Distribučná funkcia náhodnej premennej a jej vlastnosti.
distribučná funkcia náhodná premenná X sa nazýva funkcia F(X), ktorá vyjadruje pre každé x pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobudne hodnotu menšiu ako x: F(x)=P(X
Funkcia F(x) niekedy tzv integrálna funkcia distribúcia resp zákon o integrálnej distribúcii.
Vlastnosti distribučnej funkcie:
1. Distribučná funkcia náhodnej premennej je nezáporná funkcia uzavretá medzi nulou a jednotkou:
0 ≤ F(x) ≤ 1.
2.
Distribučná funkcia náhodnej veličiny je neklesajúca funkcia na celočíselnej osi.
3.
V mínus nekonečne sa distribučná funkcia rovná nule, v plus nekonečne sa rovná jednej, t.j.: F(-∞)= , F(+∞)= .
4. Pravdepodobnosť, že náhodná premenná spadne do intervalu [x1,x2) (vrátane x1) sa rovná prírastku jej distribučnej funkcie na tomto intervale, t.j. P(x 1 ≤ X< х 2) = F(x 2) - F(x 1).
Markovova a Čebyševova nerovnosť
Markovova nerovnosť
Veta: Ak náhodná premenná X nadobúda iba nezáporné hodnoty a má matematické očakávanie, potom pre každé kladné číslo A platí rovnosť: P(x>A) ≤.
Keďže udalosti X > A a X ≤ A sú opačné, nahradením P(X > A) vyjadríme 1 - P (X ≤ A), dospejeme k inému tvaru Markovovej nerovnosti: P(X ≥ A) ≥1 - .
Markovova nerovnosť k platí pre všetky nezáporné náhodné premenné.
Čebyševova nerovnosť
Veta: Pre každú náhodnú premennú s matematickým očakávaním a rozptylom platí Čebyševova nerovnosť:
P (|X - a| > ε) ≤ D(X) / ε 2 alebo P (|X - a| ≤ ε) ≥ 1 - DX / ε 2, kde a \u003d M (X), ε>0.
Zákon veľkých čísel "vo forme" Čebyševovej vety.
Čebyševova veta: Ak odchýlky n nezávislé náhodné premenné X1, X2,…. X n sú obmedzené rovnakou konštantou, potom s neobmedzeným nárastom počtu n aritmetický priemer náhodných premenných konverguje v pravdepodobnosti k aritmetickému priemeru ich matematických očakávaní a 1 ,a 2 ....,a n , t.j. .
Význam zákona veľkých čísel je, že priemerné hodnoty náhodných premenných majú tendenciu k ich matematickému očakávaniu, keď n→ ∞ v pravdepodobnosti. Odchýlka priemerných hodnôt od matematického očakávania sa stáva ľubovoľne malá s pravdepodobnosťou blízkou jednej, ak je n dostatočne veľké. Inými slovami, pravdepodobnosť akejkoľvek odchýlky prostriedku od a svojvoľne malý s rastom n.
30. Bernoulliho veta.
Bernoulliho veta: Frekvencia udalostí v n opakované nezávislé pokusy, v každom z nich môže nastať s rovnakou pravdepodobnosťou p, s neobmedzeným nárastom počtu n konvergovať v pravdepodobnosti k pravdepodobnosti p tejto udalosti v samostatnom pokuse: \
Bernoulliho veta je dôsledkom Čebyševovej vety, pretože frekvenciu udalosti možno vyjadriť ako aritmetický priemer n nezávislých alternatívnych náhodných premenných, ktoré majú rovnaký distribučný zákon.
18. Matematické očakávanie diskrétnej a spojitej náhodnej premennej a ich vlastnosti.
matematické očakávanie je súčet súčinov všetkých jeho hodnôt a im zodpovedajúcich pravdepodobností
Pre diskrétnu náhodnú premennú:
Pre spojitú náhodnú premennú:
Vlastnosti matematického očakávania:
1.
Matematické očakávanie konštantnej hodnoty sa rovná samotnej konštante: M(S)=S
2.
Konštantný faktor možno vyňať zo znaku očakávania, t.j. M(kX)=kM(X).
3.
Matematické očakávanie algebraického súčtu konečného počtu náhodných premenných sa rovná rovnakému súčtu ich matematických očakávaní, t.j. M(X±Y)=M(X)±M(Y).
4.
Matematické očakávanie súčinu konečného počtu nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní: M(XY)=M(X)*M(Y).
5.
Ak sa všetky hodnoty náhodnej premennej zvýšia (znížia) o konštantu C, potom sa matematické očakávanie tejto náhodnej premennej zvýši (zníži) o rovnakú konštantu C: M(X±C)=M(X)±C.
6.
Matematické očakávanie odchýlky náhodnej premennej od jej matematického očakávania je nulové: M = 0.
PREDNÁŠKA 5 Opakovanie minulosti
Časť 1 - KAPITOLA 9. ZÁKON VEĽKÝCH ČÍSEL. LIMITOVANÉ TEÓMY
So štatistickou definíciou pravdepodobnosti, berie sa to ako nejaké číslo, ku ktorému je príbuzný frekvencia náhodnej udalosti. o axiomatická definícia pravdepodobnosti - je to v skutočnosti aditívna miera súboru výsledky podporujúce náhodu udalosť. V prvom prípade máme do činenia s empirický limit, v druhom - s teoretický koncept miery. Nič ako Očividne odkazujú na to isté koncepcia. Vzťah rôznych definícií pravdepodobnosti sú stanovené Bernoulliho vetou, čo je osobitný prípad práva veľkých čísla. S nárastom počtu testov binomický zákon má tendenciu normálne rozdelenie. Je to teorém De Moivre-Laplace, čo je špeciálny prípad centrálnej hranice teorémy. Ten hovorí, že funkcia rozdelenie súčtu nezávislých náhodné premenné s rastúcim počtom termíny majú tendenciu k normálu zákona. Zákon veľkých čísel a centrálny základom je limitná veta matematická štatistika.
9.1. Čebyševova nerovnosť
Nech má náhodná premenná ξ konečné matematické očakávanie M[ξ] a rozptyl D[ξ]. Potom pre akékoľvek kladné číslo ε nerovnosť je pravdivá:
Poznámky
Pre opačnú udalosť: Čebyševova nerovnosť platí pre akýkoľvek distribučný zákon. Umiestňovanie fakt: , dostaneme netriviálne
9.2. Zákon veľkých čísel v Čebyševovej forme
Veta Nech náhodné premenné sú párovo nezávislé a majú konečné odchýlky obmedzené na to isté konštantný Potom pre akýkoľvek máme Hovorí teda zákon veľkých čísel konvergencia pravdepodobnosti aritmetického priemeru náhodných premenných (t. j. náhodnej premennej) na ich aritmetický priemer mat. očakávania (t.j. na nenáhodnú hodnotu).
9.2. Zákon veľkých čísel v Čebyševovej forme: Doplnok
Veta (Markov): zákon veľkého čísla je splnená, ak rozptyl súčet náhodných premenných nerastie príliš rýchlo, pretože n rastie:
10.9.3. Bernoulliho veta
Veta: Zvážte Bernoulliho schému. Nech μn je počet výskytov udalosti A v n nezávislých pokusov, p je pravdepodobnosť výskytu udalosti A v jednom test. Potom pre akékoľvek Tie. pravdepodobnosť, že odchýlka relatívna frekvencia náhodnej udalosti z jeho pravdepodobnosť p bude modulo ľubovoľne malý, pri zvyšovaní počtu má tendenciu k jednote. testy n.
11.
