Čo majú spoločné strom, morské pobrežie, oblak alebo krvné cievy v našej ruke? Na prvý pohľad sa môže zdať, že všetky tieto predmety nemajú nič spoločné. V skutočnosti však existuje jedna vlastnosť štruktúry, ktorá je vlastná všetkým uvedeným objektom: sú sebe podobné. Z konára, ako aj z kmeňa stromu odchádzajú menšie procesy, z nich - ešte menšie atď., To znamená, že konár je podobný celému stromu. Obehový systém je usporiadaný podobným spôsobom: arterioly odchádzajú z tepien a z nich - najmenšie kapiláry, cez ktoré kyslík vstupuje do orgánov a tkanív. Pozrime sa na satelitné snímky morského pobrežia: uvidíme zálivy a polostrovy; pozrime sa na to, ale z vtáčej perspektívy: uvidíme zálivy a mysy; teraz si predstavte, že stojíme na pláži a pozeráme sa na svoje nohy: vždy tu budú kamienky, ktoré budú vyčnievať ďalej do vody ako ostatné. To znamená, že pobrežie zostáva podobné ako pri priblížení. Americký matematik Benoit Mandelbrot (hoci vychovaný vo Francúzsku) nazval túto vlastnosť objektov fraktálnosťou a takéto objekty samotné – fraktály (z latinského fractus – rozbité).
Tento pojem nemá striktnú definíciu. Preto slovo „fraktál“ nie je matematický pojem. Fraktál je zvyčajne geometrický útvar, ktorý spĺňa jednu alebo viacero z nasledujúcich vlastností: Má zložitú štruktúru na akejkoľvek úrovni priblíženia (na rozdiel napríklad od priamky, ktorej akákoľvek časť je najjednoduchším geometrickým útvarom – úsečkou ). Je (približne) sebepodobný. Má zlomkovú Hausdorffovu (fraktálnu) dimenziu, ktorá je väčšia ako topologická. Môže byť zostavený rekurzívnymi postupmi.
Štúdium fraktálov na prelome 19. a 20. storočia bolo viac epizodické ako systematické, pretože skorší matematici študovali najmä „dobré“ objekty, ktoré bolo možné študovať pomocou všeobecných metód a teórií. V roku 1872 nemecký matematik Karl Weierstrass postavil príklad spojitej funkcie, ktorá nie je nikde diferencovateľná. Jeho konštrukcia však bola úplne abstraktná a ťažko pochopiteľná. Preto v roku 1904 prišiel Švéd Helge von Koch so súvislou krivkou, ktorá nikde nemá dotyčnicu a je celkom jednoduché ju nakresliť. Ukázalo sa, že má vlastnosti fraktálu. Jedna variácia tejto krivky sa nazýva Kochova snehová vločka.
Myšlienky sebapodobnosti postáv prevzal Francúz Paul Pierre Levy, budúci mentor Benoita Mandelbrota. V roku 1938 vyšiel jeho článok „Rovinné a priestorové krivky a povrchy pozostávajúce z častí podobných celku“, v ktorom je popísaný ďalší fraktál – Lévyho C-krivka. Všetky tieto fraktály uvedené vyššie možno podmienečne pripísať jednej triede konštruktívnych (geometrických) fraktálov.
Ďalšou triedou sú dynamické (algebraické) fraktály, medzi ktoré patrí Mandelbrotova množina. Prvý výskum v tomto smere sa začal začiatkom 20. storočia a spája sa s menami francúzskych matematikov Gastona Juliu a Pierra Fatoua. V roku 1918 vyšlo takmer dvesto strán Júliiných pamätí, venovaných iteráciám zložitých racionálnych funkcií, v ktorých sú opísané Julie množiny – celá rodina fraktálov úzko súvisiaca s Mandelbrotovou množinou. Toto dielo bolo ocenené cenou Francúzskej akadémie, no neobsahovalo ani jednu ilustráciu, takže nebolo možné oceniť krásu objavených predmetov. Napriek tomu, že toto dielo preslávilo Júliu medzi vtedajšími matematikmi, rýchlo sa naň zabudlo. Pozornosť sa naň opäť obrátila až o polstoročie neskôr s príchodom počítačov: práve tie zviditeľnili bohatstvo a krásu sveta fraktálov.
Ako viete, rozmer (počet meraní) geometrického útvaru je počet súradníc potrebných na určenie polohy bodu ležiaceho na tomto obrázku.
Napríklad poloha bodu na krivke je určená jednou súradnicou, na ploche (nie nevyhnutne rovine) dvoma súradnicami, v trojrozmernom priestore tromi súradnicami.
Zo všeobecnejšieho matematického hľadiska možno dimenziu definovať takto: zvýšenie lineárnych rozmerov, povedzme, dvojnásobné, pre jednorozmerné (z topologického hľadiska) objekty (segment) vedie k zvýšeniu veľkosti (dĺžky). ) dvojnásobne, pre dvojrozmerné (štvorcové ) rovnaké zvýšenie lineárnych rozmerov vedie k zväčšeniu veľkosti (plochy) 4-krát, pre trojrozmerné (kocka) - 8-krát. To znamená, že „skutočný“ (tzv. Hausdorffov) rozmer možno vypočítať ako pomer logaritmu nárastu „veľkosti“ objektu k logaritmu nárastu jeho lineárnej veľkosti. To znamená, že pre segment D=log (2)/log (2)=1, pre rovinu D=log (4)/log (2)=2, pre objem D=log (8)/log (2 )=3.
Vypočítajme teraz rozmer Kochovej krivky, pre konštrukciu ktorej je jednotkový segment rozdelený na tri rovnaké časti a stredný interval je nahradený rovnostranným trojuholníkom bez tohto segmentu. S trojnásobným nárastom lineárnych rozmerov minimálneho segmentu sa dĺžka Kochovej krivky zvyšuje v log (4) / log (3) ~ 1,26. To znamená, že rozmer Kochovej krivky je zlomkový!
V roku 1982 vyšla Mandelbrotova kniha „The Fractal Geometry of Nature“, v ktorej autor zozbieral a systematizoval takmer všetky v tom čase dostupné informácie o fraktáloch a prezentoval ich jednoduchým a prístupným spôsobom. Mandelbrot vo svojej prezentácii kládol hlavný dôraz nie na ťažkopádne vzorce a matematické konštrukcie, ale na geometrickú intuíciu čitateľov. Vďaka počítačom generovaným ilustráciám a historickým príbehom, ktorými autor umne preriedil vedeckú zložku monografie, sa kniha stala bestsellerom a fraktály sa dostali do povedomia širokej verejnosti. Ich úspech medzi nematematikmi je do značnej miery spôsobený tým, že pomocou veľmi jednoduché dizajny a vzorce, ktorým je stredoškolák schopný porozumieť, získajú sa obrazy, ktoré sú úžasné v zložitosti a kráse. Keď sa osobné počítače stali dostatočne výkonnými, objavil sa dokonca celý trend v umení - fraktálne maľovanie a mohol to urobiť takmer každý majiteľ počítača. Teraz na internete môžete ľahko nájsť veľa stránok venovaných tejto téme.
Schéma na získanie Kochovej krivky
Ako je uvedené vyššie, jedným z prírodných objektov, ktoré majú fraktálne vlastnosti, je pobrežie. S ním, alebo skôr s pokusom zmerať jeho dĺžku, jeden zaujímavý príbeh, ktorý tvoril základ Mandelbrotovho vedeckého článku a je opísaný aj v jeho knihe „Fractal Geometry of Nature“. Je to o o experimente, ktorý pripravil Lewis Richardson, veľmi talentovaný a excentrický matematik, fyzik a meteorológ. Jedným zo smerov jeho výskumu bol pokus nájsť matematický popis príčin a pravdepodobnosti ozbrojeného konfliktu medzi dvoma krajinami. Medzi parametrami, ktoré bral do úvahy, bola aj dĺžka spoločnej hranice medzi dvoma bojujúcimi krajinami. Keď zbieral údaje pre numerické experimenty, zistil, že v rôznych zdrojoch sa údaje o spoločnej hranici Španielska a Portugalska veľmi líšia. To ho priviedlo k nasledujúcemu objavu: dĺžka hraníc krajiny závisí od pravítka, ktorým ich meriame. Čím menšia mierka, tým dlhší bude okraj. Je to spôsobené tým, že pri väčšom zväčšení je možné brať do úvahy stále viac ohybov pobrežia, ktoré boli predtým ignorované kvôli drsnosti meraní. A ak sa pri každom priblížení otvoria predtým nezapočítané ohyby čiar, potom sa ukáže, že dĺžka hraníc je nekonečná! Pravda, v skutočnosti sa to nedeje - presnosť našich meraní má konečnú hranicu. Tento paradox sa nazýva Richardsonov efekt.
Algoritmus na zostavenie konštruktívneho fraktálu je vo všeobecnom prípade nasledujúci. V prvom rade potrebujeme dva vhodné geometrické tvary, nazvime ich základ a úlomok. V prvej fáze je znázornený základ budúceho fraktálu. Potom sú niektoré jeho časti nahradené fragmentom odobratým vo vhodnej mierke - toto je prvá iterácia konštrukcie. Potom sa vo výslednom obrazci niektoré časti opäť zmenia na obrazce podobné fragmentu atď.. Ak budete v tomto procese pokračovať donekonečna, potom v limite dostanete fraktál.
Zvážte tento proces pomocou príkladu Kochovej krivky (pozri bočný panel na predchádzajúcej strane). Za základ Kochovej krivky možno považovať akúkoľvek krivku (pre Kochovu snehovú vločku je to trojuholník). Obmedzíme sa však na najjednoduchší prípad – segment. Fragment je prerušovaná čiara zobrazená v hornej časti obrázku. Po prvej iterácii algoritmu sa v tomto prípade pôvodný segment zhoduje s fragmentom, potom sa každý z jeho základných segmentov sám nahradí prerušovanou čiarou podobnou fragmentu atď. Obrázok ukazuje prvé štyri kroky tohto procesu.
Fraktály tohto typu vznikajú pri štúdiu nelineárnych dynamických systémov (odtiaľ názov). Správanie takéhoto systému možno opísať pomocou komplexnej nelineárnej funkcie (polynómu) f (z). Zoberme si nejaký počiatočný bod z0 na komplexnej rovine (pozri bočný panel). Teraz uvažujme takú nekonečnú postupnosť čísel v komplexnej rovine, z ktorých každé je získané z predchádzajúcej: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). V závislosti od počiatočného bodu z0 sa takáto postupnosť môže správať odlišne: inklinovať k nekonečnu ako n -> ∞; konvergovať k nejakému koncovému bodu; cyklicky nadobúdať množstvo pevných hodnôt; sú možné komplexnejšie možnosti.
Komplexné číslo je číslo pozostávajúce z dvoch častí – reálnej a imaginárnej, teda formálneho súčtu x + iy (x a y sú tu reálne čísla). ja je tzv. imaginárnu jednotku, teda číslo, ktoré spĺňa rovnicu i^ 2 = -1. Nad komplexnými číslami sú definované základné matematické operácie - sčítanie, násobenie, delenie, odčítanie (nie je definovaná iba operácia porovnávania). Na zobrazenie komplexných čísel sa často používa geometrická reprezentácia - v rovine (nazýva sa komplexná) je skutočná časť vynesená pozdĺž osi x a imaginárna časť pozdĺž osi y, pričom bod c bude zodpovedať komplexu. číslo Kartézske súradnice x a y.
