Isaalang-alang muna natin ang kaso ng isang function ng dalawang variable. Ang conditional extremum ng function na $z=f(x,y)$ sa puntong $M_0(x_0;y_0)$ ay ang extremum ng function na ito, na naabot sa ilalim ng kondisyon na ang mga variable na $x$ at $y$ sa sa paligid ng puntong ito ay nakakatugon sa constraint equation $\ varphi(x,y)=0$.

Ang pangalang "conditional" extremum ay dahil sa katotohanan na ang karagdagang kundisyon na $\varphi(x,y)=0$ ay ipinapataw sa mga variable. Kung posible na ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa mula sa equation ng koneksyon, kung gayon ang problema sa pagtukoy ng conditional extremum ay nabawasan sa problema ng karaniwang extremum ng isang function ng isang variable. Halimbawa, kung ang $y=\psi(x)$ ay sumusunod mula sa constraint equation, pagkatapos ay papalitan ang $y=\psi(x)$ sa $z=f(x,y)$, makakakuha tayo ng function ng isang variable $ z=f\kaliwa (x,\psi(x)\kanan)$. Sa pangkalahatang kaso, gayunpaman, ang pamamaraang ito ay hindi gaanong ginagamit, kaya kinakailangan ang isang bagong algorithm.

Paraan ng Lagrange multiplier para sa mga function ng dalawang variable.

Ang paraan ng mga multiplier ng Lagrange ay upang mahanap ang conditional extremum, ang Lagrange function ay binubuo: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (ang parameter na $\lambda $ ay tinatawag na Lagrange multiplier ). Ang mga kinakailangang extremum na kondisyon ay ibinibigay ng isang sistema ng mga equation kung saan ang mga nakatigil na puntos ay tinutukoy:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(aligned)\right.$$

Ang sign na $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Kung sa isang nakatigil na punto $d^2F > 0$, ang function na $z=f(x,y)$ ay may conditional na minimum sa puntong ito, ngunit kung $d^2F< 0$, то условный максимум.

May isa pang paraan upang matukoy ang likas na katangian ng extremum. Mula sa constraint equation nakukuha natin: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, kaya sa anumang nakatigil na punto mayroon tayo:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "") dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\kanan)$$

Ang pangalawang kadahilanan (na matatagpuan sa mga bracket) ay maaaring katawanin sa form na ito:

Mga elemento ng $\left| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array) \right|$ na siyang Hessian ng Lagrange function. Kung $H > 0$ pagkatapos ay $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, ibig sabihin. mayroon kaming conditional na minimum ng function na $z=f(x,y)$.

Tandaan sa anyo ng $H$ determinant. Ipakita itago

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$

Sa sitwasyong ito, ang panuntunang binalangkas sa itaas ay nagbabago tulad ng sumusunod: kung $H > 0$, ang function ay may kondisyon na minimum, at para sa $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algorithm para sa pag-aaral ng function ng dalawang variable para sa conditional extremum

1. Buuin ang Lagrange function na $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Lutasin ang system $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
3. Tukuyin ang katangian ng extremum sa bawat isa sa mga nakatigil na punto na matatagpuan sa nakaraang talata. Upang gawin ito, gamitin ang alinman sa mga sumusunod na pamamaraan:
   • Buuin ang determinant na $H$ at alamin ang sign nito
   • Isinasaalang-alang ang constraint equation, kalkulahin ang sign ng $d^2F$

Lagrange multiplier method para sa mga function ng n variable

Ipagpalagay na mayroon tayong function ng $n$ variables $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ at $m$ constraint equation ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Tinutukoy ang mga multiplier ng Lagrange bilang $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, binubuo namin ang Lagrange function:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Ang mga kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang conditional extremum ay ibinibigay ng isang sistema ng mga equation kung saan matatagpuan ang mga coordinate ng mga nakatigil na puntos at ang mga halaga ng mga multiplier ng Lagrange:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Posibleng malaman kung ang isang function ay may conditional minimum o conditional maximum sa nahanap na punto, tulad ng dati, gamit ang sign na $d^2F$. Kung sa nahanap na punto $d^2F > 0$, ang function ay may conditional na minimum, ngunit kung $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Matrix determinant $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) at \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$ na naka-highlight sa pula sa $L$ matrix ay ang Hessian ng Lagrange function. Ginagamit namin ang sumusunod na panuntunan:

• Kung ang mga palatandaan ng mga menor de edad sa sulok ay $H_(2m+1),\; Ang H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matrice $L$ ay tumutugma sa sign na $(-1)^m$, kung gayon ang stationary point na pinag-aaralan ay ang conditional minimum point ng function na $z =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Kung ang mga palatandaan ng mga menor de edad sa sulok ay $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ kapalit, at ang sign ng minor na $H_(2m+1)$ ay kasabay ng sign ng numerong $(-1)^(m+1 )$, pagkatapos ang pinag-aralan na nakatigil ang punto ay ang conditional na pinakamataas na punto ng function na $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Halimbawa #1

Hanapin ang conditional extremum ng function na $z(x,y)=x+3y$ sa ilalim ng condition na $x^2+y^2=10$.

Ang geometric na interpretasyon ng problemang ito ay ang mga sumusunod: kinakailangan upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng applicate ng eroplano $z=x+3y$ para sa mga punto ng intersection nito sa cylinder $x^2+y^2 =10$.

Medyo mahirap ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa mula sa constraint equation at i-substitute ito sa function na $z(x,y)=x+3y$, kaya gagamitin natin ang Lagrange method.

