Módne tendencie a trendy. Doplnky, topánky, krása, účesy

Zvážte algoritmy na zostavovanie geometrických modelov najbežnejších telies, ktoré sa často používajú ako základné prvky pri konštrukcii zložitejších modelov.

4.4.1. Konštrukcia pravidelných mnohostenov

Pravidelné mnohosteny (platónske telesá) sa nazývajú také konvexné mnohosteny, ktorých všetky plochy sú pravidelné mnohouholníky a všetky uhly mnohostenov vo vrcholoch sú si navzájom rovné.

Pravidelných mnohostenov je presne 5: pravidelný štvorsten, šesťsten (kocka), osemsten, dvanásťsten a dvadsaťsten. Ich hlavné charakteristiky sú uvedené v nasledujúcej karte. 4.2.

Plochy, hrany a vrcholy sú vzájomne prepojené pomocou Ei-

G + B \u003d P +2.

Pre úplný popis pravidelného mnohostenu, vzhľadom na jeho konvexnosť, stačí uviesť metódu na nájdenie všetkých jeho vrcholov. Kocka (šesťsten) sa stavia veľmi jednoducho. Ukážme si, ako sú skonštruované ostatné telá.

Na zostavenie štvorstenu je predbežne postavená kocka a na jej protiľahlých stranách sú nakreslené krížové diagonály. Vrcholy štvorstenu sú teda ľubovoľné 4 vrcholy kocky, ktoré po pároch nesusedia so žiadnou jej hranou Obr.4.1.

Ryža. 4.1. Stavba kocky, štvorstenu a osemstenu

Na zostavenie osemstenu je predbežne postavená kocka. Vrcholy osemstenu sú ťažiskami stien kocky (obr. 4.1), čo znamená, že každý vrchol osemstenu je aritmetickým priemerom rovnomenných súradníc štyroch vrcholov, ktoré tvoria jeho stenu. kocka.

4.4.2. Budovanie dvadsaťstenu

Dvadsaťsten a dvanásťsten je možné zostrojiť aj pomocou kocky. Existuje však jednoduchší spôsob konštrukcie:

- dve kružnice s jednotkovým polomerom sú zostrojené vo vzdialenosti h=1;

- každý z kruhov je rozdelený na 5 rovnakých častí, ako je znázornené na obr. 4.2.

- pohybom proti smeru hodinových ručičiek pozdĺž kruhov očíslujeme vybraných 10 bodov v poradí zväčšujúceho sa uhla natočenia a potom postupne, v súlade s číslovaním, spájame tieto body s priamymi úsečkami;

- potom stiahnutím bodov vybraných na každom z kruhov pomocou akordov získame pás 10 pravidelných trojuholníkov;

- na dokončenie konštrukcie dvadsaťstenu vyberieme dva body na osi Z tak, aby dĺžka bočných hrán päťuholníkových ihlanov s vrcholmi v týchto bodoch a základňami zhodnými so zostrojenými päťuholníkmi bola rovná dĺžkam strán päťuholníka. pás trojuholníkov. Je ľahké vidieť, že to vyžaduje

ny bodov s aplikáciami ± 5 2 .

Výsledkom opísaných konštrukcií je 12 bodov. Konvexný mnohosten s vrcholmi v týchto bodoch bude mať 20 plôch, z ktorých každá je pravidelný trojuholník a všetky

polyedrické uhly vo vrcholoch sa budú navzájom rovnať. Výsledkom opísanej konštrukcie je teda dvadsaťsten.

4.4.3. Budovanie dvanásťstenu a gule

Na zostrojenie dvanásťstena využívame vlastnosť duality: vrcholy dvanásťstena sú ťažiskami (ťažiskami) trojuholníkových plôch dvadsaťstena. To znamená, že súradnice každého vrcholu dvanásťstenu možno nájsť výpočtom aritmetického priemeru zodpovedajúcich súradníc vrcholov plôch dvadsaťstenu.

Na zostavenie modelu gule používame predtým skonštruovaný dvadsaťsten. Všimnite si, že dvadsaťsten je už modelom gule: všetky vrcholy ležia na jeho povrchu, všetky steny sú rovnostranné trojuholníky. Jeho jedinou nevýhodou je malý počet trojuholníkových plôch na sprostredkovanie hladkého povrchu gule. Na zvýšenie úrovne detailov modelu sa používa nasledujúci rekurzívny postup:

každá trojuholníková plocha je rozdelená na štyri časti, nové vrcholy sú nasnímané v stredných bodoch strán plochy, ako je znázornené na obr.4.3.;

Ryža. 4.3. tvár dvadsaťstena

na povrch gule sa premietnu nové vrcholy, preto sa zo stredu gule cez vrchol vytiahne lúč a vrchol sa prenesie do priesečníka lúča s povrchom gule;

tieto kroky sa opakujú, kým sa nedosiahne požadovaný stupeň detailov povrchu gule.

Uvažované algoritmy umožňujú získať parametre hlavných geometrických modelov. Podobne môžete postaviť modely valca, torusu a iných tiel.

4.5. Polynomické parametrické formy reprezentácie

Polygonálne modely majú jednu významnú nevýhodu: na získanie realistického modelu telies so zložitým tvarom sú potrebné desiatky tisíc polygónov. Realistické scény už majú státisíce polygónov. Jedným zo spôsobov, ako získať kvalitné modely s výrazným znížením výpočtov, je použitie polynomických parametrických foriem, ktoré využívajú polygonálnu sieť len na získanie riadiacich bodov.

4.5.1. Formy znázornenia kriviek a plôch

Existujú tri hlavné formy matematického znázornenia kriviek a plôch: explicitné, implicitné, parametrické.

Explicitná forma špecifikácie krivky v dvojrozmernom priestore je rovnica, na ľavej strane ktorej je závislá premenná a na pravej strane funkcia, ktorej argument je nezávislá premenná.

Implicitná forma v dvojrozmernom priestore f(x ,y) =0. V parametrickej forme v 3D priestore:

krivka rovnica - x \u003d x (u), y \u003d y (u), z \u003d z (u);

povrchová rovnica - x \u003d x (u, v), y \u003d y (u, v), z \u003d z (u, v).

Jednou z hlavných výhod parametrickej formy (PF) reprezentácie je jej rovnomernosť v dvoj- a trojrozmerných priestoroch. PF je po prvé najflexibilnejší a po druhé odolný voči akýmkoľvek zmenám v tvare a orientácii objektov, vďaka čomu je obzvlášť vhodný v matematickom softvéri počítačových grafických systémov.

Parametrické polynomické krivky a plochy

Existuje mnoho spôsobov reprezentácie objektov, my sa však zameriame na polynómy, t.j. všetky funkcie parametra u pri opise kriviek alebo parametrov u a v pri opise plôch sú polynómy.

