Vo väčšine prípadov sú dáta sústredené okolo nejakého centrálneho bodu. Na opísanie akéhokoľvek súboru údajov teda stačí uviesť priemernú hodnotu. Poďme sa pozrieť na tri číselné charakteristiky, ktoré sa používajú na odhad priemeru rozdelenia: aritmetický priemer, medián a modus.
Priemerná
Aritmetický priemer (často označovaný jednoducho ako priemer) je najbežnejším odhadom priemeru rozdelenia. Je to výsledok vydelenia súčtu všetkých pozorovaných číselných hodnôt ich počtom. Pre ukážku čísel X 1, X 2, ..., Xn, vzorový priemer (označený symbolom ) sa rovná \u003d (X 1 + X 2 + ... + Xn) / n, alebo
kde je priemer vzorky, n- veľkosť vzorky, Xi – i-tý prvok vzorky.
Stiahnite si poznámku vo formáte alebo formáte, príklady vo formáte
Zvážte výpočet aritmetického priemeru päťročných priemerných ročných výnosov 15 veľmi rizikových podielových fondov (obrázok 1).
Ryža. 1. Priemerný ročný výnos 15 veľmi rizikových podielových fondov
Priemer vzorky sa vypočíta takto:
Ide o dobrý výnos, najmä v porovnaní s výnosom 3 – 4 %, ktorý vkladatelia bánk alebo družstevných bánk dostali za rovnaké časové obdobie. Ak zoradíte hodnoty výnosov, ľahko zistíte, že osem fondov má výnos nad priemerom a sedem pod priemerom. Aritmetický priemer funguje ako bilančný bod, takže nízkopríjmové fondy vyvažujú vysokopríjmové fondy. Všetky prvky vzorky sa podieľajú na výpočte priemeru. Žiadny z ostatných odhadcov distribučného priemeru túto vlastnosť nemá.
Kedy vypočítať aritmetický priemer. Keďže aritmetický priemer závisí od všetkých prvkov vzorky, prítomnosť extrémnych hodnôt výrazne ovplyvňuje výsledok. V takýchto situáciách môže aritmetický priemer skresliť význam číselných údajov. Preto pri popise súboru údajov obsahujúcich extrémne hodnoty je potrebné uviesť medián alebo aritmetický priemer a medián. Ak sa napríklad zo vzorky odstráni výnos fondu RS Emerging Growth, vzorový priemer výnosu 14 fondov sa zníži takmer o 1 % na 5,19 %.
Medián
Medián je stredná hodnota usporiadaného poľa čísel. Ak pole neobsahuje opakujúce sa čísla, polovica jeho prvkov bude menšia a polovica väčšia ako medián. Ak vzorka obsahuje extrémne hodnoty, je lepšie použiť na odhad priemeru skôr medián ako aritmetický priemer. Ak chcete vypočítať medián vzorky, musíte ju najskôr zoradiť.
Tento vzorec je nejednoznačný. Jeho výsledok závisí od toho, či je číslo párne alebo nepárne. n:
Na výpočet mediánu pre vzorku 15 veľmi rizikových podielových fondov musíme najprv zoradiť nespracované údaje (obrázok 2). Potom bude medián oproti číslu stredného prvku vzorky; v našom príklade číslo 8. Excel má špeciálnu funkciu =MEDIAN(), ktorá pracuje aj s neusporiadanými poľami.
Ryža. 2. Medián 15 fondov
Medián je teda 6,5. To znamená, že polovica veľmi rizikových fondov nepresahuje 6,5, zatiaľ čo druhá polovica áno. Všimnite si, že medián 6,5 je o niečo väčší ako medián 6,08.
Ak zo vzorky odstránime ziskovosť fondu RS Emerging Growth, tak medián zostávajúcich 14 fondov klesne na 6,2 %, teda nie tak výrazne ako aritmetický priemer (obr. 3).
Ryža. 3. Medián 14 fondov
Móda
Termín prvýkrát zaviedol Pearson v roku 1894. Móda je číslo, ktoré sa vo vzorke vyskytuje najčastejšie (najmódnejšie). Móda dobre popisuje napríklad typickú reakciu vodičov na semafor, aby zastavili premávku. Klasickým príkladom využitia módy je výber veľkosti vyrábanej šarže topánok či farby tapety. Ak má distribúcia viacero režimov, potom sa hovorí, že je multimodálna alebo multimodálna (má dva alebo viac „vrcholov“). Multimodálna distribúcia poskytuje dôležité informácie o povahe skúmanej premennej. Napríklad v prieskumy verejnej mienky, ak premenná predstavuje preferenciu alebo postoj k niečomu, potom multimodalita môže znamenať, že existuje niekoľko výrazne odlišných názorov. Multimodalita je tiež indikátorom toho, že vzorka nie je homogénna a že pozorovania môžu byť generované dvoma alebo viacerými „prekrývajúcimi sa“ distribúciami. Na rozdiel od aritmetického priemeru odľahlé hodnoty neovplyvňujú režim. Pre priebežne rozložené náhodné premenné, akými sú priemerné ročné výnosy podielových fondov, režim niekedy vôbec neexistuje (alebo nedáva zmysel). Keďže tieto indikátory môžu nadobúdať rôzne hodnoty, opakujúce sa hodnoty sú extrémne zriedkavé.
Kvartily
Kvartily sú miery, ktoré sa najčastejšie používajú na vyhodnotenie distribúcie údajov pri popise vlastností veľkých numerických vzoriek. Zatiaľ čo medián rozdeľuje usporiadané pole na polovicu (50 % prvkov poľa je menších ako medián a 50 % je väčších), kvartily rozdeľujú usporiadaný súbor údajov na štyri časti. Hodnoty Q1, medián a Q3 sú 25., 50. a 75. percentil. Prvý kvartil Q 1 je číslo, ktoré rozdeľuje vzorku na dve časti: 25 % prvkov je menších ako prvý kvartil a 75 % je viac ako prvý kvartil.
Tretí kvartil Q 3 je číslo, ktoré tiež rozdeľuje vzorku na dve časti: 75 % prvkov je menej ako a 25 % je viac ako tretí kvartil.
Na výpočet kvartilov vo verziách Excelu pred rokom 2007 sa použila funkcia =QUARTILE(pole, časť). Počnúc Excelom 2010 platia dve funkcie:
Tieto dve funkcie poskytujú mierne odlišné hodnoty (obrázok 4). Napríklad pri výpočte kvartilov pre vzorku obsahujúcu údaje o priemernom ročnom výnose 15 veľmi rizikových podielových fondov, Q 1 = 1,8 alebo -0,7 pre QUARTILE.INC a QUARTILE.EXC, v tomto poradí. Mimochodom, skôr použitá funkcia QUARTILE zodpovedá modernej funkcii QUARTILE.ON. Na výpočet kvartilov v Exceli pomocou vyššie uvedených vzorcov je možné ponechať pole údajov bez poradia.
