliminácie neznámych premenných). Pre upevnenie teórie určite vyriešime niekoľko SLAE rôznymi spôsobmi.
Potom sa obraciame na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc všeobecný pohľad, v ktorom sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych premenných alebo je hlavná matica systému degenerovaná. Formulujeme Kroneckerovu-Capelliho vetu, ktorá nám umožňuje stanoviť kompatibilitu SLAE. Analyzujme riešenie systémov (v prípade ich kompatibility) pomocou konceptu minoritnej bázy matice. Zvážime aj Gaussovu metódu a podrobne popíšeme riešenia príkladov.
Nezabudnite sa pozastaviť nad štruktúrou všeobecného riešenia homogénnych a nehomogénnych systémov lineárnych algebraických rovníc. Uveďme koncept základného systému riešení a ukážme, ako sa všeobecné riešenie SLAE zapisuje pomocou vektorov základného systému riešení. Pre lepšie pochopenie sa pozrime na niekoľko príkladov.
Na záver uvažujeme o sústavách rovníc, ktoré sú redukované na lineárne, ako aj o rôznych problémoch, pri riešení ktorých vznikajú SLAE.
Navigácia na stránke.
Budeme uvažovať sústavy p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými (p sa môže rovnať n ) tvaru
Neznáme premenné, - koeficienty (niektoré reálne alebo komplexné čísla), - voľné členy (aj reálne alebo komplexné čísla).
Táto forma SLAE sa nazýva koordinovať.
AT matricový formulár tento systém rovníc má tvar,
kde 
- hlavná matica systému, - matica-stĺpec neznámych premenných, - matica-stĺpec voľných členov.
Ak do matice A pridáme ako (n + 1)-tý stĺpec maticu-stĺpec voľných členov, tak dostaneme tzv. rozšírená matrica sústavy lineárnych rovníc. Rozšírená matica je zvyčajne označená písmenom T a stĺpec voľných členov je oddelený zvislou čiarou od ostatných stĺpcov, tj. 
Riešením sústavy lineárnych algebraických rovníc nazývaný súbor hodnôt neznámych premenných, ktorý mení všetky rovnice systému na identity. Maticová rovnica pre dané hodnoty neznámych premenných sa tiež zmení na identitu.
Ak má sústava rovníc aspoň jedno riešenie, potom sa nazýva kĺb.
Ak systém rovníc nemá riešenia, potom sa nazýva nezlučiteľné.
Ak má SLAE jedinečné riešenie, potom sa nazýva istý; ak existuje viac ako jedno riešenie, potom - neistý.
Ak sa voľné členy všetkých rovníc sústavy rovnajú nule 
, potom sa zavolá systém homogénne, inak - heterogénne.
Ak sa počet rovníc systému rovná počtu neznámych premenných a determinant jeho hlavnej matice sa nerovná nule, potom budeme takéto SLAE nazývať elementárne. Takéto sústavy rovníc majú jedinečné riešenie a v prípade homogénny systém všetky neznáme premenné sú nulové.
Takéto SLAE sme začali študovať v r stredná škola. Pri ich riešení sme zobrali jednu rovnicu, jednu neznámu premennú sme vyjadrili inými a dosadili ju do zvyšných rovníc, potom sme zobrali ďalšiu rovnicu, vyjadrili ďalšiu neznámu premennú a dosadili ju do iných rovníc atď. Alebo použili metódu sčítania, to znamená, že pridali dve alebo viac rovníc na odstránenie niektorých neznámych premenných. Nebudeme sa týmito metódami podrobne zaoberať, keďže ide v podstate o modifikácie Gaussovej metódy.
Hlavnými metódami riešenia elementárnych sústav lineárnych rovníc sú Cramerova metóda, maticová metóda a Gaussova metóda. Poďme si ich roztriediť.
Potrebujeme vyriešiť systém lineárnych algebraických rovníc 
v ktorej sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a determinant hlavnej matice systému je odlišný od nuly, teda .
Nech je determinant hlavnej matice systému a 
sú determinanty matíc, ktoré sa získajú z A nahradením 1., 2., …, n-tý stĺpec respektíve stĺpec voľných členov: 
Pri takomto zápise sa neznáme premenné vypočítajú pomocou vzorcov Cramerovej metódy as 
. Takto sa nájde riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc Cramerovou metódou.
Príklad.
Cramerova metóda 
.
rozhodnutie.
Hlavná matica systému má tvar 
. Vypočítajte jej determinant (ak je to potrebné, pozrite si článok): 
Keďže determinant hlavnej matice systému je nenulový, systém má jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť Cramerovou metódou.
Zostavte a vypočítajte potrebné determinanty 
(determinant sa získa nahradením prvého stĺpca v matici A stĺpcom voľných členov, determinant - nahradením druhého stĺpca stĺpcom voľných členov, - nahradením tretieho stĺpca matice A stĺpcom voľných členov ): 
Hľadanie neznámych premenných pomocou vzorcov 
:
odpoveď:
Hlavnou nevýhodou Cramerovej metódy (ak ju možno nazvať nevýhodou) je zložitosť výpočtu determinantov pri počte rovníc systému viac ako tri.