Zvážte rovnicu krivky:

p(u)= [x(u)y(u)z(u)]T.

i = 0, j = 0

Polynomická parametrická krivka stupňa n má tvar

Matica (c k ), pozostávajúca z n +1 stĺpcov, kombinuje koeficienty polynómov pre p zložky; to znamená, že máme 3(n+1) stupne voľnosti pri výbere koeficientov pre konkrétnu krivku p .

Krivka môže byť definovaná na ľubovoľnom intervale parametra u, ale bez straty všeobecnosti úsudkov môžeme predpokladať, že 0≤ u ≤ 1, t.j. segment krivky je definovaný.

Parametrický polynomický povrch je opísaný rovnicou nasledujúceho tvaru:

x(u, v)

p(u, v) = y(u, v) = ∑∑ n m cij ui vj .

z(u, v)

Na určenie špecifickej plochy p (u ,v ) je teda potrebné nastaviť 3 (n +1) (m +1) koeficienty. Počas analýzy je možné vziať n = m a zmeniť parametre u a v na intervale 0≤ u, v ≤ 1 a určiť časť povrchu (plocha) znázornenú na obr. 4.4.

Ryža. 4.4. Definícia časti povrchu

Takto definovanú plochu povrchu možno považovať za hranicu, ku ktorej smeruje množina kriviek, ktoré sa tvoria, keď jeden z parametrov u alebo v prechádza cez hodnoty vo svojom intervale, zatiaľ čo druhý zostáva konštantný.

jasná hodnota. V budúcnosti najskôr zadefinujeme polynomické krivky a potom ich použijeme na vytvorenie povrchu s podobnými charakteristikami.

Všimli sme si výhody použitia polynomickej parametrickej formy reprezentácie:

možnosť lokálnej kontroly tvaru objektu;

plynulosť a kontinuita v matematickom zmysle;

možnosť analytického výpočtu derivátov;

odolnosť voči malým poruchám;

schopnosť používať relatívne jednoduché, a teda vysokorýchlostné metódy vykresľovania.

4.5.2. Parametrické kubické krivky

Ak použijete polynóm veľmi vysokého stupňa, bude viac „voľnosti“, ale pri výpočte súradníc bodov bude potrebných viac výpočtov. So zvyšujúcim sa stupňom voľnosti sa tiež zvyšuje nebezpečenstvo vlnitého tvaru krivky. Na druhej strane výberom príliš nízkeho polynómu získame príliš málo parametrov a nebude možné reprodukovať tvar krivky. Riešenie - krivka je rozdelená na segmenty, ktoré sú opísané polynómami nízkeho stupňa.

Kubickú polynómovú krivku môžete opísať takto:

p(u) = c0 + c1 u+ c2 u2 + c3 u3 = ∑ uk ck = uT c,

V týchto výrazoch je c maticou koeficientov polynómu. Práve túto hodnotu je potrebné vypočítať z daného súboru referenčných bodov. Ďalej uvažujeme o rôznych triedach kubických kriviek, ktoré sa líšia povahou porovnania s referenčnými bodmi. Pre každý typ sa vytvorí sústava 12 rovníc s 12 neznámymi, ale keďže parametrické funkcie pre zložky x,y,z nezávislých, týchto 12 rovníc bude rozdelených do troch skupín po 4 rovnice so 4 neznámymi.

Výpočet hodnôt koeficientov určitého typu kubickej krivky sa vykonáva na danom súbore referenčných bodov zodpovedajúcich niektorým hodnotám nezávislého parametra.

u . Tieto údaje môžu mať formu obmedzení vyžadujúcich, aby krivka prechádzala cez niektoré z daných bodov a v blízkosti iných bodov. Okrem toho tieto údaje kladú určité podmienky aj na hladkosť krivky, napríklad kontinuitu derivácií v daných bodoch konjugácie jednotlivých segmentov. Krivky rôznych tried, vytvorené na rovnakých referenčných bodoch, sa môžu výrazne líšiť.

4.5.3. Interpolácia

Nech sú v trojrozmernom priestore štyri referenčné body: p 0 , p 1 , p 2 a p 3 . Každý bod je reprezentovaný trojicou jeho súradníc:

p k= [ x ky kz k] T .

Nájdite prvky matice koeficientov c , také, že polynóm p(u)=u T c bude prechádzať danými štyrmi referenčnými bodmi.

Riešenie. Sú štyri body, urobíme 12 rovníc s 12 neznámymi - maticovými prvkami. Predpokladáme, že hodnoty u k (k= 0,1,2,3) sú rovnomerne rozložené po intervale, t.j. u= 0,1/3,2/3,1. Dostaneme rovnice:

Tieto rovnice zapisujeme v maticovom tvare: p=AC ,

p = [ p 0p 1p 2p 3] T

Poďme analyzovať maticu A . Ak sa p a c interpretujú ako stĺpcové matice s 12 prvkami, pravidlo pre násobenie matíc nebude dodržané. Ale môžeme si predstaviť p a c ako stĺpcové matice 4 prvkov, z ktorých každý je zase riadková matica. Potom ako výsledok súčinu dostaneme prvok rovnakého tvaru ako prvky stĺpcovej matice p . Matrica nie je degenerovaná, môže sa prevrátiť a získať základnú in-

termoregulačná matrica:

S hodnotami M I môžeme vypočítať požadované hodnoty koeficientov c= M I /p.

Ak krivka nie je daná 4, ale m referenčnými bodmi, potom môže byť reprezentovaná interpolačným polynómom rádu (m -1) (vypočítajte 3 × m koeficienty pomocou podobnej techniky). Môžete to urobiť inak - považujte túto krivku za pozostávajúcu z niekoľkých segmentov, z ktorých každý je daný ďalšou skupinou 4 bodov. Kontinuitu je možné zabezpečiť tak, že sa posledný kontrolný bod predchádzajúcej skupiny považuje za prvý kontrolný bod nasledujúcej skupiny. Matice M I na každom segmente budú rovnaké, pretože u . Ale v tomto prípade funkcie derivátov vzhľadom na

parameter bude v spojovacích bodoch prerušovaný.

4.5.4. Miešacie funkcie (funkcie polynomických váh riadiacich bodov)

Analyzujme plynulosť interpolačných polynomických kriviek. Aby sme to dosiahli, prepíšeme predtým odvodené vzťahy v mierne upravenej forme:

p(u) = uT c= uT MI p.

Tento pomer možno zapísať ako: p (u) = b (u) T p ,

b(u) = MI T u,

existuje maticový stĺpec so štyrmi polynomiálne zmiešavacie funkcie

zmiešavacie polynómy:

b(u)= [b0(u)b1(u)b2(u)b3(u)]T.