Ryža. 4. Vypočítajte kvartily v Exceli
Ešte raz zdôraznime. Excel dokáže vypočítať kvartily pre jednorozmerné diskrétne série, ktorý obsahuje hodnoty náhodná premenná. Výpočet kvartilov pre frekvenčné rozdelenie je uvedený v časti nižšie.
geometrický priemer
Na rozdiel od aritmetického priemeru geometrický priemer meria, do akej miery sa premenná zmenila v priebehu času. Geometrický priemer je koreň n stupňa z produktu n hodnoty (v Exceli sa používa funkcia = CUGEOM):
G= (X 1 * X 2 * ... * X n) 1/n
Podobný parameter - geometrický priemer miery návratnosti - je určený vzorcom:
G \u003d [(1 + R 1) * (1 + R 2) * ... * (1 + R n)] 1 / n - 1,
kde RI- miera návratnosti i-té časové obdobie.
Predpokladajme napríklad, že počiatočná investícia je 100 000 USD. Do konca prvého roka klesne na 50 000 USD a do konca druhého roka sa vráti na pôvodných 100 000 USD. Miera návratnosti tejto investície počas dvoch ročné obdobie sa rovná 0, keďže počiatočná a konečná výška prostriedkov sa navzájom rovnajú. Aritmetický priemer ročnej miery návratnosti je však = (-0,5 + 1) / 2 = 0,25 alebo 25 %, pretože miera návratnosti v prvom roku R 1 = (50 000 - 100 000) / 100 000 = -0,5 a v druhom R 2 = (100 000 - 50 000) / 50 000 = 1. Zároveň geometrický priemer miery návratnosti za dva roky je: G = [(1–0,5) * (1 + 1 )] 1 /2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. Geometrický priemer teda presnejšie odráža zmenu (presnejšie, žiadnu zmenu) v objeme investície za dvojročné obdobie ako aritmetický priemer.
Zaujímavosti. Po prvé, geometrický priemer bude vždy menší ako aritmetický priemer tých istých čísel. Okrem prípadu, keď sú všetky prevzaté čísla navzájom rovnaké. Po druhé, vzhľadom na vlastnosti správny trojuholník, môžete pochopiť, prečo sa priemer nazýva geometrický. Výška pravouhlého trojuholníka zníženého do prepony je priemerná úmernosť medzi priemetmi nôh na preponu a každá noha je priemerná úmernosť medzi preponou a jej priemetom na preponu (obr. 5). Toto poskytuje geometrický spôsob konštrukcie geometrického priemeru dvoch (dĺžok) segmentov: musíte zostaviť kruh zo súčtu týchto dvoch segmentov ako priemer, potom výšku, obnovenú od bodu ich spojenia po priesečník s kruh, poskytne požadovanú hodnotu:
Ryža. 5. Geometrický charakter geometrického priemeru (obrázok z Wikipédie)
Druhou dôležitou vlastnosťou číselných údajov je ich variácia charakterizujúce stupeň rozptylu údajov. Dve rôzne vzorky sa môžu líšiť v stredných hodnotách aj vo variáciách. Avšak, ako je znázornené na obr. 6 a 7, dve vzorky môžu mať rovnakú variáciu, ale rôzne priemery, alebo rovnakú strednú hodnotu a úplne odlišnú variáciu. Údaje zodpovedajúce polygónu B na obr. 7 sa menia oveľa menej ako údaje, z ktorých bol polygón A zostavený.
Ryža. 6. Dve symetrické distribúcie v tvare zvona s rovnakým rozptylom a rôznymi strednými hodnotami
Ryža. 7. Dve symetrické distribúcie v tvare zvona s rovnakými strednými hodnotami a rôznym rozptylom
Existuje päť odhadov variácií údajov:
rozsah
Rozsah je rozdiel medzi najväčším a najmenším prvkom vzorky:
Potiahnutie = XMax-XMin
Rozsah vzorky obsahujúcej údaje o priemerných ročných výnosoch 15 veľmi rizikových podielových fondov možno vypočítať pomocou usporiadaného poľa (pozri obrázok 4): rozsah = 18,5 - (-6,1) = 24,6. To znamená, že rozdiel medzi najvyšším a najnižším priemerným ročným výnosom pre veľmi rizikové fondy je 24,6 %.
Rozsah meria celkové rozšírenie údajov. Hoci rozsah vzoriek je veľmi jednoduchým odhadom celkového rozptylu údajov, jeho slabinou je, že nezohľadňuje presne to, ako sú údaje rozdelené medzi minimálny a maximálny prvok. Tento efekt je dobre viditeľný na obr. 8, ktorý znázorňuje vzorky s rovnakým rozsahom. Stupnica B ukazuje, že ak vzorka obsahuje aspoň jednu extrémnu hodnotu, rozsah vzorky je veľmi nepresným odhadom rozptylu údajov.
Ryža. 8. Porovnanie troch vzoriek s rovnakým rozsahom; trojuholník symbolizuje podporu rovnováhy a jeho umiestnenie zodpovedá priemernej hodnote vzorky
Medzikvartilný rozsah
Interkvartil alebo priemerný rozsah je rozdiel medzi tretím a prvým kvartilom vzorky:
Medzikvartilový rozsah \u003d Q 3 – Q 1
Táto hodnota umožňuje odhadnúť rozšírenie 50% prvkov a nebrať do úvahy vplyv extrémnych prvkov. Interkvartilné rozpätie pre vzorku obsahujúcu údaje o priemerných ročných výnosoch 15 veľmi rizikových podielových fondov je možné vypočítať pomocou údajov na obr. 4 (napríklad pre funkciu QUARTILE.EXC): Interkvartilový rozsah = 9,8 - (-0,7) = 10,5. Interval medzi 9,8 a -0,7 sa často označuje ako stredná polovica.
Treba poznamenať, že hodnoty Q 1 a Q 3, a teda medzikvartilové rozpätie, nezávisia od prítomnosti odľahlých hodnôt, pretože ich výpočet nezohľadňuje žiadnu hodnotu, ktorá by bola menšia ako Q 1 alebo väčšia ako Q 3 . Celkové kvantitatívne charakteristiky, ako je medián, prvý a tretí kvartil a medzikvartilové rozpätie, ktoré nie sú ovplyvnené odľahlými hodnotami, sa nazývajú robustné ukazovatele.
Zatiaľ čo rozsah a medzikvartilový rozsah poskytujú odhad celkového a stredného rozptylu vzorky, ani jeden z týchto odhadov nezohľadňuje presne to, ako sú údaje rozdelené. Rozptyl a štandardná odchýlka bez tohto nedostatku. Tieto ukazovatele vám umožňujú posúdiť mieru kolísania údajov okolo priemeru. Ukážkový rozptyl je aproximáciou aritmetického priemeru vypočítaného zo štvorcových rozdielov medzi každým prvkom vzorky a priemerom vzorky. Pre vzorku X 1 , X 2 , ... X n je rozptyl vzorky (označený symbolom S 2 daný nasledujúcim vzorcom:
Vo všeobecnosti je rozptyl vzorky súčet štvorcových rozdielov medzi prvkami vzorky a priemerom vzorky, delený hodnotou rovnajúcou sa veľkosti vzorky mínus jedna:
kde - aritmetický priemer, n- veľkosť vzorky, X i - i- prvok vzorky X. V Exceli pred verziou 2007 sa na výpočet rozptylu vzorky používala funkcia =VAR(), od verzie 2010 sa používa funkcia =VAR.V().
