V určitom bode a má spojité parciálne derivácie, z ktorých aspoň jedna nezaniká, potom v blízkosti tohto bodu bude plocha daná rovnicou (1) správny povrch.
Okrem vyššie uvedeného implicitný spôsob nastavenia povrch možno určiť jasne ak jedna z premenných, napríklad z, môže byť vyjadrená ako ostatné:
Je tu tiež parametrické spôsob zadania. V tomto prípade je povrch určený systémom rovníc:
Presnejšie, jednoduchý povrch sa nazýva obraz homeomorfného zobrazenia (t. j. zobrazenie jedna ku jednej a vzájomne spojité zobrazenie) vnútra jednotkového štvorca. Táto definícia môže byť vyjadrená analyticky.
Pustite do lietadla s pravouhlý systém súradnice u a v dané štvorcom, súradnice vnútorné body ktoré spĺňajú nerovnosti 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").
Príklad jednoduchý povrch je hemisféra. Celá guľa nie je jednoduchý povrch... To si vyžaduje ďalšie zovšeobecnenie pojmu povrch.
Podmnožina priestoru, ktorej každý bod má susedstvo, ktoré je jednoduchý povrch sa volá správny povrch .
Helicoid
Catenoid
Metrika jednoznačne nedefinuje tvar povrchu. Napríklad metriky helikoidu a katenoidu, podľa toho parametrizované, sa zhodujú, to znamená, že medzi ich oblasťami existuje zhoda, ktorá zachováva všetky dĺžky (izometria). Vlastnosti zachované pri izometrických transformáciách sú tzv vnútorná geometria povrch. Vnútorná geometria nezávisí od polohy povrchu v priestore a nemení sa, keď sa ohýba bez napätia alebo stlačenia (napríklad keď je valec ohnutý do kužeľa).
Metrické koeficienty určujú nielen dĺžky všetkých kriviek, ale vo všeobecnosti výsledky všetkých meraní vo vnútri povrchu (uhly, plochy, zakrivenie atď.). Preto všetko, čo závisí len od metriky, sa vzťahuje na vnútornú geometriu.
Normálne vektory v povrchových bodoch
Jednou z hlavných charakteristík povrchu je jeho normálne- jednotkový vektor kolmý na dotyčnú rovinu v danom bode:
.
Znak normály závisí od výberu súradníc.
Rez plochy rovinou obsahujúcou normálu (v danom bode) tvorí na ploche nejakú krivku, ktorá je tzv normálny úsek povrch. Hlavná normála pre normálny rez sa zhoduje s normálou k povrchu (až po znamienko).
Ak krivka na ploche nie je normálovým rezom, potom jej hlavná normála zviera s normálou plochy určitý uhol θ. Potom zakrivenie k krivka spojená so zakrivením k n normálny rez (s rovnakou dotyčnicou) podľa Meunierovho vzorca:
Ort súradnice normály pre rôzne spôsoby definovania povrchu sú uvedené v tabuľke:
| Normálne súradnice v bode povrchu | |
|---|---|
| implicitné zadanie |  |
| explicitné zadanie |  |
| parametrické priradenie |  |
Pre rôzne smery v danom bode povrchu sa získa rôzne zakrivenie normálneho rezu, ktoré sa nazýva normálne zakrivenie; priradí sa jej znamienko plus, ak hlavná normála krivky ide v rovnakom smere ako normála k povrchu, alebo mínus, ak sú smery normály opačné.
Všeobecne povedané, v každom bode povrchu existujú dva kolmé smery e 1 a e 2, v ktorom má normálne zakrivenie minimálne a maximálne hodnoty; tieto smery sa nazývajú hlavný... Výnimkou je prípad, keď je normálové zakrivenie rovnaké vo všetkých smeroch (napríklad v blízkosti gule alebo na konci rotačného elipsoidu), potom sú všetky smery v bode hlavné.
Plochy so záporným (vľavo), nulovým (v strede) a pozitívnym (vpravo) zakrivením.
Normálne zakrivenia v hlavných smeroch sa nazývajú hlavné zakrivenia; označme ich κ 1 a κ 2. množstvo:
K= K 1 K 2volal Gaussovo zakrivenie, plné zakrivenie alebo jednoducho zakrivenie povrch. Existuje aj termín skalárne zakrivenie, čo znamená výsledok konvolúcie tenzora zakrivenia; v tomto prípade je skalárne zakrivenie dvakrát väčšie ako Gaussovo zakrivenie.
Gaussovo zakrivenie možno vypočítať pomocou metriky, a preto je predmetom vnútornej geometrie povrchov (všimnite si, že hlavné zakrivenia sa nevzťahujú na vnútornú geometriu). Podľa znamienka zakrivenia môžete klasifikovať body na povrchu (pozri obrázok). Zakrivenie roviny je nulové. Zakrivenie gule s polomerom R je všade rovnaké. Existuje aj povrch konštantného negatívneho zakrivenia - pseudosféra.
Krivka na ploche je tzv geodetická čiara, alebo jednoducho geodetický ak sa vo všetkých jej bodoch hlavná normála ku krivke zhoduje s normálou k povrchu. Príklad: na rovine budú geodetikou priame čiary a úsečky, na gule - veľké kruhy a ich úsečky.
Ekvivalentná definícia: pre geodetickú priamku má priemet jej hlavnej normály na susednú rovinu nulový vektor. Ak krivka nie je geodetická, potom je indikovaná projekcia nenulová; jeho dĺžka je tzv geodetické zakrivenie k g krivka na povrchu. Existuje pomer:
,
kde k- zakrivenie tejto krivky, k n- zakrivenie jeho normálového rezu s rovnakou dotyčnicou.
