Definícia: Nech L je dané n- rozmerný lineárny priestor. Nenulový vektor L sa nazýva vlastný vektorlineárna transformácia A ak existuje číslo také, že platí rovnosť:

A
(7.1)

V tomto prípade sa volá číslo  vlastná hodnota (charakteristické číslo) lineárna transformácia A zodpovedajúca vektoru .

Posunutie pravej strany (7.1) doľava a zohľadnenie vzťahu
, prepíšeme (7.1) do tvaru

(7.2)

Rovnica (7.2) je ekvivalentná systému lineárneho homogénne rovnice:

(7.3)

Pre existenciu nenulového riešenia sústavy lineárnych homogénnych rovníc (7.3) je potrebné a postačujúce, aby determinant koeficientov tejto sústavy bol rovný nule, t.j.

| A-λE | =
(7.4)

Tento determinant je polynóm stupňa n vzhľadom na λ a nazýva sa charakteristický polynóm lineárna transformácia A a rovnica (7.4) - charakteristická rovnica matrice A.

Definícia: Ak lineárna transformácia A v nejakom základe ,,…,má maticu A =
, potom vlastné hodnoty lineárnej transformácie A môžeme nájsť ako korene 1,  2,…,  n charakteristickej rovnice:

Zvážte špeciálny prípad... Nech A je nejaká lineárna transformácia roviny, ktorej matica sa rovná
... Potom môže byť transformácia A daná vzorcami:

;

v nejakom základe
.

Ak má transformácia A vlastný vektor s vlastnou hodnotou , potom A
.

alebo

Pretože vlastný vektor nenulové, potom x 1 a x 2 sa súčasne nerovnajú nule. Pretože tento systém je homogénny, potom aby mal netriviálne riešenie, determinant systému sa musí rovnať nule. V opačnom prípade má systém podľa Cramerovho pravidla jedinečné riešenie – nulu, čo je nemožné.

Výsledná rovnica je charakteristická rovnica lineárnej transformácie A.

Takto je možné nájsť vlastný vektor (x 1, x 2) lineárnej transformácie A s vlastnou hodnotou, kde je koreň charakteristickej rovnice a x 1 a x 2 sú korene sústavy rovníc, keď je do nej dosadená hodnota.

Je jasné, že ak charakteristická rovnica nemá žiadne skutočné korene, potom lineárna transformácia A nemá žiadne vlastné vektory.

Treba poznamenať, že ak je vlastný vektor transformácie A, potom každý vektor kolineárny k nemu je tiež vlastným vektorom s rovnakou vlastnou hodnotou.

Naozaj,. Ak vezmeme do úvahy, že vektory majú jeden pôvod, tak tieto vektory tvoria tzv vlastný smer alebo vlastnú líniu.

Pretože charakteristická rovnica môže mať dva rôzne reálne korene  1 a 2, potom v tomto prípade pri ich dosadení do sústavy rovníc dostaneme nekonečný počet riešení. (Keďže rovnice sú lineárne závislé). Tento súbor rozhodnutí definuje dve vlastný priamy.

Ak má charakteristická rovnica dva rovnaké korene 1 =  2 = , potom buď existuje iba jedna správna úsečka, alebo ak sa po dosadení do sústavy zmení na sústavu v tvare:
... Tento systém spĺňa akúkoľvek hodnotu x 1 a x 2. Potom budú všetky vektory vlastnými vektormi a takáto transformácia sa nazýva transformácia podobnosti.

Príklad.
.

Príklad. Nájdite charakteristické čísla a vlastné vektory lineárnej transformácie s maticou A =
.

Napíšme lineárnu transformáciu takto:

Zostavme charakteristickú rovnicu:

 2 - 4+ 4 = 0;

Korene charakteristickej rovnice:  1 =  2 = 2;

Dostaneme:

Závislosť sa získa zo systému: X 1 – X 2 = 0. Vlastné vektory pre prvý koreň charakteristickej rovnice majú súradnice: ( t ; t ) kde t- parameter.

