Úloha číslo 1. Určte súradnice ohnísk a napíšte rovnicu pre smernicu paraboly
Porovnanie tejto rovnice s rovnicou 
, zistíme, že 2p=4, odkiaľ 
. Takže pointa 
- ohniská paraboly a priamky 
, t.j. x=-1 alebo x+1=0 je jeho priamka.
odpoveď: (1;0)
Úloha číslo 2. Ohniská paraboly s vrcholom v počiatku leží v bode F(0;-4). Napíšte rovnicu pre túto parabolu.
Úloha číslo 3. Smernica paraboly s vrcholom v počiatku je priamka 2x+5=0
Napíšte rovnicu a nájdite súradnice ohniska paraboly.
R 
Riešenie: Keďže osou paraboly s vrcholom v počiatku je priamka 2x+5=0 resp. 
, potom má jeho ohnisko súradnice
, takže požadovaná krivka je symetrická okolo osi Оx F( 
)
a jej vetvy smerujú doprava (úsečka ohniska je kladná). Preto parabolická rovnica má tvar 
Pretože 
potom 
a parabolická rovnica bude: 
a súradnice jeho ohniska F(2,5;0)
odpoveď: 
; F(2,5;0)
Úloha číslo 4. Napíšte rovnicu paraboly symetrickej podľa osi Oy so stredom v počiatku súradnicového systému, ak prechádza bodom B (1; -2).
Keďže parabola je symetrická vzhľadom na os Oy a má vrchol v počiatku súradnicového systému, jej rovnica má tvar 
. Keďže bod В(1;-2) leží na parabole, jeho súradnice spĺňajú paraboly, t.j. 
,
Kde 
, a preto 
je rovnica paraboly.
odpoveď: 
Úloha číslo 5. Nájdite výšku oblúka mosta dlhého 24m, ak má oblúk tvar paraboly, ktorej rovnica je 
Načrtneme parabolu 
v karteziánskom pravouhlom súradnicovom systéme. Označte h výšku mosta a pomocou 
\u003d 24 - dĺžka oblúka mosta. Potom A(12;-h) 
P: 
.
T 
ako bod A patrí do paraboly 
, potom jeho súradnice spĺňajú parabolickú rovnicu. To umožňuje dosadiť súradnice daného bodu do rovnice paraboly namiesto aktuálnych súradníc (x; y). Potom máme 
Výška oblúka mosta je teda 3 m.
Úloha č. 6. Vodný prúd nasmerovaný pod uhlom k rovine horizontu stúpa do výšky 2 ma padá 12 m od hrotu hadice. Nájdite parabolickú trajektóriu prúdu.
Riešenie: Parabolickú dráhu výtrysku spojíme s kartézskym pravouhlým súradnicovým systémom tak, aby parabolická dráha bola symetrická k osi Oy, vetvy by smerovali dole a jej vrchol by ležal v počiatku.
Potom rovnica takejto parabolickej trajektórie má tvar 
, bod A(6;-2) 
P: 
, preto jeho súradnice spĺňajú parabolickú rovnicu. Nahradením súradníc bodu A namiesto súčasných súradníc x a y paraboly 
, dáva rovnosť 
. v dôsledku toho 
- rovnica parabolickej dráhy prúdu.
odpoveď: 
Rozhodnite sa sami:
Úloha číslo 7. Rez reflektora rovinou prechádzajúcou osou reflektora je parabola. Napíšte jeho rovnicu, ak je šírka reflektora 30 cm a hĺbka 20 cm (os reflektora sa zhoduje s osou Ox)
odpoveď: 
Problém číslo 8. Voda vyteká z diery umiestnenej na povrchu zeme v prúde, ktorý predstavuje vetvu paraboly 
. V akej vzdialenosti od okraja nádrže padá prúdnica na zem, ak je výška otvoru
Odpoveď: 3 m.
Problém číslo 9. Axiálnym rezom parabolického zrkadla je parabola 
Určte priemer zrkadla, ak je jeho "hĺbka" 18,75 cm.
Odpoveď: 30 cm.
Problém číslo 10. Kameň hodený v ostrom uhle k rovine horizontu dosiahol najväčšia výška 16 m, opisujúc parabolickú dráhu, kameň padal 48 m., od bodu hodu. Nájdite trajektóriu kameňa.
odpoveď: 
.