Nech je sústava lineárnych algebraických rovníc zadaná v maticovom tvare , kde matica A má rozmer n x n a jej determinant je nenulový.
Keďže , potom je matica A invertibilná, to znamená, že existuje inverzná matica . Ak obe časti rovnosti vynásobíme vľavo, dostaneme vzorec na nájdenie stĺpcovej matice neznámych premenných. Tak sme dostali riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou.
Príklad.
Vyriešte sústavu lineárnych rovníc maticová metóda.
rozhodnutie.
Prepíšme sústavu rovníc do maticového tvaru: 
Ako
potom možno SLAE vyriešiť maticovou metódou. Cez inverzná matica riešenie tohto systému možno nájsť ako 
.
Zostavme inverznú maticu pomocou matice algebraických doplnkov prvkov matice A (ak je to potrebné, pozri článok): 
Zostáva vypočítať - maticu neznámych premenných vynásobením inverznej matice 
na maticovom stĺpci voľných členov (v prípade potreby pozri článok): 
odpoveď:
alebo v inom zápise x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Hlavným problémom pri hľadaní riešení sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou je zložitosť nájdenia inverznej matice, najmä pre štvorcové matice vyššieho ako tretieho rádu.
Predpokladajme, že potrebujeme nájsť riešenie systému n lineárnych rovníc s n neznámymi premennými 
ktorého determinant hlavnej matice je odlišný od nuly.
Podstata Gaussovej metódy spočíva v postupnom vylúčení neznámych premenných: najprv sa x 1 vylúči zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou, potom sa x 2 vylúči zo všetkých rovníc, počnúc treťou atď., až kým nebude iba neznáma premenná x n zostáva v poslednej rovnici. Takýto proces transformácie rovníc systému na postupnú elimináciu neznámych premenných sa nazýva priama Gaussova metóda. Po dokončení dopredný zdvih pomocou Gaussovej metódy sa x n zistí z poslednej rovnice, x n-1 sa vypočíta z predposlednej rovnice pomocou tejto hodnoty atď., x 1 sa zistí z prvej rovnice. Proces výpočtu neznámych premenných pri prechode od poslednej rovnice systému k prvej sa nazýva reverzná Gaussova metóda.
Stručne popíšme algoritmus na elimináciu neznámych premenných.
Budeme predpokladať, že , pretože to môžeme vždy dosiahnuť preskupením rovníc systému. Neznámu premennú x 1 vylúčime zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou. Ak to chcete urobiť, pridajte prvú rovnicu vynásobenú k druhej rovnici systému, pridajte prvú vynásobenú k tretej rovnici a tak ďalej, pridajte prvú vynásobenú k n-tej rovnici. Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar 
kde 
.
K rovnakému výsledku by sme dospeli, ak by sme x 1 vyjadrili pomocou iných neznámych premenných v prvej rovnici systému a výsledný výraz dosadili do všetkých ostatných rovníc. Premenná x 1 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc druhou.
Ďalej postupujeme podobne, ale len s časťou výsledného systému, ktorý je vyznačený na obrázku 
Ak to chcete urobiť, pridajte druhý vynásobený k tretej rovnici systému, pridajte druhý vynásobený k štvrtej rovnici a tak ďalej, pridajte druhý vynásobený k n-tej rovnici. Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar 
kde 
. Premenná x 2 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc treťou.
Ďalej pristúpime k eliminácii neznámeho x 3, pričom postupujeme podobne ako časť systému označená na obr. 
Pokračujeme teda v priamom kurze Gaussovej metódy, kým systém nezíska formu 
Od tohto momentu začíname opačný priebeh Gaussovej metódy: x n vypočítame z poslednej rovnice ako , pomocou získanej hodnoty x n zistíme x n-1 z predposlednej rovnice atď., Zistíme x 1 z rovnice. prvá rovnica.
Príklad.
Vyriešte sústavu lineárnych rovníc Gaussova metóda.
rozhodnutie.
Vylúčme neznámu premennú x 1 z druhej a tretej rovnice sústavy. Aby sme to dosiahli, k obom častiam druhej a tretej rovnice pridáme zodpovedajúce časti prvej rovnice, vynásobené, resp. 
Teraz vylúčime x 2 z tretej rovnice tak, že k jej ľavej a pravej časti pridáme ľavú a pravú časť druhej rovnice, vynásobené: 
Týmto je dopredný kurz Gaussovej metódy dokončený, začíname opačný kurz.
Z poslednej rovnice výslednej sústavy rovníc zistíme x 3: 
Z druhej rovnice dostaneme .