Tinutukoy ang $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, binubuo namin ang Lagrange function:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Isulat natin ang sistema ng mga equation para sa pagtukoy ng mga nakatigil na punto ng Lagrange function:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (nakahanay)\kanan.$$

Kung ipagpalagay natin na $\lambda=0$, ang unang equation ay magiging: $1=0$. Ang resultang kontradiksyon ay nagsasabi na ang $\lambda\neq 0$. Sa ilalim ng kundisyong $\lambda\neq 0$, mula sa una at pangalawang equation na mayroon kami: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Ang pagpapalit ng nakuha na mga halaga sa ikatlong equation, nakukuha namin:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$

Kaya, ang system ay may dalawang solusyon: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ at $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Alamin natin ang katangian ng extremum sa bawat nakatigil na punto: $M_1(1;3)$ at $M_2(-1;-3)$. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang determinant na $H$ sa bawat isa sa mga puntos.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \kaliwa| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

Sa puntong $M_1(1;3)$ makukuha natin: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, kaya sa punto $M_1(1;3)$ ang function na $z(x,y)=x+3y$ ay may conditional maximum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Katulad nito, sa puntong $M_2(-1;-3)$ makikita natin ang: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Mula noong $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Pansinin ko na sa halip na kalkulahin ang halaga ng determinant na $H$ sa bawat punto, mas maginhawang palawakin ito sa pangkalahatang pananaw. Upang hindi kalat ang teksto sa mga detalye, itatago ko ang pamamaraang ito sa ilalim ng isang tala.

Determinant $H$ notation sa pangkalahatang anyo. Ipakita itago

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

Sa prinsipyo, malinaw na kung aling sign ang mayroon si $H$. Dahil wala sa mga puntos na $M_1$ o $M_2$ ang tumutugma sa pinanggalingan, kung gayon ang $y^2+x^2>0$. Samakatuwid, ang tanda ng $H$ ay kabaligtaran ng tanda ng $\lambda$. Maaari mo ring kumpletuhin ang mga kalkulasyon:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(nakahanay) $$

Ang tanong tungkol sa katangian ng extremum sa mga nakatigil na puntos na $M_1(1;3)$ at $M_2(-1;-3)$ ay malulutas nang hindi ginagamit ang determinant na $H$. Hanapin ang tanda ng $d^2F$ sa bawat nakatigil na punto:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\kanan) $$

Pansinin ko na ang notasyong $dx^2$ ay nangangahulugang eksaktong $dx$ na itinaas sa pangalawang kapangyarihan, i.e. $\left(dx\right)^2$. Kaya mayroon kaming: $dx^2+dy^2>0$, kaya para sa $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ makakakuha tayo ng $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Sagot: sa puntong $(-1;-3)$ ang function ay may kondisyon na minimum, $z_(\min)=-10$. Sa puntong $(1;3)$ ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=10$

Halimbawa #2

Hanapin ang conditional extremum ng function na $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ sa ilalim ng kundisyon na $x+y=0$.

Ang unang paraan (ang paraan ng mga multiplier ng Lagrange)

Tinutukoy ang $\varphi(x,y)=x+y$ binubuo namin ang Lagrange function: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(aligned)\right.$$

Ang paglutas ng system, makakakuha tayo ng: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ at $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Mayroon kaming dalawang nakatigil na punto: $M_1(0;0)$ at $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Alamin natin ang katangian ng extremum sa bawat nakatigil na punto gamit ang determinant na $H$.

$$ H=\kaliwa| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \kaliwa| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

Sa puntong $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, kaya sa puntong ito ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Sinisiyasat namin ang likas na katangian ng extremum sa bawat isa sa mga punto sa pamamagitan ng ibang pamamaraan, batay sa tanda ng $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Mula sa constraint equation na $x+y=0$ mayroon kaming: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Dahil ang $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, kung gayon ang $M_1(0;0)$ ang conditional na minimum point ng function na $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Katulad nito, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Pangalawang paraan

Mula sa constraint equation na $x+y=0$ nakukuha namin ang: $y=-x$. Ang pagpapalit ng $y=-x$ sa function na $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, makakakuha tayo ng ilang function ng variable na $x$. Tukuyin natin ang function na ito bilang $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Kaya, binawasan namin ang problema sa paghahanap ng conditional extremum ng isang function ng dalawang variable sa problema ng pagtukoy ng extremum ng isang function ng isang variable.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

Nakakuha ng mga puntos na $M_1(0;0)$ at $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Ang karagdagang pananaliksik ay kilala mula sa kurso ng differential calculus ng mga function ng isang variable. Sinusuri ang tanda ng $u_(xx)^("")$ sa bawat nakatigil na punto o sinusuri ang pagbabago ng tanda ng $u_(x)^(")$ sa mga nahanap na punto, nakuha namin ang parehong mga konklusyon tulad ng sa unang solusyon . Halimbawa, check sign $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Dahil $u_(xx)^("")(M_1)>0$, kung gayon ang $M_1$ ang pinakamababang punto ng function na $u(x)$, habang $u_(\min)=u(0)=0 $ . Mula noong $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Ang mga halaga ng function na $u(x)$ sa ilalim ng ibinigay na kundisyon ng koneksyon ay nag-tutugma sa mga halaga ng function na $z(x,y)$, i.e. ang nakitang extrema ng function na $u(x)$ ay ang gustong conditional extrema ng function na $z(x,y)$.

Sagot: sa puntong $(0;0)$ ang function ay may kondisyon na minimum, $z_(\min)=0$. Sa puntong $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa, kung saan malalaman natin ang kalikasan ng extremum sa pamamagitan ng pagtukoy sa tanda ng $d^2F$.

Halimbawa #3

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga function na $z=5xy-4$ kung ang mga variable na $x$ at $y$ ay positibo at natutugunan ang constraint equation na $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1= 0$ .

Buuin ang Lagrange function: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Hanapin ang mga nakatigil na punto ng Lagrange function:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \kaliwa \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(aligned) \right.$$

Ang lahat ng karagdagang pagbabago ay isinasagawa na isinasaalang-alang ang $x > 0; \; y > 0$ (ito ay itinakda sa kondisyon ng problema). Mula sa pangalawang equation, ipinapahayag namin ang $\lambda=-\frac(5x)(y)$ at pinapalitan ang nahanap na halaga sa unang equation: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Ang pagpapalit ng $x=2y$ sa ikatlong equation, makukuha natin ang: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Dahil $y=1$, pagkatapos ay $x=2$, $\lambda=-10$. Ang katangian ng extremum sa puntong $(2;1)$ ay tinutukoy mula sa tanda ng $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Dahil $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, kung gayon:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Sa prinsipyo, dito maaari mong agad na palitan ang mga coordinate ng nakatigil na punto $x=2$, $y=1$ at ang parameter na $\lambda=-10$, upang makuha ang:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Gayunpaman, sa iba pang mga problema para sa isang conditional extremum, maaaring mayroong ilang nakatigil na mga punto. Sa ganitong mga kaso, mas mainam na katawanin ang $d^2F$ sa isang pangkalahatang anyo, at pagkatapos ay palitan ang mga coordinate ng bawat isa sa mga nahanap na nakatigil na punto sa resultang expression:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Ang pagpapalit ng $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, makuha namin ang:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Dahil $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Sagot: sa puntong $(2;1)$ ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=6$.

