Zložitá veta je taká, ktorá obsahuje logické spojky a skladá sa z niekoľkých jednoduchých výrokov.
Jednoduché úsudky budeme v budúcnosti považovať za nejaké nedeliteľné atómy, za prvky, z ktorých kombinácie vznikajú zložité štruktúry. Jednoduché rozsudky budú označené samostatnými latinskými písmenami: a, b, c, d, ... Každé takéto písmeno predstavuje nejaký jednoduchý rozsudok. Kde je to viditeľné? Odtrhnutie od komplexu vnútorná štruktúra jednoduchý úsudok, z jeho kvantity a kvality, zabúdajúc na to, že má podmet a predikát, zachovávame len jednu vlastnosť úsudku – že môže byť pravdivý alebo nepravdivý. Všetko ostatné nás tu nezaujíma. A keď hovoríme, že písmeno „a“ predstavuje propozíciu, nie pojem, nie číslo, nie funkciu, máme na mysli iba jednu vec: toto „a“ predstavuje pravdu alebo nepravdu. Ak pod „a“ myslíme tvrdenie „Kengury žijú v Austrálii“, máme na mysli pravdu; ak pod „a“ myslíme tvrdenie „Kengury žijú na Sibíri“, máme na mysli lož. Teda naše písmená „a“, „b“, „c“ atď. sú premenné, ktoré možno nahradiť pravdivými alebo nepravdivými.
Logické spojky sú formálne analógy spojok v našom rodnom prirodzenom jazyku. Tak ako sa zložité vety zostavujú z jednoduchých pomocou spojok „avšak“, „od“, „alebo“ atď., tak sa zložité úsudky tvoria z jednoduchých pomocou logické spojky. Tu cítime oveľa väčšiu súvislosť medzi myšlienkou a jazykom, preto v nasledujúcom texte namiesto slova „rozsudok“, označujúceho čistú myšlienku, budeme často používať slovo „výrok“, označujúci myšlienku v jej jazykovom vyjadrení. Poďme sa teda zoznámiť s najbežnejšími logickými spojovacími prvkami.
Negácia. V prirodzenom jazyku to zodpovedá výrazu „Nie je pravda, že ...“. Negácia sa zvyčajne označuje znakom "" pred písmenom reprezentujúcim nejaký úsudok: "a" sa číta "Nie je pravda, že a." Príklad: "Nie je pravda, že Zem je guľa."
Treba poznamenať jednu jemnú okolnosť. Vyššie sme hovorili o jednoduchých negatívnych úsudkoch. Ako ich odlíšiť od zložitých súdov s negáciou? Logika rozlišuje dva druhy negácie – vnútornú a vonkajšiu. Keď sa negácia nachádza v jednoduchom výroku pred odkazom „je“, potom v tomto prípade máme do činenia s jednoduchým negatívnym výrokom, napríklad: „Zem nie je guľa“. Ak popretie navonok pripája úsudok napr.: „Nie je pravda, že Zem je guľa“, potom sa takáto negácia považuje za logické spojenie, ktoré premieňa jednoduchý úsudok na zložitý.
Konjunkcia. V prirodzenom jazyku tento zväzok zodpovedá spojeniam „a“, „a“, „ale“, „avšak“ atď. Najčastejšie je spojka označená znakom „&“. Teraz sa táto ikona často nachádza v názvoch rôznych spoločností a podnikov. Súd s takýmto spojivom sa nazýva konjunktív alebo jednoducho konjunkcia a vyzerá takto:
a&b. Príklad: "V košíku starého otca boli hríby a motýle." Tento komplexný výrok je spojením dvoch jednoduchých výrokov: - „Dedko mal v košíku hríba“ a „Dedko mal v košíku hríba“.
Disjunkcia. V prirodzenom jazyku tomuto spojovaciemu prvku zodpovedá spojenie „alebo“. Zvyčajne sa označuje znakom „v“. Úsudok s takýmto spojivom sa nazýva disjunkcia alebo jednoducho disjunkcia a vyzerá takto: a v b.
Spojenie „alebo“ sa v prirodzenom jazyku používa v dvoch rôznych významoch: neprísne „alebo“ – keď sa členovia disjunkcie navzájom nevylučujú, t.j. môže byť pravdivé aj prísne „alebo“ (často nahradené dvojicou spojok „buď ... alebo ...“) - keď sa členovia disjunkcie navzájom vylučujú. V súlade s tým sa rozlišujú dva typy disjunkcie - prísna a neprísna.
Implikácia. V prirodzenom jazyku to zodpovedá spojeniu „ak ... tak“. Označuje sa znakom "->". Rozsudok s takýmto odkazom sa nazýva implikatívny alebo jednoducho implikácia a vyzerá takto: a -> b. Príklad: „Ak vodič prejde elektriny, potom sa vodič zahrieva. Prvý člen implikácie sa nazýva antecedent alebo základ; druhý je dôsledok alebo dôsledok. V bežnom jazyku spojenie „ak ... tak“ zvyčajne spája vety, ktoré vyjadrujú kauzálny vzťah javov, pričom prvá veta fixuje príčinu a druhá – následok. Odtiaľ pochádzajú mená členov implikácie.
Znázornenie výpovedí prirodzeného jazyka v symbolickej podobe pomocou uvedených označení znamená ich formalizáciu, ktorá sa v mnohých prípadoch ukazuje ako užitočná.
4) Krásny ostrov ležal v teplom oceáne. A všetko by bolo v poriadku, ale cudzinci si zvykli usadiť sa na tomto ostrove. Prichádzajú a odchádzajú z celého sveta, začali zahanbovať domorodých obyvateľov. Aby sa zabránilo invázii cudzincov, vládca ostrova vydal nariadenie: „Každý návštevník, ktorý sa chce usadiť na našom požehnanom ostrove, je povinný vysloviť nejaký úsudok. Ak sa rozsudok ukáže ako pravdivý, cudzinca treba zastreliť; ak sa rozsudok ukáže ako nepravdivý, mal by byť obesený.“ Ak sa bojíš - mlč a vráť sa domov!
