Tento fraktál som objavil, keď som sa pozeral na vlnovú interferenciu na hladine rieky. Vlna sa pohybuje smerom k brehu, odráža sa a prekrýva sa. Je poriadok vo vzoroch, ktoré vlny vytvárajú? Skúsme to nájsť. Zvážte nie celú vlnu, ale iba vektor jej pohybu. Kvôli jednoduchosti experimentu urobíme „brehy“ hladké.
Experiment je možné vykonať na bežnom papieri v škatuli od školského zošita.
Alebo pomocou implementácie algoritmu JavaScript.
Vezmite obdĺžnik so stranami q a p. Pošleme lúč (vektor) z rohu do rohu. Lúč sa presunie na jednu zo strán obdĺžnika, odrazí sa a pokračuje v pohybe na ďalšiu stranu. Toto pokračuje, kým lúč nezasiahne jeden zo zostávajúcich rohov. Ak sú veľkosť strany q a p prvočísla, získa sa vzor (ako uvidíme neskôr - fraktál).
Na obrázku jasne vidíme, ako tento algoritmus funguje.
Gif animácia:
Najúžasnejšie je, že s rôznymi stranami obdĺžnika - získame rôzne vzory.
Prečo tieto vzory nazývam fraktály? Ako viete, "fraktál" je geometrický útvar, ktorý má vlastnosti sebapodobnosti. Časť obrázka opakuje celý obrázok ako celok. Ak výrazne zväčšíme rozmery strán Q a P, je zrejmé, že tieto vzory majú vlastnosti sebapodobnosti.
Skúsme zvýšiť. Budeme zvyšovať ošemetným spôsobom. Vezmite si napríklad vzor 17x29. Nasledujúce vzory budú: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75)…
Jedna strana: F(n);
Druhá strana: F(n+1)=F(n)+F(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
Podobne ako Fibonacciho čísla, len s odlišným prvým a druhým členom postupnosti: F(0)=17, F(1)=29.
Ak je väčšia strana rovná, vzor vyzerá takto:
Ak je menšia strana párna:
Ak sú obe strany nepárne, dostaneme symetrický vzor:
V závislosti od toho, ako lúč začína:
alebo
Pokúsim sa vysvetliť, čo sa deje v týchto obdĺžnikoch.
Oddeľme štvorec od obdĺžnika a uvidíme, čo sa stane na hranici.
Lúč vystupuje v rovnakom bode, z ktorého vstúpil.
V tomto prípade je počet štvorcov, ktorými lúč prechádza, vždy párne číslo.
Ak sa teda z obdĺžnika odreže štvorec, nezmenená časť fraktálu zostane.
Ak oddelíte štvorce od fraktálu čo najviac krát, môžete sa dostať na „začiatok“ fraktálu.
Vyzerá to ako Fibonacciho špirála?
Fraktály možno získať aj z Fibonacciho čísel.
V matematike sa Fibonacciho čísla (Fibonacciho rad, Fibonacciho postupnosť) nazývajú čísla:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
Podľa definície sú prvé dve číslice vo Fibonacciho postupnosti 0 a 1 a každé nasledujúce číslo sa rovná súčtu predchádzajúcich dvoch.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1
Choď:
Ako vidíme, čím bližšie sa pomer strán približuje zlatému rezu, tým je fraktál detailnejší.
V tomto prípade fraktál zopakuje časť fraktálu zvýšenú o .
Namiesto Fibonacciho čísel môžete použiť iracionálne veľkosti strán:
Dostaneme rovnaký fraktál.
Rovnaké fraktály možno získať aj v štvorci, ak je lúč vystrelený pod iným uhlom:
Čo možno povedať na záver?
Chaos je tiež poriadok. S ich pravidlami. Tento poriadok nie je študovaný, ale celkom prístupný štúdiu. A celá ašpirácia vedy je objaviť tieto zákonitosti. A v prípadne spájajte dieliky puzzle, aby ste videli celkový obraz.
Pozrime sa na hladinu rieky. Ak do neho hodíte kameň, pôjdu vlny. Kruhy celkom prístupné štúdiu. Rýchlosť, perióda, vlnová dĺžka – to všetko sa dá vypočítať. Ale kým vlna nedosiahne breh, neodrazí sa a nezačne sa prekrývať sama so sebou. Dostávame chaos (interferencie), ktorý sa už ťažko skúma.
Čo ak sa posunieme dozadu? Zjednodušte správanie vlny čo najviac. Zjednodušte, nájdite vzor a potom sa pokúste opísať úplný obraz toho, čo sa deje.
Čo sa dá zjednodušiť? Samozrejme, aby bola odrazová plocha rovná, bez ohybov. Ďalej namiesto samotnej vlny použite iba pohybový vektor vlny. V zásade to stačí na vytvorenie jednoduchého algoritmu a simuláciu procesu na počítači. A dokonca dosť na to, aby si na obyčajnom papieri v škatuľke urobil „model“ správania sa vlny.
Čo získame ako výsledok? V dôsledku toho vidíme, že vo vlnových procesoch (rovnaké vlnenie na hladine rieky) nemáme chaos, ale vzájomné ukladanie fraktálov (sebapodobných štruktúr).
Uvažujme o inom druhu vĺn. Ako viete, elektromagnetická vlna pozostáva z troch vektorov - vlnového vektora a vektora elektrických a magnetických polí. Ako vidíte, ak takúto vlnu „chytíme“ v uzavretej oblasti – kde sa tieto vektory pretínajú, získame celkom jasné uzavreté štruktúry. Možno, elementárne častice Sú to tie isté fraktály?
Všetky fraktály v obdĺžnikoch od 1 do 80 (6723 x 6723 px): 
Uzavreté oblasti vo fraktáloch (6723 x 6723 px): 
Len krásny fraktál (4078 x 2518 px): 
Fraktály sú známe už takmer storočie, sú dobre študované a majú množstvo aplikácií v živote. Tento jav je založený na veľmi jednoduchej myšlienke: z relatívneho možno získať nekonečné množstvo postáv v kráse a rozmanitosti jednoduché dizajny len s dvoma operáciami - kopírovanie a mierka
Tento pojem nemá striktnú definíciu. Preto slovo „fraktál“ nie je matematický pojem. Toto je zvyčajne názov geometrického útvaru, ktorý spĺňa jednu alebo viacero z nasledujúcich vlastností:
Na prelom XIX a XX storočia bolo štúdium fraktálov viac epizodické ako systematické, pretože skorší matematici študovali hlavne „dobré“ objekty, ktoré bolo možné skúmať pomocou všeobecných metód a teórií. V roku 1872 nemecký matematik Karl Weierstrass postavil príklad nepretržitá funkcia, ktorý nie je nikde rozlíšiteľný. Jeho konštrukcia však bola úplne abstraktná a ťažko pochopiteľná. Preto v roku 1904 prišiel Švéd Helge von Koch so súvislou krivkou, ktorá nikde nemá dotyčnicu a je celkom jednoduché ju nakresliť. Ukázalo sa, že má vlastnosti fraktálu. Jedna variácia tejto krivky sa nazýva Kochova snehová vločka.
Myšlienky sebapodobnosti postáv zachytil Francúz Paul Pierre Levy, budúci mentor Benoita Mandelbrota. V roku 1938 vyšiel jeho článok „Rovinné a priestorové krivky a plochy pozostávajúce z častí podobných celku“, v ktorom je popísaný ďalší fraktál – Lévyho C-krivka. Všetky vyššie uvedené fraktály možno podmienene pripísať jednej triede konštruktívnych (geometrických) fraktálov.
Ďalšou triedou sú dynamické (algebraické) fraktály, medzi ktoré patrí Mandelbrotova množina. Prvé štúdie v tomto smere pochádzajú zo začiatku 20. storočia a spájajú sa s menami francúzskych matematikov Gastona Juliu a Pierra Fatoua. V roku 1918 vyšlo takmer dvesto strán Júliinho diela venovaného iteráciám zložitých racionálnych funkcií, v ktorých sú opísané Júliove množiny – celá rodina fraktálov úzko súvisiaca s Mandelbrotovou množinou. Toto dielo bolo ocenené cenou Francúzskej akadémie, no neobsahovalo ani jednu ilustráciu, takže nebolo možné oceniť krásu objavených predmetov. Napriek tomu, že toto dielo preslávilo Júliu medzi vtedajšími matematikmi, rýchlo sa naň zabudlo.
Až o polstoročie neskôr, s príchodom počítačov, sa pozornosť obrátila na prácu Julie a Fatou: práve oni zviditeľnili bohatstvo a krásu sveta fraktálov. Fatou sa napokon nikdy nemohol pozerať na obrázky, ktoré dnes poznáme ako obrázky Mandelbrotovej množiny, pretože potrebné množstvo výpočtov nie je možné vykonať ručne. Prvý človek, ktorý na to použil počítač, bol Benoit Mandelbrot.
V roku 1982 vyšla Mandelbrotova kniha „The Fractal Geometry of Nature“, v ktorej autor zozbieral a systematizoval takmer všetky v tom čase dostupné informácie o fraktáloch a prezentoval ich jednoduchým a prístupným spôsobom. Mandelbrot vo svojej prezentácii kládol hlavný dôraz nie na ťažkopádne vzorce a matematické konštrukcie, ale na geometrickú intuíciu čitateľov. Vďaka počítačom generovaným ilustráciám a historickým príbehom, ktorými autor umne preriedil vedeckú zložku monografie, sa kniha stala bestsellerom a fraktály sa dostali do povedomia širokej verejnosti. Ich úspech medzi nematematikmi je z veľkej časti spôsobený tým, že pomocou veľmi jednoduchých konštrukcií a vzorcov, ktorým rozumie aj stredoškolák, sa získavajú obrazy úžasnej zložitosti a krásy. Keď sa osobné počítače stali dostatočne výkonnými, objavil sa dokonca celý trend v umení - fraktálne maľovanie a mohol to urobiť takmer každý majiteľ počítača. Teraz na internete môžete ľahko nájsť veľa stránok venovaných tejto téme.
Najgeniálnejšie objavy vo vede môžu radikálne zmeniť ľudský život. Vynájdená vakcína môže zachrániť milióny ľudí, výroba zbraní si, naopak, tieto životy berie. Nedávno sme sa (v rozsahu ľudskej evolúcie) naučili „skrotiť“ elektrinu – a teraz si už nevieme predstaviť život bez všetkých týchto pohodlných zariadení, ktoré využívajú elektrinu. No sú aj objavy, ktorým málokto pripisuje dôležitosť, hoci tiež vo veľkej miere ovplyvňujú náš život.