Z prvej rovnice nájdeme zostávajúcu neznámu premennú a tým sa dokončí opačný priebeh Gaussovej metódy.
odpoveď:
X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.
Vo všeobecnom prípade sa počet rovníc systému p nezhoduje s počtom neznámych premenných n:
Takéto SLAE nemusia mať žiadne riešenia, môžu mať jediné riešenie alebo mať nekonečne veľa riešení. Toto tvrdenie platí aj pre sústavy rovníc, ktorých hlavná matica je štvorcová a degenerovaná.
Pred nájdením riešenia systému lineárnych rovníc je potrebné zistiť jeho kompatibilitu. Odpoveď na otázku, kedy je SLAE kompatibilný a kedy nekompatibilný, dáva Kroneckerova-Capelliho veta:
pre konzistentnosť sústavy p rovníc s n neznámymi (p sa môže rovnať n ) je potrebné a postačujúce, aby sa hodnosť hlavnej matice systému rovnala hodnosti rozšírenej matice, teda Rank( A) = Poradie (T) .
Uvažujme ako príklad aplikáciu Kronecker-Cappelliho vety na určenie kompatibility sústavy lineárnych rovníc.
Príklad.
Zistite, či má sústava lineárnych rovníc 
riešenia.
rozhodnutie.
. Využime metódu ohraničenia maloletých. Minor druhého rádu 
odlišný od nuly. Poďme na neplnoletých tretieho rádu, ktorí to obklopujú: 
Keďže všetky hraničiace maloleté osoby tretieho rádu sa rovnajú nule, poradie hlavnej matice je dve.
Na druhej strane, hodnosť rozšírenej matice 
sa rovná trom, keďže moll tretieho rádu 
odlišný od nuly.
teda Rang(A) , teda podľa Kronecker-Capelliho vety môžeme konštatovať, že pôvodný systém lineárnych rovníc je nekonzistentný.
odpoveď:
Neexistuje systém riešenia.
Takže sme sa naučili určiť nekonzistentnosť systému pomocou Kronecker-Capelliho vety.
Ako však nájsť riešenie SLAE, ak je preukázaná jeho kompatibilita?
Na to potrebujeme koncept minoritnej bázy matice a vetu o hodnosti matice.
Volá sa vedľajší najvyšší rád matice A okrem nuly základné.
Z definície základu minor vyplýva, že jeho poradie sa rovná hodnosti matice. Pre nenulovú maticu A môže byť niekoľko základných minorov, vždy je jeden základný minor.
Zoberme si napríklad maticu 
.
Všetky minority tretieho rádu tejto matice sú rovné nule, pretože prvky tretieho riadku tejto matice sú súčtom zodpovedajúcich prvkov prvého a druhého riadku.
Nasledujúce neplnoleté osoby druhého rádu sú základné, pretože sú nenulové 
maloletí 
nie sú základné, pretože sa rovnajú nule.
Veta o poradí matice.
Ak je poradie matice rádu p x n r, potom všetky prvky riadkov (a stĺpcov) matice, ktoré netvoria zvolenú základňu minor, sú lineárne vyjadrené pomocou zodpovedajúcich prvkov riadkov (a stĺpcov). ), ktoré tvoria základ minor.
Čo nám dáva veta o poradí matice?
Ak sme Kroneckerovou-Capelliho vetou stanovili kompatibilitu systému, potom zvolíme ľubovoľnú základnú vedľajšiu hlavnú maticu systému (jej poradie je rovné r) a vylúčime zo systému všetky rovnice, ktoré tvoria zvolenú základnú moll. Takto získaný SLAE bude ekvivalentný pôvodnému, keďže vyradené rovnice sú stále nadbytočné (podľa vety o poradí matice sú lineárnou kombináciou zostávajúcich rovníc).
Výsledkom je, že po vyradení nadmerných rovníc systému sú možné dva prípady.
Ak sa počet rovníc r vo výslednej sústave rovná počtu neznámych premenných, potom bude určitý a jediné riešenie môže nájsť Cramerova metóda, maticová metóda alebo Gaussova metóda.
Príklad.
.
rozhodnutie.
Hodnosť hlavnej matice systému 
sa rovná dvom, keďže moll druhého rádu 
odlišný od nuly. Rozšírená matica hodnosti 
sa tiež rovná dvom, pretože jediný druh z tretieho rádu sa rovná nule 
a minor druhého rádu uvažovaného vyššie je iný ako nula. Na základe Kronecker-Capelliho vety je možné tvrdiť kompatibilitu pôvodného systému lineárnych rovníc, keďže Rank(A)=Rank(T)=2 .
Ako základ minor berieme . Tvoria ju koeficienty prvej a druhej rovnice: 
Tretia rovnica systému sa nezúčastňuje na tvorbe základnej moll, preto ju vylúčime zo systému na základe vety o poradí matice: 
Takto sme získali elementárny systém lineárnych algebraických rovníc. Poďme to vyriešiť Cramerovou metódou: 
odpoveď:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.
