Geometric na pag-unlad hindi gaanong mahalaga sa matematika kaysa sa arithmetic. Ang geometric progression ay isang pagkakasunud-sunod ng mga numero b1, b2,..., b[n] bawat susunod na miyembro na kung saan ay nakuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng nauna sa isang pare-parehong numero. Ang numerong ito, na nagpapakilala rin sa rate ng paglago o pagbaba ng pag-unlad, ay tinatawag denominator ng isang geometric na pag-unlad at magpakilala
Para sa kumpletong pagtatalaga ng isang geometric na pag-unlad, bilang karagdagan sa denominator, kinakailangang malaman o matukoy ang unang termino nito. Para sa isang positibong denominator, ang pag-unlad ay monotonous sequence, at kung ang pagkakasunud-sunod na ito ng mga numero ay monotonically bumababa at monotonically pagtaas bilang. Ang kaso kapag ang denominator ay katumbas ng isa ay hindi isinasaalang-alang sa pagsasanay, dahil mayroon kaming isang pagkakasunud-sunod ng magkaparehong mga numero, at ang kanilang pagsusuma ay hindi praktikal na interes.
Pangkalahatang termino ng isang geometric na pag-unlad kinakalkula ayon sa formula
Ang kabuuan ng unang n termino ng isang geometric na pag-unlad tinutukoy ng formula
Isaalang-alang natin ang mga solusyon ng mga klasikal na problema sa pag-unlad ng geometriko. Magsimula tayo sa pinakasimpleng maintindihan.
Halimbawa 1. Ang unang termino ng isang geometric na progression ay 27, at ang denominator nito ay 1/3. Hanapin ang unang anim na termino ng isang geometric na pag-unlad.
Solusyon: Isinulat namin ang kondisyon ng problema sa form
Para sa mga kalkulasyon, ginagamit namin ang formula para sa ika-na miyembro ng isang geometric na pag-unlad
Batay dito, nakahanap kami ng mga hindi kilalang miyembro ng pag-unlad
Tulad ng nakikita mo, ang pagkalkula ng mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad ay hindi mahirap. Ang pag-unlad mismo ay magiging ganito
Halimbawa 2. Ang unang tatlong miyembro ng isang geometric na pag-unlad ay ibinigay: 6; -12; 24. Hanapin ang denominator at ang ikapitong termino.
Solusyon: Kinakalkula namin ang denominator ng geometric progression batay sa kahulugan nito
Nakakuha kami ng alternating geometric progression na ang denominator ay -2. Ang ikapitong termino ay kinakalkula ng formula
Sa gawaing ito ay nalutas.
Halimbawa 3. Ang isang geometric na pag-unlad ay ibinibigay ng dalawa sa mga miyembro nito 
. Hanapin ang ikasampung termino ng progression.
Solusyon:
Isulat natin ang ibinigay na mga halaga sa pamamagitan ng mga formula
Ayon sa mga patakaran, kakailanganing hanapin ang denominator, at pagkatapos ay hanapin ang nais na halaga, ngunit para sa ikasampung termino na mayroon tayo
Ang parehong formula ay maaaring makuha sa batayan ng mga simpleng manipulasyon sa input data. Hinahati namin ang ikaanim na termino ng serye sa isa pa, bilang isang resulta nakuha namin
Kung ang resultang halaga ay pinarami ng ikaanim na termino, makukuha natin ang ikasampu
Kaya, para sa mga naturang problema, sa tulong ng mga simpleng pagbabago sa mabilis na paraan makakahanap ka ng tamang solusyon.
Halimbawa 4. Ang geometric na pag-unlad ay ibinibigay ng mga paulit-ulit na formula
Hanapin ang denominator ng geometric progression at ang kabuuan ng unang anim na termino.
Solusyon:
Isinulat namin ang ibinigay na data sa anyo ng isang sistema ng mga equation
Ipahayag ang denominator sa pamamagitan ng paghahati ng pangalawang equation sa una
Hanapin ang unang termino ng progression mula sa unang equation
Kalkulahin ang sumusunod na limang termino upang mahanap ang kabuuan ng geometric progression
Mahalagang tala!
1. Kung sa halip na mga formula ang makikita mo abracadabra, i-clear ang cache. Kung paano ito gawin sa iyong browser ay nakasulat dito:
2. Bago mo simulan ang pagbabasa ng artikulo, bigyang pansin ang aming navigator para sa karamihan kapaki-pakinabang na mapagkukunan para sa
Kaya't umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:
Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring mayroong kasing dami ng gusto mo (sa aming kaso, sila). Gaano man karaming numero ang ating isusulat, palagi nating masasabi kung alin sa mga ito ang una, alin ang pangalawa, at iba pa hanggang sa huli, ibig sabihin, maaari nating bilangin ang mga ito. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero:
Numeric na pagkakasunud-sunod ay isang hanay ng mga numero, ang bawat isa ay maaaring magtalaga ng isang natatanging numero.
Halimbawa, para sa aming sequence:
Ang nakatalagang numero ay partikular sa isang sequence number lamang. Sa madaling salita, walang tatlong segundong numero sa sequence. Ang pangalawang numero (tulad ng -th na numero) ay palaging pareho.
Ang numerong may numero ay tinatawag na -th na miyembro ng sequence.
Karaniwan naming tinatawag ang buong sequence ng ilang titik (halimbawa,), at bawat miyembro ng sequence na ito - ang parehong titik na may index na katumbas ng bilang ng miyembrong ito: .
Sa kaso natin:
Ang pinakakaraniwang uri ng progression ay arithmetic at geometric. Sa paksang ito, pag-uusapan natin ang tungkol sa pangalawang uri - geometric na pag-unlad.
Kahit noong sinaunang panahon, ang Italyano na matematiko, ang monghe na si Leonardo ng Pisa (mas kilala bilang Fibonacci), ay humarap sa mga praktikal na pangangailangan ng kalakalan. Ang monghe ay nahaharap sa gawain ng pagtukoy kung ano ang pinakamaliit na bilang ng mga timbang na maaaring magamit upang timbangin ang mga kalakal? Sa kanyang mga akda, pinatunayan ni Fibonacci na ang gayong sistema ng mga timbang ay pinakamainam: Ito ay isa sa mga unang sitwasyon kung saan ang mga tao ay kailangang harapin ang isang geometric na pag-unlad, na malamang na narinig mo na at mayroon kang hindi bababa sa. pangkalahatang konsepto. Kapag naunawaan mo nang lubusan ang paksa, isipin kung bakit pinakamainam ang ganitong sistema?
Sa kasalukuyan, sa pagsasanay sa buhay, ang isang geometric na pag-unlad ay nagpapakita ng sarili kapag namumuhunan ng pera sa isang bangko, kapag ang halaga ng interes ay sinisingil sa halagang naipon sa account para sa nakaraang panahon. Sa madaling salita, kung naglagay ka ng pera sa isang term deposit sa isang savings bank, pagkatapos ay sa isang taon ang deposito ay tataas ng mula sa orihinal na halaga, i.e. ang bagong halaga ay magiging katumbas ng kontribusyon na pinarami ng. Sa ibang taon, ang halagang ito ay tataas ng, i.е. ang halaga na nakuha sa oras na iyon ay muling pinarami at iba pa. Ang isang katulad na sitwasyon ay inilarawan sa mga problema ng pag-compute ng tinatawag na tambalang interes- ang porsyento ay kinuha sa bawat oras mula sa halaga na nasa account, na isinasaalang-alang ang nakaraang interes. Pag-uusapan natin ang mga gawaing ito sa ibang pagkakataon.
Marami pang mga simpleng kaso kung saan inilalapat ang isang geometric na pag-unlad. Halimbawa, ang pagkalat ng trangkaso: ang isang tao ay nahawahan ang isang tao, sila naman, nahawahan ng isa pang tao, at sa gayon ang pangalawang alon ng impeksyon - isang tao, at sila naman, nahawahan ng isa pa ... at iba pa .. .
Sa pamamagitan ng paraan, ang isang financial pyramid, ang parehong MMM, ay isang simple at tuyo na pagkalkula ayon sa mga katangian ng isang geometric na pag-unlad. Interesting? Alamin natin ito.
Sabihin nating mayroon tayo numerical sequence:
Sasagutin mo agad na madali lang at ang pangalan ng naturang sequence ay may pagkakaiba ng mga miyembro nito. Paano ang tungkol sa isang bagay tulad nito:
Kung ibawas mo ang nakaraang numero mula sa susunod na numero, makikita mo na sa bawat oras na makakakuha ka ng isang bagong pagkakaiba (at iba pa), ngunit ang pagkakasunud-sunod ay tiyak na umiiral at madaling mapansin - ang bawat susunod na numero ay beses na mas malaki kaysa sa nauna. !
Ang ganitong uri ng pagkakasunod-sunod ay tinatawag geometric na pag-unlad at minarkahan.
Ang geometric progression ( ) ay isang numerical sequence, ang unang termino ay iba sa zero, at ang bawat termino, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, na pinarami ng parehong numero. Ang numerong ito ay tinatawag na denominator ng isang geometric na pag-unlad.
Ang mga hadlang na ang unang termino ( ) ay hindi pantay at hindi random. Sabihin nating wala, at ang unang termino ay pantay pa rin, at ang q ay, hmm .. hayaan, pagkatapos ito ay lumabas:
Sumang-ayon na ito ay walang pag-unlad.
Tulad ng naiintindihan mo, makakakuha kami ng parehong mga resulta kung ito ay anumang numero maliban sa zero, ngunit. Sa mga kasong ito, walang magiging progression, dahil ang buong serye ng numero ay magiging alinman sa lahat ng mga zero, o isang numero, at lahat ng natitirang mga zero.
Ngayon ay pag-usapan natin nang mas detalyado ang tungkol sa denominator ng isang geometric na pag-unlad, iyon ay, tungkol sa.
Ulitin natin: - ito ay isang numero, ilang beses nagbabago ang bawat kasunod na termino geometric na pag-unlad.
Ano sa tingin mo ang maaaring mangyari? Tama iyon, positibo at negatibo, ngunit hindi zero (napag-usapan namin ito nang medyo mas mataas).
Sabihin nating mayroon tayong positibo. Hayaan sa aming kaso, a. Ano ang pangalawang termino at? Madali mong masasagot iyan:
Lahat tama. Alinsunod dito, kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na mga miyembro ng pag-unlad ay may parehong tanda - sila positibo.
Paano kung negatibo? Halimbawa, a. Ano ang pangalawang termino at?
Ito ay isang ganap na naiibang kuwento
Subukang bilangin ang termino ng pag-unlad na ito. Magkano ang nakuha mo? Meron akong. Kaya, kung, pagkatapos ay ang mga palatandaan ng mga tuntunin ng geometric na pag-unlad ay kahalili. Ibig sabihin, kung makakita ka ng progression na may mga alternating sign sa mga miyembro nito, negatibo ang denominator nito. Makakatulong sa iyo ang kaalamang ito na subukan ang iyong sarili kapag nilulutas ang mga problema sa paksang ito.
Ngayon ay magsanay tayo ng kaunti: subukang tukuyin kung aling mga numerical sequence ang isang geometric na pag-unlad, at alin ang isang aritmetika:
Nakuha ko? Ihambing ang aming mga sagot:
Bumalik tayo sa ating huling pag-unlad, at subukan nating hanapin ang termino nito sa parehong paraan tulad ng sa aritmetika. Tulad ng maaaring nahulaan mo, mayroong dalawang paraan upang mahanap ito.
Sunud-sunod naming i-multiply ang bawat termino sa.
Kaya, ang -ika miyembro ng inilarawang geometric na pag-unlad ay katumbas ng.
Tulad ng nahulaan mo na, ngayon ikaw mismo ay kukuha ng isang formula na makakatulong sa iyong mahanap ang sinumang miyembro ng isang geometric na pag-unlad. O nailabas mo na ba ito para sa iyong sarili, na naglalarawan kung paano mahahanap ang ika-miyembro sa mga yugto? Kung gayon, suriin kung tama ang iyong pangangatwiran.
Ilarawan natin ito sa pamamagitan ng halimbawa ng paghahanap ng -th miyembro ng progression na ito:
Sa ibang salita:
Hanapin ang iyong sarili ang halaga ng isang miyembro ng isang ibinigay na geometric na pag-unlad.
