Atď. má všeobecný vzdelávací charakter a má veľký význam pre štúdium CELÉHO kurzu vyššej matematiky. Dnes si zopakujeme „školské“ rovnice, ale nielen tie „školské“ – ale tie, ktoré sa nachádzajú všade v rôznych úlohách vysmatu. Ako už býva zvykom, dej pôjde aplikovaným spôsobom, t.j. Nebudem sa zameriavať na definície, klasifikácie, ale presne sa s vami podelím osobná skúsenosť riešenia. Informácie sú určené predovšetkým začiatočníkom, ale aj viac pripravených čitateľov si nájde veľa zaujímavých bodov pre seba. A samozrejme bude nový materiál, mimo rozsah stredná škola.
Takže rovnica... Mnoho ľudí si toto slovo zapamätá s otrasom. Čo sú to za "vymyslené" rovnice s koreňmi... ...zabudnite na ne! Pretože ďalej stretnete tých najneškodnejších „zástupcov“ tohto druhu. Alebo nudné goniometrické rovnice s desiatkami metód na riešenie. Úprimne povedané, ani sa mi nepáčili... Žiadna panika! - vtedy vás očakávajú hlavne "púpavy" so samozrejmým riešením v 1-2 krokoch. Aj keď sa „lopúch“ samozrejme drží – tu treba byť objektívny.
Napodiv, vo vyššej matematike je oveľa bežnejšie zaoberať sa veľmi primitívnymi rovnicami ako napr lineárne rovnice.
Čo znamená vyriešiť túto rovnicu? To znamená - nájsť TAKÚ hodnotu "x" (koreň), ktorá ho premení na skutočnú rovnosť. Otočme „trojku“ doprava so zmenou znamienka:
a pustite „dvojku“ na pravú stranu (alebo to isté - vynásobte obe časti číslom)
:
Pre kontrolu dosadíme získanú trofej do pôvodnej rovnice: 
Získa sa správna rovnosť, čo znamená, že nájdená hodnota je skutočne koreňom tejto rovnice. Alebo, ako sa hovorí, spĺňa túto rovnicu.
Všimnite si, že koreň možno zapísať aj ako desatinný zlomok:
A snažte sa nedržať tohto škaredého štýlu! Dôvod som opakoval mnohokrát, najmä hneď na prvej hodine vyššia algebra.
Mimochodom, rovnica sa dá vyriešiť aj „v arabčine“:
A čo je najzaujímavejšie - tento záznam je úplne legálny! Ale ak nie si učiteľ, tak to radšej nerob, lebo originalita sa tu trestá =)
A teraz trochu o
Rovnica má tvar a jej koreň je "x" súradnica priesečníky graf lineárnej funkcie s grafom lineárnej funkcie (os úsečky):
Zdalo by sa, že príklad je taký elementárny, že tu už nie je čo analyzovať, ale dá sa z neho „vytlačiť“ ešte jedna neočakávaná nuansa: tú istú rovnicu znázorníme vo forme a nakreslíme grafy funkcií: 
pričom prosím nezamieňajte si tieto dve veci: rovnica je rovnica a funkciu je funkcia! Funkcie len pomoc nájsť korene rovnice. Z ktorých môžu byť dve, tri, štyri a dokonca nekonečne veľa. Najbližší príklad v tomto zmysle je známy každému kvadratická rovnica, ktorej algoritmus riešenia bol ocenený samostatnou položkou „horúce“ školské formule. A to nie je náhoda! Ak viete vyriešiť kvadratickú rovnicu a viete Pytagorova veta, potom by sa dalo povedať „podlahu vyššej matematiky už máte vo vrecku“ =) Prehnané, samozrejme, ale nie až tak ďaleko od pravdy!
A preto nie sme príliš leniví a vyriešime nejakú kvadratickú rovnicu podľa štandardný algoritmus:
, takže rovnica má dve rôzne platné koreň: 
Je ľahké overiť, že obe nájdené hodnoty skutočne spĺňajú túto rovnicu: 
Čo robiť, ak ste náhle zabudli algoritmus riešenia a po ruke nie sú žiadne nástroje / pomocné ruky? Takáto situácia môže nastať napríklad pri teste alebo skúške. Používame grafickú metódu! A existujú dva spôsoby: môžete bodovo stavať parabola 
, čím sa zistí, kde pretína os (ak sa to vôbec skríži). Je však lepšie konať prefíkanejšie: rovnicu uvádzame vo forme, kreslíme grafy jednoduchších funkcií - a "x" súradnice ich priesečníky, na prvý pohľad! 
Ak sa ukáže, že sa priamka dotýka paraboly, potom rovnica má dva zhodné (viacnásobné) korene. Ak sa ukáže, že priamka nepretína parabolu, potom neexistujú žiadne skutočné korene.
K tomu je samozrejme potrebné vedieť stavať grafy elementárnych funkcií, no na druhej strane, tieto schopnosti má v silách aj školák.
A opäť - rovnica je rovnica a funkcie sú funkcie, ktoré len pomohol vyriešiť rovnicu!
A tu, mimochodom, by bolo vhodné pripomenúť ešte jednu vec: ak sú všetky koeficienty rovnice vynásobené nenulovým číslom, potom sa jej korene nezmenia.
Takže napríklad rovnica 
má rovnaké korene. Ako najjednoduchší „dôkaz“ vyberiem konštantu zo zátvoriek: 
a bezbolestne ho odstráňte (obe časti rozdelím na „mínus dve“):
ALE! Ak vezmeme do úvahy funkciu 
, tak tu je už nemožné zbaviť sa konštanty! Násobiteľ je možné vybrať len zo zátvoriek: 
.