Ak počet rovníc r vo výslednom SLAE menej ako číslo neznáme premenné n, potom na ľavej strane rovníc ponecháme členy tvoriace základ minor a zvyšné členy prenesieme na pravú stranu rovníc sústavy s opačným znamienkom.
Neznáme premenné (je ich r), ktoré zostávajú na ľavej strane rovníc, sa nazývajú Hlavná.
Volajú sa neznáme premenné (je ich n - r), ktoré skončili na pravej strane zadarmo.
Teraz predpokladáme, že voľné neznáme premenné môžu nadobudnúť ľubovoľné hodnoty, zatiaľ čo r hlavných neznámych premenných bude vyjadrené pomocou voľných neznámych premenných jedinečným spôsobom. Ich vyjadrenie možno nájsť riešením výsledného SLAE Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.
Vezmime si príklad.
Príklad.
Riešenie systému lineárnych algebraických rovníc 
.
rozhodnutie.
Nájdite poradie hlavnej matice systému 
metódou hraničiacich maloletých. Zoberme si a 1 1 = 1 ako nenulový vedľajší prvok prvého poriadku. Začnime hľadať nenulového neplnoletého druhoradého okolo tohto maloletého: 
Našli sme teda nenulovú moll druhého rádu. Začnime hľadať nenulový hraničný moll tretieho rádu: 
Hodnosť hlavnej matice je teda tri. Poradie rozšírenej matice sa tiež rovná trom, to znamená, že systém je konzistentný.
Ako základný sa bude brať nájdený nenulový vedľajší stupeň tretieho rádu.
Pre prehľadnosť uvádzame prvky, ktoré tvoria základ moll: 
Pojmy, ktoré sa podieľajú na základnej moll, ponecháme na ľavej strane rovníc systému a zvyšok prenesieme s opačnými znamienkami na pravú stranu: 
Voľným neznámym premenným x 2 a x 5 dávame ľubovoľné hodnoty, teda berieme 
, kde sú ľubovoľné čísla. V tomto prípade má SLAE formu 
Získanú elementárnu sústavu lineárnych algebraických rovníc riešime Cramerovou metódou: 
Preto, .
V odpovedi nezabudnite uviesť voľné neznáme premenné.
odpoveď:
Kde sú ľubovoľné čísla.
Zhrnúť.
Na vyriešenie systému lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru najprv zistíme jeho kompatibilitu pomocou Kroneckerovej-Capelliho vety. Ak sa poradie hlavnej matice nerovná hodnote rozšírenej matice, potom dospejeme k záveru, že systém je nekonzistentný.
Ak sa hodnosť hlavnej matice rovná hodnosti rozšírenej matice, vyberieme základnú vedľajšiu a zahodíme rovnice systému, ktoré sa nezúčastňujú na tvorbe vybranej základnej vedľajšej.
Ak poradie základu malo sa rovná číslu neznáme premenné, potom má SLAE jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť akoukoľvek nám známou metódou.
Ak je poradie základnej menšej ako počet neznámych premenných, potom na ľavej strane rovníc systému ponecháme členy s hlavnými neznámymi premennými, zvyšné členy prenesieme na pravú stranu a priradíme ľubovoľné hodnoty na voľné neznáme premenné. Z výslednej sústavy lineárnych rovníc nájdeme hlavné neznáme premenné Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.
Pomocou Gaussovej metódy je možné riešiť sústavy lineárnych algebraických rovníc akéhokoľvek druhu bez ich predbežného skúmania kompatibility. Proces postupného vylúčenia neznámych premenných umožňuje vyvodiť záver o kompatibilite aj nekonzistencii SLAE a ak existuje riešenie, umožňuje ho nájsť.
Z hľadiska výpočtovej práce je výhodnejšia Gaussova metóda.
Sledujte to Detailný popis a analyzoval príklady v článku Gaussova metóda na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.
V tejto časti sa zameriame na spojené homogénne a nehomogénne systémy lineárnych algebraických rovníc, ktoré majú nekonečná množina riešenia.
Poďme sa najskôr zaoberať homogénnymi systémami.
Základný systém rozhodovania Homogénna sústava p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými je množinou (n – r) lineárne nezávislých riešení tejto sústavy, kde r je rád menšieho základu hlavnej matice sústavy.
Ak označíme lineárne nezávislé riešenia homogénneho SLAE ako X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sú stĺpce matíc rozmeru n o 1 ), potom je všeobecné riešenie tohto homogénneho systému reprezentované ako lineárna kombinácia vektorov základného systému riešení s ľubovoľnými konštantnými koeficientmi С 1 , С 2 , …, С (n-r), teda .
Čo znamená všeobecné riešenie homogénneho systému lineárnych algebraických rovníc (oroslau)?
