De as is de richting. Dit betekent dat de projectie op een as of op een gerichte lijn als hetzelfde wordt beschouwd. De projectie kan algebraïsch en geometrisch zijn. Geometrisch wordt de projectie van een vector op een as begrepen als een vector en algebraïsch als een getal. Dat wil zeggen, de concepten van projectie van een vector op een as en een numerieke projectie van een vector op een as worden gebruikt.
Als we een L-as hebben en een vector A B → die niet nul is, dan kunnen we een vector A 1 B 1 ⇀ construeren, die de projecties van zijn punten A 1 en B 1 aangeeft.
A 1 B → 1 is de projectie van de vector A B → op L.
Definitie 1
De projectie van de vector op de as een vector genoemd, waarvan het begin en het einde de projecties zijn van het begin en het einde van een bepaalde vector. n p L A B → → het is gebruikelijk om de projectie van A B → op L aan te duiden. Om een projectie op L te construeren, worden de loodlijnen op L weggelaten.
voorbeeld 1
Een voorbeeld van een vectorprojectie op een as.
Het punt M 1 (x 1, y 1) is gespecificeerd op het coördinatenvlak O x y. Het is noodzakelijk om projecties op O x en O y te construeren voor het beeld van de straalvector van het punt M 1. We krijgen de coördinaten van de vectoren (x 1, 0) en (0, y 1).
Als we het hebben over de projectie a → op een niet-nul b → of de projectie a → op de richting b →, dan bedoelen we de projectie a → op de as waarmee de richting b → samenvalt. De projectie van a → op de lijn gedefinieerd door b → wordt aangegeven met n p b → a → →. Het is bekend dat wanneer de hoek tussen a → en b → ligt, we n p b → a → → en b → codirectioneel kunnen beschouwen. In het geval dat de hoek stomp is, zijn n p b → a → → en b → tegengesteld gericht. In de situatie van loodrechtheid a → en b →, en a → nul is, is de projectie van a → in de richting b → een nulvector.
Het numerieke kenmerk van de vectorprojectie op de as is de numerieke projectie van de vector op de gespecificeerde as.
definitie 2
Numerieke projectie van een vector op een as is een getal dat gelijk is aan het product van de lengte van een gegeven vector door de cosinus van de hoek tussen deze vector en de vector die de richting van de as bepaalt.
De numerieke projectie A B → op L wordt aangeduid met n p L A B →, en a → op b → - n p b → a →.
Op basis van de formule krijgen we npb → a → = a → · cos a →, b → ^, vanwaar a → de lengte is van de vector a →, a ⇀, b → ^ is de hoek tussen de vectoren a → en b →.
We krijgen de formule voor het berekenen van de numerieke projectie: n p b → a → = a → · cos a →, b → ^. Het is toepasbaar voor bekende lengtes a → en b → en de hoek daartussen. De formule is toepasbaar voor bekende coördinaten a → en b →, maar er is een vereenvoudigde vorm.
Voorbeeld 2
Zoek de numerieke projectie a → op een rechte lijn in de richting b → met een lengte van a → gelijk aan 8 en een hoek ertussen van 60 graden. Per hypothese hebben we a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Daarom vervangen we de numerieke waarden in de formule n p b ⇀ a → = a → cos a →, b → ^ = 8 cos 60 ° = 8 1 2 = 4.
Antwoord: 4.
Gegeven cos (a →, b → ^) = a ⇀, b → a → b →, hebben we a →, b → als het scalaire product van a → en b →. Uitgaande van de formule n p b → a → = a → cos a ⇀, b → ^, vinden we de numerieke projectie a → gericht langs de vector b → en krijgen n p b → a → = a →, b → b →. De formule komt overeen met de definitie die aan het begin van de alinea is aangegeven.
Definitie 3
De numerieke projectie van de vector a → op de as die samenvalt in de richting met b → is de verhouding van het scalaire product van de vectoren a → en b → tot de lengte b →. De formule n p b → a → = a →, b → b → is toepasbaar om de numerieke projectie van a → te vinden op een rechte lijn die samenvalt in de richting met b →, met bekende a → en b → coördinaten.