Dôkaz: Náhodná veličina μn rozdelené podľa binomického zákona, tzv máme
12.9.4. Charakteristické funkcie
Charakteristická funkcia náhody množstvo sa nazýva funkcia kde exp(x) = ex. Touto cestou, predstavuje očakávanie niektorých komplexná náhodná premenná spojené s veľkosťou. Najmä ak je diskrétna náhodná premenná, dané distribučným radom (xi, pi), kde i = 1, 2,..., n, potom
13.
Pre spojitú náhodnú premennú s hustotou distribúcie pravdepodobnosti
14.
15.9.5. Centrálna limitná veta (Ljapunovova veta)
16.
Opakovala minulosť
17. ZÁKLADY TEÓRIE PRAVDEPODOBNOSTI A MATEMATICKEJ ŠTATISTIKY
ČASŤ II. MATEMATICKÝ ŠTATISTIKA
18. Epigraf
"Existujú tri druhy klamstiev: klamstvá, do očí bijúce lži a štatistiky“ Benjamin Disraeli
19. Úvod
Dve hlavné úlohy matematiky štatistiky: zber a zoskupovanie štatistických údajov údaje; vývoj analytických metód prijaté dáta v závislosti od výskumných cieľov.
20. Metódy štatistickej analýzy údajov:
odhad neznámej pravdepodobnosti udalosti; odhad neznámej funkcie distribúcia; odhad parametrov známeho distribúcia; overenie štatistických hypotéz o druhu neznáma distribúcia resp hodnoty parametrov známych distribúcia.
21. KAPITOLA 1. ZÁKLADNÉ POJMY MATEMATICKEJ ŠTATISTIKY
22.1.1. Všeobecná populácia a vzorka
Všeobecná populácia – všetci veľa skúmaných predmetov, Ukážka - súbor predmetov, náhodne vybrané zo všeobecnej populácie pre výskum. Objem bežnej populácie a veľkosť vzorky - počet objektov v bežnej populácii a vzorka - budeme označené ako N a n, v tomto poradí.
23.
Odber vzoriek sa opakuje, keď každý vybraný objekt výber ďalších návratov do všeobecná populácia a neopakujúce sa, ak je vybraté objekt v bežnej populácii sa vracia.
24. Reprezentatívna vzorka:
správne reprezentuje vlastnosti všeobecná populácia, t.j. je zástupca (zástupca). Podľa zákona veľkých čísel možno tvrdiť, že že táto podmienka je splnená, ak: 1) veľkosť vzorky n je dostatočne veľká; 2) každý predmet vzorky je vybraný náhodne; 3) pre každý objekt pravdepodobnosť zásahu vo vzorke je to isté.
25.
Všeobecná populácia a vzorka môže byť jednorozmerný (jeden faktor) a viacrozmerné (multifaktorové)
26.1.2. Vzorový zákon o rozdelení (štatistický rad)
Vpustite vzorku veľkosti n náhodná premenná, ktorá nás zaujíma ξ (akýkoľvek parameter objektov obyvateľov) trvá n1 krát hodnota x1, n2 krát hodnota x2,... a nk krát je hodnota xk. Potom pozorovateľné hodnoty x1, x2,..., xk náhodnej premennej ξ sa nazývajú varianty a n1, n2,..., nk – ich frekvencie.
27.
Rozdiel xmax – xmin je rozsah vzorky, pomer ωi = ni /n – možnosti relatívnej frekvencie xi. To je zrejmé
28.
Ak napíšeme možnosti vzostupne, dostaneme variačný rad. Stôl zložený z objednaný variant a ich frekvencie (a/alebo relatívne frekvencie) sa nazýva štatistický rad resp zákon o selektívnej distribúcii. -- Analóg zákona o rozdelení diskrétnosti náhodná premenná v teórii pravdepodobnosti
29.
Ak sa variačný rad skladá z veľmi veľa čísel resp niektoré nepretržité podpísať, použiť zoskupené vzorka. Na jej získanie je interval ktorý obsahuje všetko pozorovateľné hodnoty vlastností sú rozdelené na niekoľko zvyčajne rovnakých častí (subintervaly) dĺžky h. o zostavenie štatistického radu v ako xi sa zvyčajne vyberajú stredy podintervaly a prirovnať ni k číslu variant, ktorý spadal do i-tého subintervalu.
30.
40 - Frekvencie -
35
30 n2 n3 ns n1
25
20
15
10
5
0 a a+h/2 a+3h/2 - Možnosti - b-h/2 b
31.1.3. Frekvenčný polygón, funkcia rozdelenia vzorky
Odložme hodnoty náhodnej premennej xi o os x a hodnoty ni pozdĺž osi y. Prerušovaná čiara, ktorej segmenty sa spájajú body so súradnicami (x1, n1), (x2, n2),..., (xk, nk) sa nazýva mnohouholník frekvencie. Ak namiesto toho absolútne hodnoty ni dať na os y relatívne frekvencie ωi, potom dostaneme mnohouholník relatívnych frekvencií
32.
Analogicky s distribučnou funkciou diskrétna náhodná premenná tým vzorkovací zákon rozdelenia môže byť zostaviť vzorku (empirickú) distribučná funkcia kde sa sumarizuje nad všetkými frekvencie, ktoré zodpovedajú hodnotám variant, menšie x. Všimni si empirická distribučná funkcia závisí od veľkosti vzorky n.
33.
Na rozdiel od funkcie nájdené pre náhodnú premennú ξ experimentálne prostredníctvom spracovania štatistických údajov, skutočnú funkciu distribúcia Spojené s všeobecná populácia je tzv teoretické. (zvyčajne všeobecné agregát je taký veľký, že je nemožné to všetko spracovať; možno len preskúmať teoreticky).
34.
Všimni si:
35.1.4. Vlastnosti empirickej distribučnej funkcie
stupňovaný vyhliadka
36.
Ďalšie grafické znázornenie vzorka, o ktorú máme záujem, je histogram - stupňovitá postava, pozostávajúce z obdĺžnikov, ktorých základňami sú podintervaly šírka h, a výšky - segmenty dĺžky ni/h (frekvenčný histogram) alebo ωi/h (histogram relatívnych frekvencií). V prvom prípade plocha histogramu sa rovná objemu vzorky n, počas druhá - jednotka
37. Príklad
38. KAPITOLA 2. ČÍSELNÁ CHARAKTERISTIKA VZORKY
39.
Úlohou matematickej štatistiky je získať z dostupnej vzorky informácie o generálovi agregátov. Číselné charakteristiky reprezentatívnej vzorky - posúdenie relevantných charakteristík skúmaná náhodná premenná, súvisiaci so všeobecným agregát.
40.2.1. Výberový priemer a výberový rozptyl, empirické momenty
Vzorový priemer je tzv aritmetický priemer hodnôt variant vo vzorke Vzorový priemer sa používa pre štatistické vyhodnotenie matematického očakávania skúmanej náhodnej premennej.
41.
Vzorový rozptyl sa nazýva hodnota rovná Ukážka stredného štvorca odchýlka -
42.
Je ľahké ukázať, čo sa robí nasledujúci vzťah, vhodný pre výpočet rozptylu:
43.
Iné vlastnosti variačné série sú: režim M0 je variant s najvyššia frekvencia a medián ja je variant, ktorý rozdeľuje variačné riadok na dve časti rovnajúce sa číslu možnosť. 2, 5, 2, 11, 5, 6, 3, 13, 5 (režim = 5) 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 11,13 (medián = 5)
44.
Analogicky so zodpovedajúcim teoretické výrazy môžu budovať empirické momenty, používa sa na štatistické účely hodnotenia primárnych a centrálnych momenty náhody množstvá.
45.