Geodetické čiary sa vzťahujú na vnútornú geometriu. Uveďme si ich hlavné vlastnosti.
Ďalšou dôležitou vlastnosťou povrchu je jeho námestie, ktorý sa vypočíta podľa vzorca:
V súradniciach dostaneme:
| explicitné zadanie | parametrické priradenie | |
|---|---|---|
| výraz pre oblasť |  |
Teda to, čo vidíte v nadpise. V podstate ide o „priestorový analóg“ problém nájsť dotyčnicu a normálnosti ku grafu funkcie jednej premennej, a preto by nemali nastať žiadne ťažkosti.
Začnime niekoľkými základnými otázkami: ČO JE tangensová rovina a ČO JE normála? Mnohí si tieto pojmy uvedomujú na úrovni intuície. Najjednoduchší model, ktorý vám príde na myseľ, je guľa, na ktorej spočíva tenký plochý kus kartónu. Kartón je umiestnený čo najbližšie ku gule a dotýka sa jej v jedinom bode. Okrem toho je v mieste dotyku upevnený ihlou, ktorá trčí priamo nahor.
Teoreticky existuje pomerne dômyselná definícia dotykovej roviny. Predstavte si svojvoľnosť povrch a bod k tomu patriaci. Očividne veľa priestorové línie ktoré patria k tomuto povrchu. Kto má aké asociácie? =) ... osobne som predstavil chobotnicu. Predpokladajme, že každý takýto riadok má priestorová dotyčnica v bode.
Definícia 1: dotyková rovina na povrch v bode je lietadlo obsahujúci dotyčnice ku všetkým krivkám, ktoré patria tomuto povrchu a prechádzajú bodom.
Definícia 2: normálne na povrch v bode je rovno prechádzajúci týmto bodom kolmým na dotykovú rovinu.
Jednoduché a elegantné. Mimochodom, aby ste neumreli od nudy z jednoduchosti materiálu, o niečo neskôr sa s vami podelím o jedno elegantné tajomstvo, ktoré vám umožní RAZ A NAVŽDY zabudnúť na napchávanie rôznych definícií.
S pracovnými vzorcami a algoritmom riešenia sa zoznámime priamo na konkrétnom príklade. V drvivej väčšine problémov je potrebné zostaviť rovnicu dotyčnicovej roviny aj rovnice normály:
Príklad 1
Riešenie: ak je povrch daný rovnicou (t.j. implicitne), potom rovnicu dotykovej roviny k danému povrchu v bode možno nájsť podľa nasledujúceho vzorca:
Osobitnú pozornosť venujem nezvyčajným parciálnym derivátom - ich nenechať sa zmiasť S parciálne derivácie implicitne definovanej funkcie (hoci povrch je implicitne špecifikovaný)... Pri hľadaní týchto derivátov sa musíte riadiť pravidlá diferenciácie funkcie troch premenných, to znamená, že pri diferenciácii vzhľadom na akúkoľvek premennú sa ostatné dve písmená považujú za konštanty:
Bez toho, aby sme opustili pokladňu, nájdeme čiastočnú deriváciu v bode:
Podobne: 
Toto bol najnepríjemnejší moment rozhodnutia, v ktorom sa chyba, ak nie je povolená, potom neustále objavuje. Napriek tomu tu existuje účinná overovacia technika, o ktorej som hovoril v lekcii Smerová derivácia a gradient.
Všetky "ingrediencie" boli nájdené a teraz je to úhľadná náhrada s ďalšími zjednodušeniami: 
– všeobecná rovnica požadovaná dotyková rovina.
Dôrazne odporúčam skontrolovať aj túto fázu riešenia. Najprv sa musíte uistiť, že súradnice dotykového bodu skutočne spĺňajú nájdenú rovnicu: 
- skutočná rovnosť.
Teraz "odstránime" koeficienty všeobecná rovnica roviny a skontrolujte ich zhodu alebo proporcionalitu s príslušnými hodnotami. V tomto prípade sú proporcionálne. Pamätáte si z kurz analytickej geometrie, - to normálny vektor dotyková rovina a je to - smerový vektor normálna priamka. Poďme skladať kanonické rovnice normály podľa bodového a smerového vektora: 
V zásade môžu byť menovatele znížené o „dva“, ale nie je to potrebné
Odpoveď:
Nie je zakázané označovať rovnice nejakými písmenami, opäť však - prečo? Tu, a tak je úplne jasné, o čo ide.
Nasledujúce dva príklady sú pre nezávislé rozhodnutie... Malý "matematický jazykolam":
Príklad 2
Nájdite rovnice dotykovej roviny a normály k povrchu v bode.
A úloha, ktorá je zaujímavá z technického hľadiska:
Príklad 3
Napíšte rovnice pre dotykovú rovinu a normálu k povrchu v bode
V bode.
Existuje možnosť nielen zmiasť, ale aj čeliť ťažkostiam pri nahrávaní kanonické rovnice priamky... A rovnice normálu, ako ste pravdepodobne pochopili, sú zvyčajne napísané v tejto forme. Aj keď kvôli zabudnutiu alebo neznalosti niektorých nuancií je parametrická forma viac ako prijateľná.
Vzorové príklady dokončovacích riešení na konci lekcie.
Existuje dotyková rovina v niektorom bode na povrchu? Vo všeobecnosti samozrejme nie. Klasickým príkladom je skosený povrch 
a bod - dotyčnice v tomto bode tvoria priamo kužeľovú plochu a samozrejme neležia v rovnakej rovine. Je ľahké sa analyticky presvedčiť o problémoch:.
