Obyčajné zlomkové čísla sa prvýkrát stretávajú so školákmi v 5. ročníku a sprevádzajú ich po celý život, pretože v každodennom živote je často potrebné zvážiť alebo použiť nejaký predmet nie úplne, ale v samostatných častiach. Začiatkom štúdia tejto témy sú akcie. Akcie sú rovnaké diely, do ktorých sa delí ten či onen subjekt. Nie vždy je totiž možné vyjadriť napríklad dĺžku alebo cenu tovaru ako celé číslo, treba brať do úvahy časti alebo zlomky nejakej miery. Slovo "zlomok" vzniklo v ruštine v VIII storočí zo slovesa "rozdeliť" - rozdeliť na časti a má arabské korene.
Zlomkové výrazy sa už dlho považujú za najťažšiu oblasť matematiky. V 17. storočí, keď sa objavili prvé učebnice matematiky, sa im hovorilo „lomené čísla“, čo sa v chápaní ľudí prejavovalo len veľmi ťažko.
Moderný vzhľad jednoduché zlomkové zvyšky, ktorých časti sú oddelené vodorovnou čiarou, prvýkrát propagoval Fibonacci - Leonardo z Pisy. Jeho diela sú datované do roku 1202. Účelom tohto článku je však jednoducho a jasne vysvetliť čitateľovi, ako dochádza k násobeniu zmiešaných zlomkov rôznych menovateľov.
Spočiatku stojí za to určiť odrody frakcií:
Ďalej si musíte pamätať, ako sa násobí zlomkové čísla rovnakých menovateľov... Samotné pravidlo tohto procesu sa dá ľahko formulovať nezávisle: výsledok násobenia jednoduché zlomky s rovnakými menovateľmi je zlomkový výraz, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov a menovateľ je súčinom menovateľov týchto zlomkov. To znamená, že v skutočnosti je novým menovateľom druhá mocnina jedného z existujúcich.
Pri násobení jednoduché zlomky s rôznymi menovateľmi pre dva alebo viac faktorov sa pravidlo nemení:
a /b * c /d = a * c / b * d.
Jediný rozdiel je v tom, že utvorené číslo pod zlomkovou čiarou bude súčinom rôznych čísel a prirodzene ho nemožno nazvať druhou mocninou jedného číselného výrazu.
Stojí za to zvážiť násobenie zlomkov s rôznymi menovateľmi s príkladmi:
Príklady používajú spôsoby redukcie zlomkových výrazov. Číslami menovateľa môžete zrušiť iba čísla čitateľa, susediace faktory nad alebo pod zlomkovou čiarou nemožno zrušiť.
Spolu s jednoduchými zlomkovými číslami existuje aj koncept zmiešaných zlomkov. Zmiešané číslo pozostáva z celého čísla a zlomkovej časti, to znamená, že ide o súčet týchto čísel:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Na zváženie je navrhnutých niekoľko príkladov.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Príklad používa násobenie čísla číslom obyčajná zlomková časť, pravidlo pre túto akciu môžete zapísať podľa vzorca:
a * b /c = a * b /c.
V skutočnosti je takýto súčin súčtom rovnakých zlomkových zvyškov a počet členov označuje toto prirodzené číslo. Špeciálny prípad:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Existuje ešte jedna možnosť riešenia násobenia čísla zlomkovým zvyškom. Stačí vydeliť menovateľa týmto číslom:
d * e /f = e /f: d.
Je užitočné použiť túto techniku, keď je menovateľ delený prirodzeným číslom bezo zvyšku, alebo, ako sa hovorí, úplne.
Preveďte zmiešané čísla na nesprávne zlomky a získajte produkt vyššie opísaným spôsobom:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Tento príklad zahŕňa spôsob znázornenia zmiešaného zlomku v nesprávnom, môže byť tiež reprezentovaný vo forme všeobecného vzorca:
a bc = a * b + c / c, kde menovateľ nového zlomku vznikne vynásobením celočíselnej časti menovateľom a jeho pripočítaním k čitateľovi pôvodného zlomkového zvyšku, pričom menovateľ zostáva rovnaký.
Tento proces funguje v opačná strana... Ak chcete vybrať celú časť a zlomkový zvyšok, musíte vydeliť čitateľa nesprávneho zlomku jeho menovateľom "roh".
Násobenie nesprávnych zlomkov vyrobené konvenčným spôsobom. Keď záznam prechádza pod jednu zlomkovú čiaru, je potrebné podľa potreby zlomky zmenšiť, aby sa čísla znížili touto metódou a bolo jednoduchšie vypočítať výsledok.