Voorbeeld 3
B → = (- 3, 4) wordt gegeven. Zoek de numerieke projectie a → = (1, 7) op L.
Oplossing
Op het coördinatenvlak heeft npb → a → = a →, b → b → de vorm npb → a → = a →, b → b → = ax bx + ay bybx 2 + by 2, voor a → = (ax, ay ) en b → = bx, door. Om de numerieke projectie van de vector a → op de L-as te vinden, heb je nodig: np L a → = npb → a → = a →, b → b → = ax bx + ay bybx 2 + by 2 = 1 (- 3 ) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.
Antwoord: 5.
Voorbeeld 4
Zoek de projectie a → op L, die samenvalt met de richting b →, waarbij er a → = - 2, 3, 1 en b → = (3, - 2, 6). Er wordt een driedimensionale ruimte gegeven.
Oplossing
Gegeven a → = a x, a y, a z en b → = b x, b y, b z, berekenen we het scalaire product: a ⇀, b → = a x b x + a y b y + a z b z. De lengte b → wordt gevonden door de formule b → = b x 2 + b y 2 + b z 2. Hieruit volgt dat de formule voor het bepalen van de numerieke projectie a → zal zijn: n p b → a ⇀ = a →, b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2.
Vervang numerieke waarden: np L a → = npb → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 ...
Antwoord: - 6 7.
Beschouw het verband tussen a → op L en de projectielengte van a → op L. Teken de L-as door a → en b → van een punt naar L toe te voegen, waarna we een loodrechte lijn trekken van het einde a → naar L en projectie naar L. Er zijn 5 varianten van de afbeelding:
Eerste het geval voor a → = npb → a → → betekent a → = npb → a → →, dus volgt npb → a → = a → cos (a, → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = npb → een → →.
Seconde het geval impliceert de toepassing van n p b → a → ⇀ = a → cos a →, b →, dus n p b → a → = a → cos (a →, b →) ^ = n p b → a → →.
Derde casus legt uit dat voor npb → a → → = 0 → we npb ⇀ a → = a → cos (a →, b → ^) = a → cos 90 ° = 0 krijgen, dan npb → a → → = 0 en npb → a → = 0 = npb → a → →.
Vierde case toont npb → a → → = a → cos (180 ° - a →, b → ^) = - a → cos (a →, b → ^), het volgt npb → a → = a → cos (a →, b → ^) = - npb → a → →.
Vijfde case toont a → = npb → a → →, wat betekent a → = npb → a → →, dus we hebben npb → a → = a → cos a →, b → ^ = a → cos 180 ° = - a → = - npb → een →.
Definitie 4
De numerieke projectie van de vector a → op de L-as, die is gericht als b →, heeft de volgende betekenis:
Voorbeeld 5
Gegeven de projectielengte van a → op L, gelijk aan 2. Zoek de numerieke projectie a → ervan uitgaande dat de hoek 5 6 radialen is.
Oplossing
Uit de voorwaarde dat deze hoek stomp is, is te zien: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .
Antwoord: - 2.
Voorbeeld 6
Gegeven een vlak O x y z met een vectorlengte a → gelijk aan 6 3, b → (- 2, 1, 2) met een hoek van 30 graden. Zoek de coördinaten van de projectie a → op de L-as.
Oplossing
Eerst berekenen we de numerieke projectie van de vector a →: n p L a → = n p b → a → = a → cos (a →, b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9.
Hypothese is de hoek scherp, dan is de numerieke projectie a → = de lengte van de projectie van de vector a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Dit geval laat zien dat de vectoren n p L a → → en b → codirectioneel zijn, dus er is een getal t waarvoor de gelijkheid waar is: n p L a → → = t b →. Vanaf hier zien we dat np L a → → = tb →, zodat we de waarde van de parameter t kunnen vinden: t = np L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3.