Ďalším zdrojom problémov je skutočnosť neexistencia akákoľvek parciálna derivácia v bode. To však neznamená, že v danom bode neexistuje jedna dotyková rovina.
Ale bola to skôr populárna veda ako prakticky významná informácia a my sa vraciame k našim každodenným záležitostiam:
Poďme to implicitne prepísať:
A podľa rovnakých princípov nájdeme parciálne derivácie: 
Vzorec pre dotykovú rovinu sa teda transformuje na nasledujúcu rovnicu:
A podľa toho kanonické normálne rovnice:
Ako asi tušíte, 
- tieto sú už "skutočné" parciálne derivácie funkcie dvoch premenných v bode, ktorý sme zvykli označovať písmenom „z“ a našli sme ho 100 500-krát.
Všimnite si, že v tomto článku si stačí zapamätať úplne prvý vzorec, z ktorého sa v prípade potreby dá ľahko odvodiť všetko ostatné. (pochopiteľne so základnou úrovňou školenia)... Toto je prístup, ktorý by sa mal používať pri štúdiu exaktných vied, t.j. z minima informácií sa treba snažiť „vytiahnuť“ maximum záverov a dôsledkov. "Soobrazhalovka" a už existujúce znalosti pomôcť! Tento princíp je užitočný aj v tom, že vás pravdepodobne zachráni v kritickej situácii, keď viete veľmi málo.
Poďme vypracovať "upravené" vzorce s niekoľkými príkladmi:
Príklad 4
Napíšte rovnice pre dotykovú rovinu a normálu k povrchu 
v bode.
Tu sa ukázalo malé prekrytie s označeniami - teraz písmeno označuje bod na rovine, ale čo robiť - také populárne písmeno….
Riešenie: rovnica požadovanej dotykovej roviny je zostavená podľa vzorca:
Vypočítajme hodnotu funkcie v bode:
Poďme počítať Parciálne deriváty 1. rádu v tomto bode: 
Touto cestou:
opatrne, nie v zhone: 
Kanonické rovnice normály zapíšeme v bode: 
Odpoveď:
A posledný príklad riešenia „urob si sám“:
Príklad 5
Napíšte rovnice pre dotykovú rovinu a normálu k povrchu v bode.
Posledný - pretože v skutočnosti som vysvetlil všetky technické body a nie je čo dodať. Aj samotné funkcie, ponúkané v tejto úlohe, sú fádne a monotónne – v praxi je takmer zaručené, že narazíte na „polynóm“ a v tomto zmysle príklad č.2 s exponentom vyzerá ako „čierna ovca“. Mimochodom, je oveľa pravdepodobnejšie, že sa stretne s povrchom daný rovnicou a to je ďalší dôvod, prečo bola funkcia zaradená do článku „druhé číslo“.
A nakoniec, sľúbené tajomstvo: ako sa môžete vyhnúť preplneným definíciám? (Nemyslím tým samozrejme situáciu, keď študent pred skúškou niečo zbesilo napcháva)
Definícia akéhokoľvek pojmu / javu / objektu dáva v prvom rade odpoveď ďalšia otázka: ČO TO JE? (kto / taký / taký / taký). vedome pri odpovedi na túto otázku by ste sa mali pokúsiť zamyslieť nevyhnutné znamenia, jednoznačne identifikácia toho či onoho pojmu / javu / objektu. Áno, spočiatku sa to ukáže byť trochu jazykové, nepresné a nadbytočné (učiteľ opraví =)), ale časom sa vyvinie úplne slušná vedecká reč.
Cvičte napríklad na najabstraktnejších predmetoch, odpovedzte na otázku: kto je Cheburashka? Nie je to také jednoduché ;-) Ide o „rozprávkovú postavičku s veľké uši, oči a hnedá srsť "? Ďaleko a veľmi ďaleko od definície - nikdy neviete, že existujú postavy s takými vlastnosťami .... Ale toto je už oveľa bližšie k definícii: „Cheburashka je postava, ktorú vymyslel spisovateľ Eduard Uspensky v roku 1966, ktorý ... (zoznam hlavných charakteristické rysy)» ... Všimnite si, ako dobre to začalo
Povrch je definovaný ako množina bodov, ktorých súradnice spĺňajú určitú formu rovníc:
F (x, y, z) = 0 (1) (\ štýl zobrazenia F (x, \, y, \, z) = 0 \ qquad (1))Ak je funkcia F (x, y, z) (\ štýl zobrazenia F (x, \, y, \, z)) je v určitom bode spojitá a má v sebe spojité parciálne derivácie, z ktorých aspoň jedna nezaniká, potom v blízkosti tohto bodu bude plocha daná rovnicou (1) správny povrch.
Okrem vyššie uvedeného implicitný spôsob nastavenia, možno definovať povrch jasne, ak jednu z premenných, napríklad z, možno vyjadriť ako ostatné:
z = f (x, y) (1 ′) (\ štýl zobrazenia z = f (x, y) \ qquad (1“))Prísnejšie, jednoduchý povrch sa nazýva obraz homeomorfného zobrazenia (t. j. zobrazenie jedna ku jednej a vzájomne spojité zobrazenie) vnútra jednotkového štvorca. Táto definícia môže byť vyjadrená analyticky.
Nech je daný štvorec na rovine s pravouhlým súradnicovým systémom uav, ktorého súradnice vnútorných bodov spĺňajú nerovnosti 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").