Vlastný vektor možno zapísať:
.

Zvážte ďalšie špeciálny prípad... Ak je vlastný vektor lineárnej transformácie A, daný v trojrozmernom lineárnom priestore, a x 1, x 2, x 3 sú zložky tohto vektora na nejakom základe
, potom

kde  je vlastná hodnota (charakteristické číslo) transformácie A.

Ak má lineárna transformačná matica A tvar:

, potom

Charakteristická rovnica:

Rozšírením determinantu získame kubickú rovnicu pre . Každá kubická rovnica s reálnymi koeficientmi má jeden alebo tri skutočné korene.

Potom má každá lineárna transformácia v trojrozmernom priestore vlastné vektory.

Príklad. Nájdite charakteristické čísla a vlastné vektory lineárnej transformácie A, maticu lineárnej transformácie A = .

Príklad. Nájdite charakteristické čísla a vlastné vektory lineárnej transformácie A, maticu lineárnej transformácie A =
.

Zostavme charakteristickú rovnicu:

-(3 + )((1 -)(2 -) – 2) + 2(4 - 2- 2) - 4(2 - 1 +) = 0

-(3 + )(2 -- 2+ 2 - 2) + 2(2 - 2) - 4(1 +) = 0

-(3 + )( 2 - 3) + 4 - 4- 4 - 4= 0

3 2 + 9- 3 + 3 2 - 8= 0

 1 = 0; 2 = 1; 3 = -1;

Pre  1 = 0:

Ak vezmeme x 3 = 1, dostaneme x 1 = 0, x 2 = -2

Vlastné vektory
t, kde t je parameter.

Podobne môžete nájsť a pre 2 a 3.

Vlastné hodnoty (čísla) a vlastné vektory.
Príklady riešení

Buď sám sebou

Z oboch rovníc vyplýva, že.

Predpokladajme potom: .

Ako výsledok: Je druhý vlastný vektor.

Zopakujme si dôležité body riešenia:

- výsledná sústava má určite všeobecné riešenie (rovnice sú lineárne závislé);

- "hru" vyberáme tak, aby bola celá a prvá súradnica "x" bola celá, kladná a čo najmenšia.

- skontrolujte, či konkrétne riešenie vyhovuje každej rovnici systému.

Odpoveď .

Medziľahlých „kontrolných bodov“ bolo pomerne dosť, preto je kontrola rovnosti v zásade zbytočná.

V rôznych zdrojoch informácií sú súradnice vlastných vektorov často zapísané nie v stĺpcoch, ale v riadkoch, napríklad: (a aby som bol úprimný, som zvyknutý ich písať do riadkov)... Táto možnosť je prijateľná, ale vzhľadom na tému lineárne transformácie technicky pohodlnejšie na použitie stĺpcové vektory.

Možno sa vám riešenie zdalo veľmi dlhé, ale to len preto, že som veľmi podrobne komentoval prvý príklad.

Príklad 2

Matrice

Cvičíme sami! Približný príklad dokončenia úlohy na konci hodiny.

Niekedy musíte urobiť dodatočná úloha, menovite:

napíšte kanonický rozklad matice

Čo to je?

Ak vlastné vektory matice tvoria základ, potom to môže byť reprezentované ako:

Kde je matica zložená zo súradníc vlastných vektorov, - uhlopriečka matice so zodpovedajúcimi vlastnými hodnotami.

Takýto maticový rozklad sa nazýva kanonický alebo uhlopriečka.

Zvážte maticu prvého príkladu. Jeho vlastné vektory lineárne nezávislé(nekolineárne) a tvoria základ. Zostavme si maticu z ich súradníc:

Na hlavná uhlopriečka matice v príslušnom poradí vlastné hodnoty sú umiestnené a ostatné prvky sa rovnajú nule:
- ešte raz zdôrazňujem dôležitosť poradia: "dva" zodpovedá 1. vektoru a preto sa nachádza v 1. stĺpci, "tri" - k 2. vektoru.