Jedným z týchto „nepostrehnuteľných“ objavov sú fraktály. Toto chytľavé slovo ste už určite počuli, no viete, čo znamená a koľko zaujímavostí sa pod týmto pojmom skrýva?
Každý človek má prirodzenú zvedavosť, túžbu spoznávať svet okolo seba. A v tejto ašpirácii sa človek snaží držať sa logiky v úsudkoch. Analyzuje procesy, ktoré sa okolo neho odohrávajú, snaží sa nájsť logiku toho, čo sa deje, a vyvodiť z toho určitú zákonitosť. Najväčšie mysle na planéte sú zaneprázdnené touto úlohou. Zhruba povedané, vedci hľadajú vzor tam, kde by nemal byť. Napriek tomu sa aj v chaose dá nájsť súvislosť medzi udalosťami. A toto spojenie je fraktál.
Naša malá dcérka, má štyri a pol roka, je teraz v takom úžasnom veku, keď sa množia otázky "Prečo?" mnohonásobne väčší ako počet odpovedí, ktoré majú dospelí čas dať. Nie je to tak dávno, keď si moja dcéra pri pohľade na konár zdvihnutý zo zeme zrazu všimla, že tento konár s uzlami a konármi sám o sebe vyzerá ako strom. A samozrejme nasledovala obvyklá otázka „Prečo?“, pre ktorú museli rodičia hľadať jednoduché vysvetlenie, ktoré by dieťaťu rozumelo.
Dieťaťom objavená podobnosť jedinej vetvy s celým stromom je veľmi presným postrehom, ktorý opäť svedčí o princípe rekurzívnej sebapodobnosti v prírode. Veľmi veľa organických a anorganických foriem v prírode vzniká podobne. Oblaky, mušle, slimáčí „domček“, kôra a koruna stromov, obehový systém a tak ďalej - náhodné tvary všetkých týchto objektov možno opísať pomocou fraktálneho algoritmu.
Samotné slovo „fraktál“ sa objavilo vďaka skvelému vedcovi Benoîtovi B. Mandelbrotovi.
Tento termín sám vymyslel v 70. rokoch 20. storočia, pričom slovo fractus prevzal z latinčiny, kde doslova znamená „rozbitý“ alebo „rozdrvený“. Čo je to? Slovo fraktál sa dnes najčastejšie používa na označenie grafického znázornenia štruktúry, ktorá je sama sebe podobná vo väčšom meradle.
Matematický základ pre vznik teórie fraktálov bol položený mnoho rokov pred narodením Benoita Mandelbrota, no rozvinúť sa mohol až s príchodom výpočtových zariadení. Na začiatku jeho vedecká činnosť Benoist pracoval vo výskumnom stredisku IBM. Pracovníci centra v tom čase pracovali na prenose dát na diaľku. V priebehu výskumu vedci čelili problému veľkých strát spôsobených rušením hluku. Benoit stál pred neľahkou a veľmi dôležitou úlohou – pochopiť, ako predpovedať výskyt rušenia šumom v elektronických obvodoch, keď je štatistická metóda neúčinná.
Mandelbrot pri pohľade na výsledky meraní hluku upozornil na jeden zvláštny vzor – grafy hluku v rôznych mierkach vyzerali rovnako. Identický vzor bol pozorovaný bez ohľadu na to, či išlo o graf hluku na jeden deň, týždeň alebo hodinu. Stálo za to zmeniť mierku grafu a obrázok sa zakaždým opakoval.
Benoit Mandelbrot počas svojho života opakovane povedal, že sa nezaoberal vzorcami, ale jednoducho sa hral s obrázkami. Tento muž uvažoval veľmi obrazne a akýkoľvek algebraický problém preložil do oblasti geometrie, kde je podľa neho vždy zrejmá správna odpoveď.
Nie je prekvapujúce, že otcom fraktálnej geometrie sa stal práve muž s tak bohatou priestorovou predstavivosťou. Koniec koncov, uvedomenie si podstaty fraktálov prichádza práve vtedy, keď začnete študovať kresby a premýšľate o význame zvláštnych vírivých vzorov.
Fraktálny vzor nemá identické prvky, ale má podobnosť v akejkoľvek mierke. Manuálne vytvorenie takéhoto obrazu s vysokým stupňom detailov bolo predtým jednoducho nemožné, vyžadovalo si to obrovské množstvo výpočtov. Napríklad francúzsky matematik Pierre Joseph Louis Fatou opísal tento súbor viac ako sedemdesiat rokov pred objavom Benoita Mandelbrota. Ak hovoríme o princípoch sebapodobnosti, potom boli spomenuté v dielach Leibniza a Georga Cantora.
Jednou z prvých kresieb fraktálu bola grafická interpretácia Mandelbrotovej množiny, ktorá sa zrodila z výskumu Gastona Mauricea Juliu.
Gaston Julia (vždy maskovaný - zranenie z prvej svetovej vojny)
Tento francúzsky matematik uvažoval, ako by vyzerala množina, keby bola skonštruovaná z jednoduchého vzorca iterovaného spätnou väzbou. Ak je vysvetlené „na prstoch“, znamená to, že pre konkrétne číslo nájdeme pomocou vzorca novú hodnotu, potom ju opäť dosadíme do vzorca a získame inú hodnotu. Výsledkom je veľká postupnosť čísel.
Ak chcete získať úplný obraz o takomto súbore, musíte urobiť obrovské množstvo výpočtov - stovky, tisíce, milióny. Ručne to bolo jednoducho nemožné. Keď sa však matematikom objavili výkonné výpočtové zariadenia, mohli sa nanovo pozrieť na vzorce a výrazy, ktoré boli už dlho zaujímavé. Mandelbrot ako prvý použil počítač na výpočet klasického fraktálu. Po spracovaní sekvencie pozostávajúcej z veľkého počtu hodnôt preniesol Benoit výsledky do grafu. Tu je to, čo dostal.
Následne bol tento obrázok vyfarbený (napríklad jeden zo spôsobov farbenia je počtom opakovaní) a stal sa jedným z najpopulárnejších obrázkov, aké kedy človek vytvoril.
Ako hovorí staroveké príslovie pripisované Herakleitovi z Efezu: "Nemôžeš vstúpiť dvakrát do tej istej rieky." Je najvhodnejší na interpretáciu geometrie fraktálov. Bez ohľadu na to, ako podrobne skúmame fraktálny obrázok, vždy uvidíme podobný vzor.
Tí, ktorí chcú vidieť, ako by vyzeral obraz Mandelbrotovho priestoru pri mnohonásobnom zväčšení, môžu tak urobiť nahraním animovaného GIF.
Teória fraktálov čoskoro našla praktické uplatnenie. Keďže to úzko súvisí s vizualizáciou sebepodobných obrazov, nie je prekvapujúce, že prvý, kto prijal algoritmy a princípy konštrukcie nezvyčajné tvary boli umelci.
Budúci spoluzakladateľ legendárneho štúdia Pixar Loren C. Carpenter začal v roku 1967 pracovať v Boeing Computer Services, čo bola jedna z divízií známej korporácie zaoberajúcej sa vývojom nových lietadiel.
V roku 1977 vytvoril prezentácie s prototypmi lietajúcich modelov. Lauren bola zodpovedná za vytvorenie obrázkov navrhovaného lietadla. Musel vytvoriť obrázky nových modelov zobrazujúcich budúce lietadlá z rôznych uhlov. V určitom okamihu prišiel budúci zakladateľ Pixar Animation Studios s kreatívnym nápadom použiť obrázok hôr ako pozadie. Dnes už takýto problém dokáže vyriešiť každý školák, no na konci sedemdesiatych rokov minulého storočia si počítače s tak zložitými výpočtami neporadili – neexistovali grafické editory, o aplikáciách pre trojrozmernú grafiku ani nehovoriac. V roku 1978 Lauren náhodou uvidela v obchode knihu Benoita Mandelbrota Fractals: Form, Randomness and Dimension. V tejto knihe jeho pozornosť upriamila skutočnosť, že Benoit uviedol množstvo príkladov fraktálnych foriem v reálnom živote a dokázal, že ich možno opísať matematickým výrazom.
Túto analógiu si matematik nevybral náhodou. Faktom je, že len čo zverejnil svoj výskum, musel čeliť celej vlne kritiky. To hlavné, čo mu kolegovia vyčítali, bola zbytočnosť rozvinutej teórie. „Áno,“ povedali, „sú to krásne obrázky, ale nič viac. Teória fraktálov nemá žiadnu praktickú hodnotu.“ Boli aj takí, ktorí vo všeobecnosti verili, že fraktálne vzory sú len vedľajším produktom práce „diabolských strojov“, ktoré sa na konci sedemdesiatych rokov mnohým zdali byť niečím príliš komplikovaným a neprebádaným na to, aby sa im dalo úplne dôverovať. Mandelbrot sa pokúsil nájsť zjavnú aplikáciu teórie fraktálov, ale vo všeobecnosti to nepotreboval. Nasledovníci Benoita Mandelbrota sa počas nasledujúcich 25 rokov ukázali ako veľmi užitoční pre takúto „matematickú kuriozitu“ a Lauren Carpenter bola jednou z prvých, ktorá zaviedla fraktálovú metódu do praxe.
Po preštudovaní knihy budúci animátor vážne študoval princípy fraktálnej geometrie a začal hľadať spôsob, ako ju implementovať do počítačovej grafiky. Len za tri dni práce bola Lauren schopná vykresliť realistický obraz. horský systém na vašom počítači. Inými slovami, pomocou vzorcov namaľoval úplne rozpoznateľnú horskú krajinu.
Princíp, ktorý Lauren použila na dosiahnutie svojho cieľa, bol veľmi jednoduchý. Spočíval v rozdelení väčšieho geometrického útvaru na malé prvky a tie sa zase rozdelili na podobné útvary menšej veľkosti.
Pomocou väčších trojuholníkov ich Carpenter rozdelil na štyri menšie a potom tento postup opakoval znova a znova, až kým nezískal realistickú horskú krajinu. Tak sa mu podarilo stať sa prvým umelcom, ktorý použil fraktálny algoritmus v počítačovej grafike na vytváranie obrázkov. Hneď ako sa dozvedeli o vykonanej práci, nadšenci z celého sveta sa chopili tejto myšlienky a začali používať fraktálny algoritmus na simuláciu realistických prírodných foriem.
Jedno z prvých 3D vykresľovaní pomocou fraktálneho algoritmu
Len o niekoľko rokov neskôr bola Lauren Carpenter schopná uplatniť svoje úspechy v oveľa väčšom projekte. Animátor ich založil na dvojminútovom deme Vol Libre, ktoré bolo uvedené na Siggraph v roku 1980. Toto video šokovalo všetkých, ktorí ho videli, a Lauren dostala pozvanie od Lucasfilmu.