Každý bod z komplexnej roviny má teda svoj vlastný charakter správania počas iterácií funkcie f (z) a celá rovina je rozdelená na časti. Navyše body ležiace na hraniciach týchto častí majú nasledujúcu vlastnosť: pri ľubovoľne malom posunutí sa povaha ich správania dramaticky mení (takéto body sa nazývajú bifurkačné body). Ukazuje sa teda, že množiny bodov, ktoré majú jeden špecifický typ správania, ako aj množiny bifurkačných bodov, majú často fraktálne vlastnosti. Toto sú Júliove množiny pre funkciu f(z).
Zmenou základne a fragmentu môžete získať ohromujúce množstvo konštruktívnych fraktálov.
Okrem toho je možné podobné operácie vykonávať v trojrozmernom priestore. Príklady volumetrických fraktálov sú „Mengerova špongia“, „Sierpinského pyramída“ a iné.
Rodina drakov sa tiež označuje ako konštruktívne fraktály. Niekedy sú označovaní menom objaviteľov ako „draci z Heiwei-Harter“ (tvarom pripomínajú čínskych drakov). Existuje niekoľko spôsobov, ako vytvoriť túto krivku. Najjednoduchší a najzrejmejší z nich je tento: musíte si vziať dostatočne dlhý pás papiera (čím tenší papier, tým lepšie) a ohnúť ho na polovicu. Potom ho znova ohnite na polovicu v rovnakom smere ako prvýkrát. Po niekoľkých opakovaniach (zvyčajne po piatich alebo šiestich prehyboch sa pás stane príliš hrubým na to, aby sa dal ďalej opatrne ohýbať), musíte pás narovnať späť a pokúsiť sa vytvoriť 90˚ uhly v záhyboch. Potom sa krivka draka ukáže v profile. Samozrejme, bude to len aproximácia, ako všetky naše pokusy o zobrazenie fraktálnych objektov. Počítač vám umožňuje zobraziť oveľa viac krokov v tomto procese a výsledkom je veľmi krásna postava.
Súprava Mandelbrot je konštruovaná trochu inak. Uvažujme funkciu fc (z) = z 2 +c, kde c je komplexné číslo. Zostrojme postupnosť tejto funkcie so z0=0, v závislosti od parametra c môže divergovať do nekonečna alebo zostať ohraničená. Okrem toho všetky hodnoty c, pre ktoré je táto sekvencia ohraničená, tvoria Mandelbrotovu množinu. Podrobne ju študoval sám Mandelbrot a ďalší matematici, ktorí objavili mnohé zaujímavé vlastnosti tejto množiny.
Je vidieť, že definície množín Julia a Mandelbrot sú si navzájom podobné. V skutočnosti tieto dva súbory spolu úzko súvisia. Menovite, Mandelbrotova množina sú všetky hodnoty komplexného parametra c, pre ktoré je pripojená množina Julia fc (z) (množina sa nazýva spojená, ak ju nemožno rozdeliť na dve nepretínajúce sa časti s niektorými ďalšími podmienkami).
V súčasnosti je teória fraktálov široko používaná v rôznych oblastiach ľudskej činnosti. Okrem čisto vedeckého objektu na výskum a už spomínaného maľovania fraktálov sa fraktály využívajú v teórii informácie na kompresiu grafických dát (tu sa využíva hlavne vlastnosť sebapodobnosti fraktálov – predsa len, aby sme si zapamätali malý fragment výkresu a transformácií, pomocou ktorých môžete získať zvyšné časti, zaberie oveľa menej pamäte ako uloženie celého súboru). Pridaním náhodných porúch do vzorcov, ktoré definujú fraktál, je možné získať stochastické fraktály, ktoré veľmi hodnoverne sprostredkujú niektoré skutočné objekty - reliéfne prvky, povrch vodných plôch, niektoré rastliny, čo sa úspešne používa vo fyzike, geografii a počítačovej grafike na dosiahnutie väčšia podobnosť simulovaných objektov so skutočnými. V rádioelektronike začali v poslednom desaťročí vyrábať antény, ktoré majú fraktálny tvar. Zaberajú málo miesta a poskytujú celkom kvalitný príjem signálu. Ekonómovia používajú fraktály na opis kriviek fluktuácie meny (túto vlastnosť objavil Mandelbrot pred viac ako 30 rokmi). Týmto sa končí táto krátka exkurzia do sveta fraktálov, úžasných svojou krásou a rozmanitosťou.
Aby bolo možné reprezentovať celú škálu fraktálov, je vhodné uchýliť sa k ich všeobecne akceptovanej klasifikácii.
Fraktály tejto triedy sú najzreteľnejšie. V dvojrozmernom prípade sa získajú pomocou nejakej lomenej čiary (alebo plochy v trojrozmernom prípade) tzv generátor. V jednom kroku algoritmu je každý zo segmentov tvoriacich prerušovanú čiaru nahradený generátorom prerušovaných čiar vo vhodnej mierke. V dôsledku nekonečného opakovania tohto postupu sa získa geometrický fraktál.
Obr 1. Konštrukcia triadickej Kochovej krivky.
Zoberme si jeden z týchto fraktálnych objektov - triadickú Kochovu krivku. Konštrukcia krivky začína segmentom jednotkovej dĺžky (obr. 1) – ide o 0. generáciu Kochovej krivky. Ďalej je každý odkaz (jeden segment v nulovej generácii) nahradený generatrix 1 až obr n=1. V dôsledku takejto výmeny sa získa ďalšia generácia Kochovej krivky. V 1. generácii ide o krivku štyroch priamych článkov, z ktorých každý má dĺžku 1/3 . Na získanie 3. generácie sa vykonajú rovnaké akcie - každý článok je nahradený zmenšeným tvarovacím prvkom. Takže na získanie každej nasledujúcej generácie musia byť všetky články predchádzajúcej generácie nahradené redukovaným tvarovacím prvkom. Krivka n generácie pre akúkoľvek konečnú n volal prefraktálny. Obrázok 1 zobrazuje päť generácií krivky. o n s tendenciou k nekonečnu sa Kochova krivka stáva fraktálnym objektom.
Obrázok 2. Konštrukcia „draka“ Harter-Hateway.
Ak chcete získať ďalší fraktálny objekt, musíte zmeniť pravidlá konštrukcie. Nech tvoriacim prvkom sú dva rovnaké segmenty spojené v pravom uhle. V nulovej generácii nahradíme jednotkový segment týmto generujúcim prvkom tak, aby bol uhol hore. Môžeme povedať, že pri takejto výmene dochádza k posunu v strede článku. Pri konštrukcii ďalších generácií sa postupuje podľa pravidla: úplne prvý článok vľavo je nahradený generujúcim prvkom tak, že stred článku je posunutý doľava od smeru pohybu a pri výmene ďalších článkov je smery posunutia stredov segmentov sa musia striedať. Obrázok 2 zobrazuje niekoľko prvých generácií a 11. generáciu krivky skonštruovanej podľa vyššie opísaného princípu. Limitná fraktálna krivka (at n tendencia k nekonečnu) sa nazýva Drak Harter-Hateway .
V počítačovej grafike je použitie geometrických fraktálov nevyhnutné pri získavaní obrázkov stromov, kríkov a pobrežia. Dvojrozmerné geometrické fraktály sa používajú na vytváranie objemových textúr (vzorov na povrchu objektu).
Toto je najväčšia skupina fraktálov. Získavajú sa pomocou nelineárnych procesov v n-rozmerné priestory. Najviac študované sú dvojrozmerné procesy. Interpretáciou nelineárneho iteračného procesu ako diskrétneho dynamického systému je možné použiť terminológiu teórie týchto systémov: fázový portrét, ustálený stav, atraktor atď.
Je známe, že nelineárne dynamické systémy majú niekoľko stabilných stavov. Stav, v ktorom sa dynamický systém nachádza po určitom počte iterácií, závisí od jeho počiatočného stavu. Preto má každý stabilný stav (alebo, ako sa hovorí, atraktor) určitú oblasť počiatočných stavov, z ktorých systém nevyhnutne spadne do uvažovaných konečných stavov. Fázový priestor systému je teda rozdelený na oblasti príťažlivosti atraktory. Ak je fázový priestor dvojrozmerný, potom je možné získať zafarbením oblastí príťažlivosti rôznymi farbami portrét farebnej fázy tento systém (iteratívny proces). Zmenou algoritmu výberu farieb môžete získať zložité fraktálne vzory s efektnými viacfarebnými vzormi. Prekvapením pre matematikov bola schopnosť vytvárať veľmi zložité netriviálne štruktúry pomocou primitívnych algoritmov.
Obr 3. Mandelbrotova súprava.
Ako príklad uvažujme Mandelbrotovu množinu (pozri obr. 3 a obr. 4). Algoritmus na jeho konštrukciu je pomerne jednoduchý a je založený na jednoduchom iteratívnom výraze:
Z = Z[i]* Z[i]+ C,
kde Z ja a C sú komplexné premenné. Pre každý počiatočný bod sa vykonávajú iterácie C obdĺžniková alebo štvorcová plocha - podmnožina komplexnej roviny. Iteračný proces pokračuje až do Z[i] neprekročí kružnicu s polomerom 2, ktorej stred leží v bode (0,0), (to znamená, že atraktor dynamického systému je v nekonečne), alebo po dostatočne veľkom počte iterácií (napríklad 200 – 500) Z[i] konverguje k nejakému bodu na kruhu. V závislosti od počtu iterácií, počas ktorých Z[i] zostal vo vnútri kruhu, môžete nastaviť farbu bodky C(ak Z[i] zostane vo vnútri kruhu počas dostatočne veľkého počtu iterácií, proces iterácie sa zastaví a tento rastrový bod sa zafarbí na čierno).
Obrázok 4. Časť okraja Mandelbrotovej sady, zväčšená 200-krát.
Vyššie uvedený algoritmus poskytuje aproximáciu takzvanej Mandelbrotovej množiny. Sada Mandelbrot obsahuje body, ktoré počas nekonečné počet iterácií nejde do nekonečna (body sú čierne). Body patriace hranici množiny (tu vznikajú zložité štruktúry) idú do nekonečna v konečnom počte iterácií a body ležiace mimo množiny idú po niekoľkých iteráciách do nekonečna (biele pozadie).
Ďalšou známou triedou fraktálov sú stochastické fraktály, ktoré sa získajú, ak sa niektorý z ich parametrov náhodne zmení v iteratívnom procese. Výsledkom sú objekty veľmi podobné prírodným – asymetrické stromy, členité pobrežia atď. 2D stochastické fraktály sa používajú pri modelovaní terénu a morskej hladiny.
Existujú aj iné klasifikácie fraktálov, napríklad rozdelenie fraktálov na deterministické (algebraické a geometrické) a nedeterministické (stochastické).