Otázka znie: aký úsudok treba urobiť, aby sme zostali nažive a usadili sa na ostrove?
pravdivostné tabuľky
Teraz sa dostávame k veľmi dôležitej a ťažkej otázke. Zložitá veta je tiež myšlienka, ktorá niečo potvrdzuje alebo popiera, a ktorá sa preto ukáže ako pravdivá alebo nepravdivá. Otázka pravdivosti jednoduchých úsudkov leží mimo sféry logiky – odpovedajú na ňu konkrétne vedy, každodenná prax či pozorovanie. Je výrok „Všetky veľryby sú cicavce“ pravdivý alebo nepravdivý? Musíme sa opýtať biológa a ten nám povie, že tento návrh je pravdivý. Je tvrdenie „Železo klesá vo vode“ pravdivé alebo nepravdivé? Musíme sa obrátiť na prax: vhoďme kúsok železa do vody a presvedčime sa, že tento úsudok je pravdivý.
Stručne povedané, otázka pravdivosti alebo nepravdivosti jednoduchých výrokov je vždy nakoniec rozhodnutá odvolaním sa na realitu, na ktorú odkazujú.
Ako však zistiť pravdivosť alebo nepravdivosť zložitého tvrdenia? Predpokladajme, že máme nejakú spojku „a & b“ a vieme, že výrok „a“ je pravdivý a výrok „b“ je nepravdivý. Čo možno povedať o tomto komplexnom vyhlásení ako celku? Ak by v skutočnosti existoval predmet, na ktorý odkazuje odkaz „&“, potom by neboli žiadne ťažkosti: po nájdení tohto objektu by sme mohli povedať: „Áno! Spojka je pravdivá!"; keď by sme prehľadali všetko okolo a nenašli zodpovedajúci objekt, povedali by sme: "Konjunkcia je nepravdivá." Faktom však je, že logické spojovacie prostriedky - ako v skutočnosti spojenia prirodzeného jazyka - v skutočnosti nič nezodpovedá! Sú to nami vynájdené prostriedky komunikácie myšlienok alebo viet, sú to nástroje myslenia, ktoré v realite nemajú obdobu. Preto otázka pravdivosti alebo nepravdivosti tvrdení s logickými spojkami nie je otázkou konkrétnych vied alebo materiálnej praxe, ale čisto logická otázka. A logika rozhoduje.
Súhlasíme alebo akceptujeme dohody o tom, kedy sú vyhlásenia s jedným alebo druhým logickým spojivom považované za pravdivé a kedy sú nepravdivé. Samozrejme, tieto dohody sú založené na určitých racionálnych úvahách, ale je dôležité mať na pamäti, že sú to naše svojvoľné dohody, prijaté pre pohodlie, jednoduchosť, plodnosť, ale nie sú nám vnucované realitou. Preto môžeme tieto dohody zmeniť a urobiť tak, keď to uznáme za vhodné.
dohody, ktoré v otázke, sú vyjadrené pravdivostnými tabuľkami pre logické spojky, ktoré ukazujú, v ktorých prípadoch sa tvrdenie s jedným alebo druhým spojovacím prvkom považuje za pravdivé a v ktorých prípadoch za nepravdivé. V tomto prípade sa spoliehame na pravdivosť alebo nepravdivosť jednoduchých úsudkov, ktoré sú súčasťou komplexného úsudku. "Pravda" ("a") a "nepravda" ("l") sa nazývajú "pravdivé hodnoty" výroku: ak premenná predstavuje pravdivý výrok, nadobúda hodnotu "pravda"; ak je nepravda, nadobúda hodnotu „nepravda“. Každá premenná môže predstavovať buď pravdu alebo nepravdu.
Negácia sa vzťahuje na jeden návrh. Tento návrh môže byť pravdivý alebo nepravdivý, takže tabuľka negácií vyzerá takto:
Ak je pôvodný výrok pravdivý, potom súhlasíme s tým, že jeho negáciu budeme považovať za nepravdivú; ak je pôvodný výrok nepravdivý, potom jeho negáciu považujeme za pravdivú. Zdá sa, že takáto dohoda zodpovedá našej intuícii. Tvrdenie „Byron bol anglický básnik“ je skutočne pravdivé, takže jeho popretie „Nie je pravda, že Byron bol anglický básnik“ je prirodzene nepravdivé. Propozícia „Atény sú v Taliansku“ je nepravdivá, takže jej negácia „Nie je pravda, že Atény sú v Taliansku“ sa prirodzene považuje za pravdivú.
Pravdivé tabuľky pre zvyšok logických spojovacích prvkov sú pre pohodlie uvedené spoločne:
Všetky tu uvedené odkazy spájajú dva rozsudky. Existujú štyri možnosti pre dva výroky: oba môžu byť pravdivé; jeden je pravdivý, druhý je nepravdivý; jedno je nepravdivé, druhé je pravdivé; obe sú falošné. Všetky tieto možnosti sa považujú za prípady 1-4.
Spojka je pravdivá iba v jednom prípade – keď sú pravdivé oba jej výrazy. Vo všetkých ostatných prípadoch to považujeme za nepravdivé. Celkovo to vyzerá celkom prirodzene. Predpokladajme, že poviete svojmu vyvolenému: "Vezmem si ťa a budem ti verný." Naozaj ste sa oženili s touto osobou a zostali ste jej verní. Je spokojný: neoklamali ste ho, konjunkcia ako celok je pravdivá. Druhý prípad: vydali ste sa, ale nezostaňte verní svojmu manželovi. Je rozhorčený, verí, že ste ho oklamali – spojka je nepravdivá. Tretí prípad: nevzal si si toho, koho si sľúbil, hoci mu zostávaš verný a uchovávaš si spomienky na svoju prvú a, žiaľ, jedinú lásku. Opäť je naštvaný: oklamal si ho – spojka je nepravdivá. Nakoniec štvrtá možnosť: nevzali ste si ho a, samozrejme, nezostaňte mu verní. Váš obdivovateľ zúri: drzo ste ho oklamali – spojka je falošná.
Podobné úvahy odôvodňujú pravdivostnú tabuľku pre disjunkciu. Situácia s implikáciou je o niečo komplikovanejšia. Zamyslite sa nad návrhom: "Ak vyšlo slnko, vonku sa rozsvietilo." Implikácia tu spája dva jednoduché výroky „Slnko vyšlo“ a „Vonku sa stalo svetlom“. Keď sú obe pravdivé, potom považujeme implikáciu ako celok za pravdivú. Teraz druhý prípad: vyšlo slnko, ale vonku nie je svetlo. Ak sa to náhle stalo, budeme považovať našu implikáciu za falošnú: zjavne sme niečo nebrali do úvahy, keď sme formulovali takéto spojenie medzi dvoma rozsudkami. Tretí prípad: slnko nevyšlo, ale vonku sa rozsvietilo. Vyvráti to našu implikáciu? Ďaleko od toho je to celkom možné: pouličné osvetlenie sa rozsvietilo, stalo sa svetlom, ale to nie je v rozpore so spojením medzi východom slnka a nástupom denného svetla. Implikáciu možno považovať za pravdivú. Nakoniec štvrtý prípad: slnko nevyšlo a nebolo svetlo. To je celkom prirodzené, naša implikácia zostáva pravdivá.