Animácia bola vykreslená na počítači VAX-11/780 od spoločnosti Digital Equipment Corporation pri rýchlosti piatich megahertzov a kreslenie každej snímky trvalo približne pol hodiny.
Animátor, ktorý pracoval pre Lucasfilm Limited, vytvoril rovnaké 3D krajiny pre druhý film zo ságy Star Trek. V hre The Wrath of Khan bol Carpenter schopný vytvoriť celú planétu pomocou rovnakého princípu fraktálneho modelovania povrchu.
V súčasnosti všetky populárne aplikácie na vytváranie 3D krajiny využívajú rovnaký princíp generovania prírodných objektov. Terragen, Bryce, Vue a ďalšie 3D editory sa spoliehajú na fraktálny algoritmus na modelovanie povrchu a textúr.
Za posledné polstoročie sa život rýchlo zmenil. Väčšina z nás považuje pokroky v moderných technológiách za samozrejmosť. Na všetko, čo robí život pohodlnejším, si veľmi rýchlo zvyknete. Málokedy si niekto kladie otázku „Odkiaľ to prišlo? a "Ako to funguje?". Mikrovlnná rúra ohrieva raňajky - no, super, smartfón vám umožní rozprávať sa s inou osobou - super. Zdá sa nám to ako jasná možnosť.
Ale život by mohol byť úplne iný, keby človek nehľadal vysvetlenie pre odohrávajúce sa udalosti. Vezmite si napríklad mobilné telefóny. Pamätáte si na vysúvacie antény na prvých modeloch? Prekážali, zväčšovali veľkosť zariadenia a nakoniec sa často rozbili. Veríme, že navždy upadli do zabudnutia a čiastočne aj preto ... fraktály.
Fraktálne kresby fascinujú svojimi vzormi. Rozhodne pripomínajú obrázky vesmírnych objektov – hmlovín, kopy galaxií a pod. Preto je celkom prirodzené, že keď Mandelbrot vyslovil svoju teóriu fraktálov, jeho výskum vzbudil zvýšený záujem medzi tými, ktorí študovali astronómiu. Jeden takýto amatér menom Nathan Cohen sa po návšteve prednášky Benoita Mandelbrota v Budapešti inšpiroval myšlienkou praktického využitia získaných poznatkov. Pravdaže, robil to intuitívne a v jeho objave zohrala dôležitú úlohu náhoda. Ako rádioamatér sa Nathan snažil vytvoriť anténu s čo najvyššou citlivosťou.
Jediným spôsobom, ako zlepšiť parametre antény, ktorá bola v tom čase známa, bolo zväčšenie jej geometrických rozmerov. Majiteľ Nathanovho bytu v centre Bostonu bol však rozhodne proti inštalácii veľkých strešných zariadení. Potom Nathan začal experimentovať s rôznymi formami antén a snažil sa dosiahnuť maximálny výsledok s minimálnou veľkosťou. Cohen, ako sa hovorí, zapálený myšlienkou fraktálnych foriem, náhodne vytvoril jeden z najznámejších fraktálov z drôtu - „Kochovu snehovú vločku“. S touto krivkou prišiel už v roku 1904 švédsky matematik Helge von Koch. Získa sa rozdelením segmentu na tri časti a nahradením stredného segmentu rovnostranným trojuholníkom bez toho, aby sa strana zhodovala s týmto segmentom. Definícia je trochu náročná na pochopenie, ale obrázok je jasný a jednoduchý.
Existujú aj iné odrody "Kochovej krivky", ale približný tvar krivky zostáva podobný
Keď Nathan pripojil anténu k rádiovému prijímaču, bol veľmi prekvapený – citlivosť sa dramaticky zvýšila. Po sérii experimentov si budúci profesor na Bostonskej univerzite uvedomil, že anténa vyrobená podľa fraktálneho vzoru má vysokú účinnosť a pokrýva oveľa širší frekvenčný rozsah v porovnaní s klasickými riešeniami. Navyše tvar antény v podobe fraktálnej krivky môže výrazne zmenšiť geometrické rozmery. Nathan Cohen dokonca vyvinul teorém, ktorý dokazuje, že na vytvorenie širokopásmovej antény stačí dať jej tvar sebepodobnej fraktálnej krivky.
Autor si svoj objav patentoval a založil firmu na vývoj a dizajn fraktálnych antén Fractal Antenna Systems, oprávnene veril, že v budúcnosti sa vďaka jeho objavu mobilné telefóny zbavia objemných antén a stanú sa kompaktnejšími.
V podstate sa tak aj stalo. Pravda, Nathan dodnes vedie súdny spor s veľkými korporáciami, ktoré jeho objav nelegálne využívajú na výrobu kompaktných komunikačných zariadení. Niektorí známi výrobcovia mobilných zariadení, ako napríklad Motorola, už uzavreli mierovú dohodu s vynálezcom fraktálnej antény.
Túto otázku si Benoit požičal od slávneho amerického vedca Edwarda Kasnera.
Posledný menovaný, podobne ako mnohí iní slávni matematici, veľmi rád komunikoval s deťmi, kládol im otázky a dostával nečakané odpovede. Niekedy to viedlo k prekvapivým výsledkom. A tak napríklad deväťročný synovec Edwarda Kasnera prišiel s dnes už dobre známym slovom „googol“, označujúcim jednotku so sto nulami. Ale späť k fraktálom. Americký matematik sa rád pýtal, aké dlhé je pobrežie USA. Po vypočutí názoru partnera, Edward sám povedal správnu odpoveď. Ak zmeriate dĺžku na mape s prerušenými segmentmi, výsledok bude nepresný, pretože pobrežie má veľké množstvo nepravidelností. A čo sa stane, ak budete merať čo najpresnejšie? Budete musieť brať do úvahy dĺžku každej nerovnosti – budete musieť zmerať každý mys, každý záliv, skalu, dĺžku skalnej rímsy, kameň na nej, zrnko piesku, atóm atď. Keďže počet nepravidelností má tendenciu k nekonečnu, nameraná dĺžka pobrežia sa s každou novou nepravidelnosťou zvýši do nekonečna.
Čím menšia je miera pri meraní, tým väčšia je nameraná dĺžka
Je zaujímavé, že po Edwardových pokynoch boli deti oveľa rýchlejšie ako dospelí pri vyslovení správnej odpovede, zatiaľ čo tí druhí mali problém prijať takú neuveriteľnú odpoveď.
Pomocou tohto problému ako príkladu Mandelbrot navrhol použiť nový prístup k meraniam. Keďže pobrežie je blízko fraktálnej krivky, znamená to, že naň možno použiť charakteristický parameter, takzvanú fraktálnu dimenziu.
Aký je obvyklý rozmer, je každému jasné. Ak sa rozmer rovná jednej, dostaneme priamku, ak dve - plochú postavu, tri - objem. Takéto chápanie dimenzie v matematike však nefunguje pri fraktálnych krivkách, kde má tento parameter zlomkovú hodnotu. Fraktálny rozmer v matematike možno podmienečne považovať za „hrubosť“. Čím vyššia je drsnosť krivky, tým väčší je jej fraktálny rozmer. Krivka, ktorá má podľa Mandelbrota fraktálny rozmer vyšší ako jej topologický rozmer, má približnú dĺžku, ktorá nezávisí od počtu rozmerov.
V súčasnosti vedci nachádzajú stále viac oblastí pre aplikáciu fraktálnej teórie. Pomocou fraktálov môžete analyzovať kolísanie cien akcií, skúmať všetky druhy prírodných procesov, ako napríklad kolísanie počtu druhov, alebo simulovať dynamiku tokov. Fraktálne algoritmy možno použiť na kompresiu dát, napríklad na kompresiu obrázkov. A mimochodom, aby ste dostali krásny fraktál na obrazovku počítača, nemusíte mať doktorandský titul.
Možno jedným z najjednoduchších spôsobov, ako získať fraktálny vzor, je použiť online vektorový editor od mladého talentovaného programátora Tobyho Schachmana. Sada nástrojov tohto jednoduchého grafického editora je založená na rovnakom princípe sebapodobnosti.
K dispozícii máte len dva jednoduché tvary – štvorec a kruh. Môžete ich pridať na plátno, zmeniť mierku (ak chcete zmeniť mierku pozdĺž jednej z osí, podržte stlačený kláves Shift) a otáčajte. Tieto najjednoduchšie prvky, ktoré sa prekrývajú na princípe booleovských operácií sčítania, tvoria nové, menej triviálne formy. Ďalej môžu byť tieto nové formuláre pridané do projektu a program bude donekonečna opakovať generovanie týchto obrázkov. V ktorejkoľvek fáze práce na fraktále sa môžete vrátiť ku ktorémukoľvek komponentu zložitého tvaru a upraviť jeho polohu a geometriu. Je to veľká zábava, najmä keď si uvedomíte, že jediným nástrojom, ktorý potrebujete na kreativitu, je prehliadač. Ak nerozumiete princípu práce s týmto rekurzívnym vektorovým editorom, odporúčame vám pozrieť si video na oficiálnej stránke projektu, ktoré podrobne zobrazuje celý proces vytvárania fraktálu.
Mnoho grafických editorov má vstavané nástroje na vytváranie fraktálnych vzorov. Tieto nástroje sú však väčšinou sekundárne a neumožňujú doladiť vygenerovaný fraktálový vzor. V prípadoch, keď je potrebné postaviť matematicky presný fraktál, príde na pomoc multiplatformový editor XaoS. Tento program umožňuje nielen vytvoriť podobný obraz, ale tiež s ním vykonávať rôzne manipulácie. Napríklad v reálnom čase môžete „prechádzať“ fraktálom zmenou jeho mierky. Animovaný pohyb pozdĺž fraktálu je možné uložiť ako súbor XAF a potom prehrať v samotnom programe.
XaoS dokáže načítať náhodnú množinu parametrov, ako aj použiť rôzne filtre na následné spracovanie obrazu – pridať efekt rozmazaného pohybu, vyhladiť ostré prechody medzi fraktálnymi bodmi, simulovať 3D obraz atď.
V porovnaní s inými generátormi fraktálnych obrázkov má niekoľko výhod. Po prvé, má pomerne malú veľkosť a nevyžaduje inštaláciu. Po druhé, implementuje schopnosť definovať farebnú paletu obrázka. Odtiene si môžete vybrať vo farebných modeloch RGB, CMYK, HVS a HSL.
Veľmi vhodné je aj využitie možnosti náhodného výberu farebných odtieňov a funkcie invertovania všetkých farieb na obrázku. Na úpravu farby existuje funkcia cyklického výberu odtieňov - keď je príslušný režim zapnutý, program animuje obrázok a cyklicky na ňom mení farby.