Podľa obvyklého algoritmu hľadania inverzná matica alebo Gauss-Jordanova metóda Nájsť ... Nie, toto nie je preklep! - pred vami vzácna udalosť, ako zatmenie Slnka, keď sa inverzná zhoda zhodovala s pôvodnou maticou.

Zostáva zapísať kanonický rozklad matice:

Systém je možné vyriešiť pomocou elementárne transformácie a v nasledujúcich príkladoch použijeme túto metódu. Ale tu „školská“ metóda funguje oveľa rýchlejšie. Z 3. rovnice vyjadríme: - dosadíme do druhej rovnice:

Keďže prvá súradnica je nulová, získame systém, z ktorého každej rovnice to vyplýva.

A znova dávajte pozor na povinnú prítomnosť lineárnej závislosti... Ak dostanete len triviálne riešenie , potom bola buď nesprávne nájdená vlastná hodnota, alebo bol systém zostavený/vyriešený s chybou.

Kompaktné súradnice dávajú zmysel

Vlastný vektor:

A ešte raz - skontrolujeme nájdené riešenie spĺňa každú rovnicu systému... V nasledujúcich odsekoch a v nasledujúcich úlohách odporúčam brať toto želanie ako povinné pravidlo.

2) Pre vlastnú hodnotu podľa rovnakého princípu získame nasledujúci systém:

Z 2. rovnice sústavy vyjadríme: - dosadíme do tretej rovnice:

Keďže súradnica „zeta“ sa rovná nule, dostaneme systém, z ktorého každej rovnice vyplýva lineárna závislosť.

Nechaj

Kontrolujeme, že riešenie spĺňa každú rovnicu v systéme.

Vlastný vektor je teda:.

3) A nakoniec, systém zodpovedá vlastnej hodnote:

Druhá rovnica vyzerá najjednoduchšie, preto z nej vyjadríme a dosadíme do 1. a 3. rovnice:

Všetko je dobré - vznikol lineárny vzťah, ktorý dosadíme do výrazu:

V dôsledku toho boli „x“ a „igrek“ vyjadrené prostredníctvom „z“:. V praxi nie je potrebné dosahovať práve takéto vzťahy, v niektorých prípadoch je vhodnejšie vyjadrovať sa cez aj cez. Alebo dokonca "vlak" - napríklad "X" cez "igrek" a "igrek" cez "z"

Predpokladajme potom:

Skontrolujeme nájdené riešenie spĺňa každú rovnicu systému a zapíše tretí vlastný vektor

Odpoveď: vlastné vektory:

Geometricky tieto vektory definujú tri rôzne priestorové smery. ("Tam a späť znova") ktorým lineárna transformácia transformuje nenulové vektory (vlastné vektory) na vektory s nimi kolineárne.

Ak je podmienka potrebná na nájdenie kanonického rozkladu, potom je to možné tu, pretože rôzne vlastné hodnoty zodpovedajú rôznym lineárne nezávislým vlastným vektorom. Skladanie matrice z ich súradníc, diagonálnej matice od príslušný vlastné hodnoty a nájsť inverzná matica .

Ak podľa podmienky potrebujete napísať matice lineárnej transformácie na báze vlastných vektorov, potom dáme odpoveď vo formulári. Je v tom rozdiel a ten rozdiel je podstatný! Pre túto maticu je matica „de“.

Problém s jednoduchšími výpočtami pre nezávislé rozhodnutie:

Príklad 5

Nájdite vlastné vektory lineárnej transformácie dané maticou

Pri hľadaní vlastných hodnôt sa snažte nepriviesť záležitosť k polynómu 3. stupňa. Navyše, vaše systémové riešenia sa môžu líšiť od mojich riešení – tu nie je jednoznačnosť; a vektory, ktoré nájdete, sa môžu líšiť od vzorových vektorov až do proporcionality ich príslušných súradníc. Napríklad a. Estetickejšie je prezentovať odpoveď vo formulári, ale nevadí, ak sa zastavíte pri druhej možnosti. Všetko má však rozumné hranice, verzia už nevyzerá veľmi dobre.

