Príklad 1 Určite pravdivosť výroku C
Riešenie. Zloženie zložitého príkazu obsahuje 3 jednoduché príkazy: A, B, C. Stĺpce v tabuľke sú vyplnené hodnotami (0, 1). Všetky možné situácie sú označené. Jednoduché vety sú oddelené od zložitých viet dvojitou zvislou čiarou.
Pri zostavovaní tabuľky treba dbať na to, aby nedošlo k zámene poradia úkonov; pri vypĺňaní stĺpcov sa treba pohybovať „zvnútra von“, t.j. od elementárnych vzorcov k čoraz zložitejším; posledný stĺpec na vyplnenie obsahuje hodnoty pôvodného vzorca.
| A | V | S | A+ | · S | ||
Tabuľka ukazuje, že toto tvrdenie je pravdivé, len ak A=0, B=1, C=1. Vo všetkých ostatných prípadoch je to nepravdivé.
13. Ekvivalentné vzorce.
Dve formulky A a V sa nazývajú ekvivalentné, ak majú rovnaké logické hodnoty pre akúkoľvek množinu hodnôt základných výrokov zahrnutých vo vzorci.
Ekvivalencia je označená znakom "". Pre transformáciu vzorcov na ekvivalentné zohrávajú významnú úlohu základné ekvivalencie, ktoré vyjadrujú niektoré logické operácie z hľadiska iných, ekvivalencie, ktoré vyjadrujú základné zákony algebry logiky.
Pre akékoľvek vzorce A, V, S ekvivalencie platia.
I. Základné ekvivalencie
zákon idempotencie
1-pravda
0 - nepravda
Zákon protirečenia
Zákon vylúčeného stredu
absorpčný zákon
rozdeľovacie vzorce
väzobný zákon
II. Ekvivalencie vyjadrujúce niektoré logické operácie z hľadiska iných.
de Morganov zákon
III. Ekvivalencie vyjadrujúce základné zákony algebry logiky.
komutatívny zákon
asociačné právo
distributívne právo
14. Vzorce výrokovej logiky.
Typy vzorcov v klasickej výrokovej logike- vo výrokovej logike sa rozlišujú tieto typy vzorcov:
1. Zákony(identicky pravdivé vzorce) - vzorce, ktoré pre akúkoľvek interpretáciu výrokových premenných nadobúdajú hodnotu "pravda";
2. protirečenia(identicky nepravdivé vzorce) - vzorce, ktoré pre akúkoľvek interpretáciu výrokových premenných nadobúdajú hodnotu "falošný";
3. Splniteľné vzorce- tie, ktoré preberajú význam "pravda" pre aspoň jednu množinu pravdivostných hodnôt výrokových premenných v nich zahrnutých.
Základné zákony klasickej výrokovej logiky:
1. Zákon o identite: ;
2. Zákon rozporu:
;
3. Zákon vylúčeného stredu: ;
4. Zákony komutácie a: , ;
5. Zákony distributivity sú relatívne k , a naopak: , ;
6. Zákon o odstránení pravého termínu spojky: ;
7. Zákon o odstránení nepravdivého termínu disjunkcie: ;
8. Protikladový zákon: ;
9. Zákony vzájomnej vyjadrenosti výrokových spojok: , , , , , .
Postup riešiteľnosti- metóda, ktorá umožňuje každému vzorcu určiť, či ide o zákon, rozpor alebo realizovateľný vzorec. Najbežnejším postupom riešiteľnosti je metóda pravdivostnej tabuľky. Nie je však jediný. efektívna metóda riešiteľnosť je metóda normálne formy pre výrokové logické vzorce. normálna forma formula výrokovej logiky je tvar, ktorý neobsahuje znak implikácie "". Existujú konjunktívne a disjunktívne normálne formy. Spojkový tvar obsahuje iba spojkové znamienka "". Ak vzorec zredukovaný na konjunktívnu normálnu formu obsahuje podformulu tvaru , potom je celý vzorec v tomto prípade rozpor. Disjunktívna forma obsahuje iba disjunkčné znamienka "". Ak vzorec redukovaný na disjunktívnu normálnu formu obsahuje podformulu tvaru , potom je celý vzorec v tomto prípade zákona. Vo všetkých ostatných prípadoch je vzorec splniteľný vzorec.
15. Predikáty a operácie s nimi. Kvantifikátory.
Nazýva sa veta, ktorá obsahuje jednu alebo viac premenných a ktorá je pre konkrétne hodnoty premenných výrokom výroková forma alebo predikát.
V závislosti od počtu premenných zahrnutých v návrhu sa rozlišujú jednoduché, dvojité, trojité atď. predikáty sa označujú takto: A( X), V( X, pri), S ( X, pri, z).
Ak je daný nejaký predikát, potom sú s ním spojené dve množiny:
1. Množina (doména) definície X, pozostávajúce zo všetkých hodnôt premenných, pri ich nahradení predikátom sa tento zmení na vyhlásenie. Pri špecifikácii predikátu sa spravidla uvádza jeho rozsah.
2. Sada pravdy T, pozostávajúce zo všetkých týchto hodnôt premenných, pri ich dosadení do predikátu sa získa pravdivé tvrdenie.
Pravdivostná množina predikátu je vždy podmnožinou jeho domény, t.j.
S predikátmi môžete vykonávať rovnaké operácie ako s príkazmi.
1. Odmietavý postoj predikát A( X) definovaný na množine X sa nazýva predikát pravdivý pre tie hodnoty, pre ktoré predikát A( X) sa zmení na nepravdivé tvrdenie a naopak.
Z tejto definície vyplýva, že predikáty A( X) a B( X) nie sú navzájom negáciami, ak existuje aspoň jedna hodnota, pre ktorú predikáty A( X) a B( X) sa skonvertujú na výpisy s rovnaké hodnoty pravda.
Pravdivostná množina predikátu je doplnkom k pravdivostnej množine predikátu A( X). Označme T A pravdivostnú množinu predikátu A( X) a cez T - pravdivostnú množinu predikátu . Potom .
2. konjunkcia predikáty A( X) a B( XX) V( X X X, pod ktorým sa oba predikáty menia na pravdivé tvrdenia.
Pravdivostná množina spojenia predikátov je priesečníkom pravdivostných množín predikátu A( X) V( X). Ak pravdivostnú množinu predikátu A(x) označíme T A a pravdivostnú množinu predikátu B(x) T B a pravdivostnú množinu predikátu A(x) B(x) označíme, potom 
3. disjunkcia predikáty A( X) a B( X) definovaný na množine X sa nazýva predikát A( X) V( X), ktorý sa mení na skutočný návrh pre tie a len tie hodnoty X X, pod ktorým sa aspoň jeden z predikátov zmenil na pravdivé tvrdenie.