Fractal Zoomer dokáže zobraziť 85 rôznych fraktálových funkcií a vzorce sú jasne zobrazené v ponuke programu. V programe sú, aj keď v malom množstve, filtre na následné spracovanie obrázkov. Každý priradený filter je možné kedykoľvek zrušiť.
Keď sa použije termín „fraktál“, najčastejšie sa tým myslí plochý dvojrozmerný obraz. Fraktálna geometria však presahuje 2D dimenziu. V prírode možno nájsť ako príklady plochých fraktálových foriem, povedzme geometriu blesku, tak aj trojrozmerné trojrozmerné postavy. Fraktálne povrchy môžu byť 3D a jedna z veľmi názorných ilustrácií 3D fraktálov v Každodenný život- hlávka kapusty. Snáď najlepší spôsob, ako vidieť fraktály, je Romanesco, kríženec karfiolu a brokolice.
A tento fraktál sa dá zjesť
Vytvárajte 3D objekty pomocou podobný tvar dokáže naprogramovať Mandelbulb3D. Na získanie 3D povrchu pomocou fraktálneho algoritmu autori tejto aplikácie, Daniel White a Paul Nylander, previedli Mandelbrotovu množinu na sférické súradnice. Program Mandelbulb3D, ktorý vytvorili, je skutočný trojrozmerný editor, ktorý modeluje fraktálne povrchy rôznych tvarov. Keďže v prírode často pozorujeme fraktálne vzory, umelo vytvorený fraktálny trojrozmerný objekt sa zdá byť neuveriteľne realistický a dokonca „živý“.
Môže to vyzerať ako rastlina, môže to pripomínať zvláštne zviera, planétu alebo niečo iné. Tento efekt je vylepšený pokročilým vykresľovacím algoritmom, ktorý umožňuje získať realistické odrazy, vypočítať priehľadnosť a tiene, simulovať vplyv hĺbky ostrosti atď. Mandelbulb3D má obrovské množstvo nastavení a možností vykresľovania. Môžete ovládať odtiene svetelných zdrojov, zvoliť si pozadie a úroveň detailov modelovaného objektu.
Editor fraktálov Incendia podporuje dvojité vyhladzovanie obrázkov, obsahuje knižnicu päťdesiatich rôznych trojrozmerných fraktálov a má samostatný modul na úpravu základných tvarov.
Aplikácia využíva fraktálne skriptovanie, pomocou ktorého môžete nezávisle popisovať nové typy fraktálnych štruktúr. Incendia má editory textúr a materiálov a renderovací engine, ktorý vám umožňuje používať efekty volumetrickej hmly a rôzne shadery. Program má možnosť šetrenia vyrovnávacej pamäte pri dlhodobom renderingu, je podporovaná tvorba animácií.
Incendia umožňuje exportovať fraktálny model do obľúbených 3D grafických formátov - OBJ a STL. Incendia obsahuje malú utilitu Geometrica – špeciálny nástroj na nastavenie exportu fraktálneho povrchu do trojrozmerného modelu. Pomocou tejto pomôcky môžete určiť rozlíšenie 3D povrchu, určiť počet fraktálových iterácií. Exportované modely je možné použiť v 3D projektoch pri práci s 3D editormi ako Blender, 3ds max a inými.
V poslednom čase sa práce na projekte Incendia trochu spomalili. Momentálne autor hľadá sponzorov, ktorí by mu pomohli program rozvíjať.
Ak nemáte dostatok fantázie na to, aby ste v tomto programe nakreslili krásny trojrozmerný fraktál, nevadí. Použite knižnicu parametrov, ktorá sa nachádza v priečinku INCENDIA_EX\parameters. Pomocou súborov PAR môžete rýchlo nájsť najneobvyklejšie fraktálne tvary vrátane animovaných.
Väčšinou nehovoríme o projektoch, na ktorých sa práve pracuje, no v tomto prípade musíme urobiť výnimku, ide o veľmi neobvyklú aplikáciu. Projekt s názvom Aural prišiel s tou istou osobou ako Incendia. Je pravda, že tentoraz program nezobrazuje fraktálovú množinu, ale nahlasuje ju a mení ju na elektronickú hudbu. Myšlienka je to veľmi zaujímavá, najmä ak vezmeme do úvahy nezvyčajné vlastnosti fraktálov. Aural je zvukový editor, ktorý generuje melódie pomocou fraktálnych algoritmov, to znamená, že je to v skutočnosti zvukový syntetizátor-sekvenátor.
Postupnosť zvukov vydávaných týmto programom je nezvyčajná a ... krásna. Môže sa hodiť pri písaní moderných rytmov a podľa nášho názoru je obzvlášť vhodný na vytváranie zvukových stôp pre úvody televíznych a rozhlasových programov, ako aj „slučky“ hudby na pozadí počítačových hier. Ramiro zatiaľ neposkytol demo svojho programu, ale sľubuje, že keď to urobí, na prácu s Aural sa nebude musieť učiť teóriu fraktálov - stačí sa pohrať s parametrami algoritmu na generovanie postupnosti poznámok. . Vypočujte si, ako znejú fraktály a.
Fraktály: hudobná pauza
V skutočnosti môžu fraktály pomôcť pri písaní hudby aj bez softvéru. To však môže urobiť iba niekto, kto je skutočne preniknutý myšlienkou prirodzenej harmónie a zároveň sa nezmenil na nešťastného „nerda“. Dáva zmysel vziať si príklad od hudobníka menom Jonathan Coulton, ktorý okrem iného píše skladby pre časopis Popular Science. A na rozdiel od iných umelcov, Colton zverejňuje všetky svoje diela pod licenciou Creative Commons Attribution-Nonkomerčná licencia, ktorá (pri použití na nekomerčné účely) umožňuje bezplatné kopírovanie, distribúciu, prenos diela iným osobám, ako aj jeho úpravu (vytváranie odvodených diel), aby ste ho prispôsobili vašim potrebám.
Jonathan Colton má samozrejme pieseň o fraktáloch.
Vo všetkom, čo nás obklopuje, často vidíme chaos, no v skutočnosti to nie je náhoda, ale ideálna forma, ktorú nám fraktály pomáhajú rozlíšiť. Príroda je najlepší architekt, ideálny staviteľ a inžinier. Je usporiadaný veľmi logicky a ak niekde nevidíme vzory, znamená to, že ho treba hľadať v inej mierke. Ľudia tomu stále lepšie rozumejú a snažia sa v mnohých smeroch napodobňovať prírodné formy. Inžinieri navrhujú reproduktorové systémy vo forme plášťa, vytvárajú antény s geometriou snehových vločiek atď. Sme si istí, že fraktály stále uchovávajú veľa tajomstiev a mnohé z nich musí človek ešte objaviť.
Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia
"Siverskaya stredná škola č. 3"
matematiky.
Urobil prácu
Žiak 8. ročníka
Emelin Pavel
vedecký poradca
učiteľ matematiky
Tupitsyna Natalya Alekseevna
p. Siverský
rok 2014
Celá matematika je preniknutá krásou a harmóniou,
Túto krásu jednoducho musíte vidieť.
B. Mandelbrot
Úvod
Kapitola 1. História vzniku fraktálov _______ 5-6 s.
Kapitola 2. Klasifikácia fraktálov._____________________6-10pp.
geometrické fraktály
Algebraické fraktály
Stochastické fraktály
Kapitola 3. „Fraktálna geometria prírody“ ______ 11-13s.
Kapitola 4. Aplikácia fraktálov ________________13-15pp.
Kapitola 5 Praktická práca __________________ 16-24pp.
Záver___________________________________25.strana
Zoznam literatúry a internetových zdrojov _______ 26 s.
Úvod
matematika,
ak sa na to dobre pozrieš,
odráža nielen pravdu,
ale aj neporovnateľná krása.
Bertrand Russell
Slovo „fraktál“ je niečo, o čom v dnešnej dobe hovorí veľa ľudí, od vedcov až po stredoškolákov. Objavuje sa na obálkach mnohých učebníc matematiky, vedeckých časopisoch a krabice s počítačovým softvérom. Farebné obrázky fraktálov dnes možno nájsť všade: od pohľadníc, tričiek až po obrázky na ploche osobného počítača. Takže, aké sú tieto farebné tvary, ktoré vidíme okolo?
Matematika je najstaršia veda. Väčšine ľudí sa zdalo, že geometria v prírode je obmedzená na také jednoduché tvary, ako je čiara, kruh, mnohouholník, guľa atď. Ako sa ukázalo, mnohé prírodné systémy sú také zložité, že používanie iba známych objektov bežnej geometrie na ich modelovanie sa zdá byť beznádejné. Ako napríklad postaviť model pohoria alebo koruny stromu z hľadiska geometrie? Ako opísať diverzitu biologickej diverzity, ktorú pozorujeme vo svete rastlín a živočíchov? Ako si predstaviť celú zložitosť obehového systému, ktorý pozostáva z mnohých kapilár a ciev a dodáva krv do každej bunky ľudského tela? Predstavte si štruktúru pľúc a obličiek, ktorá pripomína stromy s rozvetvenou korunou?
Fraktály sú vhodným prostriedkom na skúmanie nastolených otázok. To, čo vidíme v prírode, nás často zaujme nekonečným opakovaním toho istého vzoru, niekoľkokrát zväčšeného alebo zmenšeného. Napríklad strom má konáre. Tieto vetvy majú menšie vetvy atď. Teoreticky sa prvok „vidlička“ opakuje nekonečne veľakrát a je stále menší a menší. To isté možno vidieť pri pohľade na fotografiu. hornatý terén. Skúste si trochu priblížiť pohorie --- znova uvidíte hory. Takto sa prejavuje vlastnosť sebapodobnosti charakteristická pre fraktály.
Štúdium fraktálov otvára úžasné možnosti ako pri štúdiu nekonečného množstva aplikácií, tak aj v oblasti matematiky. Využitie fraktálov je veľmi rozsiahle! Koniec koncov, tieto objekty sú také krásne, že ich používajú dizajnéri, umelci, pomocou ktorých sa kreslí veľa prvkov stromov, oblakov, hôr atď. Ale fraktály sa dokonca používajú ako antény v mnohých mobilných telefónoch.
Pre mnohých chaológov (vedcov, ktorí študujú fraktály a chaos) to nie je len nová oblasť poznania, ktorá spája matematiku, teoretickú fyziku, umenie a výpočtovú techniku – ide o revolúciu. Ide o objavenie nového typu geometrie, geometrie, ktorá opisuje svet okolo nás a ktorú možno vidieť nielen v učebniciach, ale aj v prírode a všade v bezhraničnom vesmíre..
Aj ja som sa vo svojej práci rozhodla „dotknúť“ sveta krásy a odhodlaná...