Sa susunod na bahagi, isasaalang-alang natin ang aplikasyon ng pamamaraang Lagrange para sa mga function ng mas malaking bilang ng mga variable.

Halimbawa

Hanapin ang extremum ng function na ibinigay na X at sa ay nauugnay sa ratio: . Sa geometriko, ang problema ay nangangahulugan ng sumusunod: sa isang tambilugan
eroplano
.

Ang problemang ito ay maaaring malutas tulad ng sumusunod: mula sa equation
hanapin
X:

sa kondisyon na
, nabawasan sa problema ng paghahanap ng extremum ng isang function ng isang variable, sa segment
.

Sa geometriko, ang problema ay nangangahulugan ng sumusunod: sa isang tambilugan nakuha sa pamamagitan ng pagtawid sa silindro
eroplano
, ito ay kinakailangan upang mahanap ang maximum o minimum na halaga ng applicate (Larawan 9). Ang problemang ito ay maaaring malutas tulad ng sumusunod: mula sa equation
hanapin
. Ang pagpapalit ng nahanap na halaga ng y sa equation ng eroplano, nakakakuha tayo ng function ng isang variable X:

Kaya, ang problema ng paghahanap ng extremum ng function
sa kondisyon na
, nabawasan sa problema sa paghahanap ng extremum ng isang function ng isang variable, sa isang segment.

Kaya, ang problema sa paghahanap ng conditional extremum ay ang problema ng paghahanap ng extremum ng layunin function
, sa kondisyon na ang mga variable X at sa napapailalim sa paghihigpit
tinawag equation ng koneksyon.

Sasabihin natin yan tuldok
, nagbibigay-kasiyahan sa equation ng hadlang, ay isang punto ng lokal na conditional maximum (minimum) kung may kapitbahayan
tulad na para sa anumang mga puntos
, na ang mga coordinate ay nakakatugon sa constraint equation, nananatili ang hindi pagkakapantay-pantay.

Kung mula sa equation ng komunikasyon ay posibleng makahanap ng expression para sa sa, pagkatapos, pinapalitan ang expression na ito sa orihinal na function, ginagawa namin ang huli sa isang kumplikadong function ng isang variable X.

Ang pangkalahatang paraan para sa paglutas ng conditional extremum na problema ay Paraan ng Lagrange multiplier. Gumawa tayo ng auxiliary function, kung saan ─ ilang numero. Ang function na ito ay tinatawag na Lagrange function, a ─ Lagrange multiplier. Kaya, ang problema sa paghahanap ng conditional extremum ay nabawasan sa paghahanap ng mga lokal na extremum point para sa Lagrange function. Upang mahanap ang mga punto ng isang posibleng extremum, kinakailangan upang malutas ang isang sistema ng 3 mga equation na may tatlong hindi alam. x, y at.

Pagkatapos ay dapat gamitin ng isa ang sumusunod na sapat na extremum na kondisyon.

TEOREM. Hayaang ang punto ay isang punto ng posibleng extremum para sa Lagrange function. Ipinapalagay namin na sa paligid ng punto
may mga tuloy-tuloy na second-order na partial derivatives ng mga function at . Magpakilala

Tapos kung
, pagkatapos
─ conditional extremum point ng function
sa constraint equation
samantala, kung
, pagkatapos
─ kondisyon na pinakamababang punto, kung
, pagkatapos
─ punto ng conditional maximum.

§walo. Gradient at directional derivative

Hayaan ang function
tinukoy sa ilang (bukas) na domain. Isaalang-alang ang anumang punto
ang lugar na ito at anumang direktang tuwid na linya (axis) dumadaan sa puntong ito (Larawan 1). Hayaan
- ibang punto ng axis na ito,
- ang haba ng segment sa pagitan
at
, kinuha na may plus sign, kung ang direksyon
tumutugma sa direksyon ng axis , at may minus sign kung magkasalungat ang kanilang mga direksyon.

Hayaan
lumalapit nang walang katapusan
. limitasyon

tinawag derivative ng function
patungo sa (o kasama ang axis ) at tinutukoy bilang mga sumusunod:

.

Tinutukoy ng derivative na ito ang "rate ng pagbabago" ng function sa punto
patungo sa . Sa partikular, at ordinaryong partial derivatives ,maaari ding isipin bilang mga derivatives "may paggalang sa direksyon".

Ipagpalagay ngayon na ang function
ay may tuluy-tuloy na partial derivatives sa rehiyong isinasaalang-alang. Hayaan ang axis bumubuo ng mga anggulo na may mga coordinate axes
at . Sa ilalim ng mga pagpapalagay na ginawa, ang directional derivative umiiral at ipinapahayag ng pormula

.

Kung ang vector
itinakda ng mga coordinate nito
, pagkatapos ay ang derivative ng function
sa direksyon ng vector
maaaring kalkulahin gamit ang formula:

.

Vector na may mga coordinate
tinawag gradient vector mga function
sa punto
. Ang gradient vector ay nagpapahiwatig ng direksyon ng pinakamabilis na pagtaas ng function sa isang naibigay na punto.

Halimbawa

Dahil sa isang function , isang punto A(1, 1) at isang vector
. Hanapin: 1) grad z sa punto A; 2) ang derivative sa point A sa direksyon ng vector .

Mga partial derivatives ng isang ibinigay na function sa isang punto
:

;
.