Nangyari? Ihambing ang aming mga sagot:
Bigyang-pansin na nakuha mo ang eksaktong parehong numero tulad ng sa nakaraang pamamaraan, kapag kami ay sunud-sunod na pinarami sa bawat nakaraang miyembro ng geometric progression.
Subukan nating "i-depersonalize" ang formula na ito - dinadala natin ito sa isang pangkalahatang anyo at makuha ang:
Ang nagmula na formula ay totoo para sa lahat ng mga halaga - parehong positibo at negatibo. Suriin ito sa iyong sarili sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad na may mga sumusunod na kundisyon: , a.
Nagbilang ka ba? Ihambing natin ang mga resulta:
Sumang-ayon na posibleng makahanap ng miyembro ng progression sa parehong paraan tulad ng isang miyembro, gayunpaman, may posibilidad ng maling kalkulasyon. At kung nahanap na natin ang ika-katawagan ng isang geometric na pag-unlad, a, kung gayon ano ang mas madali kaysa sa paggamit ng "pinutol" na bahagi ng formula.
Kamakailan lamang, napag-usapan namin kung ano ang maaaring maging mas malaki o mas mababa sa zero, gayunpaman, mayroong mga espesyal na halaga kung saan tinatawag ang geometric progression. walang katapusan na bumababa.
Bakit sa tingin mo may ganoong pangalan ito?
Upang magsimula, isulat natin ang ilang geometric progression na binubuo ng mga miyembro.
Sabihin natin, kung gayon:
Nakikita namin na ang bawat kasunod na termino ay mas mababa kaysa sa nauna sa mga oras, ngunit magkakaroon ba ng anumang numero? Sumagot ka kaagad - "hindi". Iyon ang dahilan kung bakit ang walang katapusang pagbaba - bumababa, bumababa, ngunit hindi kailanman nagiging zero.
Upang malinaw na maunawaan kung ano ang hitsura nito nang biswal, subukan nating gumuhit ng graph ng ating pag-unlad. Kaya, para sa aming kaso, ang formula ay tumatagal ng sumusunod na anyo:
Sa mga chart, nakasanayan na naming bumuo ng pagtitiwala sa, samakatuwid:
Ang kakanyahan ng expression ay hindi nagbago: sa unang entry, ipinakita namin ang pag-asa ng halaga ng isang geometric progression member sa ordinal number nito, at sa pangalawang entry, kinuha lang namin ang halaga ng isang geometric progression member para sa, at ang ordinal na numero ay itinalaga hindi bilang, ngunit bilang. Ang natitira pang gawin ay i-plot ang graph.
Tingnan natin kung ano ang nakuha mo. Narito ang chart na nakuha ko:
Kita mo? Bumababa ang function, nagiging zero, ngunit hindi ito lumalampas, kaya ito ay walang katapusan na bumababa. Markahan natin ang ating mga punto sa graph, at sa parehong oras kung ano ang ibig sabihin ng coordinate at:
Subukang ilarawan nang eskematiko ang isang graph ng isang geometric na pag-unlad kung ang unang termino nito ay pantay din. Suriin kung ano ang pagkakaiba sa aming nakaraang tsart?
Inayos mo ba? Narito ang chart na nakuha ko:
Ngayon na ganap mong naunawaan ang mga pangunahing kaalaman ng paksa ng geometric progression: alam mo kung ano ito, alam mo kung paano hanapin ang termino nito, at alam mo rin kung ano ang walang katapusang pagbaba ng geometric progression, lumipat tayo sa pangunahing pag-aari nito.
Naaalala mo ba ang pag-aari ng mga miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika? Oo, oo, kung paano hanapin ang halaga ng isang tiyak na bilang ng isang pag-unlad kapag may mga nauna at kasunod na mga halaga ng mga miyembro ng pag-unlad na ito. Naalala? ito:
Ngayon ay nahaharap tayo sa eksaktong parehong tanong para sa mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad. Upang makuha ang gayong pormula, simulan natin ang pagguhit at pangangatwiran. Makikita mo, napakadali nito, at kung nakalimutan mo, maaari mo itong ilabas sa iyong sarili.
Kumuha tayo ng isa pang simpleng geometric progression, kung saan alam natin at. Paano hanapin? Sa isang pag-unlad ng aritmetika, ito ay madali at simple, ngunit paano ito dito? Sa katunayan, wala ring kumplikado sa geometry - kailangan mo lang ipinta ang bawat halaga na ibinigay sa amin ayon sa formula.
Nagtatanong ka, at ngayon ano ang gagawin natin dito? Oo, napakasimple. Upang magsimula, ilarawan natin ang mga formula na ito sa figure, at subukang gumawa ng iba't ibang mga manipulasyon sa kanila upang magkaroon ng isang halaga.
Kami ay abstract mula sa mga numero na ibinigay sa amin, kami ay tumutok lamang sa kanilang mga expression sa pamamagitan ng isang formula. Kailangan nating hanapin ang value na naka-highlight kahel, alam ang mga terminong katabi nito. Subukan nating magsagawa ng iba't ibang mga aksyon sa kanila, bilang isang resulta kung saan maaari nating makuha.
Dagdag.
Subukan nating magdagdag ng dalawang expression at makuha natin:
Mula sa expression na ito, tulad ng nakikita mo, hindi namin maipahayag sa anumang paraan, samakatuwid, susubukan namin ang isa pang pagpipilian - pagbabawas.
Pagbabawas.
Tulad ng nakikita mo, hindi rin namin maipahayag mula dito, samakatuwid, susubukan naming i-multiply ang mga expression na ito sa bawat isa.
Pagpaparami.
Ngayon tingnang mabuti kung ano ang mayroon tayo, na nagpaparami ng mga termino ng isang geometric na pag-unlad na ibinigay sa atin kumpara sa kung ano ang kailangang matagpuan:
Hulaan mo kung ano ang sinasabi ko? Tama, para mahanap kailangan nating kunin Kuwadrado na ugat mula sa mga geometric na numero ng pag-unlad na katabi ng nais na numero na pinarami ng bawat isa:
Eto na. Ikaw mismo ang nagdeduce ng property ng isang geometric progression. Subukang isulat ang formula na ito pangkalahatang pananaw. Nangyari?
Nakalimutan ang kundisyon kailan? Isipin kung bakit ito mahalaga, halimbawa, subukang kalkulahin ito sa iyong sarili, sa. Ano ang mangyayari sa kasong ito? Tama, ganap na walang kapararakan, dahil ang formula ay ganito:
Alinsunod dito, huwag kalimutan ang limitasyong ito.
Ngayon kalkulahin natin kung ano
Tamang sagot - ! Kung hindi mo nakalimutan ang pangalawang posibleng halaga kapag nagkalkula, kung gayon ikaw ay isang mahusay na kapwa at maaari kang magpatuloy kaagad sa pagsasanay, at kung nakalimutan mo, basahin kung ano ang nasuri sa ibaba at bigyang pansin kung bakit ang parehong mga ugat ay dapat na nakasulat sa sagot .
Iguhit natin ang pareho ng ating mga geometric na pag-unlad - ang isa ay may halaga, at ang isa ay may halaga, at suriin kung pareho silang may karapatang umiral:
Upang masuri kung ang gayong geometric na pag-unlad ay umiiral o wala, ito ay kinakailangan upang makita kung ito ay pareho sa pagitan ng lahat ng ibinigay na mga miyembro nito? Kalkulahin ang q para sa una at pangalawang kaso.
Tingnan kung bakit kailangan nating sumulat ng dalawang sagot? Dahil ang tanda ng kinakailangang termino ay nakasalalay sa kung ito ay positibo o negatibo! At dahil hindi natin alam kung ano ito, kailangan nating isulat ang parehong mga sagot na may plus at minus.
Ngayon na pinagkadalubhasaan mo na ang mga pangunahing punto at nahinuha ang pormula para sa pag-aari ng isang geometric na pag-unlad, hanapin, alamin at
Ihambing ang iyong mga sagot sa mga tama:
Ano sa palagay mo, paano kung hindi binigyan kami ng mga halaga ng mga miyembro ng geometric na pag-unlad na katabi ng nais na numero, ngunit katumbas ng layo mula dito. Halimbawa, kailangan nating hanapin, at bigyan at. Maaari ba nating gamitin ang formula na nakuha natin sa kasong ito? Subukang kumpirmahin o pabulaanan ang posibilidad na ito sa parehong paraan, na naglalarawan kung ano ang binubuo ng bawat halaga, tulad ng ginawa mo noong unang kinuha ang formula.
Ano ang nakuha mo?
Ngayon tingnan mong mabuti.
at naaayon:
Mula dito maaari nating tapusin na gumagana ang formula hindi lang sa kapitbahay na may mga gustong termino ng isang geometric na pag-unlad, ngunit pati na rin sa magkapantay ang layo mula sa hinahanap ng mga miyembro.
Kaya, ang aming orihinal na formula ay nagiging:
Ibig sabihin, kung sa unang kaso ay sinabi natin iyan, ngayon ay sasabihin natin na maaari itong maging katumbas ng anuman natural na numero, na mas kaunti. Ang pangunahing bagay ay maging pareho para sa parehong ibinigay na mga numero.
Magsanay sa mga partikular na halimbawa, maging maingat lamang!
Nagpasya? Umaasa ako na ikaw ay lubos na matulungin at napansin ang isang maliit na catch.
Inihambing namin ang mga resulta.
Sa unang dalawang kaso, mahinahon naming inilalapat ang formula sa itaas at makuha ang mga sumusunod na halaga:
Sa ikatlong kaso, sa mas malapit na pagsusuri serial number ang mga numerong ibinigay sa amin, naiintindihan namin na ang mga ito ay hindi katumbas ng distansya mula sa numero na aming hinahanap: ito ay ang nakaraang numero, ngunit tinanggal sa posisyon, kaya hindi posible na ilapat ang formula.
Paano ito lutasin? Ito ay talagang hindi kasing hirap ng tila! Isulat natin kung ano ang binubuo ng bawat numero na ibinigay sa amin at ang nais na numero.
Kaya mayroon kaming at. Tingnan natin kung ano ang magagawa natin sa kanila. Iminumungkahi ko ang paghahati. Nakukuha namin:
Pinapalitan namin ang aming data sa formula:
Ang susunod na hakbang na mahahanap natin - para dito kailangan nating kunin ang cube root ng nagresultang numero.
Ngayon tingnan natin muli kung ano ang mayroon tayo. Mayroon tayo, ngunit kailangan nating hanapin, at ito naman, ay katumbas ng:
Natagpuan namin ang lahat ng kinakailangang data para sa pagkalkula. Palitan sa formula:
Ang aming sagot: .
Subukang lutasin ang isa pang parehong problema sa iyong sarili:
Ibinigay: ,
Hanapin:
Magkano ang nakuha mo? Meron akong - .
Tulad ng nakikita mo, sa katunayan, kailangan mo tandaan ang isang formula lamang- . Ang lahat ng natitira ay maaari mong bawiin nang walang anumang kahirapan sa iyong sarili anumang oras. Upang gawin ito, isulat lamang ang pinakasimpleng geometric na pag-unlad sa isang piraso ng papel at isulat kung ano, ayon sa formula sa itaas, ang bawat isa sa mga numero nito ay katumbas ng.
Ngayon isaalang-alang ang mga formula na nagbibigay-daan sa amin upang mabilis na kalkulahin ang kabuuan ng mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad sa isang naibigay na pagitan:
Upang makuha ang formula para sa kabuuan ng mga termino ng isang may hangganang geometric na pag-unlad, pinaparami namin ang lahat ng bahagi ng equation sa itaas sa pamamagitan ng. Nakukuha namin:
Tingnang mabuti: ano ang pagkakatulad ng huling dalawang formula? Tama, mga karaniwang miyembro, halimbawa at iba pa, maliban sa una at huling miyembro. Subukan nating ibawas ang 1st equation mula sa 2nd equation. Ano ang nakuha mo?
Ngayon ipahayag sa pamamagitan ng formula ng isang miyembro ng isang geometric na pag-unlad at palitan ang nagresultang expression sa aming huling formula:
Pangkatin ang ekspresyon. Dapat kang makakuha ng:
Ang natitira pang gawin ay ipahayag:
Alinsunod dito, sa kasong ito.
