DECARTOV SYSTÉM SÚRADNÍC DECARTOV SYSTÉM SÚRADNÍC
DECARTIÁNSKY SÚRADNICOVÝ SYSTÉM, priamočiary súradnicový systém v rovine alebo v priestore (zvyčajne so vzájomne kolmými osami a rovnakými mierkami pozdĺž osí). Pomenovaný po R. Descartesovi (cm. DECART Rene).
Descartes ako prvý zaviedol súradnicový systém, ktorý sa výrazne líšil od dnes všeobecne uznávaného. Použil šikmý súradnicový systém v rovine, pričom zvažoval krivku vo vzťahu k nejakej priamke s pevnou vzťažnou sústavou. Poloha bodov krivky bola nastavená pomocou systému paralelných úsečiek, naklonených alebo kolmých na pôvodnú priamku. Descartes nezaviedol druhú súradnicovú os, neurčil smer referencie od počiatku. Až v 18. storočí. vytvorilo sa moderné chápanie súradnicového systému, ktorý dostal meno Descartes.
***
Na zadanie kartézskeho pravouhlého súradnicového systému sa vyberú vzájomne kolmé priamky, nazývané osi. Priesečník osí O nazývaný pôvod. Každá os má kladný smer a vyberie sa jednotka mierky. Súradnice bodu P sa považujú za kladné alebo záporné v závislosti od toho, na ktorú poloos pripadá priemet bodu P.
2D súradnicový systém
P na rovine v dvojrozmernom súradnicovom systéme sú vzdialenosti od tohto bodu s určitým znamienkom (vyjadrené v mierkových jednotkách) k dvom navzájom kolmým priamkam - súradnicovým osám alebo priemetom vektora polomeru. r bodov P do dvoch vzájomne kolmých súradnicové osi.
V dvojrozmernom súradnicovom systéme sa horizontálna os nazýva os úsečka (os OX), vertikálna os je ordináta (os OY). Na osi sú zvolené kladné smery OX- vpravo, na osi OY- hore. Súradnice X a r sa nazývajú úsečka a ordináta bodu. Zápis P (a, b) znamená, že bod P v rovine má úsečku a a ordinátu b.
3D súradnicový systém
karteziánsky pravouhlé súradnice bodov P v trojrozmernom priestore sa nazývajú vzdialenosti uberané s určitým znamienkom (vyjadrené v mierkových jednotkách) tohto bodu k trom navzájom kolmým súradnicovým rovinám alebo priemetom vektora polomeru (cm. RADIUS VEKTOR) r bodov P do troch vzájomne kolmých súradnicových osí.
Prostredníctvom ľubovoľného bodu v priestore O- počiatok - nakreslia sa tri párovo kolmé priamky: os OX(os úsečka), os OY(ordináta osi), os OZ(aplikácia osi).
Na súradnicových osiach je možné špecifikovať jednotkové vektory i, j, k pozdĺž osí VÔL,OY, OZ resp.
V závislosti od relatívnej polohy kladných smerov súradnicových osí sú možné pravé a ľavé súradnicové systémy. Spravidla sa používa pravotočivý súradnicový systém. V pravostrannom súradnicovom systéme sú kladné smery zvolené nasledovne: pozdĺž osi OX- pozorovateľovi; pozdĺž osi OY - doprava; po osi OZ - hore. V pravostrannom súradnicovom systéme je najkratšia rotácia z osi X na os Y proti smeru hodinových ručičiek; ak sa súčasne s takýmto otočením pohybujeme po kladnom smere osi Z, potom získate pohyb podľa pravidla správnej skrutky.
Označenie P (a, b, c) znamená, že bod P má úsečku a, ordinátu b a aplikáciu c.
Každá trojica čísel (a, b, c) definuje jeden bod P. Preto pravouhlý karteziánsky súradnicový systém vytvára korešpondenciu jedna ku jednej medzi množinou bodov v priestore a množinou usporiadaných trojíc reálnych čísel.