Úloha č. 11 Nájdite parabolu s vrcholom v počiatku, ak jej ohnisko leží v bode a) F(3;0); b) F(-2;0); c) F(0;4); d) F(0;-)
odpoveď: a) 
; b) 
; v) 
; G) 
Úloha č. 12 Nájdite paraboly s vrcholom v počiatku, ak sú dané smerové čiary: a) 
; b) x = -5; c) y = 3; d) y = -2;
odpoveď: a) 
; b) 
; v) 
; G) 
.
Úloha číslo 13. Nájdite súradnice ohniska a napíšte rovnicu smerovej čiary pre každú z parabol.
ale) 
; b) 
; v) 
; G) 
. Zostrojte tieto paraboly.
Odpoveď: a) F(2;0); x+2=0; b) F(-3;0); x-3=0; c) F(0;); 2r+5=0
d) F(0;-4); x-4=0
Problém číslo 14. Skontrolujte, či body A(2;-2) a B(1;2) ležia na parabole 
Odpoveď: A klameš, B neklam.
Úloha číslo 15. Napíšte rovnicu paraboly s vrcholom v počiatku, symetrickú podľa osi x a prechádzajúcu bodom.
odpoveď: 
Úloha číslo 16. Napíšte rovnicu paraboly s vrcholom v počiatku, ak:
A) parabola je umiestnená v hornej polrovine symetricky podľa osi y a jej ohniskový parameter je 4;
B) parabola je umiestnená v dolnej polrovine symetricky podľa osi y a jej ohniskový parameter je rovný 6;
C) parabola je umiestnená v pravej polrovine symetricky podľa osi y a jej ohniskový parameter je 3;
d) parabola je umiestnená v ľavej polrovine symetricky podľa osi y a jej ohniskový parameter sa rovná 5.
odpoveď a) 
; b) 
; v) 
; G) 
.
Prednášky z algebry a geometrie. 1. semester.
Prednáška 17. Parabola.
Kapitola 17
položka 1. Základné definície.
Definícia. Parabola je GMT roviny rovnako vzdialenej od jedného pevného bodu roviny, nazývaného ohnisko, a jednej pevnej priamky, nazývanej priamka.
Definícia. Vzdialenosť od ľubovoľného bodu M roviny k ohnisku paraboly sa nazýva ohniskový polomer bodu M.
Označenia: F- ohnisko paraboly, r- ohniskový polomer body M,d je vzdialenosť od bodu M po smernicu D.
Podľa definície paraboly je bod M bodom paraboly vtedy a len vtedy 
.
Podľa definície paraboly sú jej ohnisko a smerová čiara pevné objekty, takže vzdialenosť od ohniska po smerovú čiaru je pre túto parabolu konštantná.
Definícia. Vzdialenosť od ohniska paraboly po jej smerovú čiaru sa nazýva ohniskový parameter paraboly.
Označenie: 
.
Zaveďme na danej rovine súradnicový systém, ktorý pre parabolu nazveme kanonický.
Definícia. Os vedená cez ohnisko paraboly kolmé na smerovú čiaru sa nazýva ohnisková os paraboly.
Zostrojme kanonickú PDSC pre parabolu, pozri obr.2.
Ako abscisa os zvolíme ohniskovú os, smer, ktorým volíme od smerovej čiary k ohnisku.
Ordinačná os je vedená stredom segmentu FN kolmo na ohniskovú os. Potom má ohnisko súradnice 
.
položka 2. Kanonická rovnica paraboly.
Veta. V kanonickom súradnicovom systéme pre parabolu má rovnica paraboly tvar:
.
(1)
Dôkaz. Dôkaz vykonáme v dvoch etapách. V prvej fáze dokážeme, že súradnice ktoréhokoľvek bodu ležiaceho na parabole spĺňajú rovnicu (1). V druhej fáze dokážeme, že akékoľvek riešenie rovnice (1) dáva súradnice bodu ležiaceho na parabole. Odtiaľto bude vyplývať, že rovnica (1) je splnená súradnicami tých a len tých bodov súradnicovej roviny, ktoré ležia na parabole.
Odtiaľto az definície rovnice krivky bude vyplývať, že rovnica (1) je rovnicou paraboly.
1) Nech je bod M(x, y) bodom paraboly, t.j.
.
Použijeme vzorec pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi na súradnicovej rovine a zistíme ohniskový polomer daného bodu M pomocou tohto vzorca:
.
Z obrázku 2 vidíme, že bod paraboly nemôže mať zápornú úsečku, pretože v tomto prípade 
. Preto 
A 
. Dostávame teda rovnosť
.
Odmocnime obe strany rovnice:
a po redukcii dostaneme:
.