Najpraktickejší a široko akceptovaný odhad rozptylu údajov je smerodajná odchýlka. Tento indikátor je označený symbolom S a rovná sa druhej odmocnine rozptylu vzorky:
V Exceli pred verziou 2007 sa na výpočet smerodajnej odchýlky používala funkcia =STDEV(), od verzie 2010 funkcia =STDEV.B(). Na výpočet týchto funkcií je možné zmeniť poradie dátového poľa.
Vzorový rozptyl ani vzorová smerodajná odchýlka nemôžu byť negatívne. Jediná situácia, v ktorej môžu byť ukazovatele S 2 a S nulové, je, ak sú všetky prvky vzorky rovnaké. V tomto úplne nepravdepodobnom prípade je rozsah a medzikvartilový rozsah tiež nulový.
Číselné údaje sú vo svojej podstate nestále. Každá premenná môže mať množinu rôzne hodnoty. Napríklad rôzne podielové fondy majú rôznu mieru návratnosti a straty. Vzhľadom na variabilitu číselných údajov je veľmi dôležité študovať nielen odhady priemeru, ktoré sú sumatívneho charakteru, ale aj odhady rozptylu, ktoré charakterizujú rozptyl údajov.
Rozptyl a štandardná odchýlka nám umožňujú odhadnúť rozptyl údajov okolo priemeru, inými slovami, určiť, koľko prvkov vzorky je menších ako priemer a koľko väčších. Disperzia má niektoré cenné matematické vlastnosti. Jeho hodnota je však druhá mocnina mernej jednotky – štvorcové percento, štvorcový dolár, štvorcový palec atď. Prirodzeným odhadom rozptylu je preto štandardná odchýlka, ktorá sa vyjadruje v obvyklých merných jednotkách – percentách príjmu, dolároch alebo palcoch.
Smerodajná odchýlka vám umožňuje odhadnúť mieru fluktuácie prvkov vzorky okolo strednej hodnoty. Takmer vo všetkých situáciách sa väčšina pozorovaných hodnôt pohybuje v rozmedzí plus alebo mínus jednej štandardnej odchýlky od priemeru. Preto, keď poznáme aritmetický priemer prvkov vzorky a štandardnú odchýlku vzorky, je možné určiť interval, do ktorého patrí väčšina údajov.
Štandardná odchýlka výnosov 15 veľmi rizikových podielových fondov je 6,6 (obrázok 9). To znamená, že výnosnosť väčšiny fondov sa od priemernej hodnoty líši najviac o 6,6 % (t.j. pohybuje sa v rozmedzí od – S= 6,2 – 6,6 = –0,4 až + S= 12,8). V skutočnosti tento interval obsahuje päťročný priemerný ročný výnos 53,3 % (8 z 15) fondov.
Ryža. 9. Smerodajná odchýlka
Všimnite si, že v procese sčítania druhých mocnín rozdielov získavajú položky, ktoré sú ďalej od priemeru, väčšiu váhu ako položky, ktoré sú bližšie. Táto vlastnosť je hlavným dôvodom, prečo sa aritmetický priemer najčastejšie používa na odhad priemeru rozdelenia.
Variačný koeficient
Na rozdiel od predchádzajúcich odhadov rozptylu je variačný koeficient relatívnym odhadom. Vždy sa meria v percentách, nie v pôvodných dátových jednotkách. Variačný koeficient, označený symbolmi CV, meria rozptyl dát okolo priemeru. Variačný koeficient sa rovná štandardnej odchýlke vydelenej aritmetickým priemerom a vynásobenej 100 %:
kde S- štandardná odchýlka vzorky, - vzorový priemer.
Variačný koeficient vám umožňuje porovnať dve vzorky, ktorých prvky sú vyjadrené v rôznych jednotkách merania. Napríklad manažér poštovej doručovacej služby má v úmysle modernizovať vozový park kamiónov. Pri nakladaní balíkov je potrebné zvážiť dva typy obmedzení: hmotnosť (v librách) a objem (v kubických stopách) každého balíka. Predpokladajme, že vo vzorke 200 vriec je priemerná hmotnosť 26,0 libier, štandardná odchýlka hmotnosti je 3,9 libier, priemerný objem balenia je 8,8 kubických stôp a štandardná odchýlka objemu je 2,2 kubických stôp. Ako porovnať rozloženie hmotnosti a objemu balíkov?
Keďže sa merné jednotky hmotnosti a objemu navzájom líšia, manažér musí porovnať relatívny rozptyl týchto hodnôt. Hmotnostný variačný koeficient je CV W = 3,9 / 26,0 * 100 % = 15 % a objemový variačný koeficient CV V = 2,2 / 8,8 * 100 % = 25 %. Relatívny rozptyl objemov paketov je teda oveľa väčší ako relatívny rozptyl ich váh.
Distribučný formulár
Treťou dôležitou vlastnosťou vzorky je forma jej rozloženia. Toto rozdelenie môže byť symetrické alebo asymetrické. Na opísanie tvaru rozdelenia je potrebné vypočítať jeho priemer a medián. Ak sú tieto dve miery rovnaké, hovorí sa, že premenná je symetricky rozdelená. Ak je stredná hodnota premennej väčšia ako medián, jej rozdelenie má kladnú šikmosť (obr. 10). Ak je medián väčší ako priemer, distribúcia premennej je negatívne skreslená. Pozitívna šikmosť nastane, keď sa priemer zvýši na nezvyčajne vysoké hodnoty. Negatívna šikmosť nastáva, keď priemer klesá na nezvyčajne malé hodnoty. Premenná je symetricky rozdelená, ak nenadobúda žiadne extrémne hodnoty v žiadnom smere, takže veľké a malé hodnoty premennej sa navzájom rušia.
Ryža. 10. Tri typy rozvodov
Údaje zobrazené na stupnici A majú zápornú odchýlku. Tento obrázok ukazuje dlhý chvost a skosenie doľava, spôsobené prítomnosťou nezvyčajne malých hodnôt. Tieto extrémne malé hodnoty posúvajú strednú hodnotu doľava a je menšia ako medián. Údaje zobrazené na stupnici B sú rozdelené symetricky. Ľavá a pravá polovica distribúcie sú ich zrkadlovými obrazmi. Veľké a malé hodnoty sa navzájom vyrovnávajú a priemer a medián sú rovnaké. Údaje uvedené na stupnici B majú kladnú odchýlku. Tento obrázok ukazuje dlhý chvost a skosenie doprava, spôsobené prítomnosťou nezvyčajne vysokých hodnôt. Tieto príliš veľké hodnoty posúvajú priemer doprava a ten je väčší ako medián.
