Vodiče sa nazývajú telesá s vysoká koncentrácia voľné nabité častice, ktoré sa môžu pohybovať pod vplyvom elektrické pole. Ak informujeme vodič o nejakom prebytočnom náboji, voľné nabité častice, ktoré ho tvoria, sa budú pohybovať (kladné - do oblasti s nižším potenciálom, záporné - naopak), kým sa potenciály vo všetkých bodoch vodiča nestanú rovnakými. V tomto prípade sa dosiahne stav, keď sa napätie vo vnútri vodiča rovná nule a na povrchu sú vektory napätia naň kolmé. Ak zvolíme uzavretú plochu vo vnútri vodiča S, ktorý je veľmi blízko povrchu vodiča (obr. 37.1), potom v súlade s Gaussovou vetou bude tok vektora intenzity cez tento povrch rovný nule. To znamená, že vo vnútri nie je žiadny náboj a všetok nadbytočný náboj je distribuovaný po vonkajšom povrchu vodiča. Poďme zistiť, od čoho závisí hustota povrchového náboja.
Za týmto účelom zvážte dve kovové guľôčky spojené tenkým drôtom (obr. 37.2). Guľôčky a drôt tvoria jeden vodič, a preto sú ich potenciály vo všetkých bodoch rovnaké. Potenciál prvého plesu je 
, jeho povrch. Vyjadríme náboj a hustotu povrchového náboja na povrchu tejto gule:
; 
.
Podobné výrazy sa získajú pre druhú guľu:
; 
.
Oddelením výrazov pre hustotu náboja nájdeme
Náboj odovzdaný vodiču je distribuovaný po vonkajšom povrchu vodiča, pričom hustota povrchového náboja je nepriamo úmerná polomeru povrchu.
Prevrátená hodnota polomeru povrchu v danom bode sa nazýva zakrivenie povrchu. Tam, kde je polomer menší, je zakrivenie povrchu väčšie a naopak. Na výstupkoch a bodoch je zakrivenie povrchu maximálne, podľa výrazu (37.1) tam bude maximálna aj hustota povrchového náboja.
Dostávame sa teda k záveru:
Všetky body vo vnútri a na povrchu nabitého vodiča majú rovnaký potenciál,
Štúdium elektrostatiky vodičov komplikuje skutočnosť, že rozloženie elektrického náboja po vonkajšom povrchu toho istého vodivého telesa v rozdielne podmienky môže byť úplne iný. Výnimkou je prípad rozloženia elektrického náboja po povrchu osamoteného vodiča v nekonečnom homogénnom izotropnom priestore. Toto rozloženie závisí len od tvaru hraničnej plochy vodiča. Nižšie, kvôli jednoduchosti prezentácie, budeme uvažovať o osamelých vodičoch vo vákuu. Pre matematikov sa problém rozloženia elektrického náboja po povrchu vodiča nazýva Robin problém. Rozlišuje sa objemový (trojrozmerný) prípad a dvojrozmerný prípad Robinovho problému. V dvojrozmernom prípade sa za vodič považuje nekonečný valec ľubovoľného prierezu. Mimo vodiča potenciál elektrostatického poľa spĺňa Laplaceovu rovnicu, na povrchu vodiča potenciál mizne a integrál na povrchu vodiča z normálnej derivácie potenciálu je úmerný hodnote celkového elektrického poplatok. V rovinnom (dvojrozmernom) prípade sú na riešenie Robinovho problému efektívne metódy teórie funkcií komplexnej premennej, najmä metóda konformného zobrazenia.
Predpokladajme, že vodič je elipsoid, ktorého rovnica hraničnej plochy je opísaná v karteziánsky systém súradnice rovnicou
Známy (F. Frank, R. Mises. Diferenciál a integrálne rovnice matematická fyzika. – L.-M.: ONTI. Ch. vydanie všeobecnej technickej literatúry. - 1937.-998s., s. 706) rozloženie povrchovej hustoty elektrického náboja po povrchu vodivého elipsoidu:
. (2)
Tento vzťah implikuje odhad
kde t.j. povrchové hustoty elektrického náboja v priesečníkoch osí elipsoidu s povrchom. Ak veľkosť a veľmi veľké a veľké b a c malý, stáva sa veľmi veľkým. Pripomeňme, že táto hodnota je úmerná normálnej zložke intenzity elektrostatického poľa blízko povrchu vodiča. Elektrický prieraz závisí od intenzity elektrostatického poľa. Ukazuje sa, že k rozpadu dochádza v blízkosti "ostrého" konca elipsoidu pretiahnutého v jednom smere.