Pagkatapos ang gradient vector ng function sa puntong ito ay:
. Ang gradient vector ay maaari ding isulat gamit ang isang vector expansion at :

. Function derivative sa direksyon ng vector :

Kaya,
,
.◄

Extrema ng mga function ng ilang mga variable. Isang kinakailangang kondisyon para sa isang extremum. Sapat na kondisyon para sa isang extremum. Conditional extremum. Paraan ng Lagrange multipliers. Paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga.

Lektura 5

Kahulugan 5.1. Dot M 0 (x 0, y 0) tinawag pinakamataas na punto mga function z = f(x, y), kung f (x o , y o) > f(x, y) para sa lahat ng puntos (x, y) M 0.

Kahulugan 5.2. Dot M 0 (x 0, y 0) tinawag pinakamababang punto mga function z = f(x, y), kung f (x o , y o) < f(x, y) para sa lahat ng puntos (x, y) mula sa ilang kapitbahayan ng punto M 0.

Puna 1. Tinatawag ang pinakamataas at pinakamababang puntos matinding puntos mga function ng ilang mga variable.

Puna 2. Ang extremum point para sa isang function ng anumang bilang ng mga variable ay tinukoy sa katulad na paraan.

Teorama 5.1(kinakailangang matinding kondisyon). Kung M 0 (x 0, y 0) ay ang extremum point ng function z = f(x, y), pagkatapos sa puntong ito ang unang-order na bahagyang derivatives ng function na ito ay katumbas ng zero o wala.

Patunay.

Ayusin natin ang halaga ng variable sa nagbibilang y = y 0. Pagkatapos ang pag-andar f(x, y0) ay magiging function ng isang variable X, para sa x = x 0 ay ang matinding punto. Samakatuwid, sa pamamagitan ng Fermat's teorama o hindi umiiral. Ang parehong assertion ay pinatunayan para sa .

Kahulugan 5.3. Ang mga puntos na kabilang sa domain ng isang function ng ilang variable, kung saan ang mga partial derivatives ng function ay katumbas ng zero o wala, ay tinatawag nakatigil na mga punto function na ito.

Magkomento. Kaya, ang extremum ay maaabot lamang sa mga nakatigil na punto, ngunit hindi ito kinakailangang sundin sa bawat isa sa kanila.

Teorama 5.2(sapat na mga kondisyon para sa isang extremum). Hayaan sa ilang kapitbahayan ng punto M 0 (x 0, y 0), na isang nakatigil na punto ng function z = f(x, y), ang function na ito ay may tuluy-tuloy na partial derivatives hanggang sa 3rd order inclusive. Ipahiwatig Pagkatapos:

1) f(x, y) ay nasa punto M 0 maximum kung AC-B² > 0, A < 0;

2) f(x, y) ay nasa punto M 0 pinakamababa kung AC-B² > 0, A > 0;

3) walang extremum sa kritikal na punto kung AC-B² < 0;

4) kung AC-B² = 0, kailangan ng karagdagang pananaliksik.

Patunay.

Isulat natin ang Taylor formula ng pangalawang order para sa function f(x, y), isinasaisip na sa isang nakatigil na punto, ang mga partial derivatives ng unang order ay katumbas ng zero:

saan Kung ang anggulo sa pagitan ng segment M 0 M, saan M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ sa), at ang O axis X tukuyin ang φ, pagkatapos ay Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y=Δρsinφ. Sa kasong ito, ang formula ng Taylor ay kukuha ng form: . Let Then we can divide and multiply the expression in parentheses by A. Nakukuha namin ang:

Isaalang-alang ngayon ang apat na posibleng kaso:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и para sa sapat na maliit na Δρ. Samakatuwid, sa ilang kapitbahayan M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f(x0, y0), yan ay M 0 ay ang pinakamataas na punto.

2) Hayaan AC-B² > 0, A > 0. Pagkatapos , at M 0 ay ang pinakamababang punto.

3) Hayaan AC-B² < 0, A> 0. Isaalang-alang ang pagtaas ng mga argumento kasama ang ray φ = 0. Pagkatapos ay sumusunod mula sa (5.1) na , iyon ay, kapag gumagalaw sa sinag na ito, tumataas ang function. Kung tayo ay gumagalaw sa isang sinag tulad na tg φ 0 \u003d -A / B, pagkatapos , samakatuwid, kapag gumagalaw sa sinag na ito, bumababa ang function. Kaya ang punto M 0 ay hindi isang matinding punto.

3`) Kailan AC-B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

katulad ng nauna.

3``) Kung AC-B² < 0, A= 0, pagkatapos . Kung saan . Pagkatapos, para sa sapat na maliit na φ, expression 2 B kasi + C sinφ malapit sa 2 V, iyon ay, ito ay nagpapanatili ng isang palaging tanda, at ang sinφ ay nagbabago ng tanda sa paligid ng punto M 0 . Nangangahulugan ito na ang pagtaas ng function ay nagbabago ng sign sa paligid ng nakatigil na punto, na samakatuwid ay hindi isang extremum point.

4) Kung AC-B² = 0, at , , iyon ay, ang tanda ng pagtaas ay tinutukoy ng tanda 2α 0 . Kasabay nito, ang karagdagang pananaliksik ay kinakailangan upang linawin ang tanong ng pagkakaroon ng isang extremum.

Halimbawa. Hanapin natin ang extremum point ng function z=x² - 2 xy + 2y² + 2 x. Upang maghanap ng mga nakatigil na puntos, nilulutas namin ang system . Kaya, ang nakatigil na punto ay (-2,-1). Kung saan A = 2, V = -2, SA= 4. Pagkatapos AC-B² = 4 > 0, samakatuwid, ang isang extremum ay naabot sa nakatigil na punto, lalo na ang pinakamababa (mula noong A > 0).

Kahulugan 5.4. Kung ang function arguments f (x 1 , x 2 ,…, x n) konektado karagdagang kondisyon bilang m mga equation ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

kung saan ang mga function φ i ay may tuluy-tuloy na partial derivatives, kung gayon ang mga equation (5.2) ay tinatawag mga equation ng koneksyon.

Kahulugan 5.5. Extremum ang pag-andar f (x 1 , x 2 ,…, x n) sa ilalim ng mga kondisyon (5.2) ay tinatawag conditional extremum.