Pravdivostná množina disjunkcie predikátov je zjednotením pravdivostných množín predikátov, ktoré ju tvoria, t.j. .
4.implikácia predikáty A( X) a B( X) definovaný na množine X sa nazýva predikát A( X) V( X), čo je nepravda pre tie a len tie hodnoty premennej, pre ktoré sa prvý predikát stane pravdivým a druhý sa stane nepravdivým.
Pravdivostná množina implikácie predikátov je zjednotením pravdivostnej množiny predikátu B( X) s pridaním k pravdivostnej množine predikátu A( X), t.j.
5. Ekvivalencia predikáty A( X) a B( X) definovaný na množine X sa nazýva predikát, ktorý sa premení na pravdivé tvrdenie pre všetky a iba tie hodnoty premennej, pre ktoré sa oba predikáty zmenia na pravdivé alebo nepravdivé tvrdenia.
Pravdivostná množina ekvivalentu predikátov je priesečníkom pravdivostnej množiny predikátu s pravdivostnou množinou predikátu.
Kvantifikátorové operácie na predikátoch
Predikát môže byť preložený do výroku substitučnou metódou a metódou „zavesenia kvantifikátora“.
O číslach 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 môžete povedať: a) všetky dané čísla sú prvočísla; b) niektoré z uvedených čísel sú párne.
Keďže o týchto vetách možno povedať, že sú pravdivé alebo nepravdivé, výsledné vety sú výroky.
Ak odstránime slovo „všetky“ z vety „a“ a slovo „niektoré“ z vety „b“, dostaneme tieto predikáty: „dané čísla sú prvočísla“, „dané čísla sú nepárne“.
Slová „všetky“ a „niektoré“ sa nazývajú kvantifikátory. Slovo „kvantifikátor“ je latinského pôvodu a znamená „koľko“, t.j. kvantifikátor ukazuje, koľko (všetkých alebo niektorých) predmetov je spomenutých v konkrétnej vete.
Existujú dva hlavné typy kvantifikátorov: všeobecný kvantifikátor a existenčný kvantifikátor.
Podmienky „akýkoľvek“, „akýkoľvek“, „každý“. – univerzálny kvantifikátor. Určené .
Nechaj A( X) je určitý predikát daný na množine X. Pod výrazom A( X) budeme chápať tvrdenie ako pravdivé, keď A( X) je pravdivé pre každý prvok množiny X a inak je nepravdivé.
Pravdivosť výrokov so všeobecným kvantifikátorom sa stanovuje dôkazom. Na overenie nepravdivosti takýchto tvrdení (na ich vyvrátenie) stačí uviesť protipríklad.
16. Definícia binárneho vzťahu medzi množinami A a B.
Binárny vzťah medzi množinami A a Bsa nazýva podmnožina R priameho súčinu. V prípade, keď môžete o vzťahu len hovoriť R na A.
Príklad 1.
Napíšte usporiadané dvojice patriace do binárnych relácií R1 a R2, definované na súpravách A a: 
, 
. Podmnožina R1 pozostáva z párov: 
. Podmnožina .
Doména R je množina všetkých prvkov z A také, že pre niektoré prvky máme . Inými slovami, doména definície R je množina všetkých prvých súradníc usporiadaných párov z R.
Veľa hodnôt vzťah R na je množina všetkých takých, že pre niektoré . Inými slovami, súbor hodnôt R je množina všetkých druhých súradníc usporiadaných párov z R.
V príklade 1 pre R1 doména definície: , množina hodnôt - . Pre R2 doména definície: , množina hodnôt: .
V mnohých prípadoch je vhodné použiť grafické znázornenie binárneho vzťahu. Vykonáva sa dvoma spôsobmi: pomocou bodov na rovine a pomocou šípok.
V prvom prípade sa ako horizontálna a vertikálna os zvolia dve navzájom kolmé čiary. Na vodorovnej osi ležali prvky súpravy A a nakreslite zvislú čiaru cez každý bod. Na zvislej osi ležali prvky súpravy B nakreslite vodorovnú čiaru cez každý bod. Priesečníky vodorovných a zvislých čiar zobrazujú prvky priameho produktu
17. Metódy nastavenia binárnych relácií.
Akákoľvek podmnožina karteziánskeho súčinu A × B sa nazýva binárny vzťah definovaný na dvojici množín A a B (v latinčine „bis“ znamená „dvakrát“). Vo všeobecnom prípade možno analogicky s binárnymi vzťahmi považovať aj n-árne vzťahy za usporiadané postupnosti n prvkov prevzatých z jednej z n množín.
Na označenie binárneho vzťahu sa používa symbol R. Keďže R je podmnožinou množiny A×B, môžeme písať R⊆A×. Ak je potrebné uviesť, že (a, b) ∈ R, t.j. medzi prvkami a ∈ A a b ∈ B existuje vzťah R, napíšte aRb.
Spôsoby, ako špecifikovať binárne vzťahy:
1. Toto je použitie pravidla, podľa ktorého sú označené všetky prvky zahrnuté v tomto vzťahu. Namiesto pravidla môžete uviesť prvky daného vzťahu ich priamym vymenovaním;
2. Tabuľkové, vo forme grafov a pomocou sekcií. Základom tabuľkovej metódy je pravouhlý systém súradnice, kde prvky jednej množiny sú vykreslené pozdĺž jednej osi a prvky inej množiny pozdĺž druhej. Priesečníky súradníc tvoria body označujúce prvky karteziánskeho súčinu.
Na (obrázok 1.16) je zobrazená súradnicová sieť pre množiny. Priesečníky troch zvislých čiar so šiestimi vodorovnými zodpovedajú prvkom množiny A×B. Kruhy na mriežke označujú prvky vzťahu aRb, kde a ∈ A a b ∈ B, R označuje vzťah „delí“.
Binárne vzťahy sú dané dvojrozmernými súradnicovými systémami. Je zrejmé, že všetky prvky karteziánskeho súčinu troch množín možno podobne reprezentovať v trojrozmernom súradnicovom systéme, štyri množiny v štvorrozmernom systéme atď.;
3. Metóda špecifikovania vzťahov pomocou sekcií sa používa menej často, preto ju nebudeme uvažovať.
18. Reflexivita binárneho vzťahu. Príklad.
V matematike sa binárny vzťah na množine nazýva reflexívny, ak je každý prvok tejto množiny vo vzťahu k sebe samému.
Vlastnosť reflexivity pre dané vzťahy maticou sa vyznačuje tým, že všetky diagonálne prvky matice sú rovné 1; pre dané vzťahy grafom má každý prvok slučku - oblúk (x, x).
Ak táto podmienka nie je splnená pre niektorý prvok množiny, potom sa vzťah nazýva antireflexívny.