V každej zmiešavacej funkcii je polynóm kubický. Vyjadrením p(u) ako súčtu zmiešavacích polynómov dostaneme:

p (u) \u003d b 0 (u) p 0 + b 1 (u) p 1 + b 2 (u) p 2 + b 3 (u) p 3 \u003d ∑ b i (u) p i.

i=0

Z tohto vzťahu vyplýva, že funkcie polynomického miešania charakterizujú príspevok každého referenčného bodu, a teda nám umožňujú odhadnúť, do akej miery ovplyvní zmena polohy jedného alebo druhého referenčného bodu tvar výslednej krivky. Analytické výrazy pre nich:

b 0 (u )= − 9 2 (u − 1 3 )(u − 2 3 )(u − 1), b 1 (u )= 27 2 u (u − 2 3) (u − 1),

b 2 (u )= − 27 2 u (u − 1 3 )(u − 1),b 3 (u )= 9 2 (u − 1 3 )(u − 2 3 ).

Pretože všetky nuly funkcií ležia na intervale, potom sa ich hodnoty môžu na tomto intervale výrazne meniť a samotné funkcie nie sú monotónne (obr. 4.5.). Tieto charakteristiky vyplývajú zo skutočnosti, že interpolačná krivka musí prechádzať cez referenčné body, a nie v ich bezprostrednej blízkosti. Zlá hladkosť krivky, nedostatok kontinuity derivátov v spojovacích bodoch segmentov vysvetľujú, prečo sa interpolačné polynómové krivky v CG používajú zriedkavo. Ale pomocou rovnakej techniky analýzy môžete nájsť vhodnejší typ krivky.

Časť kubickej interpolačnej plochy

Bikubickú rovnicu povrchu možno zapísať takto:

p(u, v) = ∑∑ ui vj cij .

i = 0j = 0

Tu c ij je trojzložková matica-stĺpec, ktorého prvkami sú koeficienty pri rovnakých mocninách nezávislej premennej v rovniciach pre x , y , z- zložky. Definujme maticu C 4x4 tak, že jej prvkami sú trojzložkové stĺpcové matice:

C = [cij].

Potom časť povrchu možno opísať takto: p (u , v ) = u T Cv ,

Špecifická časť bikubického povrchu je určená 48 hodnotami prvkov matice C - 16 trojrozmerných vektorov.

Predpokladajme, že existuje 16 trojrozmerných referenčných bodov p ij ,i= 0,..,3,j= 0,..,3 (obr. 4.6.). Predpokladáme, že tieto údaje sa používajú na interpoláciu s rovnakým krokom v oboch nezávislých parametroch u a v, ktoré nadobúdajú hodnoty 0, 1/3, 2/3, 1.

dostaneme tri sady 16 rovníc so 16 neznámymi v každej. Takže pre u=v= 0 dostaneme

p 00 = [ 1 0 0 0] C 0 0 = c 00,0

Ryža. 4.6. Časť interpolačnej plochy

Nemôžete vyriešiť všetky tieto rovnice. Ak zafixujeme v =0, tak zmenou u dostaneme krivku prechádzajúcu cez p 00 ,p 10 ,p 20 ,p 30 . Pomocou výsledkov získaných v predchádzajúcej časti môžeme pre túto krivku napísať nasledujúci vzťah:

S v= 1/3, 2/3, 1 možno definovať tri ďalšie interpolačné krivky, z ktorých každá môže byť opísaná rovnakým spôsobom. Kombináciou rovníc pre všetky krivky získame systém, ktorý nás zaujíma, zo 16 rovníc:

uT MI P= uT CAT ,

kde A je inverzná matica k M I. Riešením tejto rovnice bude požadovaná matica koeficientov:

C = MI PMI T.

Dosadením do rovnice povrchu nakoniec dostaneme p (u ,v )= u T M I PM I T v .

Tento výsledok možno interpretovať rôznymi spôsobmi. Z toho po prvé vyplýva, že výsledky získané z analýzy kriviek možno rozšíriť na zodpovedajúce povrchy. Po druhé, môžeme rozšíriť techniku ​​použitia funkcií polynomiálneho miešania na povrchy:

p(u, v) = ∑∑ bi (u) bj (v ) pij .

i = 0j = 0

4.5.5. Forma zobrazenia Hermitových kriviek a plôch

Nech sú body p 0 ,p 3 a úsečka zodpovedá intervalu u, t.j. dostupné body zodpovedajú u =0 au =1. Poďme si zapísať

dve podmienky:

p (0) = p 0 = c 0,

p (1) = p 3= c 0+ c 1+ c 2+ c 3.

Dve ďalšie podmienky získame nastavením hodnôt derivácií funkcií v extrémnych bodoch segmentu u = 0 a u = 1:

p "(u)= c 1 + 2uc 2 + 3u 2 c 3 potom

p " 0 = p " (0) = c 1,

p" 3= p" (1) = c 1+ 2 c 2+ 3 c 3.

Tieto rovnice píšeme v maticovom tvare:

rovnicu možno zapísať takto:

c = MH q,

kde MH sa nazýva zovšeobecnená matica Hernitovej geometrie.

Výsledkom je, že získame znázornenie polynómovej krivky v Hermitovej forme:

p(u) = uT MH q.

Na znázornenie segmentov zloženej krivky použijeme Hermitovu formu, ako je znázornené na obr. 4.7. Konjugačný bod je spoločný pre oba segmenty a navyše, derivácie ku krivke v bode konjugácie pre oba segmenty sú tiež rovnaké. Výsledkom je, že získame zloženú krivku, ktorá je v prvej derivácii nepretržitá.

p(0) p(1)=q(0)

Ryža. 4.7. Aplikácia tvaru Hermite na spájanie segmentov

Možnosť získania hladších kriviek pomocou Hermitovej reprezentačnej formy možno matematicky zdôvodniť nasledovne. Polynóm zapíšeme v tvare

p(u) = b(u) Tq,

kde je nová funkcia miešania

Nuly týchto štyroch polynómov sú mimo intervalu , a preto sú zmiešavacie funkcie oveľa hladšie ako v prípade interpolačných polynómov.

Časť povrchu v tvare Hermita možno definovať takto:

p (u, v) = ∑∑ b i(u) b j(v) q ij,

i = 0j = 0

kde Q =[ q ij ] je množina údajov reprezentujúcich časť povrchu rovnakým spôsobom, ako q predstavuje segment krivky. Štyri prvky Q sú hodnoty funkcie p(u,v) in rohové body povrch a štyri ďalšie by mali predstavovať derivácie povrchu v týchto rohových bodoch. V interaktívnych aplikáciách je žiaduce, aby používateľ neuvádzal údaje o deriváciách, ale súradnice bodov, a preto bez formulovania analytických výrazov pre tieto dáta nebudeme môcť derivácie získať.

Ak sú v bode konjugácie hodnoty všetkých troch parametrických zložiek vektorov p a q rovnaké, potom máme parametrická kontinuita trieda C 0 .

Krivky, v ktorých sú splnené podmienky spojitosti pre hodnotu aj pre prvú deriváciu, majú parametrickú spojitosť triedy C 1 .

Ak sú hodnoty komponentov derivátov proporcionálne, potom sa uskutoční geometrická kontinuita triedy G 1.