Magkomento. Maaari kaming mag-alok ng sumusunod na geometric na interpretasyon ng conditional extremum ng isang function ng dalawang variable: hayaan ang mga argumento ng function f(x,y) ay nauugnay sa equation na φ (x, y)= 0, na tumutukoy sa ilang kurba sa eroplano O hu. Ang pagkakaroon ng pagpapanumbalik mula sa bawat punto ng kurba na ito nang patayo sa eroplano O hu bago tumawid sa ibabaw z = f (x, y), nakakakuha tayo ng spatial curve na nakahiga sa ibabaw sa itaas ng curve φ (x, y)= 0. Ang problema ay upang mahanap ang extremum point ng resultang curve, na, siyempre, sa pangkalahatang kaso ay hindi nag-tutugma sa unconditional extremum point ng function. f(x,y).

Tukuyin natin ang kinakailangang conditional extremum na mga kondisyon para sa isang function ng dalawang variable sa pamamagitan ng pagpapakilala ng sumusunod na kahulugan bago pa man:

Kahulugan 5.6. Function L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

saan λ ako - ilang mga constants, tinatawag Lagrange function, at ang mga numero λi– hindi tiyak na mga multiplier ng Lagrange.

Teorama 5.3(kinakailangang kondisyon na labis na kondisyon). Conditional extremum ng function z = f(x, y) sa pagkakaroon ng constraint equation φ ( x, y)= 0 ay maaari lamang maabot sa mga nakatigil na punto ng Lagrange function L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Patunay. Tinutukoy ng constraint equation ang isang implicit na dependency sa mula sa X, kaya ipagpalagay natin iyon sa mayroong isang function mula sa X: y = y(x). Pagkatapos z mayroong isang kumplikadong pag-andar X, at ang mga kritikal na punto nito ay tinutukoy ng kondisyon: . (5.4) Ito ay sumusunod mula sa constraint equation na . (5.5)

I-multiply natin ang pagkakapantay-pantay (5.5) sa ilang numerong λ at idinaragdag ito sa (5.4). Nakukuha namin ang:

, o .

Ang huling pagkakapantay-pantay ay dapat manatili sa mga nakatigil na punto, kung saan ito ay sumusunod:

(5.6)

Ang isang sistema ng tatlong equation para sa tatlong hindi alam ay nakuha: x, y at λ, na ang unang dalawang equation ay ang mga kondisyon para sa nakatigil na punto ng Lagrange function. Ang pag-alis ng pandiwang pantulong na hindi kilalang λ mula sa system (5.6), nakita namin ang mga coordinate ng mga punto kung saan ang orihinal na function ay maaaring magkaroon ng conditional extremum.

Puna 1. Ang pagkakaroon ng conditional extremum sa nahanap na punto ay masusuri sa pamamagitan ng pag-aaral sa pangalawang-order na partial derivatives ng Lagrange function sa pamamagitan ng pagkakatulad sa Theorem 5.2.

Puna 2. Mga punto kung saan maaaring maabot ang conditional extremum ng function f (x 1 , x 2 ,…, x n) sa ilalim ng mga kondisyon (5.2), ay maaaring tukuyin bilang mga solusyon ng system (5.7)

Halimbawa. Hanapin ang conditional extremum ng function z = xy ibinigay x + y= 1. Buuin ang Lagrange function L(x, y) = xy + λ (x + y – isa). System (5.6) pagkatapos ay ganito ang hitsura:

Saan -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5. Kung saan L (x, y) maaaring katawanin bilang L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0.5 ≤ 0.5, samakatuwid, sa natagpuang nakatigil na punto L (x, y) ay may maximum at z = xy - maximum na kondisyon.

Napakatindi ng kondisyon.

Extrema ng isang Function ng Ilang Variable

Pinakamababang parisukat na paraan.

Lokal na extremum ng FNP

Hayaan ang function at= f(P), RÎDÌR n at hayaan ang puntong Р 0 ( a 1 , a 2 , ..., isang p) –panloob punto ng set D.

Kahulugan 9.4.

1) Tinatawag ang puntong P 0 pinakamataas na punto mga function at= f(P) kung mayroong isang kapitbahayan ng puntong ito U(P 0) Ì D na para sa anumang punto P( X 1 , X 2 , ..., x n)н U(P 0) , Р¹Р 0 , ang kundisyon f(P) £ f(P0) . Ibig sabihin f(P 0) function sa pinakamataas na punto ay tinatawag maximum na function at ipinapahiwatig f(P 0) = max f(P) .

2) Tinatawag ang puntong P 0 pinakamababang punto mga function at= f(P) kung mayroong isang kapitbahayan ng puntong ito U(P 0)Ì D na para sa anumang punto P( X 1 , X 2 , ..., x n)нU(P 0), Р¹Р 0 , ang kundisyon f(P)³ f(P0) . Ibig sabihin f(P 0) function sa pinakamababang punto ay tinatawag minimum na function at ipinapahiwatig f(P 0) = min f(P).

Tinatawag ang pinakamababa at pinakamataas na puntos ng isang function matinding puntos, ang mga halaga ng function sa mga extremum point ay tinatawag function extrema.

Tulad ng sumusunod mula sa kahulugan, ang hindi pagkakapantay-pantay f(P) £ f(P0), f(P)³ f Ang (P 0) ay dapat gawin lamang sa isang tiyak na kapitbahayan ng puntong Р 0, at hindi sa buong domain ng function, na nangangahulugan na ang function ay maaaring magkaroon ng ilang extrema ng parehong uri (maraming minima, ilang maxima). Samakatuwid, ang extrema na tinukoy sa itaas ay tinatawag lokal(lokal) extremes.

Teorama 9.1.( kinakailangang kondisyon FNP extremum)

Kung ang function at= f(X 1 , X 2 , ..., x n) ay may extremum sa puntong P 0 , pagkatapos ang unang-order na mga partial derivatives nito sa puntong ito ay maaaring katumbas ng zero o wala.