Ak je antireflexný vzťah daný maticou, potom sú všetky diagonálne prvky nulové. Keď je takýto vzťah daný grafom, každý vrchol nemá slučku - neexistujú žiadne oblúky tvaru (x, x).
Formálne je antireflexivita vzťahu definovaná ako: .
Ak podmienka reflexivity nie je splnená pre všetky prvky množiny, vzťah sa považuje za nereflexívny.
Plán
Výroky s vonkajšou negáciou.
konjunktívne výroky.
disjunktívne výroky.
Prísne disjunktívne tvrdenia.
Vyhlásenia o rovnocennosti.
Implicitné vyhlásenia.
Výrok s vonkajšou negáciou je výrok (úsudok), v ktorom sa potvrdzuje absencia určitej situácie. Najčastejšie sa vyjadruje vetou, ktorá sa začína vetou „nie je pravda, že...“ alebo „je nesprávne, že...“. Vonkajšia negácia je označená symbolom „ù“, nazývaným znak negácie. Toto znamenie je určené nasledujúcou pravdivostnou tabuľkou:
Vo vyjadreniach s vonkajšou negáciou sa popiera situácia v A. Napríklad, ak A: „Volga sa vlieva do Čierneho mora“, potom ùA: „Nie je pravda, že Volga sa vlieva do Čierneho mora.“
Konjunktívne výroky sú tie, v ktorých je potvrdená súčasná existencia dvoch situácií. Konjunktívne výroky sa tvoria z dvoch výrokov pomocou spojení „a“, „a“, „ale“. Forma konjunktívnej výpovede: (A&B). Každý z výrokov A a B môže mať hodnotu „pravda“ aj hodnotu „nepravda“. Tieto hodnoty sú kvôli stručnosti označené písmenami ja, l. Pravdivostná tabuľka pre konjunktívne výroky je nasledovná:
V konjunktívnych výrokoch sa uvádza, že situácia opísaná v A a v B prebieha súčasne. Príklady konjunktívnych vyhlásení: „Zem je planéta a Mesiac je satelit“; "Petrov ovládal logiku dobre, ale Sidorov ovládal logiku zle"; „Vonku je tma a v hľadisku svietia svetlá“; "Petrov dal úradníkovi úplatok v hotovosti a Sidorov mu dal fľašu."
Disjunktívne výroky sú výroky, ktoré tvrdia, že existuje aspoň jedna z dvoch situácií opísaných v A a B. Disjunkcia sa označuje symbolom V a je vyjadrená v prirodzenom jazyku spojením „alebo“.
Tabuľková definícia znaku disjunkcie je nasledovná:
Príklad disjunktívneho tvrdenia: "Roman Sergejevič Ivanov je učiteľ alebo Roman Sergejevič Ivanov je postgraduálny študent."
Prísne disjunktívne tvrdenia.
Prísne disjunktívne výroky sú tie, ktoré tvrdia existenciu práve jednej z dvoch situácií opísaných v A a B. Takéto výroky sa najčastejšie uskutočňujú pomocou viet so spojením „alebo ..., alebo ...“ („buď ... alebo ...“). Striktná disjunkcia sa označuje symbolom V* (čítaj „buď... alebo...“).
Tabuľková definícia striktného disjunkčného znaku je nasledovná:
Príklad striktne disjunktívneho tvrdenia: "Buď je vonku slnečno, alebo prší."
výroková logika , tiež nazývaná výroková logika - odvetvie matematiky a logiky, ktoré študuje logické formy zložitých výrokov zostavených z jednoduchých alebo elementárnych výrokov pomocou logických operácií.
Logika výrokov je abstrahovaná od zmysluplného zaťaženia výrokov a skúma ich pravdivostnú hodnotu, teda či je výrok pravdivý alebo nepravdivý.
Obrázok vyššie je ilustráciou javu známeho ako paradox klamárov. Zároveň sú podľa autora projektu takéto paradoxy možné len v prostrediach, ktoré nie sú zbavené politických problémov, kde môže byť niekto a priori označený za klamára. V prirodzenom vrstvenom svete na predmet "pravda" alebo "nepravda" sa hodnotí len samostatne brané výroky . A neskôr v tejto lekcii vám bude predstavený možnosť zhodnotiť mnohé vyjadrenia na túto tému (a potom sa pozrite na správne odpovede). Vrátane zložitých príkazov, v ktorých sú jednoduchšie prepojené znakmi logických operácií. Najprv sa však pozrime na tieto operácie na samotných návrhoch.
Výroková logika sa používa v informatike a programovaní vo forme deklarovania logických premenných a priraďovania im logických hodnôt „false“ alebo „true“, od ktorých závisí priebeh ďalšieho vykonávania programu. V malých programoch, kde je zahrnutá iba jedna boolovská premenná, sa tejto boolovskej premennej často priraďuje názov, ako napríklad „príznak“ a „príznak“ je implikovaný, keď je hodnota tejto premennej „pravda“ a „príznak je dole“, keď je hodnota táto premenná je "false". Vo veľkých programoch, v ktorých existuje niekoľko alebo dokonca veľa logických premenných, sa od profesionálov vyžaduje, aby vymysleli názvy logických premenných, ktoré majú formu príkazov a sémantickú záťaž, ktorá ich odlišuje od iných logických premenných a je zrozumiteľná pre ostatných. odborníkov, ktorí budú čítať text tohto programu.
Dá sa teda deklarovať logická premenná s názvom „UserRegistered“ (alebo jej anglický ekvivalent) vo forme príkazu, ktorému je možné priradiť logickú hodnotu „true“, ak sú splnené podmienky odoslania údajov na registráciu. užívateľom a tieto údaje sú programom uznané ako platné. V ďalších výpočtoch sa hodnoty premenných môžu meniť v závislosti od toho, akú logickú hodnotu ("true" alebo "false") má premenná "UserLogged in". V iných prípadoch môže byť premennej, napríklad s názvom „Viac ako tri dni do dňa“, priradená hodnota „True“ až do určitého bloku výpočtov a pri ďalšom vykonávaní programu môže byť táto hodnota uložené alebo zmenené na "false" a priebeh ďalšieho vykonávania závisí od hodnoty tejto premennej programy.
Ak program používa niekoľko logických premenných, ktorých názvy majú formu výrokov, a z nich sú zostavené zložitejšie výroky, potom je vývoj programu oveľa jednoduchšie, ak sa pred jeho vývojom všetky operácie z výrokov zapíšu vo forme vzorcov. používame vo výrokovej logike ako my v priebehu tejto lekcie a poďme na to.