V Exceli je možné získať popisné štatistiky pomocou doplnku Analytický balík. Prejdite si ponuku Údaje → Analýza dát, v okne, ktoré sa otvorí, vyberte riadok Deskriptívna štatistika a kliknite Dobre. V okne Deskriptívna štatistika určite uveďte vstupný interval(obr. 11). Ak chcete zobraziť popisnú štatistiku na rovnakom hárku ako pôvodné údaje, vyberte prepínač výstupný interval a zadajte bunku, do ktorej chcete umiestniť ľavý horný roh zobrazenej štatistiky (v našom príklade $C$1). Ak chcete vytlačiť údaje na nový hárok alebo do nová kniha jednoducho vyberte príslušný prepínač. Začiarknite políčko vedľa Záverečná štatistika. Voliteľne si môžete vybrať aj vy Úroveň obtiažnosti,k-tý najmenší ak-tý najväčší.
Ak na zálohu Údaje v oblasti Analýza nevidíte ikonu Analýza dát, musíte najprv nainštalovať doplnok Analytický balík(pozri napríklad).
Ryža. 11. Popisná štatistika päťročných priemerných ročných výnosov fondov s veľmi vysokou mierou rizika, vypočítaná pomocou doplnku Analýza dát Excel programy
Excel vypočítava množstvo štatistík uvedených vyššie: priemer, medián, režim, štandardná odchýlka, rozptyl, rozsah ( interval), minimálna, maximálna a veľkosť vzorky ( skontrolovať). Okrem toho Excel pre nás vypočítava niektoré nové štatistiky: štandardnú chybu, špičatosť a šikmosť. štandardná chyba sa rovná štandardnej odchýlke vydelenej Odmocnina veľkosť vzorky. Asymetria charakterizuje odchýlku od symetrie rozdelenia a je funkciou, ktorá závisí od kocky rozdielov medzi prvkami vzorky a strednou hodnotou. Kurtóza je miera relatívnej koncentrácie údajov okolo priemeru verzus konce distribúcie a závisí od rozdielov medzi vzorkou a priemerom zvýšeným na štvrtú mocninu.
Výpočet deskriptívnej štatistiky pre všeobecnú populáciu
Priemer, rozptyl a tvar distribúcie diskutovaný vyššie sú charakteristiky založené na vzorke. Ak však súbor údajov obsahuje číselné merania celej populácie, potom je možné vypočítať jeho parametre. Tieto parametre zahŕňajú priemer, rozptyl a štandardnú odchýlku populácie.
Očakávaná hodnota sa rovná súčtu všetkých hodnôt bežnej populácie vydelenému objemom bežnej populácie:
kde µ - očakávaná hodnota, Xi- i-té premenné pozorovanie X, N- objem bežnej populácie. V Exceli sa na výpočet matematického očakávania používa rovnaká funkcia ako pre aritmetický priemer: =AVERAGE().
Rozptyl populácie rovný súčtu štvorcových rozdielov medzi prvkami bežnej populácie a mat. očakávanie delené veľkosťou populácie:
kde σ2 je rozptyl bežnej populácie. Excel pred verziou 2007 používa funkciu =VAR() na výpočet rozptylu populácie, počnúc verziou 2010 =VAR.G().
smerodajná odchýlka populácie sa rovná druhej odmocnine populačného rozptylu:
Excel pred verziou 2007 používa =STDEV() na výpočet štandardnej odchýlky populácie, počnúc verziou 2010 =STDEV.Y(). Všimnite si, že vzorce pre rozptyl populácie a štandardnú odchýlku sa líšia od vzorcov pre rozptyl vzorky a štandardnú odchýlku. Pri výpočte štatistických údajov vzorky S2 a S menovateľ zlomku je n - 1 a pri výpočte parametrov σ2 a σ - objem bežnej populácie N.
pravidlo palca
Vo väčšine situácií sa veľká časť pozorovaní sústreďuje okolo mediánu a vytvára zhluk. V súboroch údajov s kladným zošikmením sa tento zhluk nachádza naľavo (t. j. pod) od matematického očakávania a v súboroch so záporným zošikmením je tento zhluk umiestnený napravo (t. j. nad) od matematického očakávania. Symetrické údaje majú rovnaký priemer a medián a pozorovania sa zhlukujú okolo priemeru, čím sa vytvorí zvonovitá distribúcia. Ak distribúcia nemá výraznú šikmosť a údaje sú sústredené okolo určitého ťažiska, na odhad variability možno použiť orientačné pravidlo, ktoré hovorí: ak majú údaje zvonovité rozdelenie, potom približne 68 % pozorovaní sú v rámci jednej štandardnej odchýlky od matematického očakávania, približne 95 % pozorovaní je v rámci dvoch štandardných odchýlok od očakávanej hodnoty a 99,7 % pozorovaní je v rámci troch štandardných odchýlok od očakávanej hodnoty.
Štandardná odchýlka, ktorá je odhadom priemernej fluktuácie okolo matematického očakávania, teda pomáha pochopiť, ako sú pozorovania rozdelené a identifikovať odľahlé hodnoty. Z praktického pravidla vyplýva, že pre zvonovité rozdelenia sa iba jedna hodnota z dvadsiatich líši od matematického očakávania o viac ako dve štandardné odchýlky. Preto hodnoty mimo intervalu u ± 2σ, možno považovať za odľahlé hodnoty. Okrem toho len tri z 1000 pozorovaní sa líšia od matematického očakávania o viac ako tri štandardné odchýlky. Teda hodnoty mimo intervalu u ± 3σ sú takmer vždy odľahlé. Pre distribúcie, ktoré sú veľmi zošikmené alebo nemajú zvonovitý tvar, možno použiť pravidlo Biename-Chebyshev.
Pred viac ako sto rokmi matematici Bienamay a Chebyshev nezávisle objavili užitočný majetok smerodajná odchýlka. Zistili, že pre akýkoľvek súbor údajov, bez ohľadu na tvar rozloženia, percento pozorovaní, ktoré ležia vo vzdialenosti nepresahujúcej kštandardné odchýlky od matematického očakávania, nie menej (1 – 1/ 2)*100%.
Napríklad ak k= 2, Biename-Čebyševovo pravidlo hovorí, že aspoň (1 - (1/2) 2) x 100 % = 75 % pozorovaní musí ležať v intervale u ± 2σ. Toto pravidlo platí pre každého k presahujúce jednu. Biename-Čebyševovo pravidlo má veľmi všeobecný charakter a platí pre distribúcie akéhokoľvek druhu. Označuje minimálny počet pozorovaní, pričom vzdialenosť, od ktorej k matematickému očakávaniu nepresahuje danú hodnotu. Ak je však distribúcia v tvare zvona, základné pravidlo presnejšie odhadne koncentráciu údajov okolo priemeru.