Na internete je množstvo pomocníkov na riešenie aj zložitých matematických úloh v rôznych variáciách programov. Dostatočný počet takýchto služieb ponúka svoju pomoc pri počítaní násobenia zlomkov s rôznymi číslami v menovateľoch – takzvané online kalkulačky na počítanie zlomkov. Sú schopní nielen násobiť, ale aj vykonávať všetky ostatné jednoduché aritmetické operácie s obyčajnými zlomkami a zmiešanými číslami. Nie je ťažké s ním pracovať, na stránke webu sa vyplnia príslušné polia, vyberie sa znamienko matematickej akcie a stlačí sa "vypočítať". Program vypočíta automaticky.
Téma aritmetických operácií so zlomkovými číslami je aktuálna počas celého vzdelávania žiakov stredných a vyšších škôl. Na strednej škole sa už nepovažujú za najjednoduchšie typy, ale celočíselné zlomkové výrazy, ale znalosti pravidiel pre transformáciu a výpočty, získané skôr, sa uplatňujú v pôvodnej podobe. Dobre zvládnuté základné znalosti dávajú úplnú dôveru v úspešné riešenie najťažších problémov.
Na záver má zmysel citovať slová Leva Nikolajeviča Tolstého, ktorý napísal: „Človek je zlomok. Nie je v silách človeka zvýšiť si čitateľa - svoju dôstojnosť, ale každý môže znížiť svojho menovateľa - svoju mienku o sebe a týmto znížením sa môže priblížiť k svojej dokonalosti."
Skôr alebo neskôr sa všetky deti v škole začnú učiť zlomky: ich sčítanie, delenie, násobenie a všetky možné činnosti, ktoré je možné vykonávať iba so zlomkami. S cieľom poskytnúť dieťaťu správnu pomoc by samotní rodičia nemali zabúdať, ako sa celé čísla delia na zlomky, inak mu nebudete môcť s ničím pomôcť, ale iba ho zmiasť. Ak si túto akciu potrebujete zapamätať, no nedokážete zhrnúť všetky informácie v hlave do jedného pravidla, pomôže vám tento článok: naučíte sa deliť číslo zlomkom a uvidíte jasné príklady.
Napíšte svoj príklad na koncept, aby ste si mohli robiť poznámky a značky. Pamätajte, že medzi bunky, priamo v ich priesečníku, a zlomkové čísla – každé vo svojej vlastnej bunke, sa píše celé číslo.
Samozrejme, v dôsledku takejto akcie dostanete veľmi veľké číslo v čitateli. Nie je možné ponechať zlomok v tomto stave - učiteľ túto odpoveď jednoducho neprijme. Zlomok znížte vydelením čitateľa menovateľom. Celé číslo, ktoré sa získa ako výsledok, zapíšte naľavo od zlomku v strede buniek a zvyšok bude nový čitateľ. Menovateľ zostáva nezmenený.
Tento algoritmus je celkom jednoduchý, dokonca aj pre dieťa. Po dokončení päť až šesťkrát si dieťa zapamätá poradie akcie a bude ho môcť použiť na ľubovoľné zlomky.
Existujú aj iné typy zlomkov - desatinné. Rozdelenie do nich prebieha podľa úplne iného algoritmu. Ak narazíte na takýto príklad, postupujte podľa pokynov:
Tento typ delenia sa spočiatku zdá príliš mätúci, pretože musíte dividendu a deliteľa premeniť na zlomok a potom znova na prirodzené čísla. Ale po krátkom tréningu okamžite začnete vidieť tie čísla, ktoré stačí rozdeliť medzi sebou.
Pamätajte, že schopnosť správne deliť zlomky a celé čísla sa im môže hodiť viackrát v živote, preto dieťa potrebuje tieto pravidlá a jednoduché zásady ideálne poznať, aby sa v starších ročníkoch nestali kameňom úrazu. ktoré dieťa nevie rozhodnúť zložitejšie úlohy.
Minule sme sa naučili sčítať a odčítať zlomky (pozri lekciu „Sčítanie a odčítanie zlomkov“). Najťažším momentom týchto akcií bolo priviesť zlomky k spoločnému menovateľovi.
Teraz je čas zistiť násobenie a delenie. Dobrou správou je, že tieto operácie sa vykonávajú ešte jednoduchšie ako sčítanie a odčítanie. Na začiatok zvážte najjednoduchší prípad, keď existujú dva kladné zlomky bez vyhradenej celočíselnej časti.