Tieto myšlienky možno zovšeobecniť na deriváty vyššieho rádu.

Tvar krivky s geometrickou spojitosťou triedy G 1 závisí od koeficientu úmernosti dĺžok dotyčníc k úsečkám v bode konjugácie. Na obr.4.8. je ukázané, že tvar segmentov kriviek, ktoré sa zhodujú v koncových bodoch a majú proporcionálne dotyčnicové vektory v týchto bodoch, sa značne líšia. Táto vlastnosť sa často používa v grafických programoch na kreslenie.

p"(0) q(u) p"(1)

Ryža. 4.8. Vplyv dĺžky vektora dotyčnice na tvar úsečiek

4.5.6. Krivky a Bézierove plochy

Porovnanie kriviek v Hermitovej forme a vo forme interpolačného polynómu je nemožné, pretože na ich tvorbu sa používajú

rôzne súbory údajov. Skúsme použiť rovnaký súbor referenčných bodov ako na určenie interpolačného polynómu, tak aj na nepriame definovanie kriviek v Hermitovej forme. Výsledkom je Bezierova krivka, ktorá je dobrou aproximáciou Hermitovej krivky a možno ju porovnať s interpolačným polynómom vytvoreným na rovnakom súbore bodov. Okrem toho je tento postup ideálny pre interaktívnu konštrukciu krivočiarych objektov v CG a CAD systémoch, pretože definovanie Bézierovej krivky nevyžaduje derivácie.

Bezierove krivky

Nech sú v trojrozmernom priestore štyri referenčné body: p 0 , p 1 , p 2 a p 3 . Koncové body vygenerovanej krivky p ( u ) sa musia zhodovať s referenčnými bodmi p 0 , p 1 :

p° = p (0), p3 = p (1).

Bezier navrhol použiť dva ďalšie referenčné body p 1 a p 2 na nastavenie derivácií v extrémnych bodoch segmentu u = 0 a u = 1.

Ryža. 4.9. Aproximácia tangentového vektora

Aplikovaním tejto aproximácie na dotyčnice v dvoch extrémnych bodoch k parametrickej polynómovej krivke p (u ) =u T c dostaneme dve podmienky:

3 p 1− 3 p 0= c 1,

3 p 3− 3 p 2= c 1+ 2 c 2+ 3 c 3.

Pridajme ich k existujúcim podmienkam pre koincidenciu krivky v koncových bodoch:

p (0) = p 0 = c 0,

p(1)=p3=co+c1+c2+c3.

Takže sme opäť dostali tri sady štyroch rovníc v každej zo štyroch neznámych. Ak ich vyriešime rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcej časti, dostaneme:

c = MBp,

kde MB sa nazýva základná Bézierová matica geometrie:

Výsledkom je, že získame znázornenie polynomickej krivky v Bézierovej forme:

p(u) = uT MB p.

Tento vzorec možno použiť na získanie zloženej krivky, ktorej segmenty sú interpolačné polynómy. Je zrejmé, že zložená krivka zostrojená Bezierovou metódou na ľubovoľnom súbore referenčných bodov patrí do triedy С 0 , ale nespĺňa požiadavky triedy С 1, pretože dotyčnice vpravo a vľavo od bodu konjugácie sú aproximované rôznymi vzorcami.

Poďme analyzovať vlastnosti krivky pomocou funkcií prelínania. Polynóm zapíšeme v tvare:

p(u) = b(u) Tp,

kde vyzerá nová funkcia miešania (obr. 4.10):

Tieto štyri polynómy sú špeciálne prípady Bernsteinove polynómy:

b kd (u )= k !(d d − ! k )! u k (1− u )d − k .

Vlastnosti Bernsteinových polynómov:

1) všetky nuly na bodoch u = 0 alebo u = 1;

2) teda na 0< ) musí ležať vo vnútri konvexného polygonálneho trupu tvoreného štyrmi dané body, ako je znázornené na obr. 4.11. Bézierova krivka teda síce neprechádza všetkými danými kotviacimi bodmi, no nikdy neprekročí oblasť ohraničenú týmito bodmi. To je veľmi užitočné pre interaktívny vizuálny dizajn.

Časti povrchu v tvare Béziera

Časti Bézierových plôch možno tvarovať pomocou funkcií prelínania. Ak P = je pole referenčných bodov s

meria 4x4, potom zodpovedajúca časť povrchu v Bézierovom tvare je opísaná vzťahom:

Časť povrchu prechádza cez rohové body p00 ,p03 ,p30 a p33 a neprekračuje hranice konvexného mnohouholníka, ktorého vrcholy sú referenčnými bodmi. Dvanásť kotviacich bodov zo 16

možno interpretovať ako údaje, ktoré určujú smer derivácií vzhľadom na rôzne parametre v rohových bodoch vytvorenej časti povrchu.

4.6. Príklad budovania polygonálnych modelov

Uvažovaný problém - reprezentácia geometrických modelov definovaných polygonálnymi sieťami - možno rozdeliť do nasledujúcich etáp:

1) vývoj modelu (údajových štruktúr) na reprezentáciu scény;

2) vývoj formátu súboru na ukladanie modelu;

3) písanie programu na prezeranie vytvorených scén;

4) napísanie programu na generovanie polygonálnych modelov objektov v súlade s voľbou úlohy.

4.6.1. Vývoj dátových štruktúr polygonálnych modelov

Rozlišujú sa tieto prvky modelu: bod, mnohouholník, model samostatného objektu, scéna (súbor objektov s daným umiestnením voči sebe).

1) Bod je opísaný tromi súradnicami:

2) Mnohouholník je vo všeobecnosti ľubovoľný konvexný mnohouholník. Použijeme jeho špeciálny prípad – trojuholník. Naša voľba je odôvodnená skutočnosťou, že následné tieňovacie algoritmy s Z-buffer, pre svoju prácu budú vyžadovať presne trojuholníkové

tváre a čoraz zložitejšie polygóny bude potrebné rozdeliť.

typedef struct Polygón (

intPoints; //indexy troch vrcholov tvoriacich //polygón, vrcholy sú uložené v zozname vrcholov modelu

3) Modelom jedného objektu je zoznam bodov a zoznam vrcholov:

typedef struct Model3D (

Polygón Polygóny; //polygónové pole

4) Scéna je množina objektov s daným vzájomným umiestnením. V najjednoduchšom prípade môžete použiť

zoznam (pole) objektov, napr.

4.6.2. Navrhovanie formátu súboru pre ukladanie modelov

Na ukladanie a spracovanie scén a modelov je vhodné použiť textové súbory pozostávajúce z rôznych sekcií. Sekcie môžu byť oddelené kľúčovými slovami, ktoré uľahčujú čítanie a úpravu súborov a tiež umožňujú zadať len časť informácií o modeli. Dobrým príkladom je formát DXF, ktorý sa používa na výmenu výkresov medzi CAD systémami. Zvážte jednoduchý príklad:

kde prvé číslo je počet modelov v súbore scény N. Ďalej nasleduje N modelov. Prvé číslo v popise modelov je počet vrcholov K. Potom sú súradnice uvedené postupne

x,y,z všetkých K vrcholov. Potom príde číslo G, ktoré udáva počet tvárí v modeli. Potom nasledujú G čiary, z ktorých každá obsahuje indexy troch vrcholov, ktoré tvoria trojuholníkovú plochu.