Analogicky s okamihmi teórie pravdepodobnosti počiatočným empirickým moment objednávky m je množstvo ústredný empirický bod objednávka m -
46.2.2. Vlastnosti štatistických odhadov distribučných parametrov: nestrannosť, efektívnosť, konzistentnosť
2.2. Vlastnosti štatistických odhadov distribučné parametre: nestrannosť, efektívnosť, konzistentnosť Po obdržaní štatistických odhadov náhodné distribučné parametre hodnoty ξ: priemer vzorky, rozptyl vzorky atď., musíte sa uistiť že sú dobrým priblížením pre príslušné parametre teoretické rozdelenie ξ. Poďme nájsť podmienky, ktoré na to musia byť vykonať.
47.
48.
Štatistické skóre A* sa nazýva nezaujaté, ak je to matematické očakávanie sa rovná hodnotenému parametru všeobecná populácia A pre ľubovoľnú veľkosť vzorky, t.j. Ak táto podmienka nie je splnená, odhad nazývaný offset. Neobjektívny odhad nestačí podmienkou dobrej aproximácie štatistiky skóre A* na skutočnú (teoretickú) hodnotu odhadovaný parameter A.
49.
Rozptyl jednotlivých hodnôt v pomere k priemernej hodnote M závisí od rozptylu D. Ak je rozptyl veľký, potom hodnota zistené z údajov jednej vzorky, sa môže výrazne líšiť od hodnotený parameter. Preto pre spoľahlivé odhad rozptylu D by mal byť malý. Štatistické vyhodnotenie sa nazýva efektívne, ak pri danej veľkosti vzorky n má najmenší možný rozptyl.
50.
K štatistickým odhadom stále požiadavka životaschopnosť. Skóre sa volá konzistentné ako n → it inklinuje s pravdepodobnosťou k hodnotený parameter. Všimni si nestranný odhad bude konzistentné, ak ako n → jeho rozptyl má tendenciu k 0.
51. 2.3. Vzorové priemerné vlastnosti
Budeme predpokladať, že možnosti x1, x2,..., xn sú hodnoty zodpovedajúcich nezávislé identicky rozdelené náhodné premenné
, mať matematické očakávania a rozptyl . Potom vzorový priemer môže zaobchádzané ako s náhodnou premennou
52.
Nezaujatý. Z vlastností matematické očakávania to naznačujú tie. vzorový priemer je nestranný odhad matematického očakávanie náhodnej premennej. Môžete tiež ukázať účinnosť odhady pomocou výberového priemeru matematického očakávania (pre normálne distribúcia)
53.
Dôslednosť. Nech je odhadnutý parametra, a to matematického očakávanie populácie – rozptyl populácie
. Zvážte Čebyševovu nerovnosť Máme: potom . Ako n → pravá strana nerovnosť má tendenciu k nule pre akékoľvek ε > 0, t.j. a teda hodnota X predstavujúca vzorku odhad smeruje k odhadovanému parametru a z hľadiska pravdepodobnosti.
54.
Dá sa teda uzavrieť že vzorový priemer je nezaujatý, efektívny (podľa aspoň pre normálne distribúcia) a konzistentné očakávaný odhad náhodná premenná spojená s všeobecná populácia.
55.
56.
PREDNÁŠKA 6
57. 2.4. Vzorové rozptylové vlastnosti
Skúmame nestrannosť rozptylu vzorky D* as odhady rozptylu náhodnej premennej
58.
59.
60. Príklad
Nájdite ukážkový priemer, ukážku rozptyl a odmocnina odchýlka, režim a korigovaná vzorka rozptyl pre vzorku, ktorá má nasledovné distribučný zákon: Riešenie:
61.
62. KAPITOLA 3. BODOVÝ ODHAD PARAMETROV ZNÁMEHO ROZDELENIA
63.
Predpokladáme, že všeobecná podoba zákona distribúcia je nám známa a Zostáva objasniť podrobnosti - parametre, ktoré ho definujú skutočná podoba. existuje niekoľko spôsobov, ako to vyriešiť úlohy, z ktorých dve sme my zvážiť: metódu momentov a metódu maximálna pravdepodobnosť
64.3.1. Metóda momentov
65.
Metóda momentov vyvinutá Carlom Pearson v roku 1894 na základe pomocou týchto približných rovnosti: momenty vypočítané teoreticky podľa známeho zákona rozdelenia s parametrami θ, a ukážkové momenty vypočítané podľa dostupnej vzorky. Neznámy parametre definované v výsledok riešenia sústavy r rovníc, prepojenie relevantné teoretické a empirické momenty, Napríklad,
.
66.
Dá sa ukázať, že odhady parametre θ získané metódou momenty, bohaté, ich matematické očakávania sú rôzne od skutočných hodnôt parametrov až po hodnota rádovo n–1 a priemer štandardné odchýlky sú hodnoty rádovo n–0,5
67. Príklad
Je známe, že charakteristické ξ objektov všeobecná populácia, ktorá je náhodná hodnota, má rovnomerné rozdelenie v závislosti od parametrov a a b: Je potrebné určiť metódou momentov parametre a a b podľa známej vzorky priemer a vzorový rozptyl
68. Pripomienka
α1 - matematické očakávanie β2 - rozptyl
69.
(*)
70.
71.3.2. Metóda maximálnej pravdepodobnosti
Metóda je založená na pravdepodobnostnej funkcii L(x1, x2,..., xn, θ), čo je zákon vektorové distribúcie , kde náhodné premenné brať hodnoty možnosť odberu vzoriek, t.j. mať rovnaké distribúcia. Keďže náhodné premenné sú nezávislé, pravdepodobnostná funkcia má tvar:
72.
Myšlienka metódy najväčšieho vierohodnosť spočíva v tom, že my hľadáme také hodnoty parametrov θ, at ktorej pravdepodobnosť výskytu v výber hodnôt variant x1, x2,..., xn je najväčší. Inými slovami, ako odhad parametrov θ vezme sa vektor, pre ktorý je funkcia pravdepodobnosť má miestny maximum pre dané x1, x2, …, xn:
73.
Odhaduje sa metódou max hodnovernosť sa získava z nevyhnutný extrémny stav funkcie L(x1,x2,..., xn,θ) v bode
74. Poznámky:
1. Pri hľadaní funkcie maximálnej pravdepodobnosti na zjednodušenie výpočtov môžete vykonať akcie, ktoré nemenia výsledok: po prvé, namiesto L(x1, x2,..., xn,θ) použite logaritmickú pravdepodobnostnú funkciu l(x1, x2,..., xn,θ) = log L(x1, x2,..., xn,0); po druhé, zahoďte vo výraze pre funkciu pravdepodobnosti nezávislú od θ výrazy (pre l) alebo kladné faktory (pre L). 2. Nami zvažované odhady parametrov sú možno nazvať bodovými odhadmi, keďže za neznámy parameter θ, jedna jediný bod , ktorý je jeho približná hodnota. Tento prístup však môže viesť k hrubým chybám a bod hodnotenie sa môže výrazne líšiť od skutočnosti hodnoty odhadovaného parametra (najmä v malá veľkosť vzorky).
75. Príklad
Riešenie. V tejto úlohe je potrebné hodnotiť dva neznáme parametre: a a σ2. Log-pravdepodobnostná funkcia má formu
76.
Vypustenie výrazu v tomto vzorci, ktorý nie je závisí od a a σ2, zostavíme sústavu rovníc dôveryhodnosť Vyriešením dostaneme:
77. KAPITOLA 4. INTERVALOVÝ ODHAD PARAMETROV ZNÁMEHO ROZDELENIA
78.
(*)
79.
(*)
80.4.1. Odhad matematického očakávania normálne rozloženej veličiny so známym rozptylom
vzorový priemer ako náhodná hodnota
81.
Máme:
(1)
(2)
82.