Približná záverečná ukážka zadania na konci hodiny.

Ako vyriešiť problém v prípade viacerých vlastných hodnôt?

Všeobecný algoritmus zostáva rovnaký, má však svoje zvláštnosti a je vhodné zachovať niektoré časti riešenia v prísnejšom akademickom štýle:

Príklad 6

Nájdite vlastné hodnoty a vlastné vektory

Riešenie

Samozrejme, píšeme veľkými písmenami v báječnom prvom stĺpci:

A po rozklade štvorcový trojčlen podľa faktorov:

V dôsledku toho sa získajú vlastné hodnoty, z ktorých dve sú násobky.

Poďme nájsť vlastné vektory:

1) S osamelým vojakom sa budeme zaoberať podľa „zjednodušenej“ schémy:

Z posledných dvoch rovníc je jasne viditeľná rovnosť, ktorá by sa samozrejme mala nahradiť do 1. rovnice systému:

Lepšia kombinácia neexistuje:
Vlastný vektor:

2-3) Teraz zastreľte pár strážcov. V tomto prípade to môže dopadnúť buď dva alebo jeden vlastný vektor. Bez ohľadu na násobnosť koreňov dosadíme hodnotu do determinantu čo nám prináša nasledovné homogénna sústava lineárnych rovníc:

Vlastné vektory sú presne vektory
základný rozhodovací systém

Vlastne počas celej hodiny sme sa zaoberali len hľadaním vektorov základného systému. Len zatiaľ tento termín nebol nijak zvlášť vyžadovaný. Apropo, tí šikovní študenti, ktorí tému podsúvali v maskáčoch homogénne rovnice bude nútený to teraz zjesť.

Jedinou akciou bolo odstránenie nadbytočných riadkov. Výsledkom je matica jedna ku trom s formálnou „priečkou“ v strede.
- základná premenná, - voľná premenná. Existujú teda dve voľné premenné, vektory základného systému sú tiež dva.

Vyjadrime základnú premennú pomocou voľných premenných:. Nulový faktor pred „x“ mu umožňuje získať absolútne ľubovoľné hodnoty (čo je jasne vidieť zo systému rovníc).

V kontexte tohto problému je vhodnejšie napísať všeobecné riešenie nie do riadku, ale do stĺpca:

Vlastný vektor zodpovedá dvojici:
Vlastný vektor zodpovedá dvojici:

Poznámka : sofistikovaní čitatelia si môžu tieto vektory vybrať aj ústne – jednoducho analýzou systému , ale tu sú potrebné určité znalosti: existujú tri premenné, systémová matica hodnosť- jednotka, čo znamená základný rozhodovací systém pozostáva z 3 - 1 = 2 vektorov. Nájdené vektory sú však dokonale viditeľné aj bez tejto znalosti, čisto na intuitívnej úrovni. V tomto prípade bude tretí vektor napísaný ešte „krásnejšie“:. Upozorňujem však, že v inom príklade sa nemusí objaviť jednoduchý výber, preto je toto vyhlásenie určené pre skúsených ľudí. Okrem toho, prečo nevziať, povedzme, ako tretí vektor? Koniec koncov, jeho súradnice tiež spĺňajú každú rovnicu systému a vektory lineárne nezávislé. Táto možnosť je v zásade vhodná, ale „krivá“, pretože „iný“ vektor je lineárnou kombináciou vektorov základného systému.

Odpoveď: vlastné hodnoty:, vlastné vektory:

Podobný príklad pre samostatné riešenie:

Príklad 7

Nájdite vlastné hodnoty a vlastné vektory

Hrubý príklad ukončenia na konci hodiny.