4.6.3. Prezeranie vytvorených scén

Na zobrazenie vytvorených scén v ortografickej projekcii bol vyvinutý nasledujúci program:

#include #include #include #include

const int MAX_MODEL_COUNT = 3; //Max. počet modelov na scéne const int MAX_POINT_COUNT =100; //Max. počet bodov v modeli const int MAX_POLY_COUNT =100; //Max. počet tvárí v modeli

typedef struct Bod ( double x, y, z;

typedef struct Polygón (

intPoints; //indexy troch vrcholov, ktoré tvoria mnohouholník

typedef struct Model3D (

int PolygonCount;//počet polygónov v modeli

Polygón Polygóny; //pole polygónov

Model 3D modely; //modelové pole

//funkcia načíta scénu zo súboru

void LoadScene(Scene3D &scéna, const char * názov súboru)

if ((f = fopen(názov súboru, "rt")) == NULL)

fprintf(stderr, "Nedá sa otvoriť vstupný súbor.\n"); exit(1);

//prečítajte počet modelov v súbore fscanf(f, "%d", &scene.ModelsCount);

for(int m = 0; m< scene.ModelsCount; ++m)

Model3D *model = &scéna.Modely[m]; //načítanie zoznamu bodov modelu fscanf(f, "%d", &model->PointCount);

for(int i = 0; i< model->Počet bodov; ++i)

fscanf(f, "%lf%lf%lf", &p.x, &p.y, &p.z); model->Body[i] = p;

Mnohouholník *p = &(model->Mnohouholníky[i]); fscanf(f, "%d%d%d", &(p->Body),

&(p->Body), &p->Body);

//zobrazenie drôtového modelu //model v ortografickej projekcii

//drawback - všetky hrany sú nakreslené dvakrát void DrawWireFrameScene(const Scene3D &scene)

for(int m = 0; m< scene.ModelsCount; ++m)

const Model3D *model = &scene.Modely[m]; for(int i = 0; i< model->PolygonCount; ++i)

const Polygón *poly = &model->Polygóny[i];

//inicializácia grafického režimu void InitGraphMode(void)

int gdriver = DETEKCIA, gmode, kód chyby; initgraph(&gdriver, &gmode, "");

errorcode = graphresult();

if (errorcode != grOk) //vyskytla sa chyba

printf("Chyba grafiky: %s\n", grapherrormsg(kód chyby));

printf("Pre zastavenie stlačte ľubovoľnú klávesu:");

scéna3D scéna; LoadScene(scéna, "model.dat"); InitGraphMode(); DrawWireFrameScene(scéna); getch();

Vyššie uvedený príklad vám umožňuje načítať scény špecifikované v opísanom formáte a zobraziť ich v ortografickej projekcii. Demonštruje základné princípy práce s polygonálnymi modelmi.

Ale kvôli zjednodušeniu na zlepšenie viditeľnosti má tieto významné nevýhody:

1) počet vrcholov, plôch, modelov sa nastavuje priamo v programe, ale treba použiť dynamickú pamäť, napríklad dynamické jednorozmerné pole, pre ktoré sa pamäť pridelí pri načítaní scény.

2) ak existuje niekoľko identických modelov, ktoré sa líšia iba polohou a orientáciou v priestore, potom sú údaje popisujúce ich geometriu duplikované, napríklad niekoľko modelov gúľ. Model je vhodné rozdeliť na dve zložky: geometrickú, v ktorej je uložený popis plôch, vrcholov a topologickú, t.j. konkrétny prípad objektu nachádzajúceho sa v priestore.

3) popis dátových štruktúr a metód, ktoré ich podporujú, je vhodné oddeliť do samostatného modulu, potom ho možno použiť napríklad v programoch na generovanie primitív.

V súčasnosti teda dominujú polygonálne geometrické modely. Je to spôsobené jednoduchosťou ich softvérového a hardvérového zastúpenia. Vzhľadom na neustály rast príležitostí

výpočtová technika na jednej strane a požiadavky na kvalitu modelov na strane druhej prebieha intenzívny výskum nových typov modelov.

Kontrolné otázky a cvičenia

1. Ako sa geometrické modely líšia od iných typov modelov?

2. Vymenujte hlavné komponenty geometrického modelu.

3. Ako sa súradnicové modely líšia od analytických?

4. Aké typy geometrických modelov existujú?

5. Prečo sú polygonálne modely také rozšírené?

6. Aké metódy definovania polygonálneho modelu poznáte?

7. Aké sú nevýhody a obmedzenia polygonálnych modelov?

8. Implementujte algoritmy na vytváranie polygonálnych modelov dvanásťstenov, dvadsaťstenov a gúľ.

9. Navrhnite algoritmus na zostavenie modelu polygonálneho torusu.

10. Ako môžete znížiť množstvo uložených údajov

vpočítačovej pamäte, s opakovaným používaním rovnakých polygonálnych modelov?

Belozerová Mária, žiačka 10. ročníka

Tento príspevok poskytuje informácie o geometrickom modeli, s ktorým sa študent stretol pri jeho výrobe.

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

Správny mnohosten. dvadsaťsten

Vyrobila Mária Belozerová, študent 10 triedy MOU « stredná školač. 16, Kimry, región Tver

Názvy pravidelných mnohostenov pochádzajú z Grécka. V doslovnom preklade z gréčtiny "tetrahedron", "osemedron", "hexaedr", "dvanásťsten", "ikozaéder" znamená: "tetrahedron", "osemedrón", "hexaedrón", "dvanásťsten", "dvadsaťstenný". Týmto krásnym telám je venovaná 13. kniha Euklidových živlov. Nazývajú sa aj telá Platóna, pretože. obsadili

dôležité miesto v filozofický koncept Platón o štruktúre vesmíru.

Štyri mnohosteny v ňom zosobňovali štyri esencie alebo „prvky.“ Štvorsten symbolizoval oheň, pretože. jeho vrchol smeruje nahor; dvadsaťsten – voda, pretože on je najviac „upravený“; kocka - zem, ako najviac "stabilná"; osemsten – vzduch, ako najviac „vzdušný“. Piaty mnohosten, dvanásťsten, stelesňoval „všetko, čo existuje“, symbolizoval celý vesmír a bol považovaný za hlavný.

Icosahedron (z gréckeho ico - dvadsať a hedra - okraj).

Pravidelný konvexný mnohosten zložený z 20 pravidelných trojuholníkov. Každý z 12 vrcholov dvadsaťstenu je vrcholom 5 rovnostranných trojuholníkov, takže súčet uhlov vo vrchole je 300°.