Vysvetlením pravdivostných tabuliek pre logické spojky sme sa pokúsili ukázať, že tieto tabuľky do určitej miery zodpovedajú našej lingvistickej intuícii, nášmu chápaniu významu spojok prirodzeného jazyka. Stupeň takejto zhody by sa však nemal preceňovať. Konjunkcie prirodzeného jazyka sú vo svojom sémantickom obsahu oveľa bohatšie a jemnejšie ako logické spojky. Títo ľudia chápu len tú časť tohto obsahu, ktorá sa týka korelácií pravdivosti alebo nepravdivosti jednoduchých výrokov. Jemnejšie sémantické súvislosti nie sú brané do úvahy pri logických spojeniach. Preto je niekedy možný pomerne veľký nesúlad medzi logickými spojkami a spojkami v prirodzenom jazyku. Pomocou týchto balíkov sa vytvárajú programy pre počítače a teraz môžete pochopiť, aká časť nášho myslenia je schopná naučiť sa a používať počítač.
5) Ako rozdeliť 7 jabĺk rovnomerne medzi 12 chlapcov bez toho, aby ste jablko rozrezali na 12 kusov? (Uložená podmienka má vylúčiť najjednoduchšie riešenie: nakrájajte každé jablko na 12 kúskov a dajte každému chlapcovi jeden plátok z každého jablka, alebo 6 jabĺk prekrojte na polovicu a 7. jablko nakrájajte na 12 kúskov.)
6) Na tom istom ostrove žijú dva kmene – bravúrne, ktoré vždy hovoria pravdu, a klamári, ktorí vždy klamú. Na ostrov prichádza cestovateľ, ktorý o ňom vie a po stretnutí miestny obyvateľ, pýta sa ho: "Kto si, z akého kmeňa?" "Mám sa dobre chlape!" - hrdo odpovedá domorodec. "To je dobré," radoval sa cestovateľ, "budeš mojím sprievodcom!" Prechádzajú sa po ostrove a zrazu v diaľke vidia ďalšieho domorodca. "Choď sa ho opýtať," hovorí cestovateľ svojmu sprievodcovi, "z akého je kmeňa?" Dirigent bežal späť a hlásil. "Povedal, že je dobrý chlap!" "Aha," pomyslel si cestovateľ, "teraz presne viem, z akého kmeňa si!"
Ako cestovateľ uhádol, kto je jeho sprievodcom?
Sformulujme základné pravidlá tvorby nových viet z pôvodných pomocou hlavných spojok a spojok obvyklého hovoreného jazyka. Samotné pravidlá ruského jazyka nestačia, pretože niekedy do tej istej vety formulovanej v ruštine dávame rôzne významy. Zvážte napríklad obrat reči „Ak, tak“, pomocou ktorého formulujeme dve vety:
Otázka: hovoria tieto vety to isté, alebo existuje situácia, keď jedna z viet je pravdivá a druhá nepravdivá? Inými slovami, otázkou je, či sú tieto vety rovnocenné.
Kým jasne nedefinujeme pravidlá konštrukcie takýchto fráz, na otázku nemožno jednoznačne odpovedať. Na jednej strane pri formulovaní prvej vety často myslíme aj vetu druhú. Pozrime sa však na tieto návrhy z druhej strany.
Najprv si napíšme vetné schémy. K tomu sa veta „Miška zloží skúšku s výborným prospechom“ označí písmenom ALE, a veta "Mišo pôjde na diskotéku" - s písm AT. Potom je možné tieto návrhy schematicky zapísať takto:
I) „Ak ALE, potom AT", 2) „Ak nie ALE, potom nie AT".
Teraz poďme nahradiť ALE a AT iné predpovede. Namiesto ALE vziať: "Stôl je vyrobený z dubu", namiesto toho AT"Stôl je drevený." Potom dostaneme ďalšiu dvojicu viet:
Keďže tieto vety sú zostavené podľa rovnakých schém ako prvé dve, znamená to, že ekvivalencia prvého páru viet musí znamenať ekvivalenciu druhého páru. Prvá veta v bežnej reči je však očividne pravdivým tvrdením, keďže dub je strom, a druhá veta je nepravdivá v konvenčnom zmysle, pretože stôl môže byť vyrobený z iného stromu, napríklad z borovice.
Vo všeobecnom prípade teda vety zostavené podľa schém „Ak ALE, potom AT" a „Ak nie ALE, potom nie AT, nemožno logicky považovať za rovnaké.
Takže, aby sa odstránila nejednoznačnosť pri stavbe viet, sú potrebné jasné pravidlá na určenie pravdivosti alebo nepravdivosti výslednej vety v závislosti od pravdivosti alebo nepravdivosti pôvodných viet. ALE a AT.
Dajme odborom „a“, „alebo“, ako aj schémam „keby, vtedy“, „keby a len vtedy“, „nie je pravda, že“ jednoznačný logický význam.
Nechajte písmená A a B predstavujú ľubovoľné vety. Začnime jednoduchými situáciami.
1. Negatívne znamenie~| (-i) alebo. Výraz ~li(-L, ALE) znie: "nie A" alebo "nie je pravda, že A".
Hodnoty ponuky ~A definovať tabuľku, z ktorej je vidieť, že návrh ~l pravda presne vtedy, keď pôvodná veta ALE nepravda:
Pri formulovaní viet, ktoré majú jednoduchú štruktúru, môže byť častica „nie“ niekedy „prenesená vo vete“. Napríklad návrh
"Nie je pravda, že číslo V6 je celé číslo" možno formulovať takto: "Číslo n/6 nie je celé číslo." Aj veta „Nie je pravda, že priamo a a b pretínať“ formulovať: „Priamy a a b ns psrssskayut“.
