Keďže pevnina má prvky na všetkých úrovniach, od veľkosti stoviek kilometrov až po nepatrné zlomky milimetra a menej, neexistuje žiadny zjavný limit veľkosti pre najmenšie prvky, a preto nie je pevne stanovený žiadny presne definovaný obvod zeme. Pri určitých predpokladoch minimálnej veľkosti existujú rôzne aproximácie.
Príkladom paradoxu je dobre známy pobrežie Spojeného kráľovstva... Ak sa pobrežie Spojeného kráľovstva meria pomocou fraktálnych jednotiek s dĺžkou 100 km (62 míľ), potom je pobrežie približne 2 800 km (1 700 míľ). S jednotkou 50 km (31 mi) je celková dĺžka asi 3 400 km (2 100 mi), asi o 600 km (370 mi) dlhšia.
Matematické aspekty
Základný koncept dĺžky pochádza z Euklidovská vzdialenosť... V kamarátovi euklidovská geometria, priamka predstavuje najkratšiu vzdialenosť medzi dvoma bodmi; táto čiara má iba jednu konečnú dĺžku. Geodetická dĺžka na povrchu gule, nazývaná veľká dĺžka kruhu, sa meria pozdĺž povrchu krivky, ktorá existuje v rovine, ktorá obsahuje koncové body dráhy a stred gule. Dĺžka hlavnej krivky je zložitejšia, ale dá sa aj vypočítať. Meraním pomocou pravítka môže osoba aproximovať dĺžky krivky pridaním súčtu priamych čiar spájajúcich body:
Použitie niekoľkých priamych čiar v blízkosti dĺžky krivky vytvorí nízky odhad. Použitie kratších a kratších čiar vytvorí súčet dĺžok, ktoré sa približujú skutočnej dĺžke krivky. Presnú hodnotu tejto dĺžky je možné nastaviť pomocou kalkulu, odvetvia matematiky, ktoré vám umožňuje vypočítať nekonečne malé vzdialenosti. Nasledujúca animácia ilustruje tento príklad:
Nie všetky krivky sa však dajú merať týmto spôsobom. Podľa definície je fraktálna krivka krivka s komplexnými zmenami v meracej škále. Ak vezmeme do úvahy aproximáciu hladkej krivky bližšie a bližšie k jednej hodnote so zvyšujúcou sa presnosťou merania, nameraná hodnota fraktálov sa môže výrazne zmeniť.
dĺžka" skutočný fraktál"Vždy inklinuje k nekonečnu. Tento údaj je však založený na myšlienke, že priestor môže byť rozdelený na neurčitosť, to znamená byť neobmedzený. Toto je fantázia, ktorá je základom euklidovskej geometrie a slúži ako užitočný model v každodenných dimenziách, takmer určite áno." neodrážajú meniacu sa realitu „priestoru“ a „vzdialenosti“ na atómovej úrovni. Pobrežia sa líšia od matematických fraktálov, sú tvorené množstvom malých detailov, ktoré vytvárajú modely iba štatisticky.
Z praktických dôvodov, rozmer môžete použiť s vhodnou voľbou minimálnej ordinálnej veľkosti. Ak sa pobrežie meria v kilometroch, potom sú malé odchýlky oveľa menšie ako jeden kilometer a je ľahké ich ignorovať. Na meranie pobrežia v centimetroch je potrebné zvážiť malé zmeny veľkosti. Používanie rôznych meracích techník pre rôzne jednotky tiež ničí zvyčajné presvedčenie, že bloky možno premeniť jednoduchým násobením. Extrémy pobrežia zahŕňajú fjordový paradox ťažkých pobreží Nórska, Čile a tichomorského pobrežia Severnej Ameriky.