Paano kung? Anong formula ang gumagana pagkatapos? Isipin ang isang geometric na pag-unlad sa. Ano siya? Tama ang isang serye ng magkaparehong mga numero, ayon sa pagkakabanggit, ang formula ay magiging ganito:
Tulad ng arithmetic at geometric progression, maraming mga alamat. Isa na rito ang alamat ni Seth, ang lumikha ng chess.
Alam ng maraming tao na ang laro ng chess ay naimbento sa India. Nang makilala siya ng haring Hindu, natuwa siya sa kanyang katalinuhan at sa iba't ibang posisyon na posible sa kanya. Nang malaman ng hari na ito ay naimbento ng isa sa kanyang mga nasasakupan, nagpasya ang hari na personal siyang gantimpalaan. Tinawag niya ang imbentor sa kanya at inutusang hilingin sa kanya ang anumang nais niya, na nangangako na tuparin kahit na ang pinaka mahusay na pagnanais.
Humingi si Seta ng panahon para makapag-isip, at nang kinabukasan ay humarap si Seta sa hari, nagulat siya sa hari sa walang katulad na kahinhinan ng kanyang kahilingan. Humingi siya ng isang butil ng trigo para sa unang parisukat ng chessboard, trigo para sa pangalawa, para sa pangatlo, para sa ikaapat, at iba pa.
Nagalit ang hari at itinaboy si Seth, na sinasabi na ang kahilingan ng alipin ay hindi karapat-dapat sa maharlikang pagkabukas-palad, ngunit nangako na tatanggapin ng alipin ang kanyang mga butil para sa lahat ng mga cell ng board.
At ngayon ang tanong ay: gamit ang formula para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad, kalkulahin kung gaano karaming mga butil ang dapat matanggap ni Seth?
Simulan na natin ang pagtalakay. Dahil, ayon sa kondisyon, humingi si Seth ng isang butil ng trigo para sa unang cell ng chessboard, para sa pangalawa, para sa pangatlo, para sa ikaapat, atbp., nakikita natin iyon sa problema. nag-uusap kami tungkol sa geometric progression. Ano ang katumbas sa kasong ito?
Tama.
Kabuuang mga cell ng chessboard. Kaugnay nito, . Mayroon kaming lahat ng data, nananatili lamang itong palitan sa formula at kalkulahin.
Upang kumatawan ng hindi bababa sa humigit-kumulang na "mga kaliskis" ng isang naibigay na numero, binabago namin gamit ang mga katangian ng antas:
Siyempre, kung gusto mo, maaari kang kumuha ng calculator at kalkulahin kung anong uri ng numero ang napupunta sa iyo, at kung hindi, kailangan mong kunin ang aking salita para dito: ang huling halaga ng expression ay magiging.
I.e:
quintillion quadrillion trillion billion million thousand.
Fuh) Kung gusto mong isipin ang kalakihan ng bilang na ito, tantiyahin kung anong laki ng kamalig ang kakailanganin para ma-accommodate ang buong dami ng butil.
Sa taas ng kamalig na m at lapad ng m, ang haba nito ay kailangang pahabain sa km, i.e. dalawang beses ang layo kaysa sa Earth hanggang sa Araw.
Kung ang hari ay malakas sa matematika, maaari niyang ialok ang siyentista mismo na magbilang ng mga butil, dahil upang mabilang ang isang milyong butil, kakailanganin niya ng kahit isang araw ng walang kapagurang pagbibilang, at dahil kailangan na bilangin ang mga quintilyon, ang mga butil ay kailangang mabilang sa buong buhay niya.
At ngayon ay malulutas natin ang isang simpleng problema sa kabuuan ng mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad.
Si Vasya, isang estudyante sa ika-5 baitang, ay nagkasakit ng trangkaso, ngunit patuloy na pumapasok sa paaralan. Araw-araw, nahahawa ni Vasya ang dalawang tao na, sa turn, ay nahawahan ng dalawa pang tao, at iba pa. Isang tao lang sa klase. Sa ilang araw magkakaroon ng trangkaso ang buong klase?
Kaya, ang unang miyembro ng isang geometric na pag-unlad ay si Vasya, iyon ay, isang tao. ika miyembro ng geometric progression, ito ang dalawang tao na nahawahan niya sa unang araw ng kanyang pagdating. Ang kabuuang kabuuan ng mga miyembro ng progression ay katumbas ng bilang ng mga mag-aaral na 5A. Alinsunod dito, pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang pag-unlad kung saan:
Ipalit natin ang ating data sa formula para sa kabuuan ng mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad:
Magkakasakit ang buong klase sa loob ng ilang araw. Hindi naniniwala sa mga formula at numero? Subukang ilarawan ang "impeksyon" ng mga mag-aaral sa iyong sarili. Nangyari? Tingnan kung ano ang hitsura nito para sa akin:
Kalkulahin para sa iyong sarili kung ilang araw ang mga mag-aaral ay magkakaroon ng trangkaso kung ang lahat ay makakahawa sa isang tao, at mayroong isang tao sa klase.
Anong halaga ang nakuha mo? Ito ay lumabas na ang lahat ay nagsimulang magkasakit pagkatapos ng isang araw.
Tulad ng nakikita mo, ang gayong gawain at ang pagguhit para dito ay kahawig ng isang pyramid, kung saan ang bawat kasunod na "nagdadala" ng mga bagong tao. Gayunpaman, sa lalong madaling panahon darating ang isang sandali na ang huli ay hindi makaakit ng sinuman. Sa aming kaso, kung akala namin na ang klase ay nakahiwalay, ang tao mula sa pagsasara ng chain (). Kaya, kung ang isang tao ay kasangkot sa pyramid sa pananalapi, kung saan ibinigay ang pera kung magdadala ka ng dalawa pang kalahok, kung gayon ang tao (o sa pangkalahatan) ay hindi magdadala ng sinuman, ayon sa pagkakabanggit, ay mawawala ang lahat ng kanilang namuhunan sa pandaraya na ito sa pananalapi.
Ang lahat ng sinabi sa itaas ay tumutukoy sa isang bumababa o tumataas na geometric na pag-unlad, ngunit, tulad ng naaalala mo, mayroon kaming isang espesyal na uri - isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Paano makalkula ang kabuuan ng mga miyembro nito? At bakit ang ganitong uri ng pag-unlad ay may ilang mga tampok? Sabay-sabay nating alamin ito.
Kaya, para sa mga panimula, tingnan natin muli ang larawang ito ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad mula sa aming halimbawa:
At ngayon tingnan natin ang pormula para sa kabuuan ng isang geometric na pag-unlad, na nagmula nang mas maaga:
o
Ano ang ating pinagsisikapan? Iyan ay tama, ang graph ay nagpapakita na ito ay may posibilidad na maging zero. Iyon ay, kapag, ito ay magiging halos katumbas, ayon sa pagkakabanggit, kapag kinakalkula ang expression, makakakuha tayo ng halos. Kaugnay nito, naniniwala kami na kapag kinakalkula ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad, ang bracket na ito ay maaaring mapabayaan, dahil ito ay magiging pantay.
- ang formula ay ang kabuuan ng mga termino ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad.
MAHALAGA! Ginagamit namin ang formula para sa kabuuan ng mga termino ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad lamang kung ang kundisyon ay tahasang nagsasaad na kailangan naming hanapin ang kabuuan walang katapusan ang bilang ng mga miyembro.
Kung ang isang tiyak na numero n ay ipinahiwatig, pagkatapos ay ginagamit namin ang formula para sa kabuuan ng n termino, kahit na o.
At ngayon ay magsanay tayo.
Sana naging maingat ka. Ihambing ang aming mga sagot:
Ngayon alam mo na ang lahat tungkol sa geometric progression, at oras na para lumipat mula sa teorya patungo sa pagsasanay. Ang pinakakaraniwang exponential na problema na makikita sa pagsusulit ay ang mga problema sa compound na interes. Tungkol sa kanila ang pag-uusapan natin.
Siguradong narinig mo na ang tinatawag na compound interest formula. Naiintindihan mo ba ang ibig niyang sabihin? Kung hindi, alamin natin ito, dahil napagtanto mo ang proseso mismo, mauunawaan mo kaagad kung ano ang kinalaman ng geometric progression dito.
Pumunta kaming lahat sa bangko at alam namin na mayroon iba't ibang kondisyon sa mga deposito: ito ay parehong termino, at karagdagang pagpapanatili, at isang porsyento na may dalawa iba't ibang paraan pagkalkula nito - simple at kumplikado.
MULA SA simpleng interes ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw: ang interes ay sinisingil ng isang beses sa pagtatapos ng termino ng deposito. Iyon ay, kung pinag-uusapan natin ang paglalagay ng 100 rubles sa isang taon, pagkatapos ay mai-kredito lamang sila sa katapusan ng taon. Alinsunod dito, sa pagtatapos ng deposito, makakatanggap kami ng mga rubles.
Pinagsamang interes ay isang opsyon kung saan capitalization ng interes, ibig sabihin. ang kanilang karagdagan sa halaga ng deposito at ang kasunod na pagkalkula ng kita hindi mula sa paunang, ngunit mula sa naipon na halaga ng deposito. Ang capitalization ay hindi nangyayari palagi, ngunit may ilang periodicity. Bilang isang patakaran, ang mga naturang panahon ay pantay at kadalasan ang mga bangko ay gumagamit ng isang buwan, isang quarter o isang taon.
Sabihin nating inilalagay namin ang lahat ng parehong rubles bawat taon, ngunit may buwanang capitalization ng deposito. Ano ang makukuha natin?
Naiintindihan mo ba ang lahat dito? Kung hindi, gawin natin ito nang hakbang-hakbang.
Nagdala kami ng mga rubles sa bangko. Sa pagtatapos ng buwan, dapat ay mayroon tayong halaga sa ating account na binubuo ng ating mga rubles kasama ang interes sa kanila, iyon ay:
Sumasang-ayon?
Maaari nating alisin ito sa bracket at pagkatapos ay makukuha natin:
Sumang-ayon, ang pormula na ito ay mas katulad sa isinulat namin sa simula. Ito ay nananatiling humarap sa mga porsyento
Sa kondisyon ng problema, sinabi sa amin ang tungkol sa taunang. Tulad ng alam mo, hindi kami nagpaparami ng - nagko-convert kami ng mga porsyento sa mga decimal, iyon ay:
tama? Ngayon itatanong mo, saan nanggaling ang numero? Napakasimple!
Uulitin ko: ang kalagayan ng problema ay nagsasabi tungkol sa TAON interes na naipon MONTHLY. Tulad ng alam mo, sa isang taon ng mga buwan, ayon sa pagkakabanggit, sisingilin kami ng bangko ng bahagi ng taunang interes bawat buwan:
Napagtanto? Ngayon subukang isulat kung ano ang magiging hitsura ng bahaging ito ng formula kung sinabi kong ang interes ay kinakalkula araw-araw.
Inayos mo ba? Ihambing natin ang mga resulta:
Magaling! Bumalik tayo sa ating gawain: isulat kung magkano ang maikredito sa ating account para sa ikalawang buwan, na isinasaalang-alang na ang interes ay sinisingil sa naipon na halaga ng deposito.
Narito ang nangyari sa akin:
O, sa madaling salita:
Sa tingin ko, napansin mo na ang isang pattern at nakakita ka ng geometric na pag-unlad sa lahat ng ito. Isulat kung ano ang magiging katumbas ng miyembro nito, o, sa madaling salita, kung magkano ang perang matatanggap natin sa katapusan ng buwan.
Tapos na? Sinusuri!