Na dirigentskú loptu máme
, 
, (4)
rozloženie povrchovej hustoty elektrického náboja je rovnomerné.
Nerovnomerné rozloženie elektrického náboja po povrchu ľubovoľného vodiča je príčinou chyby, ktorá vzniká napríklad pri elementárnom, zjednodušenom výpočte kapacity kondenzátora konečných rozmerov. Striktné zváženie „edge effects“ je niekedy dosť náročná úloha. Predovšetkým odvodenie vzťahu (2) vyžaduje zavedenie elipsoidných súradníc, schopnosť zapísať Laplaceovu rovnicu do týchto súradníc, zostrojiť riešenie výslednej parciálnej diferenciálnej rovnice s premenlivými koeficientmi (tzn. získať rozdelenie potenciálu elektrostatické pole mimo vodivého elipsoidu) a vypočítajte intenzitu elektrostatického poľa v blízkosti hraničnej plochy elipsoidu a nakoniec vypočítajte hodnotu povrchovej hustoty elektrického náboja na povrchu vodivého elipsoidu. Len v ojedinelých výnimočných prípadoch je možné riešenie problémov uvažovaného typu získať v uzavretej analytickej forme, v ostatných prípadoch sa riešenie dosiahne pomocou numerické metódy pomocou špeciálneho softvér moderné počítače.
Jednou z bežných úloh elektrostatiky je určiť elektrické pole alebo potenciál pre dané rozloženie povrchového náboja. Gaussova veta (1.11) umožňuje okamžite napísať nejaký konkrétny vzťah pre elektrické pole. Ak je na ploche S s jednotkovou normálou náboj rozložený s plošnou hustotou a elektrické pole na oboch stranách plochy je rovnaké (obr. 1.4), potom podľa Gaussovej vety,
Tento pomer ešte neurčuje samotné polia, s výnimkou tých prípadov, keď neexistujú žiadne iné zdroje poľa okrem povrchových nábojov s hustotou a rozloženie má obzvlášť jednoduchú formu. Vzťah (1.22) len ukazuje, že pri prechode z "vnútornej" strany povrchu, na ktorej sa nachádza povrchový náboj a, na "vonkajšiu" stranu, normálna zložka elektrického poľa prechádza skokom.
Pomocou vzťahu (1.21) pre lineárny integrál E nad uzavretým obrysom je možné ukázať, že tangenciálna zložka elektrického poľa je pri prechode povrchom spojitá.
Obr. 1.4. Skok normálnej zložky elektrického poľa v priesečníku povrchového rozloženia nábojov.
Všeobecné vyjadrenie potenciálu vytvoreného rozložením povrchového náboja v ľubovoľnom bode v priestore (vrátane samotného povrchu S, na ktorom sa náboje nachádzajú) možno nájsť z (1.17), nahradené výrazom
Výraz pre elektrické pole tu možno získať diferenciáciou.
Zaujímavý je aj problém potenciálu vytvoreného dvojitou vrstvou, t.j. rozložením dipólov po povrchu
Obr. 1.5. Prechod na limit pri vytvorení dvojitej vrstvy.
Dvojitú vrstvu si môžeme predstaviť takto: nech je náboj umiestnený na povrchu S s určitou hustotou a na povrchu S blízkom k S je povrchová hustota v zodpovedajúcich (susedných) bodoch , tj rovná veľkosti. a opačne v znamienku (obr. .1.5). Dvojvrstva, t.j. dipólové rozdelenie s povrchovým jednotkovým momentom
sa získa ako prechod k limitu, v ktorom sa S približuje nekonečne blízko k S a povrchová hustota má tendenciu k nekonečnu, takže súčin o vzdialenosť medzi v zodpovedajúcom bode smeruje k limitu
Dipólový moment vrstvy je kolmý na povrch S a smeruje od záporného náboja k kladnému.