Dvadsaťsten má 30 hrán. Ako všetky bežné mnohosteny, aj okraje dvadsaťstenu majú rovnakú dĺžku a tváre majú rovnakú oblasť.

Dvadsaťsten má 15 osí symetrie, z ktorých každá prechádza stredom protiľahlých rovnobežných hrán. Priesečníkom všetkých osí symetrie dvadsaťstenu je jeho stred

symetria.

Rovín symetrie je tiež 15. Roviny symetrie prechádzajú štyrmi vrcholmi ležiacimi v rovnakej rovine a stredmi protiľahlých rovnobežných hrán.

Dvadsaťsten je geometrické teleso, ktorého tvar nadobúdajú vírusy pozostávajúce z DNA a proteínu, čo znamená, že dvadsaťsten a päťuholníková symetria „sú zásadné v organizácii živej hmoty“.

Pravidelné mnohosteny sa nachádzajú aj vo voľnej prírode. Napríklad kostra jednobunkový organizmus Theodarium (Circjgjnia icosahtdra) má tvar dvadsaťstena.

Väčšina feodariov žije ďalej morská hĺbka a slúžia ako korisť koralových rýb. Najjednoduchšie zviera sa však chráni dvanástimi ihlami vychádzajúcimi z 12 vrcholov kostry. Vyzerá skôr ako hviezdicový mnohosten. Zo všetkých mnohostenov s rovnakým počtom plôch má dvadsaťsten najväčší objem pri najmenšia plocha povrchy. Táto vlastnosť pomáha morskému organizmu prekonať tlak vodného stĺpca.

Vírus nemôže byť dokonale guľatý, ako sa predtým myslelo. Aby určili jeho tvar, vzali rôzne mnohosteny a nasmerovali na ne svetlo v rovnakých uhloch ako prúdenie atómov k vírusu. Ukázalo sa, že iba jeden mnohosten dáva presne ten istý tieň - dvadsaťsten.

Vírusy využili exkluzivitu ikosahedru medzi platónskymi pevnými látkami. Vírusová častica musí obrátiť celú výmenu hostiteľskej bunky hore nohami; musí prinútiť infikovanú bunku syntetizovať početné enzýmy a iné molekuly potrebné na syntézu nových vírusových častíc. Všetky tieto enzýmy musia byť kódované vo vírusovej nukleovej kyseline. Ale jeho množstvo je obmedzené. Preto je v nukleovej kyseline vírusu ponechaný len veľmi malý priestor na kódovanie samoobalených proteínov. Čo robí vírus? Jednoducho používa tú istú oblasť nukleovej kyseliny znova a znova na syntézu. Vysoké čísloštandardné molekuly - stavebné proteíny, ktoré sa kombinujú v procese samozostavovania vírusovej častice. Vďaka tomu sa dosiahne maximálna úspora genetickej informácie. Podľa matematických zákonov, aby ste čo najhospodárnejšie postavili uzavretú škrupinu z rovnakých prvkov, musíte z nich pridať dvadsaťsten, ktorý pozorujeme pri vírusoch.

Vírusy takto „riešia“ najťažší (nazýva sa to „izopyranný“) problém: nájsť teleso s najmenším povrchom pre daný objem a navyše pozostávajúce z rovnakých a tiež najjednoduchších figúrok. Vírusy, najmenší z organizmov, sú také jednoduché, že stále nie je jasné, či by mali byť klasifikované ako živé, resp neživej prírode, - tie isté vírusy si poradili s geometrickým problémom, ktorý ľuďom trval viac ako dve tisícročia! Všetky takzvané "sférické vírusy", vrátane takého hrozného, ​​akým je vírus detskej obrny, sú dvadsaťsteny, nie gule, ako sa doteraz myslelo.

Štruktúra adenovírusov má tiež tvar dvadsaťstena. Adenovírusy (z gréckeho aden – železo a vírusy), rodina vírusov obsahujúcich DNA, ktoré spôsobujú adenovírusové ochorenia u ľudí a zvierat.

Vírus panleukopénie mačiek (FPLV) patrí do rodiny parnovírusov. Medzi bežnými ľudskými chorobami nie sú žiadne súvisiace patogény. Vírus je sférický dvadsaťstranný dvadsaťsten, malý, s veľkosťou asi 20 nm (0,00002 mm), s jednoduchou štruktúrou, bez vonkajšieho obalu; genóm je jedna molekula jednovláknovej DNA s molekulovou hmotnosťou asi 2 mil.. Vírus je veľmi stabilný, mimo tela dokáže zostať aktívny mesiace a roky.

Vírus hepatitídy B je pôvodcom hepatitídy B, hlavného predstaviteľa rodiny hepadnovírusov. Do tejto čeľade patria aj vírusy hepatotropnej hepatitídy svišťov, sysľov, kačíc a veveričiek. Vírus HBV obsahuje DNA. Je to častica s priemerom 42-47 nm, pozostáva z nukleoidného jadra, ktoré má tvar ikozaédra s priemerom 28 nm, vo vnútri ktorého je DNA, terminálny proteín a enzým DNA polymeráza.

Takže po dokončení tejto práce som sa dozvedel veľa nových a zaujímavých vecí o pravidelnom mnohostene - dvadsaťstene.

Pri práci na výrobe modelu dvadsaťsten, pri štúdiu materiálu som sa dozvedel, že prvé pravidelné polopravidelné mnohosteny študovali starovekí vedci Platón a Archimedes. V súčasnosti mnoho vedcov študuje mnohosteny. Vlastnosti polyhedra sa využívajú v rôznych oblastiach ľudskej činnosti. Napríklad v architektúre: takmer všetky budovy sú postavené symetricky.

Celý náš život je teda naplnený mnohostenmi, s ktorými sa stretáva každý človek: malé deti aj zrelí ľudia.

Vo svojej práci som zhrnul materiál zozbieraný na danú tému a vytvoril dvadsaťstenovú figúru a túto figúrku odfotografoval. Bolo pre mňa zaujímavé spracovať zvolenú tému eseje.

Reliéfny mnohosten sa nazýva kladný mnohosten, ak sú všetky jeho steny navzájom rovnaké, kladné mnohouholníky, pričom rovnaký počet hrán sa zbieha v celom jeho vrchole. Existuje päť skutočných mnohostenov - štvorsten, osemsten, dvadsaťsten, šesťsten (kocka) a dvanásťsten. Dvadsaťsten je mnohosten, ktorého strany tvoria dvadsať rovnakých pravidelných trojuholníkov.

Poučenie

1. Na stavbu dvadsaťsten a použiť konštrukciu kocky. Označme jednu z jeho tvárí SPRQ.

2. Nakreslite dva segmenty AA1 a BB1 tak, aby spájali stredy hrán kocky, teda ako = AP = A1R = A1Q = BS = BQ.

3. Na segmentoch AA1 a BB1 odložíme rovnaké segmenty CC1 a DD1 dĺžky n tak, aby ich konce boli v rovnakej vzdialenosti od hrán kocky, t.j. BD=B1D1=AC=A1C1.