Tulad ng nakikita mo, kung naglalagay ka ng pera sa isang bangko sa loob ng isang taon sa isang simpleng interes, pagkatapos ay makakatanggap ka ng mga rubles, at kung ilalagay mo ito sa isang compound rate, makakatanggap ka ng mga rubles. Ang benepisyo ay maliit, ngunit ito ay nangyayari lamang sa ika-taon, ngunit sa mas mahabang panahon, ang capitalization ay higit na kumikita:
Isaalang-alang ang isa pang uri ng problema sa tambalang interes. Pagkatapos ng iyong naisip, ito ay magiging elementarya para sa iyo. Kaya ang gawain ay:
Nagsimulang mamuhunan si Zvezda sa industriya noong 2000 na may kapital na dolyar. Bawat taon mula noong 2001, kumikita ito na katumbas ng kapital noong nakaraang taon. Magkano ang kita na matatanggap ng kumpanya ng Zvezda sa katapusan ng 2003, kung ang kita ay hindi na-withdraw mula sa sirkulasyon?
Ang kabisera ng kumpanya ng Zvezda noong 2000.
- ang kabisera ng kumpanya ng Zvezda noong 2001.
- ang kabisera ng kumpanya ng Zvezda noong 2002.
- ang kabisera ng kumpanya ng Zvezda noong 2003.
O maaari tayong sumulat nang maikli:
Para sa aming kaso:
2000, 2001, 2002 at 2003.
Ayon sa pagkakabanggit:
rubles
Tandaan na sa problemang ito wala tayong dibisyon alinman sa pamamagitan o ni, dahil ang porsyento ay ibinibigay TAUN-TAON at ito ay kinakalkula TAUN-TAON. Iyon ay, kapag binabasa ang problema para sa tambalang interes, bigyang-pansin kung anong porsyento ang ibinigay, at sa anong panahon ito sisingilin, at pagkatapos ay magpatuloy lamang sa mga kalkulasyon.
Ngayon alam mo na ang lahat tungkol sa geometric progression.
Mga sagot:
2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- tumataas ng 100%, ibig sabihin, 2 beses.
Ayon sa pagkakabanggit:
rubles
MSK Cash Flows:
2005, 2006, 2007.
- tumataas ng, iyon ay, mga oras.
Ayon sa pagkakabanggit:
rubles
rubles
1) Ang geometric progression ( ) ay isang numerical sequence, ang unang termino ay iba sa zero, at ang bawat termino, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, na pinarami ng parehong numero. Ang numerong ito ay tinatawag na denominator ng isang geometric na pag-unlad.
2) Ang equation ng mga miyembro ng isang geometric progression -.
3) maaaring kumuha ng anumang halaga, maliban sa at.
4), sa - pag-aari ng isang geometric na pag-unlad (mga katabing termino)
o
, sa (magkaparehong mga termino)
Kapag nahanap mo ito, huwag kalimutan iyon dapat dalawa ang sagot..
Halimbawa,
5) Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad ay kinakalkula ng formula:
o
o
MAHALAGA! Ginagamit namin ang formula para sa kabuuan ng mga termino ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad lamang kung ang kundisyon ay tahasang nagsasaad na kinakailangan upang mahanap ang kabuuan ng isang walang katapusang bilang ng mga termino.
6) Ang mga gawain para sa tambalang interes ay kinakalkula din ayon sa pormula ng ika-miyembro ng isang geometric na pag-unlad, sa kondisyon na ang mga pondo ay hindi na-withdraw mula sa sirkulasyon:
Geometric na pag-unlad( ) ay isang numerical sequence, ang unang termino na kung saan ay iba sa zero, at ang bawat termino, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, na pinarami ng parehong numero. Ang numerong ito ay tinatawag ang denominator ng isang geometric progression.
Denominator ng isang geometric na pag-unlad maaaring tumagal ng anumang halaga maliban sa at.
Equation ng mga miyembro ng isang geometric progression - .
Ang kabuuan ng mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad kinakalkula ng formula:
o
Kung ang pag-unlad ay walang katapusan na bumababa, kung gayon:
Well, tapos na ang topic. Kung binabasa mo ang mga linyang ito, napaka-cool mo.
Dahil 5% lamang ng mga tao ang nakakabisa ng isang bagay sa kanilang sarili. At kung nabasa mo na hanggang dulo, ikaw ay nasa 5%!
Ngayon ang pinakamahalagang bagay.
Naisip mo na ang teorya sa paksang ito. At, uulitin ko, ito ay ... super lang! Mas mahusay ka na kaysa sa karamihan ng iyong mga kapantay.
Ang problema ay maaaring hindi ito sapat ...
Para saan?
Para sa matagumpay pagpasa sa pagsusulit, para sa pagpasok sa institute sa badyet at, PINAKA MAHALAGA, habang buhay.
Hindi kita kukumbinsihin sa anumang bagay, isa lang ang sasabihin ko ...
Ang mga taong nakatanggap ng magandang edukasyon ay kumikita ng higit pa kaysa sa mga hindi nakatanggap nito. Ito ay mga istatistika.
Ngunit hindi ito ang pangunahing bagay.
Ang pangunahing bagay ay MAS MASAYA sila (may mga ganyang pag-aaral). Marahil dahil marami pang pagkakataon ang nagbubukas sa harap nila at ang buhay ay nagiging mas maliwanag? Hindi alam...
Pero isipin mo ang sarili mo...
Ano ang kailangan mo upang makatiyak na mas mahusay kaysa sa iba sa pagsusulit at makapasok sa huli… mas masaya?
PUNO ANG IYONG KAMAY, PAGLUTAS NG MGA PROBLEMA SA PAKSANG ITO.
Sa pagsusulit, hindi ka tatanungin ng teorya.
Kakailanganin mong lutasin ang mga problema sa oras.
At, kung hindi mo pa nasolusyunan ang mga ito (MARAMING!), tiyak na gagawa ka ng isang hangal na pagkakamali sa isang lugar o hindi mo ito gagawin sa tamang oras.
Parang sa sports - kailangan mong ulitin ng maraming beses para siguradong manalo.
Maghanap ng koleksyon kahit saan mo gusto kinakailangang may mga solusyon, detalyadong pagsusuri at magpasya, magpasya, magpasya!
Maaari mong gamitin ang aming mga gawain (hindi kinakailangan) at tiyak na inirerekomenda namin ang mga ito.
Upang makakuha ng tulong sa tulong ng aming mga gawain, kailangan mong tumulong na palawigin ang buhay ng YouClever textbook na kasalukuyan mong binabasa.
paano? Mayroong dalawang mga pagpipilian:
Oo, mayroon kaming 99 na ganoong mga artikulo sa aklat-aralin at ang pag-access sa lahat ng mga gawain at lahat ng mga nakatagong teksto sa mga ito ay mabubuksan kaagad.
Ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain ay ibinibigay para sa buong buhay ng site.
Sa konklusyon...
Kung hindi mo gusto ang aming mga gawain, maghanap ng iba. Huwag lang tumigil sa teorya.
Ang "Naiintindihan" at "Alam ko kung paano lutasin" ay ganap na magkaibang mga kasanayan. Kailangan mo pareho.
Maghanap ng mga problema at lutasin!
Ang geometric progression ay ang bagong uri pagkakasunud-sunod ng numero, kung saan kailangan nating makilala. Para sa isang matagumpay na kakilala, hindi masakit na malaman at maunawaan man lang. Pagkatapos ay walang magiging problema sa geometric progression.)
Ano ang isang geometric progression? Ang konsepto ng geometric progression.
We start the tour, as usual, sa elementary. Sumulat ako ng hindi natapos na pagkakasunud-sunod ng mga numero:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
Mahuhuli mo ba ang isang pattern at sabihin kung aling mga numero ang susunod? Ang paminta ay malinaw, ang mga numero 100000, 1000000 at iba pa ay lalakad pa. Kahit walang stress sa pag-iisip, malinaw ang lahat, tama ba?)
OK. Isa pang halimbawa. Sinusulat ko ang sumusunod na pagkakasunud-sunod:
1, 2, 4, 8, 16, …
Masasabi mo ba kung aling mga numero ang susunod, kasunod ng numero 16 at pangalan ikawalo miyembro ng sequence? Kung naisip mo na ito ay ang numerong 128, kung gayon ay napakahusay. Kaya, kalahati ng labanan ay nasa pag-unawa ibig sabihin At pangunahing puntos tapos na ang geometric progression. Maaari kang lumago pa.)
At ngayon bumalik tayo mula sa mga sensasyon patungo sa mahigpit na matematika.
Mga mahahalagang sandali ng isang geometric na pag-unlad.
Mahalagang sandali #1
Ang geometric progression ay pagkakasunod-sunod ng mga numero. Tulad ng pag-unlad. Walang nakakalito. Inayos lang ang sequence na ito iba. Samakatuwid, siyempre, mayroon itong ibang pangalan, oo ...
Mahalagang sandali #2
Sa pangalawang pangunahing punto, ang tanong ay magiging mas nakakalito. Bumalik tayo ng kaunti at tandaan ang pangunahing katangian ng isang pag-unlad ng arithmetic. Heto na: iba ang bawat miyembro sa nauna sa parehong halaga.
Posible bang magbalangkas ng isang katulad na pangunahing pag-aari para sa isang geometric na pag-unlad? Mag-isip ng kaunti... Tingnan ang mga halimbawang ibinigay. nahulaan? Oo! Sa isang geometric na pag-unlad (anuman!) Ang bawat isa sa mga miyembro nito ay naiiba mula sa nauna sa parehong bilang ng beses. Ay laging!
Sa unang halimbawa, ang bilang na ito ay sampu. Alinmang termino ng sequence ang kukunin mo, mas malaki ito kaysa sa nauna sampung beses.
Sa pangalawang halimbawa, ito ay dalawa: ang bawat miyembro ay mas malaki kaysa sa nauna. dalawang beses.
Nasa mahalagang puntong ito na ang geometric progression ay naiiba sa arithmetic. Sa isang pag-unlad ng aritmetika, ang bawat susunod na termino ay nakuha pagdaragdag ng parehong halaga sa nakaraang termino. At dito - pagpaparami ang nakaraang termino sa parehong halaga. Iyon ang pagkakaiba.)
Mahalagang sandali #3
Ang pangunahing puntong ito ay ganap na magkapareho sa para sa isang pag-unlad ng aritmetika. Namely: ang bawat miyembro ng geometric progression ay nasa lugar nito. Ang lahat ay eksaktong kapareho ng sa pag-unlad ng aritmetika at mga komento, sa palagay ko, ay hindi kailangan. Mayroong unang termino, mayroong isang daan at una, at iba pa. Ayusin natin ang hindi bababa sa dalawang miyembro - ang pattern (at kasama nito ang geometric progression) ay mawawala. Ang natitira ay isang pagkakasunod-sunod lamang ng mga numero na walang anumang lohika.
Iyon lang. Iyan ang buong punto ng geometric progression.
Mga tuntunin at pagtatalaga.
At ngayon, sa pagtalakay sa kahulugan at mahahalagang punto ng geometric progression, maaari tayong magpatuloy sa teorya. Kung hindi, ano ang isang teorya na walang pag-unawa sa kahulugan, tama ba?
Ano ang isang geometric progression?
Paano isinusulat ang isang geometric na pag-unlad sa mga pangkalahatang termino? Walang problema! Ang bawat miyembro ng progreso ay isinulat din bilang isang liham. Para sa pag-unlad ng aritmetika lamang, ang titik ay karaniwang ginagamit "pero", para sa geometric - titik "b". Numero ng miyembro, gaya ng dati, ay ipinahiwatig ibabang kanang index. Ang mga miyembro ng progression mismo ay nakalista lamang na pinaghihiwalay ng mga kuwit o semicolon.
Ganito:
b1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …
Sa madaling sabi, ang gayong pag-unlad ay nakasulat tulad ng sumusunod: (b n) .
O tulad nito, para sa mga may hangganang pag-unlad:
b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 .
b 1 , b 2 , ..., b 29 , b 30 .
O, sa madaling salita:
(b n), n=30 .
Iyan, sa katunayan, ay ang lahat ng mga pagtatalaga. Ang lahat ay pareho, ang titik lamang ang naiiba, oo.) At ngayon ay diretso tayo sa kahulugan.
Kahulugan ng isang geometric na pag-unlad.
Ang geometric progression ay isang numerical sequence, ang unang termino ay non-zero, at ang bawat kasunod na termino ay katumbas ng nakaraang term na pinarami ng parehong non-zero na numero.