Na nájdenie potenciálu vytvoreného dvojitou vrstvou je možné najprv zvážiť jeden dipól a potom prejsť na rozloženie dipólov na povrchu. Rovnaký výsledok možno získať, ak pre rozloženie povrchového náboja vychádzame z potenciálu (1.23) a potom vykonáme prechod k vyššie opísanej hranici. Prvý spôsob výpočtu je možno jednoduchší, ale druhý je užitočným cvičením vo vektorovej analýze, takže tu uprednostňujeme druhý.
Obr. 1.6. Geometria dvojitej vrstvy.
Nech jednotkový normálový vektor smeruje z S na S (obr. 1.6). Potom sa potenciál v dôsledku dvoch blízkych plôch S a S rovná
Pre malé d môžeme výraz rozšíriť na rad. Uvažujme o všeobecnom výraze, v ktorom
Je zrejmé, že ide len o rozšírenie Taylorovho radu v trojrozmernom prípade. Prechodom na limitu (1.24) teda dostaneme výraz pre potenciál
Vzťah (1.25) možno veľmi jednoducho geometricky interpretovať. Všimni si
kde je prvok priestorového uhla, pod ktorým je z pozorovacieho bodu viditeľný plošný prvok (obr. 1.7). Hodnota je kladná, ak je uhol ostrý, t. j. „vnútorná“ strana dvojitej vrstvy je viditeľná z bodu pozorovania.
Obr. 1.7. K odvodeniu potenciálu dvojvrstvy. Potenciál v bode P, vytvorený plošným prvkom dvojvrstvy s momentom jednoty plochy D, sa rovná súčinu momentu D a priestorového uhla, braného s opačným znamienkom, pri ktorom plocha prvok je viditeľný z bodu P.
Výraz pre dvojvrstvový potenciál možno zapísať ako
Ak je povrchová hustota dipólového momentu D konštantná, potom sa potenciál jednoducho rovná súčinu dipólového momentu a priestorového uhla s opačným znamienkom, pri ktorom je celý povrch viditeľný z pozorovacieho bodu, bez ohľadu na jeho tvar.
Pri prechode cez dvojitú vrstvu potenciál podstúpi skok rovný povrchovej hustote dipólového momentu vynásobenej . To je ľahko vidieť, ak vezmeme do úvahy pozorovací bod, ktorý sa nekonečne približuje k povrchu S vnútri. Potom podľa (1.26) potenciál na internom
strana bude rovná
pretože takmer celý priestorový uhol spočíva na malej ploche povrchu S v blízkosti pozorovacieho bodu. Podobne, ak sa k povrchu S priblížime zvonku, potom sa potenciál rovná
znamienko je obrátené v dôsledku zmeny znamienka priestorového uhla. Potenciálny skok v priesečníku dvojitej vrstvy sa teda rovná
Tento vzťah je analogický so vzorcom (1.22) pre skok v normálnej zložke elektrického poľa pri prechode "jednoduchou" vrstvou, t.j. povrchovým rozložením náboja. Vzťah (1.27) možno fyzikálne interpretovať ako potenciálnu kvapku „vo vnútri“ dvojitej vrstvy. Tento potenciálny pokles možno vypočítať (pred dosiahnutím limitu) ako súčin intenzity poľa medzi dvoma vrstvami nesúcimi povrchový náboj a vzdialenosti medzi nimi.
Ukážme, že ~
Téma 4. Otázka 3.
Rozloženie nábojov vo vodičoch.
Vodiče v elektrostatickom poli.
Keď sa nenabitý vodič zavedie do vonkajšieho elektrostatického poľa, na jeho povrchu sa objavia náboje. Jav redistribúcie nábojov vo vodiči pri jeho zavedení do vonkajšieho elektrostatického poľa sa nazýva elektrostatická indukcia ( vedenie nabíjania, elektrifikácia prostredníctvom vedenia).