Príklad jednoduchý povrch je hemisféra. Celá guľa nie je jednoduchý povrch... To si vyžaduje ďalšie zovšeobecnenie pojmu povrch.
Podmnožina priestoru, ktorej každý bod má susedstvo, ktoré je jednoduchý povrch sa volá správny povrch .
Helicoid
Catenoid
Metrika jednoznačne nedefinuje tvar povrchu. Napríklad metriky helikoidu a katenoidu, podľa toho parametrizované, sa zhodujú, to znamená, že medzi ich oblasťami existuje zhoda, ktorá zachováva všetky dĺžky (izometria). Vlastnosti zachované pri izometrických transformáciách sú tzv vnútorná geometria povrch. Vnútorná geometria nezávisí od polohy povrchu v priestore a nemení sa, keď sa ohýba bez napätia alebo stlačenia (napríklad keď je valec ohnutý do kužeľa).
Metrické koeficienty E, F, G (\ štýl zobrazenia E, \ F, \ G) určiť nielen dĺžky všetkých kriviek, ale vo všeobecnosti výsledky všetkých meraní vo vnútri povrchu (uhly, plochy, zakrivenie atď.). Preto všetko, čo závisí len od metriky, sa vzťahuje na vnútornú geometriu.
Normálne vektory v povrchových bodoch
Jednou z hlavných charakteristík povrchu je jeho normálne- jednotkový vektor kolmý na dotyčnú rovinu v danom bode:
m = [r u ′, r v ′] | [r u ′, r v ′] | (\ displaystyle \ mathbf (m) = (\ frac ([\ mathbf (r "_ (u)), \ mathbf (r" _ (v))]) (| [\ mathbf (r "_ (u)) , \ mathbf (r "_ (v))] |))).Znak normály závisí od výberu súradníc.
Rez plochy rovinou obsahujúcou normálu plochy v danom bode tvorí určitú krivku, ktorá je tzv normálny úsek povrch. Hlavná normála pre normálny rez sa zhoduje s normálou k povrchu (až po znamienko).
Ak krivka na povrchu nie je normálnou sekciou, potom jej hlavná normála zviera určitý uhol s normálou povrchu θ (\ štýl zobrazenia \ theta)... Potom zakrivenie k (\ štýl zobrazenia k) krivka spojená so zakrivením k n (\ štýl zobrazenia k_ (n)) normálny rez (s rovnakou dotyčnicou) podľa Meunierovho vzorca:
k n = ± k cos θ (\ štýl zobrazenia k_ (n) = \ pm k \, \ cos \, \ theta)Ort súradnice normály pre rôzne spôsoby definovania povrchu sú uvedené v tabuľke:
| Normálne súradnice v bode povrchu | |
|---|---|
| implicitné zadanie | (∂ F ∂ x; ∂ F ∂ y; ∂ F ∂ z) (∂ F ∂ x) 2 + (∂ F ∂ y) 2 + (∂ F ∂ z) 2 (\ štýl zobrazenia (\ frac (\ vľavo (( \ frac (\ čiastočné F) (\ čiastočné x)); \, (\ frac (\ čiastočné F) (\ čiastočné y)); \, (\ frac (\ čiastočné F) (\ čiastočné z)) \ vpravo) ) (\ sqrt (\ vľavo ((\ frac (\ čiastočné F) (\ čiastočné x)) \ vpravo) ^ (2) + \ vľavo ((\ frac (\ čiastočné F) (\ čiastočné y)) \ vpravo) ^ (2) + \ vľavo ((\ frac (\ čiastočné F) (\ čiastočné z)) \ vpravo) ^ (2))))) |
| explicitné zadanie | (- ∂ f ∂ x; - ∂ f ∂ y; 1) (∂ f ∂ x) 2 + (∂ f ∂ y) 2 + 1 (\ štýl zobrazenia (\ frac (\ vľavo (- (\ frac (\ čiastočný f) ) (\ čiastočné x)); \, - (\ frac (\ čiastočné f) (\ čiastočné y)); \, 1 \ vpravo)) (\ sqrt (\ vľavo ((\ frac (\ čiastočné f) (\ čiastočné x)) \ vpravo) ^ (2) + \ vľavo ((\ frac (\ čiastočné f) (\ čiastočné y)) \ vpravo) ^ (2) +1)))) |
| parametrické priradenie | (D (y, z) D (u, v); D (z, x) D (u, v); D (x, y) D (u, v)) (D (y, z) D (u , v)) 2 + (D (z, x) D (u, v)) 2 + (D (x, y) D (u, v)) 2 (\ štýl zobrazenia (\ frac (\ vľavo ((\ frac) (D (y, z)) (D (u, v))); \, (\ frac (D (z, x)) (D (u, v))); \, (\ frac (D (x , y)) (D (u, v))) \ vpravo)) (\ sqrt (\ vľavo ((\ frac (D (y, z)) (D (u, v))) \ vpravo) ^ (2 ) + \ vľavo ((\ frac (D (z, x)) (D (u, v))) \ vpravo) ^ (2) + \ vľavo ((\ frac (D (x, y)) (D ( u, v))) \ vpravo) ^ (2))))) |
Tu D (y, z) D (u, v) = | y u ′ y v ′ z u ′ z v “ | , D (z, x) D (u, v) = | z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ | , D (x, y) D (u, v) = | x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | (\ displaystyle (\ frac (D (y, z)) (D (u, v))) = (\ begin (vmatrix) y "_ (u) & y" _ (v) \\ z "_ (u ) & z "_ (v) \ koniec (vmatica)), \ quad (\ frac (D (z, x)) (D (u, v))) = (\ begin (vmatica) z“ _ (u) & z " _ (v) \\ x "_ (u) & x" _ (v) \ koniec (vmatica)), \ quad (\ frac (D (x, y)) (D (u, v)) ) = (\ začiatok (vmatica) x "_ (u) & x" _ (v) \\ y "_ (u) & y" _ (v) \ koniec (vmatica)))).