Okrem súradnicových osí existujú aj súradnicové roviny. Súradnicové plochy, pre ktoré zostáva jedna zo súradníc konštantná, tu sú roviny rovnobežné so súradnicovými rovinami a súradnicové čiary, pozdĺž ktorých sa mení iba jedna súradnica, sú priamky rovnobežné so súradnicovými osami. Súradnicové plochy sa pretínajú pozdĺž súradnicových čiar.
Súradnicová rovina XOY obsahuje nápravy OX a OY, súradnicová rovina YOZ obsahuje nápravy OY a OZ, súradnicová rovina XOZ obsahuje nápravy OX a OZ.
encyklopedický slovník. 2009 .
DECARTOV SYSTÉM SÚRADNÍC- pravouhlá súradnicová sústava v rovine alebo v priestore, v ktorej sú mierky pozdĺž osí rovnaké a súradnicové osi sú navzájom kolmé. D. s. K. označujeme písmenami x :, y pre bod v rovine alebo x, y, z pre bod v priestore. (Cm.... ...
DECARTIÁNSKY SÚRADNICOVÝ SYSTÉM, systém zavedený René DECARTHOM, v ktorom je poloha bodu určená vzdialenosťou od neho k vzájomne sa pretínajúcim čiaram (osiam). V najjednoduchšej verzii systému sú osi (označené ako x a y) kolmé. ... ... Vedecko-technický encyklopedický slovník
Pravouhlý alebo karteziánsky súradnicový systém je najbežnejším súradnicovým systémom v rovine a v priestore. Obsah 1 Pravouhlý súradnicový systém v rovine ... Wikipedia
karteziánsky súradnicový systém
Priamy súradnicový systém (pozri Súradnice) v rovine alebo v priestore (zvyčajne s rovnakými mierkami pozdĺž osí). Sám R. Descartes v Geometrii (1637) používal iba súradnicový systém na rovine (vo všeobecnosti šikmej). Často…… Veľká sovietska encyklopédia
Súbor definícií, ktorý implementuje súradnicovú metódu, teda spôsob určenia polohy bodu alebo telesa pomocou čísel alebo iných symbolov. Súbor čísel, ktoré určujú polohu konkrétneho bodu, sa nazývajú súradnice tohto bodu. Vo ... ... Wikipédii
karteziánsky systém- Dekarto koordinačių sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. karteziánsky systém; Kartézsky systém súradníc vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. karteziánsky systém, f; Kartézsky systém ... ... Fizikos terminų žodynas
SÚRADNICOVÝ SYSTÉM- súbor podmienok, ktoré určujú polohu bodu na priamke, na rovine, v priestore. Existujú rôzne S. až: karteziánske, šikmé, valcové, guľové, krivočiare atď. Lineárne a uhlové veličiny určenie polohy ... ... Veľká polytechnická encyklopédia
Ortonormálny priamočiary súradnicový systém v euklidovskom priestore. D. p. S. Keďže v rovine sú nastavené dve vzájomne kolmé priame osi súradníc, na každej z nich je zvolený kladný smer a segment jednotky ... Encyklopédia matematiky
Pravouhlý súradnicový systém je priamočiary súradnicový systém so vzájomne kolmými osami v rovine alebo v priestore. Najjednoduchší a teda aj najčastejšie používaný súradnicový systém. Veľmi ľahko a priamo zovšeobecnené pre ... ... Wikipedia
Ak zavedieme súradnicový systém v rovine alebo v trojrozmernom priestore, potom budeme vedieť popísať geometrické útvary a ich vlastnosti pomocou rovníc a nerovníc, to znamená, že budeme môcť používať metódy algebry. Preto je koncept súradnicového systému veľmi dôležitý.
V tomto článku si ukážeme ako definovať pravouhlý karteziánsky súradnicový systém v rovine a v trojrozmernom priestore a zistíme, ako sa určujú súradnice bodov. Pre prehľadnosť uvádzame grafické ilustrácie.
Navigácia na stránke.
Predstavme si pravouhlý súradnicový systém v rovine.