Keď nerozumiem všetkému, čo čítam, nie som obzvlášť rozrušený. Ak ma téma nenapadne neskôr, tak nie je veľmi dôležitá (aspoň pre mňa). Ak sa téma stretne znova, aj po tretíkrát, budem mať nové šance lepšie jej porozumieť. Medzi takéto témy patria aj fraktály. Najprv som sa o nich dozvedel z knihy od Nassima Taleba a potom podrobnejšie z knihy od Benoita Mandelbrota. Dnes, na žiadosť "fraktál" na stránke, môžete získať 20 poznámok.
Časť I. CESTA K PÔVODOM
MENO ZNAMENÁ VEDIEŤ. Už na začiatku 20. storočia Henri Poincaré poznamenal: „Ste prekvapení, akú silu môže mať jedno slovo. Tu je predmet, o ktorom sa nedalo nič povedať, kým nebol pokrstený. Stačilo mu dať meno, aby sa stal zázrak “(pozri tiež). A tak sa aj stalo, keď v roku 1975 francúzsky matematik poľského pôvodu Benoit Mandelbrot zozbieral Slovo. Z latinských slov frangere(prestávka) a fractus(nespojitý, diskrétny, zlomkový) vytvoril sa fraktál. Mandelbrot obratne propagoval a propagoval fraktál ako značku založenú na emocionálnej príťažlivosti a racionálnej užitočnosti. Vydáva niekoľko monografií, medzi nimi aj The Fractal Geometry of Nature (1982).
FRAKTAÁLY V PRÍRODE A UMENÍ. Mandelbrot načrtol obrysy fraktálnej geometrie inej ako euklidovskej. Rozdiel neplatil pre axiómu paralelizmu, ako v geometriách Lobačevského alebo Riemanna. Rozdielom bolo odmietnutie Euklidovej predvolenej požiadavky na hladkosť. Niektoré predmety sú vo svojej podstate drsné, pórovité alebo fragmentované a mnohé z nich majú tieto vlastnosti „v rovnakej miere v akomkoľvek meradle“. V prírode nie je nedostatok takýchto foriem: slnečnice a brokolica, morské mušle, paprade, snehové vločky, horské štrbiny, pobrežia, fjordy, stalagmity a stalaktity, blesky.
Ľudia, ktorí sú pozorní a všímaví, si už dávno všimli, že niektoré formy vykazujú pri pohľade „z blízka alebo z diaľky“ opakujúcu sa štruktúru. Pri približovaní sa k takýmto objektom si všimneme, že sa menia len drobné detaily, ale tvar ako celok zostáva takmer nezmenený. Na základe toho je fraktál najjednoduchšie definovať ako geometrický tvar, ktorý obsahuje opakujúce sa prvky v akejkoľvek mierke.
MÝTY A MYSTIFIKÁCIE. Nová vrstva foriem objavená Mandelbrotom sa stala zlatou baňou pre dizajnérov, architektov a inžinierov. Nespočetné množstvo fraktálov je zostavených podľa rovnakých princípov viacnásobné opakovanie. Odtiaľ je možné fraktál najjednoduchšie definovať ako geometrický tvar, ktorý obsahuje opakujúce sa prvky v akejkoľvek mierke. Táto geometrická forma je lokálne nemenná (invariantná), sebepodobná v mierke a integrálna vo svojich obmedzeniach, skutočná singularita, ktorej zložitosť sa odhaľuje, keď sa blíži, a samotná triviálnosť na diaľku.
ČERTOV REBRÍK. Na prenos údajov medzi počítačmi sa používajú extrémne silné elektrické signály. Takýto signál je diskrétny. Rušenie alebo šum sa náhodne vyskytuje v elektrických sieťach z mnohých dôvodov a vedie k strate údajov pri prenose informácií medzi počítačmi. Eliminovať vplyv šumu na prenos dát bola začiatkom šesťdesiatych rokov minulého storočia zverená skupine inžinierov IBM, na ktorej sa podieľal Mandelbrot.
Hrubá analýza ukázala prítomnosť období, počas ktorých neboli zaznamenané žiadne chyby. Po určení periód trvajúcich hodinu si inžinieri všimli, že medzi nimi sú prerušované aj periódy prechodu signálu bez chýb, sú tam kratšie prestávky trvajúce asi dvadsať minút. Prenos dát bez chýb je teda charakterizovaný dátovými paketmi rôznych dĺžok a prestávkami v šume, počas ktorých je signál prenášaný bezchybne. V balíkoch vyššej úrovne sú ako keby zabudované balíčky nižšej úrovne. Takýto opis predpokladá existenciu takej veci, ako je relatívna pozícia paketov nižšej kategórie v pakete vyššej kategórie. Skúsenosti ukázali, že rozdelenie pravdepodobnosti týchto relatívnych umiestnení balíkov je nezávislé od ich poradia. Táto invariancia naznačuje samopodobnosť procesu skreslenia údajov pôsobením elektrického šumu. Samotný postup vystrihovania bezchybných prestávok v signáli pri prenose dát nemohol elektrotechnikom napadnúť z toho dôvodu, že je to pre nich novinka.
Ale Mandelbrot, ktorý študoval čistú matematiku, dobre poznal Cantorovu množinu, opísanú v roku 1883 a predstavujúcu prach z bodov získaných podľa prísneho algoritmu. Podstata algoritmu na zostavenie "Cantorovho prachu" je nasledovná. Vezmite si priamku. Odstráňte z neho strednú tretinu segmentu, pričom si ponechajte dva koncové. Teraz zopakujeme rovnakú operáciu s koncovými segmentmi atď. Mandelbrot zistil, že presne toto je geometria paketov a prestávok v prenose signálov medzi počítačmi. Chyba je kumulatívna. Jeho akumuláciu možno modelovať nasledovne. V prvom kroku priradíme všetkým bodom z intervalu hodnotu 1/2, v druhom kroku z intervalu hodnotu 1/4, bodom z intervalu hodnotu 3/4 atď. Postupné sčítanie týchto veličín umožňuje zostrojiť takzvaný „čertov rebrík“ (obr. 1). Miera "Cantorovho prachu" je iracionálne číslo rovné 0,618 ..., známe ako "zlatý pomer" alebo "Božský pomer".
Časť II. ZÁLEŽITOSŤOU SÚ FRAKTÁLY
ÚSMEV BEZ MAČKY: FRAKTÁLNA DIMENZIA. Rozmer je jedným zo základných pojmov, ktorý ďaleko presahuje matematiku. Euklides v prvej knihe „Počiatkov“ definoval základné pojmy geometrie bod, čiara, rovina. Na základe týchto definícií zostal koncept trojrozmerného euklidovského priestoru nezmenený takmer dva a pol tisíc rokov. Početné flirtovanie s priestormi štyroch, piatich a viacerých rozmerov v podstate nič nepridáva, no čelia tomu, čo si ľudská fantázia nevie predstaviť. S objavom fraktálnej geometrie došlo k radikálnej revolúcii v koncepte dimenzie. Objavilo sa veľké množstvo dimenzií a medzi nimi nie sú len celé čísla, ale aj zlomkové a dokonca iracionálne. A tieto dimenzie sú k dispozícii pre vizuálnu a zmyslovú reprezentáciu. Syr s otvormi si totiž môžeme ľahko predstaviť ako model média, ktorého rozmer je viac ako dva, ale nedosahuje tri kvôli otvorom na syr, čím sa zmenšuje rozmer syrovej hmoty.
Aby sme pochopili zlomkovú alebo fraktálnu dimenziu, obráťme sa na Richardsonov paradox, ktorý tvrdil, že dĺžka členitého pobrežia Británie je nekonečná! Louis Fry Richardson premýšľal o vplyve mierky merania na veľkosť meranej dĺžky britského pobrežia. Pri prechode z mierky vrstevnicových máp na mierku „pobrežných kamienkov“ dospel k zvláštnemu a neočakávanému záveru: dĺžka pobrežia sa zväčšuje donekonečna a tento nárast nemá žiadne obmedzenia. Hladké zakrivené línie sa takto nesprávajú. Richardsonove empirické údaje, získané na mapách čoraz väčších mierok, svedčili o mocenskom zväčšení dĺžky pobrežia so znížením kroku merania:
V tomto jednoduchom Richardsonovom vzorci L je meraná dĺžka pobrežia, ε je hodnota kroku merania a β ≈ 3/2 je ním zistený stupeň rastu dĺžky pobrežia so znížením kroku merania. Na rozdiel od obvodu sa dĺžka pobrežia Spojeného kráľovstva zvyšuje bez obmedzenia 55. Tá je nekonečná! Treba sa zmieriť s tým, že krivky sú členité, nehladké, nemajú obmedzujúcu dĺžku.
Štúdie Richardsona však naznačili, že majú určitú charakteristickú mieru stupňa rastu dĺžky s klesajúcou mierkou merania. Ukázalo sa, že práve táto hodnota mysticky identifikuje prerušovanú čiaru ako odtlačok osobnosti človeka. Mandelbrot interpretoval pobrežie ako fraktálny objekt - objekt, ktorého rozmer sa zhoduje s exponentom β.
Napríklad rozmery pobrežných hraničných kriviek pre západné pobrežie Nórska sú 1,52; pre Spojené kráľovstvo - 1,25; pre Nemecko - 1,15; pre Austráliu - 1,13; pre relatívne hladké pobrežie južná Afrika- 1,02 a nakoniec pre dokonale hladký kruh - 1,0.
Pri pohľade na fragment fraktálu nebudete schopní povedať, aký je jeho rozmer. A dôvod nie je v geometrickej zložitosti fragmentu, fragment môže byť veľmi jednoduchý, ale v tom, že fraktálny rozmer odráža nielen tvar fragmentu, ale aj formát transformácie fragmentu v procese konštrukcie. fraktál. Fraktálny rozmer je akoby odstránený z formy. A vďaka tomu zostáva hodnota fraktálnej dimenzie nemenná, je rovnaká pre akýkoľvek fragment fraktálu v akejkoľvek mierke zobrazenia. Nedá sa „chytiť prstami“, ale dá sa vypočítať.
FRAKTÁLNE OPAKOVANIE. Opakovanie je možné modelovať pomocou nelineárnych rovníc. Lineárne rovnice sú charakterizované zhodou premenných jedna ku jednej: každá hodnota X zodpovedá iba jednej hodnote pri a naopak. Napríklad rovnica x + y = 1 je lineárna. Správanie lineárnych funkcií je úplne určené, jednoznačne určené počiatočnými podmienkami. Správanie nelineárnych funkcií nie je také jednoznačné, pretože dve rôzne počiatočné podmienky môžu viesť k rovnakému výsledku. Na tomto základe sa opakovanie operácie objavuje v dvoch rôznych formátoch. Môže mať charakter lineárnej referencie, kedy pri každom kroku výpočtov dochádza k návratu do počiatočného stavu. Toto je druh „opakovania vzoru“. Masová výroba v potrubí je "iterácia vzoru". Iterácia vo formáte lineárnej referencie nezávisí od medzistavov vývoja systému. Tu každá nová iterácia začína „od sporáka“. Úplne iná vec je, keď má iterácia rekurzný formát, t. j. výsledok predchádzajúceho kroku iterácie sa stáva počiatočnou podmienkou pre nasledujúci.