Všetky deriváty sa berú v bode (x 0, y 0, z 0) (\ štýl zobrazenia (x_ (0), y_ (0), z_ (0))).
Pre rôzne smery v danom bode povrchu sa získa rôzne zakrivenie normálneho rezu, ktoré sa nazýva normálne zakrivenie; priradí sa jej znamienko plus, ak hlavná normála krivky ide v rovnakom smere ako normála k povrchu, alebo mínus, ak sú smery normály opačné.
Všeobecne povedané, v každom bode povrchu existujú dva kolmé smery e 1 (\ štýl zobrazenia e_ (1)) a e 2 (\ štýl zobrazenia e_ (2)), v ktorom normálne zakrivenie nadobúda minimálne a maximálne hodnoty; tieto smery sa nazývajú hlavný... Výnimkou je prípad, keď je normálové zakrivenie rovnaké vo všetkých smeroch (napríklad v blízkosti gule alebo na konci rotačného elipsoidu), potom sú všetky smery v bode hlavné.
Plochy so záporným (vľavo), nulovým (v strede) a pozitívnym (vpravo) zakrivením.
Normálne zakrivenia v hlavných smeroch sa nazývajú hlavné zakrivenia; označujú ich κ 1 (\ displaystyle \ kappa _ (1)) a κ 2 (\ displaystyle \ kappa _ (2))... množstvo:
K = κ 1 κ 2 (\ štýl zobrazenia K = \ kappa _ (1) \ kappa _ (2))nazývané Gaussovo zakrivenie, celkové zakrivenie alebo jednoducho zakrivenie povrchu. Existuje aj termín skalárne zakrivenie, čo znamená výsledok konvolúcie tenzora zakrivenia; v tomto prípade je skalárne zakrivenie dvakrát väčšie ako Gaussovo zakrivenie.
Gaussovo zakrivenie možno vypočítať pomocou metriky, a preto je predmetom vnútornej geometrie povrchov (všimnite si, že hlavné zakrivenia sa nevzťahujú na vnútornú geometriu). Podľa znamienka zakrivenia môžete klasifikovať body na povrchu (pozri obrázok). Zakrivenie roviny je nulové. Zakrivenie gule s polomerom R je všade rovné 1 R 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (R ^ (2))))... Existuje tiež povrch s konštantným negatívnym zakrivením -
Nech máme povrch daný rovnicou tvaru
Uveďme si nasledujúcu definíciu.
Definícia 1. Priamka sa nazýva dotyčnica k povrchu v určitom bode, ak je
dotyčnica akejkoľvek krivky ležiacej na povrchu a prechádzajúcej bodom.
Pretože bodom P prechádza nekonečné množstvo rôznych kriviek ležiacich na povrchu, potom bude vo všeobecnosti existovať nekonečná množina dotyčníc k povrchu prechádzajúcich týmto bodom.
Predstavme si pojem singulárne a obyčajné body plochy
Ak sa v určitom bode všetky tri derivácie rovnajú nule alebo aspoň jedna z týchto derivácií neexistuje, potom sa bod M nazýva singulárny bod plochy. Ak v určitom bode existujú všetky tri derivácie a sú spojité a aspoň jedna z nich je nenulová, potom sa bod M nazýva obyčajný bod plochy.
Teraz môžeme vysloviť nasledujúcu vetu.
Veta. Všetky dotyčnice k danej ploche (1) v jej obyčajnom bode P ležia v rovnakej rovine.
Dôkaz. Uvažujme na ploche nejakú priamku L (obr. 206) prechádzajúcu daným bodom P plochy. Nech je uvažovaná krivka daná parametrickými rovnicami
Tangenta ku krivke bude dotyčnica k povrchu. Rovnice tejto dotyčnice majú tvar
Ak sa do rovnice (1) dosadia výrazy (2), potom sa táto rovnica zmení na identitu vzhľadom na t, keďže krivka (2) leží na ploche (1). Rozlíšiť to tým, že dostaneme
Projekcie tohto vektora závisia od - súradníc bodu P; všimnite si, že keďže bod P je obyčajný, tieto projekcie v bode P súčasne nezmiznú a preto
dotyčnica ku krivke prechádzajúcej bodom P a ležiacej na ploche. Projekcie tohto vektora sú vypočítané na základe rovníc (2) s hodnotou parametra t zodpovedajúcou bodu P.
Poďme počítať skalárny produkt vektorov N a ktorý sa rovná súčtu súčinov rovnomenných projekcií:
Na základe rovnosti (3) sa výraz na pravej strane rovná nule, preto
Z poslednej rovnosti vyplýva, že vektor ЛГ a vektor dotyčnice ku krivke (2) v bode Р sú kolmé. Vyššie uvedená úvaha platí pre akúkoľvek krivku (2) prechádzajúcu bodom P a ležiacu na povrchu. V dôsledku toho je každá dotyčnica k povrchu v bode P kolmá na rovnaký vektor N, a preto všetky tieto dotyčnice ležia v rovnakej rovine kolmej na vektor ЛГ. Veta je dokázaná.