Krátko pred rokom 1951 Lewis Fry Richardson, v štúdii o možnom vplyve dĺžky hranice na pravdepodobnosť vojny si všimol, že Portugalci prezentovali svoju nameranú hranicu so Španielskom ako 987 km dlhú, no Španielsko ju uviedlo ako 1214 km. To bol začiatok problému pobrežia, ktorý je matematicky ťažké zmerať kvôli nepravidelnosti samotnej línie. Prevládajúcou metódou na odhad dĺžky hranice (alebo pobrežia) bolo prekrytie N čísel rovnakých ℓ ohraničených segmentov na mape alebo leteckej fotografii. Každý koniec segmentu by mal byť na hranici. Skúmaním nezrovnalostí v odhadoch hraníc Richardson objavil to, čo sa dnes nazýva Richardsonov efekt: súčet segmentov je nepriamo úmerný celkovej dĺžke segmentov. V skutočnosti, čím kratšie je pravítko, tým väčšia je nameraná hranica; španielskymi a portugalskými geografmi bola hranica jednoducho meraná pomocou rôznych dĺžok pravítka. Výsledkom bolo, že Richardsona zarazila skutočnosť, že za určitých okolností, keď sa dĺžka pravítka ℓ blíži k nule, dĺžka pobrežia má tiež tendenciu k nekonečnu. Richardson sa domnieva, že na základe Euklidovská geometria, pobrežie sa priblíži k pevnej dĺžke, ako urobiť podobné odhady pravidelných geometrických tvarov. Napríklad obvod pravidelného mnohouholníka vpísaného do kruhu sa približuje ku kružnici s nárastom počtu strán (a zmenšením dĺžky jednej strany). V teórii geometrických mier sa taká hladká krivka, ako je kružnica, ku ktorej je možné priblížiť malé priame segmenty s určitým limitom, nazýva rektifikovateľná krivka.
Viac ako desať rokov po tom, čo Richardson dokončil svoju prácu, Benoit Mandelbrot vyvinuli novú oblasť matematiky - fraktálnu geometriu, aby opísali práve takéto nenapraviteľné komplexy v prírode v podobe nekonečného pobrežia. Vlastná definícia nová postava slúžiace ako základ pre jeho výskum: Prišiel som s fraktálom z latinského prídavného mena " roztrieštené»Na vytvorenie nepravidelných fragmentov. Preto je vhodné ... aby okrem „roztrieštené“ ... rozbité znamenalo aj „nepravidelné“.
Kľúčovou vlastnosťou fraktálu je sebepodobnosť, to znamená, že rovnaká všeobecná konfigurácia sa objavuje v akejkoľvek mierke. Pobrežie je vnímané ako roztrúsené mysmi. V hypotetickej situácii má dané pobrežie túto vlastnosť sebapodobnosti, bez ohľadu na to, ako veľmi sa zväčší akýkoľvek malý úsek pobrežia, podobný vzor menších zálivov a mysov prekrýva veľké zálivy a mysy až do zrnka piesku. V tomto prípade sa mierka pobrežia okamžite zmení na potenciálne nekonečne dlhé vlákno s náhodným usporiadaním zálivov a mysov vytvorených z malých predmetov. Za takýchto podmienok (na rozdiel od hladkých zákrut), tvrdí Mandelbrot, "dĺžka pobrežia sa ukazuje ako nepolapiteľný koncept, ktorý kĺže medzi prstami tých, ktorí to chcú pochopiť." rôzne druhy fraktály. Pobrežie so špecifikovanými parametrami patrí do „prvej kategórie fraktálov, konkrétne kriviek s fraktálna dimenzia väčší ako 1. „Tento posledný výrok je rozšírením Mandelbrotovej myšlienky Richardsona.