Dan zijn np L a → → = 3 b → met de coördinaten van de projectie van de vector a → op de L-as gelijk aan b → = (- 2, 1, 2), waarbij het nodig is om de waarden te vermenigvuldigen door 3. We hebben np L a → → = (- 6 , 3, 6). Antwoord: (- 6, 3, 6).
Het is noodzakelijk om de eerder bestudeerde informatie over de toestand van de collineariteit van vectoren te herhalen.
Als u een fout in de tekst opmerkt, selecteert u deze en drukt u op Ctrl + Enter
Projectie vector per as is een vector die wordt verkregen door de scalaire projectie van de vector op deze as en de eenheidsvector van deze as te vermenigvuldigen. Als bijvoorbeeld een x - scalaire projectie vector een op de X-as, dan een x I is de vectorprojectie op deze as.
wij duiden vectorprojectie evenals de vector zelf, maar met de index van de as waarop de vector wordt geprojecteerd. Dus de vectorprojectie van de vector een op de X-as duiden we . aan een x ( vettig letter die een vector en subscript van de asnaam aangeeft) of (niet-vette letter die een vector aangeeft, maar met een pijl bovenaan (!) en subscript van de asnaam).
scalaire projectie vector per as heet nummer, waarvan de absolute waarde gelijk is aan de lengte van het assegment (in de geselecteerde schaal), ingesloten tussen de projecties van het beginpunt en het eindpunt van de vector. Meestal, in plaats van te uiten scalaire projectie ze zeggen gewoon - projectie... De projectie wordt aangegeven met dezelfde letter als de geprojecteerde vector (in normale, niet-vette notatie), met een subscript (meestal) van de naam van de as waarop deze vector wordt geprojecteerd. Als de vector bijvoorbeeld op de X-as wordt geprojecteerd een, dan wordt zijn projectie aangeduid met een x. Wanneer dezelfde vector op een andere as wordt geprojecteerd, als de Y-as, wordt de projectie ervan aangeduid met een y.
Om de projectie te berekenen: vector op de as (bijvoorbeeld de X-as), trek de coördinaat van het beginpunt af van de coördinaat van het eindpunt, dat wil zeggen
a x = x k - x n.
De projectie van een vector op een as is een getal. Bovendien kan de projectie positief zijn als de waarde x k groter is dan de waarde x n,
negatief als de waarde x k kleiner is dan de waarde x n
en gelijk aan nul als x k gelijk is aan x n.
De projectie van een vector op een as kan ook worden gevonden door de modulus van de vector te kennen en de hoek die deze met deze as maakt.
De figuur laat zien dat a x = a Cos α
dat wil zeggen, de projectie van de vector op de as is gelijk aan het product van de modulus van de vector door de cosinus van de hoek tussen de richting van de as en vector richting... Als de hoek scherp is, dan
Cos α> 0 en a x> 0, en als het stomp is, dan is de cosinus van de stompe hoek negatief en zal de projectie van de vector op de as ook negatief zijn.
Hoeken geteld vanaf de as tegen de klok in worden als positief beschouwd, en onderweg - negatief. Omdat de cosinus echter een even functie is, dat wil zeggen Cos α = Cos (- α), kunnen de hoeken bij het berekenen van de projecties zowel met de klok mee als tegen de klok in worden geteld.
Om de projectie van een vector op een as te vinden, moet de modulus van deze vector worden vermenigvuldigd met de cosinus van de hoek tussen de richting van de as en de richting van de vector.
Vector coördinaten- de coëfficiënten van de enig mogelijke lineaire combinatie van basisvectoren in het geselecteerde assenstelsel, gelijk aan deze vector.
waar zijn de coördinaten van de vector.
Puntproduct van vectoren
SCALAIRE PRODUCT VAN VECTOREN[- in eindig-dimensionaal Vector ruimte wordt gedefinieerd als de som van de producten van dezelfde componenten vermenigvuldigd vectoren.