Definícia 2. Rovina, v ktorej sa nachádzajú všetky dotyčnice k priamkam na ploche prechádzajúcich daným bodom P, sa nazýva dotyková rovina plochy v bode P (obr. 207).
Všimnite si, že dotyková rovina nemusí existovať v singulárnych bodoch povrchu. V takýchto bodoch nemusia dotyčnice k povrchu ležať v rovnakej rovine. Takže napríklad vrchol skosenej plochy je singulárny bod.
Tangenty ku kužeľovej ploche v tomto bode neležia v rovnakej rovine (samotné tvoria kužeľovú plochu).
Napíšme rovnicu dotykovej roviny k ploche (1) v obyčajnom bode. Keďže táto rovina je kolmá na vektor (4), potom má jej rovnica tvar
Ak je rovnica povrchu uvedená v tvare alebo rovnica dotykovej roviny v tomto prípade má tvar
Komentujte. Ak zadáme vzorec (6), potom tento vzorec získa tvar
jeho pravá strana predstavuje úplný diferenciál funkcie. Preto, . Totálny diferenciál funkcie dvoch premenných v bode zodpovedajúcom prírastkom nezávislých premenných x a y sa teda rovná zodpovedajúcemu prírastku aplikácie dotyčnicovej roviny k povrchu, čo je graf tejto funkcie.
Definícia 3. Priamka vedená bodom plochy (1) kolmým na dotykovú rovinu sa nazýva normála k ploche (obr. 207).
Dotykové roviny hrajú v geometrii veľkú úlohu. Konštrukcia dotykových rovín z praktického hľadiska je dôležitá, pretože ich prítomnosť vám umožňuje určiť smer normály k povrchu v bode dotyku. Tento problém je široko používaný v inžinierskej praxi. Dotykové roviny sa používajú aj na konštrukciu obrysov geometrických tvarov ohraničených uzavretými plochami. Teoreticky sa roviny dotýkajúce sa povrchu používajú v diferenciálnej geometrii na štúdium vlastností povrchu v blízkosti bodu dotyku.
Základné pojmy a definície
Rovina dotýkajúca sa povrchu by sa mala považovať za hraničnú polohu roviny sečnice (analogicky s priamkou dotyčnicou ku krivke, ktorá je tiež definovaná ako hraničná poloha roviny sečny).
Rovina dotýkajúca sa povrchu v danom bode na povrchu je množina všetkých priamok - dotyčníc vedených k povrchu cez daný bod.
V diferenciálnej geometrii je dokázané, že všetky dotyčnice k ploche nakreslenej v obyčajnom bode sú koplanárne (patria do rovnakej roviny).
Poďme zistiť, ako je nakreslená čiara dotýkajúca sa povrchu. Dotyčnica t k ploche β v bode M špecifikovanom na ploche (obr. 203) predstavuje limitnú polohu sečnice lj pretínajúcej plochu v dvoch bodoch (MM 1, MM 2, ..., MM n), keď priesečníky sa zhodujú (M ≡ M n, ln ≡ l M). Je zrejmé, že (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, pretože g ⊂ β. Z vyššie uvedeného vyplýva nasledujúca definícia: dotyčnica k ploche je priamka dotyčnica k ľubovoľnej krivke patriacej k ploche.
Keďže rovina je definovaná dvoma pretínajúcimi sa priamkami, potom na určenie roviny dotýkajúcej sa plochy v danom bode stačí nakresliť cez tento bod dve ľubovoľné priamky patriace ploche (najlepšie jednoduchého tvaru) a ku každej z nich konštruujú dotyčnice v priesečníku týchto priamok... Zostrojené dotyčnice jednoznačne definujú dotyčnicovú rovinu. Vizuálne znázornenie kresby roviny α, dotýkajúcej sa plochy β v danom bode M, je uvedené na obr. 204. Tento obrázok ukazuje aj normálu n k ploche β.
Normálou k povrchu v danom bode je priamka kolmá na dotykovú rovinu a prechádzajúca dotykovým bodom.
Priamka priesečníka plochy s rovinou prechádzajúcou normálou sa nazýva normálový rez plochy. V závislosti od typu povrchu môže mať dotyčnica jeden alebo viacero bodov (priamok) s povrchom. Dotyčnica môže byť zároveň priesečníkom plochy s rovinou.
Možné sú aj prípady, keď sú na povrchu body, v ktorých nie je možné nakresliť dotyčnicu k povrchu; takéto body sa nazývajú špeciálne. Ako príklad singulárne body je možné priviesť body prislúchajúce k hrane návratu plochy trupu alebo priesečník meridiánu rotačnej plochy s jej osou, ak sa meridián a os nepretínajú v pravom uhle.
Typy tangencie závisia od charakteru zakrivenia povrchu.
Zakrivenie povrchu
Otázkami zakrivenia povrchu sa zaoberal francúzsky matematik F. Dupin (1784-1873), ktorý navrhol vizuálny spôsob zobrazenia zmeny zakrivenia normálnych úsekov povrchu.
Na tento účel sa v rovine dotyčnice k uvažovanému povrchu v bode M (obr. 205, 206) položia segmenty rovnajúce sa druhým odmocninám hodnôt zodpovedajúcich polomerov zakrivenia týchto úsekov na dotyčnice k normálne úseky na oboch stranách tohto bodu. Množina bodov – konce segmentov vymedzujú krivku tzv Dupinov indikatrix... Algoritmus na konštrukciu Dupinovej indikatrix (obr. 205) možno napísať:
1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;
2. = √ (Rl 1), = √ (Rl 2), ..., = √ (Rl n)
kde R je polomer zakrivenia.