Význam je jednoduchý: vzorec určuje všetko možné riešenia pôvodný SLAE, inými slovami, ak vezmeme ľubovoľnú množinu hodnôt ľubovoľných konštánt С 1, С 2, …, С (n-r), podľa vzorca dostaneme jedno z riešení pôvodného homogénneho SLAE.
Ak teda nájdeme fundamentálny systém riešení, môžeme všetky riešenia tohto homogénneho SLAE nastaviť ako .
Ukážme si proces konštrukcie základného systému riešení pre homogénny SLAE.
Z pôvodného systému lineárnych rovníc zvolíme základnú moll, vylúčime zo systému všetky ostatné rovnice a na pravú stranu rovníc systému prenesieme s opačnými znamienkami všetky členy obsahujúce voľné neznáme premenné. Dajme voľným neznámym premenným hodnoty 1,0,0,…,0 a vypočítajme hlavné neznáme riešením výslednej elementárnej sústavy lineárnych rovníc akýmkoľvek spôsobom, napríklad Cramerovou metódou. Tak dostaneme X (1) - prvé riešenie fundamentálnej sústavy. Ak dáme voľným neznámym hodnoty 0,1,0,0,…,0 a vypočítame hlavné neznáme, dostaneme X (2) . Atď. Ak dáme voľným neznámym premenným hodnoty 0,0,…,0,1 a vypočítame hlavné neznáme, dostaneme X (n-r) . Takto bude skonštruovaný základný systém riešení homogénneho SLAE a jeho všeobecné riešenie je možné zapísať vo forme .
Pre nehomogénne systémy lineárnych algebraických rovníc je všeobecné riešenie reprezentované ako
Pozrime sa na príklady.
Príklad.
Nájdite základnú sústavu riešení a všeobecné riešenie homogénnej sústavy lineárnych algebraických rovníc 
.
rozhodnutie.
Hodnosť hlavnej matice homogénnych sústav lineárnych rovníc sa vždy rovná hodnosti rozšírenej matice. Nájdime hodnosť hlavnej matice metódou fringing minors. Ako nenulovú minoritu prvého rádu berieme prvok a 1 1 = 9 hlavnej matice systému. Nájdite hraničnú nenulovú moll druhého rádu: 
Nájde sa minor druhého rádu, odlišný od nuly. Poďme cez neplnoletých tretieho rádu, ktorí s ním hraničia, pri hľadaní nenulovej jednotky: 
Všetky hraničiace neplnoleté osoby tretieho rádu sa rovnajú nule, preto je poradie hlavnej a rozšírenej matice dve. Vezmime si základnú mollovú. Kvôli prehľadnosti si všimneme prvky systému, ktoré ho tvoria: 
Tretia rovnica pôvodného SLAE sa nezúčastňuje na tvorbe základnej moll, preto ju možno vylúčiť: 
Ponecháme členy obsahujúce hlavné neznáme na pravej strane rovníc a prenesieme členy s voľnými neznámymi na pravú stranu:
Zostavme základnú sústavu riešení pôvodnej homogénnej sústavy lineárnych rovníc. Základný systém riešení tohto SLAE pozostáva z dvoch riešení, keďže pôvodný SLAE obsahuje štyri neznáme premenné a poradie jeho základnej minor sú dve. Aby sme našli X (1), dáme voľným neznámym premenným hodnoty x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, potom nájdeme hlavné neznáme zo systému rovníc 
.
Nazýva sa sústava lineárnych rovníc, v ktorej sa všetky voľné členy rovnajú nule homogénne :
Akýkoľvek homogénny systém je vždy konzistentný, pretože vždy bol nula (triviálne ) Riešenie. Vzniká otázka, za akých podmienok bude mať homogénny systém netriviálne riešenie.
Veta 5.2.Homogénny systém má netriviálne riešenie vtedy a len vtedy, ak je poradie základnej matice menšie ako počet jej neznámych.
Dôsledok. Štvorcový homogénny systém má netriviálne riešenie práve vtedy, ak determinant hlavnej matice systému nie je rovný nule.
Príklad 5.6. Určte hodnoty parametra l, pre ktoré má systém netriviálne riešenia a nájdite tieto riešenia:
rozhodnutie. Tento systém bude mať netriviálne riešenie, keď sa determinant hlavnej matice rovná nule:
Systém je teda netriviálny, keď l=3 alebo l=2. Pre l=3 je poradie hlavnej matice systému 1. Potom ponecháme iba jednu rovnicu a predpokladáme, že r=a a z=b, dostaneme x=b-a, t.j.
Pre l=2 je poradie hlavnej matice systému 2. Potom ako základnú vedľajšiu vyberte:
dostaneme zjednodušený systém
Odtiaľ to nájdeme x=z/4, y=z/2. Za predpokladu z=4a, dostaneme
Súbor všetkých riešení homogénneho systému má veľmi dôležitý lineárna vlastnosť : ak X stĺpcov 1 a X 2 - roztoky homogénnej sústavy AX = 0, potom ľubovoľná ich lineárna kombinácia a X 1+b X 2 bude aj riešením tohto systému. Skutočne, pretože AX 1 = 0 a AX 2 = 0 , potom A(a X 1+b X 2) = a AX 1+b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Vďaka tejto vlastnosti, ak má lineárny systém viac riešení, potom týchto riešení bude nekonečne veľa.