1) Ak sa do poľa zavedie nenabitý kovový vodič dvoch kontaktujúcich častí, na ich povrchu sa objavia indukované náboje. Ak sú tieto časti oddelené pomocou izolačných rukovätí, potom bude každá časť nabitá zodpovedajúcim nábojom (pozri obr.). V tomto prípade je intenzita poľa vo vnútri vodičov vždy nulová.
2) Nenabitý vodič zavedený do elektrostatického poľa skresľuje pole (pozri obr. - čiary so šípkami - siločiary externé homogénne pole; sú na ne kolmé čiary ekvipotenciálne plochy; ± - sú označené indukované náboje).
3) Hodnota indukovaného (indukovaného) náboja je vždy menšia ako hodnota indukovaného náboja. Iba v prípade, že je indukčný náboj vo vnútri kovovej dutiny, indukovaný náboj sa ukáže byť rovnako veľký, ale hustota povrchového náboja sa ukáže byť iná. Na obrázku: bodový náboj je obklopený nenabitým kovovým dutým telesom. Vnútorný aj vonkajší povrch sú sférické, ale ich stredy sú posunuté. Na vonkajšom povrchu je indukovaný náboj distribuovaný rovnomerne a na vnútornom povrchu komplexným spôsobom.
4) Indukované náboje ovplyvňujú elektrické pole indukujúcich nábojov.
5). Indukovaný náboj vzniká aj na už nabitom telese. Ak sú v blízkosti dva kladné náboje + Q a + q, musia odpudzovať. Ale vyvolané záporný náboj na jednom z nábojov môže byť väčší ako jeho vlastný náboj a náboje sa budú navzájom priťahovať.
Elektrostatická ochrana: Vodič alebo pomerne hustá kovová sieť obklopujúca určitú oblasť zo všetkých strán ju chráni pred elektrickými poľami vytvorenými vonkajšími nábojmi.
Téma 5. Otázka 1.
Elektrická kapacita.
Všetky vodiče majú vlastnosť akumulácie elektrické náboje. Táto vlastnosť sa nazýva elektrická kapacita. Kvantitatívna charakteristika tejto vlastnosti sa tiež nazýva elektrická kapacita a označuje sa S. Rozlišujte medzi elektrickou kapacitou samostatného vodiča (vlastná kapacita) umiestneného ďaleko od ostatných vodičov a vzájomnou kapacitou systému dvoch alebo viacerých vodičov.
Farad, jednotka SI kapacity, je extrémne veľké množstvo. Áno, kapacita glóbus približne 7 × 10 - 4 F, preto sa zvyčajne používajú mikro-, nano- a pikofarady.
Vlastná kapacita závisí len od tvaru a rozmerov vodiča a na dielektrické vlastnosti životné prostredie(vákuum, vzduch, petrolej, ...) a nezávisí od materiálu vodiča (Fe, Cu, Al, ...), ani od toho, či je alebo nie je nabitý. Každý osamelý vodič má „svoju“ kapacitu, ak sa napríklad ohne kus drôtu alebo sa urobí priehlbina v guli, ich kapacita sa zmení.
Výpočet kapacity je zložitý matematický problém a ak má vodič zložitú konfiguráciu, potom tento problém nemožno vyriešiť analyticky.
Vypočítať elektrická kapacita osamelej gule (lopty).
Téma 5. Otázka 2.
Elektrická kapacita.
Vypočítať kapacita doskového kondenzátora- sú to dve kovové rovnobežné platne (dosky) rovnakej veľkosti, oddelené dielektrickou vrstvou (vákuum, vzduch atď.). Ak je vzdialenosť medzi doskami významná menšie veľkosti taniere: d<<L, H, pole medzi platňami možno považovať za jednotné. V skutočnosti je pole pri okrajoch dosiek nerovnomerné (pozri obrázok, ktorý znázorňuje polovicu plochého kondenzátora, čiary so šípkami sú siločiary, bez šípok sú ekvipotenciálne plochy). Je ťažké vziať do úvahy tieto okrajové efekty.