2) Teraz nech dvojica čísel (x, y) spĺňa rovnicu (1) a nech M(x, y) je zodpovedajúci bod v rovine súradníc Oxy.
Potom dosadíme rovnosť (1) do výrazu pre ohniskový polomer bodu M:
, odkiaľ z definície paraboly vyplýva, že bod M(x, y) leží na parabole.
Tu sme použili skutočnosť, že rovnosť (1) to znamená 
a preto 
.
Veta bola dokázaná.
Definícia. Rovnica (1) sa nazýva kanonická rovnica paraboly.
Definícia. Počiatok kanonického súradnicového systému pre parabolu sa nazýva vrchol paraboly.
položka 3. vlastnosti paraboly.
Veta. (Vlastnosti paraboly.)
1. V kanonickom súradnicovom systéme pre parabolu, v páse
žiadne body paraboly.
2. V kanonickom súradnicovom systéme pre parabolu leží vrchol paraboly O(0; 0) na parabole.
3. Parabola je krivka symetrická okolo ohniskovej osi.
Dôkaz. 1, 2) Bezprostredne vyplýva z kanonickej rovnice paraboly.
3) Nech M(x, y) je ľubovoľný bod paraboly. Potom jeho súradnice spĺňajú rovnicu (1). Ale potom súradnice bodu 
spĺňajú aj rovnicu (1), a preto je tento bod aj bodom paraboly, z čoho vyplýva tvrdenie vety.
Veta bola dokázaná.
položka 4. Konštrukcia paraboly.
Kvôli symetrii stačí zostrojiť parabolu v prvom kvadrante, kde je to graf funkcie
,
a potom zobrazte výsledný graf symetricky okolo osi x.
Zostrojíme graf tejto funkcie vzhľadom na to, že táto funkcia na intervale rastie 
.
položka 5. Ohniskový parameter hyperboly.
Veta. Ohniskový parameter paraboly sa rovná dĺžke kolmice na jej os symetrie, obnovenej v ohnisku paraboly po priesečník s parabolou.
Dôkaz. Od veci 
je priesečník paraboly 
s kolmicou 
(pozri obr. 3), potom jeho súradnice spĺňajú parabolickú rovnicu:
.
Odtiaľto nájdeme 
, odkiaľ vyplýva tvrdenie vety.
Veta bola dokázaná.
položka 6. Jednotná definícia elipsy, hyperboly a paraboly.
Pomocou overených vlastností elipsy a hyperboly a definície paraboly je možné poskytnúť jednu definíciu pre všetky tri krivky.
Definícia. GMT roviny, pre ktorú je pomer vzdialenosti k jednému pevnému bodu roviny, nazývanému ohnisko, k vzdialenosti k jednej pevnej priamke, nazývanej smerová čiara, konštantný, sa nazýva:
a) elipsu, ak je táto konštanta menšia ako 1;
b) hyperbola, ak je táto konštantná hodnota väčšia ako 1;
c) parabola, ak sa táto konštanta rovná 1.
Táto konštanta uvedená v definícii sa nazýva excentricita a označuje sa 
, vzdialenosť od daného bodu k ohnisku je jeho ohniskový polomer r, vzdialenosť od daného bodu k priamke je označená d.
Z definície vyplýva, že tie body roviny, pre ktoré je pomer 
existuje konštantná hodnota z elipsy, hyperboly alebo paraboly, v závislosti od hodnoty tohto pomeru.
Ak 
, potom dostaneme elipsu ak 
, potom dostaneme hyperbolu, ak 
, potom dostaneme parabolu.
položka 7. Tangenta k parabole.
Veta. Nechať byť 
je ľubovoľný bod paraboly
.
Potom rovnica dotyčnice k tejto parabole
v bode 
vyzerá ako:
.
(2)
Dôkaz. Stačí zvážiť prípad, keď bod kontaktu leží v prvom kvadrante. Potom rovnica paraboly má tvar:
a možno ho vidieť ako graf funkcie 
.
Využime rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie 
v bode 
:
kde 
je hodnota derivácie tejto funkcie v bode 
.
Poďme nájsť deriváciu funkcie 
a jeho hodnota v mieste kontaktu:
,
.
Tu sme využili skutočnosť, že dotykový bod 
je bodom paraboly a preto jeho súradnice vyhovujú rovnici paraboly, t.j.
.
Nájdenú hodnotu derivácie dosadíme do rovnice dotyčnice:
,
odkiaľ sa dostaneme:
.