Lineárne nezávislé stĺpce E 1 , E 2 , E k, ktoré sú riešeniami homogénnej sústavy, sa nazýva tzv základný rozhodovací systém homogénna sústava lineárnych rovníc, ak všeobecné riešenie tejto sústavy možno zapísať ako lineárnu kombináciu týchto stĺpcov:
Ak má homogénny systém n premenných a poradie hlavnej matice systému sa rovná r, potom k = n-r.
Príklad 5.7. Nájdite základný systém riešení nasledujúceho systému lineárnych rovníc:
rozhodnutie. Nájdite poradie hlavnej matice systému:
Množina riešení tohto systému rovníc teda tvorí lineárny podpriestor dimenzie n - r= 5 - 2 = 3. Ako základnú moll volíme
.
Potom, keď ponecháme len základné rovnice (zvyšok bude lineárna kombinácia týchto rovníc) a základné premenné (zvyšok, tzv. voľné premenné prenesieme doprava), dostaneme zjednodušený systém rovníc:
Za predpokladu X 3 = a, X 4 = b, X 5 = c, nájdeme
, 
.
Za predpokladu a= 1, b=c= 0, získame prvé zásadité riešenie; za predpokladu b= 1, a = c= 0, získame druhé zásadité riešenie; za predpokladu c= 1, a = b= 0, získame tretie zásadité riešenie. Výsledkom je, že normálny základný systém riešení nadobúda formu
Pomocou základného systému možno všeobecné riešenie homogénneho systému zapísať ako
X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a
Všimnime si niektoré vlastnosti riešení nehomogénnej sústavy lineárnych rovníc AX=B a ich vzťah so zodpovedajúcou homogénnou sústavou rovníc AX = 0.
Všeobecné riešenie nehomogénneho systémusa rovná súčtu všeobecného riešenia zodpovedajúcej homogénnej sústavy AX = 0 a ľubovoľného partikulárneho riešenia nehomogénnej sústavy. Skutočne, nech Y 0 je ľubovoľné partikulárne riešenie nehomogénneho systému, t.j. AY 0 = B a Y je všeobecné riešenie nehomogénneho systému, t.j. AY=B. Odčítaním jednej rovnosti od druhej dostaneme
A(Y-Y 0) = 0, t.j. Y-Y 0 je všeobecné riešenie zodpovedajúceho homogénneho systému AX=0. teda Y-Y 0 = X, alebo Y=Y 0 + X. Q.E.D.
Nech má nehomogénny systém tvar AX = B 1 + B 2 . Potom je možné všeobecné riešenie takéhoto systému zapísať ako X = X 1 + X 2 , kde AX 1 = B 1 a AX 2 = B 2. Táto vlastnosť vyjadruje univerzálnu vlastnosť akéhokoľvek lineárne systémy(algebraické, diferenciálne, funkčné atď.). Vo fyzike sa táto vlastnosť nazýva princíp superpozície v elektrotechnike a rádiotechnike - princíp prekrytia. Napríklad v teórii lineárnych elektrických obvodov možno prúd v akomkoľvek obvode získať ako algebraický súčet prúdov spôsobených každým zdrojom energie samostatne.
Lineárne systémy homogénne rovnice - má tvar ∑a k i x i = 0. kde m > n alebo m Homogénna sústava lineárnych rovníc je vždy konzistentná, keďže rangA = rangB . Určite má riešenie pozostávajúce z núl, ktoré je tzv triviálne.Pridelenie služby. Online kalkulačka je navrhnutá tak, aby našla netriviálne a zásadné riešenie SLAE. Výsledné riešenie sa uloží do súboru programu Word (pozri príklad riešenia).
Poučenie. Vyberte rozmer matice:
Veta. Systém v prípade m=n má netriviálne riešenie práve vtedy, ak je determinant tohto systému rovný nule.
Veta. Akákoľvek lineárna kombinácia riešení systému je tiež riešením tohto systému.
Definícia. Množina riešení sústavy lineárnych homogénnych rovníc sa nazýva základný rozhodovací systém ak táto kolekcia pozostáva z lineárne nezávislých riešení a akékoľvek riešenie sústavy je lineárnou kombináciou týchto riešení.
Veta. Ak je poradie r matice systému menšie ako počet n neznámych, potom existuje základný systém riešení pozostávajúci z (n-r) riešení.