Za týmto účelom nakreslite na rovinu dve navzájom kolmé priame čiary, vyberte si na každej z nich pozitívny smer, označte ho šípkou a vyberte si na každom z nich stupnica(jednotka dĺžky). Priesečník týchto priamok označíme písmenom O a budeme ho uvažovať referenčný bod... Takto sme sa dostali pravouhlý súradnicový systém na povrchu.
Volá sa každá z priamok so zvoleným počiatkom O, smerom a mierkou súradnicová čiara alebo súradnicová os.
Pravouhlý súradnicový systém v rovine sa zvyčajne označuje ako Oxy, kde Ox a Oy sú jeho súradnicové osi. Volá sa os Ox úsečka a os Oy je os y.
Teraz súhlasíme s obrázkom pravouhlého súradnicového systému v rovine.
Zvyčajne sa jednotka merania dĺžky na osiach Ox a Oy volí rovnako a vykresľuje sa od začiatku na každej súradnicovej osi v kladnom smere (označené pomlčkou na súradnicových osiach a vedľa nej je napísaná jednotka), os x smeruje doprava a zvislá os je nahor. Všetky ostatné možnosti smerovania súradnicových osí sa zredukujú na znejúce (os Ox je vpravo, os Oy je hore) otočením súradnicového systému o určitý uhol vzhľadom na počiatok a pohľadom naň z na druhej strane lietadla (ak je to potrebné).
Pravouhlý súradnicový systém sa často nazýva karteziánsky, pretože ho prvýkrát v rovine zaviedol René Descartes. Ešte častejšie sa pravouhlý súradnicový systém nazýva pravouhlý kartézsky súradnicový systém, ktorý spája všetko dohromady.
Obdĺžnikový súradnicový systém Oxyz v trojrozmernom euklidovskom priestore je nastavený podobne, len nie dve, ale tri navzájom kolmé čiary. Inými slovami, súradnicová os Oz sa pridá k súradnicovým osám Ox a Oy, čo je tzv. os aplikovať.
V závislosti od smeru súradnicových osí existujú v trojrozmernom priestore pravé a ľavé pravouhlé súradnicové systémy.
Ak sa pozriete z kladného smeru osi Oz a najkratšia rotácia z kladného smeru osi Ox do kladného smeru osi Oy nastane proti smeru hodinových ručičiek, potom sa súradnicový systém nazýva správny.
Ak sa pozriete z kladného smeru osi Oz a najkratšia rotácia z kladného smeru osi Ox do kladného smeru osi Oy nastane v smere hodinových ručičiek, potom sa súradnicový systém nazýva vľavo.
Najprv zvážte súradnicovú čiaru Ox a zoberte na nej nejaký bod M.
Každé reálne číslo zodpovedá jednému bodu M na tejto súradnicovej čiare. Napríklad bod umiestnený na súradnicovej čiare vo vzdialenosti od začiatku v kladnom smere zodpovedá číslu a číslu -3 zodpovedá bodu umiestnenému vo vzdialenosti 3 od začiatku v zápornom smere. Číslo 0 zodpovedá pôvodu.
Na druhej strane, každému bodu M na súradnici Ox zodpovedá reálne číslo. Toto reálne číslo je nula, ak sa bod M zhoduje s počiatkom (s bodom O). Toto reálne číslo je kladné a rovná sa dĺžke úsečky OM na tejto stupnici, ak je bod M odstránený z počiatku v kladnom smere. Toto reálne číslo je záporné a rovná sa dĺžke segmentu OM so znamienkom mínus, ak je bod M odstránený z počiatku v zápornom smere.
Číslo sa volá koordinovať body M na súradnicovej čiare.
Teraz uvažujme rovinu so zavedeným pravouhlým karteziánskym súradnicovým systémom. Označme ľubovoľný bod M na tejto rovine.
Nech je priemet bodu M na priamku Ox a priemety bodu M na súradnicovú priamku Oy (ak je to potrebné, pozri článok). To znamená, že ak bodom M vedieme priamky kolmé na súradnicové osi Ox a Oy, potom priesečníky týchto priamok s priamkami Ox a Oy sú body, resp.
Nech číslo zodpovedá bodu na osi Ox a číslo bodu na osi Oy.