Od veci 
patrí parabole, potom jej súradnice vyhovujú jej rovnici, t.j. 
, odkiaľ sa dostaneme
alebo 
.
to znamená
.
Veta bola dokázaná.
položka 8. Zrkadlová vlastnosť paraboly.
Veta. Dotyčnica k parabole zviera rovnaké uhly so svojou osou symetrie a s polomerom ohniska dotykového bodu.
Dôkaz. Nechať byť 
- kontaktný bod 
je jeho ohniskový polomer. Označme N priesečník dotyčnice s osou x. Súradnica bodu N sa rovná nule a bod N leží na dotyčnici, preto jeho súradnice spĺňajú rovnicu dotyčnice. Dosadením súradníc bodu N do rovnice dotyčnice dostaneme:
,
odkiaľ je úsečka bodu N 
.
Zvážte trojuholník 
. Dokazujeme, že je rovnoramenný.
naozaj, 
. Tu sme použili rovnosť získanú pri odvodení rovnice kanonickej paraboly:
.
V rovnoramennom trojuholníku sú uhly v základni rovnaké. Odtiaľ
, atď.
Veta bola dokázaná.
Komentujte. Dokázanú vetu možno formulovať ako zrkadlovú vlastnosť paraboly.
Lúč svetla vyžarovaný z ohniska paraboly po odraze od zrkadla paraboly ide rovnobežne s osou symetrie paraboly.
Pretože uhol dopadu lúča na dotyčnicu sa rovná uhlu odrazu od nej, uhol medzi dotyčnicou a odrazeným lúčom sa rovná uhlu medzi dotyčnicou a osou x, čo znamená, že odrazený lúč je rovnobežný s osou x.
Komentujte. Táto vlastnosť paraboly bola široko používaná v strojárstve. Ak sa parabola otáča okolo svojej osi symetrie, dostaneme plochu nazývanú rotačný paraboloid. Ak je odrazová plocha vytvorená vo forme rotačného paraboloidu a zdroj svetla je umiestnený v ohnisku, potom odrazené lúče idú rovnobežne s osou symetrie paraboloidu. Takto sú usporiadané reflektory a svetlomety áut. Ak je v ohnisku umiestnené zariadenie prijímajúce elektromagnetické kmity (vlny), potom sa odrazia od povrchu paraboloidu a vstupujú do tohto prijímacieho zariadenia. Takto fungujú satelitné paraboly.
Existuje legenda, že v dávnych dobách jeden veliteľ zoradil svojich bojovníkov pozdĺž pobrežia, čím im dal tvar paraboly. Slnečné svetlo odrazené od štítov bojovníkov vyleštených do lesku sa zhromaždilo do lúča (v ohnisku zostrojenej paraboly). Tak boli spálené lode nepriateľa. Niektoré zdroje to pripisujú Archimedesovi. Tak či onak, ale Arabi nazvali paraboloid revolúcie „zápalným zrkadlom“.
Mimochodom, slovo „focus“ je latinské a v preklade znamená oheň, ohnisko. Za slnečného dňa môžete pomocou „zápalného zrkadla“ zapáliť oheň a uvariť vodu. Pôvod tohto pojmu je teda jasný.
Slovo "zameranie" tiež znamená nejaký druh triku alebo mazaného zariadenia. Predtým sa cirkus nazýval búdka. Takže aj umelci frašky použili zrkadlovú vlastnosť elipsy a rozsvietili svetlo v jednom ohnisku elipsy, zapálili niečo horľavé umiestnené v druhom ohnisku. Táto podívaná sa stala známou aj ako trik. (Prečítajte si úžasnú knihu od Vilenkina N.Ya. "Za stránkami učebnice matematiky")
položka 9. Polárna rovnica elipsy, hyperboly a paraboly.
Nech je daný bod F v rovine, ktorú nazveme ohnisko, a priamka D, ktorú nazveme priamka. Nakreslíme priamku kolmú na priamku (ohniskovú os) cez ohnisko a zavedieme polárny súradnicový systém. Pól umiestnime do ohniska a ako polárny lúč vezmeme tú časť priamky, ktorá nepretína priamku (pozri obr. 5).
Nech bod M leží na elipse, hyperbole alebo parabole. V nasledujúcom texte budeme označovať hyperbolu alebo parabolu jednoducho ako krivku.
Veta. Nechať byť 
– polárne súradnice bodu krivky (elipsa, hyperbola alebo parabola). Potom
,
(3)
kde p je ohniskový parameter krivky, 
je excentricita krivky (pre parabolu predpokladáme 
).