Treba poznamenať, že v 6. aj 7. príklade sa získa trojica lineárne nezávislých vlastných vektorov, a preto je pôvodná matica reprezentovateľná v kanonickom rozklade. Takéto maliny sa však nestávajú vo všetkých prípadoch:

Príklad 8

Riešenie: zostavte a vyriešte charakteristickú rovnicu:

Determinant otvoríme prvým stĺpcom:

Ďalšie zjednodušenia sa vykonávajú podľa uvažovanej metódy, pričom sa vyhýba polynómu 3. stupňa:

- vlastné hodnoty.

Poďme nájsť vlastné vektory:

1) S koreňom nie sú žiadne problémy:

Nečudujte sa, okrem stavebnice sa používajú aj premenné - tu nie je rozdiel.

Z 3. rovnice vyjadríme - dosadíme v 1. a 2. rovnici:

Z oboch rovníc vyplýva:

Dovoľte teda:

2-3) Pre viaceré hodnoty získame systém .

Zapíšme si maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru:

Na obrázku vidíme šmykové premeny, ktoré sa dejú s Monou Lisou. Modrý vektor mení smer, ale červený nie. Červená je teda charakteristickým vektorom takejto transformácie, zatiaľ čo modrá nie. Keďže červený vektor nie je ani natiahnutý, ani stlačený, jeho vlastná hodnota sa rovná jednej. Všetky vektory kolineárne k červenej sú tiež správne (angl. vlastný vektor)štvorcová matica (C vlastný význam(angl. vlastná hodnota)) - Toto je nenulový vektor, pre ktorý platí vzťah

Kde? je to určitý skalár, teda reálne alebo komplexné číslo.
Teda vlastné vektory matice A Sú nenulové vektory, ktoré sú pri pôsobení lineárnej transformácie dané maticou A nemenia smer, ale môžu zmeniť dĺžku o faktor?.
Rozmery matice nemajú viac ako N vlastné vektory a im zodpovedajúce vlastné hodnoty.
Vzťah (*) má zmysel aj pre lineárny operátor vo vektorovom priestore V. Ak je tento priestor konečnorozmerný, operátor môže byť napísaný ako matica s ohľadom na určitý základ V.
Keďže vlastné vektory a vlastné hodnoty boli označené bez použitia súradníc, nezávisia od výberu základu. Preto majú tieto matice rovnaké vlastné hodnoty.
Hamiltonova-Cayleyho veta hrá vedúcu úlohu pri pochopení vlastných hodnôt matíc. Z toho vyplýva, že vlastné hodnoty matice A a len oni sú koreňmi charakteristického polynómu matice A:

p (?) je polynóm stupňa n, preto podľa hlavnej vety algebry existuje presne n komplexné vlastné hodnoty, berúc do úvahy ich mnohopočetnosť.
Takže matica A viac nemá n vlastné hodnoty (ale súbor vlastných vektorov pre každú z nich).
Charakteristický polynóm píšeme z hľadiska jeho koreňov:

Mnohonásobnosť koreňa charakteristického polynómu matice sa nazýva algebraická multiplicita vlastná hodnota
Zbierka všetkých vlastných hodnôt matice alebo lineárneho operátora v konečnej dimenzii vektorovom priestore sa nazýva spektrum maticový alebo lineárny operátor. (Táto terminológia je upravená pre nespinovo-nekonečné vektorové priestory: vo všeobecnom prípade môže spektrum operátora zahŕňať?, čo nie sú vlastné hodnoty.)
V dôsledku spojenia charakteristického polynómu matice s jej vlastnými hodnotami sa tieto nazývajú aj tzv. charakteristické čísla matice.
Pre každú vlastnú hodnotu dostaneme vlastný systém rovníc:

Čo bude mať lineárne nezávislé riešenia.
Množina všetkých riešení sústavy tvorí lineárny podpriestor dimenzie a je tzv vlastný priestor(angl. vlastný priestor) matice vlastných hodnôt.
Dimenzia vlastného priestoru je tzv geometrická mnohosť zodpovedajúca vlastná hodnota ?.
Všetky správne priestory sú invariantnými podpriestormi pre.
Ak existujú aspoň dva lineárne nezávislé vlastné vektory s rovnakou vlastnou hodnotou?, potom sa takáto vlastná hodnota nazýva degenerovať. Táto terminológia sa používa hlavne vtedy, ak sa geometrické a algebraické násobnosti vlastných hodnôt zhodujú, napríklad pre hermitovské matice.