(2)
(1)
(*)
(*)
83.4.2. Odhad matematického očakávania normálne rozloženej veličiny s neznámym rozptylom
84.
stupne slobody. Hustota
množstvá sú
85.
86. Študentovo rozdelenie hustoty s n - 1 stupňami voľnosti
99.4.4. Odhad matematického očakávania náhodnej premennej pre ľubovoľnú vzorku
veľká vzorka (n >> 1).
100.
množstvá majúci
disperzia a výsledný vzorový priemer ako hodnotu náhodná premenná
rozsah má asymptoticky
.
101.
použite vzorec
102.
103.
Prednáška 7
104.
Opakovanie minulosti
105. KAPITOLA 4. INTERVALOVÝ ODHAD PARAMETROV ZNÁMEHO ROZDELENIA
106.
Problém odhadu parametra známeho rozvody je možné riešiť o zostrojenie intervalu, v ktorom s daným skutočná hodnota je pravdepodobná parameter. Táto metóda hodnotenia sa nazýva intervalový odhad. Zvyčajne v matematike na hodnotenie parametrom θ zostrojíme nerovnosť
(*) kde číslo δ charakterizuje presnosť odhadu: čím menšie δ, tým lepší odhad.
107.
(*)
108.4.1. Odhad matematického očakávania normálne rozloženej veličiny so známym rozptylom
Nech je študovaná náhodná premenná ξ rozdelená podľa normálneho zákona so známymi smerodajná odchýlka σ a neznáme matematické očakávanie a. Vyžaduje sa hodnotou priemeru vzorky odhadnúť matematické očakávanie ξ. Rovnako ako predtým, zvážime výsledok vzorový priemer ako náhodná hodnota hodnoty a hodnoty sú vzorový variant x1, x2, …, xn - v tomto poradí, pretože hodnoty sú rovnaké distribuované nezávislé náhodné premenné , z ktorých každá má mat. očakávanie a a smerodajnú odchýlku σ.
109.
Máme:
(1)
(2)
110.
(2)
(1)
(*)
(*)
111.4.2. Odhad matematického očakávania normálne rozloženej veličiny s neznámym rozptylom
112.
Je známe, že náhodná premenná tn, podaný týmto spôsobom má Študentovo rozdelenie s k = n - 1 stupne slobody. Hustota rozdelenie pravdepodobnosti takýchto množstvá sú
113.
114. Študentovo rozdelenie hustoty s n - 1 stupňami voľnosti
115.
116.
117.
Poznámka. S veľkým počtom stupňov sloboda k Študentská distribúcia má tendenciu k normálnemu rozdeleniu s nulové matematické očakávanie a jediný rozptyl. Preto pre k ≥ 30 interval spoľahlivosti môže byť v praxi nájsť podľa vzorcov
Nech sa skúma náhodná premenná ξ sa rozdeľuje podľa normálneho zákona s očakávaním a neznámy stredný štvorec odchýlka σ. Zvážte dva prípady: so známymi a neznámy matematický čakanie.
119. 4.3.1. Špeciálny prípad známeho matematického očakávania
Nech je známa hodnota M[ξ] = a hodnotiť len σ alebo rozptyl D[ξ] = σ2. Pripomeňme si to pre známu podložku. čakanie nezaujatý odhad rozptylu je rozptyl vzorky D* = (σ*)2 Použitie množstiev
, definované vyššie, zavádzame náhodný hodnota Y, ktorá nadobúda hodnoty vzorový rozptyl D*:
120.
Zvážte náhodnú premennú Sumy pod znakom sú náhodné množstvá mať normálne rozdelenie s hustotou fN (x, 0, 1). Potom má Hn rozdelenie χ2 s n stupne voľnosti ako súčet štvorcov n nezávislý štandard (a = 0, σ = 1) normálne náhodné premenné.
121.
Určme interval spoľahlivosti z podmienky kde je distribučná hustota χ2 a γ - spoľahlivosť (dôvera pravdepodobnosť). Hodnota γ sa číselne rovná oblasť tieňovaného obrázku na obr.
V praxi najbežnejšia situácia keď sú oba parametre normálu neznáme distribúcie: matematické očakávanie a a smerodajná odchýlka σ. V tomto prípade budovanie dôvery interval vychádza z Fisherovej vety, od kat. z toho vyplýva, že náhodná premenná (kde náhodná premenná brať hodnoty nezaujatého výberový rozptyl s2 má rozdelenie χ2 s n–1 stupňami voľnosti.
126.
127.4.4. Odhad matematického očakávania náhodnej premennej pre ľubovoľnú vzorku
Intervalové odhady matematických očakávania M[ξ] získané za normálne distribuovaná náhodná premenná ξ , sú vo všeobecnosti nevhodné náhodné premenné majú rôzny tvar distribúcia. Existuje však situácia, kedy pre akékoľvek náhodné premenné použite podobné intervaly vzťahov, toto sa odohráva na veľká vzorka (n >> 1).
128.
Ako je uvedené vyššie, zvážime možnosti x1, x2,..., xn ako nezávislé hodnoty, rovnomerne rozložené náhodné množstvá majúci očakávanie M[ξi] = mξ a disperzia a výsledný vzorový priemer ako hodnotu náhodná premenná Podľa centrálnej limitnej vety rozsah má asymptoticky zákon normálneho rozdelenia c očakávanie mξ a rozptyl
.
129.
Ak je teda známa hodnota rozptylu náhodná premenná ξ, potom môžeme použite približné vzorce Ak je hodnota rozptylu veličiny ξ neznámy, potom pre veľké n jeden môže použite vzorec kde s je opravená rms. odchýlka
130.
Opakovala minulosť
131. KAPITOLA 5. OVEROVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ
132.
Štatistická hypotéza je hypotéza o forme neznámeho rozdelenia alebo o parametroch známe rozdelenie náhodnej premennej. Hypotéza, ktorá sa má testovať, sa zvyčajne označuje ako H0 sa nazýva nulová alebo hlavná hypotéza. Dodatočne použitá hypotéza H1, v rozpore s hypotézou H0 sa nazýva konkurenčné alebo alternatívne. Štatistické overenie pokročilého null hypotéza H0 spočíva v jej porovnaní s vzorové údaje. S takouto kontrolou Môžu sa vyskytnúť dva typy chýb: a) chyby prvého druhu - prípady, keď je zamietnutá správna hypotéza H0; b) chyby druhého druhu - prípady, keď akceptuje sa nesprávna hypotéza H0.
133.
Pravdepodobnosť chyby prvého druhu bude zavolajte na úroveň významnosti a označte ako. Hlavná technika kontroly štatistiky hypotéza je taká dostupná vzorka, vypočíta sa hodnota štatistické kritérium - nejaké náhodná premenná T so známym distribučný zákon. Rozsah hodnôt T, podľa ktorej musí hlavná hypotéza H0 byť odmietnutý, nazývaný kritickým a rozsah hodnôt T, pre ktoré platí táto hypotéza možno prijať, - akceptačná oblasť hypotéz.
134.
135.5.1. Testovanie hypotéz o parametroch známeho rozdelenia
5.1.1. Testovanie hypotéz o matematike očakávanie normálne rozloženej náhody množstvá Nech má náhodná premenná ξ normálne rozdelenie. Musíme overiť predpoklad, že že jeho matematické očakávanie je nejaké číslo a0. Zvážte samostatne prípady, kedy je rozptyl ξ známy a kedy je neznáma.
136.
V prípade známej disperzie D[ξ] = σ2, ako v § 4.1 definujeme náhodný hodnota, ktorá preberá hodnoty vzorový priemer. Hypotéza H0 pôvodne formulované ako M[ξ] = a0. Pretože vzorový priemer je teda nestranný odhad M[ξ] hypotéza H0 môže byť reprezentovaná ako
137.