Dôkaz. Nech Q je priemet bodu М na ohniskovú os krivky, В – na priamku krivky. Nechajte polárny uhol 
bod M je tupý, ako na obrázku 5. Potom
,
kde podľa konštrukcie, 
je vzdialenosť od bodu M po priamku a
.
(4)
Na druhej strane, podľa jednotnej definície elipsy, hyperboly a paraboly, pomer
(5)
sa rovná excentricite zodpovedajúcej krivky pre ľubovoľný bod M na danej krivke. Nechajte bod 
je priesečník krivky s kolmicou na ohniskovú os, obnovený v ohnisku F a A je jej projekcia na smerovú os. Potom
, kde 
. ale 
, kde
a dosadením do rovnosti (4) dostaneme
alebo, berúc do úvahy rovnosť (5),
odkiaľ vyplýva požadovaná rovnosť (3).
Všimnite si, že rovnosť (4) zostáva pravdivá aj v prípade polárneho uhla 
bod M je ostrý, pretože v tomto prípade je bod Q napravo od ohniska F a
Veta bola dokázaná.
Definícia. Rovnica (3) sa nazýva polárna rovnica elipsy, hyperboly a paraboly.
Zavádzame pravouhlý súradnicový systém, kde . Nechajte os prejsť cez ohnisko F parabola a je kolmá na smerovú čiaru a os prechádza uprostred medzi ohniskom a smerovou čiarou. Označte vzdialenosťou medzi ohniskom a osou. Potom priamková rovnica.
Číslo sa nazýva ohniskový parameter paraboly. Nech je aktuálny bod paraboly. Nech je ohniskový polomer bodu hyperboly, vzdialenosť od bodu po smerovú čiaru. Potom ( kresba 27.)
Nákres 27.
Podľa definície paraboly. v dôsledku toho
Umocnime rovnicu a dostaneme:
(15)
kde (15) je kanonická rovnica paraboly symetrickej okolo osi a prechádzajúcej počiatkom.
1) Vrch paraboly:
Rovnica (15) je splnená číslami, a preto parabola prechádza počiatkom.
2) Parabolová symetria:
Nech patrí do paraboly, teda skutočnej rovnosti. Bod je symetrický k bodu okolo osi, preto je parabola symetrická okolo osi x.
Excentricita paraboly:
Definícia 4.2. Excentricita paraboly je číslo rovné jednej.
Keďže podľa definície ide o parabolu.
4) Tangenta paraboly:
Dotyčnica k parabole v bode dotyku je daná rovnicou
Kde ( kresba 28.)
Nákres 28.
Obrázok paraboly
Nákres 29.
Pomocou ESO-Mathcad:
kresba 30.)
Nákres 30.
a) Konštrukcia bez použitia IKT: Na zostrojenie paraboly nastavíme pravouhlý súradnicový systém so stredom v bode O a jednotkový segment. Ohnisko označíme na osi OX, keďže nakreslíme takú a smernicu paraboly. Postavíme kružnicu v bode a s polomerom rovným vzdialenosti od priamky po priamku paraboly. Kruh pretína čiaru v bodoch. Postavíme parabolu tak, aby prechádzala cez počiatok a cez body. ( kresba 31.)
Nákres 31.
b) Pomocou ESO-Mathcad:
Výsledná rovnica má tvar: . Aby sme vytvorili riadok druhého rádu v Mathcade, privedieme rovnicu do tvaru: .( kresba 32.)
Nákres 32.
Aby sme zhrnuli prácu o teórii línií druhého rádu v elementárnej matematike a pre pohodlie používania informácií o líniách pri riešení úloh, všetky údaje o líniách 2. rádu uzatvárame v tabuľke č.
Tabuľka číslo 1.
|
Názov radu 2. rádu |
Kruh |
Elipsa |
Hyperbola |
Parabola |
|
Charakteristické vlastnosti | ||||
|
Rovnica priamky | ||||
|
Výstrednosť | ||||
|
Rovnica dotyčnice v bode (X 0 ; r 0 ) | ||||
|
Zamerajte sa | ||||
|
Priemery čiar |
kde k- sklon |
Kde k svahu |
Kde k svahu |
Možnosti využitia IKT pri štúdiu liniek druhého rádu
Proces informatizácie, ktorý dnes pokrýval všetky aspekty života modernej spoločnosti, má viacero prioritných oblastí, medzi ktoré, samozrejme, patrí aj informatizácia školstva. Je základným základom pre globálnu racionalizáciu ľudskej intelektuálnej činnosti prostredníctvom využívania informačných a komunikačných technológií (IKT).