Bijvoorbeeld, C.p.c. een = (een 1 , ..., een) en B = (B 1 , ..., b n):
(een , B ) = een 1 B 1 + een 2 B 2 + ... + een n b n
A. De projectie van punt A op de PQ-as (Fig. 4) is de basis a van de loodlijn die vanaf een bepaald punt op deze as valt. De as waarop we projecteren, wordt de projectie-as genoemd.
B. Laat er twee assen zijn en een vector AB getoond in Fig. 5.
De vector, waarvan het begin de projectie is van het begin en het einde - de projectie van het einde van deze vector, wordt de projectie van de vector AB op de PQ-as genoemd. Het wordt zo geschreven;
Soms is de PQ-aanwijzer onderaan niet geschreven, dit wordt gedaan in gevallen waar, afgezien van PQ, er geen andere as is om op te ontwerpen.
Met. Stelling I. De waarden van vectoren die op één as liggen, zijn gerelateerd als de waarden van hun projecties op elke as.
Laat de assen en vectoren aangegeven in figuur 6. Uit de gelijkenis van de driehoeken is het duidelijk dat de lengtes van de vectoren gerelateerd zijn als de lengtes van hun projecties, dat wil zeggen,
Omdat de vectoren in de tekening in verschillende richtingen zijn gericht, hebben hun waarden daarom verschillende waarden
Uiteraard hebben de waarden van de projecties ook verschillende tekens:
vervangen door (2) in (3) in (1), we verkrijgen
Als we de borden omkeren, krijgen we
Als de vectoren in dezelfde richting zijn, dan is er één richting en hun projectie; in formules (2) en (3) zullen geen mintekens staan. Als we (2) en (3) vervangen door gelijkheid (1), krijgen we onmiddellijk gelijkheid (4). De stelling is dus voor alle gevallen bewezen.
D. Stelling II. De grootte van de vectorprojectie op een willekeurige as is gelijk aan de grootte van de vector vermenigvuldigd met de cosinus van de hoek tussen de projectie-as en de vectoras. Laat de vectoras worden gegeven zoals weergegeven in Fig. 7. Laten we een vector construeren die gelijk is gericht met zijn as en vertraagd, bijvoorbeeld vanaf het snijpunt van de assen. Laat de lengte gelijk zijn aan één. Dan is de waarde ervan
Natuurkunde voor graad 9 (I.K. Kikoin, A.K. Kikoin, 1999),
taak №5
naar hoofdstuk " HOOFDSTUK 1. ALGEMENE VERKEERSINFORMATIE».
1. De projectie van de vector a op de coördinatenas is de lengte van het segment tussen de projecties van het begin en het einde van de vector a (loodlijnen die vanaf deze punten op de as vallen) op deze coördinatenas.
2. De projecties van de verplaatsingsvector s op de coördinaatassen zijn gelijk aan de verandering in de corresponderende coördinaten van het lichaam.
3. Als de coördinaat van een punt toeneemt met de tijd, dan is de projectie van de verplaatsingsvector op de coördinatenas positief, aangezien in dit geval gaan we van de projectie van het begin naar de projectie van het einde van de vector in de richting van de as zelf.
Als de coördinaat van een punt in de loop van de tijd afneemt, dan is de projectie van de verplaatsingsvector op de coördinatenas negatief, aangezien in dit geval gaan we van de projectie van het begin naar de projectie van het einde van de vector tegen de richting van de as zelf.
4. Als de verplaatsingsvector evenwijdig is aan de X-as, dan is de modulus van de projectie van de vector op deze as gelijk aan de modulus van de vector zelf, en is de projectie op de Y-as nul.