Iyan ang buong kahulugan. Karamihan sa mga salita at parirala ay malinaw at pamilyar sa iyo. Maliban kung, siyempre, naiintindihan mo ang kahulugan ng isang geometric na pag-unlad "sa mga daliri" at sa pangkalahatan. Ngunit mayroon ding ilang mga bagong parirala na gusto kong bigyan ng espesyal na pansin.
Una, ang mga salita: "ang unang termino kung saan iba sa zero".
Ang paghihigpit na ito sa unang termino ay hindi ipinakilala ng pagkakataon. Ano sa palagay mo ang mangyayari kung ang unang termino b 1 zero pala? Ano ang magiging pangalawang termino kung ang bawat termino ay mas malaki kaysa sa nauna ang parehong bilang ng beses? Sabihin nating tatlong beses? Tingnan natin... Multiply ang unang termino (i.e. 0) sa 3 at makakuha ng... zero! At ang pangatlong miyembro? Zero din! At ang pang-apat na termino ay zero din! atbp…
Nakakakuha lang kami ng isang bag ng mga bagel ng sequence ng mga zero:
0, 0, 0, 0, …
Siyempre, ang gayong pagkakasunud-sunod ay may karapatang mabuhay, ngunit ito ay walang praktikal na interes. Napakalinaw ng lahat. Anuman sa mga miyembro nito ay zero. Ang kabuuan ng anumang bilang ng mga miyembro ay zero din ... Anong mga kawili-wiling bagay ang maaari mong gawin dito? Wala…
Ang mga sumusunod na keyword: "na-multiply sa parehong hindi-zero na numero".
Ang parehong numero ay mayroon ding sariling espesyal na pangalan - denominator ng isang geometric na pag-unlad. Magsimula tayo sa pakikipag-date.)
Ang denominator ng isang geometric na pag-unlad.
Simple lang ang lahat.
Ang denominator ng isang geometric na pag-unlad ay isang hindi-zero na numero (o halaga) na nagpapahiwatig Ilang besesbawat miyembro ng progreso higit pa sa nauna.
Muli, sa pamamagitan ng pagkakatulad sa pag-unlad ng aritmetika, ang pangunahing salita na dapat bigyang pansin sa kahulugang ito ay ang salita. "higit pa". Nangangahulugan ito na ang bawat termino ng isang geometric na pag-unlad ay nakuha pagpaparami sa mismong denominator na ito dating miyembro.
paliwanag ko.
Upang makalkula, sabihin natin pangalawa miyembro na kunin una miyembro at magparami ito sa denominator. Para sa pagkalkula ikasampu miyembro na kunin ikasiyam miyembro at magparami ito sa denominator.
Ang denominator ng geometric progression mismo ay maaaring anuman. Kahit sino talaga! Integer, fractional, positibo, negatibo, hindi makatwiran - lahat. Maliban sa zero. Ito ang sinasabi sa atin ng salitang "non-zero" sa kahulugan. Bakit kailangan ang salitang ito dito - higit pa sa susunod.
Denominator ng isang geometric na pag-unlad karaniwang tinutukoy ng isang liham q.
Paano mahahanap ang isang ito q? Walang problema! Dapat nating kunin ang anumang termino ng pag-unlad at hatiin sa nakaraang termino. Ang dibisyon ay maliit na bahagi. Samakatuwid ang pangalan - "ang denominator ng pag-unlad." Ang denominator, ito ay karaniwang nakaupo sa isang fraction, oo ...) Bagaman, lohikal, ang halaga q dapat tawagan pribado geometric progression, katulad ng pagkakaiba para sa isang arithmetic progression. Pero pumayag na tumawag denominador. At hindi rin namin muling iimbento ang gulong.)
Tukuyin natin, halimbawa, ang halaga q para sa geometric na pag-unlad na ito:
2, 6, 18, 54, …
Elementary ang lahat. Kinukuha namin anuman sequence number. Kung ano ang gusto natin ay kung ano ang ating kukunin. Maliban sa pinaka una. Halimbawa, 18. At hatiin sa pamamagitan ng nakaraang numero. Ibig sabihin, sa 6.
Nakukuha namin:
q = 18/6 = 3
Iyon lang. Ito ang tamang sagot. Para sa isang ibinigay na geometric na pag-unlad, ang denominator ay tatlo.
Hanapin natin ang denominator q para sa isa pang geometric na pag-unlad. Halimbawa, tulad nito:
1, -2, 4, -8, 16, …
Lahat pare-pareho. Anuman ang mga senyales na mayroon ang mga miyembro mismo, kinukuha pa rin natin anuman sequence number (halimbawa, 16) at hatiin sa nakaraang numero(ibig sabihin -8).
Nakukuha namin:
d = 16/(-8) = -2
At iyon lang.) Sa pagkakataong ito ang denominator ng progression ay naging negatibo. Minus dalawa. Nangyayari ito.)
Kunin natin ang pag-unlad na ito:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
At muli, anuman ang uri ng mga numero sa pagkakasunud-sunod (kahit na mga integer, kahit fractional, kahit negatibo, kahit na hindi makatwiran), kumukuha kami ng anumang numero (halimbawa, 1/9) at hinahati sa nakaraang numero (1/3). Ayon sa mga patakaran ng mga operasyon na may mga fraction, siyempre.
Nakukuha namin:
Iyon lang.) Dito naging fractional ang denominator: q = 1/3.
Ngunit tulad ng isang "pag-unlad" bilang mo?
3, 3, 3, 3, 3, …
Obvious dito q = 1 . Sa pormal, ito ay isa ring geometric na pag-unlad, lamang sa parehong mga miyembro.) Ngunit tulad ng mga pag-unlad sa pag-aaral at praktikal na aplikasyon hindi kawili-wili. Tulad ng mga pag-unlad na may mga solidong zero. Samakatuwid, hindi namin sila isasaalang-alang.
Tulad ng nakikita mo, ang denominator ng pag-unlad ay maaaring anuman - integer, fractional, positibo, negatibo - kahit ano! Hindi pwedeng zero lang. Hindi ko inakala kung bakit?
Well, tingnan natin ang ilang partikular na halimbawa, kung ano ang mangyayari kung gagawin natin bilang isang denominator q zero.) Hayaan natin, halimbawa, magkaroon b 1 = 2 , ngunit q = 0 . Ano ang magiging pangalawang termino kung gayon?
Naniniwala kami:
b 2 = b 1 · q= 2 0 = 0
At ang pangatlong miyembro?
b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0
Mga uri at pag-uugali ng mga geometric na pag-unlad.
Sa lahat ng bagay ay higit pa o hindi gaanong malinaw: kung ang pagkakaiba sa pag-unlad d ay positibo, ang pag-unlad ay tumataas. Kung negatibo ang pagkakaiba, bababa ang pag-unlad. Mayroon lamang dalawang pagpipilian. Walang pangatlo.)
Ngunit sa pag-uugali ng isang geometric na pag-unlad, ang lahat ay magiging mas kawili-wili at magkakaibang!)
Sa sandaling kumilos ang mga miyembro dito: sila ay tumaas at bumaba, at lumalapit sa zero nang walang katiyakan, at kahit na nagbabago ng mga palatandaan, halili na nagmamadali sa alinman sa "plus" o sa "minus"! At sa lahat ng pagkakaiba-iba na ito ay dapat na maunawaan ng isang tao, oo ...
Naiintindihan namin?) Magsimula tayo sa pinakasimpleng kaso.
Ang denominator ay positibo ( q >0)
Sa isang positibong denominator, una, ang mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad ay maaaring pumasok plus infinity(ibig sabihin, tumaas nang walang katiyakan) at maaaring pumasok sa minus infinity(i.e. bumaba nang walang katiyakan). Nasanay na tayo sa ganitong pag-uugali ng mga pag-unlad.
Halimbawa:
(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …
Simple lang ang lahat dito. Ang bawat miyembro ng pag-unlad ay higit pa sa nauna. At nakakakuha ang bawat miyembro pagpaparami nakaraang miyembro sa positibo numero +2 (ibig sabihin. q = 2 ). Ang pag-uugali ng naturang pag-unlad ay halata: ang lahat ng mga miyembro ng pag-unlad ay lumalaki nang walang katiyakan, papunta sa kalawakan. Plus infinity...
Ngayon narito ang pag-unlad:
(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …
Dito rin, ang bawat termino ng pag-unlad ay nakuha pagpaparami nakaraang miyembro sa positibo numero +2. Ngunit ang pag-uugali ng naturang pag-unlad ay direktang kabaligtaran: ang bawat miyembro ng pag-unlad ay nakuha mas mababa kaysa dati, at lahat ng termino nito ay bumababa nang walang katiyakan, papunta sa minus infinity.
Ngayon isipin natin: ano ang pagkakatulad ng dalawang pag-unlad na ito? Tama, denominator! Dito at doon q = +2 . Positibong numero. Deuce. At dito pag-uugali Ang dalawang pag-unlad na ito ay sa panimula ay magkaiba! Hindi ko inakala kung bakit? Oo! Ito ay tungkol sa lahat unang miyembro! Siya, gaya ng sinasabi nila, ang nag-uutos ng musika.) Tingnan mo ang iyong sarili.
Sa unang kaso, ang unang termino ng pag-unlad positibo(+1) at, samakatuwid, lahat ng kasunod na termino na nakuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng positibo denominador q = +2 , gagawin din positibo.
Ngunit sa pangalawang kaso, ang unang termino negatibo(-isa). Samakatuwid, ang lahat ng kasunod na mga miyembro ng pag-unlad ay nakuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng positibo q = +2 , ay makukuha rin negatibo. Para sa "minus" hanggang "plus" ay palaging nagbibigay ng "minus", oo.)
Tulad ng nakikita mo, hindi tulad ng isang pag-unlad ng aritmetika, ang isang geometric na pag-unlad ay maaaring kumilos sa ganap na magkakaibang mga paraan, hindi lamang depende mula sa denominatorq, ngunit depende rin mula sa unang miyembro, Oo.)
Tandaan: ang pag-uugali ng isang geometric na pag-unlad ay natatanging tinutukoy ng unang miyembro nito b 1 at denominadorq .
At ngayon sinisimulan namin ang pagsusuri ng hindi gaanong pamilyar, ngunit mas kawili-wiling mga kaso!
Kunin, halimbawa, ang sumusunod na pagkakasunud-sunod:
(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Ang sequence na ito ay isa ring geometric progression! Ang bawat miyembro ng pag-unlad na ito ay nakuha din pagpaparami ang nakaraang termino, sa parehong numero. Ang numero lang fractional: q = +1/2 . O kaya +0,5 . At (mahalaga!) numero, mas maliit:q = 1/2<1.
Ano ang kawili-wili sa geometric na pag-unlad na ito? Saan pupunta ang mga miyembro nito? Tingnan natin:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
Ano ang kawili-wili dito? Una, ang pagbaba sa mga miyembro ng pag-unlad ay kapansin-pansin kaagad: bawat isa sa mga miyembro nito mas kaunti eksakto ang nakaraan 2 beses. O, ayon sa kahulugan ng isang geometric na pag-unlad, ang bawat termino higit pa dati 1/2 beses, dahil denominador ng pag-unlad q = 1/2 . At mula sa pagpaparami sa isang positibong numero na mas mababa sa isa, ang resulta ay karaniwang bumababa, oo ...
Ano pa makikita sa pag-uugali ng pag-unlad na ito? Nawawala ba ang mga miyembro nito? walang limitasyon, pupunta sa minus infinity? Hindi! Nawala sila sa isang espesyal na paraan. Sa una ay bumababa sila nang mabilis, at pagkatapos ay mas mabagal. At habang nananatili positibo. Kahit na napakaliit. At ano ang kanilang pinagsisikapan? Hindi nahulaan? Oo! May posibilidad silang maging zero!) At, bigyang-pansin, ang mga miyembro ng aming pag-unlad hinding-hindi maabot! Tanging walang katapusang malapit sa kanya. Napakahalaga nito.)
Ang isang katulad na sitwasyon ay magiging sa gayong pag-unlad:
(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
Dito b 1 = -1 , ngunit q = 1/2 . Ang lahat ay pareho, ngayon lamang ang mga miyembro ay lalapit sa zero mula sa kabilang panig, mula sa ibaba. Nananatili sa lahat ng oras negatibo.)