Každému bodu M roviny v danom pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme zodpovedá jedna usporiadaná dvojica reálnych čísel, tzv. súradnice bodu M na povrchu. Súradnica je tzv úsečka bodu M, a - súradnica bodu M.
Platí to aj naopak: každá usporiadaná dvojica reálnych čísel zodpovedá bodu M roviny v danom súradnicovom systéme.
Ukážme si, ako sa určujú súradnice bodu M v pravouhlom súradnicovom systéme definovanom v trojrozmernom priestore.
Nech a sú projekcie bodu M na súradnicové osi Ox, Oy a Oz. Nech tieto body na súradnicových osiach Ox, Oy a Oz zodpovedajú reálnym číslam a.
Usporiadaný systém dvoch alebo troch pretínajúcich sa kolmý priateľ iné osi so spoločným pôvodom (pôvodom) a spoločná jednotka dĺžka je tzv pravouhlý kartézsky súradnicový systém .
Všeobecný karteziánsky súradnicový systém (afinný súradnicový systém) nemusia nevyhnutne zahŕňať kolmé osi. Na počesť francúzskeho matematika René Descartesa (1596-1662) je pomenovaný presne taký súradnicový systém, v ktorom sa na všetkých osiach počíta spoločná jednotka dĺžky a osi sú priamky.
Pravouhlý karteziánsky súradnicový systém v rovine má dve osi a pravouhlý kartézsky súradnicový systém v priestore - tri osi. Každý bod v rovine alebo v priestore je definovaný usporiadanou množinou súradníc - čísel v súlade s jednotkou dĺžky súradnicového systému.
Všimnite si, že ako vyplýva z definície, existuje kartézsky súradnicový systém na priamke, teda v jednom rozmere. Zavedenie karteziánskych súradníc na priamke je jedným zo spôsobov, ako je akýkoľvek bod na priamke spojený s dobre definovaným reálnym číslom, teda súradnicou.
Metóda súradníc, ktorá vznikla v dielach Reného Descartesa, znamenala revolučnú reštrukturalizáciu celej matematiky. Teraz je možné interpretovať algebraické rovnice(alebo nerovností) vo forme geometrických obrázkov (grafov) a naopak hľadať riešenie geometrické problémy pomocou analytických vzorcov, sústav rovníc. Teda nerovnosť z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy a nachádza sa nad touto rovinou o 3 jednotky.
Príslušnosť bodu k danej krivke pomocou karteziánskeho súradnicového systému zodpovedá skutočnosti, že čísla X a r splniť nejakú rovnicu. Takže súradnice bodu kruhu so stredom určiť si bod (a; b) splniť rovnicu (X - a)² + ( r - b)² = R² .
Dve kolmé osi v rovine so spoločným počiatkom a rovnakou mierkou kartézsky pravouhlý súradnicový systém v rovine ... Jedna z týchto osí sa nazýva os Vôl, alebo úsečka , druhý - podľa osi Oj, alebo os y ... Tieto osi sa nazývajú aj súradnicové osi. Označme podľa MX a Mr respektíve priemet ľubovoľného bodu M na osi Vôl a Oj... Ako získať projekcie? Poďme nakresliť bod M Vôl... Táto čiara pretína os Vôl v bode MX... Poďme nakresliť bod M priamka kolmá na os Oj... Táto čiara pretína os Oj v bode Mr... To je znázornené na obrázku nižšie.
X a r bodov M budeme nazývať hodnoty smerovaných segmentov OMX a OMr... Hodnoty týchto smerovaných segmentov sa vypočítajú podľa toho ako X = X0 - 0 a r = r0 - 0 ... Kartézske súradnice X a r bodov M úsečka a ordinát ... Skutočnosť, že bod M má súradnice X a r, označené takto: M(X, r) .
Súradnicové osi rozdeľujú rovinu na štyri kvadrant , ktorých číslovanie je znázornené na obrázku nižšie. Zobrazuje tiež usporiadanie znakov súradníc bodov v závislosti od ich umiestnenia v konkrétnom kvadrante.
Okrem karteziánskych pravouhlých súradníc sa v rovine často zvažuje aj polárny súradnicový systém. O spôsobe prechodu z jedného súradnicového systému do druhého - v lekcii polárny súradnicový systém.