Patunay. Hayaan sa puntong Р 0 ( a 1 , a 2 , ..., isang p) function at= f(P) ay may sukdulan, tulad ng maximum. Ayusin natin ang mga argumento X 2 , ..., x n, paglalagay X 2 =a 2 ,..., x n = isang p. Pagkatapos at= f(P) = f 1 ((X 1 , a 2 , ..., isang p) ay isang function ng isang variable X isa. Dahil ang function na ito ay may X 1 = a 1 extremum (maximum), pagkatapos f 1 ¢=0 o wala kapag X 1 =a 1 (isang kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum ng isang function ng isang variable). Ngunit , pagkatapos o wala sa puntong P 0 - ang punto ng extremum. Katulad nito, maaari nating isaalang-alang ang mga partial derivatives na may paggalang sa iba pang mga variable. CHTD.

Ang mga punto ng domain ng isang function kung saan ang first-order partial derivatives ay katumbas ng zero o wala ay tinatawag kritikal na mga punto function na ito.

Tulad ng mga sumusunod mula sa Theorem 9.1, ang mga extremum point ng FNP ay dapat hanapin sa mga kritikal na punto ng function. Ngunit, para sa isang function ng isang variable, hindi lahat ng kritikal na punto ay isang extremum point.

Teorama 9.2

Hayaang maging kritikal na punto ng function ang Р 0 at= f(P) at ay ang second-order differential ng function na ito. Pagkatapos

at kung d 2 u(P 0) > 0 para sa , pagkatapos ay ang Р 0 ay isang punto pinakamababa mga function at= f(P);

b) kung d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maximum mga function at= f(P);

c) kung d 2 u Ang (P 0) ay hindi tinukoy sa pamamagitan ng pag-sign, kung gayon ang P 0 ay hindi isang extremum point;

Isinasaalang-alang namin ang teorama na ito nang walang patunay.

Tandaan na hindi isinasaalang-alang ng theorem ang kaso kung kailan d 2 u(P 0) = 0 o wala. Nangangahulugan ito na ang tanong ng pagkakaroon ng isang extremum sa punto P 0 sa ilalim ng naturang mga kondisyon ay nananatiling bukas - ang mga karagdagang pag-aaral ay kinakailangan, halimbawa, ang pag-aaral ng pagtaas ng pag-andar sa puntong ito.

Sa mas detalyadong mga kurso sa matematika, pinatunayan na, sa partikular, para sa function z = f(x,y) ng dalawang variable na ang second-order differential ay kabuuan ng form

ang pag-aaral ng pagkakaroon ng isang extremum sa kritikal na punto Р 0 ay maaaring gawing simple.

Ipahiwatig , , . Buuin ang determinant

.

Kinalabasan:

d 2 z> 0 sa puntong P 0 , ibig sabihin. P 0 - pinakamababang punto, kung A(P 0) > 0 at D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

kung D(P 0)< 0, то d 2 z sa paligid ng puntong Р 0 ay nagbabago ng tanda at walang extremum sa puntong Р 0;

kung D(Р 0) = 0, kung gayon ang mga karagdagang pag-aaral ng function sa paligid ng kritikal na punto Р 0 ay kinakailangan din.

Kaya, para sa pag-andar z = f(x,y) dalawang variable, mayroon kaming sumusunod na algorithm (tawagin natin itong "algorithm D") para sa paghahanap ng extremum:

1) Hanapin ang domain ng kahulugan D( f) mga function.

2) Maghanap ng mga kritikal na punto, ibig sabihin. puntos mula sa D( f) kung saan at katumbas ng zero o wala.

3) Sa bawat kritikal na punto Р 0 suriin ang sapat na mga kondisyon para sa extremum. Upang gawin ito, hanapin , kung saan , , at kalkulahin ang D(Р 0) at A(P 0). Pagkatapos:

kung D(Р 0) >0, pagkatapos ay mayroong isang extremum sa puntong Р 0, bukod dito, kung A(P 0) > 0 - kung gayon ito ay isang minimum, at kung A(P 0)< 0 – максимум;

kung D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Kung D(Р 0) = 0, kailangan ng karagdagang pag-aaral.

4) Kalkulahin ang halaga ng function sa mga nahanap na extremum point.

Halimbawa1.

Hanapin ang extremum ng isang function z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Solusyon. Ang domain ng function na ito ay ang buong coordinate plane. Hanapin natin ang mga kritikal na punto.

, , Þ Р 0 (0,0) , .

Suriin natin ang katuparan ng sapat na matinding kondisyon. Hanapin natin

6X, = -3, = 48sa at = 288hu – 9.

Pagkatapos D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 - mayroong isang extremum sa puntong Р 1, at dahil A(P 1) = 3 >0, kung gayon ang extremum na ito ay isang minimum. Kaya min z=z(P1) = .

Halimbawa 2

Hanapin ang extremum ng isang function .

Solusyon: D( f) = R 2 . Mga kritikal na puntos: ; ay hindi umiiral sa sa= 0, kaya P 0 (0,0) ang kritikal na punto ng function na ito.

2, = 0, = , = , ngunit ang D(Р 0) ay hindi tinukoy, kaya imposibleng pag-aralan ang sign nito.

Para sa parehong dahilan, imposibleng ilapat ang Theorem 9.2 nang direkta − d 2 z ay wala sa puntong ito.

Isaalang-alang ang pagtaas ng function f(x, y) sa puntong Р 0 . Kung si D f =f(P)- f(P 0)>0 "P, pagkatapos ay P 0 ang pinakamababang punto, kung D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

Mayroon kaming sa aming kaso

D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .

Sa D x= 0.1 at D y= -0.008 nakukuha natin ang D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1 at D y= 0.001D f= 0.01 + 0.1 > 0, ibig sabihin. sa paligid ng punto Р 0 ni ang kondisyon D f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) at, samakatuwid, ang P 0 ay hindi isang pinakamataas na punto), o ang kundisyon D f>0 (ibig sabihin. f(x, y) > f(0, 0) at pagkatapos ay ang Р 0 ay hindi isang minimum na punto). Samakatuwid, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang extremum, ang function na ito ay walang extremums.

Napakatindi ng kondisyon.

Ang itinuturing na extremum ng function ay tinatawag walang kondisyon, dahil walang mga paghihigpit (kondisyon) na ipinapataw sa mga argumento ng function.