Mnohí spôsob grafického riešenia podceňujú, považujú ho za niečo „nedôstojné“ a niektorí na túto možnosť dokonca úplne zabúdajú. A to je zásadne nesprávne, pretože sprisahanie niekedy zachráni situáciu!
Ďalší príklad: Predpokladajme, že si nepamätáte korene najjednoduchšej goniometrickej rovnice:. Všeobecný vzorec je v školských učebniciach, vo všetkých príručkách o elementárnej matematike, ale nie sú vám k dispozícii. Riešenie rovnice je však kritické (inak „dva“). Existuje východ! - vytvárame grafy funkcií: 
potom si pokojne zapíšeme súradnice "x" ich priesečníkov: 
Existuje nekonečne veľa koreňov a ich zložený zápis je akceptovaný v algebre:
, kde ( – množina celých čísel)
.
A bez „odchodu od pokladne“ pár slov o grafickej metóde riešenia nerovností s jednou premennou. Princíp je rovnaký. Takže napríklad akékoľvek "x" je riešením nerovnosti, pretože sínusoida leží takmer celá pod priamkou. Riešením nerovnosti je množina intervalov, na ktorých časti sínusoidy ležia presne nad priamkou (úsečka):
alebo v skratke:
A tu je súbor riešení nerovnosti - prázdny, keďže žiadny bod sínusoidy neleží nad priamkou.
Nie je niečo jasné? Naliehavo si preštudujte lekcie o súpravy a funkčné grafy!
Zahriať sa:
Cvičenie 1
Vyriešte graficky nasledujúce trigonometrické rovnice:
Odpovede na konci lekcie
Ako vidíte, na štúdium presných vied nie je vôbec potrebné napchať vzorce a referenčné knihy! Navyše ide o zásadne zlý prístup.
Ako som vás už na začiatku hodiny ubezpečil, zložité goniometrické rovnice sa v štandardnom kurze vyššej matematiky musia riešiť veľmi zriedkavo. Všetka zložitosť sa spravidla končí rovnicami ako , ktorých riešením sú dve skupiny koreňov odvodené z najjednoduchších rovníc a 
. S riešením druhého sa príliš netrápte - pozrite sa do knihy alebo si to nájdite na internete =)
V menej triviálnych prípadoch môže pomôcť aj grafický spôsob riešenia. Zvážte napríklad nasledujúcu „pestrú“ rovnicu:
Vyhliadky na jej riešenie vyzerajú ... vôbec nevyzerajú, ale stačí rovnicu prezentovať v tvare , zostrojiť funkčné grafy a všetko bude neuveriteľne jednoduché. Kresba je v strede článku o nekonečne malé funkcie (otvorí sa na ďalšej karte).
Pomocou rovnakej grafickej metódy môžete zistiť, že rovnica už má dva korene a jeden z nich sa rovná nule a druhý, zdá sa, iracionálny a patrí do segmentu . Tento koreň možno vypočítať približne napr. tangentová metóda. Mimochodom, pri niektorých úlohách sa stáva, že nie je potrebné nájsť korene, ale zistiť či vôbec existujú. A aj tu môže pomôcť kresba – ak sa grafy nepretínajú, tak tam nie sú korene.
A teraz vám navrhujem obrátiť oči do stredoveku a pocítiť jedinečnú atmosféru klasickej algebry. Pre lepšie pochopenie látky odporúčam aspoň malé zoznámenie sa s komplexné čísla.
Oni sú najviac. Polynómy.
Objektom nášho záujmu budú najčastejšie polynómy tvaru s celý koeficienty . Prirodzené číslo volal polynomický stupeň, číslo - koeficient na najvyššom stupni (alebo len najvyšší koeficient), a koeficient je voľný člen.
Tento polynóm označím zložený .
Polynomické korene nazývané korene rovnice
Milujem železnú logiku =)
Pre príklady ideme na úplný začiatok článku: 
S hľadaním koreňov polynómov 1. a 2. stupňa nie sú žiadne problémy, no s pribúdajúcimi úlohami je táto úloha čoraz ťažšia. Ale na druhej strane je všetko zaujímavejšie! A práve tomu bude venovaná druhá časť lekcie.
Najprv doslova pol obrazovky teórie:
1) Podľa dôsledkov základná veta algebry, stupeň polynóm má presne integrovaný korene. Niektoré korene (alebo dokonca všetky) môžu byť konkrétne platné. Okrem toho medzi skutočnými koreňmi môžu byť rovnaké (viaceré) korene (minimálne dva, maximálne kusy).
Ak je nejaké komplexné číslo koreňom polynómu, potom konjugovať jeho číslo je tiež nevyhnutne koreňom tohto polynómu (korene konjugovaného komplexu majú tvar ).
Najjednoduchším príkladom je kvadratická rovnica, s ktorou sme sa prvýkrát stretli v 8 (Páči sa mi to) triedy, a ktoré sme nakoniec v téme „dopracovali“. komplexné čísla. Pripomínam vám: kvadratická rovnica má buď dva rôzne skutočné korene, alebo viaceré korene, alebo konjugované komplexné korene.
2) Od Bezoutove vety z toho vyplýva, že ak je číslo koreňom rovnice, príslušný polynóm možno faktorizovať:
, kde je polynóm stupňa .
A opäť náš starý príklad: keďže je koreňom rovnice , potom . Potom je ľahké získať známy "školský" rozklad.
Dôsledok Bezoutovej vety má veľkú praktickú hodnotu: ak poznáme koreň rovnice 3. stupňa, môžeme ho znázorniť v tvare 
a od kvadratická rovnica je ľahké rozpoznať zvyšok koreňov. Ak poznáme koreň rovnice 4. stupňa, potom je možné ľavú stranu rozšíriť na súčin atď.