Príklad. Nájdite základ sústavy vektorov (a 1 , a 2 ,...,a m), zoraďte a vyjadrite vektory podľa bázy. Ak a 1 = (0,0,1,-1) a 2 = (1,1,2,0) a 3 = (1,1,1,1) a 4 = (3,2,1 ,4) a 5 = (2,1,0,3).
Napíšeme hlavnú maticu systému:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Budeme pokračovať v leštení techniky elementárne transformácie
na homogénna sústava lineárnych rovníc.
Materiál môže podľa prvých odstavcov pôsobiť nudne a obyčajne, no tento dojem klame. Okrem ďalšieho rozvoja technických metód bude veľa nové informácie, preto sa snažte nezanedbávať príklady v tomto článku.
Odpoveď sa ponúka sama. Systém lineárnych rovníc je homogénny, ak je voľný člen každý systémová rovnica je nulová. Napríklad:
To je úplne jasné homogénny systém je vždy konzistentný, teda vždy má riešenie. A v prvom rade tzv triviálne rozhodnutie 
. Triviálne, pre tých, ktorí vôbec nechápu význam prídavného mena, znamená bespontovoe. Nie akademicky, samozrejme, ale zrozumiteľne =) ... Načo sa motať okolo, poďme zistiť, či má tento systém aj iné riešenia:
Príklad 1
rozhodnutie: na riešenie homogénnej sústavy je potrebné napísať systémová matica a pomocou elementárnych transformácií ho priviesť do stupňovitej podoby. Všimnite si, že tu nie je potrebné zapisovať zvislý pruh a nulový stĺpec voľných členov - pretože čokoľvek urobíte s nulami, zostanú nulové: 
(1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený -2. Prvý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený -3.
(2) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený -1.
Deliť tretí riadok 3 nedáva veľký zmysel.
V dôsledku elementárnych transformácií sa získa ekvivalentný homogénny systém 
a použitím spätného pohybu Gaussovej metódy je ľahké overiť, že riešenie je jedinečné.
Odpoveď: 
Sformulujme jasné kritérium: homogénna sústava lineárnych rovníc má len triviálne riešenie, ak systémová matica hodnosť(v tomto prípade 3) sa rovná počtu premenných (v tomto prípade 3 ks).
Zohrievame a ladíme naše rádio na vlnu elementárnych premien:
Príklad 2
Vyriešte homogénnu sústavu lineárnych rovníc 
Aby sme konečne opravili algoritmus, analyzujme poslednú úlohu:
Príklad 7
Vyriešte homogénnu sústavu, odpoveď napíšte vo vektorovej forme. 
rozhodnutie: napíšeme maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju dostaneme do stupňovitého tvaru: 
(1) Znamienko prvého riadku bolo zmenené. Opäť upozorňujem na opakovane sa stretávajúcu techniku, ktorá vám umožňuje výrazne zjednodušiť nasledujúci úkon.
(1) Prvý riadok bol pridaný k 2. a 3. riadku. Prvý riadok vynásobený 2 bol pridaný k 4. riadku.
(3) Posledné tri riadky sú pomerné, dva z nich boli vypustené.
V dôsledku toho sa získa štandardná kroková matica a riešenie pokračuje pozdĺž vrúbkovanej dráhy:
– základné premenné;
sú voľné premenné.
Základné premenné vyjadrujeme pomocou voľných premenných. Z druhej rovnice:
- nahradiť v 1. rovnici:
Takže všeobecné riešenie je:
Keďže v uvažovanom príklade sú tri voľné premenné, základný systém obsahuje tri vektory.
Nahraďte trojnásobok hodnôt 
do všeobecného riešenia a získajte vektor, ktorého súradnice spĺňajú každú rovnicu homogénneho systému. A opäť opakujem, že je veľmi žiaduce skontrolovať každý prijatý vektor - nezaberie to toľko času, ale stopercentne ušetrí chyby.
Pre trojnásobok hodnôt 
nájsť vektor
A nakoniec pre trojku 
dostaneme tretí vektor:
Odpoveď: , kde
Tí, ktorí sa chcú vyhnúť zlomkovým hodnotám, môžu zvážiť triplety 
a získajte odpoveď v ekvivalentnom tvare:
Keď už hovoríme o zlomkoch. Pozrime sa na maticu získanú v úlohe 
a polož si otázku - je možné zjednodušiť ďalšie riešenie? Napokon, najprv sme základnú premennú vyjadrili v zlomkoch, potom základnú premennú v zlomkoch a musím povedať, že tento proces nebol najjednoduchší a nie najpríjemnejší.
Druhé riešenie:
Cieľom je vyskúšať vyberte iné základné premenné. Pozrime sa na maticu a všimnime si dve jednotky v treťom stĺpci. Tak prečo nedostať nulu na vrchole? Urobme ešte jednu elementárnu transformáciu:
Homogénne sústavy lineárnych algebraických rovníc
V rámci lekcií Gaussova metóda a Nekompatibilné systémy/systémy so spoločným riešením zvažovali sme nehomogénne sústavy lineárnych rovníc, kde voľný člen(ktorý je zvyčajne vpravo) aspoň jeden rovníc bola iná ako nula.