Objekt, ktorý nemá nejakú vlastnosť, sa často nazýva výraz s časticou „nie“. Napríklad celé číslo, ktoré nie je párne, sa nazýva nepárne. Preto je rovnako správne povedať „Celé číslo je nepárne“ a „Celé číslo nie je párne“. Ale bez ustanovenia, že číslo je celé číslo, máme vety, ktoré sa líšia významom. Napríklad „Číslo 0,2 nie je párne“ je pravda a veta „Číslo 0,2 je nepárne“ je nepravdivá.
Zvážte frázu " nepárna funkcia". Tu máme nezávislý výraz a slovo „nepárne“ nemožno písať a vyslovovať oddelene, to znamená, že veta „Funkcia je nepárna“ nie je negáciou vety „Funkcia je párna“. V skutočnosti existuje príklad funkcie, kde sú obe vety nepravdivé. Napríklad funkcia )m=x+ nie je párne ani nepárne (skúste to vysvetliť).
2. spojovacie znamenie l. Výraz Llv znie: "A a B". Niekedy sa spojka označuje &.
Hodnoty ponuky AlV v závislosti od jeho komponentov A a B definované tabuľkou:
Teda návrh AlV pravdivé iba v jednom prípade, keď obe vety ALE a AT pravda. V opačnom prípade je táto veta nepravdivá. Pri formulovaní návrhu AlV namiesto spojenia „a“ môžete použiť iné zväzky, ktoré majú rovnaký logický význam súčasného vykonávania každej z viet: „a“, „ale“.
Príklad 1.3.1. Veta „Číslo 111 ns je deliteľné 2, ale je deliteľné 3 "- symbolicky môžete napísať 1 AlV, kde ALE= "111 je deliteľné 2", B = " 111 je deliteľné 3".
3. disjunkčný znak v. Výrazy AvB znie: "A alebo B".
Hodnoty ponuky AvB definované tabuľkou:
Z tabuľky je vidieť, že ponuka "ALE alebo AT" pravda, ak je aspoň jedna z viet ALE alebo AT pravda, a v prípade, že obe vety ALE a AT falošný, návrh AvB nadobúda falošnú hodnotu.
Niekedy z obsahu viet ALE a AT Z toho vyplýva, že vety nemôžu byť pravdivé obe súčasne. V tomto prípade je veta formulovaná pomocou spojenia „alebo“. Napríklad veta „Číslo je buď kladné alebo záporné“ má tiež tvar "ALE alebo AT“, no zároveň to má taký význam, že číslo nemôže byť súčasne kladné aj záporné.
Vyššie formulované pravidlá zjavne nevyvolávajú otázky. Prejdime k schéme zvažovanej na začiatku odseku „Ak ALE, potom AT".
4. implikačný znak-Výraz A->B znie: "Ak A, tak B." Niekedy sa na označenie tohto zväzku používa iný zápis šípky =>, ako aj znak z>. Spolu s frázou „Ak ALE, potom AT" použite iné podobné: "B, keď A», "A len keď B."
Motivujeme definovanie vetných hodnôt A->B. Hlavným problémom, ktorý tu vzniká, je priradenie významu vete A-»# pre prípady, keď ALE falošný. Ak chcete rozumne určiť významy, pripomeňte si správnu vetu zvažovanú vyššie: "Ak je stôl dubový, potom je drevený." Tu ALE= "Dubový stôl", B ="Drevený stôl". Nech je stôl vyrobený z borovice. Potom ALE falošné, AT pravda. Nech je stôl železný. Potom ALE falošné a AT falošný. V oboch prípadoch ponuka ALE je nepravdivá a výsledná veta „Ak ALE, potom AT" pravda. Oba tieto prípady sú však reálne možné. Samozrejme, je možné, že máme dubový stôl Ach B pravda zároveň. Tu je príklad pravdivej vety A->B, kedy A=u> B=l, neexistuje.
Teda prípady, kedy A=u, B=u, alebo A=l y B=u, alebo A = l, V=l, musí určiť pravdivú vetu A len jeden prípad, kedy
ktoré A=u, V-l, znamená, že návrh A->B falošný.
Takže v matematickej logike sú hodnoty vety T-dané nižšie uvedenou tabuľkou:
V nasledujúcom texte sa uvádza veta „Ak ALE, potom AT" budú chápané týmto spôsobom. Tu je návrh ALE volal parcela, alebo stave, a B - záver.
Príklad 13.2. Rodičia sľúbili svojmu synovi Petyovi: ak úspešne dokončí univerzitu, kúpia mu auto. Je známe, že syn neukončil vysokú školu, no rodičia mu predsa kúpili auto. Dá sa tvrdiť, že slová rodičov boli lož?
Ak chcete odpovedať na otázku, zvážte vety: ALE= "Môj syn končí univerzitu", B ="Kúpi mu auto." V čom A = 1, B = u. Sľub rodiča je A^>B. Podľa definície táto veta pre dané hodnoty ALE a AT pravda (tretí riadok tabuľky). Preto sú z hľadiska logiky slová rodičov správne. Ak by však ich syn vyštudoval inštitút, ale nekúpili mu auto, v tomto prípade (a v žiadnom inom prípade) by sa sľub nesplnil.
Teraz sa pozrime na ďalšie logické spojenie, ktoré sa často myslí, keď ľudia hovoria slová „ak, tak“. Napríklad, ak by v podmienkach príkladu 1.3.2 rodičia predpokladali, že ak ich syn Peťa neabsolvuje inštitút, nekúpia mu auto, bolo by správne povedať: „Auto sa kúpi len vtedy, ak Peťa vyštuduje inštitút."
5. Znak ekvivalencie alebo. Výraz A znie: "A vtedy a len vtedy, ak B." Možné sú aj iné formulácie: „A vtedy a len vtedy, ak B», "A presne vtedy, keď B" atď.
Hodnoty ponuky AB dané tabuľkou:
V prípadoch, kedy ALE a AT súhlasiť rovnaké hodnoty, veta AB pravda, inak je veta nepravdivá.
Je ľahké vidieť, že fráza "ALE ak a len vtedy AT" pozostáva z dvoch fráz: "ALE potom, keď AT" a "ALE iba ak AT". Prvá veta je napísaná B->A, a druhý A^>B. Tieto dve vety platia súčasne v dvoch prípadoch: A=u, B=u, ako aj A = 1, B = 1.