Rekurzia môže byť ilustrovaná pomocou Fibonacciho série, reprezentovanej vo forme Girardovej sekvencie:
u n +2 = u n +1 + u n
Výsledkom sú Fibonacciho čísla:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…
V tomto príklade je celkom jasné, že funkcia sa aplikuje na seba bez odkazovania na počiatočnú hodnotu. Posúva sa pozdĺž Fibonacciho série a každý výsledok predchádzajúcej iterácie sa stáva počiatočnou hodnotou pre ďalšiu. Práve toto opakovanie sa realizuje pri konštrukcii fraktálových foriem.
Ukážme, ako je fraktálne opakovanie implementované v algoritmoch na zostavenie „Sierpinského obrúska“ (s použitím metódy rezania a metódy CIF).
spôsob rezania. Vezmite rovnostranný trojuholník so stranou r. V prvom kroku sme z neho vyrezali rovnostranný trojuholník otočený hore nohami s dĺžkou strany r 1 = r 0/2. Výsledkom tohto kroku sú tri rovnostranné trojuholníky s dĺžkami strán r 1 = r 0 /2 umiestnený vo vrcholoch pôvodného trojuholníka (obr. 2).
V druhom kroku v každom z troch vytvorených trojuholníkov vystrihneme obrátené vpísané trojuholníky s dĺžkou strany r 2 = r 1 /2 = r 0/4. Výsledok - 9 trojuholníkov s dĺžkou strany r 2 = r 0/4. Výsledkom je, že tvar „servítky Sierpinski“ sa postupne viac a viac definuje. K fixácii dochádza na každom kroku. Všetky predchádzajúce fixácie sú akési „vymazané“.
Metóda SIF alebo Barnsleyho metóda systémov iterovaných funkcií. Je daný: rovnostranný trojuholník so súradnicami uhlov A (0,0), B (1,0), C (1/2, √3/2). Z 0 je ľubovoľný bod vo vnútri tohto trojuholníka (obr. 3). Vezmeme kocku, na ktorej stranách sú dve písmená A, B a C.
Krok 1. Hoďte kosť. Pravdepodobnosť získania každého písmena je 2/6 = 1/3.
Krok 2. Znova hoďte kosť.
Opakovaním operácie mnohokrát získame body z 3 , z 4 , …, z n . Zvláštnosťou každého z nich je, že bod je presne v polovici cesty od predchádzajúceho k ľubovoľne zvolenému vrcholu. Ak teraz zahodíme počiatočné body, napríklad od z 0 do z 100, zvyšok s dostatočne veľkým počtom vytvorí štruktúru „Sierpinského obrúska“. Čím viac bodov, tým viac iterácií, tým jasnejšie sa Sierpinského fraktál javí pozorovateľovi. A to aj napriek tomu, že proces prebieha, zdalo by sa, náhodným spôsobom (vďaka kocke). „Sierpinského obrúsok“ je akýmsi atraktorom procesu, teda postavou, ku ktorej smerujú všetky trajektórie skonštruované v tomto procese s dostatočným množstvom vo veľkom počte iterácií. Oprava obrazu je v tomto prípade kumulatívny, akumulačný proces. Každý jednotlivý bod sa možno nikdy nebude zhodovať s bodom Sierpinského fraktálu, ale každý nasledujúci bod tohto procesu organizovaného „náhodou“ je priťahovaný bližšie a bližšie k bodom „Sierpinského obrúska“.
SLUČKA SPÄTNEJ VÄZBY. Zakladateľ kybernetiky Norbert Wiener uviedol ako príklad na opis spätnej väzby kormidelníka na lodi. Kormidelník musí zostať v kurze a neustále hodnotí, ako dobre ho loď drží. Ak kormidelník vidí, že sa loď odchyľuje, otočí kormidlo, aby ju vrátil do daného kurzu. Po chvíli opäť vyhodnotí a opäť koriguje smer pohybu pomocou volantu. Navigácia sa teda uskutočňuje pomocou iterácií, opakovania a postupného približovania sa pohybu lode k danému kurzu.
Typický diagram spätnoväzbovej slučky je znázornený na obr. 4 Ide o zmenu premenných parametrov (smer lode) a riadeného parametra C (kurz lode).
Zvážte mapovanie "Bernoulliho posun". Ako počiatočný stav nech je zvolené nejaké číslo patriace do intervalu od 0 do 1. Toto číslo zapíšme do dvojkovej číselnej sústavy:
x 0 \u003d 0,01011010001010011001010 ...
Teraz je jedným krokom evolúcie v čase to, že postupnosť núl a jednotiek je posunutá doľava o jednu pozíciu a číslica, ktorá sa náhodou nachádzala na ľavej strane desatinnej čiarky, je vyradená:
x 1 \u003d 0,1011010001010011001010 ...
x 2 \u003d 0,011010001010011001010 ...
x 3 \u003d 0,11010001010011001010 ...
Všimnite si, že ak pôvodné čísla x 0 racionálne, potom v procese iterácie hodnoty Xn prejsť na periodickú obežnú dráhu. Napríklad pre počiatočné číslo 11/24 v procese iterácie dostaneme sériu hodnôt:
11/24 -> 11/12 -> 5/6 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> …
Ak pôvodné hodnoty x0 sú iracionálne, mapovanie nikdy nedosiahne periodický režim. Interval počiatočných hodnôt x 0 ∈ obsahuje nekonečne veľa racionálnych bodov a nekonečne veľa iracionálnych bodov. Hustota periodických dráh sa teda rovná hustote dráh, ktoré nikdy nedosiahnu periodický režim. V akomkoľvek susedstve racionálnej hodnoty x0 existuje iracionálna hodnota počiatočného parametra x' 0 V tomto stave vecí nevyhnutne vzniká jemná citlivosť na počiatočné podmienky. Toto je charakteristický znak toho, že systém je v stave dynamického chaosu.
ZÁKLADNÁ SLUČKA SPÄTNEJ VÄZBY. Opačná je nevyhnutná podmienka a dôsledok každého bočného pohľadu, ktorý sám seba prekvapí. Ikonou reverznej slučky môže byť Möbiov pás, v ktorom s každým kruhom prechádza jeho spodná strana do hornej, vnútorná sa stáva vonkajšou a naopak. Hromadenie rozdielov pri spätnom procese najskôr odvádza obraz od originálu a potom sa k nemu vracia. V logike je reverzná slučka znázornená Epimenidovým paradoxom: "všetci Kréťania sú klamári." Ale Epimenides sám je Kréťan.
PODIVNÁ SLUČKA. Dynamická podstata fenoménu podivnej slučky spočíva v tom, že obraz, ktorý sa pretvára a stále viac odlišuje od pôvodného, sa v procese početných deformácií vracia k pôvodnému obrazu, no nikdy sa presne neopakuje. Pri opise tohto javu Hofstadter v knihe zavádza pojem „podivná slučka“. Dospieva k záveru, že Escher, Bach a Gödel objavili, či presnejšie použili zvláštne slučky vo svojich dielach a tvorivosti v r. výtvarného umenia, hudba a matematika, resp. Escher v Metamorphoses objavil zvláštnu súdržnosť rôznych rovín reality. Podoby jednej z výtvarných perspektív sa plasticky transformujú do podôb inej výtvarnej perspektívy (obr. 5).
Ryža. 5. Maurits Escher. Kreslenie rúk. 1948
Takáto zvláštnosť sa v hudbe prejavila bizarným spôsobom. Jeden z kánonov Bachovej hudobnej obety ( Canon za Tonos- tónový kánon) je konštruovaný tak, že jeho zdanlivý koniec nečakane plynule prechádza do začiatku, ale s posunom tónu. Tieto postupné modulácie posúvajú poslucháča vyššie a vyššie od pôvodnej výšky tónu. Ako zázrakom sme však po šiestich moduláciách takmer späť. Všetky hlasy teraz znejú presne o oktávu vyššie ako na začiatku. Jediná zvláštna vec je, že keď stúpame po úrovniach určitej hierarchie, zrazu sa ocitneme takmer na tom istom mieste, odkiaľ sme začali svoju cestu - vrátiť bez opakovania.
Kurt Gödel objavil zvláštne slučky v jednej z najstarších a najovládnutých oblastí matematiky – v teórii čísel. Gödelova veta prvýkrát uzrela svetlo sveta ako veta VI v roku 1931 v článku „O formálne nerozhodnuteľných návrhoch“ v Principle Mathematica. Veta tvrdí nasledovné: všetky konzistentné axiomatické formulácie teórie čísel obsahujú nerozhodnuteľné výroky. Úsudky teórie čísel nehovoria nič o súdoch teórie čísel; nie sú ničím iným ako úsudkami teórie čísel. Je tu slučka, ale žiadna zvláštnosť. V dôkaze sa skrýva zvláštna slučka.
PODIVNÝ ATRAKTOR. Attractor (z angl. prilákať priťahovať) bod alebo uzavretá čiara, ktorá k sebe priťahuje všetky možné trajektórie správania sa systému. Atraktor je stabilný, čiže z dlhodobého hľadiska jediné možné správanie je atraktor, všetko ostatné je dočasné. Atraktor je časopriestorový objekt pokrývajúci celý proces, ktorý nie je ani jeho príčinou, ani dôsledkom. Tvoria ho len sústavy s obmedzeným počtom stupňov voľnosti. Atraktory môžu byť bod, kruh, torus a fraktál. V druhom prípade sa atraktor nazýva „podivný“ (obr. 6).
Bodový atraktor popisuje akýkoľvek stabilný stav systému. Vo fázovom priestore je to bod, okolo ktorého sa vytvárajú lokálne trajektórie „uzla“, „fokusu“ alebo „sedla“. Takto sa kyvadlo správa: pri akejkoľvek počiatočnej rýchlosti a akejkoľvek počiatočnej polohe sa kyvadlo po dostatočnom čase pôsobením trenia zastaví a dostane sa do stabilného stavu. Kruhový (cyklický) atraktor je pohyb tam a späť, ako ideálne kyvadlo (bez trenia), v kruhu.
Podivné atraktory ( podivné atraktory) sa zdajú zvláštne iba zvonku, ale výraz „podivný atraktor“ sa rozšíril hneď po tom, čo sa v roku 1971 objavil článok „The Nature of Turbulence“ od Davida Ruela a Holanďana Florisa Takensa (pozri tiež). Ruelle a Takens sa pýtali, či má nejaký atraktor správny súbor charakteristík: stabilitu, obmedzený počet stupňov voľnosti a neperiodicitu. OD geometrický bod otázka vyzerala ako čistá hádanka. Akú formu by mala mať nekonečne predĺžená trajektória nakreslená v obmedzenom priestore, aby sa nikdy neopakovala a nepretínala? Na reprodukciu každého rytmu musí byť orbita nekonečne dlhá čiara v obmedzenej oblasti, inými slovami, musí byť samoprehĺtacia (obr. 7).
V roku 1971 už bol vo vedeckej literatúre jeden náčrt takéhoto atraktora. Eduard Lorentz to urobil ako prílohu k svojej práci z roku 1963 o deterministickom chaose. Tento atraktor bol stabilný, neperiodický, mal malý počet stupňov voľnosti a nikdy sa neprekrížil. Ak by sa to stalo a vrátil by sa do bodu, ktorý už prešiel, pohyb by sa v budúcnosti zopakoval a vytvoril by sa toroidný atraktor, ale nestalo sa tak.