A tu sú dve otázky:
Otázka jedna. Ako nájsť tento koreň? Najprv si definujme jeho povahu: v mnohých problémoch vyššej matematiky sa vyžaduje nájsť racionálny, najmä celý korene polynómov a v tomto smere nás ďalej budú zaujímať hlavne tie .... ...sú také dobré, také nadýchané, že ich jednoducho chcete nájsť! =)
Prvá vec, ktorá sa navrhuje, je metóda výberu. Zoberme si napríklad rovnicu . Háčik je tu vo voľnom termíne - ak by sa rovnal nule, všetko by bolo v prelamovaní - "x" dáme von zo zátvoriek a samotné korene "vypadnú" na povrch: 
Ale náš voľný člen sa rovná „trom“, a preto začneme do rovnice dosadzovať rôzne čísla, ktoré tvrdia, že sa nazývajú „koreň“. V prvom rade sa navrhuje nahradenie jednotlivých hodnôt. Náhradník: 
Prijaté nesprávne rovnosť, teda jednotka „nesadla“. Dobre, vložíme to: 
Prijaté správne rovnosť! To znamená, že hodnota je koreňom tejto rovnice.
Na nájdenie koreňov polynómu 3. stupňa existuje analytická metóda (takzvané Cardanoove vzorce), no nás teraz zaujíma trochu iný problém.
Keďže - je koreňom nášho polynómu, potom môže byť polynóm reprezentovaný v tvare a vzniká Druhá otázka: ako nájsť „mladšieho brata“?
Najjednoduchšie algebraické úvahy naznačujú, že na to musíte deliť. Ako rozdeliť polynóm polynómom? To isté školská metóda, ktoré delia obyčajné čísla – „stĺpec“! Túto metódu som podrobne rozobral v prvých príkladoch lekcie. Komplexné limity, a teraz zvážime ďalšiu metódu, ktorá sa nazýva Hornerova schéma.
Najprv napíšeme „starší“ polynóm so všetkými
vrátane nulových koeficientov:
, po ktorom zadáme tieto koeficienty (presne v poradí) do horného riadku tabuľky:
Naľavo píšeme koreň:
Okamžite urobím rezerváciu, že Hornerova schéma funguje aj v prípade „červeného“ čísla nie je koreňom polynómu. Neunáhlime sa však.
Zhora vezmeme seniorský koeficient:
Proces vypĺňania spodných buniek trochu pripomína vyšívanie, kde „mínus jedna“ je druh „ihly“, ktorá preniká do nasledujúcich krokov. "Zbúrané" číslo vynásobíme (-1) a k produktu pridáme číslo z hornej bunky:
Nájdenú hodnotu vynásobíme „červenou ihlou“ a k produktu pridáme nasledujúci koeficient rovnice:
A nakoniec sa výsledná hodnota opäť „spracuje“ s „ihlou“ a horným koeficientom:
Nula v poslednej bunke nám hovorí, že sa polynóm rozdelil na bez stopy (ako má byť), pričom koeficienty expanzie sú „odstránené“ priamo zo spodného riadku tabuľky:
Prešli sme teda od rovnice k ekvivalentnej rovnici a s dvoma zostávajúcimi koreňmi je všetko jasné (v tomto prípade sa získajú korene konjugovaného komplexu).
Rovnica, mimochodom, sa dá vyriešiť aj graficky: stavať "zips" 
a uvidíte, že graf pretína os x ()
v bode . Alebo rovnaký "prefíkaný" trik - prepíšeme rovnicu do tvaru , nakreslíme elementárne grafy a zistíme súradnicu "x" ich priesečníka.
Mimochodom, graf ľubovoľnej polynómovej funkcie 3. stupňa pretína os aspoň raz, čo znamená, že zodpovedajúca rovnica má najmenej jeden platné koreň. Táto skutočnosť platí pre akúkoľvek polynómovú funkciu nepárneho stupňa.
A tu sa chcem tiež zastaviť dôležitý bodčo sa týka terminológie: polynóm a polynomiálna funkcia – nie je to to isté! V praxi sa však často hovorí napríklad o „polynomickom grafe“, ktorý je, samozrejme, nedbanlivý.
Ale vráťme sa k Hornerovej schéme. Ako som nedávno spomenul, táto schéma funguje aj pre iné čísla, ale ak číslo nie je koreň rovnice, potom sa v našom vzorci objaví nenulová prísada (zvyšok):
„Neúspešnú“ hodnotu „zajazdíme“ podľa Hornerovej schémy. Zároveň je vhodné použiť rovnakú tabuľku - vľavo zapíšeme novú „ihlu“, zhora zničíme najvyšší koeficient (zelená šípka doľava) a ideme preč: 
Pre kontrolu otvárame zátvorky a dávame podobné výrazy:
, OK.