Kde - matica štvorcovej veľkosti n x n,- Stĺpec ktorého je vektor, A - Toto je diagonálna matica so zodpovedajúcimi hodnotami.

Problém vlastných hodnôt je problém nájsť vlastné vektory a čísla matice.
Podľa definície (pomocou charakteristickej rovnice) možno nájsť iba vlastné hodnoty matíc s rozmermi menšími ako päť. Charakteristická rovnica má stupeň rovnaký ako matica. Pre veľké stupne hľadania riešení rovnice sa to stáva veľmi problematické, preto rôzne numerické metódy
Rôzne úlohy vyžadujú získanie rôzneho počtu vlastných hodnôt. Preto sa rozlišuje niekoľko problémov hľadania vlastných hodnôt, z ktorých každá používa svoje vlastné metódy.
Zdanlivo čiastočný problém vlastnej hodnoty je čiastočným úplným problémom a rieši sa rovnakými metódami ako úplný. Metódy aplikované na konkrétne problémy sú však oveľa efektívnejšie, preto ich možno aplikovať na matice veľkých rozmerov (napr. jadrovej fyziky problémy vznikajú pri hľadaní vlastných hodnôt pre matice dimenzie 10 3 - 10 6).
Jacobiho metóda

Jedným z najstarších a najvšeobecnejších prístupov k riešeniu úplného problému vlastných hodnôt je Jacobiho metóda, prvýkrát publikovaná v roku 1846.
Metóda sa aplikuje na symetrickú maticu A
Je to jednoduchý iteračný algoritmus, v ktorom sa matica vlastného vektora počíta ako postupnosť násobení.

Najjednoduchším lineárnym operátorom je násobenie vektora číslom \ (\ lambda \). Tento operátor jednoducho natiahne všetky vektory \ (\ lambda \) krát. Jeho maticová forma v akomkoľvek základe je \ (diag (\ lambda, \ lambda, ..., \ lambda) \). Pre jednoznačnosť fixujeme bázu \ (\ (e \) \) vo vektorovom priestore \ (\ mathit (L) \) a uvažujeme lineárny operátor s diagonálnou maticou v tomto základe, \ (\ alpha = diag ( \ lambda _1, \ lambda _2, ..., \ lambda _n) \). Tento operátor sa podľa definície maticového tvaru natiahne \ (e_k \) \ (\ lambda _k \) krát, t.j. \ (Ae_k = \ lambda _ke_k \) pre všetky \ (k = 1,2, ..., n \). Je vhodné pracovať s diagonálnymi maticami, pre ne je jednoducho skonštruovaný funkčný počet: pre akúkoľvek funkciu \ (f (x) \) môžeme vložiť \ (f (diag (\ lambda _1, \ lambda _2, ... , \ lambda _n)) = diag (f (\ lambda _1), f (\ lambda _2), ..., f (\ lambda _n)) \). Vzniká teda prirodzená otázka: nech existuje lineárny operátor \ (A \), je možné zvoliť bázu vo vektorovom priestore tak, aby maticový tvar operátora \ (A \) bol v tejto báze diagonálny? Táto otázka vedie k definícii vlastných hodnôt a vlastných vektorov.

Definícia. Nech pre lineárny operátor \ (A \) existuje nenulový vektor \ (u \) a číslo \ (\ lambda \) také, že \ [Au = \ lambda \ cdot u. \ quad \ quad (59) \] Potom sa volá vektor \ (u \). vlastný vektor operátor \ (A \) a číslo \ (\ lambda \) - zodpovedajúce vlastné číslo operátor \ (A \). Zbierka všetkých vlastných hodnôt sa nazýva spektrum lineárneho operátora \ (A \).