Téma 5. Otázka 3.
Elektrická kapacita.
Vzájomná kapacita závisí aj od tvaru a rozmerov vodičov a okrem toho aj od ich vzájomnej polohy. Systém dvoch vodičov sa nazýva kondenzátor, keď je vzdialenosť medzi nimi dostatočne malá a elektrické pole (keď sú nabité) je sústredené hlavne medzi vodičmi. Samotné vodiče sa nazývajú dosky. Kapacita takéhoto systému sa môže vypočítať pre dosky jednoduchých tvarov: ploché, guľové a valcové (ignorujúc okrajové efekty).
Cylindrický kondenzátor. Ide o dva koaxiálne kovové valce, medzi ktorými je dielektrikum (vákuum, vzduch atď.). Dĺžka podšívkového valca l, polomery R a r(pozri obr.). Ak informujete vnútorné obloženie o náboji + q náboje sú indukované na vonkajšej doske - q a + q kladný náboj z vonkajšieho povrchu vonkajšieho obloženia je stiahnutý do zeme. Kondenzátorové pole sa sústreďuje hlavne medzi platňami, ak je vzdialenosť medzi nimi ( R-r) << l. Efekty okrajov sa neberú do úvahy.
Téma 5. Otázka 4.
Elektrická kapacita.
Vzájomná kapacita závisí aj od tvaru a rozmerov vodičov a okrem toho aj od ich vzájomnej polohy. Systém dvoch vodičov sa nazýva kondenzátor, keď je vzdialenosť medzi nimi dostatočne malá a elektrické pole (keď sú nabité) je sústredené hlavne medzi vodičmi. Samotné vodiče sa nazývajú dosky. Je možné vypočítať kapacitu takéhoto systému pre dosky jednoduchých tvarov: ploché, guľové a valcové (s výnimkou okrajových efektov)
Sférický kondenzátor. Sú to dve kovové koncentrické gule oddelené guľovou dielektrickou vrstvou. Ak je vnútorná výstelka informovaná o náboji + q na vnútornom povrchu vonkajšieho obloženia sa indukuje náboj - q a na jeho vonkajšom povrchu + q. Tento náboj sa vybije do zeme v dôsledku uzemnenia (pozri obr.). Pole takéhoto kondenzátora je sústredené iba medzi platňami.
Téma 5. Otázka 5.
Elektrická kapacita.
Pripojenia kondenzátorov.
Kondenzátory môžu byť zapojené paralelne alebo sériovo alebo zmiešaným spôsobom: časť paralelne, časť sériovo. Pri paralelnom zapojení sa kapacita systému zvyšuje a rovná sa súčtu kapacít. Pri sériovom zapojení sa kapacita systému vždy zníži. Sériové zapojenie sa nepoužíva na zníženie kapacity, ale hlavne na zníženie potenciálneho rozdielu na každom kondenzátore, aby nedošlo k poruche kondenzátora.
| Zavedme jednoduchší zápis potenciálneho rozdielu. Niekedy U nazývané napätie, je to zastaraný pojem. Napätie U=IR- je to súčin sily a odporu prúdu (pozri nižšie - prúd) a prúd by nemal pretekať cez kondenzátor. Ak dôjde k poruche dielektrika, kondenzátor sa musí vyhodiť. | ||
 | napíšte vzorec pre každý kondenzátor a pre celý systém (nahradením D j® U); suplovanie q do posledného vzorca dostaneme: C paralelné \u003d C 1 + C 2 Zovšeobecnenie na prípad 3 alebo viacerých kondenzátorov |  paralelné pripojenie |
 | kapacita systému s paralelným zapojením kondenzátorov ( i=1,2,…,n) n- počet kondenzátorov |
Téma 6. Otázka 1.
V prípade rovnovážneho rozloženia sú náboje vodiča rozložené v tenkej povrchovej vrstve. Napríklad, ak vodič dostane záporný náboj, potom sa v dôsledku prítomnosti odpudivých síl prvkov tohto náboja rozptýlia po celom povrchu vodiča.