Definovali sme teda päť znakov: l (konjunkcia), v (disjunkcia), -> (implikácia), (ekvivalencia), 1 (negácia), ktoré sú tzv
logické rozsievače. Tieto znaky umožňujú z týchto ponúk ALE a AT dostávať nové ponuky. V tomto prípade je hodnota (pravda alebo nepravda) novej vety jednoznačne určená hodnotami viet ALE a AT. Pravidlo na získanie novej vety z pôvodných viet je tzv logická operácia. Každé z logických spojovacích prvkov teda definuje logickú operáciu, ktorá má rovnaký názov ako príslušné spojenie.
Uvažované operácie možno použiť pre príkazy aj pre predikáty. Napríklad spojením dvoch jednomiestnych predikátov " Číslo, t viac 3" a "Číslo X zápor“ pomocou znamienka disjunkcie dostaneme jednomiestny predikát: „Číslo X viac ako 3 alebo ogre spodná bielizeň. Jediná vec je, že na spojenie dvoch predikátov s logickým spojivom je potrebné, aby bola uvedená nejaká spoločná oblasť D platné objekty, ktoré je možné do týchto predikátov dosadiť namiesto premenných.
Definujeme ešte dve logické spojky, tzv quitora.mi, ktoré nám umožňujú získavať výroky z jednomiestnych predikátov. Pojem „kvantifikátor“ je preložený z latinčina znamená "koľko". Preto sa tieto znaky používajú na zodpovedanie otázky, koľko objektov vyhovuje návrhu. A pri- všetky alebo aspoň jeden.
Zoberme si ľubovoľný predikát, z ktorého vyberieme premennú, od ktorej závisí jej hodnota. Označme to Oh).
6. Všeobecný kvantifikátor V. Tento znak pochádza z anglické slovo AN a je skratkou z nasledujúcich slov: „váha“, „každý“, „akýkoľvek“, „akýkoľvek“.
Výraz Vj&4(y) znamená, že predikát oh) beží pre všetky platné objekty X. Znie: „Pre všetky x a od x“.
7. Kvantifikátor existencie 3. Tento znak pochádza z anglického slova Existovať a je skratkou z nasledujúcich slov: „existuje“, „existuje“, „aspoň jeden“, „niektoré“.
Výraz 3x4(*) znamená, že predikát oh) sa vykoná aspoň pre jeden z platných objektov.v. Znie: "Existuje X a od X."
Príklad 1.3.3. Nechajte premennú X označuje študenta vysokej školy. Zvážte ponuku oh)= "Študent l: má auto." Potom VxA(x) znamená, že všetci vysokoškoláci majú auto. Toto je nepravdivé tvrdenie. Veta EhA(x) znamená, že niektorí študenti majú auto, čo je pravdivé tvrdenie.
Pôvodne sme teda mali predikát, ktorého hodnota závisela od hodnoty premennej dr. Po vykonaní operácií boli získané príkazy, ktorých hodnoty už nezávisia od premennej X.
Nech existuje vzorec L(x), obsahujúci voľnú premennú X. Potom tvrdenie, že vzorec oh) je identicky pravdivé, bude sa stručne písať Vj&4(jc).
Operácia získania vety pomocou kvantifikátorov je tzv kvantifikácia. Pri používaní výrazov wow(x) a 3 xA(x) tiež povedať: "Kvantifikátor bol zavesený na premennej x" alebo "Premenná x je viazaná kvantifikátorom."
Všimnite si, že kvantifikátorové operácie sú použiteľné nielen pre jednomiestne predikáty. Ak je daný dvojmiestny predikát A(hu) potom môžete naviazať premennú l - kvantifikátor a vytvoriť vetu /xA(xy), ktorého pravdivosť bude závisieť len od jednej premennej y, a budeme mať jednomiestny predikát. V tomto zázname premenná X volal spojené kvantifikátorom a premenná y - zadarmo. Vo všeobecnom prípade, keď použijeme operáciu kvantifikátora na ktorúkoľvek z premenných predikátu /7, dostaneme predikát (n-1).
S kvantifikátormi možno priradiť ľubovoľný počet premenných. Ak máme dvojmiestny predikát A(hu) potom formálne môžete získať 8 výpisov.
viazanie každej premennej s nejakým kvantifikátorom: Vjc fyA(xy), VyVxA(xy), Vx3yA(xy), 3yVxA(xy), 3xVyA(xy), /yExA(xy), ZxZuA(xy), ZuZxA(xy). Niektoré vety majú rovnaký význam, napríklad prvá a druhá (predikát ALE musí vyhodnotiť ako pravdivé pre všetky hodnoty * a y), ako aj pre siedmu a ôsmu. Zostávajúce výrazy vo všeobecnom prípade poskytujú tvrdenia s odlišnou pravdou.
Príklad 1.3.4. Nech sú v triede len dvaja chlapci - Peťa a Kolja. Pre nezávislé rozhodnutie boli zadané tri úlohy, označte ich číslami 1, 2, 3. Peťa riešil úlohy 1 a 2 a Kolja jednu úlohu s číslom 3. Predstavme si predikát A(hu)čo znamená, že chlapec * problém vyriešil r. Tu je premenná X znamená meno chlapca a premennú pri- číslo úlohy. Zvážte nasledujúce tvrdenia.
Vx3yA(xy)= „Každý chlapec vyriešil aspoň jeden problém“ je pravdivé tvrdenie, pretože Peťa vyriešil dva problémy a Kolja aspoň jeden.
V_yEx,4(;c,y) = "Každú úlohu vyriešil aspoň jeden žiak" - pravda, takže úlohu číslo 1 vyriešil Peťa, úlohu číslo 2 vyriešil aj Peťo a úlohu 3 vyriešil Kolja.
Z uvažovaného príkladu môžeme usúdiť, že poradie zápisu kvantifikátorov ovplyvňuje logický význam vety. Preto jasná formulácia vety musí jednoznačne predpokladať poradie, v ktorom idú kvantifikátory všeobecnosti a existencie.
Cvičenie. Sami analyzujte význam výrokov z príkladu 1.3.4 za predpokladu, že Petya vyriešil problémy s číslami 2 a 3.