Vzhľadom na nezaujatosť opraveného výberové rozptyly, nulová hypotéza môže byť napíš to takto: kde náhodná premenná berie hodnoty opravenej vzorky disperzia ξ a je podobná náhodnej hodnota Z uvažovaná v časti 4.2. Ako štatistické kritérium volíme náhodná premenná pričom hodnota pomeru väčšieho vzorový rozptyl k menšiemu.
145.
Náhodná premenná F má Distribúcia Fisher-Snedecor s počet stupňov voľnosti k1 = n1 – 1 ak2 = n2 – 1, kde n1 je veľkosť vzorky, podľa ktorý tým väčší korigovaný rozptyl a n2 objem druhej vzorky, pre ktorú našiel menší rozptyl. Zvážte dva typy súťaží hypotéz
Pozrime sa najskôr na prípad normálu rozdelenia náhodných premenných so známymi odchýlky, a potom na základe toho - všeobecnejšie prípad svojvoľného rozdelenia veličín pri dostatočne veľké nezávislé vzorky. Nech náhodné premenné ξ1 a ξ2 sú nezávislé a sú normálne rozdelené a nech ich rozptyly D[ξ1] a D[ξ2] sú známe. (Dajú sa nájsť napr z nejakej inej skúsenosti alebo vypočítané teoreticky). Extrahované vzorky veľkosti n1 a n2 resp. Nechaj - selektívny priemery pre tieto vzorky. Vyžaduje selektívne priemer na danej hladine významnosti α otestovať hypotézu o rovnosti matematických očakávania uvažovaných náhodných premenných, ktoré sa majú urobiť z a priori úvah, na základe experimentálnych podmienok a potom predpoklady o parametroch distribúcie sa skúmajú, ako je znázornené predtým. Veľmi často však existuje potrebu overiť si hypotéza o zákone rozdeľovania. Navrhnuté štatistické testy pre takéto kontroly sú zvyčajne tzv kritériá súhlasu.
154.
Je známych niekoľko kritérií pre dohodu. Dôstojnosť Pearsonovým kritériom je jeho univerzálnosť. S jeho možno použiť na testovanie hypotéz o rôznych distribučných zákonov. Pearsonovo kritérium je založené na porovnávaní frekvencií, zistené zo vzorky (empirické frekvencie), s frekvencie vypočítané pomocou testovaných distribučný zákon (teoretické frekvencie). Zvyčajne empirické a teoretické frekvencie líšiť. Musíme zistiť, či je to náhoda frekvenčný nesúlad alebo je významný a vysvetlený skutočnosť, že teoretické frekvencie sú vypočítané na základe nesprávna hypotéza o rozdelení všeobecn agregátov. Pearsonovo kritérium, ako každé iné, odpovedá na Otázkou je, či existuje zhoda medzi navrhovanou hypotézou a empirických údajov na danej úrovni význam.
Nech existuje náhodná premenná ξ a nech vzorka dostatočne veľkej veľkosti n s veľkým možnosť počtu rôznych hodnôt. Požadovaný na hladine významnosti α otestujte nulovú hypotézu H0, že náhodná premenná ξ je rozdelená dobre. Pre pohodlie spracovania vzorky vezmeme dve čísla α a β: a vydeľte interval [α, β] s podintervaly. Budeme predpokladať, že hodnoty variantu, spadajúce do každého podintervalu sú približne rovnaké číslo, ktoré určuje stred subintervalu. Počítanie počtu možností, ktoré spadajú do každého kvantilu rádu α (0< α < 1) непрерывной náhodná premenná ξ je také číslo xα, pre ktoré je rovnosť
. Kvantil x½ sa nazýva medián náhody veličiny ξ, kvantily x0 a x2 sú jej kvartily, a x0,1, x0,2,..., x0,9 - decilov. Pre štandardné normálne rozdelenie (a = 0, σ = 1), a preto kde FN (x, a, σ) je funkcia normálneho rozdelenia distribuovaná náhodná premenná a Φ(x) Laplaceova funkcia. Kvantil štandardného normálneho rozdelenia xα pre dané α možno zistiť zo vzťahu
162.6.2. Študentská distribúcia
Ak - nezávislý náhodné premenné majúce normálne rozdelenie s nulou matematické očakávania a jednotkový rozptyl teda rozdelenie náhodných premenných nazývané Studentovo t-rozdelenie s n stupňami voľnosti (W.S. Gosset).
Aké je tajomstvo úspešných predajcov? Ak sledujete najlepších predajcov akejkoľvek spoločnosti, všimnete si, že majú jedno spoločné. Každý z nich sa stretáva s viacerými ľuďmi a robí viac prezentácií ako menej úspešní predajcovia. Títo ľudia chápu, že predaj je hra s číslami a čím viac ľuďom povedia o svojich produktoch alebo službách, tým viac obchodov uzavrú, to je všetko. Chápu, že ak budú komunikovať nielen s tými niekoľkými, ktorí im určite povedia áno, ale aj s tými, ktorých záujem o ich návrh nie je až taký veľký, tak zákon priemeru bude hrať v ich prospech.
Vaše zárobky budú závisieť od počtu predajov, no zároveň budú priamo úmerné počtu prezentácií, ktoré urobíte. Akonáhle pochopíte a začnete uvádzať do praxe zákon priemeru, úzkosť spojená so zakladaním nového biznisu alebo prácou v novom odbore začne klesať. A v dôsledku toho začne rásť pocit kontroly a dôvera v ich schopnosť zarábať. Ak len robíte prezentácie a zdokonaľujete svoje zručnosti v tomto procese, dôjde k dohodám.
Namiesto premýšľania o počte obchodov myslite na počet prezentácií. Nemá zmysel sa ráno zobudiť alebo prísť večer domov a začať premýšľať, kto si kúpi váš produkt. Namiesto toho je najlepšie naplánovať si každý deň, koľko hovorov musíte uskutočniť. A potom, bez ohľadu na to, urobte všetky tie hovory! Tento prístup vám uľahčí prácu – pretože ide o jednoduchý a konkrétny cieľ. Ak viete, že máte pred sebou veľmi konkrétny a dosiahnuteľný cieľ, bude pre vás jednoduchšie uskutočniť plánovaný počet hovorov. Ak počas tohto procesu budete niekoľkokrát počuť „áno“, tým lepšie!
A ak „nie“, tak večer budete mať pocit, že ste poctivo urobili všetko, čo ste mohli, a nebudú vás trápiť myšlienky na to, koľko peňazí ste zarobili, či koľko partnerov ste za deň získali.
Povedzme, že vo vašej spoločnosti alebo vo vašej firme priemerný predajca uzavrie jednu transakciu každé štyri prezentácie. Teraz si predstavte, že ťaháte karty z balíčka. Každá karta troch farieb - piky, káry a palice - je prezentáciou, kde profesionálne prezentujete produkt, službu alebo príležitosť. Robíte to najlepšie, ako viete, ale obchod stále neuzavriete. A každá srdcová karta je obchod, ktorý vám umožní získať peniaze alebo získať nového spoločníka.
Nechceli by ste si v takejto situácii potiahnuť čo najviac kariet z balíčka? Predpokladajme, že vám ponúknu, aby ste si potiahli toľko kariet, koľko chcete, pričom vám zaplatíme alebo navrhnete nového spoločníka zakaždým, keď si vytiahnete srdcovú kartu. Začnete nadšene ťahať karty a sotva si všimnete, v akej farbe bola karta práve vytiahnutá.
Viete, že v balíčku päťdesiatich dvoch kariet je trinásť sŕdc. A v dvoch balíčkoch - dvadsaťšesť srdcových kariet atď. Sklame vás kreslenie piky, diamanty alebo palice? Samozrejme, že nie! Budete si myslieť len to, že každá takáto „misska“ vás zbližuje – k čomu? Na kartu sŕdc!