5. In alle volgende gevallen verandert de Y-coördinaat van het lichaam niet, maar verandert de X-coördinaat van het lichaam als volgt:
a) s1;
de projectie van de vector s 1 op de X-as is negatief en is in absolute waarde gelijk aan de lengte van de vector s 1. Bij een dergelijke verplaatsing zal de X-coördinaat van het lichaam afnemen met de lengte van de vector s 1.
b) s2;
de projectie van de vector s 2 op de X-as is positief en in absolute waarde gelijk aan de lengte van de vector s 1. Bij een dergelijke verplaatsing zal de X-coördinaat van het lichaam toenemen met de lengte van de vector s 2.
c) s3;
de projectie van de vector s 3 op de X-as is negatief en in absolute waarde gelijk aan de lengte van de vector s 3. Bij een dergelijke verplaatsing zal de X-coördinaat van het lichaam afnemen met de lengte van de vector s 3.
d) s4;
de projectie van de vector s 4 op de X-as is positief en in absolute waarde gelijk aan de lengte van de vector s 4. Bij een dergelijke verplaatsing zal de X-coördinaat van het lichaam toenemen met de lengte van de vector s 4.
e) s5;
de projectie van de vector s 5 op de X-as is negatief en in absolute waarde gelijk aan de lengte van de vector s 5. Bij een dergelijke verplaatsing zal de X-coördinaat van het lichaam afnemen met de lengte van de vector s 5.
6. Misschien. Dit komt door het feit dat verplaatsing (verplaatsingsvector) een vectorgrootheid is, d.w.z. is een gericht lijnsegment dat de beginpositie van het lichaam verbindt met zijn volgende posities. En de eindpositie van het lichaam (ongeacht de afgelegde afstand) kan zo dicht bij de beginpositie van het lichaam liggen als je wilt. Als de eind- en beginpositie van het lichaam samenvallen, is de verplaatsingsmodulus gelijk aan nul.
7. De belangrijkste taak van de mechanica is om op elk moment de positie van het lichaam te bepalen. Als we de vector van verplaatsing van het lichaam kennen, kunnen we de coördinaten van het lichaam bepalen, d.w.z. de positie van het lichaam op elk moment in de tijd, en als we alleen de afgelegde afstand kennen, kunnen we de coördinaten van het lichaam niet bepalen, aangezien we hebben geen informatie over de bewegingsrichting, maar we kunnen alleen de lengte van het afgelegde pad op een bepaald moment beoordelen.
Inleiding ……………………………………………………………………… 3
1. Vector- en scalaire waarde ………………………………………… .4
2. Bepaling van projectie, as en coördinaat van een punt ……………… ... 5
3. Vectorprojectie op de as ………………………………………… ... 6
4. De basisformule van vectoralgebra ………………………… ..8
Invoering:
Natuurkunde is onlosmakelijk verbonden met wiskunde. Wiskunde biedt de natuurkunde de middelen en technieken voor een algemene en nauwkeurige uitdrukking van de relatie tussen fysieke grootheden, die worden ontdekt als resultaat van experiment of theoretisch onderzoek, aangezien de belangrijkste onderzoeksmethode in de natuurkunde experimenteel is. Dit betekent dat de wetenschapper berekeningen identificeert met behulp van metingen. Geeft de relatie aan tussen verschillende fysieke grootheden. Vervolgens wordt alles vertaald in de taal van de wiskunde. Er wordt een wiskundig model gevormd. Natuurkunde is een wetenschap die de eenvoudigste en tegelijkertijd de meest algemene wetten bestudeert. De taak van de natuurkunde is om in ons bewustzijn zo'n beeld van de fysieke wereld te scheppen dat de eigenschappen ervan het best tot uiting komen en die relaties tussen de elementen van het model verschaft zoals die tussen de elementen bestaan.
Dus de natuurkunde creëert een model van de wereld om ons heen en bestudeert de eigenschappen ervan. Maar elk model is beperkt. Bij het maken van modellen van dit of dat fenomeen wordt alleen rekening gehouden met eigenschappen en verbanden die essentieel zijn voor een bepaald scala aan fenomenen. Dit is de kunst van een wetenschapper - van alle diversiteit om het belangrijkste te kiezen.