Výpočet popisnej štatistiky pre distribúciu založenú na frekvencii
Ak pôvodné údaje nie sú k dispozícii, jediným zdrojom informácií sa stáva rozloženie frekvencie. V takýchto situáciách môžete vypočítať približné hodnoty kvantitatívnych ukazovateľov rozdelenia, ako je aritmetický priemer, štandardná odchýlka, kvartily.
Ak sú údaje vzorky prezentované ako frekvenčné rozdelenie, možno vypočítať približnú hodnotu aritmetického priemeru za predpokladu, že všetky hodnoty v rámci každej triedy sú sústredené v strede triedy:
kde - vzorový priemer, n- počet pozorovaní alebo veľkosť vzorky, S- počet tried v rozdelení frekvencií, mj- stredný bod j- trieda, fj- frekvencia zodpovedajúca j- trieda.
Na výpočet štandardnej odchýlky od distribúcie frekvencií sa tiež predpokladá, že všetky hodnoty v rámci každej triedy sú sústredené v strede triedy.
Aby sme pochopili, ako sa na základe frekvencií určujú kvartily série, uvažujme o výpočte dolného kvartilu na základe údajov za rok 2013 o rozdelení ruskej populácie podľa priemerného peňažného príjmu na obyvateľa (obr. 12).
Ryža. 12. Podiel obyvateľstva Ruska s peňažným príjmom na obyvateľa v priemere za mesiac, rubľov
Na výpočet prvého kvartilu série variácií intervalu môžete použiť vzorec:
kde Q1 je hodnota prvého kvartilu, xQ1 je spodná hranica intervalu obsahujúceho prvý kvartil (interval je určený akumulovanou frekvenciou, pričom prvý presahuje 25 %); i je hodnota intervalu; Σf je súčet frekvencií celej vzorky; pravdepodobne sa vždy rovná 100 %; SQ1–1 je kumulatívna frekvencia intervalu predchádzajúceho intervalu obsahujúcemu dolný kvartil; fQ1 je frekvencia intervalu obsahujúceho dolný kvartil. Vzorec pre tretí kvartil sa líši v tom, že na všetkých miestach musíte namiesto Q1 použiť Q3 a nahradiť ¾ namiesto ¼.
V našom príklade (obr. 12) je dolný kvartil v rozmedzí 7000,1 - 10 000, ktorého kumulatívna frekvencia je 26,4 %. Spodná čiara tento interval je 7 000 rubľov, hodnota intervalu je 3 000 rubľov, akumulovaná frekvencia intervalu predchádzajúceho intervalu obsahujúceho dolný kvartil je 13,4 %, frekvencia intervalu obsahujúceho dolný kvartil je 13,0 %. Teda: Q1 \u003d 7000 + 3000 * (¼ * 100 - 13,4) / 13 \u003d 9677 rubľov.
Úskalia spojené s popisnou štatistikou
V tejto poznámke sme sa pozreli na to, ako opísať súbor údajov pomocou rôznych štatistík, ktoré odhadujú jeho priemer, rozptyl a distribúciu. Ďalším krokom je analýza a interpretácia údajov. Doteraz sme študovali objektívne vlastnosti údajov a teraz prejdeme k ich subjektívnej interpretácii. Na výskumníka číhajú dve chyby: nesprávne zvolený predmet analýzy a nesprávna interpretácia výsledkov.
Analýza výkonnosti 15 veľmi rizikových podielových fondov je pomerne nezaujatá. Dospel k úplne objektívnym záverom: všetky podielové fondy majú rozdielne výnosy, rozpätie výnosov fondov sa pohybuje od -6,1 do 18,5 a priemerný výnos je 6,08. Objektívnosť analýzy dát je zabezpečená správnou voľbou celkových kvantitatívnych ukazovateľov rozdelenia. Zvažovalo sa niekoľko metód odhadu priemeru a rozptylu údajov a boli uvedené ich výhody a nevýhody. Ako si vybrať správnu štatistiku, ktorá poskytuje objektívnu a nezaujatú analýzu? Ak je distribúcia údajov mierne skreslená, mal by sa medián zvoliť pred aritmetickým priemerom? Ktorý ukazovateľ presnejšie charakterizuje rozptyl údajov: smerodajná odchýlka alebo rozsah? Mala by byť uvedená kladná šikmosť rozdelenia?
Na druhej strane je interpretácia údajov subjektívnym procesom. Iný ľudia dospieť k rôznym záverom a interpretovať rovnaké výsledky. Každý má svoj vlastný uhol pohľadu. Niekto považuje celkové priemerné ročné výnosy 15 fondov s veľmi vysokou mierou rizika za dobré a je celkom spokojný s dosiahnutým príjmom. Iní si môžu myslieť, že tieto fondy majú príliš nízke výnosy. Subjektivita by teda mala byť kompenzovaná čestnosťou, neutralitou a jasnosťou záverov.
Etické problémy
Analýza údajov je neoddeliteľne spojená s etickými otázkami. Mali by sme byť kritickí voči informáciám šíreným novinami, rádiom, televíziou a internetom. Postupom času sa naučíte byť skeptickí nielen k výsledkom, ale aj k cieľom, predmetu a objektivite výskumu. Slávny britský politik Benjamin Disraeli to povedal najlepšie: „Existujú tri druhy klamstiev: klamstvá, prekliate klamstvá a štatistiky.
Ako je uvedené v poznámke, pri výbere výsledkov, ktoré by sa mali prezentovať v správe, vznikajú etické problémy. Mali by sa zverejňovať pozitívne aj negatívne výsledky. Okrem toho pri vypracovaní správy alebo písomnej správy musia byť výsledky prezentované čestne, neutrálne a objektívne. Rozlišujte medzi zlou a nečestnou prezentáciou. Na to je potrebné určiť, aké boli úmysly rečníka. Niekedy rečník vynechá dôležité informácie z nevedomosti a niekedy aj zámerne (napríklad ak použije aritmetický priemer na odhadnutie priemeru jasne skreslených údajov, aby získal požadovaný výsledok). Nečestné je aj potláčanie výsledkov, ktoré nezodpovedajú pohľadu výskumníka.
Využívajú sa materiály z knihy Levin et al Štatistika pre manažérov. - M.: Williams, 2004. - s. 178–209
Funkcia QUARTILE bola zachovaná, aby bola v súlade so staršími verziami Excelu
Pri výpočte sa stráca priemerná hodnota.
Priemerný význam množina čísel sa rovná súčtu čísel S vydelenému počtom týchto čísel. To znamená, že sa to ukazuje priemerný význam rovná sa: 19/4 = 4,75.
Poznámka
Ak potrebujete nájsť geometrický priemer iba pre dve čísla, nebudete potrebovať inžiniersku kalkulačku: pomocou najbežnejšej kalkulačky môžete extrahovať odmocninu druhého stupňa (druhú odmocninu) ľubovoľného čísla.