(A 1 ∪ А 2 ∪ ... ∪ А n) je Dupinova indikatrix.
Ak je Dupinova orientačná čiara povrchu elipsa, potom sa bod M nazýva eliptický a povrch sa nazýva povrch s eliptickými bodmi.(obr. 206). V tomto prípade má dotyková rovina iba jeden spoločný bod s povrchom a všetky čiary patriace k povrchu a pretínajúce sa v uvažovanom bode sú umiestnené na jednej strane dotykovej roviny. Príklady plôch s eliptickými bodmi sú: rotačný paraboloid, rotačný elipsoid, guľa (v tomto prípade Dupinova indikácia je kruh atď.).
Pri kreslení dotykovej roviny k povrchu trupu sa rovina dotkne tohto povrchu pozdĺž priamej tvoriacej čiary. Body tejto priamky sa nazývajú parabolický a povrch je povrch s parabolickými bodmi... Dupinova indikatrix sú v tomto prípade dve rovnobežné priame čiary (obr. 207 *).
Na obr. 208 znázorňuje povrch pozostávajúci z bodov, na ktorých
* Krivka druhého rádu - parabola - sa môže za určitých podmienok rozdeliť na dve skutočné rovnobežné priamky, dve imaginárne rovnobežné priamky, dve zhodné priamky. Na obr. 207 máme do činenia s dvoma skutočnými rovnobežnými čiarami.
Dotyková rovina pretína povrch. Takýto povrch je tzv hyperbolický a body k tomu patriace - hyperbolické body. Dupinova indikatrix je v tomto prípade hyperbola.
Plocha, ktorej všetky body sú hyperbolické, má tvar sedla (šikmá rovina, jednovrstvový hyperboloid, konkávne rotačné plochy atď.).
Jedna plocha môže mať body odlišné typy napríklad pri povrchu trupu (obr. 209) je bod M eliptický; bod N - parabolický; bod K je hyperbolický.
V priebehu diferenciálnej geometrie sa dokázalo, že normálne úseky, v ktorých hodnoty zakrivenia Kj = 1 / Rj (kde Rj je polomer zakrivenia uvažovaného úseku) majú extrémne hodnoty, sa nachádzajú v dvoch vzájomne kolmé roviny.
Takéto zakrivenia K 1 = 1 / R max. K 2 = 1 / R min sa nazývajú hlavné a hodnoty H = (K 1 + K 2) / 2 a K = K 1 K 2 sú priemerné zakrivenie povrchu a celkové (Gaussovo) zakrivenie povrchu v uvažovanom bode. Pre eliptické body K> 0, hyperbolické body K
Určenie roviny dotyčnice k povrchu na Mongeovom grafe
Nižšie na konkrétnych príkladoch ukážeme konštrukciu rovinnej dotyčnice k povrchu s eliptickými (príklad 1), parabolickými (príklad 2) a hyperbolickými (príklad 3) bodmi.
PRÍKLAD 1. Zostrojte rovinu α, dotyčnicu k rotačnej ploche β, s elipsovitými bodmi. Zvážte dve možnosti riešenia tohto problému, a) bod М ∈ β ab) bod М ∉ β
Možnosť a (obr. 210).
Dotyková rovina je definovaná dvoma dotyčnicami t 1 a t 2 vedenými v bode M k rovnobežke a poludníku plochy β.
Priemet dotyčnice t 1 k rovnobežke h plochy β bude t "1 ⊥ (S" M ") a t" 1 || os x. Horizontálny priemet dotyčnice t "2 k poludníku d plochy β prechádzajúcej bodom M sa zhoduje s horizontálnym priemetom poludníka. Na nájdenie čelného priemetu dotyčnice t" 2 je poludníková rovina γ (γ ∋) М) otáčaním okolo osi plochy β sa prenesie do polohy γ 1 rovnobežnej s rovinou π 2. V tomto prípade bod M → M 1 (M "1, M" 1). Priemet dotyčnice t "2 rarr; t" 2 1 je definovaný (M "1 S"). Ak teraz vrátime rovinu γ 1 do pôvodnej polohy, potom bod S "zostane na mieste (ako prislúchajúci osi rotácie) a M" 1 → M "a čelný priemet dotyčnice t" 2 zostane byť určené (M "S")
Dve dotyčnice t 1 a t 2 pretínajúce sa v bode М ∈ β definujú rovinu α dotyčnicu k ploche β.
Možnosť b (obr. 211)
Na zostrojenie roviny dotýkajúcej sa plochy prechádzajúcej bodom, ktorý nepatrí k ploche, je potrebné vychádzať z nasledujúcich úvah: množinu rovín dotýkajúcich sa plochy možno nakresliť cez bod mimo plochy pozostávajúci z eliptických bodov. Obálka týchto plôch bude nejaká kužeľová plocha. Preto, ak neexistujú žiadne ďalšie pokyny, problém má veľa riešení av tomto prípade sa redukuje na kreslenie kužeľovej plochy γ dotyčnice k tejto ploche β.
Na obr. 211 je znázornená konštrukcia kužeľovej plochy γ dotyčnice ku gule β. Akákoľvek rovina α dotýkajúca sa kužeľovej plochy γ sa bude dotýkať plochy β.
Na zostrojenie priemetov plochy γ z bodov M "a M" nakreslite dotyčnice ku kružniciam h "a f" - priemety gule. Označte dotykové body 1 (1 "a 1"), 2 (2 "a 2"), 3 (3 "a 3") a 4 (4 "a 4"). Horizontálny priemet kružnice - dotyčnica kužeľovej plochy a gule sa premietne v [1 "2"] Na nájdenie bodov elipsy, do ktorých sa táto kružnica premietne na rovinu nárysu, použite rovnobežky guľa.