Vo všeobecnosti z predikátu oh) môžete získať dve vyhlásenia - /xA(x) a 3x4(x). Písaný vzorec je však veľmi často oh) sa chápe práve ako vyjadrenie Vx4(.x), hoci všeobecný kvantifikátor sa v písaní alebo uvádzaní vynecháva. Napríklad písanie q-2 > 0 znamená, že druhá mocnina akéhokoľvek reálneho čísla je nezáporná. Úplný záznam vyhlásenia je nasledovný: Ulg(dg? 0). Nahrávanie (4x + 6r): 2, kde*, y - celé čísla, predpokladá, že zadaná suma je vždy deliteľná 2, teda párne. Aby sme to zdôraznili, mali by sme napísať V*Vy((4.x + 6jy):2).
Matematické znaky a znaky logických spojív definované v posledných dvoch odsekoch tvoria abecedu matematického jazyka.
LOGICKÉ ODKAZY- symboly logických jazykov používaných na vzdelávanie zložité výpovede(vzorce) z elementárnych. Zväzky prirodzeného jazyka zodpovedajúce týmto symbolom sa tiež nazývajú logické spojky. Väčšinou sa používajú také logické spojky ako spojka (spojka „a“, symbolické označenia: &, ∧ a bodka v tvare násobilky, ktoré sa pri písaní spojky často vynechávajú ALE a AT ako AB), disjunkcia (neprísne spojenie „alebo“, označované ako „∨“), implikácia („ak ..., tak“, označovaná znakom „⊃“ a rôznymi druhmi šípok), negácia („je to nie je pravda, že ... “, označené: , ~ alebo čiarou nad negovaným výrazom). Z nich je negácia jediným (unárnym) spojivom. Ostatné sú dvojité (binárne). Logické spojky môžu byť v zásade ľubovoľne lokálne, ale v praxi sa veľmi zriedkavo používajú viac ako binárne spojky. V klasickej logike ( Logika , výroková logika ) akékoľvek viacmiestne logické spojky sú vyjadrené v zmysle vymenovaných. Určitý praktický význam má použitie ternárneho logického spojovacieho prvku, nazývaného podmienená disjunkcia, spájajúceho tri výroky A, B a OD a to znamená ALE kedy AT, a OD v prípade, že nie B“ alebo formálne: ( B⊃A)&(B⊃C) (Sidorenko E.A. Výrokový kalkul s podmienenou disjunkciou. - V knihe: Metódy logickej analýzy. M., 1977).
Klasická logika považuje logické spojovacie prvky extenzívne (ignorujúc zmysluplný význam výrokov, ktoré spájajú) za pravdivostné funkcie určené pravdivostnými hodnotami výrokov, ktoré spájajú. S dvomi pravdivostnými hodnotami v tejto logike 1 (pravda) a 0 (nepravda) výroky ALE a AT môže mať štyri možné sady usporiadaných pravdivostných hodnôt:<1,1>, <1,0>, <0,1>, <0,0>. Funkcia výrokovej pravdy priraďuje každej uvedenej množine jednu z pravdivostných hodnôt - 1 alebo 0. Takýchto funkcií je celkovo 16. Spojka priraďuje výrazu ALE&AT hodnotu 1 iba ak obe ALE, a AT sú pravdivé, t.j. obe majú hodnotu 1, inak hodnotu ALE&AT je 0. Disjunkcia Α ∨ AT, naopak, je nepravdivý iba v jednom prípade, keď sú nepravdivé obe ALE, a AT. implikácia ALE⊃ AT je nepravdivý iba vtedy, keď je pravdivý (predchádzajúci) ALE a nepravdivé (následné) AT. V iných prípadoch ALE⊃ AT nadobúda hodnotu 1. Zo štyroch jednomiestnych funkcií je zaujímavá len negácia, ktorá mení význam výroku na opačný: keď ALE je pravda, A je nepravda a naopak. Všetky ostatné unárne a binárne klasické funkcie možno vyjadriť pomocou reprezentovaných funkcií. Keď nám systém logických spojív prijatých v zodpovedajúcej sémantike umožňuje definovať všetky ostatné, nazýva sa funkčne úplný. Kompletné systémy v klasickej logike zahŕňajú najmä konjunkciu a negáciu; disjunkcia a negácia; implikácia a negácia. Konjunkcia a disjunkcia sú vzájomne definovateľné vďaka ekvivalenciám ( ALE&AT)≡(ALE∨AT) a (A∨B)≡( ALE&B), nazývané de Morganove zákony, a tiež: (Α⊃Β)≡( Α ∨AT), (ALE&AT)≡(ALE⊃B), ( Α ∨AT)≡((ALE⊃AT)⊃A). Akákoľvek rovnocennosť formulára A≡ AT platí len vtedy, keď je spojka platná (vždy pravdivá) ( ALE⊃AT)&(AT⊃A).
Funkcie antidisjunkcia a antikonjunkcia, definované ako ( ALE∨AT) a ( ALE&AT), predstavujú aj každý samostatne funkčne ucelený systém zväzkov. Táto posledná okolnosť už bola známa Ch.Pierce (nepublikované za jeho života, dielo z roku 1880) a znovu ho objavil H.M.Sheffer. Použitím antidisjunkcie ako jediného logického spojiva vytvoril Schaeffer v roku 1913 kompletný propozičný kalkul. Označuje sa antidisjunkcia ALE∣AT a nazývame Schaefferovu mŕtvicu, pričom tento výraz čítame ako „ne- A a nie- B". J. G. P. Nicod použil rovnaký zápis pre antikonjunkciu („Nie je pravda, že v rovnakom čase ALE a B“) a len s pomocou tohto zväzku v roku 1917 sformuloval kompletný návrhový kalkul s jedným (celkom!) axióma a jedno vyvodzovacie pravidlo. Schaefferov ťah je teda v podstate veľmi vertikálna čiara, ktorá podľa rôznych autorov môže označovať antidisjunkciu aj antikonjunkciu.