Cieľ: vytváranie predmetov, ktoré sú veľmi podobné prírode.
Výskumné metódy Kľúčové slová: komparatívna analýza, syntéza, modelovanie.
Úlohy:
oboznámenie sa s pojmom, históriou výskytu a výskumom B. Mandelbrota,
G. Koch, V. Sierpinsky a ďalší;
zoznámenie sa s rôzne druhy množiny fraktálov;
štúdium populárno-náučnej literatúry k tejto problematike, oboznámenie sa s
vedecké hypotézy;
nájdenie potvrdenia teórie fraktality okolitého sveta;
štúdium využitia fraktálov v iných vedách a v praxi;
vykonaním experimentu na vytvorenie vlastných fraktálových obrázkov.
Hlavná otázka práce:
Ukážte, že matematika nie je suchopárný, bezduchý predmet, dokáže vyjadrovať duchovný svet človeka individuálne i celospoločensky.
Predmet štúdia: Fraktálna geometria.
Predmet štúdia: fraktály v matematike a v reálnom svete.
Hypotéza: Všetko, čo existuje v reálnom svete, je fraktál.
Výskumné metódy: analytické, vyhľadávanie.
Relevantnosť deklarovanej témy je determinovaný predovšetkým predmetom skúmania, ktorým je fraktálna geometria.
Očakávané výsledky: V priebehu práce si rozšírim svoje znalosti v oblasti matematiky, uvidím krásu fraktálnej geometrie a začnem pracovať na tvorbe vlastných fraktálov.
Výsledkom práce bude vytvorenie počítačovej prezentácie, bulletinu a bookletu.
Kapitola 1
B 
Enua Mandelbrot
Termín „fraktál“ vymyslel Benoit Mandelbrot. Slovo pochádza z latinského „fractus“, čo znamená „zlomený, rozbitý“.
Fraktál (lat. fractus - rozdrvený, zlomený, zlomený) - termín znamenajúci zložitý geometrický útvar s vlastnosťou sebapodobnosti, to znamená zložený z niekoľkých častí, z ktorých každá je podobná celej postave ako celku.
Matematické objekty, na ktoré odkazuje, sa vyznačujú mimoriadne zaujímavými vlastnosťami. V bežnej geometrii má čiara jeden rozmer, plocha dva rozmery a priestorový obrazec je trojrozmerný. Fraktály na druhej strane nie sú čiary alebo plochy, ale, ak si to viete predstaviť, niečo medzi tým. So zväčšovaním veľkosti sa zväčšuje aj objem fraktálu, ale jeho rozmer (exponent) nie je celé číslo, ale zlomková hodnota, a preto hranicou fraktálového útvaru nie je čiara: pri veľkom zväčšení je jasné že je rozmazaný a pozostáva zo špirál a kučier, opakujúcich v malom mierku samotnej postavy. Takáto geometrická pravidelnosť sa nazýva mierková invariancia alebo sebepodobnosť. Je to ona, ktorá určuje zlomkový rozmer fraktálových postáv.
Pred príchodom fraktálnej geometrie sa veda zaoberala systémami obsiahnutými v troch priestorových dimenziách. Vďaka Einsteinovi sa ukázalo, že trojrozmerný priestor je len modelom reality, a nie skutočnosťou samotnou. V skutočnosti sa náš svet nachádza v štvorrozmernom časopriestorovom kontinuu.
Vďaka Mandelbrotovi sa ukázalo, ako vyzerá štvorrozmerný priestor, obrazne povedané, fraktálna tvár Chaosu. Benoit Mandelbrot zistil, že štvrtá dimenzia zahŕňa nielen prvé tri dimenzie, ale aj (to je veľmi dôležité!) intervaly medzi nimi.
Rekurzívna (alebo fraktálna) geometria nahrádza euklidovskú. Nová veda je schopná opísať skutočnú povahu telies a javov. Euklidovská geometria sa zaoberala iba umelými, imaginárnymi objektmi patriacimi do troch dimenzií. Len štvrtá dimenzia ich dokáže premeniť na realitu.
Kvapalina, plyn, pevná látka sú tri obvyklé fyzikálne stavy hmoty, ktoré existujú v trojrozmernom svete. Aký je však rozmer kúdol dymu, oblakov, či skôr ich hraníc, neustále rozmazaných turbulentným pohybom vzduchu?
V zásade sú fraktály rozdelené do troch skupín:
Algebraické fraktály
Stochastické fraktály
geometrické fraktály
Pozrime sa bližšie na každý z nich.
Kapitola 2. Klasifikácia fraktálov
geometrické fraktály
Benoit Mandelbrot navrhol fraktálový model, ktorý sa už stal klasikou a často sa používa na demonštráciu typického príkladu samotného fraktálu a na demonštráciu krásy fraktálov, čo tiež priťahuje výskumníkov, umelcov a ľudí, ktorí majú jednoducho záujem.
Práve nimi sa začala história fraktálov. Tento typ fraktálov sa získava jednoduchými geometrickými konštrukciami. Väčšinou sa pri konštrukcii týchto fraktálov postupuje nasledovne: vezme sa „semienko“ – axióma – množina segmentov, na základe ktorých sa fraktál postaví. Ďalej sa na toto „semeno“ aplikuje súbor pravidiel, ktoré ho premenia na nejaký geometrický útvar. Ďalej, rovnaký súbor pravidiel sa opäť aplikuje na každú časť tohto obrázku. Každým krokom bude obrazec čoraz zložitejší a ak vykonáme (aspoň v mysli) nekonečné množstvo transformácií, dostaneme geometrický fraktál.
Fraktály tejto triedy sú najvizuálnejšie, pretože sú okamžite viditeľné v akejkoľvek mierke pozorovania. V dvojrozmernom prípade sa takéto fraktály dajú získať špecifikovaním prerušovanej čiary, nazývanej generátor. V jednom kroku algoritmu je každý zo segmentov tvoriacich prerušovanú čiaru nahradený generátorom prerušovaných čiar vo vhodnej mierke. Výsledkom nekonečného opakovania tohto postupu (alebo presnejšie pri prechode na limit) je fraktálna krivka. Pri zjavnej zložitosti výslednej krivky, jeho všeobecná forma je daná len formou generátora. Príklady takýchto kriviek sú: Kochova krivka (obr.7), Peanova krivka (obr.8), Minkowského krivka.
Na začiatku 20. storočia matematici hľadali krivky, ktoré nemali v žiadnom bode dotyčnicu. To znamenalo, že krivka náhle zmenila svoj smer a navyše enormne vysokou rýchlosťou (derivácia sa rovná nekonečnu). Hľadanie týchto kriviek nebolo spôsobené len nečinným záujmom matematikov. Faktom je, že na začiatku 20. storočia sa kvantová mechanika veľmi rýchlo rozvíjala. Výskumník M. Brown načrtol trajektóriu suspendovaných častíc vo vode a vysvetlil tento jav takto: náhodne sa pohybujúce atómy kvapaliny narážajú na suspendované častice a tým ich uvádzajú do pohybu. Po takomto vysvetlení Brownovho pohybu stáli vedci pred úlohou nájsť krivku, ktorá by najlepšie znázorňovala pohyb Brownových častíc. Aby to bolo možné, krivka musela spĺňať nasledujúce vlastnosti: nemať v žiadnom bode dotyčnicu. Matematik Koch navrhol jednu takúto krivku.
TO 
Kochova krivka je typický geometrický fraktál. Proces jeho konštrukcie je nasledovný: vezmeme jeden segment, rozdelíme ho na tri rovnaké časti a stredný interval nahradíme rovnostranným trojuholníkom bez tohto segmentu. V dôsledku toho sa vytvorí prerušovaná čiara pozostávajúca zo štyroch článkov s dĺžkou 1/3. V ďalšom kroku zopakujeme operáciu pre každý zo štyroch výsledných odkazov atď.
Limitná krivka je Kochova krivka.
Snehová vločka Koch. Vykonaním podobnej transformácie na stranách rovnostranného trojuholníka môžete získať fraktálny obraz Kochovej snehovej vločky.
T 
Ďalším jednoduchým predstaviteľom geometrického fraktálu je Námestie Sierpinski. Je postavený celkom jednoducho: Štvorec je rozdelený rovnými čiarami rovnobežnými s jeho stranami na 9 rovnakých štvorcov. Centrálne námestie je odstránené z námestia. Ukazuje sa súbor pozostávajúci z 8 zostávajúcich štvorcov "prvého stupňa". Ak urobíme to isté s každým štvorcom prvého radu, dostaneme sadu pozostávajúcu zo 64 políčok druhého radu. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, získame nekonečnú postupnosť alebo Sierpinského štvorec. 
Algebraické fraktály
Toto je najväčšia skupina fraktálov. Algebraické fraktály dostali svoje meno, pretože sú zostavené pomocou jednoduchých algebraických vzorcov.
Získavajú sa pomocou nelineárnych procesov v n-rozmerné priestory. Je známe, že nelineárne dynamické systémy majú niekoľko stabilných stavov. Stav, v ktorom sa dynamický systém nachádza po určitom počte iterácií, závisí od jeho počiatočného stavu. Preto má každý stabilný stav (alebo, ako sa hovorí, atraktor) určitú oblasť počiatočných stavov, z ktorých systém nevyhnutne spadne do uvažovaných konečných stavov. Fázový priestor systému je teda rozdelený na oblasti príťažlivosti atraktory. Ak je fázový priestor dvojrozmerný, potom je možné získať zafarbením oblastí príťažlivosti rôznymi farbami portrét farebnej fázy tento systém (iteratívny proces). Zmenou algoritmu výberu farieb môžete získať zložité fraktálne vzory s efektnými viacfarebnými vzormi. Prekvapením pre matematikov bola schopnosť vytvárať veľmi zložité štruktúry pomocou primitívnych algoritmov.
Ako príklad uveďme Mandelbrotovu súpravu. Je zostavený pomocou komplexných čísel.
Časť hranice Mandelbrotovej množiny, zväčšená 200-krát.
Sada Mandelbrot obsahuje body, ktoré počasnekonečné počet iterácií nejde do nekonečna (body, ktoré sú čierne). Body patriace k hranici množiny(tu vznikajú zložité štruktúry) idú do nekonečna v konečnom počte iterácií a body ležiace mimo množiny idú do nekonečna po niekoľkých iteráciách (biele pozadie).
P 
Príkladom iného algebraického fraktálu je množina Julia. Existujú 2 odrody tohto fraktálu. Prekvapivo sú množiny Julia tvorené podľa rovnakého vzorca ako množina Mandelbrot. Súpravu Julia vynašiel francúzsky matematik Gaston Julia, po ktorom bola zostava pomenovaná.