Kartézske súradnice v priestore sú zavedené v plnej analógii s karteziánskymi súradnicami v rovine.
Tri vzájomne kolmé osi v priestore (súradnicové osi) so spoločným začiatkom O a s rovnakým tvarom jednotky mierky kartézsky pravouhlý súradnicový systém v priestore .
Jedna z týchto osí sa nazýva os Vôl, alebo úsečka , druhý - podľa osi Oj, alebo os y , tretí - podľa osi Oz, alebo os aplikovať ... Nechaj MX, Mr Mz- projekcie ľubovoľného bodu M priestor na osi Vôl , Oj a Oz resp.
Poďme nakresliť bod M VôlVôl v bode MX... Poďme nakresliť bod M rovina kolmá na os Oj... Táto rovina pretína os Oj v bode Mr... Poďme nakresliť bod M rovina kolmá na os Oz... Táto rovina pretína os Oz v bode Mz.
Kartézske pravouhlé súradnice X , r a z bodov M budeme nazývať hodnoty smerovaných segmentov OMX, OMr a OMz... Hodnoty týchto smerovaných segmentov sa vypočítajú podľa toho ako X = X0 - 0 , r = r0 - 0 a z = z0 - 0 .
Kartézske súradnice X , r a z bodov M sú podľa toho pomenované úsečka , ordinát a aplikovať .
Súradnicové osi v pároch sú umiestnené v súradnicových rovinách xOy , yOz a zOx .
Príklad 1
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Nájdite súradnice priemetov týchto bodov na osi x.
Riešenie. Ako vyplýva z teoretickej časti tejto lekcie, priemet bodu na úsečku sa nachádza na samotnej úsečke, teda na osi. Vôl, a preto má úsečku rovnajúcu sa úsečke samotného bodu a ordinátu (súradnicu na osi Oj, ktorú os x pretína v bode 0), rovná nule. Takže dostaneme nasledujúce súradnice týchto bodov na osi x:
Ax (2; 0);
Bx (3; 0);
Cx (-5; 0).
Príklad 2 Body sú dané v karteziánskom súradnicovom systéme v rovine
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Nájdite súradnice priemetov týchto bodov na zvislej osi.
Riešenie. Ako vyplýva z teoretickej časti tejto lekcie, priemet bodu na ordinátovú os sa nachádza na samotnej ordináde, teda na osi. Oj, a preto má súradnicu rovnajúcu sa súradnici samotného bodu a úsečku (súradnicu na osi Vôl, ktorý súradnicová os pretína v bode 0), rovná nule. Takže dostaneme nasledujúce súradnice týchto bodov na osi y:
Ay (0; 2);
By (0; 1);
Cy (0; -2).
Príklad 3 Body sú dané v karteziánskom súradnicovom systéme v rovine
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
Vôl .
Vôl Vôl Vôl, bude mať rovnakú úsečku ako tento bod a zvislú ordinátu rovnajúcu sa absolútnej hodnote osi tohto bodu a opačné znamienko. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrických k týmto bodom okolo osi Vôl :
A "(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Príklad 4 Určte, v ktorých kvadrantoch (štvrtiny, kresba s kvadrantmi - na konci odseku "Obdĺžnikový kartézsky súradnicový systém v rovine") môže byť bod umiestnený M(X; r) , ak
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) X − r = 0 ;
4) X + r = 0 ;
5) X + r > 0 ;
6) X + r < 0 ;
7) X − r > 0 ;
8) X − r < 0 .
Príklad 5. Body sú dané v karteziánskom súradnicovom systéme v rovine
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(a; b) .
Nájdite súradnice bodov symetrických k týmto bodom okolo osi Oj .
Príklad 6. Body sú dané v karteziánskom súradnicovom systéme v rovine
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Nájdite súradnice bodov symetrických k týmto bodom okolo osi Oj .