Je ľahké vidieť, že zvyšok („šesť“) je presne hodnota polynómu v . A v skutočnosti - čo to je: 
a ešte krajšie - takto:
Z vyššie uvedených výpočtov je ľahké pochopiť, že Hornerova schéma umožňuje nielen faktorizovať polynóm, ale aj vykonať "civilizovaný" výber koreňa. Navrhujem, aby ste nezávisle opravili výpočtový algoritmus malou úlohou:
Úloha 2
Pomocou Hornerovej schémy nájdite celý koreň rovnice a rozkladajte príslušný polynóm na faktor
Inými slovami, tu musíte postupne kontrolovať čísla 1, -1, 2, -2, ... -, kým sa v poslednom stĺpci „nevykreslí“ nulový zvyšok. To bude znamenať, že "ihla" tejto čiary je koreňom polynómu
Výpočty sú pohodlne usporiadané v jednej tabuľke. Podrobné riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Metóda výberu koreňov je dobrá pre relatívne jednoduché prípady, ale ak sú koeficienty a / alebo stupeň polynómu veľké, proces sa môže oneskoriť. Alebo možno niektoré hodnoty z toho istého zoznamu 1, -1, 2, -2 a nemá zmysel uvažovať? A okrem toho sa korene môžu ukázať ako zlomkové, čo povedie k úplne nevedeckému popichovaniu.
Našťastie existujú dve silné teorémy, ktoré môžu výrazne znížiť počet „kandidátskych“ hodnôt pre racionálne korene:
Veta 1 Zvážte neredukovateľné zlomok , kde . Ak je číslo koreňom rovnice, potom je voľný člen deliteľný a vodiaci koeficient je deliteľný číslom.
Najmä, ak je vodiaci koeficient , potom tento racionálny koreň je celé číslo:
A začneme využívať vetu práve z tohto chutného konkrétneho:
Vráťme sa k rovnici. Keďže jeho vodiaci koeficient je , hypotetické racionálne korene môžu byť výlučne celé číslo a voľný člen musí byť týmito koreňmi bezo zvyšku deliteľný. A "trojku" možno rozdeliť len na 1, -1, 3 a -3. To znamená, že máme len 4 "kandidátov na korene." A podľa toho Veta 1, iné racionálne čísla nemôžu byť PRINCÍPY koreňmi tejto rovnice.
V rovnici je o niečo viac „žiadateľov“: voľný termín je rozdelený na 1, -1, 2, -2, 4 a -4.
Upozorňujeme, že čísla 1, -1 sú "bežné" v zozname možných koreňov (zrejmý dôsledok vety) a väčšina najlepšia voľba na prvú kontrolu.
Prejdime k zmysluplnejším príkladom:
Úloha 3
rozhodnutie: keďže vedúci koeficient , potom môžu byť hypotetické racionálne korene iba celé čísla, pričom musia byť deliteľmi voľného člena. "Mínus štyridsať" je rozdelené do nasledujúcich dvojíc čísel:
- spolu 16 "kandidátov".
A tu sa okamžite objaví lákavá myšlienka: je možné odstrániť všetky negatívne alebo všetky pozitívne korene? V niektorých prípadoch môžete! Sformulujem dva znaky:
1) Ak všetky Ak sú koeficienty polynómu nezáporné, potom nemôže mať kladné korene. Žiaľ, toto nie je náš prípad (Teraz, ak by sme dostali rovnicu - potom áno, keď je akákoľvek hodnota polynómu striktne kladná, čo znamená, že všetky kladné čísla (a aj iracionálne) nemôžu byť koreňmi rovnice.
2) Ak sú koeficienty pre nepárne mocniny nezáporné a pre všetky párne mocniny (vrátane bezplatného člena) sú záporné, potom polynóm nemôže mať záporné korene. Toto je náš prípad! Pri bližšom pohľade môžete vidieť, že keď sa do rovnice nahradí akékoľvek záporné „x“, ľavá strana bude striktne záporná, čo znamená, že záporné korene zmiznú.
Na výskum teda zostáva 8 čísel:
Dôsledne ich „nabíjajte“ podľa Hornerovej schémy. Dúfam, že ste už zvládli mentálne výpočty: 
Pri testovaní „dvojky“ nás čakalo šťastie. Je teda koreňom uvažovanej rovnice a
Zostáva preskúmať rovnicu 
. Je ľahké to urobiť pomocou diskriminantu, ale rovnakým spôsobom vykonám exponenciálny test. Najprv si všimnite, že voľný termín sa rovná 20, čo znamená, že podľa Veta 1čísla 8 a 40 vypadnú zo zoznamu možných koreňov a hodnoty zostávajú na výskum (jeden bol eliminovaný podľa Hornerovej schémy).
Koeficienty trojčlenky zapíšeme do horného riadku novej tabuľky a začneme kontrolovať s rovnakými "dvojkami". prečo? A pretože korene môžu byť násobky, prosím: - táto rovnica má 10 rovnakých koreňov. Ale neodbočujme: 
A tu som bol, samozrejme, trochu prefíkaný, vediac, že korene sú racionálne. Ak by totiž boli iracionálne alebo komplexné, tak by som mal neúspešnú kontrolu všetkých zvyšných čísel. Preto sa v praxi riaďte diskriminantom.
Odpoveď: racionálne korene: 2, 4, 5
V analyzovanom probléme sme mali šťastie, pretože: a) záporné hodnoty okamžite klesli a b) koreň sme našli veľmi rýchlo (a teoreticky sme mohli skontrolovať celý zoznam).
V skutočnosti je však situácia oveľa horšia. Pozývam vás pozrieť vzrušujúca hra s názvom "Posledný hrdina":
Úloha 4
Nájdite racionálne korene rovnice
rozhodnutie: zapnuté Veta 1 hypotetických čitateľov racionálne korene musí spĺňať podmienku (čítaj „dvanásť je deliteľných pivom“) a menovateľmi podmienky . Na základe toho dostaneme dva zoznamy:
"zoznam el":
a "uveďte ich": (našťastie, tu sú čísla prirodzené).