Aby bolo možné experimentálne zistiť, ako sú náboje rozložené na vonkajšom povrchu vodiča, používa sa takzvaná testovacia platňa. Táto doska je taká malá, že pri kontakte s vodičom ju možno považovať za súčasť povrchu vodiča. Ak sa táto platňa priloží na nabitý vodič, časť náboja ($\trojuholník q$) sa naň prenesie a hodnota tohto náboja sa bude rovnať náboju, ktorý bol na povrchu vodiča na ploche rovnajúcej sa do oblasti taniera ($\trojuholník S$).
Potom je hodnota:
\[\sigma=\frac(\triangle q)(\triangle S)(1)\]
sa nazýva hustota rozloženia povrchového náboja v danom bode.
Vybitím testovacej platne cez elektrometer je možné posúdiť veľkosť hustoty povrchového náboja. Takže napríklad, ak nabijete vodivú guľu, potom pomocou vyššie uvedenej metódy môžete vidieť, že v rovnovážnom stave je hustota povrchového náboja na loptičke vo všetkých jej bodoch rovnaká. To znamená, že náboj na povrchu gule je rozložený rovnomerne. Pre vodiče zložitejšieho tvaru je rozloženie náboja komplikovanejšie.
Povrch akéhokoľvek vodiča je ekvipotenciálny, ale vo všeobecnosti môže byť hustota distribúcie náboja v rôznych bodoch veľmi odlišná. Hustota rozloženia povrchového náboja závisí od zakrivenia povrchu. V časti, ktorá bola venovaná popisu stavu vodičov v elektrostatickom poli, sme zistili, že sila poľa v blízkosti povrchu vodiča je v akomkoľvek bode kolmá na povrch vodiča a je rovnaká v absolútnej hodnote:
kde $(\varepsilon )_0$ je elektrická konštanta, $\varepsilon $ je permitivita média. teda
\[\sigma=E\varepsilon (\varepsilon )_0\ \left(3\right).\]
Čím väčšie je zakrivenie povrchu, tým väčšia je intenzita poľa. V dôsledku toho je hustota náboja obzvlášť vysoká na výstupkoch. V blízkosti výklenkov vo vodiči sú ekvipotenciálne plochy menej bežné. V dôsledku toho je intenzita poľa a hustota náboja v týchto miestach menšia. Hustota náboja pri danom potenciáli vodiča je určená zakrivením povrchu. Zvyšuje sa so zvyšujúcou sa konvexnosťou a klesá so zvyšujúcou sa konkávnosťou. Obzvlášť vysoká hustota náboja na okrajoch vodičov. Intenzita poľa na hrote teda môže byť taká vysoká, že môže dôjsť k ionizácii molekúl plynu, ktoré obklopujú vodič. Ióny plynu opačného znamienka náboja (vzhľadom na náboj vodiča) sú priťahované k vodiču, neutralizujú jeho náboj. Ióny rovnakého znamenia odpudzujú vodič a spolu s nimi "ťahajú" neutrálne molekuly plynu. Tento jav sa nazýva elektrický vietor. Náboj vodiča sa v dôsledku procesu neutralizácie znižuje, akoby stekal z hrotu. Tento jav sa nazýva výtok náboja z hrotu.
Už sme povedali, že keď zavedieme vodič do elektrického poľa, dôjde k oddeleniu kladných nábojov (jadier) a záporných nábojov (elektrónov). Tento jav sa nazýva elektrostatická indukcia. Náboje, ktoré sa objavia ako výsledok, sa nazývajú indukované. Indukované náboje vytvárajú dodatočné elektrické pole.
Pole indukovaných nábojov je nasmerované v opačnom smere ako je smer vonkajšieho poľa. Preto náboje, ktoré sa hromadia na vodiči, oslabujú vonkajšie pole.