Zvláštnosť atraktora spočíva, ako veril Ruel, v troch neekvivalentných, ale v praxi existujúcich znakoch, ktoré existujú spolu:
Časť III. IMAGINÁRNA ĽAHKOSŤ FRAKÁLNYCH FORIEM
VYMYSLENÉ ČÍSLA, FÁZOVÉ PORTRÉTY A PRAVDEPODOBNOSŤ. Fraktálna geometria je založená na teórii imaginárnych čísel, dynamických fázových portrétoch a teórii pravdepodobnosti. Teória imaginárnych čísel predpokladá, že existuje druhá odmocnina z mínus jedna. Gerolamo Cardano vo svojom diele „The Great Art“ („Ars Magna“, 1545) predstavil všeobecné riešenie kubickej rovnice z 3 + pz + q = 0. Cardano používa imaginárne čísla ako prostriedok technického formalizmu na vyjadrenie koreňov rovnica. Všimne si zvláštnosť, ktorú ilustruje jednoduchou rovnicou x 3 = 15x + 4. Táto rovnica má jedno zrejmé riešenie: x = 4. Zovšeobecňujúci vzorec však dáva zvláštny výsledok. Obsahuje koreň záporného čísla:
Rafael Bombelli vo svojej knihe o algebre ("L'Algebra", 1560) poukázal na to, že = 2 ± i, a to mu okamžite umožnilo získať skutočný koreň x = 4. V takýchto prípadoch, keď sú komplexné čísla konjugované, získa sa skutočný koreň a komplexné čísla slúžia ako technická pomôcka v procese získavania riešenia kubickej rovnice.
Newton veril, že roztoky obsahujúce odmocninu mínus jedna by sa mali považovať za „nemajú“. fyzický zmysel“ a zahodiť. V XVII-XVIII storočia sa vytvorilo pochopenie, že niečo imaginárne, duchovné, imaginárne nie je o nič menej skutočné ako všetko skutočné dohromady. Dokonca môžeme uviesť presný dátum 10. novembra 1619, kedy Descartes sformuloval manifest nového myslenia „cogito ergo sum“. Od tohto momentu je myšlienka absolútnou a nepochybnou realitou: „ak myslím, znamená to, že existujem“! Presnejšie povedané, myšlienka je teraz vnímaná ako realita. Descartova myšlienka ortogonálneho súradnicového systému vďaka imaginárnym číslam nachádza svoje zavŕšenie. Teraz je možné naplniť tieto imaginárne čísla význammi.
V 19. storočí práce Eulera, Argana, Cauchyho, Hamiltona vyvinuli aritmetický aparát na prácu s komplexnými číslami. Akékoľvek komplexné číslo môže byť reprezentované ako súčet X + iY, kde X a Y sú nám známe reálne čísla a i imaginárna jednotka (v podstate je to √–1). Každé komplexné číslo zodpovedá bodu so súradnicami (X, Y) na takzvanej komplexnej rovine.
Druhý dôležitý koncept, fázový portrét dynamického systému, sa sformoval v 20. storočí. Po tom, čo Einstein ukázal, že všetko sa pohybuje rovnakou rýchlosťou vzhľadom na svetlo, vznikla myšlienka schopnosti vyjadriť dynamické správanie systému vo forme zmrazených geometrických línií, takzvaného fázového portrétu dynamického systému. jasný fyzikálny význam.
Ilustrujme si to na príklade kyvadla. Prvé experimenty s kyvadlom Jean Foucault uskutočnil v roku 1851 v pivnici, potom v parížskom observatóriu a potom pod kupolou Panteónu. Napokon v roku 1855 Foucaultovo kyvadlo zavesili pod kupolu parížskeho kostola Saint-Martin-des-Champs. Dĺžka lana Foucaultovho kyvadla je 67 m, hmotnosť kettlebellu je 28 kg. Z veľkej diaľky vyzerá kyvadlo ako bod. Bod je vždy nehybný. Pri približovaní rozlišujeme systém s tromi typickými trajektóriami: harmonický oscilátor (sinϕ ≈ ϕ), kyvadlo (kmity tam a späť), vrtuľa (rotácia).
Tam, kde miestny pozorovateľ vidí jeden z tri možné konfigurácie pohybu lopty, analytik oddelený od procesu môže predpokladať, že lopta vykonáva jeden z troch typických pohybov. Dá sa to ukázať na jednej rovine. Je potrebné súhlasiť s tým, že „guľu na niti“ presunieme do abstraktného fázového priestoru, ktorý má toľko súradníc, koľko stupňov voľnosti má uvažovaný systém. V tomto prípade hovoríme o dvoch stupňoch voľnosti rýchlosti v a uhol sklonu závitu s guľôčkou k vertikále ϕ. V súradniciach ϕ a v je trajektóriou harmonického oscilátora sústava sústredných kružníc, pri zväčšovaní uhla ϕ sa tieto kružnice stávajú oválnymi a keď ϕ = ± π uzavretie oválu sa stráca. To znamená, že kyvadlo prešlo do režimu vrtule: v = konšt(obr. 8).
Ryža. 8. Kyvadlo: a) trajektória vo fázovom priestore ideálneho kyvadla; b) trajektóriu vo fázovom priestore kyvadla kývajúceho s tlmením; c) fázový portrét
Vo fázovom priestore nemusia byť žiadne dĺžky, trvanie alebo pohyby. Tu je každá akcia vopred daná, ale nie každá akcia je skutočná. Z geometrie ostáva len topológia, namiesto mier parametre, namiesto rozmerov rozmery. Tu akékoľvek dynamický systém má svoj vlastný jedinečný odtlačok fázového portrétu. A medzi nimi sú dosť zvláštne fázové portréty: keďže sú zložité, sú určené jediným parametrom; keďže sú úmerné, sú neprimerané; keďže sú spojité, sú diskrétne. Takéto zvláštne fázové portréty sú charakteristické pre systémy s fraktálnou konfiguráciou atraktorov. Diskrétnosť centier príťažlivosti (atraktory) vytvára efekt kvanta akcie, efekt medzery alebo skoku, pričom trajektórie zostávajú spojité a vytvárajú jedinú viazanú formu zvláštneho atraktora.
KLASIFIKÁCIA FRAKTÁLOV. Fraktál má tri hypostázy: formálnu, operačnú a symbolickú, ktoré sú navzájom ortogonálne. A to znamená, že rovnakú formu fraktálu možno získať pomocou rôznych algoritmov a rovnaký počet fraktálových dimenzií sa môže objaviť v úplne odlišných fraktáloch. Berúc do úvahy tieto poznámky, klasifikujeme fraktály podľa symbolických, formálnych a prevádzkových znakov:
Pravidelné fraktály sú zostavené podľa presne definovaného algoritmu. Proces výstavby je reverzibilný. Všetky operácie môžete opakovať v opačnom poradí a vymazať akýkoľvek obrázok vytvorený v procese deterministického algoritmu bod po bode. Deterministický algoritmus môže byť lineárny alebo nelineárny.
Stochastické fraktály, podobné v stochastickom zmysle, vznikajú vtedy, keď sa v algoritme ich konštrukcie v procese iterácií niektoré parametre náhodne zmenia. Výraz „stochastický“ pochádza z gréckeho slova stocháza- dohad, dohad. Stochastický proces je proces, ktorého povahu zmeny nemožno presne predpovedať. Fraktály sa vyrábajú podľa rozmaru prírody (chybové povrchy hornín, oblakov, turbulentné prúdenie, pena, gély, obrysy častíc sadzí, zmeny cien akcií a hladiny riek atď.), Sú bez geometrickej podobnosti, ale tvrdohlavo sa reprodukujú v každom fragmente štatistické vlastnosti celku v priemere. Počítač umožňuje generovať sekvencie pseudonáhodných čísel a okamžite simulovať stochastické algoritmy a formy.
LINEÁRNE FRAKTAÁLY. Lineárne fraktály sú pomenované tak z dôvodu, že sú všetky zostavené podľa určitého lineárneho algoritmu. Tieto fraktály sú sebepodobné, nie sú skreslené žiadnou zmenou mierky a nie sú diferencovateľné v žiadnom zo svojich bodov. Na zostavenie takýchto fraktálov stačí špecifikovať bázu a fragment. Tieto prvky sa budú mnohokrát opakovať a oddialiť do nekonečna.
Prach Kantor. Nemecký matematik Georg Ferdinand Ludwig Philipp Kantor (1845–1918) v 19. storočí navrhol matematickej komunite podivnú množinu čísel medzi 0 a 1. Sada obsahovala nekonečné množstvo prvkov v určenom intervale a navyše mala nulový rozmer. Náhodne vystrelený šíp by sotva zasiahol aspoň jeden prvok tejto sady.
Najprv musíte vybrať segment jednotkovej dĺžky (prvý krok: n = 0), potom ho rozdeliť na tri časti a odstrániť strednú tretinu (n = 1). Ďalej urobíme presne to isté s každým z vytvorených segmentov. V dôsledku nekonečného počtu opakovaní operácie získame požadovaný súbor "Cantorovho prachu". Teraz neexistuje žiadna opozícia medzi nespojitým a nekonečne deliteľným.„Cantorov prach“ je oboje (pozri obr. 1). "Cantor Dust" je fraktál. Jeho fraktálny rozmer je 0,6304…
Jednu z dvojrozmerných analógií jednorozmernej Cantorovej množiny opísal poľský matematik Václav Sierpinski. Hovorí sa mu „kantorský koberec“ alebo častejšie „Sierpinski koberec“. Je prísne sebepodobný. Jeho fraktálny rozmer môžeme vypočítať ako ln8/lnЗ = 1,89… (obr. 9).
ČIARY VYPLŇUJÚCE LIETADLO. Zoberme si celú rodinu pravidelných fraktálov, čo sú krivky schopné vyplniť rovinu. Leibniz tiež uviedol: „Ak predpokladáme, že niekto dá veľa bodiek na papier náhodou,<… >Hovorím, že je možné odhaliť konštantnú a úplnú, pri dodržaní určitého pravidla, geometrickú čiaru, ktorá bude prechádzať všetkými bodmi. Toto Leibnizovo tvrdenie bolo v rozpore s euklidovským chápaním dimenzie ako najmenšieho počtu parametrov, ktorými je jednoznačne určená poloha bodu v priestore. Pri absencii rigorózneho dôkazu zostali tieto Leibnizove myšlienky na periférii matematického myslenia.
Peanova krivka. Ale v roku 1890 taliansky matematik Giuseppe Peano skonštruoval čiaru, ktorá úplne pokrýva rovný povrch a prechádza všetkými jeho bodmi. Konštrukcia "Peanovej krivky" je znázornená na obr. 10.
Kým topologický rozmer Peanovej krivky je rovný jednej, jej fraktálny rozmer je rovný d = ln(1/9)/ln(1/3) = 2. V rámci fraktálnej geometrie bol paradox vyriešený tzv. najviac prirodzene. Čiara, ako pavučina, môže zakryť rovinu. V tomto prípade sa vytvorí korešpondencia jedna k jednej: každý bod čiary zodpovedá bodu v rovine. Ale táto korešpondencia nie je jedna k jednej, pretože každý bod v rovine zodpovedá jednému alebo viacerým bodom na priamke.