Teraz si urobme zoznam všetkých možných koreňov. Najprv rozdelíme „zoznam piva“ podľa . Je úplne jasné, že dopadnú rovnaké čísla. Pre pohodlie si ich dajme do tabuľky:
Mnohé zlomky boli znížené, výsledkom čoho sú hodnoty, ktoré sú už v „zozname hrdinov“. Pridávame len „nováčikov“: 
Podobne rozdeľujeme rovnaký „zoznam piva“ podľa: 
a nakoniec ďalej
Tím účastníkov našej hry je teda obsadený: 
Bohužiaľ, polynóm tohto problému nespĺňa „kladné“ alebo „negatívne“ kritérium, a preto nemôžeme zahodiť horný alebo dolný riadok. Musíte pracovať so všetkými číslami.
Aká je tvoja nálada? No tak, otočte nos - existuje ďalšia veta, ktorú možno obrazne nazvať „zabijácka veta“ .... ... "kandidáti", samozrejme =)
Najprv však musíte prejsť Hornerovým diagramom aspoň na jeden celáčísla. Tradične berieme jeden. V hornom riadku napíšeme koeficienty polynómu a všetko je ako obvykle:
Keďže štyri zjavne nie je nula, hodnota nie je koreňom príslušného polynómu. Ale ona nám veľmi pomôže.
Veta 2 Ak pre niektorých všeobecne hodnota polynómu je nenulová: , potom jeho racionálne korene (ak sú) splniť podmienku
V našom prípade a teda všetky možné korene musia spĺňať podmienku (nazvime to podmienka #1). Táto štvorica bude „vrahom“ mnohých „kandidátov“. Ako ukážku sa pozriem na niekoľko kontrol:
Preverme kandidáta. Aby sme to dosiahli, umelo ho reprezentujeme ako zlomok , z čoho je jasne vidieť, že . Vypočítajme kontrolný rozdiel: . Štyri sú delené "mínus dva": čo znamená, že možný koreň prešiel testom.
Skontrolujeme hodnotu. Tu je rozdiel v teste: 
. Samozrejme, a preto v zozname zostáva aj druhý „testovaný subjekt“.
Ak polynóm
Dôkaz
Nech sú všetky koeficienty polynómu celé čísla a celé číslo a nech je koreňom tohto polynómu. Keďže v tomto prípade z toho vyplýva, že koeficient je deliteľný a.
Komentujte. Táto veta vlastne umožňuje nájsť korene polynómov vyšších stupňov v prípade, že koeficienty týchto polynómov sú celé čísla a koreň je racionálne číslo. Veta môže byť preformulovaná takto: ak vieme, že koeficienty polynómu sú celé čísla a jeho korene sú racionálne, potom tieto racionálne korene môžu byť len v tvare, kde p je deliteľ čísla (voľný člen) a číslo q je deliteľ čísla (najvyšší koeficient) .
Veta o odmocnení celého čísla, obsahujúce
Ak je celé číslo α koreňom polynómu s celočíselnými koeficientmi, potom α je deliteľom jeho voľného člena.
Dôkaz. Nechať byť:
P (x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +...+a n-1 x +a n
polynóm s celočíselnými koeficientmi a celým číslom α je jeho koreň.
Potom, podľa definície koreňa, rovnosť P (α)=0;
a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +...+a n-1 α +a n =0.
Vybratím spoločného činiteľa α zo zátvoriek dostaneme rovnosť:
α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , kde
a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)
Keďže čísla a 0 , a 1 ,...a n-1 , an a α sú celé čísla, v zátvorke je celé číslo, a teda a n je deliteľné α, čo bolo potrebné dokázať.
Dokázanú vetu možno formulovať aj takto: každý celý koreň polynómu s celočíselnými koeficientmi je deliteľom jeho voľného člena.
Algoritmus na nájdenie celých koreňov polynómu s celočíselnými koeficientmi je založený na vete: zapíšte všetkých deliteľov voľného termínu a postupne zapíšte hodnoty polynómov týchto čísel.
2.Doplnková veta o celočíselných koreňoch
Ak je celé číslo α koreňom polynómu P(x) s celočíselnými koeficientmi, potom α-1 je deliteľ čísla P(1), α+1 je deliteľ čísla P(-1)
Dôkaz. Z identity
xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+...+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)
z toho vyplýva, že pre celé čísla b a c je číslo bⁿ-cⁿ deliteľné b∙c. Ale pre každý polynóm P je rozdiel
P (b)-P(c)= (a 0 bⁿ+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +a n)=
=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+...+a n-1 (b-c)
a preto pre polynóm P s celočíselnými koeficientmi a celými číslami b a c je rozdiel P(b)-P(c) deliteľný b-c.
Potom: pre b = α , с=1, P (α)-P (1)= -P(1), čo znamená, že P(1) je deliteľné α-1. Druhý prípad sa posudzuje podobne.
Hornerova schéma
Veta: Nech je koreňom rovnice neredukovateľný zlomok p/q a 0 x n + a 1 x n − 1 + + a n − 1 x + a n =0 s celočíselnými koeficientmi, potom číslo q je deliteľ vedúceho koeficientu a0 a čísla R je deliteľom voľného členu a n .
Poznámka 1. Akýkoľvek celočíselný koreň rovnice s celočíselnými koeficientmi je deliteľom jej voľného člena.
Poznámka 2.Ak sa vodiaci koeficient rovnice s celočíselnými koeficientmi rovná 1, potom všetky racionálne korene, ak existujú, sú celé čísla.
Polynomický koreň. Koreň polynómu f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n je x = c , také že f (c) = 0 .