V prípade matematických výrokov si vždy možno vybrať medzi dvoma rôznymi alternatívami „pravda“ a „nepravda“, ale v prípade výrokov vo „slovnom“ jazyku sú pojmy „pravda“ a „nepravda“ o niečo nejasnejšie. Avšak napríklad také slovesné tvary ako „Choď domov“ a „Prší?“ nie sú výpovede. Preto je jasné, že výroky sú verbálne formy, v ktorých sa niečo uvádza . Opytovacie alebo zvolacie vety, odvolania, ako aj želania či požiadavky nie sú výrokmi. Nedajú sa vyhodnotiť hodnotami „true“ a „false“.
Na druhej strane výroky možno považovať za veličinu, ktorá môže nadobúdať dve hodnoty: „pravda“ a „nepravda“.
Vydávajú sa napríklad rozsudky: „pes je zviera“, „Paríž je hlavné mesto Talianska“, „3
Prvý z týchto výrokov možno hodnotiť symbolom „pravda“, druhý – „nepravda“, tretí – „pravda“ a štvrtý – „nepravda“. Takáto interpretácia výrokov je predmetom výrokovej algebry. Výroky budeme označovať veľkými latinskými písmenami A, B, ..., a ich hodnoty, teda pravdivé a nepravdivé, resp A a L. V bežnej reči sa používajú spojenia medzi výrokmi „a“, „alebo“ a inými.
Tieto spojenia umožňujú kombináciou rôznych výrokov vytvárať nové výroky - zložité výpovede . Napríklad kopa „a“. Nech sú uvedené vyhlásenia: π väčšie ako 3" a výrok " π menej ako 4. Môžete zorganizovať nový – komplexný výpis “ π viac ako 3 a π menej ako 4". Výrok „ak π iracionálne teda π ² je tiež iracionálne“ sa získa spojením dvoch výrokov spojením „ak – potom.“ Nakoniec môžeme z akéhokoľvek výroku získať nový – komplexný výrok – negujúci pôvodný výrok.
Zvažovanie návrhov ako veličín naberajúcich hodnoty A a L, definujeme ďalej logické operácie s príkazmi , ktoré nám umožňujú z týchto výpisov získať nové - komplexné výpisy.
Uveďme dve ľubovoľné tvrdenia A a B.
1 . Prvou logickou operáciou na týchto výrokoch – spojkou – je vytvorenie nového výroku, ktorý budeme označovať A ∧ B a čo je pravda vtedy a len vtedy A a B pravda. V bežnej reči táto operácia zodpovedá spojeniu výrokov s kopou „a“.
Tabuľka pravdy pre spojenie:
| A | B | A ∧ B |
| A | A | A |
| A | L | L |
| L | A | L |
| L | L | L |
2 . Druhá logická operácia s príkazmi A a B- disjunkcia vyjadrená ako A ∨ B, je definovaný takto: je pravdivý vtedy a len vtedy, ak je pravdivé aspoň jedno z pôvodných tvrdení. V bežnej reči táto operácia zodpovedá spojeniu výrokov so zhlukom „alebo“. Máme tu však neoddeľujúce „alebo“, ktoré sa chápe v zmysle „buď-alebo“, keď A a B oboje nemôže byť pravda. V definícii výrokovej logiky A ∨ B pravdivé, ak je pravdivé iba jedno z tvrdení a ak sú pravdivé obe tvrdenia A a B.
Tabuľka pravdy pre disjunkciu:
| A | B | A ∨ B |
| A | A | A |
| A | L | A |
| L | A | A |
| L | L | L |
3 . Tretia logická operácia s príkazmi A a B, vyjadrené ako A → B; výsledné tvrdenie je nepravdivé vtedy a len vtedy A pravda, a B falošné. A volal parcela , B - dôsledkom a vyhlásenie A → B - nasledujúce , nazývaný aj implikácia. V bežnej reči táto operácia zodpovedá odkazu „ak - potom“: „ak A, potom B Ale v definícii výrokovej logiky je tento výrok vždy pravdivý, bez ohľadu na to, či je výrok pravdivý alebo nepravdivý. B. Túto okolnosť možno stručne sformulovať takto: „čokoľvek sa vám páči, vyplýva z nepravdy“. Na druhej strane, ak A pravda, a B nepravdivé, potom celé vyhlásenie A → B falošné. Bude to pravda vtedy a len vtedy A a B pravda. Stručne to možno formulovať takto: „z pravdivého nemôže vyplývať nepravda“.
Pravdivostná tabuľka, ktorú treba nasledovať (implikácia):
| A | B | A → B |
| A | A | A |
| A | L | L |
| L | A | A |
| L | L | A |
4 . Štvrtá logická operácia s výrokmi, presnejšie s jedným výrokom, sa nazýva negácia výroku. A a označuje sa ~ A(môžete tiež nájsť použitie nie symbolu ~, ale symbolu ¬, ako aj prečiarknutia nad A). ~ A existuje vyhlásenie, ktoré je nepravdivé, keď A pravda a pravda kedy A falošné.
Tabuľka pravdy pre negáciu:
| A | ~ A |
| L | A |
| A | L |
5 . A nakoniec, piata logická operácia s výrokmi sa nazýva ekvivalencia a označuje sa A ↔ B. Výsledné vyhlásenie A ↔ B je pravdivé tvrdenie vtedy a len vtedy A a B obe sú pravdivé alebo obe nepravdivé.
Pravdivá tabuľka ekvivalencie:
| A | B | A → B | B → A | A ↔ B |
| A | A | A | A | A |
| A | L | L | A | L |
| L | A | A | L | L |
| L | L | A | A | A |
Väčšina programovacích jazykov má špeciálne symboly pre logické hodnoty príkazov, sú napísané takmer vo všetkých jazykoch ako true (true) a false (false).
Zhrňme si vyššie uvedené. výroková logika študuje súvislosti, ktoré sú úplne určené spôsobom, akým sú niektoré výroky zostavené z iných, nazývaných elementárne. Elementárne výroky sa považujú za celok, nerozložiteľné na časti.
V tabuľke nižšie systematizujeme názvy, označenia a význam logických operácií s výrokmi (čoskoro ich budeme opäť potrebovať pri riešení príkladov).
| Bundle | Označenie | Názov operácie |
| nie | negácia | |
| a | konjunkcia | |
| alebo | disjunkcia | |
| Ak potom... | implikácia | |
| vtedy a len vtedy | rovnocennosť |
Lebo logické operácie sú pravdivé zákony algebry logiky, ktorý možno použiť na zjednodušenie boolovské výrazy. Zároveň treba poznamenať, že v logike výrokov sú abstrahované od sémantického obsahu výroku a obmedzujú sa na jeho uvažovanie z pozície, že je buď pravdivý, alebo nepravdivý.