Mandelbrotovo vyhlásenie Richardsonovho efektu:
kde L, dĺžka pobrežia, funkcia jednotky, ε, je aproximovaná o. F je konštantná a D je Richardsonov parameter. Neposkytol teoretické vysvetlenie, ale Mandelbrot definoval D s neceločíselnou formou Hausdorffov rozmer, neskôr - fraktálna dimenzia. Preusporiadaním pravej strany výrazu dostaneme:
kde Fε-D musí byť počet jednotiek ε potrebných na získanie L. Fraktálna dimenzia- počet veľkostí fraktálov použitých na aproximáciu fraktálu: 0 pre bod, 1 pre čiaru, 2 pre oblasť. D vo výraze je medzi 1 a 2, pre pobrežie je to zvyčajne menej ako 1,5. Rozmer pobrežnej lomenej čiary nepresahuje jedným smerom a nepredstavuje oblasť, ale je stredný. To možno interpretovať ako hrubé čiary alebo pruhy široké 2ε. Viac členité pobrežia majú väčšie D a teda aj L väčšie pri rovnakom ε. Mandelbrot ukázal, že D nezávisí od ε.
Zdroj: http://en.wikipedia.org/wiki/Coast#Coastline_problem
http://en.wikipedia.org/wiki/Coastline_paradox
Preklad: Dmitrij Shakhov
Príklad paradoxu: ak sa pobrežie Veľkej Británie meria v segmentoch 100 km, potom je jeho dĺžka približne 2 800 km. Pri použití 50 km úsekov je dĺžka približne 3 400 km, čo je o 600 km viac.
Dĺžka pobrežia závisí od toho, ako sa meria. Vzhľadom na to, že na pevnine je možné rozlíšiť ohyby akejkoľvek veľkosti, od stoviek kilometrov po zlomky milimetra alebo menej, nie je možné zvoliť veľkosť najmenšieho prvku, ktorý by sa mal brať na meranie zrejmým spôsobom. Preto nie je možné jednoznačne určiť obvod tohto úseku. Na riešenie tohto problému existujú rôzne matematické aproximácie.
Primárnou metódou na odhad dĺžky hranice alebo pobrežia bolo prekrytie N rovnaké dĺžky l na mape alebo leteckej snímke pomocou kompasu. Každý koniec čiary musí patriť k meranej hranici. Pri skúmaní nezrovnalostí v odhadoch hraníc Richardson objavil to, čo sa dnes nazýva Richardsonov efekt: Mierka merania je nepriamo úmerná celkovej dĺžke všetkých čiar. To znamená, že čím kratšie je použité pravítko, tým dlhšia je meraná hranica. Španielski a portugalskí geografi sa teda jednoducho riadili meraniami rôznych mierok.
Najvýraznejšie pre Richardsona bolo, že keď množstvo l má tendenciu k nule, dĺžka pobrežia má tendenciu k nekonečnu. Spočiatku Richardson veril, spoliehajúc sa na euklidovskú geometriu, že táto dĺžka dosiahne pevnú hodnotu, ako je to v prípade pravidelných geometrických tvarov. Napríklad obvod pravidelného mnohouholníka vpísaného do kruhu sa približuje dĺžke samotného kruhu s nárastom počtu strán (a znížením dĺžky každej strany). V teórii geometrických meraní sa taká hladká krivka ako kruh, ktorú možno približne znázorniť ako malé segmenty s daným limitom, nazýva rektifikovateľná krivka.
Viac ako desať rokov po tom, čo Richardson dokončil svoju prácu, Mandelbrot vyvinul nové odvetvie matematiky – fraktálnu geometriu – na opis takých nenapraviteľných komplexov, ktoré existujú v prírode, ako je napríklad nekonečné pobrežie. Jeho vlastná definícia fraktálu ako základu jeho výskumu je nasledovná:
Napadlo ma slovo fraktál, na základe latinského prídavného mena fractus... Zodpovedajúce latinské sloveso frangere znamená prestávka: vytvárať nepravidelné kúsky. Preto je rozumné, že okrem „úlomkovitých“ fractus by malo tiež znamenať „nepravidelné“.