Hilbertova krivka. O rok neskôr, v roku 1891, vyšiel článok nemeckého matematika Davida Hilberta (1862–1943), v ktorom predstavil krivku pokrývajúcu rovinu bez priesečníkov a dotykov. Konštrukcia "Hilbertovej krivky" je znázornená na obr. jedenásť.
Hilbertova krivka bola prvým príkladom FASS kriviek (spacefilling, selfAvoiding, Simple and selfSimilar space-filling self-vyhýbanie sa, jednoduché a sebepodobné čiary). Fraktálny rozmer Gilbertovej čiary, ako aj Peanova krivka, sa rovná dvom.
Minkowského páska. Herman Minkowski, blízky priateľ Hilbert zo študentských čias postavil krivku, ktorá nepokrýva celú rovinu, ale tvorí niečo ako stuhu. Pri konštrukcii "pásky Minkowského" v každom kroku je každý segment nahradený prerušovanou čiarou pozostávajúcou z 8 segmentov. V ďalšej fáze sa s každým novým segmentom operácia opakuje v mierke 1:4. Fraktálny rozmer Minkowského prúžku je d = ln(l/8)/ln(1/4) = 1,5.
NELINEÁRNE FRAKTAÁLY. Najjednoduchším nelineárnym zobrazením komplexnej roviny na seba je Juliovo mapovanie zgz 2 + С uvažované v prvej časti.spätná väzba (obr. 13).
V procese iterácií pre pevnú hodnotu konštanty C, v závislosti od ľubovoľného počiatočného bodu Z 0 , bod Z n v n-> ∞ môže byť buď konečné alebo nekonečné. Všetko závisí od polohy Z 0 vzhľadom na počiatok z = 0. Ak je vypočítaná hodnota konečná, potom je zahrnutá do množiny Julia; ak ide do nekonečna, potom je odrezaný od súboru Julia.
Forma získaná po aplikácii Juliovej mapy na body nejakého povrchu je jednoznačne určená parametrom C. Pre malé C sú to jednoduché spojené slučky, pre veľké C sú to zhluky odpojených, ale striktne usporiadaných bodov. Celkovo možno všetky formy Julie rozdeliť do dvoch veľkých rodín - spojené a odpojené zobrazenia. Tie prvé pripomínajú „Kochovu vločku“, druhé „Cantorov prach“.
Rozmanitosť Juliiných tvarov zmiatla matematikov, keď boli prvýkrát schopní pozorovať tieto tvary na počítačových monitoroch. Pokusy o klasifikáciu tejto odrody mali veľmi svojvoľný charakter a viedli k tomu, že základom pre klasifikáciu máp Julia bola množina Mandelbrot, ktorej hranice, ako sa ukázalo, sú asymptoticky podobné mapám Julia.
S C = 0, opakovanie mapovania Julia dáva postupnosť čísel z 0 , z 0 2 , z 0 4 , z 0 8 , z 0 16 ... Výsledkom sú tri možnosti:
Pri C = 0 je teda hranicou medzi príťažlivými a odpudivými východiskovými bodmi kruh. V tomto prípade má zobrazenie dva pevné body: z = 0 az = 1. Prvým z nich je priťahovanie, keďže derivácia kvadratickej funkcie pri nule je 0 a druhá je odpudivá, pretože derivácia kvadratickej funkcie s hodnotou parametra jedna sa rovná dvom.
Uvažujme situáciu, keď konštanta C je reálne číslo, t.j. zdá sa, že sa pohybujeme po osi Mandelbrotovej množiny (obr. 14). Pri C = –0,75 sa hranica množiny Julia prekríži a objaví sa druhý atraktor. Fraktál na tomto mieste nesie názov fraktál San Marco, ktorý mu dal Mandelbrot na počesť slávnej benátskej katedrály. Pri pohľade na obrázok nie je ťažké pochopiť, prečo Mandelbrot prišiel s nápadom pomenovať fraktál na počesť tejto štruktúry: podobnosť je úžasná.
Ryža. 14. Zmena tvaru množiny Julia s poklesom skutočnej hodnoty C z 0 na -1
Ďalším znížením C na -1,25 dostaneme nový typ formulára so štyrmi pevnými bodmi, ktoré pretrvávajú až do C< 2. При С = 2 множество Жюлиа вырождается в отрезок, который тут же распадается в пыль, аналогичную «пыли Кантора» (рис. 15).
Ryža. 15. Objavenie sa nových foriem súpravy Julia s poklesom skutočnej hodnoty C< –1
Takže aj keď sme zostali na osi Mandelbrotovho fraktálu (konštanta C je reálne číslo), „zachytili“ sme v poli pozornosti a nejakým spôsobom zoradili pomerne veľkú rozmanitosť Júliových tvarov od kruhu po prach. Teraz zvážte oblasti znakov Mandelbrotovho fraktálu a zodpovedajúce formy fraktálov Julia. Najprv si popíšme Mandelbrotov fraktál v termínoch „kardioida“, „obličky“ a „cibuľa“ (obr. 16).
Hlavná kardioida a k nej priľahlý kruh tvoria základný tvar Mandelbrotovho fraktálu. Susedia s nekonečným počtom vlastných kópií, ktoré sa bežne nazývajú obličky. Každý z týchto púčikov je obklopený nekonečným počtom menších púčikov, ktoré vyzerajú podobne. Dva najväčšie púčiky nad a pod hlavným kardioidom sa nazývali cibuľa.
Francúz Adrien Dowdy a Američan Bill Hubbard, ktorí skúmali typický fraktál tejto množiny (C = –0,12 + 0,74i), ho nazvali „králičím fraktálom“ (obr. 17).
Pri prekročení hranice fraktálu Mandelbrot, fraktály Julia vždy stratia spojenie a premenia sa na prach, ktorý sa zvyčajne nazýva „prach Fatou“ na počesť Pierra Fatou, ktorý dokázal, že pre určité hodnoty C priťahuje bod v nekonečne. celú komplexnú rovinu, s výnimkou veľmi tenkej sady ako prach (obr. 18).
STOCHASTICKÉ FRAKTAÁLY. Medzi striktne sebepodobnou von Kochovou krivkou a napríklad pobrežím Nórska je podstatný rozdiel. Ten druhý, ktorý nie je striktne podobný, vykazuje podobnosť v štatistický zmysel. Zároveň sú obe krivky rozbité natoľko, že k žiadnemu z ich bodov nemôžete nakresliť dotyčnicu, alebo inak povedané, nemôžete ju rozlíšiť. Takéto krivky sú akési „monštrá“ medzi normálnymi euklidovskými čiarami. Prvým, kto skonštruoval spojitú funkciu, ktorá v žiadnom zo svojich bodov nemá dotyčnicu, bol Karl Theodor Wilhelm Weierstrass. Jeho práca bola predstavená Kráľovskej pruskej akadémii 18. júla 1872 a publikovaná v roku 1875. Funkcie opísané Weierstrassom vyzerajú ako šum (obr. 19).
Pozrite sa na graf burzového bulletinu, súhrn teplotných výkyvov alebo kolísaní tlaku vzduchu a nájdete nejakú pravidelnú nepravidelnosť. Navyše, keď sa mierka zväčší, povaha nepravidelnosti sa zachová. A to nás odkazuje na fraktálnu geometriu.
Brownov pohyb je jedným z najznámejších príkladov stochastického procesu. V roku 1926 dostal Jean Perrin Nobelovu cenu za štúdium podstaty Brownovho pohybu. Bol to on, kto upozornil na sebapodobnosť a nediferenciteľnosť Brownovej trajektórie.
fraktál
Fraktál (lat. fractus- rozdrvený, zlomený, zlomený) - geometrický útvar, ktorý má vlastnosť sebapodobnosti, to znamená zložený z niekoľkých častí, z ktorých každá je podobná celému útvaru ako celku. V matematike sa fraktály chápu ako množiny body v euklidovskom priestore, ktoré majú zlomkový metrický rozmer (v zmysle Minkowského alebo Hausdorffa), alebo iný metrický rozmer ako topologický. Fraktasmus je nezávislá exaktná veda o štúdiu a zostavovaní fraktálov.
Inými slovami, fraktály sú geometrické objekty so zlomkovým rozmerom. Napríklad rozmer čiary je 1, plocha je 2 a objem je 3. Pre fraktál môže byť hodnota rozmeru medzi 1 a 2 alebo medzi 2 a 3. Napríklad fraktálny rozmer pokrčeného papierová guľa je približne 2,5. V matematike existuje špeciálny zložitý vzorec na výpočet rozmeru fraktálov. Rozvetvenie tracheálnych trubíc, listy na stromoch, žily v ramene, rieka sú fraktály. Zjednodušene povedané, fraktál je geometrický útvar, ktorého určitá časť sa stále dokola opakuje, pričom sa mení veľkosť – to je princíp sebapodobnosti. Fraktály sú si podobné, sú podobné sebe na všetkých úrovniach (teda v akejkoľvek mierke). Existuje mnoho rôznych typov fraktálov. V zásade možno tvrdiť, že všetko, čo existuje v reálnom svete, je fraktál, či už je to oblak alebo molekula kyslíka.
Slovo „chaos“ naznačuje niečo nepredvídateľné, ale v skutočnosti je chaos celkom usporiadaný a riadi sa určitými zákonmi. Účelom štúdia chaosu a fraktálov je predpovedať vzory, ktoré sa na prvý pohľad môžu zdať nepredvídateľné a úplne chaotické.
Priekopníkom v tejto oblasti poznania bol francúzsko-americký matematik, profesor Benoit B. Mandelbrot. V polovici 60. rokov vyvinul fraktálnu geometriu, ktorej účelom bolo analyzovať zlomené, zvrásnené a neostré tvary. Súprava Mandelbrot (zobrazená na obrázku) je prvou asociáciou, ktorá sa človeku naskytne, keď počuje slovo „fraktál“. Mimochodom, Mandelbrot určil, že fraktálny rozmer pobrežia Anglicka je 1,25.
Fraktály sa vo vede stále viac využívajú. Opisujú reálny svet dokonca lepšie ako tradičná fyzika alebo matematika. Brownov pohyb je napríklad náhodný a chaotický pohyb prachových častíc suspendovaných vo vode. Tento typ pohybu je možno najpraktickejším aspektom fraktálnej geometrie. Náhodný Brownov pohyb má frekvenčnú odozvu, ktorú možno použiť na predpovedanie javov zahŕňajúcich veľké množstvo údajov a štatistík. Napríklad Mandelbrot predpovedal zmeny v cene vlny pomocou Brownovho pohybu.
Slovo „fraktál“ možno použiť nielen ako matematický výraz. Fraktál v tlači a populárnej vedeckej literatúre možno nazvať číslami, ktoré majú niektorú z nasledujúcich vlastností:
Má netriviálnu štruktúru vo všetkých mierkach. Toto je rozdiel od bežných útvarov (ako je kruh, elipsa, graf hladkej funkcie): ak vezmeme do úvahy malý fragment pravidelného útvaru vo veľmi veľkej mierke, bude to vyzerať ako fragment priamky. . Pre fraktál nevedie priblíženie k zjednodušeniu štruktúry, na všetkých mierkach uvidíme rovnako zložitý obraz.