Riešenie. Otočte o 180 stupňov okolo osi Oj smerová čiara od osi Oj do tohto bodu. Na obrázku, kde sú naznačené kvadranty roviny, vidíme, že bod symetrický s daným bodom okolo osi Oj, bude mať rovnakú ordinátu ako tento bod a úsečka sa bude v absolútnej hodnote rovnať úsečke tohto bodu a bude mať opačné znamienko. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrických k týmto bodom okolo osi Oj :
A "(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
Príklad 7. Body sú dané v karteziánskom súradnicovom systéme v rovine
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Nájdite súradnice bodov, ktoré sú symetrické k týmto bodom vzhľadom na počiatok.
Riešenie. Otočte smerový segment z počiatku do daného bodu o 180 stupňov okolo počiatku. Na obrázku, kde sú naznačené kvadranty roviny, vidíme, že bod symetrický k danému bodu vzhľadom na počiatok bude mať úsečku a ordinátu rovnú v absolútnej hodnote úsečke a osi tohto bodu, ale opačnú v znamenie. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrických k týmto bodom vzhľadom na počiatok:
A "(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
Príklad 8.
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Nájdite súradnice priemetov týchto bodov:
1) v lietadle Oxy ;
2) v lietadle Oxz ;
3) v lietadle Oyz ;
4) na osi x;
5) na zvislej osi;
6) na osi aplikácie.
1) Priemet bodu do roviny Oxy sa nachádza práve v tejto rovine, a preto má úsečku a ordinátu rovnú úsečke a osi daného bodu a aplikáciu rovnú nule. Dostaneme teda nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na Oxy :
Axy (4; 3; 0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy (2; -3; 0).
2) Priemet bodu do roviny Oxz sa nachádza práve v tejto rovine, a preto má úsečku a úsečku rovnú úsečke a úsečku daného bodu a ordinátu rovnú nule. Dostaneme teda nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz (2; 0; 0).
3) Priemet bodu do roviny Oyz sa nachádza v tejto rovine samotnej, a preto má ordinátu a aplikáciu rovnajúcu sa osi y a aplikácie daného bodu a úsečku rovnajúcu sa nule. Dostaneme teda nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na Oyz :
Ayz (0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz (0; -3; 0).
4) Ako vyplýva z teoretickej časti tejto lekcie, priemet bodu na úsečku sa nachádza na samotnej úsečke, teda na osi. Vôl, a preto má úsečku rovnajúcu sa úsečke samotného bodu a ordináta a aplikácia projekcie sa rovnajú nule (keďže os ordinát a aplikovaná os pretínajú úsečku v bode 0). Získame nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na osi x:
Ax (4; 0; 0);
Bx (-3; 0; 0);
Cx (2; 0; 0).
5) Priemet bodu na ordinátovú os sa nachádza na samotnej ordinátovej osi, teda na osi. Oj, a preto má súradnicu rovnajúcu sa súradnici samotného bodu a súradnica a aplikovaná projekcia sa rovnajú nule (keďže súradnica a aplikovaná os pretínajú súradnicu v bode 0). Získame nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na súradnicovú os:
Ay (0; 3; 0);
By (0; 2; 0);
Cy (0; -3; 0).
6) Priemet bodu na os aplikácie sa nachádza na samotnej osi aplikácie, teda na osi. Oz, a preto má aplikáciu rovnajúcu sa aplikácii samotného bodu a úsečka a ordináta projekcie sa rovnajú nule (keďže os úsečky a ordináta pretínajú os aplikácie v bode 0). Získame nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na osi aplikácie:
Az (0; 0; 5);
Bz (0; 0; 1);
Cz (0; 0; 0).
Príklad 9. Body sú dané v karteziánskom súradnicovom systéme v priestore
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Nájdite súradnice bodov symetrických k týmto bodom vzhľadom na:
1) lietadlá Oxy ;
2) lietadlá Oxz ;
3) lietadlá Oyz ;
4) osi x;
5) súradnicové osi;
6) aplikačné osi;
7) pôvod súradníc.