4. Segmenty CC1 a DD1 sú okraje dvadsaťsten a. Zvyšovaním segmentov CD a C1D získate jednu z tvárí dvadsaťsten a - CC1D.

5. Opakujte konštrukcie 2, 3 a 4 pre všetky steny kocky - výsledkom je správny mnohosten vpísaný do kocky - dvadsaťsten. Pomocou šesťstenu možno postaviť akýkoľvek skutočný mnohosten.

Dvadsaťsten je skutočný mnohouholník. Takýto geometrický útvar má 30 hrán, 20 trojuholníkových plôch a 12 vrcholov, ktoré sú spojnicou piatich hrán. Zostavenie dvadsaťstenu z papiera je dosť ťažké, ale poriadne vzrušujúce. Môže byť vyrobený z vlnitého, baliaceho alebo farebného papiera, fólie. Použitím rôznych materiálov môžete vášmu dvadsaťstenu dodať ešte viac parády a krásy.

Budete potrebovať

• - rozloženie dvadsaťstena;
• - papier;
• - nožnice;
• - pravítko;
• - PVA lepidlo.

Poučenie

1. Vytlačte rozloženie dvadsaťstenu na kus papiera a potom ho vystrihnite pozdĺž bodkovanej čiary. Je to potrebné, aby sa ponechal voľný priestor na vzájomné lepenie častí figúry. Dajte si tú námahu, aby ste dvadsaťsten vystrihli čo najpohodovejšie, naopak, pri najmenšom posune bude vaše remeslo vo výsledku vyzerať škaredo. Potreba poriadneho úhľadného rezu je spôsobená skutočnosťou, že všetky trojuholníky v správnom dvadsaťstene majú identické strany. V dôsledku toho, ak sa ktorákoľvek strana začne líšiť v dĺžke, v dôsledku toho bude takýto rozdiel vo veľkosti neviditeľný.

2. Prehnite dvadsaťsten pozdĺž plných čiar, potom pomocou lepidla prilepte miesta, ktoré sú ohraničené bodkovanou čiarou, a spojte susedné strany trojuholníkov navzájom. Pre pevnejšiu fixáciu musí byť každá lepená strana držaná v tomto stave 20 sekúnd. Je pravda, že všetky ostatné strany dvadsaťstena by mali byť prilepené rovnakým spôsobom. Lepiť posledné dve rebrá je pre každého náročnejšie, pretože ich spojenie si vyžaduje trpezlivosť a šikovnosť. Váš papierový dvadsaťsten je pripravený.

3. Takýto geometrický obrazec možno vidieť v Každodenný život. Napríklad vo forme skráteného dvadsaťstenu (mnohosten pozostávajúci z 20 šesťuholníkov a 12 päťuholníkov) sa vyrába futbalová lopta. Toto sa stane obzvlášť neviditeľným, ak je výsledný dvadsaťsten zafarbený čiernobielo. Futbalovú loptu z papiera si môžete vyrobiť svojpomocne tak, že si vopred vytlačíte sken skráteného dvadsaťstena v 2 kópiách.

4. Výroba dvadsaťstenu z papiera je zaujímavý proces, ktorý si vyžaduje trpezlivosť, premyslenosť a veľa papiera. Ale výsledok bude dlho vyzera pekne. Je povolené dať papierový dvadsaťsten ako vzdelávaciu hračku dieťaťu, ktoré dosiahlo vek 3 rokov. Pri hre s touto geometrickou postavou si dieťa rozvinie nielen priestorové schopnosti a nápadité myslenie, ale aj lepšie spozná svet geometrie. Pre dospelého kreatívny proces konštrukcie papierového dvadsaťstenu vlastnými rukami mu umožní stráviť čas a zapôsobiť na svojich blízkych znalosťou tvorby zložitých figúrok.

Užitočné rady
Pri výrobe papierového dvadsaťstenu je potrebné venovať osobitnú pozornosť procesu skladania jeho strán. Aby ste papier ohýbali rovnomerne, môžete použiť obyčajné pravítko.

Osemsten je jedným zo štyroch skutočných mnohostenov, ktorým ľudia v staroveku pripisovali magický význam. Tento mnohosten symbolizoval vzduch. Ukážkový model osemstenu môže byť vyrobený z hrubého papiera alebo drôtu.

Budete potrebovať

• - hrubý papier alebo lepenka;
• - pravítko;
• - ceruzka;
• - uhlomer;
• - nožnice;
• - PVA lepidlo.

Poučenie

1. Osemsten má osem stien, pričom všetky sú rovnostranným trojuholníkom. V geometrii sa zvyčajne zostavuje osemsten, vpisuje sa do kocky alebo sa opisuje v jej blízkosti. Na modelovanie tohto geometrické teleso nie sú potrebné zložité výpočty. Osemsten bude pozostávať z 2 rovnakých štvorstenných pyramíd zlepených dohromady.

2. Nakreslite štvorec na kus papiera. Zostrojte kladný trojuholník na jednej z jeho strán, v ktorom sú všetky strany rovnaké a všetky uhly sú 60°. Je vhodné postaviť trojuholník pomocou uhlomeru, pričom 2 rohy štvorca susedia s rovnakou stranou o 60 °. Nakreslite lúče cez značky. Bod z križovatky bude tretí roh av budúcnosti - vrchol pyramídy. Postavte rovnaké trojuholníky na ostatných stranách štvorca.

3. Pyramídu budete musieť prilepiť. To si bude vyžadovať kvóty. Stačia štyri prídavky, jeden pre každý trojuholník. Vystrihnite, čo máte. Urobte druhý rovnakého druhu. Ohnite línie ohybu na nesprávnu stranu.

4. Ohnite každý z trojuholníkov na nesprávnu stranu. Rozotrite prídavky lepidlom PVA. Zlepte dve rovnaké pyramídy a nechajte ich vysušiť.

5. Teraz musíme pyramídy zlepiť. Štvorcové dno jedného z nich natrieme lepidlom, pritlačíme spodok druhého a zarovnáme strany a rohy. Osemsten necháme vyschnúť.

6. Na vytvorenie modelu osemstenu z drôtu budete potrebovať kartón alebo drevený štvorec. Je však dovolené vystačiť si s obyčajným trojuholníkom - na ohýbanie obrobku v pravom uhle to úplne stačí. Ohnite drôt do štvorca.

7. Odrežte 4 rovnaké kusy drôtu s veľkosťou 2 strán štvorca plus prídavok na ich pripevnenie v 2 bodoch k sebe a ak je to potrebné, pripevnite ich k rohom štvorca. Závisí to od drôtu. Ak je materiál spájkovateľný, dĺžka hrán sa rovná dvojnásobku strany štvorca bez akýchkoľvek prídavkov.