Príklad 1
1) (2 = 2) A (7 = 7);
2) nie(15;
3) ("borovica" = "dub") ALEBO ("čerešňa" = "javor");
4) Nie("Borovica" = "Dub") ;
5) (nie (15 20);
6) („Oči sú dané, aby videli“) a („Pod tretím poschodím je druhé poschodie“);
7) (6/2 = 3) ALEBO (7 x 5 = 20).
1) Hodnota výroku v prvých zátvorkách je "true", hodnota výrazu v druhej zátvorke je tiež pravdivá. Oba výroky sú spojené logickou operáciou "AND" (pozri pravidlá pre túto operáciu vyššie), takže logická hodnota celého tohto príkazu je "true".
2) Význam tvrdenia v zátvorkách je "nepravda". Tomuto výroku predchádza operácia logickej negácie, takže logická hodnota celého tohto výroku je „pravda“.
3) Význam výroku v prvých zátvorkách je „nepravda“, význam výroku v druhej zátvorke je tiež „nepravda“. Príkazy sú spojené logickou operáciou „ALEBO“ a žiadny z výrokov nemá hodnotu „pravda“. Preto je logický význam celého tohto tvrdenia „falošný“.
4) Význam tvrdenia v zátvorkách je „nepravda“. Tomuto tvrdeniu predchádza operácia logickej negácie. Preto je logický význam celého daného tvrdenia „pravda“.
5) V prvých zátvorkách sa tvrdenie vo vnútorných zátvorkách neguje. Tento výrok v zátvorke sa vyhodnotí ako „nepravda“, takže jeho negácia bude vyhodnotená na logickú hodnotu „pravda“. Výrok v druhej zátvorke má hodnotu "false". Tieto dva výroky sú spojené logickou operáciou „AND“, teda získame „pravda A nepravda“. Preto je logický význam celého daného tvrdenia „nepravda“.
6) Význam tvrdenia v prvej zátvorke je „pravda“, význam tvrdenia v druhej zátvorke je tiež „pravda“. Tieto dva výroky sú spojené logickou operáciou „AND“, teda získame „pravdu AND pravda“. Preto je logický význam celého daného tvrdenia „pravda“.
7) Význam tvrdenia v prvých zátvorkách je „pravda“. Význam tvrdenia v druhej zátvorke je „nepravda“. Tieto dva výroky sú spojené logickou operáciou „ALEBO“, to znamená, že sa získa „pravda ALEBO nepravda“. Preto je logický význam celého daného tvrdenia „pravda“.
Príklad 2 Zapíšte si nasledujúce zložité príkazy pomocou logických operácií:
1) „Používateľ nie je zaregistrovaný“;
2) „Dnes je nedeľa a niektorí zamestnanci sú v práci“;
3) „Používateľ je zaregistrovaný vtedy a len vtedy, keď sa zistí, že údaje odoslané používateľom sú platné.“
1) p- jeden príkaz "Používateľ je zaregistrovaný", logická operácia: ;
2) p- jediný výrok "Dnes je nedeľa", q- "Niektorí zamestnanci sú v práci", logická operácia: ;
3) p- jeden výpis "Používateľ je zaregistrovaný", q- "Údaje odoslané používateľom sú platné", logická operácia: .
Príklad 3 Vypočítajte boolovské hodnoty nasledujúcich výrokov:
1) ("Minúta má 70 sekúnd") ALEBO ("Hodiny ukazujú čas");
2) (28 > 7) A (300/5 = 60);
3) ("TV - elektrický spotrebič") a ("Sklo - drevo");
4) Nie((300 > 100) ALEBO ("Smäd možno uhasiť vodou"));
5) (75 < 81) → (88 = 88) .
Príklad 4 Zapíšte si nasledujúce zložité príkazy pomocou logických operácií a vypočítajte ich logické hodnoty:
1) „Ak hodiny neukazujú správne čas, môžete prísť do triedy v nesprávny čas“;
2) "V zrkadle môžete vidieť svoj odraz a Paríž - hlavné mesto USA";
Príklad 5 Určite boolovský výraz
(p → q) ↔ (r → s) ,
p = "278 > 5" ,
q= "Apple = Orange",
p = "0 = 9" ,
s= "Klobúk zakrýva hlavu".
Pomocou pojmu sa špecifikuje pojem logickej formy zloženého výroku výrokové logické vzorce .
V príkladoch 1 a 2 sme sa naučili písať zložité príkazy pomocou logických operácií. V skutočnosti sa nazývajú výrokové logické vzorce.
Na označenie výrokov, ako vo vyššie uvedenom príklade, budeme naďalej používať písmená
p, q, r, ..., p 1 , q 1 , r 1 , ...
Tieto písmená budú hrať úlohu premenných, ktoré majú pravdivé hodnoty „pravda“ a „nepravda“ ako hodnoty. Tieto premenné sa nazývajú aj výrokové premenné. Odteraz ich budeme volať elementárne vzorce alebo atómov .
Na zostavenie výrokových logických vzorcov sa okrem vyššie uvedených písmen používajú aj znaky logických operácií
~, ∧, ∨, →, ↔,
ako aj symboly, ktoré poskytujú možnosť jednoznačného čítania vzorcov – ľavá a pravá zátvorka.
koncepcia výrokové logické vzorce definovať takto:
1) elementárne formuly (atómy) sú formule výrokovej logiky;
2) ak A a B- výrokové logické vzorce, potom ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) sú tiež formuly výrokovej logiky;
3) výrokovými logickými vzorcami sú iba tie výrazy, pre ktoré to vyplýva z 1) a 2).
Definícia výrokovej logickej formuly obsahuje vymenovanie pravidiel pre tvorbu týchto formúl. Podľa definície je každý vzorec výrokovej logiky buď atómom, alebo je vytvorený z atómov v dôsledku postupnej aplikácie pravidla 2).
Príklad 6 Nechaj p- jediný výrok (atóm) "Všetky racionálne čísla sú reálne", q- "Niektoré reálne čísla sú racionálne čísla", r- "niektoré racionálne čísla sú reálne". Preložte do formy slovných výrokov nasledujúce vzorce výrokovej logiky:
6) 
.
1) „neexistujú žiadne reálne čísla, ktoré by boli racionálne“;
2) "ak nie všetky racionálne čísla sú reálne, potom neexistujú žiadne racionálne čísla, ktoré sú reálne";
3) "ak sú všetky racionálne čísla reálne, potom niektoré reálne čísla sú racionálne čísla a niektoré racionálne čísla sú reálne";
4) „všetky reálne čísla sú racionálne čísla a niektoré reálne čísla sú racionálne čísla a niektoré racionálne čísla sú reálne čísla“;
5) „všetky racionálne čísla sú reálne vtedy a len vtedy, ak nie všetky racionálne čísla sú reálne“;
6) "Nie je to tak, že nie všetky racionálne čísla sú reálne a neexistujú žiadne reálne čísla, ktoré by boli racionálne, ani žiadne racionálne čísla, ktoré by boli reálne."