Kľúčovou vlastnosťou fraktálov je sebepodobnosť, ktorá spočíva v prejavení rovnakého všeobecného čísla v akejkoľvek mierke. Pobrežie je vnímané ako striedanie zálivov a mysov. Hypoteticky, ak je dané pobrežie sebepodobné, potom bez ohľadu na to, ako veľmi je tá či oná časť zmenšená, stále sa objavuje podobný vzor menších zálivov a mysov, prekrývajúcich sa s väčšími zálivmi a mysmi až po zrnká piesku. V tomto meradle sa pobrežie javí ako okamžite sa meniaca, potenciálne nekonečná niť so stochastickými polohami zálivov a mysov. Za takýchto podmienok (na rozdiel od hladkých kriviek) Mandelbrot tvrdí: "Dĺžka pobrežia sa ukazuje ako nedosiahnuteľný pojem, kĺže pomedzi prsty tých, ktorí sa ho snažia pochopiť."
kde dĺžka pobrežia L je funkciou jednotky ε a je aproximovaná výrazom vpravo. F je konštanta, D je Richardsonov parameter v závislosti od samotného pobrežia (Richardson neuviedol teoretické vysvetlenie pre túto hodnotu, ale Mandelbrot definoval D ako neceločíselnou formu Hausdorffovej dimenzie, neskôr - fraktálnej dimenzie. V r. inými slovami, D je prakticky nameraná hodnota "drsnosti"). Preusporiadaním pravej strany výrazu dostaneme:
kde Fε -D by mal byť počet jednotiek ε požadovaných na získanie L. Fraktálny rozmer je počet rozmerov objektu použitých na aproximáciu fraktálu: 0 pre bod, 1 pre čiaru, 2 pre plošné útvary. Keďže prerušovaná čiara, ktorá meria dĺžku pobrežia, sa netiahne jedným smerom a nepredstavuje oblasť, hodnota D vo výraze je medzi 1 a 2 (zvyčajne menej ako 1,5 pre pobrežie). Môže sa interpretovať ako hrubá čiara alebo pruh široký 2ε. Viac „prerušených“ dobehov má vyššiu hodnotu D, a preto sa L ukáže byť dlhší pre rovnaké ε. Mandelbrot ukázal, že D nezávisí od ε.
Vo všeobecnosti sa pobrežia líšia od matematických fraktálov v tom, že sú tvorené množstvom malých detailov, ktoré vytvárajú modely iba štatisticky.
V skutočnosti pobrežiam chýbajú detaily menšie ako 1 cm [ ]. Je to spôsobené eróziou a inými morskými javmi. Vo väčšine miest je minimálna veľkosť oveľa väčšia. Preto model nekonečných fraktálov nie je vhodný pre pobrežia.
Z praktických dôvodov sa minimálna veľkosť dielov volí rovnajúca sa rádu jednotiek merania. Ak sa teda pobrežie meria v kilometroch, potom sa malé zmeny čiar, oveľa menej ako jeden kilometer, jednoducho neberú do úvahy. Na meranie pobrežia v centimetroch je potrebné vziať do úvahy všetky malé odchýlky okolo jedného centimetra. Avšak na mierkach rádovo v centimetroch je potrebné urobiť rôzne ľubovoľné nefraktálne predpoklady, napríklad tam, kde sa ústie spája s morom alebo kde sa majú merania vykonávať pri širokých wattoch. Okrem toho použitie rôznych metód merania pre rôzne jednotky merania neumožňuje prevod týchto jednotiek pomocou jednoduchého násobenia.
Na určenie štátnych teritoriálnych vôd sa budujú takzvané ohyby pobrežia kanadskej provincie Britská Kolumbia, ktoré tvoria viac ako 10 % dĺžky kanadského pobrežia (berúc do úvahy všetky ostrovy kanadskej Arktídy). Súostrovie) - 25 725 km z 243 042 km pri lineárnej vzdialenosti rovnajúcej sa iba 965 km
Fraktály sú geometrické objekty: povrchové čiary, priestorové telesá, ktoré majú veľmi nepravidelný tvar a majú vlastnosť sebapodobnosti. Slovo fraktál pochádza zo slova fractus a prekladá sa ako zlomkový, zlomený. Sebapodobnosť ako hlavná charakteristika znamená, že je viac-menej rovnomerne usporiadaná v širokom rozsahu mierok. Takže, keď priblížite, malé fraktálne fragmenty sa ukážu ako veľmi podobné veľkým. V ideálnom prípade takáto sebepodobnosť vedie k tomu, že fraktálny objekt sa pri rozťahovaní ukáže ako invariantný, t.j. vraj má dilatačnú symetriu. Predpokladá, že základné geometrické znaky fraktálu zostanú pri zmene mierky nezmenené.