A 
zaujímavý fakt, niektoré algebraické fraktály nápadne pripomínajú obrazy zvierat, rastlín a iných biologických objektov, v dôsledku čoho sa nazývajú biomorfy.
Stochastické fraktály
Ďalšou známou triedou fraktálov sú stochastické fraktály, ktoré sa získajú, ak sa niektorý z ich parametrov náhodne zmení v iteratívnom procese. Výsledkom sú objekty veľmi podobné prírodným – asymetrické stromy, členité pobrežia atď.
Typickým predstaviteľom tejto skupiny fraktálov je „plazma“.
D 
Na jeho konštrukciu sa vezme obdĺžnik a pre každý z jeho rohov sa určí farba. Potom sa nájde stredový bod obdĺžnika a vyfarbí sa farbou rovnajúcou sa aritmetickému priemeru farieb v rohoch obdĺžnika plus nejaké náhodné číslo. Čím väčšie je náhodné číslo, tým bude obrázok „roztrhanejší“. Ak predpokladáme, že farbou bodu je nadmorská výška, namiesto plazmy dostaneme pohorie. Práve na tomto princípe sú hory modelované vo väčšine programov. Pomocou algoritmu podobného plazme sa zostaví výšková mapa, aplikujú sa na ňu rôzne filtre, aplikuje sa textúra a sú pripravené fotorealistické hory.
E 
Ak sa pozrieme na tento fraktál v sekcii, uvidíme, že tento fraktál je objemný a má „drsnosť“, práve kvôli tejto „drsnosti“ je veľmi dôležité použitie tohto fraktálu.
Povedzme, že chcete opísať tvar hory. Tu nepomôžu obyčajné obrazce z euklidovskej geometrie, pretože neberú do úvahy topografiu povrchu. Ale keď skombinujete konvenčnú geometriu s fraktálnou geometriou, môžete získať samotnú „drsnosť“ hory. Plazmu treba naniesť na obyčajný kužeľ a dostaneme reliéf hory. Takéto operácie je možné vykonávať s mnohými inými objektmi v prírode, vďaka stochastickým fraktálom možno popísať samotnú prírodu.
Teraz si povedzme niečo o geometrických fraktáloch.
.
Kapitola 3 "Fraktálna geometria prírody"
Prečo sa geometria často označuje ako „studená“ a „suchá“? Jedným z dôvodov je jej neschopnosť opísať tvar oblaku, hory, pobrežia alebo stromu. Oblaky nie sú gule, hory nie sú kužele, pobrežia nie sú kruhy, strom kôra nie je hladká; ale zložitosť úplne inej úrovne. Počet rôznych dĺžok prírodných objektov na všetky praktické účely je nekonečný."
(Benoit Mandelbrot „Fraktálna geometria prírody“ ).
TO 
Krása fraktálov je dvojaká: lahodí oku, o čom svedčí aspoň celosvetová výstava fraktálových obrázkov, ktorú zorganizovala skupina brémskych matematikov pod vedením Peitgena a Richtera. Neskôr boli exponáty tejto grandióznej výstavy zachytené v ilustráciách ku knihe „Krása fraktálov“ od tých istých autorov. Ale je tu ešte jeden, abstraktnejší alebo vznešenejší, aspekt krásy fraktálov, otvorený podľa R. Feynmana len mentálnemu pohľadu teoretika, v tomto zmysle sú fraktály krásne s krásou ťažkého matematického problému. Benoit Mandelbrot upozornil svojich súčasníkov (a pravdepodobne aj svojich potomkov) na nešťastnú medzeru v Euklidových prvkoch, podľa ktorej ľudstvo bez povšimnutia tohto vynechania takmer dve tisícročia chápalo geometriu okolitého sveta a učilo sa matematickej prísnosti prezentácia. Samozrejme, oba aspekty krásy fraktálov sú úzko prepojené a nevylučujú sa, ale vzájomne sa dopĺňajú, hoci každý z nich je sebestačný.
Fraktálna geometria prírody je podľa Mandelbrota skutočnou geometriou, ktorá spĺňa definíciu geometrie navrhnutú v „Erlangenovom programe“ F. Kleina. Faktom je, že pred príchodom neeuklidovskej geometrie N.I. Lobačevskij – L. Bolyai, bola len jedna geometria – tá, ktorá bola uvedená v „Začiatkoch“ a otázka, čo je geometria a ktorá z geometrií je geometriou skutočného sveta, nevznikla a ani nemohla. vznikajú. S príchodom ďalšej geometrie však vyvstala otázka, čo je geometria vo všeobecnosti a ktorá z mnohých geometrií zodpovedá skutočnému svetu. Geometria podľa F. Kleina študuje také vlastnosti objektov, ktoré sú pri transformáciách invariantné: Euklidovské - invarianty skupiny pohybov (transformácie, ktoré nemenia vzdialenosť medzi ľubovoľnými dvoma bodmi, tj predstavujú superpozíciu paralelných posunov a rotácií s resp. bez zmeny orientácie) , Lobachevsky-Bolyai geometria - invarianty Lorentzovej skupiny. Fraktálna geometria sa zaoberá štúdiom invariantov skupiny sebaafinných transformácií, t.j. vlastnosti vyjadrené mocenskými zákonmi.
Čo sa týka zhody s reálnym svetom, fraktálna geometria popisuje veľmi širokú triedu prírodných procesov a javov, a preto môžeme podľa B. Mandelbrota právom hovoriť o fraktálnej geometrii prírody. Nové - fraktálne objekty majú nezvyčajné vlastnosti. Dĺžky, plochy a objemy niektorých fraktálov sú rovné nule, iné sa otáčajú do nekonečna.
Príroda často vytvára úžasné a nádherné fraktály, s dokonalou geometriou a takou harmóniou, že vás jednoducho mrazí od obdivu. A tu sú ich príklady:
morské mušle
Blesk obdivujúc ich krásu. Fraktály vytvorené bleskom nie sú náhodné ani pravidelné.
fraktálny tvar poddruh karfiolu(Brassica cauliflora). Tento špeciálny druh je obzvlášť symetrický fraktál.
P 
papraď je tiež dobrým príkladom fraktálu medzi flórou.
Pávy každý je známy svojim farebným perím, v ktorom sú ukryté pevné fraktály.
Vzorky ľadu, mrazu na oknách, to sú tiež fraktály
O 
t zväčšený obrázok leták, predtým konáre stromu- fraktály nájdete vo všetkom
Fraktály sú všade a všade v prírode okolo nás. Celý vesmír je postavený podľa prekvapivo harmonických zákonov s matematickou presnosťou. Je možné si potom myslieť, že naša planéta je náhodná zhluk častíc? Sotva.
Kapitola 4
Fraktály nachádzajú stále viac aplikácií vo vede. Hlavným dôvodom je to, že opisujú skutočný svet niekedy dokonca lepšie ako tradičná fyzika alebo matematika. Tu je niekoľko príkladov:
O 
dni najvýkonnejších aplikácií fraktálov ležia v počítačová grafika. Toto je fraktálna kompresia obrázkov. Moderná fyzika a mechanika len začínajú študovať správanie fraktálnych objektov.
Výhody algoritmov kompresie fraktálnych obrázkov sú veľmi malá veľkosť zbaleného súboru a krátky čas obnovy obrázka. Fraktálne zbalené obrázky je možné zmenšiť bez toho, aby sa objavila pixelizácia (zlá kvalita obrazu - veľké štvorce). Proces kompresie však trvá dlho a niekedy trvá aj hodiny. Algoritmus stratového balenia fraktálov vám umožňuje nastaviť úroveň kompresie podobne ako vo formáte jpeg. Algoritmus je založený na hľadaní veľkých kúskov obrazu podobných niektorým malým kúskom. A do výstupného súboru sa zapíše len to, ktorý kus je tomu podobný. Pri kompresii sa zvyčajne používa štvorcová mriežka (kusy sú štvorce), čo vedie k miernemu hranatosti pri obnove obrazu, šesťuholníková mriežka je bez takejto nevýhody.
Iterated vyvinul nový obrazový formát „Sting“, ktorý kombinuje fraktálovú a „vlnovú“ (napríklad jpeg) bezstratovú kompresiu. Nový formát umožňuje vytvárať obrázky s možnosťou následného kvalitného škálovania a objem grafických súborov je 15-20% objemu nekomprimovaných obrázkov.
V mechanike a fyzike fraktály sa využívajú vďaka jedinečná nehnuteľnosť opakujte obrysy mnohých objektov prírody. Fraktály vám umožňujú aproximovať stromy, horské povrchy a pukliny s vyššou presnosťou ako aproximácie pomocou úsečiek alebo polygónov (s rovnakým množstvom uložených údajov). fraktálne vzory, napr prírodné predmety, majú „drsnosť“ a táto vlastnosť je zachovaná pri ľubovoľne veľkom náraste modelu. Prítomnosť jednotnej miery na fraktáloch umožňuje použiť integráciu, teóriu potenciálu, použiť ich namiesto štandardných objektov v už preštudovaných rovniciach.
T 
Fraktálna geometria je tiež zvyknutá návrh anténnych zariadení. Prvýkrát to využil americký inžinier Nathan Cohen, ktorý vtedy žil v centre Bostonu, kde bola inštalácia externých antén na budovy zakázaná. Cohen vyrezal tvar Kochovej krivky z hliníkovej fólie a potom ho prilepil na kus papiera a potom ho pripojil k prijímaču. Ukázalo sa, že takáto anténa nefunguje horšie ako konvenčná. A hoci fyzikálnych princípov takéto antény sa doteraz neskúmali, Cohenovi to nebránilo v založení vlastnej spoločnosti a jej založení sériová výroba. V súčasnosti americká spoločnosť „Fractal Antenna System“ vyvinula nový typ antény. Teraz môžete prestať používať vyčnievajúce externé antény v mobilných telefónoch. Takzvaná fraktálna anténa je umiestnená priamo na hlavnej doske vo vnútri zariadenia.
Existuje aj veľa hypotéz o využití fraktálov – fraktálne vlastnosti má napríklad aj lymfatický a obehový systém, pľúca a mnohé ďalšie.
Kapitola 5. Praktická práca.
Najprv sa zamerajme na fraktály „Náhrdelník“, „Víťazstvo“ a „Námestie“.
Najprv - "náhrdelník"(obr. 7). Kruh je iniciátorom tohto fraktálu. Tento kruh pozostáva z určitého počtu rovnakých kruhov, ale menších veľkostí, a sám je jedným z niekoľkých kruhov, ktoré sú rovnaké, ale väčších veľkostí. Vzdelávací proces je teda nekonečný a možno ho vykonávať v jednom aj v jednom opačná strana. Tie. postavu je možné zväčšiť zobratím len jedného malého oblúka, alebo ju možno zmenšiť tak, že zvažujeme jej konštrukciu z menších.
ryža. 7.