Tulad ng isang geometric na pag-unlad, ang mga miyembro nito papalapit sa zero nang walang katapusan.(hindi mahalaga, sa positibo o negatibong panig), sa matematika mayroon itong espesyal na pangalan - walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Ang pag-unlad na ito ay lubhang kawili-wili at hindi pangkaraniwan na ito ay magiging hiwalay na aralin .)
Kaya, isinasaalang-alang namin ang lahat ng posible positibo Ang mga denominador ay parehong malaki at mas maliit. Hindi namin isinasaalang-alang ang isa mismo bilang isang denominator para sa mga kadahilanang nakasaad sa itaas (tandaan ang halimbawa na may pagkakasunud-sunod ng mga triple ...)
Upang ibuod:
positiboAt higit sa isa (q>1), pagkatapos ay ang mga miyembro ng progreso:
a) tumaas nang walang katapusan (kungb 1 >0);
b) bumaba nang walang katiyakan (kungb 1 <0).
Kung ang denominator ng isang geometric progression positibo At mas mababa sa isa (0< q<1), то члены прогрессии:
a) walang katapusang malapit sa zero sa itaas(kungb 1 >0);
b) walang katapusan na malapit sa zero galing sa ibaba(kungb 1 <0).
Ito ay nananatiling ngayon upang isaalang-alang ang kaso negatibong denominador.
Ang denominator ay negatibo ( q <0)
Hindi tayo lalayo para sa isang halimbawa. Bakit, sa katunayan, balbon na lola?!) Hayaan, halimbawa, ang unang miyembro ng pag-unlad b 1 = 1 , at kunin ang denominator q = -2.
Nakukuha namin ang sumusunod na pagkakasunud-sunod:
(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …
At iba pa.) Ang bawat termino ng pag-unlad ay nakuha pagpaparami nakaraang miyembro sa isang negatibong numero-2. Sa kasong ito, ang lahat ng miyembro sa mga kakaibang lugar (una, ikatlo, ikalima, atbp.) ay magiging positibo, at sa kahit na mga lugar (pangalawa, ikaapat, atbp.) - negatibo. Ang mga palatandaan ay mahigpit na pinagsama-sama. Plus-minus-plus-minus ... Ang ganitong geometric progression ay tinatawag na - pagtaas ng sign na alternating.
Saan pupunta ang mga miyembro nito? At wala kahit saan.) Oo, sa ganap na halaga (i.e. modulo) ang mga tuntunin ng aming pag-unlad ay tumataas nang walang katiyakan (kaya't ang pangalan ay "tumataas"). Ngunit sa parehong oras, ang bawat miyembro ng pag-unlad ay halili na itinapon ito sa init, pagkatapos ay sa lamig. Alinman sa plus o minus. Ang aming pag-unlad ay nagbabago-bago... Bukod dito, ang hanay ng mga pagbabagu-bago ay mabilis na lumalaki sa bawat hakbang, oo.) Samakatuwid, ang mga hangarin ng mga miyembro ng pag-unlad na pumunta sa isang lugar partikular dito hindi. Ni sa plus infinity, o sa minus infinity, o sa zero - wala kahit saan.
Isaalang-alang ngayon ang ilang fractional denominator sa pagitan ng zero at minus one.
Halimbawa, hayaan mo na b 1 = 1 , ngunit q = -1/2.
Pagkatapos ay makuha namin ang pag-unlad:
(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
At muli ay mayroon tayong alternation ng mga palatandaan! Ngunit, hindi tulad ng naunang halimbawa, narito mayroon nang malinaw na pagkahilig para sa mga termino na lumalapit sa zero.) Sa pagkakataong ito lamang ang ating mga termino ay lumalapit sa zero hindi lamang mula sa itaas o ibaba, ngunit muli nag-aalangan. Salit-salit na pagkuha ng alinman sa positibo o negatibong mga halaga. Ngunit sa parehong oras sila mga module ay papalapit ng papalapit sa itinatangi na zero.)
Ang geometric progression na ito ay tinatawag walang katapusang pagbaba ng alternating sign.
Bakit kawili-wili ang dalawang halimbawang ito? At ang katotohanan na sa parehong mga kaso ay nagaganap salit-salit na mga character! Ang ganitong chip ay tipikal lamang para sa mga pag-unlad na may negatibong denominator, oo.) Samakatuwid, kung sa ilang gawain ay makikita mo ang isang geometric na pag-unlad na may mga alternating miyembro, kung gayon ay matatag mong malalaman na ang denominator nito ay 100% negatibo at hindi ka magkakamali sa tanda.)
Sa pamamagitan ng paraan, sa kaso ng isang negatibong denominator, ang tanda ng unang termino ay hindi nakakaapekto sa pag-uugali ng mismong pag-unlad. Anuman ang tanda ng unang miyembro ng pag-unlad, sa anumang kaso, ang tanda ng paghahalili ng mga miyembro ay mapapansin. Ang buong tanong ay makatarungan sa anong mga lugar(kahit o kakaiba) magkakaroon ng mga miyembro na may mga tiyak na palatandaan.
Tandaan:
Kung ang denominator ng isang geometric progression negatibo , kung gayon ang mga palatandaan ng mga tuntunin ng pag-unlad ay palaging kahalili.
Kasabay nito, ang mga miyembro mismo:
a) tumaas nang walang katapusanmodulo, kungq<-1;
b) lumapit sa zero nang walang hanggan kung -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
Iyon lang. Sinusuri ang lahat ng karaniwang kaso.)
Sa proseso ng pag-parse ng iba't ibang mga halimbawa ng geometric progressions, pana-panahon kong ginagamit ang mga salita: "may posibilidad na maging zero", "may posibilidad na plus infinity", may posibilidad na minus infinity... Okay lang.) Ang mga turn sa pagsasalita na ito (at mga partikular na halimbawa) ay isang paunang pagkakakilala pag-uugali iba't ibang pagkakasunud-sunod ng numero. Isang halimbawa ng isang geometric na pag-unlad.
Bakit kailangan pa nating malaman ang pag-uugali ng pag-unlad? Ano ang pagkakaiba nito kung saan siya pupunta? Sa zero, sa plus infinity, sa minus infinity ... Ano ang pakialam natin dito?
Ang bagay ay nasa unibersidad na, sa kurso ng mas mataas na matematika, kakailanganin mo ang kakayahang magtrabaho kasama ang iba't ibang mga pagkakasunud-sunod ng numero (na may anuman, hindi lamang mga pag-unlad!) At ang kakayahang isipin nang eksakto kung paano kumikilos ito o ang pagkakasunud-sunod na iyon. - kung ito ay tumaas ay walang limitasyon, kung ito ay bumababa, kung ito ay may posibilidad sa isang tiyak na numero (at hindi kinakailangan sa zero), o kahit na hindi malamang sa anumang bagay ... Ang isang buong seksyon ay nakatuon sa paksang ito sa kurso ng pagsusuri sa matematika - limitasyon ng teorya. Medyo mas partikular, ang konsepto limitasyon ng pagkakasunod-sunod ng numero. Napaka interesanteng paksa! Makatuwirang pumasok sa kolehiyo at alamin ito.)
Ilang halimbawa mula sa seksyong ito (mga pagkakasunud-sunod na may limitasyon) at sa partikular, walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad magsimulang matuto sa paaralan. Nasasanay na.)
Bukod dito, ang kakayahang pag-aralan nang mabuti ang pag-uugali ng mga pagkakasunud-sunod sa hinaharap ay lubos na maglalaro sa mga kamay at magiging lubhang kapaki-pakinabang sa pananaliksik sa tungkulin. Ang pinaka-iba-iba. Ngunit ang kakayahang mahusay na magtrabaho sa mga function (kalkulahin ang mga derivative, galugarin ang mga ito nang buo, buuin ang kanilang mga graph) ay kapansin-pansing nagpapataas ng iyong antas ng matematika! Pagdududa? Hindi na kailangan. Tandaan din ang aking mga salita.)
Tingnan natin ang isang geometric na pag-unlad sa buhay?
Sa buhay sa paligid natin, nakakaranas tayo ng exponential progression nang napakadalas. Kahit hindi alam.)
Halimbawa, ang iba't ibang mga microorganism na nakapaligid sa atin sa lahat ng dako sa napakalaking dami at na hindi natin nakikita nang walang mikroskopyo ay tiyak na dumarami sa geometric na pag-unlad.
Sabihin nating ang isang bacterium ay nagpaparami sa pamamagitan ng paghahati sa kalahati, na nagbibigay ng mga supling sa 2 bakterya. Sa turn, ang bawat isa sa kanila, na dumarami, ay nahahati din sa kalahati, na nagbibigay ng isang karaniwang supling ng 4 na bakterya. Ang susunod na henerasyon ay magbibigay ng 8 bacteria, pagkatapos ay 16 bacteria, 32, 64 at iba pa. Sa bawat sunod-sunod na henerasyon, dumodoble ang bilang ng bacteria. Isang tipikal na halimbawa ng isang geometric na pag-unlad.)
Gayundin, ang ilang mga insekto - aphids, langaw - dumami nang husto. At kung minsan, ang mga kuneho din.)
Ang isa pang halimbawa ng isang geometric na pag-unlad, na mas malapit sa pang-araw-araw na buhay, ay ang tinatawag na tambalang interes. Ang ganitong kagiliw-giliw na kababalaghan ay madalas na matatagpuan sa mga deposito sa bangko at tinatawag capitalization ng interes. Ano ito?
Ikaw mismo, siyempre, bata pa. Nag-aaral ka sa paaralan, hindi ka nag-aaplay sa mga bangko. Ngunit ang iyong mga magulang ay nasa hustong gulang at independiyenteng mga tao. Pumapasok sila sa trabaho, kumikita ng pera para sa kanilang pang-araw-araw na pagkain, at naglalagay ng ilan sa pera sa bangko, na nag-iipon.)
Sabihin nating gusto ng iyong ama na mag-ipon ng isang tiyak na halaga ng pera para sa bakasyon ng pamilya sa Turkey at maglagay ng 50,000 rubles sa bangko sa 10% bawat taon sa loob ng tatlong taon na may taunang capitalization ng interes. Bukod dito, walang magagawa sa deposito sa buong panahon na ito. Hindi mo maaaring palitan ang deposito o mag-withdraw ng pera mula sa account. Ano ang kikitain niya sa tatlong taon na ito?
Well, una, kailangan mong malaman kung ano ang 10% bawat taon. Ibig sabihin nito ay sa isang taon 10% ay idaragdag sa paunang halaga ng deposito ng bangko. Mula sa kung ano? Siyempre, mula sa halaga ng paunang deposito.
Kalkulahin ang halaga ng account sa isang taon. Kung ang paunang halaga ng deposito ay 50,000 rubles (i.e. 100%), kung gayon sa isang taon kung magkano ang interes sa account? Tama, 110%! Mula sa 50,000 rubles.
Kaya isinasaalang-alang namin ang 110% ng 50,000 rubles:
50,000 1.1 \u003d 55,000 rubles.
Umaasa akong naiintindihan mo na ang paghahanap ng 110% ng halaga ay nangangahulugan ng pagpaparami ng halagang ito sa bilang na 1.1? Kung hindi mo maintindihan kung bakit ganito, tandaan ang ikalima at ikaanim na baitang. Namely - ang kaugnayan ng mga porsyento sa mga fraction at bahagi.)
Kaya, ang pagtaas para sa unang taon ay magiging 5000 rubles.
Magkano ang pera sa account pagkatapos ng dalawang taon? 60,000 rubles? Sa kasamaang palad (o sa halip, sa kabutihang palad), hindi ito ganoon kasimple. Ang buong trick ng capitalization ng interes ay na sa bawat bagong naipon na interes, ang parehong interes na ito ay isasaalang-alang na mula sa bagong halaga! Mula sa kung sino na ay nasa account Kasalukuyan. At ang interes na naipon para sa nakaraang termino ay idinagdag sa paunang halaga ng deposito at, sa gayon, sila mismo ay lumahok sa pagkalkula ng bagong interes! Ibig sabihin, nagiging buong bahagi sila ng kabuuang account. o pangkalahatan kabisera. Samakatuwid ang pangalan - capitalization ng interes.