Ak chcete vynásobiť dva zlomky, musíte samostatne vynásobiť ich čitateľov a menovateľov. Prvé číslo bude čitateľom nového zlomku a druhé bude menovateľom.
Ak chcete rozdeliť dva zlomky, musíte vynásobiť prvý zlomok „prevrátenou“ sekundou.
Označenie:
Z definície vyplýva, že delenie zlomkov sa redukuje na násobenie. Na „preklopenie“ zlomku stačí prehodiť pozície čitateľa a menovateľa. Preto celú lekciu budeme uvažovať hlavne o násobení.
Následkom násobenia môže vzniknúť (a často aj vzniká) zrušiteľný zlomok – ten, samozrejme, treba zrušiť. Ak sa po všetkých kontrakciách zlomok ukáže ako nesprávny, mala by sa v ňom vybrať celá časť. Čo sa však pri násobení určite nestane, je redukcia na spoločného menovateľa: žiadne krížové metódy, najväčšie faktory a najmenšie spoločné násobky.
Podľa definície máme:
Ak je v zlomkoch celočíselná časť, musia sa previesť na nesprávne - a až potom vynásobiť podľa schém uvedených vyššie.
Ak je v čitateli zlomku, v menovateli alebo pred ním mínus, môže byť vyňaté z rozsahu násobenia alebo dokonca odstránené podľa nasledujúcich pravidiel:
Doteraz sa s týmito pravidlami stretávali len pri sčítavaní a odčítaní záporných zlomkov, kedy bolo potrebné zbaviť sa celej časti. Pre výrobu ich možno zovšeobecniť tak, aby „spálili“ niekoľko nevýhod naraz:
Úloha. Nájdite význam výrazu:
Všetky zlomky preložíme na nesprávne a mínusky potom presunieme z rozsahu násobenia. Čo zostane, rozmnožíme podľa zaužívaných pravidiel. Dostaneme:
Ešte raz pripomeniem, že mínus pred zlomkom so zvýraznenou celočíselnou časťou sa vzťahuje konkrétne na celý zlomok, a nie iba na jeho celočíselné časti (to platí pre posledné dva príklady).
Venujte pozornosť aj záporné čísla: pri vynásobení sú uvedené v zátvorkách. Robí sa to preto, aby sa oddelili mínusy od znamienok násobenia a spresnil sa celý zápis.
Násobenie je časovo veľmi náročná operácia. Čísla sa tu ukázali ako dosť veľké a na zjednodušenie úlohy sa môžete pokúsiť zlomok ešte zmenšiť pred násobením... Čitatelia a menovatelia zlomkov sú v podstate bežné faktory, a preto ich možno zrušiť pomocou základnej vlastnosti zlomku. Pozrite si príklady:
Úloha. Nájdite význam výrazu:
Podľa definície máme:
Vo všetkých príkladoch sú červenou farbou vyznačené čísla, ktoré boli zredukované a to, čo z nich zostalo.
Poznámka: v prvom prípade boli násobiče úplne znížené. Namiesto nich je len niekoľko takých, ktoré možno vo všeobecnosti vynechať. V druhom príklade nebolo možné dosiahnuť úplné zníženie, ale celkové množstvo výpočtov sa stále znížilo.
Túto techniku však v žiadnom prípade nepoužívajte pri sčítavaní a odčítaní zlomkov! Áno, niekedy sú tam podobné čísla, ktoré chcete len znížiť. Pozrite sa sem:
To nemôžeš!
Chyba sa vyskytuje v dôsledku skutočnosti, že pri sčítaní sa v čitateli zlomku objaví súčet a nie súčin čísel. Preto nemožno použiť hlavnú vlastnosť zlomku, pretože v tejto vlastnosti prichádza ide o násobenie čísel.
Jednoducho neexistuje žiadny iný dôvod na redukciu zlomkov, takže správne riešenie predchádzajúceho problému vyzerá takto:
Správne rozhodnutie:
Ako vidíte, správna odpoveď nebola taká pekná. Vo všeobecnosti buďte opatrní.
Všetky akcie je možné vykonávať so zlomkami vrátane delenia. Tento článok ukazuje rozdelenie bežné zlomky... Uvedú sa definície, zvážia sa príklady. Pozrime sa bližšie na delenie zlomkov prirodzenými číslami a naopak. Zvážime delenie obyčajného zlomku zmiešaným číslom.