Polovica 90. rokov minulého storočia až po súčasnosť je charakteristická masovým charakterom a dostupnosťou osobných počítačov v Rusku, rozšíreným využívaním telekomunikácií, ktoré umožňujú zavádzať rozvinuté informačné technológie vzdelávania do vzdelávací proces, jeho skvalitňovanie a modernizáciu, skvalitňovanie vedomostí, zvyšovanie motivácie k učeniu, maximálne využitie princípu individualizácie vzdelávania. Informačné technológie vzdelávania sú nevyhnutným nástrojom v tejto etape informatizácie školstva.
Informačné technológie nielen uľahčujú prístup k informáciám a otvárajú možnosti pre variabilitu vzdelávacích aktivít, ich individualizáciu a diferenciáciu, ale zároveň umožňujú organizovať interakciu všetkých predmetov vzdelávania novým spôsobom, budovať vzdelávací systém, v ktorom by bol študent aktívnym a rovnocenným účastníkom vzdelávacích aktivít.
Formovanie nového informačných technológií v rámci predmetových hodín podnecujú potrebu tvorby nových softvérových a metodických komplexov zameraných na skvalitnenie vyučovacej hodiny. Preto pre úspešné a cieľavedomé využívanie nástrojov informačných technológií vo výchovno-vzdelávacom procese musia učitelia poznať všeobecný popis princípy fungovania a didaktické možnosti softvérových a aplikačných nástrojov a následne ich na základe svojich skúseností a odporúčaní „zabudovať“ do vzdelávacieho procesu.
Štúdium matematiky je v súčasnosti spojené s množstvom čŕt a ťažkostí v rozvoji školského vzdelávania u nás.
Objavila sa takzvaná kríza matematického vzdelávania. Jeho dôvody sú nasledovné:
Pri zmene priorít v spoločnosti a vo vede, teda v súčasnosti narastá priorita humanitných vied;
v znižovaní počtu hodín matematiky v škole;
V izolácii obsahu matematického vzdelávania od života;
V malom dopade na city a emócie žiakov.
Dnes zostáva otvorená otázka: „Ako čo najefektívnejšie využiť potenciál moderných informačných a komunikačných technológií pri výučbe školákov, vrátane výučby matematiky?“
Počítač je výborným pomocníkom pri štúdiu tém, ako je „Kvadratická funkcia“, pretože pomocou špeciálnych programov môžete vykresľovať rôzne funkcie, skúmať funkcie, ľahko určovať súradnice priesečníkov, vypočítať plochy uzavretých útvarov atď. Napríklad na hodine algebry v 9. ročníku, venovanej transformácii grafu (natiahnutie, stlačenie, posunutie súradnicových osí), môžete vidieť iba zmrazený výsledok konštrukcie a celú dynamiku po sebe nasledujúcich akcií. učiteľa a študenta je možné sledovať na obrazovke monitora.
Počítač ako žiadny iný technické prostriedky, presne, vizuálne a napínavo otvára pre študenta ideálne matematické modely, t.j. o čo by sa malo dieťa pri svojom praktickom konaní snažiť.
Koľko ťažkostí musí zažiť učiteľ matematiky, aby presvedčil žiakov, že dotyčnica ku grafu kvadratickej funkcie v mieste dotyku prakticky splýva s grafom funkcie. Demonštrovať túto skutočnosť na počítači je veľmi jednoduché – stačí zúžiť interval pozdĺž osi Ox a zistiť, že vo veľmi malom okolí dotyčnicového bodu sa graf funkcie a dotyčnice zhodujú. Všetky tieto aktivity prebiehajú pred očami študentov. Tento príklad dáva podnet na aktívnu reflexiu na hodine. Používanie počítača je možné tak v priebehu vysvetľovania nového učiva na hodine, ako aj vo fáze kontroly. Pomocou týchto programov, napríklad „Môj test“, si študent môže samostatne overiť úroveň teoretických vedomostí, vykonávať teoretické a praktické úlohy. Programy sú vhodné pre ich všestrannosť. Môžu byť použité ako na sebakontrolu, tak aj na kontrolu učiteľa.