Vzniká prirodzený problém: nájdite pre daný lineárny operátor jeho vlastné hodnoty a zodpovedajúce vlastné vektory. Tento problém sa nazýva problém spektra lineárneho operátora.

Rovnica vlastných hodnôt

Pre definitívnosť fixujeme bázu vo vektorovom priestore, t.j. budeme predpokladať, že je to dané raz a navždy. Potom, ako bolo uvedené vyššie, úvahy o lineárnych operátoroch možno zredukovať na úvahy o maticiach - maticových formách lineárnych operátorov. Rovnicu (59) možno prepísať ako \ [(\ alfa - \ lambda E) u = 0. \] Tu je \ (E \) matica identity a \ (\ alpha \) je maticový tvar nášho lineárneho operátora \ (A \). Tento pomer možno interpretovať ako systém \ (n \) lineárne rovnice pre \ (n \) neznáme - súradnice vektora \ (u \). Navyše ide o homogénny systém rovníc a mali by sme ho nájsť netriviálne Riešenie. Už skôr bola daná podmienka existencie takéhoto riešenia - na to je potrebné a postačujúce, aby hodnosť systému bola menšie číslo neznámych. Preto rovnica pre vlastné hodnoty znie: \ [det (\ alfa - \ lambda E) = 0. \ quad \ quad (60) \]

Definícia. Volá sa rovnica (60). charakteristická rovnica pre lineárny operátor \ (A \).

Popíšme vlastnosti tejto rovnice a jej riešenia. Ak to napíšeme explicitne, dostaneme rovnicu v tvare \ [(-1) ^ n \ lambda ^ n + ... + det (A) = 0. \ quad \ quad (61) \] Na ľavej strane je v premennej \ (\ lambda \) polynóm. Takéto rovnice sa nazývajú algebraické stupne\ (n \). Uvedieme potrebné informácie o týchto rovniciach.

Pomoc s algebraickými rovnicami.

Veta. Nech sú všetky vlastné hodnoty lineárneho operátora \ (A \) prvočísla. Potom množina vlastných vektorov zodpovedajúcich týmto vlastným hodnotám tvorí základ vektorového priestoru.

Z podmienok vety vyplýva, že všetky vlastné hodnoty operátora \ (A \) sú rôzne. Predpokladajme, že množina vlastných vektorov je lineárne závislá, takže existujú konštanty \ (c_1, c_2, ..., c_n \), z ktorých všetky nie sú nuly, spĺňajúce podmienku: \ [\ súčet_ (k = 1) ^ nc_ku_k = 0. \ quad \ quad (62) \]

Zvážte medzi takýmito vzorcami jeden, ktorý obsahuje minimálny počet výrazov, a pracujte podľa neho s operátorom \ (A \). Vďaka svojej lineárnosti dostaneme: \ [A \ vľavo (\ sum_ (k = 1) ^ nc_ku_k \ vpravo) = \ sum_ (k = 1) ^ nc_kAu_k = \ sum_ (k = 1) ^ nc_k \ lambda _ku_k = 0. \ quad \ quad (63) \]

Pre istotu nech je \ (c_1 \ neq 0 \). Vynásobením (62) \ (\ lambda _1 \) a odčítaním od (63) dostaneme vzťah v tvare (62), ktorý však obsahuje o jeden člen menej. Rozpor dokazuje teorém.

Takže za podmienok vety sa objaví základ spojený s daným lineárnym operátorom - základ jeho vlastných vektorov. Zvážte maticovú formu operátora na takomto základe. Ako je uvedené vyššie, \ (k \) - stĺpec tejto matice je expanzia vektora \ (Au_k \) z hľadiska základu. Avšak podľa definície \ (Au_k = \ lambda _ku_k \), takže tento rozklad (to, čo je napísané na pravej strane) obsahuje iba jeden člen a zostrojená matica sa ukáže ako diagonálna. Výsledkom je, že za podmienok vety sa maticový tvar operátora na základe jeho vlastných vektorov rovná \ (diag (\ lambda _1, \ lambda _2, ..., \ lambda _n) \) . Preto, ak je potrebné vyvinúť funkčný počet pre lineárny operátor, je rozumné pracovať na základe jeho vlastných vektorov.