Delenie je opakom násobenia. Pri delení sa neznámy súčiniteľ nachádza pri známom súčine a ďalšom súčiniteľovi, kde je zachovaný jeho daný význam s obyčajnými zlomkami.
Ak potrebujete deliť obyčajný zlomok a b c d, potom na určenie takého čísla musíte vynásobiť deliteľom c d, výsledkom bude dividenda a b. Získajte číslo a napíšte ho a b d c, kde d c je prevrátená hodnota c d čísla. Rovnosti možno zapísať pomocou vlastností násobenia, a to: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b, kde výraz a b d c je podiel delenia a b c d.
Z toho získame a sformulujeme pravidlo na delenie obyčajných zlomkov:
Definícia 1
Ak chcete rozdeliť spoločný zlomok ab na c d, musíte dividendu vynásobiť prevrátenou hodnotou deliteľa.
Napíšme pravidlo ako výraz: a b: c d = a b d c
Pravidlá delenia sú zredukované na násobenie. Aby ste sa toho držali, musíte sa dobre orientovať v násobení obyčajných zlomkov.
Prejdime k úvahám o delení obyčajných zlomkov.
Príklad 1
Vydeľte 9 7 číslom 5 3. Výsledok zapíšte ako zlomok.
Riešenie
Číslo 5 3 je prevrátené číslo 3 5. Musí sa použiť pravidlo delenia bežných zlomkov. Tento výraz zapíšeme takto: 9 7: 5 3 = 9 7 3 5 = 9 3 7 5 = 27 35.
odpoveď: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Pri znižovaní zlomkov by sa mala vybrať celá časť, ak je čitateľ väčší ako menovateľ.
Príklad 2
Deliť 8 15: 24 65. Odpoveď napíšte zlomkom.
Riešenie
Ak chcete vyriešiť, musíte prejsť od delenia k násobeniu. Zapíšme si to v tomto tvare: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Je potrebné vykonať zníženie, a to takto: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Vyberte celú časť a získajte 13 9 = 1 4 9.
odpoveď: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Používame pravidlo delenia zlomku prirodzeným číslom: na delenie a b prirodzeným číslom n stačí vynásobiť menovateľa n. Odtiaľ dostaneme výraz: a b: n = a b · n.
Pravidlo delenia je dôsledkom pravidla násobenia. Preto prezentácia prirodzené číslo vo forme zlomku dá rovnosť tohto typu: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.
Zvážte toto rozdelenie zlomku číslom.
Príklad 3
Vydeľte zlomok 16 45 číslom 12.
Riešenie
Aplikujme pravidlo delenia zlomku číslom. Dostaneme výraz v tvare 16 45: 12 = 16 45 12.
Zredukujeme zlomok. Získame 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 3 5 = 4 135.
odpoveď: 16 45: 12 = 4 135 .
Pravidlo rozdelenia je podobné O pravidlo delenia prirodzeného čísla obyčajným zlomkom: na delenie prirodzeného čísla n obyčajným číslom a b je potrebné vynásobiť číslo n prevrátenou hodnotou zlomku a b.
Na základe pravidla máme n: a b = n b a a vďaka pravidlu o násobení prirodzeného čísla obyčajným zlomkom dostaneme naše vyjadrenie v tvare n: a b = n b a. Toto rozdelenie je potrebné zvážiť na príklade.
Príklad 4
Vydeľte 25 číslom 15 28.
Riešenie
Musíme prejsť od delenia k násobeniu. Píšeme v tvare výrazu 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Zmenšením zlomku získate výsledok ako zlomok 46 2 3.
odpoveď: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Pri delení obyčajného zlomku zmiešaným číslom môžete jednoducho deliť obyčajné zlomky. Je potrebné previesť zmiešané číslo na nesprávny zlomok.
Príklad 5
Vydeľte 35 16 číslom 3 1 8.
Riešenie
Keďže 3 1 8 je zmiešané číslo, predstavte ho ako nevlastný zlomok. Potom dostaneme 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Teraz rozdeľme zlomky. Získame 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
odpoveď: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Delenie zmiešaného čísla sa robí rovnakým spôsobom ako pri obyčajných číslach.
Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter
Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi "nie veľmi ..."