Rozumná integrácia matematiky a výpočtovej techniky umožní bohatší a hlbší pohľad na proces riešenia problému, priebeh chápania matematických zákonitostí. Okrem toho počítač pomôže formovať grafickú, matematickú a mentálnu kultúru žiakov a pomocou počítača si môžete pripraviť didaktické materiály: kartičky, anketové hárky, testy a pod. Zároveň dajte deťom možnosť samostatne vypracovať testy na danú tému, počas ktorých sa prejaví záujem a kreativita.
Preto je potrebné používať počítač, ak je to možné, na hodinách matematiky v širšom rozsahu, ako je doteraz. Využitie informačných technológií skvalitní poznatky, rozšíri obzory štúdia kvadratickej funkcie, a tým pomôže nájsť nové pohľady na udržanie záujmu študentov o predmet a tému, a tým aj k lepšiemu, pozornejšiemu postoju to. Moderné informačné technológie sa dnes stávajú najdôležitejším nástrojom modernizácie školy ako celku – od riadenia až po vzdelávanie a zabezpečenie dostupnosti vzdelávania.
Každý vie, čo je parabola. Ale ako ho správne používať, kompetentne pri riešení rôznych praktických problémov, pochopíme nižšie.
Najprv si označme základné pojmy, ktoré tomuto pojmu dáva algebra a geometria. Zvážte všetky možné typy tohto grafu.
Dozvieme sa všetky hlavné charakteristiky tejto funkcie. Poďme pochopiť základy konštrukcie krivky (geometrie). Poďme sa naučiť, ako nájsť horné, ďalšie základné hodnoty grafu tohto typu.
Zistíme: ako sa správne zostrojí požadovaná krivka podľa rovnice, na čo si treba dať pozor. Pozrime sa na to hlavné praktické využitie túto jedinečnú hodnotu v ľudskom živote.
Algebra: Tento termín sa vzťahuje na graf kvadratickej funkcie.
Geometria: Ide o krivku druhého rádu, ktorá má množstvo špecifických vlastností:
Obrázok ukazuje pravouhlý systém súradnice (XOY), extrém, smer funkcie vykresľujúce vetvy pozdĺž osi x.
Kanonická rovnica je:
y 2 \u003d 2 * p * x,
kde koeficient p je ohniskový parameter paraboly (AF).
V algebre sa to píše inak:
y = a x 2 + b x + c (rozpoznateľný vzor: y = x 2).
Funkcia má os symetrie a stred (extrém). Oblasťou definície sú všetky hodnoty osi x.
Rozsah hodnôt funkcie - (-∞, M) alebo (M, +∞) závisí od smeru vetiev krivky. Parameter M tu znamená hodnotu funkcie v hornej časti riadku.
Ak chcete nájsť smer tohto typu krivky z výrazu, musíte zadať znamienko pred prvým parametrom algebraického výrazu. Ak je ˃ 0, potom smerujú nahor. V opačnom prípade dole.
Hľadanie extrému je hlavným krokom pri riešení mnohých praktických problémov. Samozrejme, môžete otvoriť špeciálne online kalkulačky ale je lepšie, ak to zvládneš sám.
Ako to definovať? Existuje špeciálny vzorec. Keď sa b nerovná 0, musíme hľadať súradnice tohto bodu.
Vzorce na nájdenie vrcholu:
Príklad.
Existuje funkcia y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Poďme nájsť vrcholy tejto funkcie.
Pre takýto riadok:
Získame súradnice vrcholu (-2, -41).
Klasický prípad je, keď v kvadratickej funkcii y = a x 2 + b x + c je druhý a tretí parameter 0 a = 1 - vrchol je v bode (0; 0).
Pohyb pozdĺž osi x alebo y je spôsobený zmenou parametrov b a c. Posun čiary v rovine sa vykoná presne o počet jednotiek, ktorý sa rovná hodnote parametra.
Príklad.
Máme: b = 2, c = 3.
To znamená, že klasický pohľad na krivku sa posunie o 2 jednotkové segmenty pozdĺž osi x a o 3 pozdĺž osi y.
Pre školákov je dôležité naučiť sa správne kresliť parabolu podľa daných parametrov.
Analýzou výrazov a rovníc môžete vidieť nasledovné:
Okrem toho, priesečníky s OX možno nájsť tak, že poznáme diskriminant (D) takejto funkcie:
D \u003d (b 2 - 4 * a * c).
Aby ste to dosiahli, musíte výraz prirovnať k nule.
Prítomnosť koreňov paraboly závisí od výsledku:
Získame algoritmus na zostavenie paraboly:
Príklad 1
Daná funkcia y \u003d x 2 - 5 * x + 4. Je potrebné postaviť parabolu. Postupujeme podľa algoritmu:
Príklad 2
Pre funkciu y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 musíte zostaviť parabolu. Postupujeme podľa vyššie uvedeného algoritmu:
Zo získaných bodov môžete postaviť parabolu.