Príklad 7 Vytvorte pravdivostnú tabuľku pre výrokový logický vzorec 
, ktoré možno v tabuľke označiť f
.
Riešenie. Začneme zostavovať pravdivostnú tabuľku zaznamenaním hodnôt („true“ alebo „false“) pre jednotlivé výroky (atómy) p , q a r. Všetky možné hodnoty sú zapísané v ôsmich riadkoch tabuľky. Ďalej, pri určovaní hodnôt operácie implikácie a pohybe v tabuľke doprava, nezabudnite, že hodnota sa rovná "false", keď "true" znamená "false".
| p | q | r | f | ||||
| A | A | A | A | A | A | A | A |
| A | A | L | A | A | A | L | A |
| A | L | A | A | L | L | L | L |
| A | L | L | A | L | L | A | A |
| L | A | A | L | A | L | A | A |
| L | A | L | L | A | L | A | L |
| L | L | A | A | A | A | A | A |
| L | L | L | A | A | A | L | A |
Všimnite si, že žiadny atóm nemá tvar ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B). Sú to zložité vzorce.
Za predpokladu, že počet zátvoriek vo výrokových logických vzorcoch možno znížiť
1) v komplexný vzorec vynecháme vonkajší pár zátvoriek;
2) usporiadať znaky logických operácií „podľa seniority“:
↔, →, ∨, ∧, ~ .
V tomto zozname má znak ↔ najväčší rozsah a znak ~ najmenší. Rozsahom prevádzkového znaku sa rozumejú tie časti výrokovej logiky, na ktoré sa vzťahuje (pôsobí) uvažovaný výskyt tohto znaku. V akomkoľvek vzorci je teda možné vynechať tie dvojice zátvoriek, ktoré možno obnoviť, berúc do úvahy „poradie“. A pri obnove zátvoriek sa najprv umiestnia všetky zátvorky, ktoré odkazujú na všetky výskyty znaku ~ (v tomto prípade sa pohybujeme zľava doprava), potom na všetky výskyty znaku ∧ atď.
Príklad 8 Obnovte zátvorky vo výrokovej logike B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .
Riešenie. Zátvorky sa obnovujú krok za krokom takto:
B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A
B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)
B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))
(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))
Nie každý vzorec výrokovej logiky možno napísať bez zátvoriek. Napríklad vo vzorcoch A → (B → C) a ~( A → B) ďalšie vymazanie zátvoriek nie je možné.
Logické tautológie (alebo jednoducho tautológie) sú také vzorce výrokovej logiky, že ak sú písmená ľubovoľne nahradené výrokmi (pravdivé alebo nepravdivé), výsledkom bude vždy pravdivý výrok.
Keďže pravdivosť alebo nepravdivosť zložitých výrokov závisí len od významov, a nie od obsahu výrokov, z ktorých každý zodpovedá určitému písmenu, potom test, či je daný výrok tautológiou, možno nahradiť nasledujúcim spôsobom. V skúmanom výraze sú hodnoty 1 a 0 (resp. „pravda“ a „nepravda“) nahradené písmenami všetkými možnými spôsobmi a pomocou logických operácií sa vypočítajú logické hodnoty výrazov. Ak sa všetky tieto hodnoty rovnajú 1, potom skúmaný výraz je tautológia a ak aspoň jedna substitúcia dáva 0, nejde o tautológiu.
Preto sa výrokový logický vzorec, ktorý má hodnotu „pravda“ pre akúkoľvek distribúciu hodnôt atómov zahrnutých v tomto vzorci, nazýva rovnako pravdivý vzorec alebo tautológia .
Opačný význam je logický rozpor. Ak sú všetky hodnoty návrhu 0, potom je výraz logickým rozporom.
Preto sa výrokový logický vzorec, ktorý má hodnotu „false“ pre akúkoľvek distribúciu hodnôt atómov zahrnutých v tomto vzorci, nazýva rovnako nepravdivý vzorec alebo rozpor .
Okrem tautológií a logických rozporov existujú aj formuly výrokovej logiky, ktoré nie sú ani tautológiami, ani rozpormi.
Príklad 9 Vytvorte pravdivostnú tabuľku pre výrokovú logickú formulu a určite, či ide o tautológiu, rozpor alebo ani jedno.
Riešenie. Urobíme pravdivú tabuľku:
| A | A | A | A | A |
| A | L | L | L | A |
| L | A | L | A | A |
| L | L | L | L | A |
Vo významoch implikácie sa nestretávame s riadkom, v ktorom „pravda“ implikuje „nepravda“. Všetky hodnoty pôvodného tvrdenia sa rovnajú "pravda". Preto je tento výrokový logický vzorec tautológiou.
Téma programu: Výpisy a operácie na nich.
Ciele lekcie:
1) Zhrnúť teoretické poznatky na tému: "Výroky a operácie s nimi."
2) Zvážte algoritmy na riešenie úloh na tému „Príkazy a operácie s nimi“, riešte problémy.
3) Formovať schopnosť predvídať vlastnú činnosť, schopnosť organizovať svoju činnosť a analyzovať ju.
Dodacia lehota: 1 hodina.
Základným pojmom matematickej logiky je pojem „jednoduchý výrok“. Vyhlásenie sa zvyčajne chápe ako akékoľvek oznamovacia veta, tvrdiac niečo o niečom a zároveň vieme povedať, či je to v daných podmienkach miesta a času pravda alebo nepravda. Logické hodnoty výrokov sú „pravda“ a „nepravda“.
Príklady výrazov.
1) Moskva stojí na Neve.
2) Londýn je hlavné mesto Anglicka.
3) Sokol nie je ryba.
4) Číslo 6 je deliteľné 2 a 3.
Tvrdenia 2), 3), 4) sú pravdivé a tvrdenie 1) je nepravdivé.
Je zrejmé, že veta "Nech žije Rusko!" nie je vyhlásenie.
Existujú dva typy vyhlásení.
Výrok, ktorý je jedným výrokom, sa zvyčajne nazýva jednoduchý alebo elementárny. Príkladmi elementárnych výrokov sú výroky 1) a 2).
Výroky, ktoré sa získavajú z elementárnych slov pomocou gramatických spojok „nie“, „a“, „alebo“, „ak .... potom ...“, „potom a až potom“, sa bežne nazývajú komplexné alebo zložené. .
Takže výrok 3) je získaný z jednoduchého výroku „Sokol je ryba“ pomocou negácie „nie“, výrok 4) je vytvorený z elementárnych výrokov „Číslo 6 je deliteľné 2“, „Číslo 6 je deliteľné 3“, spojené spojením „a“.