Extenzialita logických spojív im dáva jedinečnosť, zjednodušuje problém konštrukcie logických kalkulov a umožňuje pre nich riešiť metateoretické problémy konzistencie, rozhodnuteľnosti a úplnosti (pozri obr. metalogic ). V niektorých prípadoch však pravdivo-funkčná interpretácia spojív vedie k výraznému rozporu s tým, ako sú chápané v prirodzenom jazyku. Naznačený pravdivý výklad implikácie nás teda núti uznať za pravdivé vety tvaru „Ak ALE, potom B» aj v prípade, keď medzi výrokmi ALE a AT(a podľa toho aj udalosti, o ktorých hovoria) neexistuje žiadna skutočná súvislosť. Dosť na ALE bol nepravdivý resp AT- pravda. Preto z dvoch viet: „Ak ALE, potom AT» A keď AT, potom ALE“, aspoň jeden musí byť akceptovaný ako pravdivý, čo sa nezhoduje so zvyčajným používaním podmieňovacieho spojenia. Implikácia sa v tomto prípade špecificky nazýva „hmotná“, čím sa odlišuje od podmieňovacej spojky, ktorá predpokladá, že medzi predchodcom a následkom pravdivého podmieňovacieho výroku existuje skutočná súvislosť. Zároveň sa dá materiálna implikácia výborne využiť v mnohých kontextoch, napríklad v matematických, kedy sa nezabúda na jej špecifické črty. V niektorých prípadoch však práve kontext neumožňuje interpretovať podmieňovaciu spojku ako vecnú implikáciu naznačujúcu vzťah výrokov. Na analýzu takýchto kontextov je potrebné vytvoriť špeciálne neklasickú logiku napríklad relevantné (porov. Relevantná logika ), v jazyku ktorého sa namiesto vecnej implikácie (alebo spolu s ňou) zavádzajú ďalšie implikácie, ktoré sú chápané intenzionálne (kontentálne) a ktorých správnosť nie je možné pravdivo-funkčne podložiť. Iné logické spojky možno interpretovať aj intenzionálne.
Literatúra:
1. Kostol A.Úvod do matematickej logiky, zväzok 1. M., 1960;
2. Kari H. Základy matematickej logiky. M., 1969.
E.A. Sidorenko
Z gramatického hľadiska je výrok oznamovacia veta.
Zložité vety sú zostavené z výrazov označujúcich nejaké pojmy a logických spojív. Slová a obraty NIE, A, ALEBO, AK ... POTOM, POTOM A LEN POTOM, EXISTUJE, VŠETKO a niektoré ďalšie sa nazývajú logické spojky (operátory) a označujú logické operácie, pomocou ktorej sa z jednej vety stavajú ďalšie.
Vety bez logických spojok sú elementárne, nemožno ich deliť na časti tak, aby každá z častí bola zároveň vetou. Elementárne výroky sa nazývajú aj výroky (rozsudky). Výkazy obsahujú informácie o objektoch, javoch, procesoch.
Elementárna výpoveď sa skladá z podmetu (logického podmetu) – to, o čom sa vo výroku hovorí, a predikátu (logického predikátu) – čo sa vo výroku o podmete potvrdzuje alebo popiera.
Výrok je teda forma myslenia, v ktorej sa potvrdzuje alebo popiera logické spojenie medzi pojmami, ktoré vystupujú ako subjekt a predikát tohto výroku. Korešpondencia alebo nekorešpondencia tohto spojenia so skutočnosťou robí výrok (úsudok) pravdivým alebo nepravdivým.
Logická súvislosť medzi podmetom a predikátom výroku sa zvyčajne vyjadruje vo forme väzby JE alebo NIE JE, hoci v samotnej vete môže táto väzba absentovať, ale len naznačená. Podmet výpovede môže byť zároveň vyjadrený nielen podmetom vo vete, rovnako ako môže byť prísudok vyjadrený nielen prísudkom (môžu to byť iné členy vety). Čo sa vo vete považuje za podmet a čo je predikátom výroku, určuje logické myslenie. Logický prízvuk súvisí s významom obsiahnutým vo vete pre hovoriaceho alebo poslucháča.
Podľa formy sú príkazy rozdelené na jednoduché (majú logickú formu " S existuje P" alebo " S nejedia P", kde S- predmet P- predikát) a zložený (gramaticky vyjadrený v zložených vetách).
Príklad jednoduchého výroku: "Všetky medvede milujú med", zložité - "Niektoré medvede milujú med a mladé bambusové výhonky."
Jednoduché výroky vám umožňujú vyjadriť nasledujúce typy výrokov:
Atributívne výroky – vyjadrujú príslušnosť alebo nepatričnosť vlastnosti k objektu alebo triede (napr. Zem je planéta);
Výroky o vzťahoch – hovoria o existencii vzťahu medzi objektmi (napr. 3<5 );
Existenčné výroky (existenciálne výroky) – hovoria o existencii alebo neexistencii objektu alebo javu.
Operácie na množine návrhov.
Z elementárnych príkazov možno pomocou logických operácií robiť zložité výroky. Elementárne výroky, ktoré sú súčasťou komplexného výroku, sú spojené logickými operátormi nie podľa ich sémantického popisu, ale iba podľa ich pravdivostných hodnôt. Zložené príkazy sú teda funkciami elementárnych príkazov, ktoré sú v nich obsiahnuté. Všetky operácie vo výrokovej logike popisuje iba pravdivostná tabuľka.
Operácie na súbore návrhov zahŕňajú:
· Odmietnutie. Pre neho je pravdivostná tabuľka:
V prirodzenom jazyku sa najčastejšie interpretuje spojením „a“.
· Disjunkcia dvoch elementárnych výrokov je pravdivá vtedy a len vtedy, ak je pravdivý aspoň jeden z elementárnych výrokov. Niekedy sa nazýva logické sčítanie alebo logické maximum. Tabuľka pravdy disjunkcie vyzerá takto:
· Operácia XOR je daná nasledujúcou pravdivostnou tabuľkou, je pravdivá, keď je pravdivý iba jeden z operandov. Táto operácia sa tiež nazýva striktná disjunkcia alebo logická nerovnosť.
V tejto forme sú často formulované matematické vety. Ak je veta formulovaná iným spôsobom, potom ju možno preformulovať v naznačenej forme bez toho, aby stratila svoju podstatu.