1) "Presuňte" bod na druhej strane osi Oxy Oxy, bude mať úsečku a zvislú os rovnajúcu sa úsečke a zvislej osi daného bodu a aplikáciu rovnajúcu sa veľkosti úsečky daného bodu, ale opačné znamienko. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrických k údajom vzhľadom na rovinu Oxy :
A "(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) "Presuňte" bod na druhej strane osi Oxz rovnakú vzdialenosť. Z obrázku zobrazujúceho súradnicový priestor vidíme, že bod je symetrický k danému bodu okolo osi Oxz, bude mať úsečku a aplikáciu rovnajúcu sa úsečke a aplikácii daného bodu a ordinátu rovnajúcu sa veľkosti osy daného bodu, ale opačného znamienka. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrických k údajom vzhľadom na rovinu Oxz :
A "(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) "Presuňte" bod na druhej strane osi Oyz rovnakú vzdialenosť. Z obrázku zobrazujúceho súradnicový priestor vidíme, že bod je symetrický k danému bodu okolo osi Oyz, bude mať súradnicu a úsečku rovnajúcu sa súradnici a úsečke daného bodu a úsečku rovnajúcu sa veľkosti úsečky daného bodu, ale opačné znamienko. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrických k údajom vzhľadom na rovinu Oyz :
A "(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Analogicky so symetrickými bodmi v rovine a bodmi v priestore, ktoré sú symetrické k údajom vzhľadom na roviny, si všimneme, že v prípade symetrie okolo nejakej osi karteziánskeho súradnicového systému v priestore, súradnica na osi, vzhľadom na ktorú nastavená symetria si zachová svoje znamienko a súradnice na ďalších dvoch osiach budú v absolútnej hodnote rovnaké ako súradnice daného bodu, ale v opačnom znamienku.
4) Os x si zachová svoje znamienko a ordináta a aplikácia zmenia znamienka. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrických k údajom o osi x:
A "(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Ordinát si zachová svoje znamienko a úsečka a aplikácia zmenia znamienka. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrických k údajom podľa ordinátnej osi:
A "(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Jeho znamienko zachová aplikáciu a úsečka a os zmenia znamienka. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrických k údajom o osi aplikácie:
A "(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Analogicky so symetriou v prípade bodov v rovine, v prípade symetrie o počiatku súradníc budú všetky súradnice bodu symetrického k danému bodu v absolútnej hodnote rovnaké ako súradnice daného bodu, ale opačne v znamení. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov, ktoré sú symetrické k údajom o pôvode.
V priestore, v ktorom možno polohu bodu definovať ako jeho priemet na pevné priamky pretínajúce sa v jednom bode, nazývanom počiatok. Tieto projekcie sa nazývajú bodové súradnice a priame čiary sa nazývajú súradnicové osi.
Vo všeobecnom prípade je v rovine karteziánsky súradnicový systém (afinný súradnicový systém) určený bodom O (počiatok súradníc) a naň aplikovanou usporiadanou dvojicou vektorov e 1 a e 2 (základné vektory), ktoré nie sú ležať na rovnakej priamke. Priamky prechádzajúce počiatkom v smere vektorov báz nazývame súradnicové osi daného karteziánskeho súradnicového systému. Prvý, definovaný vektorom e 1, sa nazýva os úsečky (alebo os Ox), druhý - ordináta (alebo os Oy). Samotný karteziánsky súradnicový systém sa označuje Oe 1 e 2 alebo Oxy. Kartézske súradnice body M (obrázok 1) v karteziánskom súradnicovom systéme Oe 1 e 2 nazývame usporiadaná dvojica čísel (x, y), čo sú koeficienty rozšírenia vektora OM v báze (e 1, e 2), to znamená, že x a y sú také, že OM = xe1 + ye2. Číslo x, -∞< x < ∞, называется абсциссой, чис-ло у, - ∞ < у < ∞, - ординатой точки М. Если (x, у) - координаты точки М, то пишут М(х, у).