Fysieke modellen zijn wiskundig, maar wiskunde is niet hun basis. Kwantitatieve relaties tussen fysieke grootheden worden ontdekt als resultaat van metingen, observaties en experimenteel onderzoek en worden alleen uitgedrukt in de taal van de wiskunde. Er is echter geen andere taal voor het construeren van natuurkundige theorieën.
1. De waarde van de vector en scalair.
In de natuurkunde en wiskunde is een vector een grootheid die wordt gekenmerkt door zijn numerieke waarde en richting. In de natuurkunde zijn er veel belangrijke grootheden die vectoren zijn, bijvoorbeeld kracht, positie, snelheid, versnelling, koppel, momentum, sterkte van elektrische en magnetische velden. Ze kunnen worden gecontrasteerd met andere grootheden zoals massa, volume, druk, temperatuur en dichtheid, die kunnen worden beschreven door het gebruikelijke getal, en ze worden " scalairen ".
Ze zijn geschreven in letters van een normaal lettertype, of in cijfers (a, b, t, G, 5, −7 ....). Scalaren kunnen positief of negatief zijn. Tegelijkertijd kunnen sommige studieobjecten dergelijke eigenschappen hebben, voor een volledige beschrijving waarvan kennis van alleen een numerieke maat onvoldoende blijkt te zijn, is het ook noodzakelijk om deze eigenschappen te karakteriseren door een richting in de ruimte. Dergelijke eigenschappen worden gekenmerkt door vectorgrootheden (vectoren). Vectoren, in tegenstelling tot scalairen, worden aangeduid met vette letters: a, b, g, F, C….
Vaak wordt een vector aangeduid met een letter in een normaal (niet-vet) lettertype, maar met een pijl erboven:
De modulus van een vector, dat wil zeggen de lengte van een gericht recht lijnsegment, wordt aangegeven met dezelfde letters als de vector zelf, maar in normaal (niet vet) schrift en zonder een pijl erboven, of net als de vector ( dat wil zeggen, in vet of normaal, maar met pijl), maar dan is de aanduiding van de vector ingesloten in verticale streepjes.
Een vector is een complex object dat tegelijkertijd wordt gekenmerkt door zowel grootte als richting.
Er zijn ook geen positieve en negatieve vectoren. Maar vectoren kunnen aan elkaar gelijk zijn. Dit is wanneer bijvoorbeeld a en b dezelfde modules hebben en in dezelfde richting zijn gericht. In dit geval is de notatie geldig een= b. Houd er ook rekening mee dat een minteken voor het vectorsymbool kan verschijnen, bijvoorbeeld - c, dit teken geeft echter symbolisch aan dat de vector -c dezelfde modulus heeft als de vector c, maar is gericht in de andere kant.
De vector -c wordt het tegenovergestelde (of inverse) van de vector c genoemd.
In de natuurkunde is elke vector echter gevuld met specifieke inhoud, en bij het vergelijken van vectoren van hetzelfde type (bijvoorbeeld krachten), kunnen de punten van hun toepassing van groot belang zijn.
2. Bepaling van projectie, as en puntcoördinaat.
As- dit is een rechte lijn, die enige richting wordt gegeven.
De as wordt aangegeven met een willekeurige letter: X, Y, Z, s, t ... Gewoonlijk wordt op de as (willekeurig) een punt gekozen, dat de oorsprong wordt genoemd en in de regel wordt aangegeven met de letter O. Vanaf dit punt worden afstanden tot andere voor ons interessante punten geteld.
Punt projectie op een as wordt de basis van de loodlijn genoemd die vanaf dit punt op deze as valt. Dat wil zeggen, de projectie van een punt op een as is een punt.
Coördinaat punt op een bepaalde as wordt een getal genoemd waarvan de absolute waarde gelijk is aan de lengte van het assegment (in de geselecteerde schaal), ingesloten tussen de oorsprong van de as en de projectie van een punt op deze as. Dit getal wordt met een plusteken genomen als de projectie van een punt in de richting van de as vanaf de oorsprong ligt en met een minteken als in de tegenovergestelde richting.