Na rozdiel od aritmetického priemeru nie je geometrický priemer tak výrazne ovplyvnený veľkými odchýlkami a výkyvmi medzi jednotlivými hodnotami v skúmanom súbore ukazovateľov.
Zdroje:
Priemerný hodnota je jednou z charakteristík množiny čísel. Predstavuje číslo, ktoré nemôže byť mimo rozsahu definovaného najväčším a najmenšie hodnoty v tejto skupine čísel. Priemerný aritmetická hodnota - najbežnejšie používaný rad priemerov.
Poučenie
Sčítajte všetky čísla v množine a vydeľte ich počtom členov, aby ste dostali aritmetický priemer. V závislosti od konkrétnych podmienok výpočtu je niekedy jednoduchšie rozdeliť každé z čísel počtom hodnôt v súbore a sčítať výsledok.
Použite napríklad súčasť operačného systému Windows, ak vo vašej mysli nie je možné vypočítať aritmetický priemer. Môžete ho otvoriť pomocou dialógového okna spúšťača programu. Ak to chcete urobiť, stlačte "klávesové skratky" WIN + R alebo kliknite na tlačidlo "Štart" a vyberte príkaz "Spustiť" z hlavnej ponuky. Potom do vstupného poľa zadajte calc a stlačte kláves Enter alebo kliknite na tlačidlo OK. To isté je možné vykonať prostredníctvom hlavnej ponuky - otvorte ju, prejdite do časti "Všetky programy" av časti "Štandard" vyberte riadok "Kalkulačka".
Postupne zadajte všetky čísla v sade stlačením klávesu Plus po každom z nich (okrem posledného) alebo kliknutím na príslušné tlačidlo v rozhraní kalkulačky. Čísla môžete zadávať aj z klávesnice a kliknutím na príslušné tlačidlá rozhrania.
Stlačte lomítko alebo kliknite na toto tlačidlo v rozhraní kalkulačky po zadaní poslednej nastavenej hodnoty a vytlačte počet čísel v poradí. Potom stlačte znamienko rovnosti a kalkulačka vypočíta a zobrazí aritmetický priemer.
Na rovnaký účel môžete použiť aj tabuľkový editor. Microsoft Excel. V takom prípade spustite editor a zadajte všetky hodnoty postupnosti čísel do susedných buniek. Ak po zadaní každého čísla stlačíte Enter alebo kláves so šípkou nadol alebo doprava, samotný editor presunie zameranie vstupu do susednej bunky.
Ak nechcete vidieť len aritmetický priemer, kliknite na bunku vedľa posledného zadaného čísla. Rozbaľte rozbaľovaciu ponuku Grécka sigma (Σ) v príkazoch na úpravu na karte Domov. Vyberte riadok " Priemerný“ a editor vloží do vybranej bunky požadovaný vzorec na výpočet aritmetického priemeru. Stlačte kláves Enter a hodnota sa vypočíta.
Aritmetický priemer je jednou z mier centrálnej tendencie, ktorá sa široko používa v matematike a štatistických výpočtoch. Nájdenie aritmetického priemeru niekoľkých hodnôt je veľmi jednoduché, ale každá úloha má svoje vlastné nuansy, ktoré je jednoducho potrebné poznať, aby bolo možné vykonať správne výpočty.
1. Nájdenie spoločného aritmetického priemeru štandardnou metódou;
2. Nájdenie aritmetického priemeru záporných čísel.
3. Výpočet aritmetického priemeru kladných čísel.
Odpovede na každú z akcií sú napísané oddelené čiarkami.
Pri práci s prírodné frakcie mali by sa zredukovať na spoločného menovateľa, ktorý sa vynásobí počtom čísel v poli. Čitateľ odpovede bude súčtom daných čitateľov pôvodných zlomkových prvkov.
Poučenie
Majte na pamäti, že vo všeobecnom prípade sa geometrický priemer čísel zistí vynásobením týchto čísel a získaním odmocniny stupňa, ktorý zodpovedá počtu čísel. Napríklad, ak potrebujete nájsť geometrický priemer piatich čísel, potom budete musieť extrahovať koreň stupňa z produktu.
Ak chcete nájsť geometrický priemer dvoch čísel, použite základné pravidlo. Nájdite ich súčin a potom z neho extrahujte druhú odmocninu, pretože čísla sú dve, čo zodpovedá stupňu odmocniny. Napríklad, ak chcete nájsť geometrický priemer čísel 16 a 4, nájdite ich súčin 16 4=64. Z výsledného čísla získajte druhú odmocninu √64=8. Toto bude požadovaná hodnota. Upozorňujeme, že aritmetický priemer týchto dvoch čísel je väčší a rovný 10. Ak odmocnina nie je odobratá úplne, zaokrúhlite výsledok na požadované poradie.
Ak chcete nájsť geometrický priemer viac ako dvoch čísel, použite aj základné pravidlo. Ak to chcete urobiť, nájdite súčin všetkých čísel, pre ktoré chcete nájsť geometrický priemer. Z výsledného produktu extrahujte koreň stupňa rovný počtu čísel. Ak chcete napríklad nájsť geometrický priemer čísel 2, 4 a 64, nájdite ich súčin. 2 4 64=512. Keďže potrebujete nájsť výsledok geometrického priemeru troch čísel, extrahujte zo súčinu koreň tretieho stupňa. Je ťažké to urobiť verbálne, takže použite inžiniersku kalkulačku. Na to má tlačidlo „x ^ y“. Vytočte číslo 512, stlačte tlačidlo "x^y", potom vytočte číslo 3 a stlačte tlačidlo "1/x", aby ste našli hodnotu 1/3, stlačte tlačidlo "=". Dostaneme výsledok umocnenia 512 na 1/3, čo zodpovedá odmocnine tretieho stupňa. Získajte 512^1/3=8. Toto je geometrický priemer čísel 2,4 a 64.
Pomocou inžinierskej kalkulačky môžete nájsť geometrický priemer iným spôsobom. Nájdite tlačidlo denníka na klávesnici. Potom vezmite logaritmus pre každé z čísel, nájdite ich súčet a vydeľte ho počtom čísel. Z výsledného čísla vezmite antilogaritmus. Toto bude geometrický priemer čísel. Napríklad, aby ste našli geometrický priemer rovnakých čísel 2, 4 a 64, vykonajte na kalkulačke súbor operácií. Napíšte číslo 2, potom stlačte tlačidlo log, stlačte tlačidlo „+“, zadajte číslo 4 a znova stlačte log a „+“, napíšte 64, stlačte log a „=". Výsledkom bude číslo, ktoré sa rovná súčtu desatinných logaritmov čísel 2, 4 a 64. Výsledné číslo vydeľte tromi, pretože ide o počet čísel, podľa ktorých sa hľadá geometrický priemer. Z výsledku vezmite antilogaritmus prepnutím kľúča registra a použite rovnaký kľúč protokolu. Výsledkom je číslo 8, to je požadovaný geometrický priemer.