Ito ay nasa ekonomiya. At sa matematika, ang mga naturang porsyento ay tinatawag tambalang interes. O kaya porsyento ng porsyento.) Ang kanilang panlilinlang ay na sa sunud-sunod na pagkalkula, ang mga porsyento ay kinakalkula sa bawat oras mula sa bagong halaga. Hindi mula sa orihinal...
Samakatuwid, upang makalkula ang kabuuan sa pamamagitan ng dalawang taon, kailangan nating kalkulahin ang 110% ng halaga na nasa account sa isang taon. Iyon ay, mula sa 55,000 rubles.
Isinasaalang-alang namin ang 110% ng 55,000 rubles:
55000 1.1 \u003d 60500 rubles.
Nangangahulugan ito na ang pagtaas ng porsyento para sa ikalawang taon ay magiging 5,500 rubles, at para sa dalawang taon - 10,500 rubles.
Ngayon ay maaari mo nang hulaan na sa tatlong taon ang halaga sa account ay magiging 110% ng 60,500 rubles. Iyan ay muli 110% mula sa nakaraang (nakaraang taon) mga halaga.
Dito natin isinasaalang-alang:
60500 1.1 \u003d 66550 rubles.
At ngayon ay binubuo namin ang aming mga halaga sa pananalapi sa pamamagitan ng mga taon sa pagkakasunud-sunod:
50000;
55000 = 50000 1.1;
60500 = 55000 1.1 = (50000 1.1) 1.1;
66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1
O kamusta ba iyon? Bakit hindi isang geometric na pag-unlad? Unang miyembro b 1 = 50000 , at ang denominator q = 1,1 . Ang bawat termino ay mahigpit na 1.1 beses na mas malaki kaysa sa nauna. Ang lahat ay mahigpit na naaayon sa kahulugan.)
At ilang dagdag na porsyentong bonus ang "ihulog" ng iyong ama habang ang kanyang 50,000 rubles ay nasa bank account sa loob ng tatlong taon?
Naniniwala kami:
66550 - 50000 = 16550 rubles
Masama, siyempre. Ngunit ito ay kung ang paunang halaga ng kontribusyon ay maliit. Paano kung meron pa? Sabihin, hindi 50, ngunit 200 libong rubles? Pagkatapos ang pagtaas sa loob ng tatlong taon ay magiging 66,200 rubles (kung bibilangin mo). Which is already very good.) At kung mas malaki pa ang kontribusyon? Iyon na iyon...
Konklusyon: mas mataas ang paunang kontribusyon, mas kumikita ang capitalization ng interes. Kaya naman ang mga deposito na may capitalization ng interes ay ibinibigay ng mga bangko sa mahabang panahon. Sabihin na nating limang taon.
Gayundin, ang lahat ng uri ng masasamang sakit tulad ng trangkaso, tigdas at higit pang mga kahila-hilakbot na sakit (kaparehong SARS noong unang bahagi ng 2000s o salot noong Middle Ages) ay gustong kumalat nang husto. Kaya ang sukat ng mga epidemya, oo ...) At lahat dahil sa ang katunayan na ang isang geometric na pag-unlad sa buong positive denominator (q>1) - isang bagay na napakabilis na lumaki! Alalahanin ang pagpaparami ng bakterya: mula sa isang bacterium dalawa ang nakuha, mula sa dalawa - apat, mula apat - walo, at iba pa ... Sa pagkalat ng anumang impeksiyon, ang lahat ay pareho.)
Ang pinakasimpleng mga problema sa geometric progression.
Magsimula tayo, gaya ng dati, sa isang simpleng problema. Panay upang maunawaan ang kahulugan.
1. Ito ay kilala na ang pangalawang termino ng isang geometric progression ay 6, at ang denominator ay -0.5. Hanapin ang una, ikatlo at ikaapat na termino.
Kaya binibigyan kami walang katapusan geometric progression, kilala pangalawang termino pag-unlad na ito:
b2 = 6
Bilang karagdagan, alam din natin denominador ng pag-unlad:
q = -0.5
At kailangan mong hanapin una, pangatlo At pang-apat mga miyembro ng pag-unlad na ito.
Dito kami umaarte. Isinulat namin ang pagkakasunud-sunod ayon sa kondisyon ng problema. Direkta sa mga pangkalahatang termino, kung saan ang pangalawang miyembro ay ang anim:
b1,6,b 3 , b 4 , …
Ngayon simulan natin ang paghahanap. Nagsisimula kami, gaya ng dati, sa pinakasimpleng. Maaari mong kalkulahin, halimbawa, ang ikatlong termino b 3? Pwede! Alam na natin (direkta sa kahulugan ng isang geometric na pag-unlad) na ang ikatlong termino (b 3) higit sa isang segundo (b 2 ) sa "q" minsan!
Kaya sumulat kami:
b 3 =b 2 · q
Pinapalitan namin ang anim sa expression na ito sa halip na b 2 at -0.5 sa halip q at iniisip natin. At ang minus ay hindi rin binabalewala, siyempre ...
b 3 \u003d 6 (-0.5) \u003d -3
Ganito. Ang ikatlong termino ay naging negatibo. Hindi nakakagulat: ang aming denominator q- negatibo. At ang plus na pinarami ng minus, ito ay, siyempre, magiging minus.)
Isinasaalang-alang namin ngayon ang susunod, ikaapat na termino ng pag-unlad:
b 4 =b 3 · q
b 4 \u003d -3 (-0.5) \u003d 1.5
Ang ikaapat na termino ay muli na may plus. Ang ikalimang termino ay muling magkakaroon ng minus, ang ikaanim na may plus, at iba pa. Mga palatandaan - kahaliling!
Kaya, natagpuan ang ikatlo at ikaapat na miyembro. Ang resulta ay ang sumusunod na pagkakasunud-sunod:
b1; 6; -3; 1.5; …
Ito ay nananatili ngayon upang mahanap ang unang termino b 1 ayon sa kilalang pangalawa. Upang gawin ito, humakbang kami sa kabilang direksyon, sa kaliwa. Nangangahulugan ito na sa kasong ito, hindi natin kailangang i-multiply ang pangalawang termino ng pag-unlad ng denominator, ngunit ibahagi.
Hinahati namin at makuha:
Iyon lang.) Ang sagot sa problema ay ang mga sumusunod:
-12; 6; -3; 1,5; …
Tulad ng nakikita mo, ang prinsipyo ng solusyon ay pareho sa . Alam namin anuman miyembro at denominador geometric progression - makakahanap tayo ng iba pang termino. Anuman ang gusto natin, makakahanap tayo ng isa.) Ang pinagkaiba lang ay ang pagdaragdag / pagbabawas ay pinapalitan ng multiplikasyon / paghahati.
Tandaan: kung alam natin ang hindi bababa sa isang miyembro at denominator ng isang geometric na pag-unlad, maaari tayong laging makahanap ng sinumang iba pang miyembro ng pag-unlad na ito.
Ang sumusunod na gawain, ayon sa tradisyon, ay mula sa totoong bersyon ng OGE:
2.
…; 150; X; 6; 1.2; …
O kamusta ba iyon? Sa pagkakataong ito ay walang unang termino, walang denominator q, isang sequence lang ng mga numero ang binigay ... Something familiar already, right? Oo! Ang isang katulad na problema ay naharap na sa pag-unlad ng aritmetika!
Dito hindi kami natatakot. Lahat pare-pareho. Buksan ang iyong ulo at tandaan ang elementarya na kahulugan ng isang geometric na pag-unlad. Tinitingnan namin nang mabuti ang aming pagkakasunud-sunod at alamin kung aling mga parameter ng geometric na pag-unlad ng tatlong pangunahing (ang unang miyembro, denominator, numero ng miyembro) ang nakatago dito.
Mga numero ng miyembro? Walang mga numero ng miyembro, oo ... Ngunit mayroong apat sunud-sunod numero. Ang ibig sabihin ng salitang ito, I don’t see the point in explaining at this stage.) Dalawa ba mga kalapit na kilalang numero? meron! Ito ay 6 at 1.2. Para mahanap natin denominador ng pag-unlad. Kaya kinuha namin ang numero 1.2 at hatiin sa naunang numero. Para sa anim.
Nakukuha namin:
Nakukuha namin:
x= 150 0.2 = 30
Sagot: x = 30 .
Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay medyo simple. Ang pangunahing kahirapan ay namamalagi lamang sa mga kalkulasyon. Ito ay lalong mahirap sa kaso ng mga negatibo at fractional denominator. Kaya sa mga may problema, ulitin ang aritmetika! Paano gumawa ng mga fraction, kung paano gumawa ng mga negatibong numero, at iba pa... Kung hindi, walang awa kang babagal dito.
Ngayon baguhin natin ng kaunti ang problema. Ngayon ito ay magiging kawili-wili! Tanggalin natin ang huling numero 1.2 sa loob nito. Lutasin natin ang problemang ito ngayon:
3. Ilang magkakasunod na termino ng isang geometric na pag-unlad ay nakasulat:
…; 150; X; 6; …
Hanapin ang termino ng progression, na tinutukoy ng titik x.
Pareho lang ang lahat, dalawa lang ang magkatabi sikat wala na tayong mga miyembro ng progression. Ito ang pangunahing problema. Ang laki kasi q sa pamamagitan ng dalawang magkalapit na termino, madali na nating matukoy hindi natin kaya. May pagkakataon ba tayong harapin ang hamon? tiyak!
Isulat natin ang hindi kilalang termino " x"Direkta sa kahulugan ng isang geometric na pag-unlad! Sa pangkalahatan.
Oo Oo! Direktang may hindi kilalang denominator!
Sa isang banda, para sa x maaari nating isulat ang sumusunod na ratio:
x= 150q
Sa kabilang banda, mayroon kaming lahat ng karapatan na ipinta ang parehong X sa pamamagitan ng susunod miyembro, hanggang sa anim! Hatiin ang anim sa denominator.
Ganito:
x = 6/ q
Malinaw, ngayon ay maaari nating itumbas ang parehong mga ratio na ito. Dahil kami ay nagpapahayag pareho halaga (x), ngunit dalawa iba't ibang paraan.
Nakukuha namin ang equation:
Pagpaparami ng lahat sa pamamagitan ng q, pinapasimple, binabawasan, nakukuha natin ang equation:
q 2 \u003d 1/25
Malutas namin at makuha:
q = ±1/5 = ±0.2
Oops! Doble ang denominator! +0.2 at -0.2. At alin ang pipiliin? Dead end?
Kalmado! Oo, may problema talaga dalawang solusyon! Walang masama diyan. Nangyayari ito.) Hindi ka nagulat kapag, halimbawa, nakakuha ka ng dalawang ugat sa pamamagitan ng paglutas ng karaniwan? Ito ay ang parehong kuwento dito.)
Para sa q = +0.2 kukunin namin:
X \u003d 150 0.2 \u003d 30
At para sa q = -0,2 ay:
X = 150 (-0.2) = -30
Nakakuha kami ng dobleng sagot: x = 30; x = -30.
Ano ang ibig sabihin ng kawili-wiling katotohanang ito? At kung ano ang umiiral dalawang pag-unlad, nagbibigay-kasiyahan sa kalagayan ng problema!
Tulad ng mga ito:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
Parehong angkop.) Ano sa palagay mo ang dahilan ng pagkakahati ng mga sagot? Dahil lang sa pag-aalis ng isang partikular na miyembro ng progression (1,2), na darating pagkatapos ng anim. At dahil alam lamang ang naunang (n-1)-th at kasunod na (n+1)-th na mga miyembro ng geometric progression, hindi na natin masasabi nang malinaw ang anuman tungkol sa n-th miyembro na nakatayo sa pagitan nila. Mayroong dalawang mga pagpipilian - plus at minus.
Ngunit hindi mahalaga. Bilang isang patakaran, sa mga gawain para sa isang geometric na pag-unlad mayroong karagdagang impormasyon na nagbibigay ng isang hindi malabo na sagot. Sabihin natin ang mga salita: "sign-alternating progression" o "pag-unlad na may positibong denominator" at iba pa... Ang mga salitang ito ang dapat magsilbing pahiwatig kung aling tanda, plus o minus, ang dapat piliin kapag gumagawa ng panghuling sagot. Kung walang ganoong impormasyon, kung gayon - oo, magkakaroon ng gawain dalawang solusyon.)