Samozrejme, pre skutočný prírodný fraktál existuje určitá minimálna dĺžková škála, takže pri vzdialenostiach zmizne jeho hlavná vlastnosť - sebepodobnosť. Navyše, pri dostatočne veľkých dĺžkových mierkach, kde je charakteristická geometrická veľkosť objektov, je táto vlastnosť sebapodobnosti tiež narušená. Preto sa vlastnosti prírodných fraktálov zvažujú iba na váhe l, vyhovujúci pomeru . Takéto obmedzenia sú celkom prirodzené, pretože keď uvedieme ako príklad fraktál – prerušenú, nehladkú trajektóriu Brownovej častice, potom pochopíme, že obraz je zjavnou idealizáciou. Ide o to, že konečnosť času zrážky ovplyvňuje malé mierky. Berúc do úvahy tieto okolnosti, trajektória Brownovej častice sa stáva hladkou krivkou.
Všimnite si, že vlastnosť sebapodobnosti je charakteristická len pre pravidelné fraktály. Ak sa namiesto deterministických konštrukčných metód začlení do algoritmu ich tvorby nejaký prvok náhodnosti (ako je to napr. v mnohých procesoch difúzneho rastu zhlukov, elektrického rozpadu a pod.), potom tzv. vznikajú náhodné fraktály. Ich hlavným rozdielom od bežných je, že vlastnosti sebapodobnosti sú platné až po príslušnom spriemerovaní nad všetkými štatisticky nezávislými realizáciami objektu. V tomto prípade zväčšená časť fraktálu nie je úplne identická s pôvodným fragmentom, ale ich štatistické charakteristiky sa zhodujú. Ale fraktál, ktorý študujeme, je jedným z klasických fraktálov, a teda regulárny.
Pojem fraktál pôvodne vznikol vo fyzike v súvislosti s problémom hľadania pobrežia. Pri jej meraní na existujúcej mape terénu sa vynoril zaujímavý detail – čím väčšia je mapa, tým dlhšie je toto pobrežie.
Obrázok 1 - Mapa pobrežia
Nech je napríklad vzdialenosť v priamke medzi bodmi umiestnenými na pobreží A a B rovná sa R(pozri obr. 1). Potom, aby sme zmerali dĺžku pobrežia medzi týmito bodmi, umiestnime orientačné body navzájom pevne spojené pozdĺž pobrežia tak, aby vzdialenosť medzi susednými orientačnými bodmi bola napr. l = 10 km... Dĺžka pobrežia v kilometroch medzi bodmi A a B potom vezmeme rovný počet orientačných bodov mínus jeden vynásobený desiatimi. Ďalšie meranie tejto dĺžky vykonáme rovnakým spôsobom, ale vzdialenosť medzi susednými pólmi zrovnáme l = 1 km.
Ukazuje sa, že výsledky týchto meraní budú odlišné. Pri oddialení l dostaneme všetko veľké hodnoty dĺžka. Na rozdiel od hladkej krivky je línia morského pobrežia často tak členitá (až po najmenšie mierky), že s poklesom spojenia l rozsah L- dĺžka pobrežia - nesmeruje ku konečnému limitu, ale zväčšuje sa podľa postupného zákona
kde D- nejaký exponent, ktorý sa nazýva fraktálny rozmer pobrežia. Čím väčšia je hodnota D, tým členitejšie je toto pobrežie. Pôvod závislosti (1) je intuitívne jasný: čím menšiu mierku použijeme, tým menšie detaily pobrežia budú brané do úvahy a prispejú k meranej dĺžke. Naopak, zväčšovaním mierky narovnávame pobrežie, zmenšujeme dĺžku L.