LOGICKÉ SPOJENIA - symboly logických jazykov používané na vytváranie zložitých výrokov (vzorcov) z elementárnych. Zväzky prirodzeného jazyka zodpovedajúce týmto symbolom sa tiež nazývajú logické spojky. Zvyčajne sa takéto logické spojky používajú ako spojka (spojka „a“, symbolické označenia: &, ∧ a bodka v tvare násobilky, ktoré sa pri písaní spojky A a B ako AB často vynechávajú), disjunkcia (ne- striktné spojenie „alebo“, označované ako „∨“), implikácia („ak..., tak“, označená znakom „⊃“ a rôznymi druhmi šípok), negácia („nie je pravda, že...“ , označené ako: , ~ alebo čiara nad negovaným výrazom) . Z nich je negácia jediným (unárnym) spojivom. Ostatné sú dvojité (binárne). Logické spojky môžu byť v zásade ľubovoľne lokálne, ale v praxi sa veľmi zriedkavo používajú viac ako binárne spojky. V klasickej logike (logika, výroková logika) sú akékoľvek viacnásobné logické spojky vyjadrené v termínoch vymenovaných. Určitý praktický význam pochádza z použitia ternárneho logického spojovacieho prvku nazývaného podmienená disjunkcia, ktorý spája tri výroky A, B a C a znamená, že „A v prípade B a C v prípad non-B» alebo formálne: (B⊃A)&(B⊃C) (Sidorenko E.A. Výrokový počet s podmienenou disjunkciou. - V knihe: Metódy logickej analýzy. M., 1977).
Klasická logika považuje logické spojovacie prvky extenzívne (ignorujúc zmysluplný význam výrokov, ktoré spájajú) za pravdivostné funkcie určené pravdivostnými hodnotami výrokov, ktoré spájajú. Vzhľadom na dve pravdivostné hodnoty tejto logiky, 1 (pravda) a 0 (nepravda), výroky A a B môžu mať štyri možné sady usporiadaných pravdivostných hodnôt:<1,1>, <1,0>, <0,1>, <0,0>. Výroková pravdivostná funkcia priraďuje každej uvedenej množine jednu z pravdivostných hodnôt - 1 alebo 0. Takýchto funkcií je celkovo 16. Spojka priraďuje výrazu A & B hodnotu 1 iba vtedy, ak sú pravdivé aj A aj B, t.j. obe majú hodnotu 1, v ostatných prípadoch je hodnota A&B 0. Naopak, disjunkcia Α ∨ B je nepravdivá iba v jednom prípade, keď sú nepravdivé A aj B. (následne) B. V ostatných prípadoch , A ⊃ B má hodnotu 1. Zo štyroch jednomiestnych funkcií je zaujímavá len negácia, ktorá mení význam výroku na opačný: keď A je pravda, A je nepravda a naopak. Všetky ostatné unárne a binárne klasické funkcie možno vyjadriť pomocou reprezentovaných funkcií. Keď nám systém logických spojív prijatých v zodpovedajúcej sémantike umožňuje definovať všetky ostatné, nazýva sa funkčne úplný. Kompletné systémy v klasickej logike zahŕňajú najmä konjunkciu a negáciu; disjunkcia a negácia; implikácia a negácia. Konjunkcia a disjunkcia sú vzájomne definovateľné vďaka ekvivalenciám (A&B)≡(A∨B) a (A∨B)≡(A&B), ktoré sa nazývajú de Morganove zákony, a tiež: (Α⊃Β)≡(Α∨B ), (A&B)≡(A⊃B), (Α∨B)≡((A⊃B)⊃A). Akákoľvek ekvivalencia tvaru A ≡ B je platná len vtedy, ak je platná (vždy pravdivá) spojka (A⊃B)&(B⊃A).
Funkcie antidisjunkcia a antikonjunkcia, definované ako (A∨B) a (A&B), každá samostatne predstavuje funkčne úplný systém spojív. Túto poslednú okolnosť poznal už Ch. Použitím antidisjunkcie ako jediného logického spojiva vytvoril Schaeffer v roku 1913 kompletný propozičný kalkul. Antidisjunkcia je označená A∣B a nazýva sa Schaefferov zdvih, pričom tento výraz čítame ako „nie-A a nie-B“. J.G.P.Nicod použil rovnaký zápis pre antikonjunkciu („Nie je pravda, že A a B sú oboje v rovnakom čase“) a s použitím iba tohto spojovacieho prvku v roku 1917 sformuloval kompletný výrokový kalkul s jednou (iba!) axiómou a jedným vyvodzovacím pravidlom. Schaefferov ťah je teda v podstate veľmi vertikálna čiara, ktorá podľa rôznych autorov môže označovať antidisjunkciu aj antikonjunkciu.
Extenzionalita logických spojív im dáva jedinečnosť, zjednodušuje problém konštrukcie logických kalkulov a umožňuje pre nich riešiť metateoretické problémy konzistencie, rozhodnuteľnosti a úplnosti (pozri Metalogic). V niektorých prípadoch však pravdivo-funkčná interpretácia spojív vedie k výraznému rozporu s tým, ako sú chápané v prirodzenom jazyku. Naznačený pravdivý výklad implikácie nás teda núti uznať za pravdivé vety tvaru „Ak A, tak B“ aj v prípade, keď medzi výrokmi A a B (a teda udalosťami, ktoré hovoríme). Stačí, že A je nepravda alebo B je pravda. Preto z dvoch viet: „Ak A, potom B“ a „Ak B, potom A“ musí byť aspoň jedna uznaná za pravdivú, čo sa nezhoduje so zvyčajným používaním podmieňovacieho spojenia. Implikácia sa v tomto prípade špecificky nazýva „hmotná“, čím sa odlišuje od podmieňovacej spojky, ktorá predpokladá, že medzi predchodcom a následkom pravdivého podmieňovacieho výroku existuje skutočná súvislosť. Zároveň sa dá materiálna implikácia výborne využiť v mnohých kontextoch, napríklad v matematických, kedy sa nezabúda na jej špecifické črty. V niektorých prípadoch však práve kontext neumožňuje interpretovať podmieňovaciu spojku ako vecnú implikáciu naznačujúcu vzťah výrokov. Na analýzu takýchto kontextov je potrebné vybudovať špeciálne neklasické logiky, napríklad relevantné (pozri Relevantná logika), v jazyku ktorých sa namiesto materiálnej implikácie (alebo spolu s ňou) zavádzajú ďalšie implikácie, ktoré sú chápaný intenzionálne (obsahovo) a ktorého správnosť nemožno zdôvodniť.pravdivo-funkčne. Iné logické spojky možno interpretovať aj intenzionálne.
E.A. Sidorenko
Nová filozofická encyklopédia. V štyroch zväzkoch. / Ústav filozofie RAS. Vedecké vyd. rada: V.S. Stepin, A.A. Huseynov, G.Yu. Semigin. M., Myšlienka, 2010, roč.II, E - M, s. 439-440.
Literatúra:
Church A. Úvod do matematickej logiky, zväzok 1. M., 1960;
Curry H. Základy matematickej logiky. M., 1969.