Podobne zložité výroky možno získať z jednoduchých výrokov pomocou gramatických spojok „alebo“, „ak a len vtedy“.
V algebre logiky sú všetky výroky posudzované len z hľadiska ich logického významu a ich svetský obsah je abstrahovaný. Verí sa, že každé tvrdenie je buď pravdivé alebo nepravdivé a žiadne tvrdenie nemôže byť súčasne pravdivé aj nepravdivé.
Základné výroky sú označené malými písmenami latinskej abecedy: x, y, z, ..., a, b, c, ...; skutočná hodnota výroku je číslo 1 a nepravdivá hodnota je písmeno číslo 0.
Ak vyhlásenie a pravda, napíšeme a = 1, A keď a falošné teda a = 0.
Booleovské operácie nad výrokmi
Negácia.
Negácia výroku x sa nazýva nový výrok, čo je pravda, ak výrok X nepravdivé a nepravdivé, ak je vyhlásenie X pravda.
Odmietnutie výpovede X označené a prečítané "nie X" alebo "nie je pravda, že x".
Logické významy výroku možno opísať pomocou tabuľky.
Tabuľky tohto druhu sa nazývajú pravdivostné tabuľky.
Nechaj X vyhlásenie. Keďže ide aj o výrok, je možné vytvoriť aj negáciu výroku, teda výrok, ktorý sa nazýva dvojitá negácia výroku. X. Je jasné, že logické významy výrokov X a zápas.
Napríklad pri výroku „Putin je prezident Ruska“ by negatívom bolo vyjadrenie „Putin nie je prezidentom Ruska“ a dvojitou negáciou by bol výrok „Nie je pravda, že Putin nie je prezidentom. Ruska“.
Konjunkcia.
Spojka (logické násobenie) dvoch výrokov x a y volá sa nový výrok, ktorý sa považuje za pravdivý, ak oba výroky x a y pravda a nepravda, ak je aspoň jedna z nich nepravdivá.
spojenie návrhov x a y označené symbolom x&y ( , xy), čítať "x a y". výroky x a y sa nazývajú členy spojky.
Logické hodnoty konjunkcie sú opísané v nasledujúcej pravdivostnej tabuľke:
Napríklad pre výroky „6 je deliteľné 2“, „6 je deliteľné 3“ bude ich spojkou tvrdenie „6 je deliteľné 2 a 6 je deliteľné 3“, čo je evidentne pravda.
Z definície spojovacej operácie je zrejmé, že spojenie „a“ sa v algebre logiky používa v rovnakom zmysle ako v bežnej reči. V bežnej reči však nie je zvyčajné kombinovať dva výroky, ktoré sú ďaleko od seba v obsahu spojenia „a“, a v algebre logiky sa berie do úvahy spojenie akýchkoľvek dvoch výrokov.
Disjunkcia
Disjunkcia (logické sčítanie) dvoch výrokov x a y volá sa nový výrok, ktorý sa považuje za pravdivý, ak aspoň jeden z výrokov x, y pravda a nepravda, ak sú obe nepravdivé. Disjunkcia návrhov x, y označené symbolom "x V y", čítať "x alebo y". výroky x, y sa nazývajú termíny disjunkcie.
Logické hodnoty disjunkcie sú opísané v nasledujúcej pravdivostnej tabuľke:
V bežnej reči sa spojenie „alebo“ používa v inom zmysle: výlučné a nevýlučné. V algebre logiky sa spojenie „alebo“ vždy používa v nevýlučnom zmysle.
Implikácia.
Implikácia dvoch tvrdení x a y Nazýva sa nový výrok, ktorý je nepravdivý, ak x je pravdivé a y je nepravdivé, a pravdivé vo všetkých ostatných prípadoch.
Implikácia výrokov x, y označené symbolom
, čítať "ak x, potom y" alebo "z x nasleduje y". vyhlásenie X nazývaná podmienka alebo premisa, vyhlásenie pri- následok alebo záver, výrok
nasledovanie alebo implikácia.
Logické hodnoty operácie implikácie popisuje nasledujúca pravdivostná tabuľka:
Používanie slov „ak....tak...“ v algebre logiky sa líši od ich používania v bežnej reči, kde máme tendenciu myslieť si, že ak výrok X nepravdivé, potom vyhlásenie "Ak x, tak y" vôbec nedáva zmysel. Okrem toho zostavenie vety vo forme "ak x tak y" v bežnej reči vždy myslíme, že veta pri vyplýva z návrhu X. Použitie slov „ak ... potom ...“ v matematickej logike to nevyžaduje, pretože sa v nej nezohľadňuje význam výrokov.
Implikácia hrá dôležitú úlohu v matematických dôkazoch, pretože mnohé vety sú formulované v podmienenej forme. "Ak x, potom y." Ak je však známe, že X je pravdivý a pravdivosť implikácie je dokázaná
, potom môžeme konštatovať, že záver je pravdivý pri .
Ekvivalencia.
Ekvivalencia dvoch tvrdení x a y volá sa nový výrok, ktorý sa považuje za pravdivý, keď oba výroky x, y buď pravdivé, alebo oboje nepravdivé a nepravdivé vo všetkých ostatných prípadoch.
Ekvivalencia výroku x, y označené symbolom, čítaj „na to, aby bolo x, je potrebné a postačujúce, aby y“ alebo „x vtedy a len vtedy, ak y“. výroky x, y sa nazývajú pojmy ekvivalencie.
Logické hodnoty operácie ekvivalencie popisuje nasledujúca pravdivostná tabuľka:
Ekvivalencia hrá dôležitú úlohu v matematických dôkazoch. Je známe, že značné množstvo teorémov je formulovaných vo forme nevyhnutných a dostatočné podmienky, teda vo forme ekvivalencie. V tomto prípade, keď poznáme pravdivosť alebo nepravdivosť jedného z dvoch výrazov ekvivalencie a dokážeme pravdivosť samotnej ekvivalencie, dospejeme k záveru, že druhý výraz ekvivalencie je pravdivý alebo nepravdivý.
Praktické úlohy
1. Vytvorte logickú štruktúru nasledujúcich viet a napíšte ich v jazyku výrokovej logiky:
2. Napíšte nasledujúce tvrdenia do logického vzorca:
a) ak vonku prší, musíte si vziať so sebou dáždnik alebo zostať doma;
B) ak - obdĺžnikové a strany sú rovnaké, potom
3. Skontrolujte pravdivosť tvrdenia:
A keď, .
b) ak, .
c) ak, .