Fraktálny "Náhrdelník"
Druhý fraktál je "víťazstvo"(obr. 8). Toto meno dostal, pretože sa navonok podobá latinskému písmenu „V“, to znamená „víťazstvo“ - víťazstvo. Tento fraktál pozostáva z určitého počtu malých „v“, ktoré tvoria jedno veľké „V“ a v ľavej polovici, v ktorej sú malé umiestnené tak, že ich ľavé polovice tvoria jednu priamku, je postavená pravá časť. rovnakym sposobom. Každé z týchto „v“ je postavené rovnakým spôsobom a pokračuje v tom do nekonečna.
Obr.8. Fraktálne "víťazstvo"
Tretí fraktál je "Štvorec" (obr. 9). Každá jeho strana pozostáva z jedného radu buniek v tvare štvorcov, ktorých strany tiež predstavujú rady buniek atď.
Obr. 9. Fraktál "Štvorec" Obr.
Fraktál bol nazvaný „Ruža“ (obr. 10), pre jeho vonkajšiu podobnosť s týmto kvetom. Konštrukcia fraktálu je spojená s konštrukciou série sústredných kružníc, ktorých polomer sa mení úmerne k danému pomeru (v tomto prípade R m / R b = ¾ = 0,75.). Potom je do každého kruhu vpísaný pravidelný šesťuholník, ktorého strana sa rovná polomeru kruhu opísaného okolo neho.
Ryža. 11. Fraktál "Ruža *"
Ďalej sa otočíme na pravidelný päťuholník, v ktorom nakreslíme jeho uhlopriečky. Potom v päťuholníku získanom na priesečníku zodpovedajúcich segmentov opäť nakreslíme uhlopriečky. Pokračujme v tomto procese do nekonečna a získajme fraktál „Pentagram“ (obr. 12).
Zaveďme prvok kreativity a náš fraktál bude mať podobu viac vizuálneho objektu (obr. 13).
R 
je. 12. Fraktál "Pentagram".
Ryža. 13. Fraktál "Pentagram *"
Ryža. 14 fraktál "Čierna diera"
Experiment č. 1 "Strom"
Teraz, keď som pochopil, čo je fraktál a ako ho zostaviť, pokúsil som sa vytvoriť si vlastné obrázky fraktálov. V Adobe Photoshop som vytvoril malý podprogram alebo akciu, zvláštnosťou tejto akcie je, že opakuje akcie, ktoré robím, a takto získam fraktál.
Na začiatok som vytvoril pozadie pre náš budúci fraktál s rozlíšením 600 x 600. Potom som na toto pozadie nakreslil 3 čiary - základ nášho budúceho fraktálu.
SĎalším krokom je napísanie skriptu.
duplicitná vrstva ( vrstva > duplikát) a zmeňte typ zmesi na " Obrazovka" .
Zavolajme mu" fr1". Duplikovať túto vrstvu (" fr1") ešte 2 krát.
Teraz musíme prejsť na poslednú vrstvu (fr3) a dvakrát ho zlúčte s predchádzajúcim ( ctrl+e). Znížte jas vrstvy ( Obrázok > Úpravy > Jas/Kontrast , nastavený jas 50% ). Opäť sa spojte s predchádzajúcou vrstvou a odrežte okraje celého výkresu, aby ste odstránili neviditeľné časti.
Ako posledný krok som skopíroval tento obrázok a vložil ho zmenšený a otočený. Tu je konečný výsledok.
Záver
Táto práca je úvodom do sveta fraktálov. Zvážili sme len najmenšiu časť toho, čo sú fraktály, na základe akých princípov sú postavené.
Fraktálna grafika nie je len súborom sebaopakujúcich sa obrázkov, je to model štruktúry a princípu akejkoľvek bytosti. Celý náš život predstavujú fraktály. Celá príroda okolo nás sa skladá z nich. Treba poznamenať, že fraktály sú široko používané v počítačových hrách, kde terény sú často fraktálne obrázky založené na trojrozmerných modeloch zložitých množín. Fraktály výrazne uľahčujú kreslenie počítačovej grafiky, pomocou fraktálov sa vytvára množstvo špeciálnych efektov, rôzne rozprávkové a neuveriteľné obrázky atď. Tiež pomocou fraktálnej geometrie sa kreslia stromy, oblaky, pobrežia a všetka iná príroda. Fraktálna grafika je potrebná všade a vývoj „fraktálnych technológií“ je jednou z najdôležitejších úloh súčasnosti.
V budúcnosti sa plánujem naučiť zostavovať algebraické fraktály, keď budem podrobnejšie študovať komplexné čísla. Chcem sa tiež pokúsiť vytvoriť svoj fraktálny obraz v programovacom jazyku Pascal pomocou cyklov.
Je potrebné poznamenať, že použitie fraktálov v počítačovej technike, okrem jednoduchého vytvárania krásnych obrázkov na obrazovke počítača. Fraktály vo výpočtovej technike sa používajú v nasledujúcich oblastiach:
1. Komprimujte obrázky a informácie
2. Skrytie informácií v obraze, vo zvuku, ...
3. Šifrovanie údajov pomocou fraktálových algoritmov
4. Tvorba fraktálnej hudby
5. Modelovanie systému
V našej práci nie sú dané všetky oblasti ľudského poznania, kde teória fraktálov našla svoje uplatnenie. Chceme len povedať, že od vzniku teórie neuplynulo viac ako tretina storočia, no počas tejto doby sa fraktály pre mnohých výskumníkov stali náhlym jasným nočným svetlom, ktoré osvetľovalo doteraz neznáme skutočnosti a zákonitosti v konkrétnych dátové oblasti. Pomocou teórie fraktálov začali vysvetľovať vývoj galaxií a vývoj bunky, vznik hôr a vznik oblakov, pohyb cien na burze a vývoj spoločnosti a rodiny. Možno bola táto vášeň pre fraktály spočiatku až príliš búrlivá a pokusy vysvetliť všetko pomocou teórie fraktálov boli neopodstatnené. Táto teória má však bezpochyby právo na existenciu a ľutujeme, že sa na ňu v poslednom čase akosi zabudlo a zostala súčasťou elity. Pri príprave tejto práce bolo pre nás veľmi zaujímavé nájsť aplikácie TEÓRIE v PRAXI. Pretože veľmi často existuje pocit, že teoretické vedomosti stoja mimo realitu života.
Pojem fraktály sa tak stáva nielen súčasťou „čistej“ vedy, ale aj prvkom ľudskej kultúry. Fraktálna veda je stále veľmi mladá a má pred sebou veľkú budúcnosť. Krása fraktálov nie je ani zďaleka vyčerpaná a ešte nám dá mnoho majstrovských diel – tých, ktoré lahodia oku, aj tých, ktoré prinášajú skutočné potešenie do mysle.
10. Referencie
Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fraktály a multifraktály. RHD 2001 .
Vitolin D. Použitie fraktálov v počítačovej grafike. // Počítačový svet-Rusko.-1995
Mandelbrot B. Sebaafinné fraktálne množiny, "Fractals in Physics". M.: Mir 1988
Mandelbrot B. Fraktálna geometria prírody. - M.: "Inštitút pre počítačový výskum", 2002.
Morozov A.D. Úvod do teórie fraktálov. Nižný Novgorod: Vydavateľstvo Nižegorod. univerzita 1999
Paytgen H.-O., Richter P. H. Krása fraktálov. - M.: "Mir", 1993.
internetové zdroje
http://www.ghcube.com/fractals/determin.html
http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/
http://fractals.nsu.ru/animations.htm
http://www.cootey.com/fractals/index.html
http://fraktals.ucoz.ru/publ
http://sakva.narod.ru
http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/
http://www.cnam.fr/fractals/
http://www.softlab.ntua.gr/mandel/
http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html
Brilantné objavy vo vede často môžu radikálne zmeniť naše životy. Takže napríklad vynález vakcíny môže zachrániť veľa ľudí a vytvorenie novej zbrane vedie k vražde. Doslova včera (v meradle histórie) človek „skrotil“ elektrinu a dnes si už bez nej nevie predstaviť svoj život. Sú však aj také objavy, ktoré, ako sa hovorí, zostávajú v tieni, a to aj napriek tomu, že aj ony majú určitý vplyv na náš život. Jedným z týchto objavov bol fraktál. Väčšina ľudí o takomto pojme ani nepočula a nebude si vedieť vysvetliť jeho význam. V tomto článku sa pokúsime vysporiadať s otázkou, čo je fraktál, zvážiť význam tohto pojmu z hľadiska vedy a prírody.
Aby sme pochopili, čo je to fraktál, mali by sme začať s debriefingom z pozície matematiky, no skôr ako sa do toho ponoríme, trochu si zafilozofujeme. Každý človek má v sebe prirodzenú zvedavosť, vďaka ktorej sa učí svet. V túžbe po poznaní sa často snaží vo svojich úsudkoch operovať s logikou. Takže analyzujúc procesy, ktoré prebiehajú okolo, sa pokúša vypočítať vzťahy a odvodiť určité vzorce. Najväčšie mysle na planéte sú zaneprázdnené riešením týchto problémov. Zhruba povedané, naši vedci hľadajú vzory tam, kde nie sú a ani by nemali byť. Napriek tomu aj v chaose existuje spojenie medzi určitými udalosťami. Toto spojenie je fraktál. Ako príklad si uveďme zlomený konár ležiaci na ceste. Ak sa naň pozrieme pozorne, uvidíme, že so všetkými svojimi vetvami a uzlami sám vyzerá ako strom. Táto podobnosť samostatnej časti s jediným celkom svedčí o takzvanom princípe rekurzívnej sebapodobnosti. Fraktály v prírode možno nájsť neustále, pretože mnoho anorganických a organických foriem vzniká podobným spôsobom. Sú to oblaky a morské ulity, ulity slimákov a koruny stromov a dokonca aj obehový systém. Tento zoznam môže pokračovať donekonečna. Všetky tieto náhodné tvary sú ľahko opísané fraktálnym algoritmom. Tu sa dostávame k úvahe o tom, čo je fraktál z hľadiska exaktných vied.