Poznámka 3. Ak x = c polynómový koreň , potom možno polynóm zapísať ako: f(x)=(x−c)q(x) , kde je podiel delenia polynómu f(x) do monomiálu x-c
Delenie polynómu monomom možno vykonať podľa Hornerovej schémy:
Ak f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , a0 ≠0 , g(x)=x-c , potom pri delení f (X) na g (X) súkromné q(x) má formu q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , kde b 0 = a 0 ,
b k =c b k − 1 + a k, k=1, 2, ,n−1. Zvyšok r sa nachádza podľa vzorca r=c b n − 1 + a n
rozhodnutie: Koeficient na najvyššom stupni je 1, takže celočíselné korene rovnice treba hľadať medzi deliteľmi voľného člena: 1; 2; 3; 4; 6; 12. pomocou Hornerovej schémy nájdeme celočíselné korene rovnice:
Ak sa vyberie jeden koreň podľa Hornerovej schémy. potom sa mozes rozhodnut takto x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3
Ako sme už uviedli, jedným z najdôležitejších problémov v teórii polynómov je problém hľadania ich koreňov. Na vyriešenie tohto problému môžete použiť metódu výberu, t.j. vezmite náhodne číslo a skontrolujte, či je koreňom daného polynómu.
V tomto prípade môžete rýchlo "naraziť" na koreň, alebo ho nikdy nenájdete. Koniec koncov, nie je možné skontrolovať všetky čísla, pretože ich je nekonečne veľa.
Iná vec by bola, keby sa nám podarilo zúžiť rozsah vyhľadávania, napríklad aby sme vedeli, že požadované korene sú povedzme medzi tridsiatimi určenými číslami. A pre tridsať čísel môžete urobiť kontrolu. V súvislosti so všetkým, čo bolo povedané vyššie, sa nasledujúce tvrdenie javí ako dôležité a zaujímavé.
Ak je neredukovateľný zlomok l/m (l,m sú celé čísla) koreňom polynómu f (x) s celočíselnými koeficientmi, potom vedúci koeficient tohto polynómu je deliteľný m a voľný člen je deliteľný 1.
Skutočne, ak f (x) = anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, kde an, an-1,...,a1, a0 sú celé čísla, potom f (l/ m) = 0, t.j. an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+... +al/m+a0=0.
Vynásobme obe časti tejto rovnosti mn. Získame anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.
To znamená:
anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).
Vidíme, že celé číslo anln je deliteľné m. Ale l/m je neredukovateľný podiel, t.j. čísla l a m sú prvočíslo a potom, ako je známe z teórie deliteľnosti celých čísel, čísla ln a m sú tiež prvočíslo. Takže anln je deliteľné m a m je spoločné s ln, takže an je deliteľné m.
Dokázaná téma nám umožňuje výrazne zúžiť oblasť vyhľadávania racionálnych koreňov polynómu s celočíselnými koeficientmi. Ukážme si to na konkrétnom príklade. Nájdite racionálne korene polynómu f (x) =6x4+13x2-24x2-8x+8. Podľa vety patria racionálne korene tohto polynómu medzi ireducibilné zlomky tvaru l/m, kde l je deliteľ voľného člena a0=8 a m je deliteľ vedúceho koeficientu a4=6. súčasne, ak je zlomok l/m záporný, znamienko "-" sa bude vzťahovať na čitateľa. Napríklad - (1/3) = (-1) /3. Môžeme teda povedať, že l je deliteľ čísla 8 a m je kladný deliteľ čísla 6.
Keďže delitelia čísla 8 sú ±1, ±2, ±4, ±8 a kladní delitelia čísla 6 sú 1, 2, 3, 6, potom racionálne korene uvažovaného polynómu patria medzi čísla ±1, ±1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Pripomeňme, že sme vypísali len nezredukovateľné zlomky.
Takto máme dvadsať čísel – „kandidátov“ na korene. Zostáva len skontrolovať každý z nich a vybrať tie, ktoré sú skutočne koreňmi. Ale opäť musíte urobiť pomerne veľa kontrol. Ale nasledujúca veta zjednodušuje túto prácu.
Ak je neredukovateľný zlomok l/m koreňom polynómu f(x) s celočíselnými koeficientmi, potom f(k) je deliteľné l-km pre akékoľvek celé číslo k za predpokladu, že l-km?0.
Na dôkaz tejto vety vydelíme f (x) x-k so zvyškom. Dostaneme f (X) = (x-k) s (X) +f (k). Keďže f (x) je polynóm s celočíselnými koeficientmi, tak aj polynóm s (x) a f (k) je celé číslo. Nech s (x) = bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Potom f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0). Do tejto rovnosti vložíme x=l/m. Ak vezmeme do úvahy, že f (l/m) = 0, dostaneme
f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .
Vynásobte obe strany poslednej rovnosti mn:
mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).
Z toho vyplýva, že celé číslo mnf (k) je deliteľné l-km. Ale keďže l a m sú koprimé, mn a l-km sú tiež koprimé, takže f(k) je deliteľné l-km. Veta bola dokázaná.
Vráťme sa teraz k nášmu príkladu a pomocou dokázanej vety ďalej zužme okruh hľadania racionálnych koreňov. Aplikujme zadanú vetu pri k=1 a k=-1, t.j. ak je neredukovateľný zlomok l/m koreňom polynómu f(x), potom f(1)/(l-m) a f(-1)/(l+m). Je ľahké zistiť, že v našom prípade f (1) = -5 a f (-1) = -15. Všimnite si, že zároveň sme vylúčili ±1 z úvahy.
Takže racionálne korene nášho polynómu treba hľadať medzi číslami ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/ 3.
Uvažujme l/m=1/2. Potom l-m=-1 a f (1) =-5 je deliteľné týmto číslom. Ďalej, l + m = 3 a f (1) = -15 je tiež deliteľné 3. Zlomok 1/2 teda zostáva medzi "kandidátmi" na korene.