Kahulugan 9.2. Extremum ang pag-andar at = f(X 1 , X 2 , ... , x n), natagpuan sa ilalim ng kondisyon na ang mga argumento nito X 1 , X 2 , ... , x n matugunan ang mga equation j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, kung saan ang P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( f), ay tinatawag na conditional extremum .

Mga Equation j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, ay tinatawag mga equation ng koneksyon.

Isaalang-alang ang mga function z = f(x,y) ng dalawang variable. Kung mayroon lamang isang constraint equation, i.e. , pagkatapos ay ang paghahanap ng conditional extremum ay nangangahulugan na ang extremum ay hinahanap hindi sa buong domain ng function, ngunit sa ilang curve na nasa D( f) (ibig sabihin, hindi ang pinakamataas o pinakamababang punto ng surface ang hinahanap z = f(x,y), at ang pinakamataas o pinakamababang punto sa mga punto ng intersection ng ibabaw na ito kasama ang silindro, Fig. 5).

Conditional extremum ng function z = f(x,y) ng dalawang variable ay matatagpuan sa sumusunod na paraan( paraan ng pag-aalis). Mula sa equation, ipahayag ang isa sa mga variable bilang function ng isa pa (halimbawa, write ) at, pagpapalit ng value na ito ng variable sa function , isulat ang huli bilang function ng isang variable (sa isinasaalang-alang na kaso ). Hanapin ang extremum ng resultang function ng isang variable.

Isang sapat na kondisyon para sa isang extremum ng isang function ng dalawang variable

1. Hayaang ang function ay patuloy na naiba-iba sa ilang kapitbahayan ng punto at magkaroon ng tuluy-tuloy na second-order na bahagyang derivatives (puro at halo-halong).

2. Ipahiwatig sa pamamagitan ng pangalawang pagkakasunud-sunod na determinant

extremum variable lecture function

Teorama

Kung ang puntong may mga coordinate ay isang nakatigil na punto para sa function, kung gayon:

A) Kapag ito ay isang punto ng local extremum at, sa isang lokal na maximum, - isang lokal na minimum;

C) kapag ang punto ay hindi isang lokal na extremum point;

C) kung, marahil pareho.

Patunay

Sinusulat namin ang Taylor formula para sa function, nililimitahan ang aming sarili sa dalawang miyembro:

Dahil, ayon sa kondisyon ng teorama, ang punto ay nakatigil, ang pangalawang-order na bahagyang derivatives ay katumbas ng zero, i.e. at. Pagkatapos

Magpakilala

Pagkatapos ang pagdaragdag ng function ay kukuha ng form:

Dahil sa pagpapatuloy ng mga partial derivatives ng pangalawang order (dalisay at halo-halong), ayon sa kondisyon ng theorem sa isang punto, maaari nating isulat:

Saan o; ,

1. Hayaan at, ibig sabihin,, o.

2. Pina-multiply namin ang increment ng function at hinahati sa, nakukuha namin ang:

3. Kumpletuhin ang expression sa mga kulot na bracket sa buong parisukat ng kabuuan:

4. Ang expression sa mga kulot na bracket ay hindi negatibo, dahil

5. Samakatuwid, kung at kaya, at, pagkatapos at, samakatuwid, ayon sa kahulugan, ang punto ay isang punto ng lokal na minimum.

6. Kung at nangangahulugan, at, pagkatapos, ayon sa kahulugan, ang isang puntong may mga coordinate ay isang lokal na pinakamataas na punto.

2. Isaalang-alang square trinomial, discriminant nito, .

3. Kung, at pagkatapos ay may mga punto tulad na ang polynomial

4. Ang kabuuang pagtaas ng function sa isang punto alinsunod sa expression na nakuha sa I, isinusulat namin sa form:

5. Dahil sa pagpapatuloy ng second-order partial derivatives, ayon sa kondisyon ng theorem sa isang punto, maaari nating isulat na

samakatuwid, mayroong isang kapitbahayan ng isang punto na, para sa anumang punto, ang square trinomial ay mas malaki sa zero:

6. Isaalang-alang - ang kapitbahayan ng punto.

Pumili tayo ng anumang halaga, kaya iyon ang punto. Ipagpalagay na sa formula para sa pagtaas ng function

Ano ang nakukuha namin:

7. Mula noon.

8. Sa parehong pagtatalo para sa ugat, nakuha namin na sa anumang -kapitbahayan ng punto ay may isang punto kung saan, samakatuwid, sa kapitbahayan ng punto ay hindi nito pinapanatili ang tanda, samakatuwid ay walang extremum sa punto.

Conditional extremum ng isang function ng dalawang variable

Kapag naghahanap ng extrema ng isang function ng dalawang variable, madalas na lumitaw ang mga problema na may kaugnayan sa tinatawag na conditional extremum. Ang konseptong ito ay maaaring ipaliwanag sa pamamagitan ng halimbawa ng isang function ng dalawang variable.

Hayaang maibigay ang isang function at isang linya L sa eroplanong 0xy. Ang gawain ay upang mahanap ang isang puntong P (x, y) sa linya L, kung saan ang halaga ng function ay ang pinakamalaki o pinakamaliit kumpara sa mga halaga ng function na ito sa mga punto ng linya L, na matatagpuan malapit sa ang puntong P. Ang nasabing mga puntong P ay tinatawag na conditional extremum point function sa linya L. Sa kaibahan sa karaniwang extremum point, ang halaga ng function sa conditional extremum point ay inihambing sa mga halaga ng function na hindi sa lahat ng mga punto ng ilang kapitbahayan nito, ngunit sa mga nasa linyang L lamang.

Malinaw na ang punto ng karaniwang extremum (sinasabi rin nila ang unconditional extremum) ay ang punto rin ng conditional extremum para sa anumang linyang dumadaan sa puntong ito. Ang kabaligtaran, siyempre, ay hindi totoo: ang conditional extremum point ay maaaring hindi isang conventional extremum point. Ilarawan natin kung ano ang sinabi sa isang halimbawa.