Je sebepodobný alebo približne sebepodobný.
Má zlomkový metrický rozmer alebo metrický rozmer, ktorý je nadradený topologickému rozmeru.
Najužitočnejšie využitie fraktálov vo výpočtovej technike je kompresia fraktálov. Zároveň sú obrázky komprimované oveľa lepšie, ako sa to robí konvenčnými metódami - až 600:1. Ďalšou výhodou fraktálnej kompresie je, že pri priblížení nedochádza k efektu pixelizácie, ktorý by drasticky zhoršoval obraz. Navyše fraktálne komprimovaný obraz po zväčšení často vyzerá ešte lepšie ako predtým. Počítačoví vedci tiež vedia, že fraktály nekonečnej zložitosti a krásy možno generovať pomocou jednoduchých vzorcov. Filmový priemysel vo veľkej miere využíva technológiu fraktálnej grafiky na vytváranie realistických prvkov krajiny (oblaky, skaly a tiene).
Štúdium turbulencie v tokoch sa veľmi dobre prispôsobuje fraktálom. To umožňuje lepšie pochopiť dynamiku zložitých tokov. Plamene sa dajú modelovať aj pomocou fraktálov. Porézne materiály sú dobre zastúpené vo fraktálnej forme vďaka tomu, že majú veľmi zložitú geometriu. Na prenos dát na veľké vzdialenosti sa používajú antény v tvare fraktálov, čo výrazne znižuje ich veľkosť a hmotnosť. Fraktály sa používajú na opis zakrivenia povrchov. Nerovný povrch je charakterizovaný kombináciou dvoch rôznych fraktálov.
Mnohé objekty v prírode majú fraktálne vlastnosti, ako sú pobrežia, oblaky, koruny stromov, snehové vločky, obehový systém a alveolárny systém ľudí alebo zvierat.
Fraktály, najmä v lietadle, sú obľúbené pre svoju kombináciu krásy a jednoduchosti konštrukcie s počítačom.
Prvé príklady sebepodobných množín s neobvyklými vlastnosťami sa objavili v 19. storočí (napr. Bolzanova funkcia, Weierstrassova funkcia, Cantorova množina). Termín „fraktál“ zaviedol Benoit Mandelbrot v roku 1975 a získal si veľkú popularitu vydaním jeho knihy „The Fractal Geometry of Nature“ v roku 1977.
Obrázok vľavo ukazuje ako jednoduchý príklad fraktál Darerovho päťuholníka, ktorý vyzerá ako zhluk päťuholníkov stlačených dohromady. V skutočnosti je tvorený použitím päťuholníka ako iniciátora a rovnoramenných trojuholníkov, ktorých pomer najväčšej strany k najmenšej sa presne rovná takzvanému zlatému rezu (1,618033989 alebo 1/(2cos72°)) ako generátor. Tieto trojuholníky sú vyrezané zo stredu každého päťuholníka, výsledkom čoho je tvar, ktorý vyzerá ako 5 malých päťuholníkov prilepených k jednému veľkému. 
Teória chaosu hovorí, že zložité nelineárne systémy sú dedične nepredvídateľné, no zároveň tvrdí, že spôsob vyjadrenia takýchto nepredvídateľných systémov sa ukazuje ako pravdivý nie v presných rovnosti, ale v reprezentáciách správania systému – v grafoch podivných atraktorov, ktoré vyzerať ako fraktály. Teória chaosu, ktorú mnohí považujú za nepredvídateľnosť, sa teda ukazuje ako veda o predvídateľnosti aj v tých najnestabilnejších systémoch. Doktrína dynamických systémov ukazuje, že jednoduché rovnice môžu generovať také chaotické správanie, v ktorom sa systém nikdy nevráti do stabilného stavu a zároveň sa neobjaví žiadna pravidelnosť. Často sa takéto systémy správajú celkom normálne do určitej hodnoty kľúčového parametra, potom zažijú prechod, v ktorom sú dve možnosti ďalšieho vývoja, potom štyri a nakoniec chaotická množina možností.
Schémy procesov vyskytujúcich sa v technických objektoch majú jasne definovanú fraktálovú štruktúru. Zo štruktúry minimálneho technického systému (TS) vyplýva tok v rámci TS dvoch typov procesov - hlavného a podporného, pričom toto rozdelenie je podmienené a relatívne. Akýkoľvek proces môže byť hlavný vo vzťahu k podporným a ktorýkoľvek z podporných procesov môže byť považovaný za hlavný vo vzťahu k „ich“ podporným procesom. Kruhy v diagrame označujú fyzikálne efekty, ktoré zabezpečujú tok tých procesov, pre ktoré nie je potrebné špeciálne vytvárať „vlastné“ TS. Tieto procesy sú výsledkom interakcie medzi látkami, poľami, látkami a poľami. Aby sme boli presní, fyzikálny efekt je vozidlo, ktorého princíp nevieme ovplyvniť a do jeho štruktúry nechceme ani nemáme možnosť zasahovať. 
Tok hlavného procesu znázorneného v diagrame je zabezpečený existenciou troch podporných procesov, ktoré sú hlavné pre TS, ktoré ich generujú. Pre korektnosť podotýkame, že na fungovanie aj minimálneho TS jednoznačne nestačia tri procesy, t.j. schéma je veľmi, veľmi prehnaná.
Všetko nie je také jednoduché, ako je znázornené na obrázku. Užitočný (pre človeka potrebný) proces nemožno vykonávať so 100% účinnosťou. Rozptýlená energia sa vynakladá na vytváranie škodlivých procesov - zahrievanie, vibrácie atď. V dôsledku toho paralelne s prospešným procesom vznikajú škodlivé. Nie je vždy možné nahradiť „zlý“ proces „dobrým“, preto je potrebné organizovať nové procesy, aby sa kompenzovali dôsledky, ktoré sú škodlivé pre systém. Typickým príkladom je potreba bojovať proti treniu, ktorá núti organizovať dômyselné mazacie schémy, používať drahé antifrikčné materiály alebo tráviť čas mazaním komponentov a dielov alebo ich pravidelnou výmenou.
V súvislosti s existenciou nevyhnutného vplyvu premenlivého prostredia môže byť potrebné kontrolovať užitočný proces. Správa môže byť vykonávaná pomocou automatických zariadení aj priamo osobou. Procesný diagram je vlastne súbor špeciálnych príkazov, t.j. algoritmus. Podstatou (popisom) každého príkazu je súhrn jedného prospešný proces, škodlivé procesy, ktoré ju sprevádzajú, a súbor nevyhnutných kontrolných procesov. V takomto algoritme je súbor podporných procesov obyčajným podprogramom - a tu nájdeme aj fraktál. Metóda R. Kollera, vytvorená pred štvrťstoročím, umožňuje vytvárať systémy s dosť obmedzenou množinou iba 12 párov funkcií (procesov).
Sebepodobné množiny s neobvyklými vlastnosťami v matematike
Od konca 19. storočia sa v matematike objavovali príklady sebepodobných objektov s patologickými vlastnosťami z pohľadu klasickej analýzy. Patria sem nasledujúce položky:
súprava Cantor je nikde hustá nespočetná dokonalá súprava. Úpravou postupu je možné získať aj nikde hustú množinu kladnej dĺžky.
Sierpinského trojuholník („obrus“) a Sierpinského koberec sú analógmi Cantorovho setu v lietadle.
Mengerova špongia - analóg Cantora v trojrozmernom priestore;
príklady Weierstrassovej a van der Waerdenovej nikde nediferencovateľnej spojitej funkcie.
Kochova krivka – nepretínajúca sa súvislá krivka nekonečnej dĺžky, ktorá nemá v žiadnom bode dotyčnicu;
Peanova krivka je súvislá krivka prechádzajúca všetkými bodmi štvorca.
dráha Brownovej častice tiež nie je nikde diferencovateľná s pravdepodobnosťou 1. Jeho Hausdorffov rozmer je dva
Rekurzívny postup na získanie fraktálnych kriviek
Konštrukcia Kochovej krivky
Na získanie fraktálnych kriviek v rovine existuje jednoduchý rekurzívny postup. Definujeme ľubovoľnú prerušovanú čiaru s konečným počtom väzieb, nazývanú generátor. Ďalej v ňom nahradíme každý segment generátorom (presnejšie prerušovanou čiarou podobnou generátoru). Vo výslednej prerušovanej čiare opäť nahradíme každý segment generátorom. Pokračujúc do nekonečna, v limite dostaneme fraktálnu krivku. Obrázok vpravo ukazuje prvé štyri kroky tohto postupu pre Kochovu krivku.
Príklady takýchto kriviek sú:
Dračia krivka,
Kochova krivka (Kochova snehová vločka),
Levyho krivka,
minkowského krivka,
Hilbertova krivka,
Zlomený (krivkový) drak (Fractal Harter-Hateway),
Peanova krivka.
Podobným postupom sa získa pytagorovský strom.
Fraktály ako pevné body mapovania kontrakcie
Vlastnosť sebapodobnosti možno matematicky rigorózne vyjadriť nasledovne. Nech sú kontrakčné mapy roviny. Zvážte nasledujúce zobrazenie na množine všetkých kompaktných (uzavretých a ohraničených) podmnožín roviny:
Dá sa ukázať, že mapovanie je kontrakčné mapovanie na množine kompaktných množín s Hausdorffovou metrikou. Preto podľa Banachovej vety má toto zobrazenie jedinečný pevný bod. Tento pevný bod bude naším fraktálom.
Vyššie opísaný rekurzívny postup na získanie fraktálnych kriviek je špeciálnym prípadom tejto konštrukcie. V ňom sú všetky mapovania podobnostnými mapovaniami a je to počet odkazov generátora.
Pre Sierpinského trojuholník a zobrazenie , , sú homotecie so stredmi vo vrcholoch pravidelného trojuholníka a koeficient 1/2. Je ľahké vidieť, že Sierpinského trojuholník sa pod mapovaním premieňa na seba.
V prípade, že zobrazenia sú podobnosť transformácie s koeficientmi, rozmer fraktálu (za určitých dodatočných technických podmienok) možno vypočítať ako riešenie rovnice . Takže pre Sierpinského trojuholník dostaneme 
.
Podľa tej istej Banachovej vety, vychádzajúc z akejkoľvek kompaktnej množiny a aplikovaním iterácií zobrazenia na ňu, získame postupnosť kompaktných množín konvergujúcich (v zmysle Hausdorffovej metriky) k nášmu fraktálu.
Fraktály v komplexnej dynamike
Julia sada
Ďalší súbor Julie
Fraktály prirodzene vznikajú pri štúdiu nelineárnych dynamických systémov. Najviac študovaný je prípad, keď je dynamický systém definovaný iteráciami polynómu alebo holomorfnej funkcie komplexnej premennej v rovine. Prvé štúdie v tejto oblasti pochádzajú zo začiatku 20. storočia a sú spojené s menami Fatou a Julia.