Nech teraz lm=- (1/2) = (-1) /2. V tomto prípade l-m=-3 a f (1) =-5 nie je deliteľné -3. Zlomok -1/2 teda nemôže byť koreňom tohto polynómu a z ďalšieho uvažovania ho vylučujeme. Skontrolujeme pre každý z vyššie napísaných zlomkov, dostaneme, že požadované korene sú medzi číslami 1/2, ±2/3, 2, - 4.
Pomerne jednoduchým trikom sme teda výrazne zúžili oblasť hľadania racionálnych koreňov uvažovaného polynómu. Aby sme skontrolovali zostávajúce čísla, použijeme Hornerovu schému:
Tabuľka 10
Dostali sme, že zvyšok pri delení g (x) x-2/3 je - 80/9, t.j. 2/3 nie sú koreňom polynómu g (x), a teda f (x).
Ďalej ľahko zistíme, že - 2/3 je koreň polynómu g (x) a g (x) = (3x+2) (x2+2x-4). Potom f (x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Ďalšie overenie je možné vykonať pre polynóm x2+2x-4, čo je samozrejme jednoduchšie ako pre g (x) alebo ešte viac pre f (x). Výsledkom je, že čísla 2 a - 4 nie sú korene.
Takže polynóm f (x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 má dva racionálne korene: 1/2 a - 2/3.
Pripomeňme, že vyššie opísaná metóda umožňuje nájsť iba racionálne korene polynómu s celočíselnými koeficientmi. Medzitým môže mať aj polynóm iracionálne korene. Takže napríklad polynóm uvažovaný v príklade má ďalšie dva korene: - 1 ± v5 (to sú korene polynómu x2 + 2x-4). A vo všeobecnosti polynóm nemusí mať racionálne korene.
Teraz si poďme poradiť.
Pri testovaní „kandidátov“ na korene polynómu f (x) pomocou druhej z vyššie dokázaných viet sa táto zvyčajne používa pre prípady k=±1. Inými slovami, ak l/m je "kandidát" na korene, potom skontrolujú, či f (1) a f (-1) sú deliteľné l-m a l+m. Ale môže sa stať, že napríklad f (1) =0, teda 1 je koreň a potom f (1) je deliteľné ľubovoľným číslom a naša kontrola stráca zmysel. V tomto prípade by sa f(x) malo deliť x-1, t.j. získajte f (x) = (x-1) s (x) a otestujte polynóm s (x). Zároveň by sme nemali zabúdať, že jeden koreň polynómu f (x) - x1=1 sme už našli. Ak pri kontrole "kandidátov" na korene zostávajúce po použití druhej vety o racionálnych koreňoch podľa Hornerovej schémy dostaneme, že napríklad l / m je koreň, potom by sa mala nájsť jeho násobnosť. Ak je to, povedzme, k, potom f(x) = (x-l/m)ks(x) a ďalšie overenie možno vykonať pre s(x), čo znižuje výpočet.
Tak sme sa naučili nájsť racionálne korene polynómu s celočíselnými koeficientmi. Ukazuje sa, že týmto spôsobom sme sa naučili nájsť iracionálne korene polynómu s racionálnymi koeficientmi. V skutočnosti, ak máme napríklad polynóm f (x) = x4 + 2 / 3x3 + 5 / 6x2 + 3 / 8x + 2, potom, keď koeficienty zredukujeme na spoločného menovateľa a dáme ho zo zátvoriek, dostaneme f (x) = 1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Je zrejmé, že korene polynómu f (x) sa zhodujú s koreňmi polynómu v zátvorkách a jeho koeficienty sú celé čísla. Dokážme napríklad, že sin100 je iracionálne číslo. Použime známy vzorec sin3?=3sin?-4sin3?. Preto sin300=3sin100-4sin3100. Ak vezmeme do úvahy, že sin300=0,5 a vykonáme jednoduché transformácie, dostaneme 8sin3100-6sin100+1=0. Preto sin100 je koreňom polynómu f (x) =8x3-6x+1. Ak budeme hľadať racionálne korene tohto polynómu, potom sa presvedčíme, že neexistujú. To znamená, že koreň sin100 nie je racionálne číslo, t.j. sin100 je iracionálne číslo.
Otázka hľadania racionálnych koreňov polynómu f(X)Q[X] (s racionálnymi koeficientmi) redukuje na otázku hľadania racionálnych koreňov polynómov k
∙
f(X)
Z[X] (s celočíselnými koeficientmi). Tu je číslo k je najmenší spoločný násobok koeficientov daného polynómu.
Nevyhnutné, ale nie dostatočné podmienky existencia racionálnych koreňov polynómu s celočíselnými koeficientmi je daná nasledujúcou vetou.
Veta 6.1 (o racionálnych koreňoch polynómu s celočíselnými koeficientmi).
Ak
–
racionálny koreň polynómuf(X)
=
a n
X n +
+
…+
a 1
X
+
a 0
s
celý
koeficienty a(p,
q)
= 1, potom čitateľ zlomkupje deliteľom voľného termínu a 0
a menovateľqje deliteľ vedúceho koeficientu a 0
.
Veta 6.2.Ak
Q
(
kde
(p,
q)
=
1)
je racionálny koreň polynómu
f(X)
s celočíselnými koeficientmi teda
–celé čísla.
Príklad. Nájdite všetky racionálne korene polynómu
f(X) = 6 X 4 + X 3 + 2 X 2 – 4 x+ 1.