Halimbawa #1. Ang graph ng function ay ang upper hemisphere (Larawan 2).

kanin. 2.

Ang function na ito ay may maximum sa pinanggalingan; ito ay tumutugma sa vertex M ng hemisphere. Kung ang linya L ay isang tuwid na linya na dumadaan sa mga punto A at B (equation nito), kung gayon ito ay geometrically malinaw na para sa mga punto ng linyang ito ang pinakamataas na halaga ng function ay naabot sa puntong nakahiga sa gitna sa pagitan ng mga punto A at B. Ito ang conditional extremum (maximum) point function sa linyang ito; tumutugma ito sa puntong M 1 sa hemisphere, at makikita mula sa pigura na maaaring walang tanong sa anumang ordinaryong extremum dito.

Tandaan na sa huling bahagi ng problema sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang saradong rehiyon, kailangan mong hanapin ang mga extremal na halaga ng function sa hangganan ng rehiyong ito, i.e. sa ilang linya, at sa gayon ay malulutas ang problema para sa isang conditional extremum.

Kahulugan 1. Sinasabi nila na kung saan mayroong kondisyon o kamag-anak na maximum (minimum) sa isang punto na nakakatugon sa equation: kung para sa alinman na nakakatugon sa equation, ang hindi pagkakapantay-pantay

Kahulugan 2. Ang isang equation ng form ay tinatawag na constraint equation.

Teorama

Kung ang mga function at patuloy na naiba-iba sa isang kapitbahayan ng isang punto, at ang partial derivative at ang punto ay ang punto ng conditional extremum ng function na may paggalang sa constraint equation, kung gayon ang second-order determinant ay katumbas ng zero:

Patunay

1. Dahil, ayon sa kondisyon ng theorem, ang partial derivative, at ang halaga ng function, pagkatapos ay sa ilang parihaba

implicit function na tinukoy

Ang isang kumplikadong function ng dalawang variable sa isang punto ay magkakaroon ng lokal na extremum, samakatuwid, o.

2. Sa katunayan, ayon sa invariance property ng first-order differential formula

3. Ang koneksyon equation ay maaaring katawanin sa form na ito, na nangangahulugan

4. I-multiply ang equation (2) sa, at (3) sa at idagdag ang mga ito

Samakatuwid, sa

arbitraryo. h.t.d.

Bunga

Ang paghahanap para sa mga conditional extremum point ng isang function ng dalawang variable sa pagsasanay ay isinasagawa sa pamamagitan ng paglutas ng isang sistema ng mga equation

Kaya, sa halimbawa sa itaas No. 1 mula sa equation ng komunikasyon na mayroon tayo. Mula dito, madaling suriin kung ano ang umaabot sa maximum sa . Ngunit pagkatapos ay mula sa equation ng komunikasyon. Nakukuha namin ang puntong P, na matatagpuan sa geometriko.

Halimbawa #2. Hanapin ang mga conditional extremum point ng function na may paggalang sa constraint equation.

Maghanap tayo ng mga partial derivatives ibinigay na function at ang mga equation ng koneksyon:

Gumawa tayo ng second-order determinant:

Isulat natin ang sistema ng mga equation para sa paghahanap ng mga conditional extremum point:

kaya, mayroong apat na conditional extremum point ng function na may mga coordinate: .

Halimbawa #3. Hanapin ang extremum point ng function.

Equating ang bahagyang derivatives sa zero: , nakita namin ang isang nakatigil na punto - ang pinagmulan. Dito,. Samakatuwid, ang punto (0, 0) ay hindi rin isang extremum point. Ang equation ay ang equation ng isang hyperbolic paraboloid (Fig. 3), ipinapakita ng figure na ang point (0, 0) ay hindi isang extremum point.

kanin. 3.

Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang saradong lugar

1. Hayaang tukuyin at tuloy-tuloy ang function sa isang bounded closed domain D.

2. Hayaang magkaroon ang function na may finite partial derivatives sa rehiyong ito, maliban sa mga indibidwal na punto ng rehiyon.

3. Alinsunod sa Weierstrass theorem, sa lugar na ito mayroong isang punto kung saan ang function ay tumatagal ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga.

4. Kung ang mga puntong ito ay panloob na mga punto ng rehiyon D, kung gayon ay malinaw na magkakaroon sila ng maximum o minimum.

5. Sa kasong ito, ang mga punto ng interes sa amin ay kabilang sa mga kahina-hinalang punto sa extremum.

6. Gayunpaman, ang function ay maaari ding tumagal sa maximum o minimum na halaga sa hangganan ng rehiyon D.

7. Upang mahanap ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng function sa lugar D, kailangan mong hanapin ang lahat panloob na mga punto kahina-hinala para sa isang extremum, kalkulahin ang halaga ng pag-andar sa kanila, pagkatapos ay ihambing sa halaga ng pag-andar sa mga hangganan ng rehiyon, at ang pinakamalaking sa lahat ng nahanap na mga halaga ay magiging pinakamalaki sa saradong rehiyon D.

8. Ang paraan ng paghahanap ng lokal na maximum o minimum ay isinasaalang-alang nang mas maaga sa Seksyon 1.2. at 1.3.

9. Nananatili itong isaalang-alang ang paraan ng paghahanap ng maximum at minimum na halaga ng function sa hangganan ng rehiyon.

10. Sa kaso ng isang function ng dalawang variable, ang lugar ay karaniwang lumalabas na bounded ng isang curve o ilang mga curves.

11. Kasama ang naturang curve (o ilang curve), ang mga variable at alinman ay nakasalalay sa isa't isa, o pareho ay nakadepende sa isang parameter.

12. Kaya, sa hangganan, ang function ay lumalabas na umaasa sa isang variable.

13. Paraan ng paghahanap ang pinakamalaking halaga Ang mga function ng isang variable ay tinalakay kanina.

14. Hayaang ibigay ang hangganan ng rehiyon D ng mga parametric equation:

Pagkatapos sa curve na ito ang function ng dalawang variable ay magiging isang kumplikadong function ng parameter: . Para sa gayong function, ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ay tinutukoy ng paraan ng pagtukoy ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga para sa isang function ng isang variable.