8. Nájdite stred dielu, naviňte alebo prispájkujte ho do rohu štvorca. Rovnakým spôsobom pripevnite zvyšok polotovarov. Spojte konce rebier umiestnených na jednej strane štvorcovej základne navzájom. Pozitívne trojuholníky sa ukážu samy. Vykonajte rovnakú operáciu s koncami rebier umiestnenými na druhej strane základne. Osemsten je pripravený.

Užitočné rady
Drôt pre podobné modely musí byť vybraný tak, aby dobre držal svoj tvar.

Umenie origami k nám prišlo zo starovekej Číny. Na úsvite svojho vzniku boli figúrky zvierat a vtákov vyrobené z papiera. Ale dnes je dovolené vytvárať nielen ich, ale aj zložité geometrické tvary.

Budete potrebovať

• - list papiera A4
• - nožnice

Poučenie

1. Na vytvorenie trojrozmerného geometrického útvaru potrebuje oktaedrón štvorcový list papiera. Je povolené vyrobiť ho z obyčajného listu A4. Za týmto účelom ohnite pravý alebo ľavý horný roh listu na opačnú stranu. Urobte si poznámku na kus papiera. Nakreslite čiaru rovnobežnú s úzkou stranou listu na značke, ktorú ste urobili. Odrežte nechcený kus papiera. Preložte štvorec na polovicu.

2. Pripojte pravý horný roh k stredovému záhybu. Zarovnajte ľavý horný roh tak, aby línia skladania prechádzala cez pripojený pravý horný roh.

3. Prehnite ľavý dolný roh štvorca smerom k stredovej čiare. Zarovnajte pravý dolný roh ako horné rohy a urobte záhyb. Neskôr musí byť obrobok prevrátený.

4. Prehnite pravý dolný roh dielu a ľavý horný roh do stredového záhybu. Vyžehlite obrobok rukou a otočte ho na druhú stranu.

5. Zarovnajte hornú a spodnú stranu s výslednou líniou ohybu. Vyhladzujte obrobok rukou.

6. Ohnite strany postavy k strednej čiare štvorca. Otočte časť na opačnú stranu.

7. Zložte kus zdola nahor v horizontálnej línii. Výsledkom by mala byť postava pripomínajúca latinské písmeno „V“.

8. Prehnite ľavú stranu nadol pozdĺž ľavej strany stredového trojuholníka. Prehnite pravú stranu nadol pozdĺž pravej strany stredového trojuholníka.

9. Na horných stranách figúrky urobte pruhy. Bod ohybu pásikov bude začínať v spodnej časti vnútorného výrezu „V“.

10. Ohnite ľavý horný roh k línii ohybu prúžku. Neskôr pás zložte. Rovnakým spôsobom prehnite pravý roh a odizolujte.

11. Zložte ľavú stranu nadol.

12. Na obrázku sú znázornené vrecká a vložky na zostavenie osemstenu.

13. Na zostavenie osemstenu je potrebné vyrobiť 4 takéto moduly. Zarovnajte dva moduly pod uhlom a zasuňte vyčnievajúce časti do vreciek. Potom zložte všetky 4 moduly dohromady.

14. Výsledkom je geometrický útvar nazývaný osemsten.

- (grécky, od eikosi dvadsať a základ hedra). Dvadsaťstranný. Slovník cudzích slov zahrnutých v ruskom jazyku. Chudinov A.N., 1910. ICOSAHEDRON grécky. eikosaedros, z eikosi, dvadsať a hedra, základ. Dvadsaťstranný. Oznámiť… Slovník cudzích slov ruského jazyka

Mnohosten, dvadsaťstranný slovník ruských synoným. dvadsaťsten n., počet synoným: 2 dvadsaťstranné (3) ... Slovník synonym

- (z gréckeho eikosi dvadsať a tvár hedra), jeden z 5 typov pravidelných mnohostenov, ktorý má 20 trojuholníkových plôch, 30 hrán a 12 vrcholov, z ktorých každý zbieha 5 hrán ... Moderná encyklopédia

- (z gréckeho eikosi dvadsať a hrana hedra) jeden z piatich typov pravidelných mnohostenov; má 20 plôch (trojuholníkových), 30 hrán, 12 vrcholov (v každej sa zbieha 5 hrán) ... Veľký encyklopedický slovník

ICOSAHEDRON, icosahedron, mužský. (z gréckeho eikosi dvadsať a hedra základ, okraj) (mat.). Geometrický obrazec je pravidelný mnohosten s dvadsiatimi uhlami. Slovník Ušakov. D.N. Ušakov. 1935 1940 ... Vysvetľujúci slovník Ushakova

Manžel, Grék telo, ktoré je ohraničené dvadsiatimi rovnostrannými trojuholníkmi, je jedným z pravých myohedrov, vytvorených z guličky, prerezaním priehradiek. Dahlov vysvetľujúci slovník. IN AND. Dal. 1863 1866 ... Dahlov vysvetľujúci slovník

Mnohosten s 20 trojuholníkovými plochami a kubickou symetriou. Forma charakteristická pre virióny mnohých vírusov. (Zdroj: "Mikrobiológia: slovník pojmov", Firsov N.N., M: Drop, 2006) ... Mikrobiologický slovník

dvadsaťsten- (z gréckeho eikosi dvadsať a tvár hedra), jeden z 5 typov pravidelných mnohostenov, ktorý má 20 trojuholníkových plôch, 30 hrán a 12 vrcholov, z ktorých každý zbieha 5 hrán. … Ilustrovaný encyklopedický slovník

dvadsaťsten- * dvadsaťsten * dvadsaťsten je mnohosten s dvanástimi trojuholníkovými stenami, ktoré majú kubickú symetriu a približne guľový tvar. I. forma charakteristická pre väčšinu sférických vírusov obsahujúcich DNA ... genetika. encyklopedický slovník

- (grécky eikosaédron, z éikosi dvadsať a základ hedra) jeden z piatich pravidelné mnohosteny; má 20 plôch (trojuholníkových), 30 hrán, 12 vrcholov (5 hrán sa zbieha v každom vrchole). Ak a je dĺžka hrany I., potom jej objem ... ... Veľký sovietska encyklopédia

knihy

• Magické hrany č.9. Hviezdicový mnohosten "Veľký dvadsaťsten". Súprava pre kreativitu školákov a študentov. Rozvíja priestorovú predstavivosť. Umožňuje lepiť trojrozmernú figúrku - mnohosten - z farebného kartónu. Každý model mnohostenu je jedinečný ...
• Geometria komplexných čísel, kvaterniónov a spinov, Arnold V.I. Komplexné čísla opisujú pohyby euklidovskej roviny, jedna rotácia trojrozmerného priestoru zodpovedá dvom kvaterniónom, ktorých rozdiel (fyzici tento jav nazývajú spin) je spôsobený ...