Prerozdelenie nábojov pokračuje dovtedy, kým nie sú splnené podmienky na vyrovnanie nábojov pre vodiče. Ako napríklad: rovnosť nule intenzity poľa všade vo vnútri vodiča a kolmosť vektora intenzity nabitého povrchu vodiča. Ak je vo vodiči dutina, potom pri rovnovážnom rozložení indukovaného náboja je pole vo vnútri dutiny nulové. Na tomto jave je založená elektrostatická ochrana. Ak má byť zariadenie chránené pred vonkajšími poľami, je obklopené vodivým štítom. V tomto prípade je vonkajšie pole kompenzované vo vnútri obrazovky indukovanými nábojmi vznikajúcimi na jej povrchu. To nemusí byť nevyhnutne súvislé, ale tiež vo forme hustej mriežky.
Úloha: Nekonečne dlhý závit, nabitý lineárnou hustotou $\tau $, je umiestnený kolmo na nekonečne veľkú vodivú rovinu. Vzdialenosť od závitu k rovine je $l$. Ak pokračujeme v závite, kým sa nepretne s rovinou, tak v priesečníku dostaneme nejaký bod A. Vytvorte vzorec pre závislosť povrchovej hustoty $\sigma \left(r\right)\ $indukovaných nábojov na rovine na vzdialenosť k bodu A.
Zvážte nejaký bod B v rovine. Nekonečne dlhý nabitý závit v bode B vytvára elektrostatické pole, v poli je vodivá rovina, na rovine vznikajú indukované náboje, ktoré zase vytvárajú pole, ktoré zoslabuje vonkajšie pole závitu. Normálna zložka rovinného poľa (indukované náboje) v bode B sa bude rovnať normálnej zložke poľa vlákna v tom istom bode, ak je systém v rovnováhe. Priraďme elementárny náboj na vlákno ($dq=\tau dx,\ kde\ dx-elementary\ kus\ vlákna\ $), nájdime v bode B napätie vytvorené týmto nábojom ($dE$):
Nájdite normálnu zložku prvku intenzity poľa vlákna v bode B:
kde $cos\alpha $ je vyjadrené ako:
Vzdialenosť $a$ vyjadrujeme Pytagorovou vetou ako:
Nahradením (1.3) a (1.4) za (1.2) dostaneme:
Nájdite integrál (1.5), kde sú hranice integrácie od $l\ (vzdialenosť\ k\ najbližšiemu\ koncu\ vlákna\ od\\ roviny)\ do\ \infty $:
Na druhej strane vieme, že pole rovnomerne nabitej roviny je:
Rovnicami (1.6) a (1.7) vyjadríme hustotu povrchového náboja:
\[\frac(1)(2)\cdot \frac(\sigma)(\varepsilon (\varepsilon )_0)=\frac(\tau )(4\pi (\varepsilon )_0\varepsilon )\cdot \frac (1)((\left(r^2+x^2\right))^(1)/(2)))\to \sigma=\frac(\tau )(2\cdot \pi (\left (r^2+x^2\vpravo))^((1)/(2))).\]
Odpoveď: $\sigma=\frac(\tau )(2\cdot \pi (\left(r^2+x^2\right))^(1)/(2))).$
Príklad 2
Úloha: Vypočítajte hustotu povrchového náboja, ktorý vzniká v blízkosti zemského povrchu, ak je sila poľa Zeme 200$\ \frac(V)(m)$.
Budeme predpokladať, že dielektrická vodivosť vzduchu je $\varepsilon =1$ ako vo vákuu. Ako základ pre riešenie problému berieme vzorec na výpočet intenzity nabitého vodiča:
Vyjadríme hustotu povrchového náboja, dostaneme:
\[\sigma=E(\varepsilon )_0\varepsilon \ \left(2.2\right),\]
kde elektrická konštanta je nám známa a rovná sa v SI $(\varepsilon )_0=8,85\cdot (10)^(-12)\frac(Ф)(m).$
Urobme výpočty:
\[\sigma=200\cdot 8,85\cdot (10)^(-12)=1,77\cdot (10)^(-9)\frac(Cl)(m^2).\]
Odpoveď: Hustota rozloženia povrchového náboja na povrchu Zeme je $1,77\cdot (10)^(-9)\frac(C)(m^2)$.