Je teda zrejmé, že na určenie dĺžky pobrežia L pomocou tvrdej váhy l(napríklad pomocou kompasu s fixným riešením), musíte urobiť N = L/l kroky a hodnotu L zmeny z l tak N záleží na l v práve. Výsledkom je, že s klesajúcou mierkou sa dĺžka pobrežia neobmedzene zvyšuje. Táto okolnosť výrazne odlišuje fraktálnu krivku od obyčajnej hladkej krivky (ako je kruh, elipsa), pre ktorú je hranica dĺžky aproximovanej prerušovanej čiary L keďže dĺžka jeho spojenia má tendenciu k nule l je konečný. Výsledkom je pre hladkú krivku jej fraktálny rozmer D = 1, t.j. sa zhoduje s topologickým.
Uveďme hodnoty fraktálnych dimenzií D pre rôzne pobrežia. Napríklad pre Britské ostrovy D? trinásť a pre Nórsko D? 15... Fraktálny rozmer austrálskeho pobrežia D? 1. 1. K jednote sa blížia aj fraktálne rozmery ostatných pobreží.
Vyššie bol predstavený koncept fraktálnej dimenzie pobrežia. Dajme teraz všeobecná definícia túto hodnotu. Nechaj d- obvyklá euklidovská dimenzia priestoru, v ktorom sa nachádza náš fraktálny objekt ( d = 1- riadok, d = 2- lietadlo, d = 3- obyčajný trojrozmerný priestor). Poďme teraz celý tento objekt pokryť. d-rozmerné "gule" polomeru l... Predpokladajme, že na to sme potrebovali aspoň N (l) loptičky. Potom, ak pre dostatočne malé l rozsah N (l) sa mení podľa mocenského zákona:
potom D- sa nazýva Hausdorffova alebo fraktálna dimenzia tohto objektu.
Pri štúdiu geografie si, samozrejme, pamätajte, že každá z krajín má svoju vlastnú oblasť územia a dĺžku hranice, najmä ak je krajina umývaná akýmkoľvek morom alebo oceánom, potom má morskú hranicu. určitej dĺžky. Zamysleli ste sa niekedy nad tým, ako sa určuje táto dĺžka hranice? V roku 1977 sa postavil americký matematik Benoit Mandelbrot ďalšia otázka: aká je dĺžka pobrežia Spojeného kráľovstva? Ukázalo sa, že na túto „detskú otázku“ nie je možné správne odpovedať. V roku 1988 sa nórsky vedec Jens Feder rozhodol zistiť, aká je dĺžka pobrežia Nórska. Všimnite si, že pobrežie Nórska je silne členité fjordmi. Iní vedci si kládli podobné otázky o dĺžke pobrežia austrálskeho pobrežia, južná Afrika, Nemecko, Portugalsko a ďalšie krajiny.
Môžeme merať iba dĺžku pobrežia. Ako zmenšujeme mierku, musíme merať stále viac malých mysov a zálivov – dĺžka pobrežia sa zväčšuje a jednoducho neexistuje žiadny objektívny limit na zmenšenie mierky (a teda na predĺženie dĺžky pobrežia). pobrežie); musíme uznať, že táto čiara má nekonečnú dĺžku. Vieme, že rozmer priamky je jedna, rozmer štvorca je dva a rozmer kocky je tri. Mandelbrot navrhol použiť na meranie "monštruóznych" kriviek zlomkové rozmery - Hausdorffove - Besicovichove rozmery. Nekonečne členité krivky ako pobrežie nie sú tak celkom čiarou. Zdá sa, že "zametajú" časť lietadla, ako povrch. Ale nie sú to ani povrchy. Preto je rozumné predpokladať, že ich rozmer je viac ako jeden, ale aj menej ako dva, to znamená, že ide o objekty zlomkovej dimenzie.