Na základe kanonickej rovnice má ohnisko F súradnice (p/2, 0).
Priama čiara AB je priamka (akýsi parabolický akord určitej dĺžky). Jej rovnica je x = -p/2.
Excentricita (konštanta) = 1.
Zvažovali sme tému, ktorú študenti študujú stredná škola. Teraz viete, keď sa pozriete na kvadratickú funkciu paraboly, ako nájsť jej vrchol, ktorým smerom budú vetvy smerovať, či existuje posun pozdĺž osí a pomocou konštrukčného algoritmu môžete nakresliť jej graf.
Uvažujme priamku v rovine a bod, ktorý na tejto priamke neleží. A elipsa, A hyperbola možno jednotným spôsobom definovať ako ťažisko bodov, pre ktoré je pomer vzdialenosti k danému bodu k vzdialenosti k danej priamke konštantný
poradie ε. Pri 0 1 - hyperbola. Parameter ε je excentricita elipsy aj hyperboly. Z možných kladných hodnôt parametra ε sa jedna, konkrétne ε = 1, ukazuje ako nepoužitá. Táto hodnota zodpovedá umiestneniu bodov rovnako vzdialených od daného bodu a od danej priamky.
Definícia 8.1. geometrické miesto sa nazývajú body roviny rovnako vzdialené od pevného bodu a od pevnej priamky parabola.
Pevný bod sa nazýva ohnisko paraboly a priamku priamka paraboly. Zároveň sa predpokladá, že excentricita paraboly sa rovná jednej.
Z geometrických úvah vyplýva, že parabola je symetrická vzhľadom k priamke kolmej na priamku a prechádzajúcej ohniskom paraboly. Táto čiara sa nazýva os symetrie paraboly alebo jednoducho os paraboly. Parabola sa pretína so svojou osou symetrie v jedinom bode. Tento bod sa nazýva vrchol paraboly. Nachádza sa v strede segmentu spájajúceho ohnisko paraboly s priesečníkom jej osi s priamkou (obr. 8.3).
Parabolická rovnica. Na odvodenie parabolickej rovnice volíme v rovine pôvodu na vrchole paraboly, as úsečka- os paraboly, ktorej kladný smer je daný polohou ohniska (pozri obr. 8.3). Tento súradnicový systém je tzv kanonický pre uvažovanú parabolu a zodpovedajúce premenné sú kanonický.
Označme vzdialenosť od ohniska po smerovú čiaru ako p. Volá sa ohniskový parameter paraboly.
Potom má ohnisko súradnice F(p/2; 0) a priamka d je opísaná rovnicou x = - p/2. Miesto bodov M(x; y), ktoré sú rovnako vzdialené od bodu F a od priamky d, je dané rovnicou
Odmocnime rovnicu (8.2) a dáme podobné. Dostaneme rovnicu
ktorá sa volá kanonická rovnica paraboly.
Všimnite si, že kvadratúra je v tomto prípade ekvivalentná transformácia rovnice (8.2), keďže obe časti rovnice sú nezáporné, rovnako ako výraz pod radikálom.
Typ paraboly. Ak je parabola y 2 \u003d x, ktorej formu považujeme za známu, stlačená koeficientom 1 / (2p) pozdĺž úsečky, dostaneme parabolu všeobecný pohľad, ktorá je opísaná rovnicou (8.3).
Príklad 8.2. Nájdite súradnice ohniska a rovnicu smerovej čiary paraboly, ak prechádza bodom, ktorého kanonické súradnice sú (25; 10).
V kanonických súradniciach má rovnica paraboly tvar y 2 = 2px. Keďže bod (25; 10) je na parabole, potom 100 = 50p a teda p = 2. Preto y 2 = 4x je kanonická rovnica paraboly, x = - 1 je rovnica jej smerovej čiary a ohnisko je v bode (1; 0 ).
Optická vlastnosť paraboly. Parabola má nasledovné optická vlastnosť. Ak je v ohnisku paraboly umiestnený zdroj svetla, potom všetky svetelné lúče po odraze od paraboly budú rovnobežné s osou paraboly (obr. 8.4). Optická vlastnosť znamená, že v ktoromkoľvek bode M paraboly normálny vektor dotyčnica zviera rovnaké uhly s ohniskovým polomerom MF a osou x.