Ak sa do roviny zavedú dva karteziánske súradnicové systémy Oe 1 e 2 a 0'e '1 e' 2 tak, že základné vektory (e '1, e' 2) sú vyjadrené pomocou vektorov báz (e 1, e 2) podľa vzorcov
e '1 = a 11 e 1 + a 12 e 2, e' 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2
a bod O 'má súradnice (x 0, y 0) v karteziánskom súradnicovom systéme Oe 1 e 2, potom súradnice (x, y) bodu M v karteziánskom súradnicovom systéme Oe 1 e2 a súradnice (x', y ' ) toho istého bodu v karteziánskom súradnicovom systéme O'e 1 e '2 súvisia vzťahmi
x = a 11 x '+ a 21 y' + x 0, y = a 12 x '+ a 22 y' + y 0.
Kartézsky súradnicový systém sa nazýva pravouhlý, ak je základ (e 1, e 2) ortonormálny, to znamená, že vektory e 1 a e 2 sú navzájom kolmé a majú dĺžku rovnú jednej (vektory e 1 a e 2 sa nazývajú v tento prípad orts). V pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme sú súradnice x a y bodu M hodnotami ortogonálnych priemetov bodu M na osiach Ox a Oy. V pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme Oxy je vzdialenosť medzi bodmi M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2) rovná √ (x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1 ) 2
Vzorce na prechod z jedného pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému Oxy do iného pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému O'kh'y ', ktorého počiatkom O'karteziánsky súradnicový systém Oxy je O' (x0, y0), majú tvar
x = x'cosα - y'sinα + x 0, y = x'sin α + y'cosα + y 0
x = x'cosα + y'sinα + x 0, y = x'sinα - y'cosα + y 0.
V prvom prípade je systém O'kh'yu vytvorený rotáciou základných vektorov e 1; e 2 o uhol α a následný prenos počiatku súradníc O do bodu O' (obrázok 2),
a v druhom prípade otočením základných vektorov e 1, e 2 o uhol α, potom odrazením osi obsahujúcej vektor e 2 vzhľadom na priamku nesúcu vektor e 1 a posunutím začiatku súradníc O do bod O '(obrázok 3).
Niekedy sa používajú šikmé karteziánske súradnicové systémy, ktoré sa líšia od pravouhlých v tom, že uhol medzi jednotkovými bázovými vektormi nie je správny.
Všeobecný kartézsky súradnicový systém (afinný súradnicový systém) v priestore je definovaný podobným spôsobom: je stanovený bod O - počiatok súradníc a k nemu pripojená usporiadaná trojica vektorov e 1, e 2, e 3 (bázové vektory). ktoré neležia v rovnakej rovine. Rovnako ako v prípade roviny sú určené súradnicové osi - súradnicová os (os Ox), súradnicová os (os Oy) a aplikačná os (os Oz) (obrázok 4).
Kartézsky súradnicový systém v priestore sa označuje Oe 1 e 2 e 3 (alebo Oxyz). Roviny prechádzajúce dvojicami súradnicových osí sa nazývajú súradnicové roviny. Kartézsky súradnicový systém v priestore sa nazýva pravotočivý, ak rotácia z osi Ox na os Oy je vykonaná v opačnom smere ako pohyb v smere hodinových ručičiek, ak sa na rovinu Oxy pozriete z nejakého bodu na kladnej poloosi Oz, v v opačnom prípade sa karteziánsky súradnicový systém nazýva ľavý. Ak základné vektory e 1, e 2, e 3 majú dĺžku rovnú jednej a sú párovo kolmé, potom sa karteziánsky súradnicový systém nazýva pravouhlý. Poloha jedného pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému v priestore voči inému pravouhlému karteziánskemu súradnicovému systému s rovnakou orientáciou je určená tromi Eulerovými uhlami.
Kartézsky súradnicový systém je pomenovaný po R. Descartesovi, hoci v jeho diele „Geometria“ (1637) sa uvažovalo o šikmom súradnicovom systéme, v ktorom mohli byť súradnice bodov iba kladné. Vo vydaní z rokov 1659-61 bola práca holandského matematika I. Guddeho pripojená k „Geometrii“, v ktorej boli prvýkrát povolené kladné aj záporné hodnoty súradníc. Priestorový karteziánsky súradnicový systém zaviedol francúzsky matematik F. Laire (1679). Začiatkom 18. storočia sa ustálilo označenie x, y, z pre karteziánske súradnice.