4. Skontrolujte pravdivosť tvrdenia:
a) Ak chcem ísť zajtra do triedy, musím skoro vstať. Ak dnes pôjdem do kina, pôjdem spať neskoro. Ak idem neskoro spať, neskoro sa zobudím. Preto buď nebudem chodiť do kina, alebo nebudem chodiť na hodiny.
b) Pôjdem buď do kina, alebo na plaváreň. Ak pôjdem do kina, dostanem estetické potešenie. Ak pôjdem do bazéna, budem mať fyzické potešenie. Preto, ak dostanem fyzické potešenie, nebudem mať estetické potešenie.
5. Na otázku: „Ktorí z troch študentov študovali diskrétnu matematiku? dostala správna odpoveď: „Ak študoval prvú, študoval tretiu, ale nie je pravda, že ak študoval druhú, študoval tretiu.“ Kto študoval diskrétnu matematiku?
6. Určte, ktorý zo štyroch študentov uspel na skúške, ak je známe:
ak prešiel prvý, prešiel aj druhý;
ak prešiel druhý, potom prešiel tretí alebo prvý neprešiel;
ak neprešiel štvrtý, potom prešiel prvý a neprešiel tretí;
ak prešiel štvrtý, prešiel aj prvý.
Kontrolné otázky
1. Aké prvky obsahuje jazyk logiky?
2. Aké spôsoby stanovenia platnosti logického vzorca poznáte?
Bibliografia
Workshopy № 10-11
Téma programu: Vzorce výrokovej algebry.
Primárny je pojem „vyhlásenie“. V logike je výrok deklaratívna veta, o ktorej možno povedať, že je pravdivá alebo nepravdivá. Akékoľvek vyhlásenie je buď pravdivé alebo nepravdivé a žiadne vyhlásenie nie je súčasne pravdivé aj nepravdivé.
Príklady výrokov: existuje párne číslo, "1 je prvočíslo." Pravdivostná hodnota prvých dvoch tvrdení je „pravda“, pravdivostná hodnota posledných dvoch
Opytovacie a zvolacie vety nie sú výroky. Definície nie sú vyhlásenia. Napríklad definícia „celé číslo sa volá, aj keď je deliteľné 2“ nie je výrok. Vyhlasovacia veta „ak je celé číslo deliteľné 2, potom je párne“ je tvrdenie, a to pravdivé. Vo výrokovej logike sa abstrahuje od sémantického obsahu výroku a obmedzuje sa na jeho uvažovanie z pozície, že je buď pravdivý alebo nepravdivý.
V nasledujúcom texte budeme chápať význam výroku ako jeho pravdivostnú hodnotu („pravda“ alebo „nepravda“). Vyhlásenia budú označované veľkými latinskými písmenami a ich význam, t. j. „pravda“ alebo „nepravda“ – písmenami I a L.
Výroková logika študuje spojenia, ktoré sú úplne určené spôsobom, akým sú niektoré výroky zostavené z iných, nazývané elementárne výroky. Elementárne výroky sa považujú za celok, nerozložiteľné na časti, vnútorná štruktúra ktoré nás nezaujímajú.
Logické operácie s výpismi.
Z elementárnych výrokov možno pomocou logických operácií získať nové, zložitejšie výroky. Pravdivosť zloženého príkazu závisí od pravdivostných hodnôt výrokov, ktoré tvoria zložený príkaz. Táto závislosť je stanovená v definíciách uvedených nižšie a odráža sa v pravdivostných tabuľkách. Ľavé stĺpce týchto tabuliek obsahujú všetky možné rozdelenia pravdivostných hodnôt pre výroky, ktoré priamo tvoria komplexný uvažovaný výrok. Do pravého stĺpca napíšte pravdivostné hodnoty zloženého výroku podľa rozdelenia v každom riadku.
Nech A a B sú ľubovoľné tvrdenia, o ktorých nepredpokladáme, že ich pravdivostné hodnoty sú známe. Negácia výroku A je nový výrok, ktorý je pravdivý vtedy a len vtedy, ak je A nepravdivý. Negácia A sa označuje a číta sa „nie A“ alebo „nie je pravda, že A“. Negačná operácia je úplne určená pravdivostnou tabuľkou
Príklad. Výrok „nie je pravda, že 5 je párne číslo“, ktorý má význam AND, je negáciou nepravdivého výroku „5 je párne číslo“.
Pomocou operácie spojky sa spoja dva výroky do jedného zloženého výroku, označeného A D B. Výrok A D B je podľa definície pravdivý vtedy a len vtedy, ak sú pravdivé oba výroky. Výroky A a B sa nazývajú prvým a druhým členom spojky A D B. Záznam "A D B" sa číta ako "L a B". Pravdivostná tabuľka pre spojku má tvar
Príklad. Výrok „7 je prvočíslo a 6 je nepárne číslo“ je nepravdivé ako spojenie dvoch výrokov, z ktorých jeden je nepravdivý.
Disjunkcia dvoch výrokov A a B je výrok označený ako , ktorý je pravdivý vtedy a len vtedy, ak je pravdivý aspoň jeden z výrokov A a B.
Podľa toho je výrok A V B nepravdivý vtedy a len vtedy, ak A aj B sú nepravdivé. Výroky A a B sa nazývajú prvý a druhý člen disjunkcie A V B. Záznam A V B sa číta ako "A alebo B". Spojenie „alebo“ má v tomto prípade neodmysliteľný význam, keďže výrok A V B je pravdivý, aj keď sú pravdivé obidva členy. Disjunkcia má nasledujúcu pravdivostnú tabuľku:
Príklad. Výrok „3 Výrok označený ako nepravdivý vtedy a len vtedy, ak A je pravdivý a B je nepravdivý, sa nazýva implikácia s predpokladom A a záverom B. Výrok A + B sa číta ako „ak A, potom 5“ alebo „A znamená B“ alebo „Od A nasleduje B“. Pravdivostná tabuľka pre implikáciu je:
Všimnite si, že medzi premisou a záverom nemusí existovať žiadny príčinný vzťah, ale to nemôže ovplyvniť pravdivosť alebo nepravdivosť implikácie. Napríklad tvrdenie „ak je 5 prvočíslo, potom stred rovnostranného trojuholníka je stred“ by bolo pravdivé, hoci v bežnom zmysle druhý nevyplýva z prvého. Výrok „ak 2 + 2 = 5, potom 6 + 3 = 9“ bude tiež pravdivý, pretože jeho záver je pravdivý. o túto definíciu ak je záver pravdivý, implikácia bude pravdivá bez ohľadu na pravdivostnú hodnotu premisy. Ak je premisa nepravdivá, implikácia bude pravdivá bez ohľadu na pravdivostnú hodnotu záveru. Tieto okolnosti sú stručne formulované takto: „pravda vyplýva z čohokoľvek“, „z klamstva vyplýva čokoľvek“.