Ale vieš čo? Túto ponuku ste už dostali. Ste v jedinečnej pozícii, aby ste zarobili toľko, koľko chcete, a vytiahli toľko kariet srdca, koľko chcete vo svojom živote potiahnuť. A ak budete len svedomito „ťahať karty“, zdokonaľovať sa a vydržať trochu rýľa, diamantu a palice, stanete sa vynikajúcim obchodníkom a uspejete.
Jedna z vecí, vďaka ktorým je predaj taký zábavný, je, že zakaždým, keď zamiešate balíček, karty sa zamiešajú inak. Niekedy všetky srdcia skončia na začiatku balíčka a po úspešnej sérii (keď sa nám už zdá, že nikdy neprehráme!) čakáme na dlhý rad kariet inej farby. A inokedy, aby ste sa dostali k prvému srdcu, musíte prejsť nekonečným množstvom pikov, palíc a tamburín. A niekedy karty rôznych farieb vypadnú striktne postupne. Ale v každom prípade, v každom balíčku päťdesiatich dvoch kariet, v určitom poradí, je vždy trinásť sŕdc. Stačí vytiahnuť karty, kým ich nenájdete.
Od: Leylya,
Ak fenomén udržateľnosti stredná prebieha v realite, potom v matematickom modeli, s ktorým študujeme náhodné javy, musí existovať veta odrážajúca túto skutočnosť. V podmienkach tejto vety zavádzame obmedzenia pre náhodné veličiny X 1 , X 2 , …, X n:
a) každá náhodná premenná Х i má matematické očakávania
M(Х i) = a;
b) rozptyl každej náhodnej premennej je konečný, alebo môžeme povedať, že rozptyly sú zhora ohraničené rovnakým číslom, napr. S, t.j.
D(Х i) < C, i
= 1, 2, …, n;
c) náhodné premenné sú párovo nezávislé, t.j. ľubovoľné dve X i a Xj pri i¹ j nezávislý.
Potom očividne
D(X 1 + X 2 + … + X n)=D(X 1) + D(X 2) + ... + D(X n).
Formulujme zákon veľkých čísel v Čebyševovej forme.
Čebyševova veta: s neobmedzeným zvyšovaním počtu n nezávislé testy" aritmetický priemer pozorovaných hodnôt náhodnej premennej konverguje v pravdepodobnosti k jej matematickému očakávaniu“, teda za akékoľvek pozitívum ε
R(|
–a| < ε
) = 1. (4.1.1)
Význam výrazu "aritmetický priemer =konverguje v pravdepodobnosti k" je to pravdepodobnosť, že sa bude ľubovoľne líšiť od a, sa blíži k 1 ako číslo n.
Dôkaz. Pre konečný počet n nezávislých testov, aplikujeme Čebyševovu nerovnosť pre náhodnú premennú = :
R(|–M()| < ε
) ≥ 1 – .
(4.1.2)
S prihliadnutím na obmedzenia a - b vypočítame M() a D():
M() = = = = = = a;
D() = = = = = = .
Nahrádzanie M() a D() do nerovnosti (4.1.2), dostaneme
R(|
–a| < ε
)≥1 –
.
Ak v nerovnosti (4.1.2) berieme ľubovoľne malú ε
>0 a n® ¥, potom dostaneme
čo dokazuje Čebyševovu vetu.
Z uvažovanej vety vyplýva dôležitý praktický záver: neznámu hodnotu matematického očakávania náhodnej veličiny máme právo nahradiť aritmetickým priemerom získaným z dostatočne veľkého počtu experimentov. V tomto prípade, čím viac experimentov treba vypočítať, tým pravdepodobnejšie (spoľahlivejšie) možno očakávať, že chyba spojená s týmto nahradením ( - a) nepresiahne danú hodnotu ε
.
Okrem toho sa dajú vyriešiť ďalšie praktické problémy. Napríklad podľa hodnôt pravdepodobnosti (spoľahlivosti) R=R(|
– a|< ε
) a maximálnu povolenú chybu ε
určiť požadovaný počet experimentov n; na R a P definovať ε;
na ε
a P určiť pravdepodobnosť udalosti |
– a |< ε.
špeciálny prípad. Nechajte pri n pozorované pokusy n hodnoty náhodnej premennej X, mať matematické očakávania M(X) a rozptyl D(X).
Získané hodnoty možno považovať za náhodné premenné X 1 ,X 2 ,X 3 , ...
,X n,.
Malo by sa to chápať takto: séria P testy sa vykonávajú opakovane, takže v dôsledku toho i test, i= l, 2, 3, ..., P, v každej sérii testov sa objaví jedna alebo druhá hodnota náhodnej premennej X, vopred neznámy. teda i-e hodnota x i náhodná premenná získaná v i test sa náhodne zmení, ak prejdete z jednej série testov na druhú. Takže každá hodnota x i možno považovať za náhodné X i.
Predpokladajme, že testy spĺňajú nasledujúce požiadavky:
1. Testy sú nezávislé. To znamená, že výsledky X 1 , X 2 , X 3 , ..., X n testy sú nezávislé náhodné premenné.
2. Testy prebiehajú za rovnakých podmienok - to znamená z pohľadu teórie pravdepodobnosti, že každá z náhodných premenných X 1 ,X 2 ,X 3 , ...
,X n má rovnaký distribučný zákon ako pôvodná hodnota X, Preto M(X i) =M(X)a D(X i) = D(X), i = 1, 2, .... P.
Vzhľadom na vyššie uvedené podmienky dostaneme
R(|
–a| < ε
)≥1 –
.
(4.1.3)
Príklad 4.1.1.X sa rovná 4. Koľko nezávislých experimentov je potrebných, aby sa s pravdepodobnosťou aspoň 0,9 dalo očakávať, že aritmetický priemer tejto náhodnej premennej sa bude líšiť od matematického očakávania o menej ako 0,5?
Riešenie.Podľa stavu problému ε
= 0,5; R(|
– a|<
0,5) ≥
0,9. Použitie vzorca (4.1.3) pre náhodnú premennú X, dostaneme
P(|–M(X)|
< ε
) ≥ 1 –
.
Zo vzťahu
1 –
= 0,9
definovať
P= =
= 160.
Odpoveď: je potrebné vykonať 160 nezávislých experimentov.
Za predpokladu, že ide o aritmetický priemer normálne rozdelené, dostaneme:
R(|
– a|< ε
)=
2Φ
() ≥
0,9.
Odkiaľ sa pomocou tabuľky Laplaceovej funkcie dostaneme ≥ ≥
1,645 alebo ≥ 6,58 t.j. n ≥49.
Príklad 4.1.2. Rozptyl náhodnej premennej X sa rovná D( X) = 5. Uskutočnilo sa 100 nezávislých experimentov, podľa ktorých .
Namiesto neznámej hodnoty matematického očakávania a prijatý .
Určte maximálnu povolenú chybu v tomto prípade s pravdepodobnosťou najmenej 0,8.
Riešenie. Podľa zadania n= 100, R(|
–a|< ε
) ≥0,8. Použijeme vzorec (4.1.3)
R(|
–a|< ε
) ≥1 –
.
Zo vzťahu
1 –
=
0,8
definovať ε
:
ε
2 = = = 0,25.
teda ε
= 0,5.
Odpoveď: maximálna hodnota chyby ε
= 0,5.