Nechať byť F(z) - polynóm, z 0 je komplexné číslo. Zvážte nasledujúcu postupnosť: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …
Zaujíma nás, ako sa táto sekvencia správa tak, ako zvykneme n do nekonečna. Táto sekvencia môže:
usilovať sa o nekonečno
usilovať sa o to najlepšie
prejavujú cyklické správanie v limite, napríklad: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …
správať sa chaoticky, teda nepreukazovať žiadny zo spomínaných troch typov správania.
Súbory hodnôt z 0, pre ktoré sekvencia vykazuje jeden špecifický typ správania, ako aj množiny bodov bifurkácie medzi rôznymi typmi, majú často fraktálne vlastnosti.
Množina Júlia je teda množinou bodov rozvetvenia polynómu F(z)=z 2 +c(alebo iná podobná funkcia), teda tie hodnoty z 0 , pre ktoré správanie sekvencie ( z n) sa môže dramaticky meniť s ľubovoľne malými zmenami z 0 .
Ďalšou možnosťou získania fraktálových množín je zavedenie parametra do polynómu F(z) a berúc do úvahy množinu tých hodnôt parametrov, pre ktoré sekvencia ( z n) demonštruje určité správanie pre fix z 0 Mandelbrotova množina je teda množinou všetkých, pre ktoré ( z n) pre F(z)=z 2 +c A z 0 nejde do nekonečna.
Ďalším známym príkladom tohto druhu sú Newtonove bazény.
Je populárne vytvárať nádherné grafické obrázky založené na komplexnej dynamike farbením rovinných bodov v závislosti od správania zodpovedajúcich dynamických systémov. Napríklad na doplnenie sady Mandelbrot môžete body zafarbiť v závislosti od rýchlosti snaženia ( z n) do nekonečna (definované povedzme ako najmenšie číslo n, kde | z n| presahuje pevnú veľkú hodnotu A.
Biomorfy sú fraktály postavené na základe komplexnej dynamiky a pripomínajúce živé organizmy.
Stochastické fraktály
Randomizovaný fraktál založený na množine Julia
Prírodné objekty majú často fraktálny tvar. Na ich modelovanie možno použiť stochastické (náhodné) fraktály. Príklady stochastických fraktálov:
dráha Brownovho pohybu v rovine a v priestore;
hranica trajektórie Brownovho pohybu v rovine. V roku 2001 Lawler, Schramm a Werner dokázali Mandelbrotovu domnienku, že jej rozmer je 4/3.
Schramm-Löwnerove evolúcie sú konformne invariantné fraktálne krivky, ktoré vznikajú v kritických dvojrozmerných modeloch štatistickej mechaniky, napríklad v Isingovom modeli a perkolácii.
rôzne typy randomizovaných fraktálov, teda fraktály získané pomocou rekurzívnej procedúry, v ktorej sa v každom kroku zavádza náhodný parameter. Plazma je príkladom použitia takéhoto fraktálu v počítačovej grafike.
V prírode
Pohľad spredu na priedušnicu a priedušky
bronchiálny strom
sieť krvných ciev
Aplikácia
Prírodné vedy
Vo fyzike fraktály prirodzene vznikajú pri modelovaní nelineárnych procesov, ako je turbulentné prúdenie tekutín, zložité difúzno-adsorpčné procesy, plamene, oblaky atď. Fraktály sa používajú pri modelovaní poréznych materiálov, napríklad v petrochémii. V biológii sa používajú na modelovanie populácií a na popis systémov vnútorných orgánov (systém krvných ciev).
Rádiotechnika
fraktálne antény
Využitie fraktálnej geometrie pri navrhovaní anténnych zariadení prvýkrát aplikoval americký inžinier Nathan Cohen, ktorý vtedy žil v centre Bostonu, kde bolo zakázané inštalovať externé antény na budovy. Nathan vystrihol z hliníkovej fólie figúrku v podobe Kochovej krivky, nalepil ju na list papiera a pripevnil k slúchadlu. Cohen založil vlastnú spoločnosť a spustil ich sériovú výrobu.
informatika
Kompresia obrazu
Hlavný článok: Algoritmus fraktálnej kompresie
fraktálny strom
Existujú algoritmy kompresie obrázkov pomocou fraktálov. Sú založené na myšlienke, že namiesto samotného obrázku môžete uložiť mapu kontrakcií, pre ktorú je tento obrázok (alebo niektorý z jeho blízkych) pevným bodom. Použil sa jeden z variantov tohto algoritmu [ zdroj nešpecifikovaný 895 dní] od spoločnosti Microsoft pri vydávaní svojej encyklopédie, ale tieto algoritmy neboli široko používané.
Počítačová grafika
Ďalší fraktálny strom
Fraktály sú široko používané v počítačovej grafike na vytváranie obrázkov prírodných objektov, ako sú stromy, kríky, horská krajina, morské povrchy atď. Na generovanie fraktálových obrázkov sa používa veľa programov, pozri Fractal Generator (program).
decentralizované siete
Systém prideľovania IP adries Netsukuku využíva princíp kompresie fraktálnych informácií na kompaktné ukladanie informácií o sieťových uzloch. Každý uzol siete Netsukuku uchováva len 4 KB informácií o stave susedných uzlov, pričom každý nový uzol sa pripája do všeobecnej siete bez potreby centrálnej regulácie distribúcie IP adries, čo je napríklad typické pre tzv. internet. Princíp kompresie fraktálnych informácií teda zaručuje úplne decentralizovanú, a teda najstabilnejšiu prevádzku celej siete.
Tento fraktál som objavil, keď som sa pozeral na vlnovú interferenciu na hladine rieky. Vlna sa pohybuje smerom k brehu, odráža sa a prekrýva sa. Je poriadok vo vzoroch, ktoré vlny vytvárajú? Skúsme to nájsť. Uvažujme nie celú vlnu, ale iba vektor jej pohybu. Kvôli jednoduchosti experimentu urobíme „brehy“ hladké.
Experiment je možné vykonať na bežnom papieri v škatuli od školského zošita.
Alebo pomocou implementácie algoritmu JavaScript.
Vezmite obdĺžnik so stranami q a p. Pošleme lúč (vektor) z rohu do rohu. Lúč sa presunie na jednu zo strán obdĺžnika, odrazí sa a pokračuje v pohybe na ďalšiu stranu. Toto pokračuje, kým lúč nezasiahne jeden zo zostávajúcich rohov. Ak sú veľkosť strany q a p prvočísla, získa sa vzor (ako uvidíme neskôr - fraktál).
Na obrázku jasne vidíme, ako tento algoritmus funguje.
Gif animácia:
Najúžasnejšie je, že s rôznymi stranami obdĺžnika - získame rôzne vzory.
Prečo tieto vzory nazývam fraktály? Ako viete, "fraktál" je geometrický útvar, ktorý má vlastnosti sebapodobnosti. Časť obrázka opakuje celý obrázok ako celok. Ak výrazne zväčšíme rozmery strán Q a P, je zrejmé, že tieto vzory majú vlastnosti sebapodobnosti.
Skúsme zvýšiť. Budeme zvyšovať ošemetným spôsobom. Vezmite si napríklad vzor 17x29. Nasledujúce vzory budú: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75)…
Jedna strana: F(n);
Druhá strana: F(n+1)=F(n)+F(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
Podobne ako Fibonacciho čísla, len s odlišným prvým a druhým členom postupnosti: F(0)=17, F(1)=29.
Ak je väčšia strana rovná, vzor vyzerá takto:
Ak je menšia strana párna:
Ak sú obe strany nepárne, dostaneme symetrický vzor:
V závislosti od toho, ako lúč začína:
alebo
Pokúsim sa vysvetliť, čo sa deje v týchto obdĺžnikoch.
Oddeľme štvorec od obdĺžnika a uvidíme, čo sa stane na hranici.
Lúč vystupuje v rovnakom bode, z ktorého vstúpil.
V tomto prípade je počet štvorcov, ktorými lúč prechádza, vždy párne číslo.
Ak sa teda z obdĺžnika odreže štvorec, nezmenená časť fraktálu zostane.
Ak oddelíte štvorce od fraktálu čo najviac krát, môžete sa dostať na „začiatok“ fraktálu.
Vyzerá to ako Fibonacciho špirála?
Fraktály možno získať aj z Fibonacciho čísel.
V matematike sa Fibonacciho čísla (Fibonacciho rad, Fibonacciho postupnosť) nazývajú čísla:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
Podľa definície sú prvé dve číslice vo Fibonacciho postupnosti 0 a 1 a každé nasledujúce číslo sa rovná súčtu predchádzajúcich dvoch.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1
Choď:
Ako vidíme, čím bližšie sa pomer strán približuje zlatému rezu, tým je fraktál detailnejší.
V tomto prípade fraktál zopakuje časť fraktálu zvýšenú o .
Namiesto Fibonacciho čísel môžete použiť iracionálne veľkosti strán:
Dostaneme rovnaký fraktál.
Rovnaké fraktály možno získať aj v štvorci, ak je lúč vystrelený pod iným uhlom:
Čo možno povedať na záver?
Chaos je tiež poriadok. S ich pravidlami. Tento poriadok nie je študovaný, ale je celkom prístupný štúdiu. A celá ašpirácia vedy je objaviť tieto zákonitosti. A v prípadne spájajte dieliky puzzle, aby ste videli celkový obraz.
Pozrime sa na hladinu rieky. Ak doň hodíte kameňom, pôjdu vlny. Kruhy celkom prístupné k štúdiu. Rýchlosť, perióda, vlnová dĺžka – to všetko sa dá vypočítať. Ale kým vlna nedosiahne breh, neodrazí sa a nezačne sa prekrývať sama so sebou. Dostávame chaos (interferencie), ktorý sa už ťažko skúma.
Čo ak sa posunieme dozadu? Zjednodušte správanie vlny čo najviac. Zjednodušte, nájdite vzor a potom sa pokúste opísať úplný obraz toho, čo sa deje.
Čo sa dá zjednodušiť? Samozrejme, aby bola odrazová plocha rovná, bez ohybov. Ďalej namiesto samotnej vlny použite iba pohybový vektor vlny. V zásade to stačí na vytvorenie jednoduchého algoritmu a simuláciu procesu na počítači. A dokonca dosť na to, aby si na obyčajnom papieri v škatuľke urobil „model“ správania sa vlny.
Čo získame ako výsledok? V dôsledku toho vidíme, že vo vlnových procesoch (rovnaké vlnenie na hladine rieky) nemáme chaos, ale vzájomné ukladanie fraktálov (sebapodobných štruktúr).
Uvažujme o inom druhu vĺn. Ako viete, elektromagnetická vlna pozostáva z troch vektorov - vlnového vektora a elektrického a magnetické pole. Ako vidíte, ak takúto vlnu „chytíme“ v uzavretej oblasti – kde sa tieto vektory pretínajú, získame celkom jasné uzavreté štruktúry. Možno sú elementárne častice rovnaké fraktály?
Všetky fraktály v obdĺžnikoch od 1 do 80 (6723 x 6723 px): 
Uzavreté oblasti vo fraktáloch (6723 x 6723 px): 
Len krásny fraktál (4078 x 2518 px): 