Aritmetický priemer – štatistický ukazovateľ, ktorý ukazuje priemernú hodnotu daného dátového poľa. Takýto ukazovateľ sa vypočíta ako zlomok, ktorého čitateľ je súčtom všetkých hodnôt poľa a menovateľom je ich počet. Aritmetický priemer je dôležitý koeficient, ktorý sa používa pri výpočtoch domácností.
Aritmetický priemer je základným ukazovateľom na porovnanie údajov a výpočet prijateľnej hodnoty. Napríklad plechovka piva od konkrétneho výrobcu sa predáva v rôznych obchodoch. Ale v jednom obchode to stojí 67 rubľov, v inom - 70 rubľov, v treťom - 65 rubľov a v poslednom - 62 rubľov. Existuje pomerne veľký rozsah cien, takže kupujúceho budú zaujímať priemerné náklady na plechovku, aby si pri nákupe produktu mohol porovnať svoje náklady. V priemere má plechovka piva v meste cenu:
Priemerná cena = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 rubľov.
Keď poznáte priemernú cenu, je ľahké určiť, kde je výhodné nakupovať tovar a kde budete musieť preplatiť.
Aritmetický priemer sa neustále používa v štatistických výpočtoch v prípadoch, keď sa analyzuje homogénny súbor údajov. Vo vyššie uvedenom príklade ide o cenu plechovky piva rovnakej značky. Nemôžeme však porovnávať cenu piva od rôznych výrobcov alebo ceny piva a limonády, pretože v tomto prípade bude rozptyl hodnôt väčší, priemerná cena bude rozmazaná a nespoľahlivá a samotný význam výpočtov bude skreslený na karikatúru“ priemerná teplota v nemocnici." Na výpočet heterogénnych dátových polí sa používa aritmetický vážený priemer, keď každá hodnota dostane svoj vlastný váhový faktor.
Vzorec na výpočty je veľmi jednoduchý:
P = (a1 + a2 + … an) / n,
kde a je hodnota množstva, n je Celkom hodnoty.
Na čo sa dá tento ukazovateľ použiť? Prvé a zrejmé využitie je v štatistike. Takmer každá štatistická štúdia používa aritmetický priemer. To môže byť priemerný vek manželstvo v Rusku, priemernú známku študenta z predmetu alebo priemerné výdavky na potraviny za deň. Ako je uvedené vyššie, bez zohľadnenia váh môže výpočet priemerov poskytnúť zvláštne alebo absurdné hodnoty.
Napríklad prezident Ruská federácia urobil vyhlásenie, že podľa štatistík je priemerný plat Rusa 27 000 rubľov. Pre väčšinu ľudí v Rusku sa táto výška platu zdala absurdná. Niet divu, ak výpočet zohľadňuje výšku príjmov oligarchov, lídrov priemyselné podniky, veľkých bankárov na jednej strane a platov učiteľov, upratovačiek a predavačov na strane druhej. Dokonca aj priemerné platy v jednej špecializácii, napríklad účtovník, budú mať vážne rozdiely v Moskve, Kostrome a Jekaterinburgu.
V počítacích situáciách mzdy je dôležité zvážiť váhu každej hodnoty. To znamená, že platom oligarchov a bankárov by bola pridelená váha napríklad 0,00001 a platom predajcov 0,12. Sú to čísla zo stropu, ale zhruba ilustrujú prevahu oligarchov a predajcov v ruskej spoločnosti.
Preto na výpočet priemeru priemerov alebo priemernej hodnoty v heterogénnom dátovom poli je potrebné použiť aritmetický vážený priemer. V opačnom prípade dostanete priemerný plat v Rusku na úrovni 27 000 rubľov. Ak chcete vedieť svoju priemernú známku z matematiky alebo priemerný počet strelených gólov vybraného hokejistu, potom sa vám bude hodiť kalkulačka aritmetického priemeru.
Náš program je jednoduchá a pohodlná kalkulačka na výpočet aritmetického priemeru. Na vykonanie výpočtov stačí zadať hodnoty parametrov.
Mnoho učiteľov používa metódu aritmetického priemeru na určenie ročnej známky z predmetu. Predstavme si, že dieťa dostane z matematiky tieto štvrťročné známky: 3, 3, 5, 4. Akú ročnú známku mu dá učiteľ? Použime kalkulačku a vypočítajme aritmetický priemer. Najprv vyberte príslušný počet polí a zadajte hodnoty známok do buniek, ktoré sa objavia:
(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75
Učiteľ zaokrúhli hodnotu v prospech žiaka a žiak dostane solídnu štvorku za ročník.
Ukážme si nejakú absurdnosť aritmetického priemeru. Predstavte si, že Masha a Vova mali 10 sladkostí. Máša zjedla 8 cukríkov a Vova len 2. Koľko cukríkov priemerne zjedlo každé dieťa? Pomocou kalkulačky sa dá ľahko vypočítať, že deti v priemere zjedli 5 sladkostí, čo je úplne nepravdivé a zdravý rozum. Tento príklad ukazuje, že aritmetický priemer je dôležitý pre zmysluplné súbory údajov.
Výpočet aritmetického priemeru je široko používaný v mnohých vedeckých oblastiach. Tento ukazovateľ je obľúbený nielen v štatistických výpočtoch, ale aj vo fyzike, mechanike, ekonómii, medicíne či financiách. Použite naše kalkulačky ako pomocníka pri riešení problémov s aritmetickým priemerom.
Excel zmenil výpočet aritmetického priemeru niekoľkých buniek na veľmi jednoduchá úloha- stačí použiť funkciu PRIEMERNÝ(PREMERNÝ). Ale čo ak niektoré hodnoty majú väčšiu váhu ako iné? Napríklad v mnohých kurzoch majú testy väčšiu váhu ako úlohy. Pre takéto prípady je potrebné počítať Vážený priemer.
Excel nemá funkciu na výpočet váženého priemeru, ale existuje funkcia, ktorá urobí väčšinu práce za vás: SUMPRODUCT(SÚČETNÝ PRODUKT). A aj keď ste túto funkciu nikdy predtým nepoužívali, na konci tohto článku ju budete používať ako profesionál. Metóda, ktorú používame, funguje v akejkoľvek verzii programu Excel, ako aj v iných tabuľkách, ako sú napríklad Tabuľky Google.
Ak sa chystáte vypočítať vážený priemer, budete potrebovať aspoň dva stĺpce. Prvý stĺpec (v našom príklade stĺpec B) obsahuje skóre pre každú úlohu alebo test. Druhý stĺpec (stĺpec C) obsahuje váhy. Väčšia váha znamená väčší vplyv úlohy alebo testu na výslednú známku.
Aby ste pochopili, čo je váha, môžete si to predstaviť ako percento z vašej konečnej známky. V skutočnosti to tak nie je, keďže v tomto prípade by sa súčet hmotnosti mal rovnať 100 %. Vzorec, ktorý budeme analyzovať v tejto lekcii, vypočíta všetko správne a nezávisí od sumy, ktorú súčet hmotnosti.