4.2. Zákon veľkých čísel v Bernoulliho forme
Hoci pojem pravdepodobnosti je základom každého štatistického záveru, len v niekoľkých prípadoch môžeme pravdepodobnosť udalosti určiť priamo. Niekedy môže byť táto pravdepodobnosť stanovená z úvah o symetrii, rovnosti príležitostí atď., ale neexistuje univerzálna metóda, ktorá by umožnila určiť jej pravdepodobnosť pre ľubovoľnú udalosť. Bernoulliho veta umožňuje aproximovať pravdepodobnosť, ak pre udalosť, ktorá nás zaujíma A možno vykonať opakované nezávislé testy. Nechajte vyrobiť P nezávislé testy, v každom z nich pravdepodobnosť výskytu nejakej udalosti A konštantné a rovnaké R.
Bernoulliho veta. S neobmedzeným nárastom počtu nezávislých pokusov P relatívna frekvencia výskytu udalosti A konverguje v pravdepodobnosti k pravdepodobnosti p výskyt udalosti A,T. e.
P(½ - p½≤ ε) = 1, (4.2.1)
kde ε
je ľubovoľne malé kladné číslo.
Na finále n za predpokladu, že Čebyševova nerovnosť pre náhodnú premennú bude mať tvar:
P(|
–p|< ε
) ≥
1 –
.(4.2.2)
Dôkaz. Aplikujeme Čebyševovu vetu. Nechaj X i– počet výskytov udalosti A v i test, i= 1, 2, . . . , n. Každé z množstiev X i môže nadobudnúť iba dve hodnoty:
X i= 1 (udalosť A stalo) s pravdepodobnosťou p,
X i= 0 (udalosť A nenastalo) s pravdepodobnosťou q= 1–p.
Nechaj Y n= . Sum X 1 + X 2 + … + X n sa rovná číslu m výskyty udalostí A v n testy (0 mn), čo znamená Y n= – relatívna frekvencia výskytu udalosti A v n testy. Matematické očakávanie a rozptyl X i sú rovnaké v tomto poradí:
M() = 1∙p + 0∙q = p,
Príklad 4.2.1. Na určenie percenta chybných produktov bolo testovaných 1000 jednotiek podľa schémy spätného odberu vzoriek. Aká je pravdepodobnosť, že absolútna hodnota miery odmietnutia určená touto vzorkou sa bude líšiť od miery odmietnutia celej šarže najviac o 0,01, ak je známe, že v priemere na každých 10 000 položiek pripadá 500 chybných položiek? ?
Riešenie. Podľa stavu problému, počtu nezávislých pokusov n= 1000;
p= = 0,05; q= 1 – p= 0,95; ε
= 0,01.
Aplikovaním vzorca (4.2.2) dostaneme
P(|
–p|< 0,01) ≥
1 – = 1 – = 0,527.
Odpoveď: s pravdepodobnosťou minimálne 0,527 možno očakávať, že podiel chýb vzorky (relatívna frekvencia výskytu chýb) sa bude líšiť od podielu chýb všetkých výrobkov (od pravdepodobnosti chýb) najviac o 0,01 .
Príklad 4.2.2. Pri lisovaní dielov je pravdepodobnosť sobáša 0,05. Koľko dielov treba skontrolovať, aby sa s pravdepodobnosťou aspoň 0,95 dalo očakávať, že relatívna frekvencia chybných výrobkov sa bude líšiť od pravdepodobnosti chýb o menej ako 0,01?
Riešenie. Podľa zadania R= 0,05; q= 0,95; ε
= 0,01;
P(|
– p|<0,01) ≥
0,95.
Od rovnosti 1 –
=
0,95 nález n:
n= = =9500.
Odpoveď: Je potrebné skontrolovať 9500 položiek.
Komentujte. Odhady potrebného počtu pozorovaní získané aplikáciou Bernoulliho (alebo Čebyševovej) vety sú značne zveličené. Existujú presnejšie odhady navrhnuté Bernsteinom a Khinchinom, vyžadujú si však zložitejší matematický aparát. Aby sa predišlo zveličovaniu odhadov, niekedy sa používa Laplaceov vzorec
P(|
– p|< ε
) ≈ 2Φ
.
Nevýhodou tohto vzorca je nedostatok odhadu prípustnej chyby.
Zákon veľkých čísel v teórii pravdepodobnosti uvádza, že empirický priemer (aritmetický priemer) dostatočne veľkej konečnej vzorky z pevného rozdelenia je blízky teoretickému priemeru (očakávaniu) tohto rozdelenia. V závislosti od typu konvergencie sa rozlišuje slabý zákon veľkých čísel, kedy dochádza ku konvergencii pravdepodobne, a silný zákon veľkých čísel, kedy dochádza ku konvergencii takmer všade.
Vždy existuje konečný počet pokusov, pre ktoré je s akoukoľvek danou pravdepodobnosťou menej ako 1
relatívna frekvencia výskytu nejakej udalosti sa bude ľubovoľne málo líšiť od jej pravdepodobnosti.
Všeobecný význam zákona veľkých čísel: spoločné pôsobenie veľkého počtu rovnakých a nezávislých náhodných faktorov vedie k výsledku, ktorý v limite nezávisí od náhody.
Na tejto vlastnosti sú založené metódy odhadu pravdepodobnosti založené na analýze konečnej vzorky. Dobrým príkladom je predikcia výsledkov volieb na základe prieskumu na vzorke voličov.
Encyklopedický YouTube
1
/
5
✪ Zákon veľkých čísel
✪ 07 - Teória pravdepodobnosti. Zákon veľkých čísel
✪ 42 Zákon veľkých čísel
✪ 1 - Čebyševov zákon veľkých čísel
✪ 11. ročník, lekcia 25, Gaussova krivka. Zákon veľkých čísel
titulky
Poďme sa pozrieť na zákon veľkých čísel, ktorý je azda najintuitívnejším zákonom v matematike a teórii pravdepodobnosti. A keďže sa vzťahuje na toľko vecí, niekedy sa používa a nepochopí. Dovoľte mi najprv uviesť definíciu presnosti a potom budeme hovoriť o intuícii. Zoberme si náhodnú premennú, povedzme X. Povedzme, že poznáme jej matematické očakávanie alebo priemer populácie. Zákon veľkých čísel jednoducho hovorí, že ak si vezmeme príklad n-tého počtu pozorovaní náhodnej premennej a spriemerujeme počet všetkých tých pozorovaní... Zoberme si premennú. Nazvime to X s dolným indexom n a pomlčkou navrchu. Toto je aritmetický priemer n-tého počtu pozorovaní našej náhodnej premennej. Tu je môj prvý postreh. Urobím experiment raz a urobím toto pozorovanie, potom to urobím znova a urobím toto pozorovanie, urobím to znova a dostanem toto. Tento experiment spustím n-krát a potom ho vydelím počtom svojich pozorovaní. Tu je môj vzorový priemer. Tu je priemer všetkých pozorovaní, ktoré som urobil. Zákon veľkých čísel nám hovorí, že môj výberový priemer sa bude približovať k priemeru náhodnej premennej. Alebo môžem tiež napísať, že môj výberový priemer sa bude približovať k priemeru populácie pre n-té číslo idúce do nekonečna. Nebudem jasne rozlišovať medzi „aproximáciou“ a „konvergenciou“, ale dúfam, že intuitívne chápete, že ak tu vezmem dosť veľkú vzorku, dostanem očakávanú hodnotu pre populáciu ako celok. Myslím, že väčšina z vás intuitívne chápe, že ak urobím dostatok testov s veľkou vzorkou príkladov, nakoniec mi testy dajú hodnoty, ktoré očakávam, berúc do úvahy matematické očakávania, pravdepodobnosť a tak ďalej. Myslím si však, že často nie je jasné, prečo sa to deje. A skôr, ako začnem vysvetľovať, prečo je to tak, uvediem konkrétny príklad. Zákon veľkých čísel nám hovorí, že... Povedzme, že máme náhodnú premennú X. Tá sa rovná počtu hláv na 100 hodov správnej mince. V prvom rade poznáme matematické očakávanie tejto náhodnej premennej. Toto je počet hodov alebo pokusov vynásobený pravdepodobnosťou úspešného pokusu. Takže sa rovná 50. To