A teraz, po dobrej rozcvičke s maticová hodnosť, budeme pokračovať v leštení techniky elementárne transformácie na homogénna sústava lineárnych rovníc.
Materiál môže podľa prvých odstavcov pôsobiť nudne a obyčajne, no tento dojem klame. Okrem ďalšieho vývoja techník bude veľa nových informácií, preto sa snažte nezanedbávať príklady v tomto článku.
Čo je homogénna sústava lineárnych rovníc?
Odpoveď sa ponúka sama. Systém lineárnych rovníc je homogénny, ak je voľný člen každý systémová rovnica je nulová. Napríklad:
To je úplne jasné homogénny systém je vždy konzistentný, teda vždy má riešenie. A v prvom rade tzv triviálne rozhodnutie 
. Triviálne, pre tých, ktorí vôbec nechápu význam prídavného mena, znamená bespontovoe. Nie akademicky, samozrejme, ale zrozumiteľne =) ... Načo sa motať okolo, poďme zistiť, či má tento systém nejaké iné riešenia:
Príklad 1
rozhodnutie: na riešenie homogénnej sústavy je potrebné napísať systémová matica a pomocou elementárnych transformácií ho priviesť do stupňovitej podoby. Všimnite si, že tu nie je potrebné zapisovať zvislý pruh a nulový stĺpec voľných členov - pretože čokoľvek urobíte s nulami, zostanú nulové: 
(1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený -2. Prvý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený -3.
(2) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený -1.
Deliť tretí riadok 3 nedáva veľký zmysel.
V dôsledku elementárnych transformácií sa získa ekvivalentný homogénny systém 
a použitím spätného pohybu Gaussovej metódy je ľahké overiť, že riešenie je jedinečné.
Odpoveď:
Sformulujme jasné kritérium: homogénna sústava lineárnych rovníc má len triviálne riešenie, ak systémová matica hodnosť(v tomto prípade 3) sa rovná počtu premenných (v tomto prípade 3 ks).
Zohrievame a ladíme naše rádio na vlnu elementárnych premien:
Príklad 2
Vyriešte homogénnu sústavu lineárnych rovníc 
Z článku Ako zistiť hodnosť matice? pripomíname racionálnu metódu náhodného znižovania čísel matice. V opačnom prípade budete musieť poraziť veľké a často hryzavé ryby. Príklad zadania na konci hodiny.
Nuly sú dobré a pohodlné, ale v praxi je oveľa bežnejší prípad, keď sú riadky matice systému lineárne závislé. A potom je nevyhnutný vzhľad všeobecného riešenia:
Príklad 3
Vyriešte homogénnu sústavu lineárnych rovníc 
rozhodnutie: napíšeme maticu sústavy a pomocou elementárnych transformácií ju privedieme do stupňovitého tvaru. Prvá akcia je zameraná nielen na získanie jednej hodnoty, ale aj na zníženie čísel v prvom stĺpci:
(1) Tretí riadok bol pridaný k prvému riadku, vynásobený -1. Tretí riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený -2. Vľavo hore som dostal jednotku s „mínusom“, čo je často oveľa pohodlnejšie pre ďalšie premeny.
(2) Prvé dva riadky sú rovnaké, jeden z nich bol odstránený. Úprimne povedané, neupravil som rozhodnutie - stalo sa. Ak vykonávate transformácie v šablóne, potom lineárna závislosť riadky sa objavia o niečo neskôr.
(3) K tretiemu riadku pridajte druhý riadok vynásobený 3.
(4) Znamienko prvého riadku bolo zmenené.
V dôsledku elementárnych transformácií sa získa ekvivalentný systém: 
Algoritmus funguje presne rovnako ako pre heterogénne systémy. Premenné „sedí na schodoch“ sú hlavné, premenná, ktorá nedostala „kroky“, je voľná.
Základné premenné vyjadrujeme pomocou voľnej premennej: 
Odpoveď: spoločné rozhodnutie: 
Triviálne riešenie je zahrnuté vo všeobecnom vzorci a nie je potrebné ho písať samostatne.
Overenie sa tiež vykonáva podľa obvyklej schémy: výsledné všeobecné riešenie sa musí dosadiť na ľavú stranu každej rovnice systému a pre všetky substitúcie sa získa legitímna nula.
S tým by sa dalo pokojne skončiť, ale riešenie homogénnej sústavy rovníc je často potrebné znázorniť vo vektorovej forme cez základný rozhodovací systém. Prosím, dočasne zabudnite analytická geometria, keďže teraz budeme hovoriť o vektoroch vo všeobecnom algebraickom zmysle, čo som mierne otvoril v článku o maticová hodnosť. Terminológiu nie je potrebné tieňovať, všetko je celkom jednoduché.