1. Podľa vety 6.1: ak
–
racionálny koreň polynómu f(X),
( kde( p,
q)
= 1),
potom a 0
= 1
p,
a n
= 6
q. Takže p 
{
1}, q 
(1, 2, 3, 6), tak
.
2. Je známe, že (dôsledok 5.3) číslo a je koreňom polynómu f(X) vtedy a len vtedy f(X) deleno ( x - a).
Preto skontrolujte, či čísla 1 a -1 sú koreňmi polynómu f(X) môžete použiť Hornerovu schému:
f(1)
= 6
0,f(–1)
= 12
0, takže 1 a -1 nie sú korene polynómu f(X).
3. Vyradiť niektoré zo zostávajúcich čísel 
, používame vetu 6.2. Ak výrazy 
alebo 
preberá celočíselné hodnoty pre zodpovedajúce hodnoty čitateľa p a menovateľ q, potom do príslušných buniek tabuľky (pozri nižšie) napíšeme písmeno „c“, inak - „dr“.
|
|
|
|
|
|||
|
| ||||||
|
|
4. Pomocou Hornerovej schémy skontrolujeme, či zostávajúce čísla po preosiatí budú 
korene f(X). Najprv rozdeľte f(X) na ( X
–
).
V dôsledku toho máme: f(X) = (X – )(6 X 3 + 4 X 2 + 4 X - 2) a - koreň f(X). Súkromné q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + 4 X - 2 deliť ( X + ).
Ako q
(–)
= 3
0, potom (-) nie je koreňom polynómu q(X), a teda polynóm f(X).
Nakoniec polynóm rozdelíme q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + + 4 X - 2 na ( X – ).
Mám: q () = 0, t.j. koreň q(X), čo znamená, že koreň f (X). Takže polynóm f (X) má dva racionálne korene: a.
V školskom kurze pri riešení niektorých typov úloh na oslobodenie od iracionality v menovateli zlomku stačí vynásobiť čitateľa a menovateľa zlomku číslom spojeným s menovateľom.
Príklady. 1.t
=
.
Tu v menovateli funguje skrátený vzorec násobenia (rozdiel štvorcov), ktorý umožňuje zbaviť sa iracionality v menovateli.
2. Zbavte sa iracionality v menovateli zlomku
t
=
. Výraz - neúplná druhá mocnina rozdielu čísel a=
a b= 1. Použitie vzorca pre redukované násobenie a 3
–
b 3
=
(+b)
· ( a 2
–
ab
+
b 2
), môžeme definovať multiplikátor m
= (+b)
=
+ 1, ktorým sa má vynásobiť čitateľ a menovateľ zlomku t zbaviť sa iracionality v menovateli zlomku t. teda
V situáciách, keď vzorce pre znížené násobenie nefungujú, možno použiť iné triky. Nižšie sformulujeme vetu, ktorej dôkaz nám predovšetkým umožňuje nájsť algoritmus na odstránenie iracionality v menovateli zlomku v zložitejších situáciách.
Definícia 6.1.číslo z volal algebraické nad poľom
F ak existuje polynóm f(X)
F[X], ktorého koreň je z, inak číslo z volal transcendentný nad poľomF.
Definícia 6.2.Algebraický stupeň nad poľom
F
čísla
z je stupeň neredukovateľnosti nad poľom F polynóm p(X)
F[X], ktorého koreň je číslo z.
Príklad. Ukážme, že číslo z = 
je algebraické nad poľom Q a nájsť jeho stupeň.
Poďme nájsť neredukovateľné cez pole Q polynóm p(X), ktorého koreň je X
=
. Zvyšujeme obe strany rovnosti X
=
do štvrtej mocniny, dostaneme X 4
= 2 alebo X 4
–
2
= 0. Takže, p(X)
= X 4
–
2 a mocnina čísla z rovná sa stupeň
p(X)
= 4.
Veta 6.3
(o oslobodení od algebraickej iracionality v menovateli zlomku).Nechať byťzje algebraické číslo nad poľomFstupňan. Vyjadrenie formyt
=
,kde
f(X),
(X)
F[X],
(z) 
0
môžu byť zastúpené iba vo forme:
t
= s n -1
z n -1
+
c n -2
z n -2
+ … +
c 1
z
+
c 0
,
c i
F.
Algoritmus na odstránenie iracionality v menovateli zlomku si ukážeme na konkrétnom príklade.
Príklad. Zbavte sa iracionality v menovateli zlomku:
t
=
1. Menovateľ zlomku je hodnota polynómu 
(X)
= X 2
– X+1 keď X
=
. Predchádzajúci príklad to ukazuje 
je algebraické číslo nad poľom Q stupeň 4, keďže ide o koreň neredukovateľného nad Q polynóm p(X)
= X 4
–
2.
2. Nájdite lineárnu expanziu gcd ( 
(X),
p(X)) pomocou Euklidovho algoritmu.
_ X 4 – 2 | X 2 - X + 1
X 4 - X 3 + x 2 X 2 + x = q 1 (X)
_ X 3 - X 2 – 2
X 3 - X 2 + x
X 2 - X + 1 | – X –2 = r 1 (X )
X 2 + 2 X – x + 3 = q 2 (X)
_–3X+ 1
–3 X – 6
_ – X –2 |7 = r 2
– X –2 -X - =q 3 (X)
Takže, NOD ( 
(X),
p(X))
= r 2
=
7. Nájdite jeho lineárnu expanziu.
Euklidovu postupnosť zapisujeme pomocou zápisu polynómov.
p(X)
=
(X)
· q 1
(X)
+ r 1
(X)
r 1
(X)
=p(X)
–
(X)
· q 1
(X)
=
=