3. Projectie van de vector op de as.
De projectie van een vector op een as is een vector die wordt verkregen door de scalaire projectie van een vector op deze as en de eenheidsvector van deze as te vermenigvuldigen. Als a x bijvoorbeeld de scalaire projectie is van de vector a op de X-as, dan is a x i zijn vectorprojectie op deze as.
We duiden de vectorprojectie op dezelfde manier aan als de vector zelf, maar met de index van de as waarop de vector wordt geprojecteerd. Dus de vectorprojectie van de vector a op de X-as wordt aangegeven met een x (vetgedrukte letter die de vector en het subscript van de asnaam aangeeft) of
(niet-vette letter die een vector aangeeft, maar met een pijl bovenaan (!) En een subscript van de asnaam).scalaire projectie vector per as heet nummer, waarvan de absolute waarde gelijk is aan de lengte van het assegment (in de geselecteerde schaal), ingesloten tussen de projecties van het beginpunt en het eindpunt van de vector. Meestal, in plaats van te uiten scalaire projectie ze zeggen gewoon - projectie... De projectie wordt aangegeven met dezelfde letter als de geprojecteerde vector (in normale, niet-vette notatie), met een subscript (meestal) van de naam van de as waarop deze vector wordt geprojecteerd. Als de vector bijvoorbeeld op de X-as wordt geprojecteerd een, dan wordt zijn projectie aangeduid met een x. Wanneer dezelfde vector op een andere as wordt geprojecteerd, als de Y-as, wordt de projectie ervan aangeduid met een y.
Om de projectie te berekenen: vector op de as (bijvoorbeeld de X-as), trek de coördinaat van het beginpunt af van de coördinaat van het eindpunt, dat wil zeggen
a x = x k - x n.
De projectie van een vector op een as is een getal. Bovendien kan de projectie positief zijn als de waarde x k groter is dan de waarde x n,
negatief als de waarde x k kleiner is dan de waarde x n
en gelijk aan nul als x k gelijk is aan x n.
De projectie van een vector op een as kan ook worden gevonden door de modulus van de vector te kennen en de hoek die deze met deze as maakt.
De figuur laat zien dat a x = a Cos α
Dat wil zeggen, de projectie van de vector op de as is gelijk aan het product van de modulus van de vector door de cosinus van de hoek tussen de richting van de as en vector richting... Als de hoek scherp is, dan
Cos α> 0 en a x> 0, en als het stomp is, dan is de cosinus van de stompe hoek negatief en zal de projectie van de vector op de as ook negatief zijn.
Hoeken geteld vanaf de as tegen de klok in worden als positief beschouwd, en onderweg - negatief. Omdat de cosinus echter een even functie is, dat wil zeggen Cos α = Cos (- α), kunnen de hoeken bij het berekenen van de projecties zowel met de klok mee als tegen de klok in worden geteld.
Om de projectie van een vector op een as te vinden, moet de modulus van deze vector worden vermenigvuldigd met de cosinus van de hoek tussen de richting van de as en de richting van de vector.
4. De hoofdformule van vectoralgebra.
Project vector a op de X- en Y-assen van een rechthoekig coördinatensysteem. Laten we de vectorprojecties van de vector a op deze assen vinden:
a x = a x i, en y = a y j.
Maar in overeenstemming met de vectoroptellingsregel
een = een x + een y.
a = een x ik + een y j.
We hebben de vector dus uitgedrukt in termen van zijn projecties en eenheidsvectoren van een rechthoekig coördinatensysteem (of in termen van zijn vectorprojecties).
Vectorprojecties a x en a y worden componenten of componenten van de vector a genoemd. De bewerking die we hebben uitgevoerd, wordt de uitbreiding van de vector langs de assen van een rechthoekig coördinatenstelsel genoemd.
Als de vector in de ruimte gegeven is, dan
a = a x ik + een y j + een z k.
Deze formule wordt de basisformule voor vectoralgebra genoemd. Zo kan het natuurlijk ook geschreven worden.