znamená, že zákon veľkých čísel hovorí, že ak odoberieme vzorku, alebo ak spriemerujem tieto pokusy, dostanem. .. Keď robím test prvýkrát, hodím si 100-krát mincou, alebo vezmem krabicu so stovkou, zatrasiem ňou a potom spočítam, koľko hláv dostanem, a dostanem povedzme číslo 55. Toto bude X1. Potom znova zatrasiem krabicou a dostanem číslo 65. Potom znova - a dostanem 45. A toto urobím n-krát a potom to vydelím počtom pokusov. Zákon veľkých čísel nám hovorí, že tento priemer (priemer všetkých mojich pozorovaní) bude mať tendenciu k 50, zatiaľ čo n bude mať tendenciu k nekonečnu. Teraz by som chcel trochu hovoriť o tom, prečo sa to deje. Mnohí veria, že ak je môj výsledok po 100 pokusoch nadpriemerný, tak podľa zákonov pravdepodobnosti by som mal mať viac-menej hláv, aby som ten rozdiel takpovediac vyrovnal. Presne toto sa nestane. Toto sa často označuje ako „klam hráča“. Dovoľte mi ukázať vám rozdiel. Použijem nasledujúci príklad. Dovoľte mi nakresliť graf. Zmeňme farbu. Toto je n, moja os x je n. Toto je počet testov, ktoré vykonám. A moja os y bude vzorový priemer. Vieme, že priemer tejto ľubovoľnej premennej je 50. Dovoľte mi to nakresliť. Toto je 50. Vráťme sa k nášmu príkladu. Ak je n... Počas môjho prvého testu som dostal 55, čo je môj priemer. Mám len jeden vstupný bod údajov. Potom, po dvoch pokusoch, dostanem 65. Takže môj priemer by bol 65+55 delené 2. To je 60. A môj priemer sa trochu zvýšil. Potom som dostal 45, čo opäť znížilo môj aritmetický priemer. Do grafu nenapíšem 45. Teraz to musím všetko spriemerovať. Koľko sa rovná 45+65? Dovoľte mi vypočítať túto hodnotu, aby predstavovala bod. To je 165 delené 3. To je 53. Nie, 55. Takže priemer opäť klesá na 55. V týchto testoch môžeme pokračovať. Keď sme urobili tri pokusy a prišli s týmto priemerom, veľa ľudí si myslí, že bohovia pravdepodobnosti to urobia tak, že v budúcnosti dostaneme menej hláv, že niekoľko ďalších pokusov bude nižších, aby sa znížil priemer. Ale nie vždy to tak je. V budúcnosti zostáva pravdepodobnosť vždy rovnaká. Pravdepodobnosť, že budem valcovať hlavy, bude vždy 50%. Nie že by som na začiatku dostal určitý počet hláv, viac ako som čakal, a potom by mi zrazu mali vypadnúť chvosty. Toto je „klam hráča“. Ak získate neúmerný počet hláv, neznamená to, že v určitom bode vám začne padať neúmerné množstvo chvostov. Nie je to celkom pravda. Zákon veľkých čísel nám hovorí, že na tom nezáleží. Povedzme, že po určitom konečnom počte pokusov váš priemer... Pravdepodobnosť je dosť malá, ale napriek tomu... Povedzme, že váš priemer dosiahne túto známku - 70. Pomyslíte si: "Wow, prekonali sme naše očakávania." Ale zákon veľkých čísel hovorí, že nezáleží na tom, koľko testov vykonáme. Máme pred sebou ešte nekonečné množstvo skúšok. Matematické očakávania tohto nekonečného počtu pokusov, najmä v situácii, ako je táto, budú nasledovné. Keď prídete na konečné číslo, ktoré vyjadruje nejakú veľkú hodnotu, nekonečné číslo, ktoré s ním konverguje, opäť povedie k očakávanej hodnote. Toto je, samozrejme, veľmi voľná interpretácia, ale to nám hovorí zákon veľkých čísel. To je dôležité. Nehovorí nám, že ak dostaneme veľa hláv, šanca, že dostaneme chvosty, sa nejako zvýši, aby to kompenzovala. Tento zákon nám hovorí, že nezáleží na tom, aký bude výsledok s konečným počtom pokusov, pokiaľ máte pred sebou ešte nekonečný počet pokusov. A ak ich urobíte dostatok, opäť sa vrátite k očakávaniu. Toto je dôležitý bod. Zamyslite sa nad tým. To sa ale v praxi pri lotériách a kasínach nepoužíva denne, hoci je známe, že ak urobíte dostatok testov... Vieme to aj vypočítať... aká je pravdepodobnosť, že sa vážne odchýlime od normy? Ale kasína a lotérie fungujú každý deň na princípe, že ak zoberiete dostatok ľudí, samozrejme v krátkom čase, s malou vzorkou, tak pár ľudí trafí jackpot. Ale z dlhodobého hľadiska bude kasíno vždy ťažiť z parametrov hier, ktoré vás pozývajú hrať. Toto je dôležitý princíp pravdepodobnosti, ktorý je intuitívny. Aj keď niekedy, keď je vám to formálne vysvetlené pomocou náhodných premenných, to všetko vyzerá trochu mätúce. Tento zákon hovorí, že čím viac vzoriek bude, tým viac sa bude aritmetický priemer týchto vzoriek približovať k skutočnému priemeru. A aby som bol konkrétnejší, aritmetický priemer vašej vzorky sa bude zbližovať s matematickým očakávaním náhodnej premennej. To je všetko. Uvidíme sa v ďalšom videu!
Slabý zákon veľkých čísel
Slabý zákon veľkých čísel sa tiež nazýva Bernoulliho veta podľa Jacoba Bernoulliho, ktorý to dokázal v roku 1713.
Nech existuje nekonečná postupnosť (po sebe idúce vyčíslenie) identicky rozdelených a nekorelovaných náhodných premenných. Teda ich kovariancia c o v (X i , X j) = 0 , ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\forall i\not =j). Nechaj . Označte vzorovým priemerom prvého n (\displaystyle n)členovia:
.
Potom X ¯ n → P μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).
Teda za každé pozitívum ε (\displaystyle \varepsilon )
lim n → ∞ Pr (| X ¯ n − μ |<
ε)
=
1.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\bar {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}
Silný zákon veľkých čísel
Nech existuje nekonečná postupnosť nezávislých identicky rozdelených náhodných premenných ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )) definované na jednom pravdepodobnostnom priestore (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). Nechaj E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\forall i\in \mathbb (N) ). Označiť podľa X¯n (\displaystyle (\bar(X))_(n)) vzorový priemer prvého n (\displaystyle n)členovia:
X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i , n ∈ N (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\suma \limity _(i= 1)^(n)X_(i),\;n\in \mathbb (N) ).
Potom X ¯ n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu ) takmer vždy.
Pr (lim n → ∞ X ¯ n = μ) = 1. (\displaystyle \Pr \!\left(\lim _(n\to \infty )(\bar (X))_(n)=\mu \ vpravo)=1.)
.
Ako každý matematický zákon, aj zákon veľkých čísel možno aplikovať na reálny svet len za známych predpokladov, ktoré možno splniť len s určitou mierou presnosti. Takže napríklad podmienky následných testov sa často nedajú udržiavať donekonečna a s absolútnou presnosťou. Okrem toho zákon veľkých čísel hovorí iba o nepravdepodobnosť významná odchýlka strednej hodnoty od matematického očakávania.
.
\