Na obr. 211 sú definované týmto spôsobom čelné projekcie body E a F (E "a F"). Ak máme kužeľovú plochu γ, zostrojíme k nej dotykovú rovinu α. Povaha a postupnosť grafiky
Konštrukcie, ktoré je na to potrebné vykonať, sú znázornené v nasledujúcom príklade.
PRÍKLAD 2 Zostrojte rovinu α dotyčnicu k ploche β s parabolickými bodmi
Ako v príklade 1, zvážte dve možnosti riešenia: a) bod N ∈ β; b) bod N ∉ β
Možnosť a (Obrázok 212).
Kužeľová plocha označuje plochy s parabolickými bodmi (pozri obr. 207.). Rovina dotyčnica kužeľovej plochy sa jej dotýka pozdĺž priamočiarej tvoriacej priamky.
1) nakreslite generátor SN (S "N" a S "N") cez tento bod N;
2) označte priesečník tvoriacej čiary (SN) s vodidlom d: (SN) ∩ d = A;
3) vinie dotyčnicu t k d v bode A.
Generátor (SA) a dotyčnica t, ktorá ho pretína, definujú rovinu α dotyčnicu ku kužeľovej ploche β v danom bode N *.
Nakresliť rovinu α, dotýkajúcu sa kužeľovej plochy β a prechádzajúcej bodom N, nepatrí
* Keďže plocha β pozostáva z parabolických bodov (okrem vrcholu S), rovina α, ktorá sa k nej dotýka, bude mať s ňou spoločný nie jeden bod N, ale priamku (SN).
na danom povrchu je potrebné:
1) nakreslite priamku a (a "a") cez daný bod N a vrchol S kužeľovej plochy β;
2) určte vodorovnú stopu tejto priamky H a;
3) cez H a ťahajte dotyčnice t "1 a t" 2 krivky h 0β - vodorovná stopa kužeľovej plochy;
4) spojte dotykové body A (A "a A") a B (B "a B") s vrcholom kužeľovej plochy S (S "a S").
Priesečníky t 1, (AS) a t 2, (BS) definujú hľadané dotykové roviny α 1 a α 2
PRÍKLAD 3. Zostrojte rovinu α dotýkajúcu sa plochy β s hyperbolickými bodmi.
Bod K (obr. 214) sa nachádza na povrchu globoidu (vnútorná plocha prstenca).
Na určenie polohy dotykovej roviny α je potrebné:
1) nakreslite bod K a rovnobežný s plochou β h (h ", h");
2) cez bod K "nakreslite dotyčnicu t" 1 (t "1 ≡ h");
3) na určenie smerov priemetov dotyčnice k rezu poludníka je potrebné nakresliť rovinu γ cez bod K a os povrchu, vodorovná priemet t "2 sa zhoduje s h 0γ; na zostrojenie nárysu dotyčnice t" 2 najprv preložíme rovinu γ otáčaním okolo osi rotačnej plochy do polohy γ 1 || π 2. V tomto prípade bude poludníkový rez rovinou γ kombinovaný s ľavým obrysovým oblúkom čelnej projekcie - polkruhom g ".
Bod K (K ", K"), patriaci do krivky poludníka, sa posunie do polohy K 1 (K "1, K" 1). Cez K "1 nakreslíme nárysný priemet dotyčnice t" 2 1, zarovnaný s rovinou γ 1 || π 2 polohu a označte bod jej priesečníka s predným priemetom osi rotácie S "1. Vráťte rovinu γ 1 do pôvodnej polohy, bod K" 1 → K "(bod S" 1 ≡ S "). Čelný priemet dotyčnice t" 2 je určený bodmi K "a S".
Dotyčnice t 1 a t 2 definujú požadovanú dotykovú rovinu α, ktorá pretína plochu β pozdĺž krivky l.
PRÍKLAD 4. Zostrojte rovinu α, dotýkajúcu sa plochy β v bode K. Bod K sa nachádza na ploche jednovrstvového rotačného hyperboloidu (obr. 215).
Tento problém možno vyriešiť dodržaním algoritmu použitého v predchádzajúcom príklade, ale ak vezmeme do úvahy, že povrch jednovrstvového rotačného hyperboloidu je riadený povrch, ktorý má dve rodiny priamočiarych generátorov a každý z generátorov jedného rodina pretína všetky generátory druhej rodiny (pozri § 32, obr. 138). Cez každý bod tejto plochy môžu byť nakreslené dve pretínajúce sa priamky - generátory, ktoré sa budú súčasne dotýkať plochy jednovrstvového rotačného hyperboloidu.
Tieto dotyčnice definujú dotyčnicovú rovinu, to znamená, že rovina dotyčnica k povrchu jednovrstvového rotačného hyperboloidu pretína tento povrch pozdĺž dvoch priamok g 1 a g 2. Na zostrojenie priemetov týchto priamok stačí preniesť vodorovný priemet bodu K na prenášanie dotyčníc t "1 a t" 2 k horizontu.
lokálny priemet kružnice d "2 - hrdlo plochy jednovrstvového rotačného hyperboloidu; určte body 1" a 2, v ktorých t "1 a t" 2 pretínajú jednu z vodiacich plôch d1. Pre 1 "a 2" nájdeme 1 "a 2", ktoré spolu s K "určujú čelné priemety hľadaných priamok.