Teraz, keď je naša tabuľka pripravená, pridáme vzorec do bunky B10(postačí akákoľvek prázdna bunka). Rovnako ako pri každom inom vzorci v Exceli začíname znakom rovnosti (=).
Prvou časťou nášho vzorca je funkcia SUMPRODUCT(SÚČETNÝ PRODUKT). Argumenty musia byť uzavreté v zátvorkách, preto ich otvárame:
SUMPRODUCT(
=SÚČETNÝ PRODUKT(
Ďalej pridajte argumenty funkcie. SUMPRODUCT(SUMPRODUCT) môže mať viacero argumentov, ale zvyčajne sa používajú dva. V našom príklade bude prvým argumentom rozsah buniek. B2:B9 A, ktoré obsahuje skóre.
SUMPRODUCT(B2:B9
=SÚČETNÝ PRODUKT(B2:B9
Druhým argumentom bude rozsah buniek C2:C9, ktorý obsahuje závažia. Tieto argumenty musia byť oddelené bodkočiarkou (čiarkou). Keď je všetko pripravené, zatvorte zátvorky:
SUMPRODUCT(B2:B9;C2:C9)
=SUMPRODUCT(B2:B9,C2:C9)
Teraz pridajme druhú časť nášho vzorca, ktorá rozdelí výsledok vypočítaný funkciou SUMPRODUCT(SUMPRODUCT) súčtom hmotností. Neskôr si povieme, prečo je to dôležité.
Na vykonanie operácie delenia pokračujeme v už zadanom vzorci so symbolom / (priama lomka) a potom napíšte funkciu SUM(SÚČET):
SUMPRODUCT(B2:B9;C2:C9)/SUM(
=SUMPRODUCT(B2:B9, C2:C9)/SUM(
Pre funkciu SUM(SUM) uvedieme len jeden argument - rozsah buniek C2:C9. Po zadaní argumentu nezabudnite zatvoriť zátvorky:
SÚČET(B2:B9;C2:C9)/SÚČET(C2:C9)
=SUMPRODUCT(B2:B9, C2:C9)/SUM(C2:C9)
Pripravený! Po stlačení klávesu Zadajte, Excel vypočíta vážený priemer. V našom príklade bude konečný výsledok 83,6 .
Poďme si rozobrať každú časť vzorca, počnúc funkciou SUMPRODUCT(SUMPRODUCT), aby ste pochopili, ako to funguje. Funkcia SUMPRODUCT(SUMPRODUCT) vypočíta súčin skóre každej položky a jej váhy a potom spočíta všetky výsledné produkty. Inými slovami, funkcia nájde súčet súčinov, odtiaľ názov. Tak pre Úlohy 1 vynásobte 85 5 a pre Testa vynásobte 83 25.
Ak sa pýtate, prečo násobiť hodnoty v prvej časti, predstavte si čo väčšiu váhuúlohu, tým viackrát musíme brať do úvahy hodnotenie za ňu. napr. Úloha 2 počítané 5-krát a Záverečná skúška- 45 krát. Preto Záverečná skúška má väčší vplyv na konečné skóre.
Pre porovnanie, pri výpočte obvyklého aritmetického priemeru sa každá hodnota berie do úvahy iba raz, to znamená, že všetky hodnoty majú rovnakú váhu.
Keby ste sa mohli pozrieť pod kapotu funkcie SUMPRODUCT(SUMPRODUCT), videli sme, že v skutočnosti verí tomuto:
=(B2*C2)+(B3*C3)+(B4*C4)+(B5*C5)+(B6*C6)+(B7*C7)+(B8*C8)+(B9*C9)
Našťastie nemusíme písať taký dlhý vzorec, pretože SUMPRODUCT(SUMPRODUCT) to všetko robí automaticky.
Funkcia samotná SUMPRODUCT(SUMPRODUCT) nám vráti obrovské číslo − 10450 . V tomto bode vstupuje do hry druhá časť vzorca: /SUM(C2:C9) alebo /SUM(C2:C9), ktorá vráti výsledok do normálneho rozsahu skóre a poskytne odpoveď 83,6 .
Druhá časť vzorca je veľmi dôležitá, pretože umožňuje automaticky opravovať výpočty. Pamätáte si, že súčet hmotnosti nemusí byť 100 %? To všetko vďaka druhej časti vzorca. Ak napríklad zvýšime jednu alebo viac váh, druhá časť vzorca sa jednoducho vydelí väčšiu hodnotu opäť vedie k správnej odpovedi. Alebo môžeme váhy výrazne zmenšiť, napríklad zadaním hodnôt ako 0,5 , 2,5 , 3 alebo 4,5 a vzorec bude stále fungovať správne. Je to skvelé, však?
Téma aritmetický a geometrický priemer je zaradená do matematického programu pre 6. – 7. ročník. Keďže odsek je celkom ľahko pochopiteľný, rýchlo sa míňa a záver je taký školský rokštudenti na to zabúdajú. Na to sú však potrebné znalosti základných štatistík absolvovanie skúšky, ako aj na medzinárodné skúšky SAT. Áno a pre Každodenný život rozvinuté analytické myslenie nikdy neuškodí.
Predpokladajme, že existuje séria čísel: 11, 4 a 3. Aritmetický priemer je súčet všetkých čísel vydelený počtom daných čísel. To znamená, že v prípade čísel 11, 4, 3 bude odpoveď 6. Ako sa získa 6?
Riešenie: (11 + 4 + 3) / 3 = 6
Menovateľ musí obsahovať číslo, ktoré sa rovná počtu čísel, ktorých priemer sa má nájsť. Súčet je deliteľný 3, keďže existujú tri členy.
Teraz sa musíme zaoberať geometrickým priemerom. Povedzme, že existuje séria čísel: 4, 2 a 8.
Geometrický priemer je súčin všetkých daných čísel, ktorý je pod odmocninou so stupňom rovným počtu daných čísel. To znamená, že v prípade čísel 4, 2 a 8 je odpoveď 4. Tu je návod, ako sa to stalo :
Riešenie: ∛(4 × 2 × 8) = 4
V oboch možnostiach boli získané celé odpovede, pretože ako príklad boli brané špeciálne čísla. Nie vždy je to tak. Vo väčšine prípadov musí byť odpoveď zaokrúhlená alebo ponechaná pri koreni. Napríklad pre čísla 11, 7 a 20 je aritmetický priemer ≈ 12,67 a geometrický priemer je ∛1540. A pre čísla 6 a 5 budú odpovede 5,5 a √30.
Samozrejme, že môže. Ale len v dvoch prípadoch. Ak existuje séria čísel pozostávajúca iba z jednotiek alebo núl. Je tiež pozoruhodné, že odpoveď nezávisí od ich počtu.
Dôkaz s jednotkami: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetický priemer).
∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrický priemer).
Dôkaz s nulami: (0 + 0) / 2 = 0 (aritmetický priemer).
√(0 × 0) = 0 (geometrický priemer).
Iná možnosť nie je a ani nemôže byť.