Nórsky vedec E. Feder navrhol ďalší spôsob merania dĺžky pobrežia. Mapa bola pokrytá štvorcovou sieťou, ktorej bunky majú rozmery e? e) Je vidieť, že počet N (e) takýchto buniek, ktoré pokrývajú pobrežie na mape, sa približne rovná počtu krokov, ktoré sú potrebné na obídenie pobrežia na mape pomocou kompasu s riešením e. Ak sa e zníži, potom sa číslo N (e) zvýši. Ak by dĺžka pobrežia Veľkej Británie mala určitú dĺžku L, potom by bol počet krokov kompasu s riešením (alebo počet štvorcových buniek N (e) pokrývajúcich pobrežie na mape) nepriamo úmerný e a hodnota Ln (e) = N (e) ? e s klesajúcim k by smerovalo ku konštante L. Žiaľ, výpočty vykonané mnohými vedcami ukázali, že to nie je celkom pravda. Keď sa krok znižuje, nameraná dĺžka sa zvyšuje. Ukázalo sa, že vzťah medzi nameranou dĺžkou L (e) a krokom e možno opísať približným vzťahom
Koeficient D sa nazýva fraktálna dimenzia. Slovo fraktál pochádza z latinského slova fraktál – zlomkový, necelé číslo. Množina sa nazýva fraktál, ak má neceločíselný rozmer. Pre Nórsko je D = 1,52 a pre Spojené kráľovstvo D = 1,3. Pobrežie Nórska a Veľkej Británie je teda fraktálom s fraktálnou dimenziou D. Výpočty boli vykonané aj pre kruh a fraktálny rozmer kruhu je D = 1, čo sa dá očakávať. Fraktálna dimenzia je teda zovšeobecnením bežnej dimenzie.
Ako tomu rozumieť a čo to môže znamenať? Matematici si začali pamätať, či niečo také v matematike bolo alebo nie? A spomenuli si! Uvažujme časť nejakej priamky AB na rovine (obr. 3). Vezmite štvorec s hranou e a položte si otázku: Koľko štvorcov N (e) s hranou dĺžky e je potrebných na pokrytie priamky AB takýmito štvorcami? Je vidieť, že N (e) je úmerné
Podobne, ak je uzavretá ohraničená oblasť v rovine (obr. 4) pokrytá štvorcovou sieťou so stranou e, potom minimálny počet štvorcov so stranou e pokrývajúcich oblasť bude rovný
Ak uvažujeme uzavretú ohraničenú oblasť v trojrozmernom priestore a vezmeme kocku s hranou e, potom počet kociek vypĺňajúcich túto oblasť je
Definujme fraktálnu dimenziu na základe vyššie uvedeného vo všeobecnom prípade takto:
Zoberme si logaritmus ľavej a pravej strany
Prechodom k limite ako e smerujúce k nule (N smerujúce k nekonečnu) dostaneme
Táto rovnosť je definíciou dimenzie, ktorá sa označuje d.
Známy fakt:
Príklad paradoxu: ak sa pobrežie Veľkej Británie meria v segmentoch 100 km, potom je jeho dĺžka približne 2 800 km. Pri použití 50 km úsekov je dĺžka približne 3 400 km, čo je o 600 km viac.Dĺžka pobrežia závisí od toho, ako sa meria. Vzhľadom na to, že na pevnine je možné rozlíšiť ohyby akejkoľvek veľkosti, od stoviek kilometrov po zlomky milimetra alebo menej, nie je možné zvoliť veľkosť najmenšieho prvku, ktorý by sa mal brať na meranie zrejmým spôsobom. Preto nie je možné jednoznačne určiť obvod tohto úseku. Na riešenie tohto problému existujú rôzne matematické aproximácie.