Ak sú medzi vlastnými hodnotami lineárneho operátora násobky, popis situácie sa stáva komplikovanejším a môže zahŕňať takzvané Jordanove bunky. Čitateľa odkážeme na pokročilejšie návody na preskúmanie relevantných situácií.

Volá sa vektor X ≠ 0 vlastný vektor lineárny operátor s maticou A, ak existuje číslo také, že AX = X.

V tomto prípade sa volá číslo  vlastný význam operátor (matica A) zodpovedajúci vektoru x.

Inými slovami, vlastný vektor je vektor, ktorý sa pôsobením lineárneho operátora transformuje na kolineárny vektor, t.j. stačí vynásobiť nejakým číslom. Naproti tomu nevhodné vektory sa transformujú ťažšie.

Napíšme definíciu vlastného vektora vo forme sústavy rovníc:

Presuňte všetky výrazy na ľavú stranu:

Posledný systém možno zapísať v maticovej forme takto:

(A - E) X = O

Výsledná sústava má vždy nulové riešenie X = O. Voláme také sústavy, v ktorých sú všetky voľné členy rovné nule homogénne... Ak je matica takéhoto systému štvorcová a jej determinant sa nerovná nule, potom pomocou Cramerových vzorcov dostaneme vždy jedinečné riešenie - nulu. Dá sa dokázať, že systém má nenulové riešenia práve vtedy, ak je determinant tejto matice rovný nule, t.j.

| A - Е | = = 0

Táto rovnica s neznámou  sa nazýva charakteristická rovnica(charakteristický polynóm) matice A (lineárny operátor).

Dá sa ukázať, že charakteristický polynóm lineárneho operátora nezávisí od výberu bázy.

Nájdime napríklad vlastné hodnoty a vlastné vektory lineárneho operátora dané maticou A =.

Na tento účel zostavíme charakteristickú rovnicu |A - E | = = (1 -) 2 - 36 = 1 - 2 +  2 - 36 =  2 - 2- 35; D = 4 + 140 = 144; vlastné hodnoty 1 = (2 - 12) / 2 = -5;  2 = (2 + 12) / 2 = 7.

Aby sme našli vlastné vektory, riešime dve sústavy rovníc

(A + 5E) X = O

(A - 7E) X = O

Pre prvý z nich má formu rozšírená matica

,

odkiaľ x 2 = c, x 1 + (2/3) c = 0; x 1 = - (2/3) s, t.j. X (1) = (- (2/3) s; s).

Pre druhú z nich má formu rozšírená matica

,

odkiaľ x 2 = c 1, x 1 - (2/3) c 1 = 0; x 1 = (2/3) s 1, t.j. X(2) = ((2/3) s1; s1).

Vlastné vektory tohto lineárneho operátora sú teda všetky vektory tvaru (- (2/3) с; с) s vlastnou hodnotou (-5) a všetky vektory tvaru ((2/3) с 1; с 1) s vlastnou hodnotou 7...

Dá sa dokázať, že matica operátora A v základe pozostávajúcom z jeho vlastných vektorov je diagonálna a má tvar:

,

kde  i sú vlastné hodnoty tejto matice.

Platí to aj naopak: ak je matica A v nejakej báze diagonálna, potom všetky vektory tejto bázy budú vlastnými vektormi tejto matice.

Je tiež možné dokázať, že ak má lineárny operátor n párovo rôznych vlastných hodnôt, potom zodpovedajúce vlastné vektory sú lineárne nezávislé a matica tohto operátora v zodpovedajúcej báze má diagonálny tvar.