Samotné slovo „fraktál“ sa z latinčiny prekladá ako „čiastočný“, „rozdelený“, „fragmentovaný“ a pokiaľ ide o obsah tohto pojmu, neexistuje žiadne znenie ako také. Zvyčajne sa s ňou zaobchádza ako so sebepodobnou zostavou, časťou celku, ktorá sa svojou štruktúrou opakuje na mikroúrovni. Tento termín zaviedol v sedemdesiatych rokoch dvadsiateho storočia Benoit Mandelbrot, ktorý je uznávaný ako otec. Dnes pojem fraktál znamená grafické znázornenie určitej štruktúry, ktorá po zväčšení bude podobná sebe samej. Matematický základ pre vytvorenie tejto teórie bol však položený ešte pred narodením samotného Mandelbrota, ale nemohol sa rozvíjať, kým sa neobjavili elektronické počítače.
Na prelome 19. a 20. storočia bolo skúmanie povahy fraktálov epizodické. Je to spôsobené tým, že matematici uprednostňovali štúdium predmetov, ktoré možno skúmať na základe všeobecných teórií a metód. V roku 1872 zostrojil nemecký matematik K. Weierstrass príklad spojitej funkcie, ktorá nie je nikde diferencovateľná. Táto konštrukcia sa však ukázala ako úplne abstraktná a ťažko pochopiteľná. Ďalej prišiel Švéd Helge von Koch, ktorý v roku 1904 postavil súvislú krivku, ktorá nikde nemá dotyčnicu. Je celkom ľahké ho kresliť a ako sa ukázalo, vyznačuje sa fraktálnymi vlastnosťami. Jeden z variantov tejto krivky bol pomenovaný po jej autorovi – „Kochova vločka“. Ďalej myšlienku sebapodobnosti postáv rozvinul budúci mentor B. Mandelbrota, Francúz Paul Levy. V roku 1938 publikoval prácu „Rovina a priestorové krivky a povrchy pozostávajúce z častí ako celku“. V ňom opísal nový druh- Levy C-krivka. Všetky vyššie uvedené obrázky podmienečne označujú takúto formu ako geometrické fraktály.
Do tejto triedy patrí súprava Mandelbrot. Prvými výskumníkmi v tomto smere sa stali francúzski matematici Pierre Fatou a Gaston Julia. V roku 1918 Julia publikovala článok založený na štúdiu iterácií racionálneho komplexné funkcie. Tu opísal rodinu fraktálov, ktoré úzko súvisia s Mandelbrotovou množinou. Napriek tomu, že toto dielo preslávilo autora medzi matematikmi, rýchlo sa naň zabudlo. A len o pol storočia neskôr vďaka počítačom dostala Juliina práca druhý život. Počítače umožnili každému človeku zviditeľniť krásu a bohatstvo sveta fraktálov, ktoré mohli matematici „vidieť“ tým, že ich zobrazovali prostredníctvom funkcií. Mandelbrot ako prvý použil počítač na výpočty (manuálne nie je možné takýto objem vykonať), čo umožnilo vytvoriť obraz o týchto číslach.
Mandelbrot začal svoje vedeckej kariéry vo Výskumnom centre IBM. Vedci, ktorí študovali možnosti prenosu údajov na veľké vzdialenosti, čelili skutočnosti veľkých strát, ktoré vznikli v dôsledku rušenia šumom. Benoit hľadal spôsoby, ako tento problém vyriešiť. Pri pohľade na výsledky meraní upozornil na zvláštny vzorec, konkrétne: grafy hluku vyzerali rovnako v rôznych časových mierkach.
Podobný obraz bol pozorovaný tak počas jedného dňa, ako aj počas siedmich dní alebo počas jednej hodiny. Sám Benoit Mandelbrot často opakoval, že nepracuje so vzorcami, ale hrá sa s obrázkami. Tento vedec sa vyznačoval nápaditým myslením, preložil akýkoľvek algebraický problém do geometrickej oblasti, kde je zrejmá správna odpoveď. Nie je teda prekvapujúce, že sa vyznamenal bohatými a stal sa otcom fraktálnej geometrie. Koniec koncov, uvedomenie si tejto postavy môže prísť len vtedy, keď budete študovať kresby a premýšľať o význame týchto zvláštnych vírov, ktoré tvoria vzor. Fraktálne kresby nemajú identické prvky, ale sú podobné v akejkoľvek mierke.
Jednou z prvých kresieb tejto figúry bola grafická interpretácia výpravy, ktorá sa zrodila vďaka dielu Gastona Juliu a finalizoval ju Mandelbrot. Gaston sa snažil predstaviť si, ako vyzerá súprava, keď je zostavená z jednoduchého vzorca, ktorý je opakovaný spätnou väzbou. Pokúsme sa vysvetliť, čo bolo povedané ľudskou rečou, takpovediac na prstoch. Pre konkrétnu číselnú hodnotu pomocou vzorca nájdeme novú hodnotu. Dosadíme ho do vzorca a zistíme nasledovné. Výsledok je veľký. Ak chcete reprezentovať takýto súbor, musíte túto operáciu vykonať veľakrát: stovky, tisíce, milióny. Toto urobil Benoit. Postupnosť spracoval a výsledky preniesol do grafickej podoby. Následne výsledný obrazec vyfarbil (každá farba zodpovedá určitému počtu opakovaní). Tento grafický obrázok sa nazýva Mandelbrotov fraktál.
Teória fraktálov rýchlo našla praktické uplatnenie. Keďže to veľmi úzko súvisí s vizualizáciou sebepodobných obrazov, prví, ktorí prijali princípy a algoritmy na zostavenie týchto nezvyčajných foriem, boli umelci. Prvou z nich bola budúca zakladateľka štúdia Pixar Lauren Carpenter. Pri práci na prezentácii prototypov lietadiel prišiel na nápad použiť ako pozadie obrázok hôr. Dnes sa s takouto úlohou dokáže vyrovnať takmer každý používateľ počítača a v sedemdesiatych rokoch minulého storočia počítače takéto procesy vykonávať nedokázali, pretože v tom čase ešte neexistovali grafické editory a aplikácie pre trojrozmernú grafiku. Loren natrafil na Mandelbrotove fraktály: tvar, náhodnosť a dimenzia. Benois v ňom uviedol mnoho príkladov, ktoré ukazujú, že v prírode existujú fraktály (fiva), opísal ich rôzne formy a dokázal, že sa dajú ľahko opísať matematickými výrazmi. Matematik uviedol túto analógiu ako argument pre užitočnosť teórie, ktorú rozvíjal v reakcii na vlnu kritiky od svojich kolegov. Tvrdili, že fraktál je len krásnym bezcenným obrazom, vedľajším produktom elektronických strojov. Carpenter sa rozhodol vyskúšať túto metódu v praxi. Po dôkladnom preštudovaní knihy budúci animátor začal hľadať spôsob, ako implementovať fraktálnu geometriu v počítačovej grafike. Vykreslenie úplne realistického obrazu horskej krajiny na počítači mu trvalo len tri dni. A dnes je tento princíp široko používaný. Ako sa ukázalo, vytváranie fraktálov nezaberie veľa času a úsilia.
Princíp, ktorý použila Lauren, sa ukázal byť jednoduchý. Spočíva v rozdelení väčších na menšie prvky a tie na podobné menšie atď. Carpenter ich pomocou veľkých trojuholníkov rozdrvil na 4 malé a tak ďalej, až kým nezískal realistickú horskú krajinu. Stal sa tak prvým umelcom, ktorý použil fraktálny algoritmus v počítačovej grafike na vytvorenie požadovaného obrazu. Dnes sa tento princíp používa na simuláciu rôznych realistických prírodných foriem.
O niekoľko rokov neskôr Lauren aplikoval svoju prácu vo veľkom projekte - animovanom videu Vol Libre, uvedenom na Siggraph v roku 1980. Toto video mnohých šokovalo a jeho tvorca bol pozvaný do Lucasfilmu. Tu sa animátor mohol plne realizovať, vytvoril trojrozmerné krajiny (celú planétu) pre celovečerný film "Star Trek". Akýkoľvek moderný program ("Fractals") alebo aplikácia na vytváranie trojrozmernej grafiky (Terragen, Vue, Bryce) používa rovnaký algoritmus na modelovanie textúr a povrchov.
Beddard, bývalý laserový fyzik a teraz digitálny umelec a umelec, vytvoril sériu veľmi zaujímavých geometrických tvarov, ktoré nazval Fabergeho fraktály. Navonok pripomínajú dekoratívne vajcia ruského klenotníka, majú rovnaký brilantný zložitý vzor. Beddard použil metódu šablóny na vytvorenie svojich digitálnych stvárnení modelov. Výsledné produkty sú pozoruhodné svojou krásou. Hoci mnohí odmietajú porovnávať handmade výrobok s počítačovým programom, treba uznať, že výsledné formy sú neobyčajne krásne. Vrcholom je, že každý môže vytvoriť takýto fraktál pomocou softvérovej knižnice WebGL. Umožňuje vám skúmať rôzne fraktálne štruktúry v reálnom čase.
Len málo ľudí venuje pozornosť, ale tieto úžasné postavy sú všade. Prírodu tvoria sebepodobné postavy, len si to nevšímame. Stačí sa pozrieť cez lupu na našu kožu alebo list stromu a uvidíme fraktály. Alebo si vezmite napríklad ananás alebo dokonca páví chvost - pozostávajú z podobných figúrok. A odroda brokolice Romanescu je vo všeobecnosti pozoruhodná svojim vzhľadom, pretože ju možno skutočne nazvať zázrakom prírody.
Ukazuje sa, že fraktály nie sú len geometrické tvary, môžu to byť aj zvuky. Hudobník Jonathan Colton teda píše hudbu pomocou fraktálnych algoritmov. Tvrdí, že zodpovedá prirodzenej harmónii. Skladateľ zverejňuje všetky svoje diela pod licenciou CreativeCommons Attribution-Noncommerce, ktorá zabezpečuje bezplatné šírenie, kopírovanie, prenos diel inými osobami.
Táto technika našla veľmi neočakávané uplatnenie. Na jeho základe bol vytvorený nástroj na analýzu burzového trhu a vďaka tomu sa začal používať na devízovom trhu. Fraktálový indikátor sa teraz nachádza na všetkých obchodných platformách a používa sa v obchodnej technike nazývanej prelomenie cien. Túto techniku vyvinul Bill Williams. Ako autor komentuje svoj vynález, tento algoritmus je kombináciou niekoľkých „sviec“, v ktorých centrálna odráža maximálny alebo naopak minimálny krajný bod.
Takže sme zvážili, čo je fraktál. Ukazuje sa, že v chaose, ktorý nás obklopuje, sú v skutočnosti ideálne formy. Príroda je najlepší architekt, ideálny staviteľ a inžinier. Je usporiadaný veľmi logicky a ak nenájdeme vzor, neznamená to, že neexistuje. Možno sa budete musieť pozrieť na inú škálu. Môžeme s istotou povedať, že fraktály stále uchovávajú veľa tajomstiev, ktoré ešte musíme objaviť.