At ngayon kami ay nagpasya sa aming sarili.
4. Tukuyin kung ang numero 20 ay magiging miyembro ng isang geometric na pag-unlad:
4 ; 6; 9; …
5. Ang isang alternating geometric progression ay ibinigay:
…; 5; x ; 45; …
Hanapin ang termino ng progression na ipinahiwatig ng liham x .
6. Hanapin ang ikaapat na positibong termino ng geometric progression:
625; -250; 100; …
7. Ang pangalawang termino ng geometric progression ay -360, at ang ikalimang termino nito ay 23.04. Hanapin ang unang termino ng pag-unlad na ito.
Mga sagot (magulo): -15; 900; Hindi; 2.56.
Binabati kita kung naging maayos ang lahat!
May hindi kasya? Mayroon bang dobleng sagot sa isang lugar? Maingat naming binasa ang mga kondisyon ng takdang-aralin!
Ang huling palaisipan ay hindi gumagana? Walang kumplikado doon.) Direkta kaming nagtatrabaho ayon sa kahulugan ng isang geometric na pag-unlad. Well, maaari kang gumuhit ng isang larawan. Nakakatulong ito.)
Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay elementarya. Kung ang pag-unlad ay maikli. Paano kung mahaba? O napakalaki ng bilang ng gustong miyembro? Gusto ko, sa pamamagitan ng pagkakatulad sa isang pag-unlad ng aritmetika, na kahit papaano ay makakuha ng isang maginhawang formula na nagpapadali sa paghahanap. anuman miyembro ng anumang geometric na pag-unlad sa pamamagitan ng kanyang numero. Nang hindi nagpaparami ng marami, maraming beses q. At mayroong gayong pormula!) Mga Detalye - sa susunod na aralin.
Isaalang-alang natin ang isang serye.
7 28 112 448 1792...
Ito ay ganap na malinaw na ang halaga ng alinman sa mga elemento nito ay eksaktong apat na beses na mas malaki kaysa sa nauna. Kaya ang seryeng ito ay isang pag-unlad.
Ang isang geometric na pag-unlad ay isang walang katapusang pagkakasunud-sunod ng mga numero, ang pangunahing tampok kung saan ang susunod na numero ay nakuha mula sa nauna sa pamamagitan ng pagpaparami ng ilang partikular na numero. Ito ay ipinahayag ng sumusunod na pormula.
a z +1 =a z q, kung saan ang z ay ang bilang ng napiling elemento.
Alinsunod dito, ang z ∈ N.
Ang panahon kung kailan pinag-aaralan ang isang geometric progression sa paaralan ay grade 9. Tutulungan ka ng mga halimbawa na maunawaan ang konsepto:
0.25 0.125 0.0625...
Batay sa formula na ito, ang denominator ng pag-unlad ay matatagpuan tulad ng sumusunod:
Ang alinman sa q o b z ay hindi maaaring maging zero. Gayundin, ang bawat isa sa mga elemento ng pag-unlad ay hindi dapat katumbas ng zero.
Alinsunod dito, upang malaman ang susunod na numero sa serye, kailangan mong i-multiply ang huli sa q.
Upang tukuyin ang pag-unlad na ito, dapat mong tukuyin ang unang elemento at denominator nito. Pagkatapos nito, posibleng mahanap ang alinman sa mga kasunod na termino at ang kanilang kabuuan.
Depende sa q at a 1, ang pag-unlad na ito ay nahahati sa ilang uri:
Halimbawa: a 1 =3, q=2 - ang parehong mga parameter ay mas malaki kaysa sa isa.
Pagkatapos ang numerical sequence ay maaaring isulat tulad nito:
3 6 12 24 48 ...
Halimbawa: a 1 =6, q=1/3 - a 1 ay mas malaki kaysa sa isa, q ay mas mababa.
Pagkatapos ang numerical sequence ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
6 2 2/3 ... - anumang elemento ay 3 beses na mas malaki kaysa sa elementong sumusunod dito.
Halimbawa: a 1 = -3 , q = -2 - parehong mga parameter ay mas mababa sa zero.
Pagkatapos ang pagkakasunud-sunod ay maaaring isulat tulad nito:
3, 6, -12, 24,...
Para sa maginhawang paggamit ng mga geometric na pag-unlad, maraming mga formula:
Halimbawa:q = 3, a 1 = 4. Kinakailangang kalkulahin ang ikaapat na elemento ng progression.
Solusyon:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
Mula noong (1-q) ay nasa denominator, pagkatapos ay (1 - q)≠ 0, kaya ang q ay hindi katumbas ng 1.
Tandaan: kung q=1, kung gayon ang pag-usad ay isang serye ng isang walang katapusang umuulit na numero.
Ang kabuuan ng isang geometric na pag-unlad, mga halimbawa:a 1 = 2, q= -2. Kalkulahin ang S 5 .
Solusyon:S 5 = 22 - pagkalkula sa pamamagitan ng formula.
Halimbawa:a 1 = 2 , q= 0.5. Hanapin ang halaga.
Solusyon:Sz = 2 · = 4
Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
isang z 2 = isang z -1 · az+1
isang z 2 = isang z - t 2 + isang z + t 2 , saantay ang distansya sa pagitan ng mga numerong ito.
Para mas maunawaan kung ano ang geometric progression, makakatulong ang mga halimbawa na may solusyon para sa grade 9.
Solusyon: ang bawat kasunod na elemento ay mas malaki kaysa sa nauna saq minsan.Kinakailangang ipahayag ang ilang elemento sa pamamagitan ng iba gamit ang denominator.
Dahil dito,a 3 = q 2 · a 1
Kapag nagpapalitq= 4
Solusyon:Upang gawin ito, sapat na upang mahanap ang q, ang unang elemento at palitan ito sa formula.
a 3 = q· a 2 , Dahil dito,q= 2
a 2 = q isang 1,kaya lang a 1 = 3
S 6 = 189
Solusyon: upang gawin ito, sapat na upang ipahayag ang ikaapat na elemento sa pamamagitan ng una at sa pamamagitan ng denominator.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Solusyon: Ang paunang halaga ay 10 libong rubles. Kaya, isang taon pagkatapos ng pamumuhunan, ang account ay magkakaroon ng halagang katumbas ng 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10000 1.06
Alinsunod dito, ang halaga sa account pagkatapos ng isa pang taon ay ipapakita bilang sumusunod:
(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000
Ibig sabihin, bawat taon ang halaga ay tumataas ng 1.06 beses. Nangangahulugan ito na upang mahanap ang halaga ng mga pondo sa account pagkatapos ng 4 na taon, sapat na upang mahanap ang ikaapat na elemento ng pag-unlad, na ibinibigay ng unang elemento na katumbas ng 10 libo, at ang denominator ay katumbas ng 1.06.
S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625
Sa iba't ibang mga problema, ginagamit ang isang geometric na pag-unlad. Ang isang halimbawa para sa paghahanap ng kabuuan ay maaaring ibigay tulad ng sumusunod:
a 1 = 4, q= 2, kalkulahinS5.
Solusyon: ang lahat ng data na kinakailangan para sa pagkalkula ay kilala, kailangan mo lamang na palitan ang mga ito sa formula.
S 5 = 124
Solusyon:
Geom. pag-unlad, ang bawat susunod na elemento ay q beses na mas malaki kaysa sa nauna, iyon ay, upang kalkulahin ang kabuuan, kailangan mong malaman ang elementoa 1 at denominadorq.
a 2 · q = a 3
q = 3
Katulad nito, kailangan nating hanapina 1 , alama 2 Atq.
a 1 · q = a 2
a 1 =2
S 6 = 728.
Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.
Mga pantulong sa pagtuturo at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 9
Mga Powers at Roots Function at Graph
Guys, ngayon ay makikilala natin ang isa pang uri ng pag-unlad.
Ang paksa ng aralin ngayon ay geometric progression.
Halimbawa. 1,2,4,8,16… Geometric progression, kung saan ang unang miyembro ay katumbas ng isa, at $q=2$.
Halimbawa. 8,8,8,8… Isang geometric na pag-unlad na ang unang termino ay walo,
at $q=1$.
Halimbawa. 3,-3,3,-3,3... Isang geometric progression na ang unang termino ay tatlo,
at $q=-1$.
Ang geometric progression ay may mga katangian ng monotonicity.
Kung $b_(1)>0$, $q>1$,
pagkatapos ay tumataas ang pagkakasunod-sunod.
Kung $b_(1)>0$, $0 Ang pagkakasunud-sunod ay karaniwang tinutukoy bilang: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Tulad ng sa isang arithmetic progression, kung ang bilang ng mga elemento sa isang geometric progression ay may hangganan, ang progression ay tinatawag na finite geometric progression.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Tandaan na kung ang sequence ay isang geometric progression, ang sequence ng squared terms ay isa ring geometric progression. Ang pangalawang sequence ay may unang termino na $b_(1)^2$ at ang denominator na $q^2$.
Bumalik tayo sa ating mga halimbawa.
Halimbawa. 1,2,4,8,16... Isang geometric na pag-unlad na ang unang termino ay katumbas ng isa,
at $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
Halimbawa. 16,8,4,2,1,1/2… Isang geometric na pag-unlad na ang unang termino ay labing-anim at $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
Halimbawa. 8,8,8,8… Isang geometric na pag-unlad kung saan ang unang termino ay walo at $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
Halimbawa. 3,-3,3,-3,3… Isang geometric na pag-unlad na ang unang termino ay tatlo at $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
Halimbawa. Binigyan ng geometric progression $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Alam na ang $b_(1)=6, q=3$. Hanapin ang $b_(5)$.
b) Alam na ang $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Hanapin n.
c) Alam na $q=-2, b_(6)=96$. Hanapin ang $b_(1)$.
d) Ito ay kilala na $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Hanapin q.
Solusyon.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ mula noong $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Halimbawa. Ang pagkakaiba sa pagitan ng ikapito at ikalimang miyembro ng geometric progression ay 192, ang kabuuan ng ikalima at ikaanim na miyembro ng progression ay 192. Hanapin ang ikasampung miyembro ng progression na ito.
Solusyon.
Alam namin na: $b_(7)-b_(5)=192$ at $b_(5)+b_(6)=192$.
Alam din namin: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Pagkatapos:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Mayroon kaming isang sistema ng mga equation:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Ang equating, ang aming mga equation ay makakakuha ng:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Nakakuha kami ng dalawang solusyon q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Palitan ng sunud-sunod sa pangalawang equation:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ walang solusyon.
Nakuha namin iyon: $b_(1)=4, q=2$.
Hanapin natin ang ikasampung termino: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
Hayaang magbigay ng may hangganang geometric progression: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Ipakilala natin ang notasyon para sa kabuuan ng mga miyembro nito: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Sa kaso kapag $q=1$. Ang lahat ng mga miyembro ng geometric progression ay katumbas ng unang miyembro, at malinaw na ang $S_(n)=n*b_(1)$.
Isaalang-alang ngayon ang kaso $q≠1$.
I-multiply ang halaga sa itaas sa q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Tandaan:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
Nakuha namin ang formula para sa kabuuan ng isang may hangganang geometric na pag-unlad.
Solusyon.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Halimbawa.
Hanapin ang ikalimang miyembro ng geometric progression, na kilala: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
Solusyon.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Ang isang pagkakasunod-sunod ng numero ay isang geometric na pag-unlad lamang kapag ang parisukat ng bawat isa sa mga termino nito ay katumbas ng produkto ng dalawang magkatabing termino nito ng pag-unlad. Huwag kalimutan na para sa isang may hangganang pag-unlad ang kundisyong ito ay hindi nasiyahan para sa una at huling termino.
Ang modulus ng sinumang miyembro ng isang geometric progression ay katumbas ng geometric mean ng dalawang miyembro na katabi nito.
Solusyon.
Gamitin natin ang katangiang katangian:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ at $x_(2)=-1$.
Palitan nang sunud-sunod sa orihinal na expression, ang aming mga solusyon:
Sa $x=2$, nakuha namin ang sequence: 4;6;9 ay isang geometric na progression na may $q=1.5$.
Sa $x=-1$, nakuha namin ang sequence: 1;0;0.
Sagot: $x=2.$