A pre tých, ktorí sú „veľmi vyrovnaní...“)
Táto operácia je oveľa krajšia ako sčítanie-odčítanie! Pretože je to jednoduchšie. Pripomínam vám: na vynásobenie zlomku zlomkom musíte vynásobiť čitateľov (toto bude čitateľ výsledku) a menovateľov (toto bude menovateľ). To je:
Napríklad:
Všetko je mimoriadne jednoduché... A prosím, nehľadajte spoločného menovateľa! Nepotrebuješ ho tu...
Ak chcete zlomok rozdeliť na zlomok, musíte ho prevrátiť druhý(to je dôležité!) zlomok a vynásobte ich, t.j.:
Napríklad:
Ak narazíte na násobenie alebo delenie s celými číslami a zlomkami - je to v poriadku. Rovnako ako pri sčítaní z celého čísla vytvoríme zlomok s jednotkou v menovateli – a ideme na to! Napríklad:
Na strednej škole sa často musíte zaoberať trojposchodovými (alebo aj štvorposchodovými!) zlomkami. Napríklad:
Ako priviesť tento zlomok k decentnému vzhľadu? Je to veľmi jednoduché! Použite dvojbodové delenie:
Nezabudnite však na poradie rozdelenia! Na rozdiel od násobenia je to tu veľmi dôležité! Samozrejme, 4: 2, alebo 2: 4, nebudeme si pliesť. Ale v trojposchodovom zlomku je ľahké urobiť chybu. Všimnite si napríklad:
V prvom prípade (výraz vľavo):
V druhom (výraz vpravo):
Cítiš ten rozdiel? 4 a 1/9!
A čo určuje poradie delenia? Alebo zátvorky, alebo (ako tu) dĺžka vodorovných tyčí. Rozvíjať oko. A ak neexistujú žiadne zátvorky alebo pomlčky, napríklad:
potom delíme-násobíme v poradí, zľava doprava!
A ešte jeden veľmi jednoduchý a dôležitý trik. V akciách s titulmi, ach, aké to bude pre vás užitočné! Vydeľte jednotku ľubovoľným zlomkom, napríklad 13/15:
Zlomok sa obrátil! A vždy sa to tak deje. Pri delení 1 ľubovoľným zlomkom je výsledkom rovnaký zlomok, len prevrátený.
To je všetko pre zlomky. Vec je celkom jednoduchá, no chýb dáva viac než dosť. Poznámka praktické rady, a bude menej (chýb)!
Praktické rady:
1. Najdôležitejšia vec pri práci so zlomkovými výrazmi je presnosť a starostlivosť! Toto nie sú všeobecné slová, nie dobré priania! Toto je priam nevyhnutnosť! Všetky výpočty na skúške robte ako plnohodnotnú úlohu, sústredene a prehľadne. Je lepšie napísať do konceptu dva riadky navyše, ako si to pokaziť pri počítaní v hlave.
2. V príkladoch s rôzne druhy zlomky - prejdite na obyčajné zlomky.
3. Všetky frakcie sa zredukujú až na doraz.
4. Viacposchodové zlomkové výrazy sa pomocou delenia cez dva body redukujú na obyčajné (pozor na poradie delenia!).
5. Rozdeľte jednotku na zlomok v duchu, jednoducho zlomok otočte.
Tu sú úlohy, ktoré určite musíte vyriešiť. Odpovede sú uvedené po všetkých úlohách. Použite materiály na túto tému a praktické rady. Zvážte, koľko príkladov ste dokázali správne vyriešiť. Prvý krát! Žiadna kalkulačka! A urobte správne závery...
Pamätajte - správna odpoveď je prijaté od druhého (o to viac - tretieho) razu - sa nepočíta! Toto je krutý život.
takze riešime v skúšobnom režime ! Mimochodom, toto je už príprava na skúšku. Príklad vyriešime, skontrolujeme, vyriešime ďalší. Všetko sme rozhodli - znova skontrolovali od prvého do posledného. Iba Potom pozri si odpovede.
Vypočítať:
uz si to vyriesil?
Hľadáme odpovede, ktoré zodpovedajú vašim. Schválne som ich napísal do neporiadku, takpovediac ďaleko od pokušenia... Tu sú odpovede oddelené bodkočiarkou.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
A teraz robíme závery. Ak sa všetko podarilo, som za vás rád! Základné výpočty so zlomkami nie sú váš problém! Môžete robiť aj vážnejšie veci. Ak nie...
Takže máte jeden z dvoch problémov. Alebo oboje naraz.) Nedostatok vedomostí a/alebo nepozornosť. Ale toto riešiteľný Problémy.
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Okamžité overovacie testovanie. Učenie - so záujmom!)
môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.
